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División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Matemáticas
Programa Educativo:
PROGRAMA DE ESTUDIO
Topología Algebraica
Área de Formación :
Licenciatura en
Matemáticas
Integral Profesional
Horas teóricas:
Horas prácticas:
Total de Horas:
Total de créditos:
Clave:
Tipo :
Programa elaborado por:
3
2
5
8
F1132
Asignatura
Carácter de la
Optativa
asignatura
Dr. Víctor Castellanos Vargas
Fecha de elaboración:
Agosto 2004
Fecha de última actualización:
Julio 2010
Seriación explícita
Asignatura antecedente
No
Asignatura Subsecuente
Seriación implícita
Conocimientos previos:
Si
Poseer conocimientos de Topología de conjuntos, teoría de
anillos y teoría de campos
F1132 Topología Algebraica
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Licenciatura en Matemáticas
Presentación
La Topología estudia aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por
transformaciones continuas. También se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de
consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde
destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera. Se suelen considerar tres tipos: La topología
General (conjuntista), la Algebraica y la Diferencial. En la topología algebraica se usan herramientas de algebra abstracta
para estudiar los espacios topológicos. La meta es clasificar los espacios topológicos.
Objetivo General
Comprender y aplicar el concepto de grupo fundamental de superficies. Calcular este grupo para superficies mediante
espacios cubrientes y el teorema de clasificación de superficies así como el teorema de Seifert-Van Kampen. Entender
aplicaciones en álgebra, análisis y variable compleja.
Aplicar el teorema de clasificación de superficies en la construcción de superficies compactas mediante la técnica de
cortado y pegado.
Competencias que se desarrollaran en esta asignatura
Capacidad para calcular el grupo fundamental de espacios topológicos, aplicar los resultados sobre separación del plano
y clasificación de superficies.
Capacidad para encontrar espacios cubrientes.
Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura
Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.
Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución
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Licenciatura en Matemáticas
Escenario de aprendizaje
Salón de clases, biblioteca y seminarios.
Perfil sugerido del docente
Posgrado en matemáticas
Contenido Temático
Unidad No.
1
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Homotopía de
caminos
El grupo fundamental
Espacios cubrientes
El grupo fundamental
del círculo
F1132 Topología Algebraica
El Grupo Fundamental
Comprender el concepto de primer grupo de homotopía y grupos fundamentales de
superficies mediante la herramienta de los espacios cubrientes. Entender la demostración
del teorema fundamental del álgebra a partir del grupo fundamental del círculo.
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Resultados del
aprendizaje
Comprensión
del
grupo
fundamental de un espacio
topológico.
Habilidad para
Calcular
grupos
fundamentales de diversos
Sugerencias didácticas
Estrategias y criterios de
evaluación
Exposiciones del profesor.
Resolución de problemas.
Presentación de ejemplos Preguntas escritas.
en cada uno de los Preguntas orales.
conceptos.
Participación en clase.
Trabajar en la clase en Exposición de la resolución
grupos pequeños.
de problemas por parte de
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División Académica de Ciencias Básicas
1.5.
Retracciones y puntos
fijos
1.6. El teorema
fundamental del
álgebra
1.7. El teorema de BorsukUlam
1.8. Retractos por
deformación y tipo de
homotopía
1.9. El grupo fundamental
de Sn
1.10. Los grupos
fundamentales de
algunas superficies
Licenciatura en Matemáticas
espacios topológicos.
Comprensión de los
retractos por deformación y
tipos de homotopía.
Abordar
ejercicios
y los alumnos.
problemas que involucren
los conceptos y resultados.
Dirigir el planteamiento y las
estrategias de solución a los
problemas planteados.
Asignar problemas y
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades
Unidad No.
2
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
2.1.
El
teorema
F1132 Topología Algebraica
Teoremas de Separación en el Plano
Comprender algunas aplicaciones del cálculo de grupos fundamentales, en curvas
cerradas tales como el teorema de Jordan, el número de rotación y la fórmula integral de
Cauchy.
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Resultados del
Sugerencias didácticas
aprendizaje
de Comprensión de algunas de Exposiciones del profesor.
Estrategias y criterios de
evaluación
Resolución de problemas.
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2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
separación de Jordan
Invariancia
del
dominio
El teorema de la curva
de Jordan
El número de rotación
de una curva simple
cerrada
La fórmula integral de
Cauchy
las aplicaciones de grupo
fundamental y espacios
cubrientes en el análisis real
y complejo tales como el
teorema de la curva de
Jordan, de la integral de
Cauchy, de Broker sobre la
invariancia del dominio y del
número de rotación de una
curva simple cerrada.
Licenciatura en Matemáticas
Presentación de ejemplos
en cada uno de los
conceptos.
Trabajar en la clase en
grupos pequeños.
Abordar
ejercicios
y
problemas que involucren
los conceptos y resultados.
Dirigir el planteamiento y las
estrategias de solución a los
problemas planteados.
Asignar problemas y
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades
Preguntas escritas.
Preguntas orales.
Participación en clase.
Exposición de la resolución
de problemas por parte de
los alumnos.
Unidad No.
3
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
3.1.
Clasificación de Superficies
Entender el teorema de Seifert-Van Kampen y aplicarlo en el cálculo de algunos grupos
fundamentales de superficies.
Entender el teorema de clasificación de superficies y construir superficies compactas
mediante la técnica de cortado y pegado.
20
Resultados del
Sugerencias didácticas
aprendizaje
El teorema de Seifert- Comprensión del teorema Exposiciones del profesor.
F1132 Topología Algebraica
Estrategias y criterios de
evaluación
Resolución de problemas.
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3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Van Kampen
El grupo fundamental
de
S 1 V …V S 1
Grupos
fundamentales
de
superficies
El
teorema
de
clasificación
de
superficies
Construcción
de
superficies compactas
a través de cortar y
pegar
Licenciatura en Matemáticas
de Seifert-Van Kampen.
Comprensión del teorema
de
clasificación
de
superficies
compactas
conexas
Habilidad para identificar
retractos por deformación de
las superficies básicas.
Presentación de ejemplos
en cada uno de los
conceptos.
Trabajar en la clase en
grupos pequeños.
Abordar
ejercicios
y
problemas que involucren
los conceptos y resultados.
Dirigir el planteamiento y las
estrategias de solución a los
problemas planteados.
Asignar problemas y
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades
Preguntas escritas.
Preguntas orales.
Participación en clase.
Exposición de la resolución
de problemas por parte de
los alumnos.
Unidad No.
4
Objetivo particular
Hrs. estimadas
Temas
4.1.
4.2.
Clasificación de Espacios Cubrientes
Identificar un espacio topológico como el cubriente de otro espacio dado. Comprender el
espacio cubriente universal y el teorema de existencia de espacios cubrientes.
20
Resultados del
aprendizaje
Equivalencia
de Comprensión
de
la
espacios cubrientes
definición
de
espacio
El espacio cubriente cubriente universal.
universal
Habilidad para demostrar
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Sugerencias didácticas
Estrategias y criterios de
evaluación
Exposiciones del profesor.
Resolución de problemas.
Presentación de ejemplos Preguntas escritas.
en cada uno de los Preguntas orales.
conceptos.
Participación en clase.
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4.3.
4.4.
Transformaciones
cubrientes
Existencias
de
espacios cubrientes
algunos teoremas relativos a
espacios cubrientes.
Aplicación de grupo
fundamental para la
comprensión de espacios
cubrientes.
Licenciatura en Matemáticas
Trabajar en la clase en Exposición de la resolución
grupos pequeños.
de problemas por parte de
Abordar
ejercicios
y los alumnos.
problemas que involucren
los conceptos y resultados.
Dirigir el planteamiento y las
estrategias de solución a los
problemas planteados.
Asignar problemas y
ejercicios extra-clase a los
alumnos para reforzar los
conocimientos y las
habilidades
Bibliografía básica
1.
Fulton, W. (1995). Algebraic Topology: A First Course (Graduate Texts in Mathematics). New York: Springer.
2.
Kosniowski, C. (1980). A First Course in Algebraic Topology. USA: Cambridge University Press.
3.
Massey, R. S. (1977). Algebraic Topology: An Introduction. New York: Springer-Verlag.
4.
Munkres, James R. (2000). Topología. 2a ed. New Jersey: Prentice-Hall
5.
Rotman, J. (1979). An Introduction to Algebraic Topology. USA: Springer-Verlag.
Bibliografía complementaria
1.
Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology, 2a ed. New York: Springer-Verlag.
2.
May, J. P. (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (Chicago Lectures in Mathematics). USA: University Of
Chicago Press
3.
Wallace, A. H. (2007). An Introduction to Algebraic Topology (Dover Books on Mathematics). USA: Dover
Publications
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