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Temas 6. Trigonometría. 4º E.S.O.
COLEGIO CALASANCIO. MADRID.
TRIGONOMETRÍA
Estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.
Los ángulos en mayúsculas. Los lados como el ángulo opuesto, pero en
minúsculas.
Ángulo. Porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen
común. Se consideran positivos cuando están medidos en el sentido
contrario al de giro de las agujas del reloj.
Medida de ángulos. Se miden en grados sexagesimales (la circunferencia tiene 360º) y en
radianes. Un radián es la medida de un ángulo cuyo arco es igual al radio. Como
L 2R

 2 la circunferencia mide 2π radianes. Es decir, 360 º <> 2π rad.
R
R
Razones trigonométricas.
Son cocientes de longitudes. Si trazamos una circunferencia de radio r y consideramos un
punto de ella, P(x.y) definimos las razones como:
Seno.
sen  
ordenada
radio
En los distintos cuadrantes sería:
Cuando el ángulo es del primer cuadrante (agudo), se puede decir que el seno es la razón entre
el cateto opuesto y la hipotenusa.
abscisa x

radio
r
Coseno.
cos  
Tangente.
tg  
Cotangente.
cot g  
Secante.
sec  
ordenada sen  y


abscisa cos  x
1
x

tg y
1
r

cos  x
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Cosecante.
cos ec  
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1
r

sen y
Signo de las razones trigonométricas.
Dependiendo del cuadrante al que pertenezca el ángulo, la abscisa y la ordenada tendrán uno
u otro signo, lo que determinará el signo de la razón.
Relación entre las razones trigonométricas.
Según vimos: sen  
y
x
y cos   , de donde x=r·cos α y y=r·sen α. Si aplicamos el
r
r
teorema de Pitágoras: x2+y2=r2 es decir: sen2α+cos2α=1 Teorema fundamental.
Dividiendo entre sen2α: 1  cot g 2 
Y dividiendo entre cos2 α: tg 2  1 
1
 cos ec 2
sen 2
1
 sec 2 
cos 2 
Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos.
Ángulos complementarios.
Son los que suman 90º.
Por simetría y=x’ x=y’
Es decir:
sen(90-α)=cosα
cos(90-α)=sen α
Ángulos suplementarios.
Son los que suman 180º
Por simetría:
y=y’
X= - x’
Es decir: sen(180-α)=sen α
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cos(180-α)=-cosα
Ángulos que difieren en 90º
y=-x’
x=y’
Es decir:
sen(90+α)=cos α
cos(90+α)=-sen α
Ángulos opuestos.
Son los que miden lo mismo, en valor absoluto, y tienen distinto signo.
y= -y’
x= x’
Es decir:
sen α = - sen α
cos α = cos (-α)
Razones trigonométricas de los ángulos notables.
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Uso de la calculadora.
Siempre hay que seleccionar el modo adecuado, DEG o RAD.
Conocido el ángulo, obtenemos la razón mediante la tecla correspondiente: sin, cos o tan. Las
razones inversas, cosecante, secante y cotangente, mediante 1/x.
Si conocemos el valor de la razón, obtenemos el ángulo correspondiente mediante SHIFT sin,
SHIFT cos o SHIFT tan. En esto consiste el último paso de una ecuación trigonométrica.
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La calculadora nos da el ángulo más pequeño, de la primera vuelta, cuya razón es la dada.
Nosotros, por simetría, obtendríamos el otro, en caso de existir. Además, le podemos sumar al
ángulo obtenido un nº entero de vueltas, poniendo ±k·360º o bien ±2πk siendo k  z .
Ejemplo: Ángulo cuyo seno es 0,4. El ángulo lo obtendríamos mediante SHIFT sin 0,4= ,
obteniendo 23,5781785. Con la tecla º ’ ‘’ tendríamos el ángulo 23º34’41,44’’. Pero sabemos
que hay otro ángulo de la primera vuelta con el mismo valor de la ordenada, que sería el
suplementario. Es decir, también el ángulo 180-α=156º25’18,56’’ tiene el mismo valor del
seno. Escribiríamos α=arc sen 0,4= 23º34’41,44’’ y 156º25’18,56’’ Si tenemos en cuenta que el
ángulo puede no ser de la primera vuelta: α=23º34’41,44’’±k·360 y β=156º25’18,56’’±k·360
Teoremas.
Teorema de los senos.
Teorema del coseno.
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Aplicaciones.
Resolución de triángulos.
Consiste en calcular los lados y ángulos desconocidos.
En el caso de los triángulos rectángulos se resuelven aplicando el teorema de Pitágoras y las
razones trigonométricas.
En los demás triángulos aplicamos los teoremas de los senos y del coseno.
Ejemplos: