Download Datos generales - Matemáticas

Proyecto --Maestría de Matemáticas-(Justificación general)
1. Justificación.
Importancia. Las Matemáticas constituyen la base teórica del conocimiento
científico y del desarrollo tecnológico. En este sentido podría decirse que es una
condición indispensable para el desarrollo sustentable de los países en vías de
desarrollo contar con una amplia población de científicos dedicados a las ciencias
básicas y en particular a las matemáticas. Es un dato importante que el grupo de
países que más rápido se ha desarrollado en los últimos años (Rusia, China, India,
Brasil) muestran en común un sólido desarrollo en la investigación en matemáticas; de
estos países sólo Rusia tiene una larga tradición en el estudio de esta ciencia, lo que
demuestra que con políticas científicas y educacionales adecuadas es posible en un
corto plazo conseguir un importante desarrollo de una disciplina científica.
1.2 Antecedentes. En México el estudio de las matemáticas a nivel de postgrado se
ha visto tradicionalmente circunscrito al área metropolitana, donde los estudios de
postgrado ofrecidos por la UNAM, el CINVESTAV y la UAM fueron durante largo tiempo
las únicas opciones de este tipo en todo el territorio nacional. En tiempos
relativamente recientes otra opción de calidad fue creada en el CIMAT, Guanajuato.
Asimismo, también en tiempos recientes, universidades estatales como la Universidad
de Sonora, la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, La Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla y la Universidad Autónoma de Yucatán, ha comenzado un
postgrado en matemáticas. Sin embargo para conseguir un verdadero desarrollo de
cualquier ciencia es necesario multiplicar el número de instituciones que ofertan
estudios de calidad a nivel de postgrado.
En la Universidad Autónoma de Zacatecas existe una Licenciatura en Matemáticas,
fundada en 1987, que ha egresado en este tiempo a 120 estudiantes (89 graduados).
De estos egresados 15 han obtenido grado de maestría en diversas instituciones del
país y 3 han obtenido un grado de Doctor. Desde 2002 esta licenciatura cuenta con
el nivel I de acreditación de los CIEES, mismo que fue ratificada en 2007. La demanda
para estudiar la licenciatura se ha mantenido estable durante el tiempo, con una
matricula promedio de 99.71 estudiantes en los últimos 7 semestres.
1.3 Pertinencia. Muchos de los estudiantes egresados de la
Licenciatura en
Matemáticas de la UAZ han mostrado sistemáticamente su interés en cursar estudios
de postgrado en matemáticas, y muchos de ellos prefieren por diversas razones
continuar esos estudios en esta capital.
Por otro lado, en el afán de la Universidad en tener un alto porcentaje de profesores
perteneciente al S.N.I y con Perfil PROMEP es indispensable que la planta de
profesores de nuestra Unidad tenga la posibilidad de dirigir tesis de postgrado, meta
que será imposible de alcanzar si no contamos con al menos una maestría con un perfil
compatible con las líneas de investigación de los investigadores de la Unidad. En el
mismo orden de ideas, la dinámica misma de la investigación científica requiere de un
cierto número de estudiantes avanzados que apoyen en la resolución de los problemas
planteados en las distintas líneas de investigación, al mismo tiempo que realizan su
aprendizaje en el oficio de la investigación científica.
Otro punto importante es que la mayoría de los matemáticos que participarán en el
proyecto son especialistas en diversas áreas del álgebra (Teoría de Números,
Representaciones, Topología Algebraica, Geometría Algebraica) y en temas de Variable
Compleja y Sistemas Dinámicos Discretos, lo que permite pensar en una maestría más
enfocada a estas áreas teóricas. Esto la convertiría en una maestría única en su tipo a
nivel regional (incluso el competidor potencial más fuerte, el CIMAT, no tiene
particularmente desarrolladas estas áreas) y probablemente en la única maestría con
este enfoque fuera del Distrito Federal. Esto nos indica que la demanda para estudiarla
podría ser muy amplia a mediano plazo.
1.4 Viabilidad. En este momento en la Unidad Académica de Matemáticas hay 6
doctores en Matemáticas, uno en Física Teórica, y una Maestra en Matemáticas
comprometidos con formar parte de la planta docente de la Maestría, de esta planta de
8 profesores, los 7 Doctores cuentan con Perfil PROMEP o reconocimiento de nuevo
PTC y 4 de ellos son miembros del S.N.I.
Las condiciones materiales de la Unidad permiten comenzar de un modo razonable el
funcionamiento de una maestría, puesto que en principio sólo se necesita un salón
para impartir las materias y el equipamiento de cómputo de la Unidad permite atender
las necesidades de la primera generación.
El alto interés mostrado por los estudiantes de la Unidad en continuar estudios de
maestría demuestra que una matrícula razonable para las primeras generaciones es
viable incluso sólo pensando en la demanda local. La fuente posible de estudiantes se
amplía por los egresados de las carreras de matemáticas de las Universidades de los
estados vecinos en los que no se encuentra operando ningún postgrado con las
características del que se propone : Aguascalientes, Jalisco, San Luis Potosí, Coahuila y
Durango.
1.4 El contexto regional. En los estados que circundan a Zacatecas no existe
ninguna maestría con el perfil de la que se propone en este proyecto. Las maestrías en
matemáticas o temas afines que se ofrecen son:
. Universidad Autónoma de Aguascalientes: Postgrado en Ciencias Exactas, Sistemas y
de la Información, con una clara tendencia a las matemáticas aplicadas y en particular
a la informática. Esta maestría no cuenta con el registro en el PNP.
. Universidad Autónoma de San Luis Potosí: Maestría en Ciencias Aplicadas, su nombre
indica claramente la tendencia del programa. Esta maestría cuenta con registro en el
PNP.
. Universidad de Guadalajara: Maestría en enseñanza de las Matemáticas.
. Universidad Autónoma de Coahuila (Saltillo): Maestría en Matemáticas Educativas.
. La UPN en su sede Zacatecas. Postgrado en Enseñanza de las Matemáticas.
También es importante señalar que las Universidades de Coahuila y Guadalajara
existen programas de licenciaturas en matemáticas de corte muy similar al que
ofrecemos en nuestra Unidad Académica. Al no tener estas Universidades programas
de maestría con un perfil teórico como el que presentamos, los estudiantes de dichas
licenciaturas se convierten en mercado natural para la nuestra.
En conclusión, la única maestría potencialmente competidora a la nuestra se encuentra
en el estado de Guanajuato, en el CIMAT. Independientemente de su relativa lejanía,
ya habíamos señalado que la orientación de los cuerpos académicos de nuestra unidad
se concentra esencialmente en áreas de investigación relativamente poco desarrolladas
en el CIMAT, que concentra su investigación básica esencialmente en temas de
Geometría Diferencial, Sistemas Dinámicos y Análisis Funcional.
2. Propuesta de Financiamiento En un principio la maestría puede comenzar a
operar con los recursos con lo que se cuenta en este momento. Sin embargo, para su
consolidación posterior será necesaria la contratación de al menos dos nuevos
profesores-investigadores, la construcción de varios salones y cubículos y la compra de
nuevo material de cómputo y bibliográfico. La propuesta central consiste en obtener la
mayoría de los recursos necesarios a través del financiamiento externo otorgado por el
gobierno federal a través de varios mecanismos como: plazas y apoyos Promep, PIFI,
proyectos de investigación sectoriales Sep-Conacyt, el ingreso como postgrado de
Nueva Creación en el Padrón de Postgrados de SEP-Conacyt, etc. Se buscará acceder a
las bolsas extraordinarias que sean abiertas en las distintas dependencias estatales y
federales y que tienen como objetivo estimular la diversificación de la oferta educativa.
3. Misión. Formar profesionales con sólidos conocimientos de las áreas fundamentales
de las Matemáticas Modernas, con una vocación bien definida hacia alguna de estas
áreas y con capacidad para desarrollar estudios de doctorado y en consecuencia
iniciarse en la investigación científica.
4. Visión. Una Unidad Académica con alta calidad en la docencia y la investigación,
con grupos de investigación líderes a nivel nacional y con importante presencia a nivel
internacional, con todos los programas académicos acreditados en los padrones
nacionales de excelencia. Ser un foco de atracción regional para los jóvenes
interesados en el estudio de las ciencias básicas y contar con sólidos vínculos de
colaboración
con
instituciones
similares
nacionales
e
internacionales.
Para
la
consecución de Unidad con estas características una Maestría en Matemáticas del perfil
que planteamos será de máxima importancia al potenciar un auge generalizado de la
investigación en matemáticas.
5. Objetivos.
5.1 Objetivos a corto plazo.

Contribuir a que parte de la planta docente de la Unidad Académica obtenga un
grado de Maestría en Matemáticas.

Graduar entre 5 y 10 estudiantes en la Maestría.

Obtener la acreditación en los CIEES.

Ser reconocidos en el PNP como Programa de Nueva Creación.
5.2 Objetivos a mediano y largo plazo.

Obtener el registro en el Programa Nacional de Postgrados.

Obtener la consolidación de los cuerpos académicos de “Geometría y Álgebra” y
“Topología y Análisis”.

Hacer de la Maestría en Matemáticas una de las más prestigiadas a nivel nacional y
la más importante en los Estados circundantes a Zacatecas.

Crear, alrededor de la Maestría en Matemáticas, un clima que propicie el desarrollo
de una intensa labor de investigación en la Unidad Académica de Matemáticas.
6. Perfil de ingreso.

Licenciados en Matemáticas con sólidos conocimientos del cálculo y el álgebra lineal
y adecuados conocimientos de geometría analítica y ecuaciones diferenciales
ordinarias.

Maestros
con
experiencia
en
la
enseñanza
de
las
matemáticas
que,
independientemente de la especialidad en que se hayan titulado quieran consolidar
sus conocimientos y/o iniciarse en la investigación científica.

Graduados de otras áreas afines
a las matemáticas (ingenierías, física, etc) que
demuestren un adecuado conocimiento de las matemáticas básicas.
7. Perfil de egreso.
Profesionales con un sólido conocimiento de las áreas fundamentales de las
matemáticas modernas: estructuras algebraicas, análisis real y complejo, topología,
ecuaciones diferenciales; y con una clara vocación hacia algún área más específica y
avanzada de las matemáticas como topología algebraica, geometría algebraica, temas
avanzados de la variable compleja, análisis funcional, teoría de representaciones,
teoría algebraica y analítica de los números, sistemas dinámicos, etc. Nuestros
egresados tendrán la capacidad de impartir cursos de calidad tanto en programas de
licenciatura en matemáticas u otros afines como en maestrías en matemáticas.
Además estarán capacitados para estudiar independientemente temas de avanzada en
las matemáticas modernas y comenzar trabajos de investigación y eventualmente
realizar un doctorado en matemáticas básicas o algún tema afín.
8. Vigencia del programa.
Por tiempo indefinido. Periódicamente se realizaran autoevaluciones y se
solicitaran
evaluaciones de organismos externos como CIESS y PNP que garanticen que la
pertinencia del programa sigue vigente.
9. Criterios de ingreso.
Alumnos con estudios de licenciatura concluidos en matemáticas o algún área afín, o
en su lugar, alumnos que se comprometan a terminar en el curso del primer semestre
los requisitos que le resten para obtener su titulo licenciatura.

Aprobar un examen de admisión a la maestría.

Aprobar el EXANI 3.
Se ofrecerá un curso propedéutico a fin de facilitar a los aspirantes la presentación de
examen de admisión. Los requisitos de ingreso son:

Acta de Nacimiento.

Certificado de calificaciones de licenciatura.

Cartas de recomendación de dos investigadores en Matemáticas.
10. Criterios de permanencia.

Todo estudiante tendrá que aprobar las materias en su primera oportunidad.

Un estudiante que repruebe dos materias un mismo semestre causará baja del
programa.

El tiempo máximo para completar los créditos será de 5 semestres a partir de la
fecha de ingreso.

