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RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA
Definición: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con
origen común.
A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice.
El ángulo es positivo si lo medimos en sentido
contrario al movimiento de las agujas del reloj
y negativo en caso contrario.
Positivo
Negativo
La unidad de medida de los ángulos es el Grado, que puede venir expresado de varias
formas:
Sistema sexagesimal: Un grado es la amplitud del ángulo resultante de dividir la
circunferencia en 360 partes iguales. Cada grado tiene 60 minutos y cada minuto tiene
60 segundos.
Grado radián: Es la amplitud del ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Toda la
circunferencia mide 2π radianes.
Las razones trigonométricas de un ángulo son números que caracterizan a cada ángulo
y para definirlas (calcularlas) trazamos una perpendicular al lado
hasta formar un
triángulo rectángulo.
DEFINIMOS seno, coseno y tangente de un ángulo de la siguiente manera:
=
•
=
•
=
•
No importa en qué punto tracemos la perpendicular pues todos los triángulos que
resulten son semejantes y los cocientes anteriores no varían. (Thales)
De la misma manera y, para no confundirlas con las funciones inversas (arco sen; arco
cos; arco tg), definimos cosecante, secante y cotangente de un ángulo de la siguiente
forma:
=
•
;
● sec
=
;
●
=
Tal y como los hemos definido y, dado que los catetos son siempre más pequeños que
la hipotenusa, el seno y el coseno de un ángulo NUNCA pueden ser, en valor absoluto,
mayores que la unidad.
Además podemos observar que así definidos se verifica que
•
=
Si en el triángulo anterior calculásemos las razones trigonométricas del otro ángulo
agudo que llamaremos β , observaríamos que, como el cateto contiguo a α es opuesto a β
y el cateto opuesto a α es contiguo a β resulta que:
= cos ! ;
•
=
!
y
Donde α y β son complementarios. Es decir: α + β = 90º
=
!
Cálculo de las razones trigonométricas de distintos ángulos
Para hacer más sencillo el cálculo de las RT de los diferentes ángulos utilizaremos la
Circunferencia Goniométrica, que es una circunferencia de radio la unidad y centrada en
el origen de coordenadas.
La circunferencia queda así dividida en
cuatro partes I, II, III, IV, llamadas
cuadrantes de forma que:
∈ #$%& $ ' ($
∈
∈
∈
' (
' ($
$ $ ' ($
' $
' ($
)*+ → 0° ≤ ∝ ≤ 90°
)**+ → 90° ≤∝≤ 180°
)***+ → 180° ≤∝≤ 270°
)*6+ → 270° ≤∝≤ 360°
En la circunferencia goniométrica, cuando vamos trazando los ángulos, al construir el
triángulo, la hipotenusa es el radio de la circunferencia que mide uno. Por lo que en este
caso y, SOLAMENTE EN ESTE CASO, el seno coincide con el cateto opuesto (y) y el
coseno, con el cateto contiguo (x). Como el centro de la circunferencia es el origen de
coordenadas, es fácil ver que: en el primer cuadrante tanto el seno como el coseno son
positivos; en el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno negativo; en el tercer
cuadrante, ambos son negativos y en el cuarto cuadrante, el seno es negativo y el
coseno es positivo
Si conocemos las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante
(agudos), podemos calcular las de ángulos de los otros cuadrantes, relacionándolas con
las del 1º basándonos en la semejanza de triángulos. Así podemos afirmar que:
•
Si
α
Є 2º cuadrante
9cos
=
)180° − +
= − cos)180° − +;
= − )180° − +
)180° − + ∈ 1º ' ($
•
•
Si
Si
α
α
Є 3º cuadrante
Є 4º cuadrante
9 cos
=−
) − 180°+
= − cos) − 180°+ ;
=
) − 180°+
=−
)360° − +
9 cos = cos)360° − + ;
= − )360° − +
) − 180°+ ∈ 1º ' ($
)360° − + ∈ 1º ' ($
Ecuación fundamental de la trigonometría.
Si escribimos las razones trigonométricas del ángulo α
del triángulo de la figura, tenemos:
cos
=
=
>
→
= ∙
→ ? = ∙ cos
Aplicando Pitágoras
c2 = a2+ b2 y sustituyendo:
C2 = (c senα)2 + (c cosα)2
c2 = c2 sen2α + c2 cos2α
c2 = c2(sen2α + cos2α)
Dividiendo por c2
•
sen2α + cos2α = 1
Que es la Ecuación fundamental de la trigonometría y nos permite conocer el seno o el
coseno de un ángulo, conocido el otro.
