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Actividades del final de la unidad
1. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:
a) En la época de Aristóteles ya se aceptaba que la Tierra era esférica.
b) La estimación del radio terrestre que llevó a cabo Eratóstenes fue muy acertada.
c) Ptolomeo pensaba que la Tierra era plana.
d) La mecánica empleada por Copérnico es similar a la de Ptolomeo.
Es falsa la afirmación c), ya que Ptolomeo suponía que la Tierra era esférica.
2. Dos localidades de España tienen la misma longitud geográfica. Si entre ellas
hay una diferencia de latitud de 5°, calcula:
a) La distancia que separa las dos localidades, suponiendo que el radio terrestre es de 6 370 km.
b) La longitud de la sombra que proyecta una estaca vertical de 4 m clavada en
la ciudad de mayor latitud si una estaca similar, el mismo día y a la misma
hora, genera una sombra de 2 m en la localidad de menor latitud.
Para resolver este ejercicio, emplearemos como modelo el ejercicio resuelto 1 de esta
unidad.
a) Puesto que la diferencia de latitud es de 5°, la distancia de separación es un arco
de circunferencia que mide:
2 · π · RT
x
=
8 x = 0,0873 · RT = 0,0873 · 6 370 km = 556 km
360°
5°
b) En la localidad de mayor latitud, la sombra es más larga.
4m
β
4m
β'
2m
l
Vemos en la figura superior de la izquierda que:
b = arctg
2m
= 26,57°
4m
Como b4 = a + b, donde a es la diferencia de latitud, queda:
b4 = 5° + 26,57° = 31,57°
de donde:
l = 4 m · tg 31,57° = 4 m · 0,614 = 2,46 m
Como ves, la sombra es más larga en la localidad situada más al norte.
3. Razona si es correcta la afirmación siguiente: «La mayor dificultad científica del sistema de Copérnico era demostrar el movimiento de la Tierra».
La afirmación es correcta. Si Copérnico hubiera podido demostrar el movimiento de
la Tierra, el modelo o sistema geocéntrico hubiera quedado descartado.
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
13
4. ¿Es heliocéntrico el sistema de Tycho? ¿Y el de Kepler? ¿Utiliza epiciclos Kepler para describir el movimiento de los planetas?
No. El modelo de Tycho es geocéntrico, pero supone que Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno giran alrededor del Sol y, junto con él, orbitan en torno a la Tierra.
El sistema de Kepler es plenamente heliocéntrico. Solo la Luna orbita en torno a la Tierra.
Kepler no utiliza epiciclos, pues no los necesita para explicar el movimiento y la velocidad de los planetas.
5. Razona sobre la veracidad de las afirmaciones siguientes:
a) Las leyes de Kepler se aplican únicamente al movimiento orbital de los planetas.
b) En su afelio, cada planeta se mueve más despacio que en el perihelio.
c) Aunque la Tierra fuera tan grande como Júpiter, su período de revolución
orbital sería el mismo.
d) La velocidad de traslación de un planeta en órbita elíptica es inversamente
proporcional a su distancia al Sol en todo momento.
a) Falsa. Las leyes de Kepler se aplican a todos los cuerpos en órbita a causa de la
gravitación: asteroides, cometas, satélites, etc.
b) Cierta. Se debe a que la velocidad del planeta disminuye con la separación al Sol,
y el afelio es el punto más alejado.
c) Cierta. En las leyes de Kepler no interviene la masa del planeta, solo la distancia al
Sol.
d) Falsa. La velocidad de traslación disminuye con la distancia al Sol, pero solo son
proporcionables en el perihelio y en el afelio. En el resto de posiciones, intervie8
8
ne el ángulo que forman r y v .
6. Dibuja una elipse de semiejes a y b y demuestra que la distancia desde un foco
a los extremos del eje menor coincide con el semieje mayor, a.
En una elipse, la suma de las distancias desde todos sus puntos a los focos es constante y vale 2 · a, como puedes comprobar para el caso del punto P.
x
b
x'
P
f
O
a
f'
f P + f 4P = ( f O + Of 4 + f 4P) + f 4P = 2 · (Of 4 + f 4P) = 2 · a
donde hemos tenido en cuenta que fO = Of 4.
Por tanto, como la distancia desde los focos a los extremos del eje menor no depende del foco que se elija, x = x4, resulta que:
2 · a = x + x4 = 2 · x 8 x = x4 = a
14
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
7. Calcula la distancia media de cierto cometa al Sol, en comparación con la de la
Tierra, teniendo en cuenta que su período es de 50 años.
Si aplicamos la tercera ley de Kepler:
T12
=
r13
T22
r23
donde T1 es el período de revolución de la Tierra, igual a 1 año; T2, el período de revolución del cometa, igual a 50 años; r1, la distancia media de la Tierra al Sol, de
150 000 000 km, y r2, distancia media del cometa al Sol.
Tenemos:
3
T 2
T2 2
r 13 = 2 · r 13 8 r2 = r1 ·
T1
T1
√( )
( )
Y sustituyendo datos numéricos, se obtiene:
√( )
3
8
r2 = 1,5 · 10 km ·
50 a
1a
2
= 2,036 · 109 km
8. Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de
la órbita del primero treinta veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años
terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita?
Aplicando la tercera ley de Kepler:
T12
r 13
2 = r3
T2
2
donde T1 es el período de revolución de la Tierra, igual a 1 año; T2, el período de revolución de Neptuno (en años terrestres); r1, la distancia media de la Tierra al Sol, y
r2, la distancia media de Neptuno al Sol, r2 = 30 · r1.
Y sustituyendo datos numéricos, se obtiene:
3
r1
1a 2
=
8 T2 = 164,3 a (terrestres)
30 · r1
T2
( ) (
)
9. La figura muestra la órbita de cierto cometa. Calcula la velocidad en el perihelio si en el afelio es de 13 km/s. ¿Cuánto vale la velocidad areolar del cometa?
b = 387·10 6 km
a = 800·10 6 km
El eje mayor de la elipse, d, es la suma de las distancias del Sol al afelio, ra, y al perihelio, rp. Como d = 2 · a, tenemos que:
2 · a = 2 · 800 · 106 km = 1,6 · 109 km = ra + rp
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
[1]
15
Por otro lado, al aplicar la segunda ley
de Kepler, o ley de las áreas, para esos
dos puntos concretos, afelio y perihelio,
será:
ra
vp · rp = va · ra 8 vp = va · r
[2]
p
De acuerdo con la figura:
sen a =
a
rp
b = 387 · 106 km
α
a = 800 ·
106
va
km
a – rp
vp
387 · 106 km
b
8 sen a =
= 0,48375 8 a = 28,9°
800 · 106 km
a
Luego:
cos a =
a – rp
800 · 106 km – rp
8 cos 28,9° =
8 rp = 9,96 · 107 km
a
800 · 106 km
y, de acuerdo con [1]:
ra = 1,6 · 109 km – rp = 1,6 · 109 km – 9,96 · 107 km = 1,5 · 109 km
Por lo que obtenemos, al aplicar la expresión [2]:
km
1,5 · 109 km
vp = 13 s ·
= 195,8 km · s–1
9,96 · 107 km
Obsérvese cómo vp > va; en concreto, su valor es 15 veces mayor.
Por último, la velocidad areolar, vA, será, para el afelio y el perihelio:
1
vA = 2 · r · v · sen 90o
Y tomando cualquiera de los dos puntos, afelio o perihelio, nos queda:
vA =
1
· 9,96 · 107 m · 195,8 · 103 m · s–1 = 9,75 · 1012 m2 · s–1
2
Observa que sus unidades son área (m2) por unidad de tiempo.
10. Deimos y Fobos son los dos pequeños satélites de Marte. Siguen órbitas casi
circulares de radios 23 400 km y 9 270 km, respectivamente:
a) Razona cuál de los dos tiene una velocidad orbital superior.
b) Obtén el período de revolución de Deimos, sabiendo que el de Fobos es de
7 h 39 min 27 s.
c) Si se descubriera un tercer satélite de Marte y su período fuera de 50 h, ¿a
qué distancia media del centro de Marte orbitaría?
a) Si tenemos en cuenta la tercera ley de Kepler, r 3/T 2 = cte, escrita en forma:
() ()
TD
TF
2
=
rD
rF
3
donde los subíndices D y F hacen referencia a los satélites de Marte, Deimos y
Fobos, respectivamente, vemos que al ser rD > rF, el lado derecho de la igualdad
será mayor que uno, lo que obliga a que TD > TF. Al seguir trayectorias casi circulares, la velocidad orbital será uniforme, y podemos aplicar que:
2·π·r
2·π·r
v=
8 T=
v
T
16
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
Luego:
()
TD
TF
2
( )
2 · π · rD
vD
=
2 · π · rF
vF
2
=
()
rD
rF
3
√
8 vF = vD ·
rD
rF
Es decir, la velocidad orbital de Fobos es mayor que la que tiene Deimos, puesto
que rD es mayor que rF.
b) Si aplicamos de nuevo la tercera ley de Kepler, nos queda:
()
rD
rF
T D2 = T F2 ·
3
8 TD = TF ·
√( )
rD
rF
3
Y al sustituir datos numéricos:
TD = 27 567 s ·
√(
23 400 km
9 270 km
)
3
= 110 559 s (30 h 42 min 39 s)
c) Aplicando la tercera ley de Kepler, y tomando como «referencia» a Deimos:
rD3
r3
r3
=
cte
8
=
T D2
T2
T2
8 r 3 = rD3 ·
(
)
r 3 = (23 400 km)3 ·
50 h · 3 600 s · h–1
110 559 s
2
( )
T
TD
2
8 r = 32 384 km
11. Dos satélites artificiales siguen órbitas circulares en torno a la Tierra. La órbita del segundo es el doble de grande que la del primero. ¿Qué relación
guardan los respectivos períodos orbitales?
Aplicando la tercera ley de Kepler:
r3
= cte 8
T2
3
1
2
1
r
T
=
3
2
2
2
r
T
que podemos poner de la forma:
() ()
T2 3
r 3
= 2
T1
r1
Como r2 = 2 · r1, nos queda:
() ( )
T2
T1
2
=
2 · r2
r1
3
=8 8
Órbita 2
Órbita 1
r1
r2
T2
= 2 · √2
T1
Es decir, el período orbital del satélite más
alejado, T2, es 2 · √2 veces mayor que el período orbital del satélite más cercano.
12. Discute la corrección de estas proposiciones:
a) De las dos primeras leyes de Kepler se deduce que existe una fuerza que
atrae a los planetas hacia el Sol, pero solo con ellas no se puede especificar cómo es esa fuerza.
b) La tercera ley de Kepler solo se aplica cuando las órbitas son circulares.
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
17
c) El tamaño y la masa de los planetas no intervienen en las leyes de Kepler.
d) La constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler está relacionada con la masa del Sol.
a) Cierto. De ellas se deduce que la fuerza de atracción solar disminuye con la separación al Sol, pero solo la tercera ley permite detallar cómo es dicha fuerza.
b) Falso. Kepler y Newton la emplearon, sobre todo, para órbitas elípticas, donde
adopta la forma:
T2 2
a 3
= 2
T1
a1
() ()
en la que a corresponde al semieje mayor de la órbita.
c) Cierto. Solo interviene la distancia del planeta al Sol.
d) Cierto. Si aplicamos las leyes de Kepler a los planetas, resulta:
T2
4 · π2
3 = C =
r
G · MSol
13. Calcula la aceleración centrípeta de la Tierra en su movimiento orbital, suponiendo que sea un m.c.u. con velocidad de 30 km/s y diámetro de 3 · 108 km.
Si la trayectoria es circular, la aceleración centrípeta (o normal) vale:
an =
v2
r
Sustituyendo datos numéricos, se obtiene:
an =
(30 · 103 m · s–1)2
= 6 · 10–3 m · s–2
1,5 · 1011 m
14. ¿Con qué fuerza se atraen mutuamente el Sol y Júpiter cuando este se encuentra en el afelio?
Datos: rafelio = 815,7 · 106 km; MJ = 1,90 · 1027 kg, MS = 1,99 · 1030 kg.
Aplicando la ecuación que recoge
la ley de la gravitación universal, tenemos que la fuerza con que se atraen mutuamente –la que ejerce el Sol
sobre Júpiter y este sobre el Sol– es
igual en módulo, pero su sentido, en
cada caso, es opuesto, tal y como
indica la figura.
vJ
Sol
FSJ
Júpiter
FJS
Por tanto:
8
8
|F JS| = |F SJ| = G ·
MS · MJ
r2
Sustituyendo datos numéricos, resulta:
FJS = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
1,99 · 1030 kg · 1,90 · 1027 kg
= 3,79 · 1023 N
(815,7 · 109 m)2
En notación vectorial, y tomando como origen de coordenadas la posición del Sol:
8
8
8
8
F JS = 3,79 · 1023 · ur N ; F SJ = –3,79 · 1023 · ur N
18
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
15. Suponiendo órbitas circulares, deduce la relación entre la masa del Sol y la
constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler (C = T 2/r3). ¿Depende
de la masa de cada planeta? Calcula su valor sabiendo que MSol = 1,99 · 1030 kg.