Al ingresar al segundo semestre el estudiante habrá obtenido el título de
licenciatura.
Se elaborará un reglamento detallado para la maestría, mismo que deberá ajustarse a
los ordenamientos y la legislación vigentes en la Universidad Autónoma de Zacatecas,
el cual deberá haber sido sancionado por los organismos correspondientes a la
apertura de los trabajos del postgrado.
11. Modalidades de titulación. Sólo existirá una modalidad de titulación: la
presentación de una Tesis de Maestría donde el estudiante demuestre que domina un
tema avanzado de matemáticas que no este incluido en el temario de ninguno de los
cursos del programa. Asimismo deberá demostrar que entiende el planteamiento de un
o una serie de problemas de interés en la matemática actual. Probablemente, pero no
necesariamente, la tesis podrá incluir la solución a algún problema sencillo de
investigación.
12. Criterios generales de evaluación. La evaluación de las materias básicas u
obligatorias (ver plan de estudios) se realizará sobre la
base de un examen escrito
que elaborarán y calificarán tres miembros del claustro de profesores de la maestría,
entre los cuales estará el profesor que impartió la materia en el curso a evaluar. El
examen se elaborará tomando en cuenta el plan de estudio de la materia en cuestión.
La calificación aprobatoria mínima será de 8. Las materias optativas serán evaluadas
mediante el criterio que libremente determine el profesor que la imparte en cada
semestre, dentro de los límites fijados por el Reglamento Escolar General.
La tesis de maestría deberá ser defendida en un examen oral y público y ante un
jurado formado por 5 doctores en matemáticas o áreas afines a la tesis, de los cuales
uno será el asesor de la tesis y al menos dos serán profesores de instituciones distintas
a la UAZ, de acuerdo a lo establecido en el Reglamento Escolar General de la UAZ.
13. Sistemas de tutorías y asesorías. Durante los dos primeros semestres (tiempo
que normalmente debe ser suficiente para cubrir las materias básicas u obligatorias) se
asignará a cada estudiante un tutor que supervisará el desempeño general del
estudiante. Se cuenta para el efecto con cuatro investigadores certificados como
tutores a nivel del licenciatura, y se solicitará a todos los integrantes de la planta
obtener la certificación como tutores de postgrado. Una vez aprobado este ciclo de
materias se designará un asesor que en principio será el director de tesis del
estudiante y que determinará, tomando en cuenta los objetivos de la tesis, qué
materias optativas debe cursar su asesorado.
14. Plan de
generaciones.
desarrollo
del
programa
orientado
a
las
dos
primeras
El plan de desarrollo se puede resumir en los siguientes puntos:
. Realizar una activa promoción regional para captar posibles estudiantes.
. Organizar cursos propedéuticos previos a los exámenes de admisión, con la finalidad
de dotar a los aspirantes de elementos para presentar exitosamente el examen de
admisión. Cursar el propedéutico no es un requisito de admisión, pero sí lo es la
aprobación del examen de admisión.
. Solicitar la evaluación inmediata en el marco del PNP para obtener el registro como
posgrado de nueva creación.
. Obtención de recursos federales mediante los diversos programas como PROMEP,
PIFI, y el propio apoyo del PNP, para mejorar de manera sustancial el equipo de
cómputo y la bibliografía especializada, así como la creación de una hemeroteca.
. Fortalecimiento de los Cuerpos Académicos participantes y consolidación de los
seminarios de investigación que estos ya realizan.
. Utilizar activamente los convenios de colaboración existentes con varias instituciones
del país, particularmente en lo referente al intercambio bibliográfico.
15. Cuotas de inscripción.
Las cuotas de inscripción, así como cualquier otra que se encuentre por servicios
administrativos o académicos serán fijadas de acuerdo con el reglamento
correspondiente vigente en la Universidad Autónoma de Zacatecas.
16. Extensión y Vinculación
Con la certeza que la educación es uno de los pilares fundamentales de los derechos
humanos, la democracia, el desarrollo sostenible y la paz, deberá ser accesible para
todos los ciudadanos.
La Educación superior debe de asumir su papel para reflexionar que se vive en una
época caracterizada por la incertidumbre, participar con la sociedad para transformarse
y provocar el cambio, atender las necesidades sociales y fomentar la solidaridad y la
igualdad; preservar y ejercer el rigor y la originalidad científica, son espíritu imparcial
por ser un requisito previo decisivo para alcanzar y mantener un alto nivel de calidad
académica; y colocar el aprendizaje de los estudiantes en el primer plano de sus
preocupaciones en la perspectiva de una educación a lo largo de toda la vida a
fin de que se puedan integrar plenamente en la sociedad mundial del conocimiento del
siglo XXI.
Otras actividades que una Institución de Educación Superior debe realizar, se
encuentran las correspondientes al aspecto de Extensión y Vinculación.
Extensión (Universitaria). Se refiere a los servicios que presta una IES tanto a la
comunidad de su entorno como a la sociedad en general, para poner a su alcance el
beneficio de la tecnología y del conocimiento.
Vinculación. Función sustantiva de una IES, a través de la cual se relaciona con otras
IES y los sectores social, público y privado del ámbito local, regional, nacional e
internacional con el fin de extender y difundir el conocimiento y los servicios que
presta.
El objetivo es facilitar el acceso a una educación general amplia, y también a una
educación especializada y para determinadas profesiones, a menudo interdisciplinaria,
centrada en las competencias y aptitudes, pues ambas preparan a los individuos para
vivir en situaciones diversas y poder cambiar de actividad.
Enmarcado en lo anterior la Propuesta de Maestría de la Unidad Académica de
Matemáticas, contempla tener actividades de extensión y vinculación, algunas de ellas
como continuidad de las que ya se realizan en la unidad y nuevas que cubran las
necesidades propias de los alumnos de un postgrado.
Las actividades que actualmente se llevan a cabo en la Unidad Académica de
Matemáticas son:
1.
2.
3.
4.
Educon
Olimpiada en Matemáticas
Revista
Mimaz
De las anteriores las que se desarrollarían e impulsarían para el posgrado son las
referentes a Educon y la Revista.
1. EDUCON.
Los Programa de Educación Continua (cursos, talleres, diplomados, otros) están
dirigidos a los estudiantes, egresados y a los sectores de la sociedad, que se ofrecen
de manera sistemática o por la demanda en las modalidades presencial o virtual.
La Unidad Académica de Matemáticas, en este sentido ofrece los siguientes seminarios
durante todo el semestre escolar:
a)
b)
c)
d)
e)
Seminario de Teoría de Categorías. Lunes 14.00 – 15.00
Seminario de Topología y Análisis. Martes 14.00 – 15.00
Seminario de Superficies de Riemann. Miércoles 14.00 – 15.00
Coloquio de La Unidad Académica de Matemática. Jueves 13.00 – 14.00
Seminario de Matemática Educativa. Jueves 16.00 – 20.00.
Cada semestre se ofrecen Talleres que refuerzan los conocimientos de un tema
especifico que estén o hayan cursado nuestros alumnos.
Las pláticas de los seminarios se diseñaran para cubrir temas propios del posgrado y
que refuercen los conocimientos que se vayan adquiriendo en los cursos de la
Maestría.
Los invitados a las conferencias del Coloquio, siempre han sido y seguirán siendo,
matemáticos de reconocido nivel, para que los alumnos tengan contacto con los temas
actuales de investigación en matemáticas que se desarrollan tanto en el país como en
el extranjero.
Semanalmente se captura la información referente a las actividades que se desarrollan
o realizaran en la Unidad Académica de Matemáticas, dicha información puede ser
consultada en
http://olimpo.reduaz.mx/educonuaz/
2. REVISTA
Revista de Matemáticas
Cuerpo Académico de Topología y Análisis
Cuerpo Académico de Matemáticas Básicas.
PRESENTACIÓN
T l a p ō h u a l l i , es una gaceta mensual de matemáticas, creada por el Cuerpo
Académico de Topología y Análisis, en coordinación con el Cuerpo Académico de
Matemáticas Básicas.
Tiene como objetivo que los estudiantes y docentes de la Unidad de Matemáticas
dispongan de un medio local para dar a conocer sus trabajos.
La publicación de trabajos no estará restringida a estudiantes o docentes de la Unidad
Académica de Matemáticas; deseamos fomentar también la participación de
estudiantes y docentes en México y en el extranjero, así como la contribución por
invitación de investigadores.
Los reportes de investigación matemática, resúmenes de tesis de licenciatura, maestría
o doctorado pueden ser publicados en esta revista. Los artículos que aparecerán serán
originales, ya sea en los resultados o en los métodos. Para juzgar esto, el Consejo
Editorial designará un Comité Revisor formado por investigadores de reconocido
prestigio y con experiencia en la comunicación clara de ideas matemáticas.
Aunque T l a p ō h u a l l i es una gaceta con arbitraje, los trabajos aceptados serán
considerados como versiones preliminares que luego podrán aparecer publicados en
otras revistas especializadas.
La aceptación de artículos será decidida por el Consejo Editorial, en base a los
dictámenes emitidos por el Comité Revisor.
Consejo Editorial:
Responsables de la Publicación: Dra. Leticia Adriana Ramírez Hdez.
Dra. Patricia E. Jiménez Gallegos.
……………….
Planta Docente y Programas de Estudios.
Planta docente.
La planta docente se halla integrada básicamente por los integrantes de los Cuerpos
Académicos de “Topología y Análisis” y “Álgebra y Geometría”. Todos estos profesores
se encuentran basificados como profesores de tiempo completo en la UAZ, y tienen
perfil PROMEP o reconocimiento como nuevos profesores de tiempo completo por el
PROMEP. También contamos con la colaboración de una Maestría en Ciencias
Matemáticas,
perteneciente
al
Cuerpo
Académico
de
Matemáticas
Básicas.
A
continuación listamos a estos profesores y sus datos generales, en un anexo incluimos
sus Currículum Vitae.
Cuerpo Académico de Topología y Análisis.
Dr. en Matemáticas Juan Antonio Pérez (Responsable del CA). Perfil PROMEP.
Dr. en Matemáticas Juan Martínez Ortiz . Perfil PROMEP.
Dra. en Matemáticas Leticia Ramírez Hernández. Nuevo PTC y miembro del S.N.I.
Dr. en Física Ram Gopal Vishwakarma. Perfil PROMEP y miembro del S.N.I.
Cuerpo Académico de Geometría y Álgebra.
Dr. en Matemáticas Alexis García Zamora (Responsable del CA). Perfil PROMEP y
miembro del S.N.I.
Dr. en Matemáticas Santos Hernández Hernández. Nuevo PTC y miembro del S.N.I.
Dra. en Matemáticas Patricia Jiménez Gallegos. Nuevo PTC.
Cuerpo Académico de Matemáticas Básicas: M.C. Ofelia Montelongo.
Plan de estudios y requisitos de egreso.
Para acreditar la Maestría en Matemáticas, el estudiante deberá:
. Aprobar los 5 cursos básicos.
. Aprobar 4 cursos optativos.
. Demostrar habilidad para traducir textos matemáticos del inglés al español.
. Elaborar una tesis de Maestría sobre un tema de matemáticas.
. Presentar el contenido de su tesis en un seminario de un Cuerpo Académico
participante en el proyecto de maestría, o en el Coloquio de la Unidad, o en un evento
nacional o internacional.