Ejemplos:
1.- Si sen α = 0,25 y α Є al 1º cuadrante, calcula las restantes razones
trigonométricas.
(0,25)2 + cos2α =1
0,0625 + cos2α =1
cosα = ±A0,9375 = ±0,9682
Como α Є al 1º cuadrante
determinación negativa de la raíz.
cos2α = 1-0,0625= 0,9375
el coseno es positivo por lo que desechamos la
cos α =0,9682
= D,GHIE = 0,2582
D,EFDD
tgα=
=
= D,EF = 4 ;
sec
=
= D,GHIE = 1,033;
=
= D,EFIE = 3,8730
2.- Sabiendo que sen25° = 0,423 y cos25° = 0,906. Hallar las razones trigonométricas
de 65°
Como 25°+ 65° = 90º
sen 65° = 0,906
son complementarios por lo que:
y cos 65° = 0,423
Tabla resumen de razones trigonométricas de algunos ángulos
30°
1
2
√3
2
√3
3
0°
sen α
0
cos α
1
tg α
0
45°
√2
2
√2
2
60°
√3
2
1
2
√3
1
90°
180°
270°
360°
1
0
-1
0
0
-1
0
1
∞
0
∞
0
De esta manera, si conocemos el ángulo conocemos sus razones trigonométricas y
viceversa: si conocemos la razón trigonométrica podemos conocer el ángulo, por
ejemplo:
¿Cuál es el seno de 30º?
Respuesta:
E
E
¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale ?
Respuesta: 30º
¿Cuál es el ángulo cuya tangente vale 1?
Respuesta: 45º
EJERCICIOS
1º) Sabiendo que cos α=- 0,5735 y que 90º < α <180º. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α
Sustituyendo en la ecuación fundamental de la trigonometría:
sen2α + cos2α = 1
sen2α+ (-0,5735)2 =1
sen2α = 1-(-0,5735)2 =1-0,3289=0,6711
sen2α = 1-(-0,5735)2
sen α =±√0,6711
+0,8192
Como α ∈ 2º cuadrante, el seno es positivo por lo que desechamos la determinación
negativa de la raíz.
sec
=
=
=
=
=
=
D,I GE
LD,FMNF
=
= −1,4284
D,I GE
LD,FMNF
= 1,2207
= −1,7436
= −0,700
2º) Expresa en radianes todos los ángulos de la tabla resumen.
30º=
O
H
;
45º=
O
P
;
60º=
O
N
;
90º=
O
E
;
180º=
π;
270º=
NO
E
3º) Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo α.
Tenemos que resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Q
=2
+
E
4 ∙ cos E
+
E
→ ;
=1 →
E
= 2 ∙ cos
E
+
=1
)2 ∙ cos
=1 → 5
+E
=1 →
E
Como α ∈ 3º cuadrante, el coseno es negativo
= 2 ∙ cos
√F
cosec α= − ;
E
= 2 ∙ T−
√F
U
F
= −
sec α=−√5;
=
E
F
→
= ±S
−
F
√F
F
E √F
F
E
cotgα=
4º) Comprueba si es cierta la siguiente igualdad.
+
=
∙
Operando en un miembro tenemos que llegar al otro
cos
=
+
cos
sen
∙
=
∙
+ cos
∙
∙ cos
+
∙
E
=
E
=
1
∙
=
1
∙
1
la igualdad es cierta
5º) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el
triángulo.
Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus ángulos
y todos sus lados
Por Pitágoras: c2=a2+b2
=
E√ N
α será el ángulo cuyo seno vale
calculadora (shift sin-1) obteniendo
Como
H
=
H√ N
E∙ N
=
c2=36 + 16=52
N√ N
N
= cos !
c= √52= 2√13
N√ N
. Como no está en la tabla, lo buscamos con la
N
α=56,31º=56º18´36´´
α y β son complementarios, β= 90º - α
= 90º - 56,31º = 33,69º=33º41´24´´
6º) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80
m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
h=80 sen 70º =75,17m
S=
ND∙
E
=4886,40m2