La expresión de la tercera ley de Kepler puede tomar la forma:
T2
= cte
r3
Si un planeta sigue una trayectoria circular, está sometido a una fuerza centrípeta que,
en este caso, es la fuerza de atracción gravitatoria. Por tanto, podemos igualar Fc y Fg:
Fc = Fg 8 m ·
G·M
v2
M·m
=G·
8 v2 =
r
r
r2
[1]
Por otro lado, al llevar velocidad constante (en módulo), tenemos que:
v=
s
2·π·r
8 v=
t
T
Al elevar al cuadrado, nos queda:
v2 =
4 · π2 · r 2
T2
[2]
y comparando las ecuaciones [1] y [2], podemos escribir:
G·M
4 · π2 · r 2
=
r
T2
que ordenada de otra forma, se puede expresar como:
T 2 · G · M = 4 · π2 · r 3 8
T2
4 · π2
=
= cte
3
G·M
r
Esa constante, que llamaremos C, no depende de la masa del planeta, m. Su valor
será:
C=
–11
6,67 · 10
4 · π2
= 2,97 · 10–19 s2 · m–3
N · m2 · kg–2 · 1,99 · 1030 kg
16. Con el valor calculado en el ejercicio anterior, calcula la distancia media entre Neptuno y el Sol teniendo en cuenta que el período orbital de Neptuno es
de 164,8 años.
La expresión de la tercera ley de Kepler toma la forma:
T2
=C
r3
donde C es una constante que calculamos en la actividad anterior, y cuyo valor es:
C = 2,97 · 10–19 · s2 · m–3. Por tanto, al sustituir datos numéricos, nos queda:
r3 =
T2
8 r=
C
√ √
3
T2
=
C
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
3
(164,8 · 365 · 24 · 3 600 s)2
= 4,5 · 1012 m
2,97 · 10–19 s2 · m–3
19
17. Titania y Oberón son los mayores satélites del planeta Urano. Titania sigue
una órbita casi circular de 4,36 · 105 km de radio y tiene un período orbital
en torno a Urano de 8,706 días:
a) Calcula la masa del planeta Urano.
b) ¿Con qué fuerza se atraen Urano y Titania, si la masa de esta última es
3,49 · 1021 kg?
c) Obtén las velocidades orbital y areolar de Titania.
d) Estima el período orbital de Oberón, si su órbita circular tiene un radio de
582 600 km.
a) Podemos suponer que, al ser la órbita de
Titania casi circular, su velocidad (en móTitania
dulo) es constante y se puede calcular
rTi = 436 000 km
como:
Oberón
v=
2·π·r
4 · π2 · r 2
s
8 v=
8 v2 =
T
T2
t
rOb = 582 600 km
Por otro lado, al igualar la fuerza centrípeta de Titania con la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce sobre él el planeta Urano, de masa MU, nos queda:
m·
MU · m
G · MU
v2
=G·
8 v2 =
2
r
r
r
Igualando ambas expresiones de v 2, tenemos:
G · MU
4 · π2 · r 2
4 · π2 r 3
=
8
M
=
· 2
U
r
T
T2
G
Y sustituyendo datos numéricos, la masa de Urano resulta:
MU =
–11
6,67 · 10
4 · π2 · (4,36 · 108 m)3
= 8,67 · 1025 kg
N · m2 · kg–2 · (8,706 · 24 · 3 600 s)2
b) La fuerza de atracción (en módulo) con la que se atraen Urano y Titania vale:
F = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
8,67 · 1025 kg · 3,49 · 1021 kg
= 1,06 · 1020 N
(4,36 · 108 m)2
c) La velocidad orbital de Titania será:
v=
2 · π · 4,36 · 108 m
2·π·r
=
= 3 642 m · s–1
8,706 · 24 · 3 600 s
T
La velocidad areolar, por ser la órbita circular, es:
vA =
20
Aórbita
π · (4,36 · 108 m)2
π · r2
=
=
= 7,94 · 1011 m2 · s–1
8,706 · 24 · 3 600 s
T
T
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
d) Para obtener el período orbital de otro de los satélites alrededor de Urano, Oberón, aplicamos la tercera ley de Kepler, tomando como referencia el satélite Titania:
T 12
T2
8 T=
3 =
r3
r1
T=
√
(8,706 · 24 · 3 600 s)2 ·
(
√ ( )
582 600 km
436 000 km
r
T12 · r
1
)
3
3
= 1,16 · 106 s = 13,426 días
18. Razona, de acuerdo con la figura (no está a escala):
a) ¿Por qué se forman dos abultamientos simétricos y no solo uno en la masa
de agua?