Defender su tesis ante un jurado, conformado de acuerdo a lo establecido en el
Reglamento Escolar General de la UAZ.
Los cursos básicos son:
Álgebra
Análisis
Variable Compleja
Topología General
Ecuaciones Diferenciales.
Cada curso básico constará de 4 horas/semana teóricas y una hora/semana práctica,
aportando un total de 9 créditos cada uno.
Los
cursos
optativos
incluyen
una
amplia
gama
de
materias,
generalmente
relacionadas con las líneas de investigación de los Cuerpos Académicos participantes.
Las materias optativas a ser impartidas en cada semestre se determinarán en función
de los intereses de los estudiantes, la disponibilidad de los profesores, y la opinión de
los tutores o directores de tesis de los estudiantes interesados.
Los cursos optativos constarán de 4 horas/semanas teóricas y aportarán un total de 8
créditos cada uno.
Además, cada estudiante cursará 2 seminarios de tesis, con una frecuencia de 2
horas/semana, que aportarán un total de 2 créditos cada uno.
El organigrama general del plan de estudios se muestra a continuación:
PRIMER SEMESTRE
SEGUNDO SEMESTRE
Álgebra (9 créditos)
Variable Compleja (9 créditos)
Análisis (9 créditos)
Ecuaciones Diferenciales (9 créditos)
Topología General (9 créditos)
Curso Optativo (8 créditos)
TERCER SEMESTRE
CUARTO SEMESTRE
Curso Optativo (8 créditos)
Curso Optativo (8 créditos)
Curso Optativo (8 créditos)
Seminario de Tesis (2 créditos)
Seminario de Tesis (2 créditos)
Líneas de investigación
Incluimos las principales líneas de investigación que desarrollan en este momento los
profesores y cuerpo s académicos involucrados en el proyecto:
Cuerpo Académico de Álgebra y Geometría

Geometría Algebraica.

Teoría de Números.

Teoría de Funciones de Variable Compleja.
Cuerpo Académico de Topología y Análisis

Topología Algebraica.

Análisis Funcional

Sistemas Dinámicos Discretos.
A continuación incluimos los planes de estudio de los cursos básicos y algunas
propuestas de planes de estudio para cursos optativos.
MAPA CURRICULAR DE LA MAESTRIA EN MATEMATICAS
Cursos Básicos
Algebra
Análisis Real
Variable compleja
Topología de Conjuntos
Ecuaciones diferenciales ordinarias I
Optativas
Algebra conmutativa
Geometría algebraica
Introducción a la teoría geométrica de invariantes
Topología algebraica I
Topología algebraica II
Teoría algebraica de los números
Teoría geométrica de funciones de variable compleja
SEMESTRE
I
ANALISIS
REAL
ALGEBRA
TOPOLOGÍA
DE
CONJUNTOS
II
VARIABLE
COMPLEJA
ECUACIONES
DIFERENCIALES
OPTATIVA
III
OPTATIVA
IV
OPTATIVA
OPTATIVA
OPTATIVA
OPTATIVA
OPTATIVA
Álgebra
Análisis
Real
Topología de
Conjuntos
Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias
Álgebra
Conmutativa
Variable
Compleja
Geometría
Algebraica
Topología
Algebraica I
Teoría
Algebraica de
los Números
Topología
Algebraica II
Teoría Geométrica
de funciones de
variable compleja
Int. Teoría
Geométrica
de
Invariantes
Planes de Estudio, Cursos Básicos
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRIA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Materia: Álgebra
Horas por clase: 1
Período:
Autores:
Presentación:
Créditos: 9
Semestre:
Semestre académico:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas: 1
Clases por semana: 5
Teórica: 4
Email:
Objetivos:
1) Reforzar y completar el conocimiento
de las estructuras algebraicas básicas,
adquirido en la licenciatura.
2) Proporcionar los elementos necesarios
para continuar el estudio de diversas
ramas más avanzadas del álgebra
como teoría de representaciones,
álgebra
conmutativa
o
álgebra
homólogica.
3) Proporcionar la base necesaria para la
utilización del álgebra en otras áreas
como geometría y topología.
4)
Estudiar las relaciones del álgebra
abstracta
con
otras
áreas
de
la
matemática, en especial álgebra lineal.
Contenido:
Objetivo
Particular:
Temario:
1. Grupos
Repaso general de la
Teoría Básica de
grupos,
normalmente
materia de estudio
en una licenciatura
en Matemáticas
1.1 Grupos, subgrupos y subgrupos normales.
1.2 Grupos cocientes, homomorfismos y teoremas del
isomorfismo.
1.3 Acciones de grupos.
1.4 Teoremas de Sylow.
1.5 Grupos libres y generadores.
2. Anillos
Estudio de la teoría
básica de anillos y
sus ideales, con
énfasis en Dominios
de Enteros y Anillos
Noetherianos.
2.1 Anillos, ideales y morfismos.
2.2 Dominios y campos, campo de fracciones.
2.3 Anillos conmutativos, ideales máximos y mínimos.
2.4 Dominios Euclideanos, de ideales principales y de
factorización única.
2.5 Anillos Noetherianos y teorema de la Base de
Hilbert.
3. Módulos
Además de estudiar
las construcciones
básicas de Teoría de
Módulos, el
estudiante
comprenderá su
relación con la Teoría
de formas canónicas
en álgebra lineal.
3.1 Definiciones básicas.
3.2 Suma directa y producto directo.
3.3 Módulos libres y proyectivos.
3.4 Módulos finitamente generados sobre un DIP.
3.5 Formas canónicas de un endomorfismo lineal y
grupos abelianos finitamente generados.
4. Campos
Se desarrollarán los
aspectos principales
de la Teoría de
Galois, hasta
demostrar la
irresubilidad de la
ecuación general de
grado mayor que 4.
4.1 Extensiones algebraicas.
4.2 Campos de descomposición.
4.3 El teorema Fundamental de la Teoría de Galois.
4.4 Grupos solubles y solubilidad de ecuaciones
algebraicas
4.5 Grupos simétricos y la ecuación general de grado 5.
5. Elementos de
Como una aplicación
representación
de una buena parte
de grupos finitos. de la Teoría
explicada
anteriormente y su
relación con álgebra
lineal el estudiante
aprenderá los
rudimentos de la
teoría de
representación de
grupos finitos.
BIBLIOGRAFÍA:
5.1 Generalidades
5.2 Teoría de caracteres, el Lema de Schur.
5.3 Representaciones inducidas.
5.4 Representaciones de grupos cíclicos, dihédricos y
alternantes.
Jacobson, “Basic Álgebra I”, Freeman and Company, 1985.
Grove, “Algebra”, Academic Press, 1983.
Lang, “Algebra”, Adisson-Wesley, 1993.
Kepmf, “Algebraic Structures”.
Serre “Linear Representations of Finite Groups”, Springre Verlag, 1977
Hungerford, “Algebra”, Springer Verlag, 2003.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRIA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Materia: Análisis Real
Horas por clase: 1
Período:
Autores:
Presentación:
Créditos: 9
Semestre:
Semestre académico:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas: 1
Clases por semana: 5
Teórica: 4
Email:
Objetivo general:
Se pretende que el alumno tenga un amplio
panorama del análisis real y complejo. Se
pretende estudiar desde una revisión somera
del análisis real hasta tocar temas como la
teoría de la medida y el análisis funcional (en
particular espacios de Hilbert) desde un punto
abstracto.
Contenido:
1. El sistema de los números
reales
2. Sucesiones
3. Funciones Continuas
4. Derivadas e integrales de
Riemann
5. Espacios Métricos
6. Espacios Topológicos
7. Teorema de BolzanoWeierstrass
8. Teorema de StoneWeierstrass
9. Espacios de Banach
10. Operadores Lineales y
funcionales lineales
11. Teorema de Hahn-Banach
12. Teoremas de la gráfica
cerrada y de la aplicación
abierta
13. Espacios Vectoriales
Topológicos
14. Espacios de Hilbert
15. Medida Lebesgue
16. Integral de Lebesgue
Objetivo Particular:
Temario:
17. Espacios L_p
18. Medida e Integración
(abstracto)
19. Teoremas generales de
convergencia
20. Teorema de RadonNikodym
21. Espacios L_p, revisado
BIBLIOGRAFÍA:
1. H. L. ROYDEN, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
2. W. RUDIN, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1986
3. A. FRIEDMAN, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, 1982.
4. A. N. KOLMOGOROV, S. V. FOMIN, Elementos de la teoría de funciones y del análisis
funcional, Mir-Moscu, 1975.
5. T. M. APOSTOL, Análisis Matemático, Ed. Reverte, 1981.
6. E. DIBENEDETTO, Real Analysis, Birkhäuser Boston, 2002.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRIA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Materia: Variable Compleja
Horas por clase: 1
Período:
Autores:
Créditos: 9
Semestre:
Semestre académico:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas: 1
Clases por semana: 5
Teórica: 4
Dr. Alexis García Zamora
Dra. Patricia E. Jiménez Gallegos
Presentación:
Contenido:
1. Funciones Analíticas
2. Teorema de Cauchy
Email:
alexis@mate.reduaz.mx
pjimenez@mate.reduaz.mx
Objetivo general:
Objetivo Particular:
Temario:
1. Funciones Analíticas
1.1. Propiedades básicas de la
diferenciación
1.2. Funciones
elementales:
exponencial,
logarítmica,
raíces
1.3. Las ecuaciones de CauchyReimann
2. Teorema de Cauchy
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
3. Representación en Series
Integral de contorno
Fórmula Integral de
Cauchy
Teorema de Liouville
Teorema de Morera
Teorema de unicidad
Teorema de Runge
Principio del módulo
máximo
3. Representación en series
4. Cálculo de Residuos
3.1. Series de potencias y teorema
de Taylor
3.2. Series de Laurent
3.3.
Clasificación de
singularidades
4. Cálculo de residuos
4.1. Cálculo de residuos
4.2. El Teorema del residuo
4.3. Cálculo de integrales
definidas
5. Temas Adicionales
5. Temas adicionales
5.1.
Aplicaciones
conformes
5.2.
Continuación analítica
5.3.
Teorema de Rouché y
principio del argumento
BIBLIOGRAFÍA:
1. L. Ahlfors, Complex analysis, 3rd. ed. Mc-Graw-Hill, 1979. Texto básico
2. N. Levinson and R. Ledheffer, Complex variables, McGraw-Hill, 1970.
3. J. Marsden and Hoffman, Basic complex analysis, Freeman. 1987.
4. R. Nevanlinna and V. Paatero, Introduction to complex analysis, Addison-Wesley, 1969.
Unidad