b) ¿Por qué no están exactamente en la línea que une los centros de la Tierra
y la Luna?
Luna
Marea
alta
Marea baja
Tierra
La respuesta a ambas cuestiones es compleja y tiene en cuenta dos aspectos que
afectan a las mareas. Primero, la Luna está lo suficientemente cerca de la Tierra como para que la gravedad lunar no sea igual en todo el globo terráqueo. Segundo, la
Tierra gira sobre su eje.
a) Si no existiera la Luna, o su gravedad fuera uniforme en toda la Tierra, la forma
de la capa superficial de los océanos se debería al acoplamiento de la gravedad
terrestre y la rotación del planeta.
La presencia de la Luna altera este acoplamiento y deforma la lámina de agua generando dos abultamientos, uno porque la gravedad de la Luna es «demasiado
grande» y tira del agua, y el otro, porque es «demasiado pequeña», y no puede retener el agua en una forma esférica a causa de la rotación terrestre.
b) Como el agua es un fluido, el movimiento de los abultamientos que «persiguen» a
la Luna produce fricción con el fondo oceánico de la Tierra en rotación. El resultado es un retraso de las mareas (pleamar y bajamar) con respecto a la posición
de la Luna sobre la vertical de un punto de la costa.
19. Dos masas idénticas de 100 kg cuelgan del techo verticalmente quedando a la
misma altura. ¿A qué distancia centro-centro deben colocarse para que se
atraigan con una fuerza de 3 · 10–7 N?
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
21
Suponemos que las masas pueden considerarse puntuales o esféricas y aplicamos la
expresión de la fuerza gravitatoria:
(100 kg)2
m1 · m2
= 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
= 3 · 10–7 N
2
r2
r
F=G·
Despejando r, resulta:
r=
√
6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · (100 kg)2
= 1,49 m
3 · 10–7 N
20. Una masa de 500 kg está sobre el origen de coordenadas, y otra, de 2 kg, en
(4 m, 5 m). Calcula el vector fuerza gravitatoria que la segunda masa experimenta por la mutua atracción con la primera.
Para calcular el vector fuerza, podemos seguir dos estrategias.
a) Determinamos por separado el módulo de la fuerza y el vector unitario radial:
y (m)
ur
(4, 5)
5
m 2 = 2 kg
F1,2
4
3
2
r
1
α
m 1 = 500 kg
F1,2 = G ·
2
3
m1 · m2
500 kg · 2 kg
= 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
= 1,63 · 10–9 N
r2
(42 + 52) m
8
8
8
ur = cos a · i + sen a · j =
Y ahora:
x (m)
4
8
4
√41
8
F 1,2 = –F1,2 · ur = (–1,63 · 10–9 N) ·
8
8
5
8
·i +
(√
4
41
8
√41
8
·i +
8
·j
5
)
8
√41
·j
F 1,2 = – (1,02 · i + 1,27 · j ) · 10–9 N
b) Efectuamos el cálculo directo:
8
8
F 1,2
= –G ·
m1 · m2 8
m ·m r
m ·m
8
· ur = –G · 1 2 2 ·
= –G · 1 3 2 · r
r
r2
r
r
8
F 1,2 = – 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
8
8
500 kg · 2 kg
(√4 + 5 m)
2
2
8
8
· (4 · i + 5 · j )
3
8
F 1,2 = – (1,02 · i + 1,27 · j ) · 10–9 N
22
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
21. Calcula el vector fuerza gravitatoria sobre m1 por
la 8atracción
de
las otras
8
8
8
masas, aplicando el principio de superposición: F 1 = F 2,1 + F 3,1 + F 4,1 .