1
2
3
4
5
Tema
Funciones Analíticas
Teorema de Cauchy
Representación en Series
Cálculo de Residuos
Temas Adicionales
Periodo
2 semanas
2 semanas
4 semanas
1 semanas
2 semanas
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRIA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos: 9
Materia: Topología de Conjuntos
Horas por clase: 1
Clases por semana: 5
Período:
Teórica: 4
Autores:
Email:
Presentación:
Semestre:
Semestre académico:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas: 1
Objetivo general:
Al finalizar el programa del presente curso el
alumno será capaz de manejar con soltura los
conceptos y propiedades de compacidad,
conexidad y separación de espacios topológicos
en diversas situaciones matemáticas.
Contenido:
1. Espacios Métricos.
2. Espacios topológicos.
Objetivo Particular:
Temario:
El estudiante reconocerá las
propiedades básicas de un
espacio topológico a partir
de los ejemplos de métricas
diversas, de las cuales la
más
importante
es
la
métrica Euclideana.
1.1.
1.2.
1.3.
El estudiante manejará con
soltura los conceptos de
topología,
abierto,
base,
continuidad
y
homeomorfismo.
2.1
Axiomas de una topología.
2.2
Abiertos y cerrados.
2.3
Cerradura, adherencia y
frontera.
2.4
Bases de vecindades.
2.5
Continuidad.
2.6
Homeomorfismos.
2.7
La categoría de espacios
topológicos.
1.4.
1.5.
Los espacios euclideanos.
Propiedades de una métrica.
Vecindades y conjuntos
abiertos.
Convergencia y completitud.
La categoría de los espacios
métricos
3. Familias de Topologías
4.
5.
6.
7.
8.
El estudiante desarrollará la
3.1
Topologías gruesas y
habilidad
de
comparar finas.
topologías sobre conjuntos
3.2
Intersección de
dados.
Topologías.
3.3
Límites y colímites.
3.4
Comparación de bases.
Productos y cocientes
El estudiante será capaz de
describir
topologías
inducidas
en
cocientes,
4.1
Topología relativa.
productos
y
sumas
4.2
Espacios cocientes.
topológicas.
4.3
Espacios producto.
4.4
La topología de las cajas.
4.5
Suma topológica.
4.6
Conexidad.
4.7
Límites y colímites.
Convergencia
Practicar con las distintas a. Cofribaciones
formas de convergencia en
espacios topológicos.
5.1
Filtros.
5.2
Puntos de acumulación y
de adherencia.
5.3 Ultrafiltros.
5.4 Filtros y funciones.
5.5 Filtros y productos. Redes.
Compacidad
El estudiante será capaz de
manejar el concepto de
espacio
compacto,
6.1 Conjuntos compactos.
particularmente en espacios
6.2 Compacidad y
de funciones.
numerabilidad.
6.3 Compactificación de
Alexandroff.
6.4 Funciones propias.
6.5 La topología compactoabierta.
6.6 La ley exponencial.
6.7 Espacios compactamente
Axiomas de separación. El estudiante será capaz de
generados.
distinguir
espacios
topológicos a partir de sus
propiedades
diversas
de
7.1 Espacios de Haussdorff.
separación.
7.2 Espacios normales.
7.3 Espacios regulares y
completamente regulares.
7.4 Compactificación de StoneCêch.
7.5 Metrizabilidad.
Variedades
El estudiante distinguirá la
7.6 Paracompacidad.
estructura de variedad en
diversos
espacios
topológicos usando como
8.1 Funciones coordenadas.
modelo básico el de los
8.2 Variedades.
espacios euclideanos.
8.3 Variedades de dimensión
1.
8.4 Clasificación de superficies.
BIBLIOGRAFÍA:
Texto base: Carlos Prieto. “Topología Básica” Fondo de Cultura Económica, México 2003.
Armstrong, “Basic Topology” Springre Verlag, 1966.
Bredon, “Introduction to Compact Transformation Groups” Academic Press, 1972.
Dugunngji Topology Allyn and Bacon, 1966.
Halmos, “Naive Set Theory” Van Nostrand 1960.
Kelley, “General Topology” Springer Verlag 1955.
Munkres, “Topology: a first course”
Salicrup, “Introducción a las Topología” Sociedad Matemática Mexicana 1993.
Steen and Seebach, “Counterexamples in Topology” Springer Verlag 1978.
Willard, “General Topology” Addison-Wesley 1970.
Unidad
Tema
Periodo
8.5
8.6
Ejemplos de variedades.
Los grupos clásicos.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:9
Semestre:
Materia Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Autores:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas: 1
Clases por semana: 5
Teórica: 4
Dr. Juan Martínez
Dra. Leticia A. Ramírez Hernández
Email:
jmartino@mate.reduaz.mx
lramirez@mate.reduaz.mx
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Contenido:
1. Métodos Clásicos para
Ecuaciones Diferenciales
de Primer Orden
Objetivo general:
Temario:
Conocer los métodos 1. Métodos Clásicos para Ecuaciones
clásicos para
resolver
Diferenciales de Primer Orden
ecuaciones de primer
1.1 Ecuaciones diferenciales lineales
orden.
1.2 Ecuaciones diferenciales separables
1.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas
1.4 Ecuaciones diferenciales exactas
2. Sistemas de ecuaciones Introducir
la
teoría
2. Sistemas de ecuaciones diferenciales
diferenciales lineales
clásica de los sistemas
lineales
de
ecuaciones
2.1 Sistema homogéneo
diferenciales
lineales.
2.2 Caso de coeficientes constantes.
Resolver y aplicar tales
Exponencial de una matriz
sistemas.
2.3 Sistema no-homogéneo. Método de
variación de parámetros y de coeficientes
indeterminados
2.4 Ecuaciones diferenciales de segundo
orden
2.5 Ecuaciones diferenciales lineales
dependientes del tiempo. Soluciones en
serie
2.6 Ejemplos y aplicaciones
3. Teoría básica
4. Estabilidad
Conocer el Teorema de 3. Teoría básica
Existencia y Unicidad, así
3.1 Existencia y unicidad. Método de
como sus implicaciones.
aproximaciones sucesivas
Introducir el espacio fase
3.2 Dependencia continua o diferenciable
como herramienta para
respecto a condiciones iniciales y
conocer
el
parámetros
comportamiento de la
3.3 Ecuación autónoma. Espacio Fase
familia de soluciones.
3.4 Primeras integrales
Introducir
la
teoría
cualitativa
de
las
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias .
4. Estabilidad
4.1 Clasificación de Puntos de equilibrio
4.2 Hiperbolicidad de Puntos de equilibrio
4.3 Coordenadas Polares
4.4 Teorema de Liapunov
BIBLIOGRAFÍA:
1. V. I. Arnold, Ordinary differential equations. MIT Press, 1973.
2. R. Courant y D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Interscience Publishers, New York,
1953.
3. M. Hirsch and S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic
Press, New York, 1974.
4. W. Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations. Dover.
5. V. V. Nemytskii and V. V. Stepanov, Qualitative theory of ordinary differential equations.
Princeton University Press, 1960.
6. M. Braun, Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamerica, 1990.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
1
Métodos Clásicos para Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
3
Teoría básica
4
Estabilidad
Periodo
Planes de Estudio, Cursos Optativos.
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Álgebra Conmutativa
Horas por clase:
Período:
Autores:
Semestre académico:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Email:
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Objetivo general:
1) Dotar al estudiante con las técnicas
básicas del estudio de los anillos
conmutativos con 1, y los módulos
definidos sobre ellos. El estudiante
aprenderá a manejar con soltura
conceptos
como
cocientes,
localizaciones, completados y productos
tensoriales.
2) Comprender las aplicaciones básicas de
la teoría de anillos conmutativos a la
geometría
algebraica,
la
teoría
algebraica de números y geometría
analítica.
Contenido:
Objetivo Específico:
Temario:
1. Definiciones Básicas.
1.1
1.2
2. Ideales primos
2.1
2.2
2.3
3.
Extensiones de
anillos
4.
Teoría de la
dimensión
5.
6.
Sucesiones
regulares
Aplicaciones
3.1
3.2
3.3
3.4
Módulos e ideales.
Anillos y Módulos Noetherianos y
Artinianos.
Localización y Spec de un anillo.
Teorema de los ceros de Hilbert.
Descomposición primaria.
Extensiones planas.
Completados, el Lema de Artin-Rees.
Teorema de estructura de Cohen.
Extensiones enteras.
4.1 Anillos graduados, función de Hilbert.
4.2 Sistemas de parámetros.
4.3 Dimensión de extensiones de anillos.
5.1 Complejo de Koszul.
5.2 Anillos de Cohen-Macaulay y Ganillos.
5.3 Teorema de Serre.
5.4 Fórmula de Auslander.
6.1 La estructura geométrica de Spec de
un anillo.
6.2 Construcción algebraica de los
diferenciales.
6.3 Normalización.
6.5 Espacios analíticos.
6.6 Campos de números algebraicos y
dominios de Dedekind.
BIBLIOGRAFÍA:
1.
Matsumura, “Commutative Ring Theory” Cambridge University Press, 1986
2.
E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäuser, 1985.
3.
H. Matsumura, “Commutative Algebra (2 ed.)”, Math. Lect., Note Series, Benjamin, 1980.
4.
O. Zariski e P. Samuel, “Commutative algebra I, II”, GTM 28, 29, reimpresión
Nostrand de 1958, 1959.
5.
D. Eisenbud, “Commutative algebra with a view toward algebraic geometry”, GTM, Springer,
1995.
de Van
6.
R.C. Gunning and H.Rossi: “Analytic Functions of Several Complex Variables”, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1965.
7.
S. Lang, “Algebraic Number Theory”, Springer Verlag.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Geometría Algebráica
Horas por clase:
Período:
Autores:
Semestre académico:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Email:
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Contenido:
Objetivo general:
1) El estudiante se familiarizará con los
conceptos de esquemas, haces y
cohomología.
2) Se estudiarán y comprenderán los
teoremas generales básicos de la
geometría algebraica.
3) Conocer la teoría básica de curvas y
superficies,
con
hincapié
en
los
teoremas de Riemann-Roch y la
clasificación de Kodaira-Enriques.
Objetivos específicos:
Temario:
1. Variedades Algebraicas
1.1 Variedades afines.
1.2 Variedades proyectivas.
1.3 Morfismos y aplicaciones racionales.
2. Esquemas
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3. Cohomología.
3.1 Cohomología como un funtor
derivado.
3.2 Cohomología de Cech en esquemas
Haces.
Esquemas.
Morfismos y sus propiedades.
Haces de módulos.
Divisores.
Morfismos proyectivos.
Diferenciales.
noetherianos.
3.3 Cohomología de espacios afines y
proyectivos.
3.4 Dualidad de Serre.
3.5 Imágenes directas.
3.6 Morfismos planos y cambio de base.
4. Curvas y superficies.
4.1 Teorema de Riemann-Roch en curvas
y superficies.
4.2 La aplicación canónica de una curva.
4.3 Transformaciones birracionales de
una superficie.
4.4 El haz canónico y elementos de la
clasificación de Kodaira-Enriques.
BIBLIOGRAFÍA:
1.
2.
3.
4.
5.
R. Hartshorne, “Algebraic Geometry” Springer Verlag 1977.
Eisenbud and Harris, “The geometry of schemes”, Springer Verlag, 2000.
D.Mumford, “The Red Book of Varieties and Schemes”, Springer Verlag, 1999.
K. Ueno, “Algebraic
Geometry I: from Varieties to Schemes”, AMS 1999.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Materia
Semestre:
Introducción a la Teoría Geometría de Invariantes. (Optativa) Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Autores:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Email:
Dra. Patricia E. Jiménez Gallegos
pjimenez@mate.reduaz.mx
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Contenido:
1.
Grupos Algebraicos.
Objetivo general:
Objetivos específicos:
Temario:
1. Grupos Algebraicos.
1.1
1.2
1.3
2. Acciones y Cocientes.
Grupo Algebraico.
Representación de un grupo finito.
El grupo GL(n)
2. Acciones y Cocientes.
Acciones de grupos algebraicos
Cocientes Afines
Cocientes Proyectivos
Linearización
3. Teorema Fundamental.
3. Teorema
Fundamental
de
la
Teoría Geométrica de Invariantes.
Teorema Fundamental de la TGI
El Criterio Numérico con subgrupos a
un parámetro.
Ejemplos Elementales
Un criterio de Estabilidad.
4. Teoría Invariante (Grupos
Finitos)
4. Teoría Invariante
finitos.
para
grupos
Polinomios Simétricos
Bases de Grobner
Finitud y cotas de grado
Calculando el número de Invariantes
La Propiedad Cohen- Macaulay
Grupos de Reflexión.
5. Algoritmos para TGI.
5. Algoritmos para TGI.
Algoritmos para calcular invariantes
fundamentales
Bases de Grobner bajo la acción de
un grupo finito
Grupos abelianos y grupos de
permutaciones
BIBLIOGRAFÍA:
1. T. A. Springer, Linear Algebraic Groups, Birkhauser 1981.
2. E. Newstead, Lectures on Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces, Tata Institute
on Fundamental Research, Bombay 1978.
3. . Brambila, P.L. del Ángel, A. García Zamora, J. Muciño, Tópicos de Geometría Algebraica,
Aportaciones Matemáticas, Comunicaciones 31, Sociedad Matemática Mexicana, 2002
4. B. Sturmfels, Algorithms in Invariant Theory, Text and Monographs in Symbolic
Computation, Springer-Verlag Wien New York, 1993
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Topología Algebráica I - Teoría de Homotopía
Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Autores:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Email:
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Objetivo general:
Al finalizar el curso (Topología Algebraica I y
II) el estudiante adquirirá el manejo suficiente
de la teoría para leer provechosamente
artículos recientes publicados en revistas
especializadas en las áreas de Topología
Algebraica, Topología Equivariante y Topología
Diferencial.
Contenido:
Objetivos Específicos:
Temario:
I. EL GRUPO FUNDAMENTAL
El estudiante reconocerá
las
propiedades
homotópicas básicas y
adquirirá la habilidad de
calcular
grupos
fundamentales.
1.1 El grupo fundamental
1.2 Invariantes homotópicos
1.3 La recta y el círculo
1.4 Aplicaciones
1.5Categoría,
funtores
transformaciones naturales
1.6
Categorías
homotópicas
Equivalencia
1.7 Límites y colímites
1.8 El teorema de Van Kampen
II. EL GRUPO FUNDAMENTAL
El estudiante reconocerá
las
propiedades
homotópicas básicas y
adquirirá la habilidad de
calcular
grupos
fundamentales.
2.1 El grupo fundamental
2.2 Invariantes homotópicos
2.3 La recta y el círculo
2.4 Aplicaciones
2.5
Categoría,
funtores
transformaciones naturales
2.6
Categorías
homotópicas
y
y
y
y
Equivalencia
2.7 Límites y colímites
2.8 El teorema de Van Kampen
III.
ESPACIOS CUBRIENTES
IV.
FIBRADOS
COFIBRADOS
V.
GRUPOS
HOMOTOPÍA
El estudiante aplicará el
concepto
de
espacio
cubriente en el cálculo
de
grupos
fundamentales.
3.1 Espacios cubrientes
3.2 Levantamientos
3.3 Cubrientes de grupoides
3.4 Acciones y la categoría de las órbitas
3.5 Continuidad
3.6 Cubrientes de espacios
3.7 Construcciones
3.8 Homotopía de Gráficas
3.9 La característica de Euler en Gráficas
3.10 Aplicaciones
Y El estudiante conocerá,
manejará y construirá
espacios
cuyas
propiedades se prestan
para el estudio de la
homotopía.
4.1 Espacios compactamente generados
4.2 Cofibraciones
4.3
Equivalencia
homotópica
de
cofibraciones
4.4 Fibraciones
4.5 Levantamientos
4.6
Equivalencia
homotópica
de
fibraciones
4.7 Cambio de fibra
4.8 Clases de homotopía de funciones
con punto base
4.9 Conos, suspensiones
4.10 Cofibraciones con punto base
4.11 Sucesiones de cofibrados
4.12 Sucesiones de fibrados
DE El estudiante será capaz 5.1 Grupos superiores de homotopía
de
calcular
algunos 5.2 La sucesión del par
grupos de homotopía.
5.3 Sucesiones asociadas con fibrados
5.4 n-equivalencia
5.5 Equivalencia débil
5.6 CW-complejos
5.7 HELP y el teorema de Whitehead
5.8 Aproximación por CW-complejos
5.9 Aproximación por pares
5.10 El teorema de Freudenthal
5.11 El teorema de escisión de
homotopía
5.12 Grupos de Cohomotopía
Texto base: J. P. May. A concise course in Algebraic Topology. Chicago University Press. Chicago
2005.
Bibliografía