y (m)
m 4 = 50 kg
(0, 3)
m 1 = 100 kg
m 3 = 100 kg
(0, 0)
(4, 0)
x(m)
m 2 = 50 kg
(2, –3)
A la vista de la figura, podemos escribir
las siguientes expresiones para las fuerzas
que las masas m2, m3 y m4 ejercen sobre la
masa m1:
8
F 2,1
m ·m
8
8
= G · 1 2 2 · (cos a · i + sen a · j )
r2,1
8
m ·m 8
=G· 1 2 3 ·i
r3,1
8
m ·m 8
=G· 1 2 4 ·j
r4,1
F 3,1
F 4,1
y(m)
m 4 = 50 kg
(0, 3)
F4,1
m 3 = 100 kg
F3,1
m 1 = 100 kg
α
(0, 0)
x (m)
(4, 0)
F2,1
(2, –3)
m 2 = 50 kg
Sustituyendo valores, se obtiene:
8
F 2,1 = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
8
100 kg · 50 kg
·
(22 + 32) m2
(√
8
2
·i –
13
)
8
3
·j =
√13
8
= (1,423 · i – 2,135 · j ) · 10–8 N
8
100 kg · 100 kg 8
8
· i = 4,169 · 10–8 · i N
2
(4 m)
8
100 kg · 50 kg 8
8
· j = 3,706 · 10–8 · j N
2
(3 m)
F 3,1 = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
F 4,1 = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
Por tanto, el vector fuerza resultante sobre m1 debido a la atracción de las otras masas, calculado según la expresión dada por el enunciado, es el siguiente:
8
8
8
F 1 = (5,592 · i + 1,571 · j ) · 10–8 N
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
23
22. Razona si es correcta la afirmación siguiente: «La fuerza gravitatoria es central porque la distancia entre dos masas que se atraen debe medirse de centro a centro».
La afirmación es incorrecta. La expresión «central» hace referencia a que la fuerza va
dirigida hacia un centro de atracción o repulsión y que su valor solo depende de la
distancia a ese centro de fuerzas.
23. Menciona dos fuerzas centrales distintas de la fuerza de la gravedad.
La fuerza elástica (ley de Hooke) y la fuerza eléctrica de Coulomb son dos ejemplos
de fuerzas centrales. A diferencia de la fuerza gravitatoria, pueden ser de atracción y
de repulsión.
24. Demuestra que el valor numérico del momento de una fuerza respecto a un
punto se puede calcular como el producto del módulo de la fuerza por la distancia que hay desde el punto a la línea de acción de la fuerza.
Como ves en la figura, se cumple que:
8
8
MO
8
MO = r × F 8 MO = r · F · sen o
F
Pero como sen o = sen (180° – o), queda:
O
MO = F · r · sen (180° – o) = F · d
r
θ
d
donde
d es la distancia de O a la recta de acción
8
de F .
25. Calcula el momento de la fuerza que realiza la mano respecto al eje de giro
de la tuerca. ¿Qué sucedería si se duplicaran la fuerza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de giro?
F = 300 N
40 cm
Como la fuerza es perpendicular a la llave, resulta:
M = r · F · sen o = 0,4 m · 300 N · sen 90° = 120 N · m
8
La dirección de M es perpendicular al plano del papel y el sentido hacia fuera, tal
como prevé la regla del tornillo.
Si se duplicara la fuerza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de giro, el momento aplicado sería mayor; en concreto:
M4 = r 4 · F 4 · sen o = 2 · r · 2 · F · sen o = 4 · r · F · sen o = 4 · M = 4 · 120 = 480 N · m
Esto es, el módulo del momento se multiplicaría por cuatro, manteniéndose su dirección y su sentido.
24
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
26. Un péndulo de 2 m de longitud oscila verticalmente, siendo de 15° el ángulo
máximo abierto respecto a la vertical en cada oscilación. Si la bola del péndulo tiene una masa de 400 g, calcula el momento de la fuerza que realiza su
peso respecto al punto de suspensión:
a) En cada extremo de la oscilación.
b) Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria.
a) En los extremos de la oscilación, el valor del momento del peso, respecto de S, es:
S
MS = r1 · F1 · sen o = r1 · P · sen o = r1 · m · g · sen o
Operando, queda:
MS = 2 m · 0,4 kg · 9,8 m · s–2 · sen 15° = 2,03 N · m
8
15°
l=2m
La dirección de MS es perpendicular al plano del
papel (plano de oscilación del péndulo); su sentido
depende del extremo: a la derecha, va hacia dentro
del papel, y a la izquierda, hacia fuera del papel.