M. A. Armstrong. Basic Topology. Springer Verlag, New York 1966.
M. Aguilar, S.Gitler, C. Prieto. Topologia Algebraica, un enfoque homotópico. Mc Graw Hill,
México 1998.
R. Bott, L. W. Tu. Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, Berlin 1982.
G. E. Bredon. Introduction to Compact Transformation Groups. Academic Press, New York,
1972.
C. T. J. Dodson, P. E. Parker. A user’s gruide to Algebraic Topology. Kluver Academic
Publishers, Toronto 1997.
J. Dugungji. Topology. Allyn and Bacon, Boston 1966.
W. Fulton. Algebraic Topology, a first course. Springer Verlag, New York 1995.
S. Lefschetz. Introduction to Topology. Princeton University Press, New Jersey 1949.
J. P. May. Equivariant Homotopy and Cohomology Theory. CBMS 91, Fairbanks 1993.
J. Munkres. Topology: a first course. Prentice Hall, New Jersey 1975.
J. Munkres. Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, Cambridge, Massachussetts
1984.
J. J. Rotman. An Introduction to Algebraic Topology. Springer Verlag, Berlin 1988.
G. W. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. Springer Verlag, Berlin 1978.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Topología Algebráica II - Homología y Cohomología
Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Autores:
Email:
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Objetivo general:
Al finalizar el curso (Topología Algebraica I y
II) el estudiante adquirirá el manejo suficiente
de la teoría para leer provechosamente
artículos recientes publicados en revistas
especializadas en las áreas de Topología
Algebraica, Topología Equivariante y Topología
Diferencial.
Conteido:
Objetivos Específicos:
Temario:
1.
HOMOLOGÍA CELULAR
El
estudiante
desarrollará la capacidad
de calcular grupos de
homología celular.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
HOMOLOGÍA SINGULAR
El
2.
Complejos de cadenas
Transformaciones entre complejos
Productos tensoriales
Sucesiones exactas
Loa axiomas de Eilenberg y Steenrod
para homología
1.6 Homología celular
1.7 Límites y colímites
1.8 Aplicaciones
1.9 Homología reducida
1.10 Cofibraciones y la homología de
pares
1.11 La sucesión exacta del par
1.12 Suspensione s
1.13 La sucesión de Mayer – Vietoris
1.14 La homología de colímites
1.15 El teorema de Hurewicz
estudiante 2.1 El complejo singular
desarrollará la capacidad 2.2 Realización geométrica
de calcular grupos de 2.3 Objetos simpliciales
homología singular.
2.4 Espacios de Eilenberg - MacLane
2.5
Teorema
de
los
coeficientes
universales
2.6 El teorema de Künneth
2.7 El functor Hom.
2.6 Grupos de comología
2.7 El anillo de cohomología
2.8 Obstrucciones
3.
DUALIDAD
El estudiante conocerá,
manejará y construirá
espacios
cuyas
propiedades se prestan
para el estudio de la
homotopía.
3.1 Cohomología reducida
3.2 La sucesión de Mayer – Vietoris en
Cohomología
3.3 La cohomología de colímites
3.4 El teorema de dualidad de Poincaré
3.5 El producto cap.
3.6 Orientación y clases fundamentales
3.7 El teorema de desvanecimiento
3.8 Cubiertas orientadas
4.
VARIEDADES
El
estudiante
sistematizará
sus
conocimientos
de
análisis matemático a
partir del concepto de
variedad
y
sus
propiedades.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Variedades
Variedades compactas
La característica de Euler
El índice en variedades orientadas.
Variedades con frontera
Dualidad
de
Poincaré
para
variedades con frontera
4.7 El índice de variedades que con
frontera.
4.8 Formas diferenciales en variedades
4.9 La cohomología de DeRham
4.10 El teorema de Stokes
5. ESPACIOS DE EILENBERG El estudiante adquirirá 5.1 Homología de los espacios de
MACLANE
familiaridad
con
las
Eilenberg MacLane
torres de Postnikov.
5.2 Cohomología de los espacios de
Eilenberg MacLane
5.3 Productos y coproductos
5.4 Torres de Postnikov
5.5 Operaciones cohomológicas
5.6 Los cuadrados de Steenrod y las
ecuaciones de Adem.
6. CLASES CARACTERÍSTICAS El estudiante adquirirá 6.1 Haces vectoriales y su clasificación
Y HACES VECTORIALES
soltura en el manejo de 6.2 Clases características de haces
la clases características. 6.3 Variedades de Stiefel - Whitney
6.4
Números
característicos
en
variedades
6.5 Espacios de Thom
6.6 El teorema de isomorfismo de Thom
6.7 Clases de Stiefel – Whitney
6.8 Clases de Euler
6.9 Clases de Pontriaguin
6.10 Clases de Chern
6.11 Teoría General de las clases
características
7. K-TEORÍA
8. COBORDISMO
El estudiante adquirirá
familiaridad con la teoría
de cohomología conocida
como K-teoría.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Definiciones
El teorema de periodicidad de Bott
El teorema de descomposición
El carácter de Chern
Estructuras casi complejas en esferas
Operaciones de Adams
El invariante de Hopf.
El estudiante adquirirá
familiaridad con la teoría
de cohomología conocida
como Cobordismo.
8.1 Grupos de Cobordismo
8.2
Algebras
de
polinomios
en
cobordismo
8.3 Preespectros
8.4 El álgebra de Steenrod
8.5 Los números de Stiefel – Whitney
8.6 Espectros
8.7 categorías estables.
BIBLIOGRAFÍA:
Texto base: J. P. May. A concise course in Algebraic Topology. Chicago University Press.
Chicago 2005.
Bibliografía
1. M. A. Armstrong. Basic Topology. Springer Verlag, New York 1966.
2. M. Aguilar, S.Gitler, C. Prieto. Topologia Algebraica, un enfoque homotópico. Mc Graw Hill,
México 1998.
3. R. Bott, L. W. Tu. Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, Berlin 1982.
4. G. E. Bredon. Introduction to Compact Transformation Groups. Academic Press, New York,
1972.
5. C. T. J. Dodson, P. E. Parker. A user’s gruide to Algebraic Topology. Kluver Academic
Publishers, Toronto 1997.
6. J. Dugungji. Topology. Allyn and Bacon, Boston 1966.
7. W. Fulton. Algebraic Topology, a first course. Springer Verlag, New York 1995.
8. S. Lefschetz. Introduction to Topology. Princeton University Press, New Jersey 1949.
9. J. P. May. Equivariant Homotopy and Cohomology Theory. CBMS 91, Fairbanks 1993.
10. J. Munkres. Topology: a first course. Prentice Hall, New Jersey 1975.
11. J. Munkres. Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, Cambridge, Massachussetts
1984.
12. J. J. Rotman. An Introduction to Algebraic Topology. Springer Verlag, Berlin 1988.
13. G. W. Whitehead. Elements of Homotopy Theory. Springer Verlag, Berlin 1978.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Teoría Algebraica de los Números
Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Autores:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Email:
Requisitos o antecedentes: Haber cursado Algebra Moderna.
Presentación:
Objetivo general:
Se pretende que el alumno conozca cuatro
resultados importantes en esta teoría: Sea Q el
campo de los números racionales y sea k una
extensión finita sobre Q. Sea O_k el anillo de
enteros algebraicos de k. Se probará que O_k
es noetheriano, el teorema de Dedekind sobre
la descomposición de ideales de
O_k, el
teorema de las unidades de Dirichlet y la
finitud del número de clase de k.
Objetivo particular: Se buscará que el
alumno logre aplicar lo aprendido para resolver
algunas ecuaciones diofantinas que con
métodos elementales de teoría de números no
se puedan resolver.
Contenido
Objetivos Específicos
Primera Parte
Segunda parte
Temario
1. Módulos y módulos sobre dominios
de ideales principales
2. Anillos locales
3. Cerradura entera
4. Anillos de valuación discreta y anillos
de Dedekind
5. Ideales fraccionarios y el grupo de
clase
6. Normas y trazas
7. Extensiones de anillos de Dedekind:
Ramificación.
8. Terminología de campos de números
algebraicos.
9. Finitud del grupo de clase
10. Teorema de las unidades de Dirichlet
11. Ejemplos: Campos cuadráticos y
campos ciclotómicos
Nota: La segunda parte 1. Valuaciones y completaciones
se estudiará si el tiempo 2. Valuaciones arquimedianas y nolo permite.
arquimedianas
3. La topología de las completaciones de
campos de números algebraicos.
4. La fórmula del producto.
BIBLIOGRAFÍA:
1. KENNETH IRELAND, MICHAEL ROSEN, A Classical Introduction to Modern Number,
Springer-Verlag, 1990.
2. GERALD J. JANUSZ, Algebraic Number Fields, American Math. Society, 1996.
3. SERGE LANG, Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 19904.
4. PIERRE SAMUEL, Théorie Algébrique des Nombres, Hermann Éditeurs des Sciences et Arts,
2003.
PROGRAMACIÓN:
Unidad
Tema
Periodo
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
“Francisco García Salinas”
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
Datos generales
Clave:
Créditos:8
Semestre:
Materia Teoría geométrica de funciones de variable compleja
Semestre académico:
Horas por clase:
Período:
Horas por semestre:
Teórico-prácticas:
Autores:
Clases por semana: 4
Teórica: 4
Email:
Requisitos o antecedentes:
Presentación:
Contenido
Unidad
I.
Principios
de
transformaciones
conformes
de
regiones
simplemente
conexas.
Objetivo general:
Objetivos Específicos
Temario
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Unidad
II.
Transformación
conforme
univalente
de
regiones
múltiplemente
conexas.
Transformación
conforme
univalente
Teorema de Riemann
Correspondencia
de
fronteras
bajo
una
transformación
conforme.
Teoremas de distorsión
Sucesiones de transformaciones
conformes
2.1 Transformación conforme de una
región doblemente conexa sobre un
anillo.
2.2 Transformación conforme univalente
de una región múltiplemente conexa
sobre un plano con cortaduras
lineales y paralelas.
2.3 Transformación conforme univalente
de una región múltiplemente conexa
sobre regiones circulares.
Unidad III. Principios
mayorantes y aplicaciones
de
3.1 La forma invariante de Lema de
Schwarz
3.2 Principio de la métrica hiperbólica
3.3 Principo de Lindêlof
3.4 Métrica armónica
Unidad IV. Problemas de
frontera
para
funciones
analíticas en el círculo
4.1 Valores límites de la integral de
Poisson
4.2
Representación
de
funciones
armónicas por la integral de Poisson
y por la integral de Poisson-Stieltjes
4.3 Propiedades de frontera para
funciones de clase H p
BIBLIOGRAFÍA:
1.
2.
3.
4.
Golusin G., Geometric theory of functions of
a complex variable, Amr. Math. Soc.,
Providence, RI, 1969.
Jenkins A., Univalent functions and conformal mapping, Berlin, Gôttingen, Heidelberg,
Spinger, 1958.
Koppenfels W., Stallmann F., Praxis der Konformen Abbildung, Springer-Verlag, Berlin,
1959.
Pommerenke Ch., Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer-Verlang, London ,
1991.