8
8
r2
r1
m = 400 g
8
b) En el punto más bajo, r 2 y F 2 = P son paralelos,
de modo que en ese caso el momento de la fuerza respecto a S es nulo.
θ
P
P
27. Una masa puntual de 200 g hace un movimiento circular uniforme con una
frecuencia de 4,5 Hz. Si el radio de la circunferencia es de 8 cm, obtén el momento angular respecto al centro geométrico en cada punto de la trayectoria.
El momento angular o cinético respecto del centro geométrico de una masa puntual
que realiza un m.c.u. es constante y de valor:
L = m · v · R = m · u · R2 = m · 2 · π · f · R2
Por tanto, al sustituir, resulta:
8
L = 0,2 kg · 2 · π · 4,5 · s–1 · (0,08 m)2 = 0,036 kg · m2 · s–1
El vector L es perpendicular al plano de la circunferencia, y su sentido depende del
sentido de giro de la masa.
28. Con los datos de la figura, calcula el vector momento de la fuerza respecto al
origen de coordenadas para las tres fuerzas mostradas.
z (m)
F2 = 80·j N
F3 = – (60·j ) N
y (m)
F1 = – (100·k) N
x (m)
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
25
A la vista de la figura de la página anterior, resulta, en unidades S.I.:
8
8
8
8
8
8
M 1 = r 1 × F 1 = (2 · j ) × (–100 · k ) = –200 · i N · m
8
8
8
8
8
8
M 2 = r 2 × F 2 = (2 · k ) × (80 · j ) = –160 · i N · m
8
8
8
8
8
M 3 = r 3 × F 3 = (–j ) × (–60 · j ) = 0 N · m
29. Calcula la velocidad areolar de la masa en rotación de la actividad 27 mediante
los siguientes procedimientos y verifica que se obtiene idéntico resultado:
a) A partir del momento angular.
b) Directamente, como cociente entre el área barrida y el tiempo empleado
en barrerla.
a) La relación entre la velocidad areolar y el momento angular es:
8
0,036 kg · m2 · s–1
|L |
vA =
=
= 0,09 m2 · s–1
2 · 0,2 kg
2·m
b) Por otra parte, al efectuar la masa un m.c.u., también se cumple que:
vA =
Scírculo
π · R2
=
= f · π · R 2 = 4,5 s–1 · π · (0,08 m)2
T
1/f
vA = 0,09 m2 · s–1
30. Razona sobre la veracidad de estas proposiciones:
a) El valor del momento angular de los planetas en sus órbitas solo es constante si la órbita es circular.
b) Cuanto más excéntrica es la órbita de un cometa, mayor es la diferencia
entre las velocidades en el perihelio y en el afelio.
c) La constancia del momento angular orbital de los planetas exige que el Sol
se encuentre en el plano de la órbita.
a) Falsa. El momento angular es constante en cualquier tipo de órbita.
b) Cierta. Cuanto más excéntrica es la órbita, mayor es la diferencia entre la distancia al Sol en el perihelio y el afelio y, por ello, más diferentes serán las respectivas velocidades.
c) Cierta. La constancia del momento angular exige que las órbitas sean planas y
que el centro de atracción, el Sol, pertenezca al plano orbital.
31. La velocidad orbital media y el radio orbital medio de Marte son 24,13 km/s y
227,9 · 106 km, respectivamente. Si la masa del planeta Marte es 6,42 · 1023 kg,
calcula:
a) El valor del momento angular orbital de Marte.
b) La velocidad areolar.
c) La velocidad orbital de Marte en su afelio, si rafelio = 249,2 · 106 km.
8
a) El valor de L para Marte será:
L = <r > · <p> · sen <o> = <r> · m · <v> · sen 90°
donde <r > y <v> son el radio orbital medio y la velocidad orbital media, respec8
8
tivamente. El ángulo que, por término medio, forman r y v , es <o> = 90°.
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Unidad 1. Teoría de la gravitación universal