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Respuesta completa en circuitos RLC con estímulo de corriente directa
Objetivos
Analizar la respuesta completa en circuitos RLC con estímulo de corriente directa, utilizando la
metodología de este material.
Sumario
Respuesta completa del circuito RLC.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 9. Epígrafes 9.1 al 9.8.
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Se han analizado circuitos de segundo orden, RLC serie y paralelo, tanto la respuesta libre
como la respuesta completa, y se vio que la forma del transitorio, depende de los valores
relativos de los parámetros R, L y C.
Para poder resolver problemas sobre procesos transitorios es necesario dominar todos los
conocimientos y las habilidades sobre circuitos resistivos y elementos almacenadores
adquiridos incluyendo los específicos de este último tema.
a) Analice la siguiente situación:
El interruptor estuvo largo tiempo cerrado en la posición 1 y en t =0
pasa a 2. Un estudiante obtiene la siguiente respuesta para la corriente
en el inductor:
i(t ) = 2e −t sin 10t + 1 A
Otro alumno afirma que la solución está mal. ¿Qué opina ud?
b) Analice otra situación
En t = 0 el interruptor cambia de posición. Un estudiante obtiene la
siguiente respuesta para la tensión en el capacitor para t≥0:
vC (t ) = −20e 2t sin( 20t + 30 0 ) + 50 (V )
Otro alumno afirma que la solución es absurda ¿Qué opina ud?
1 Ejercicio 1
After being open for an hour, the switch closes at t =0.
a) Find VC(t) for t ≥ 0.
b) Find iL (t ) for t ≥ 0.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria en el circuito para t > 0, desactivando las
fuentes independientes y observando la forma de conexión de los elementos RLC, serie o
paralelo, y comparando α y ω0.
En el circuito equivalente para t>0 se observa que los elementos están en paralelo y la
respuesta es libre, ya que en este
circuito no hay estímulos actuando
durante el proceso transitorio.
En el circuito equivalente para t > 0 se
obtienen los parámetros ω0 y α:
α= 5 s-1 ω0= 4 rad/s ⇒ α > ω0 proceso
transitorio sobreamortiguado.
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 2 s-1 y S2 = - 8 s-1 (raíces reales negativas y
desiguales)
- Forma matemática
VC (t) = A1 e-2t + A2 e-8t V (1)
iL (t)= A3 e-2t + A4 e-8t A (2)
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que
cumplen continuidad.
En el circuito equivalente para t = 0- se obtiene
VC (0-) = VC (0+) = 60V, iL(0 -) = iL(0 +) = 6 A
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+.
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
En el circuito equivalente para t = 0+ se obtienen
VL (0+)= - 60V, iC( 0 +) = 0 A
2 Puntualice en las referencias del circuito para t > 0 que son las del circuito en t = 0+. Es por
eso el valor negativo de la tensión en el inductor. Recuerde que las representaciones
equivalentes de los elementos son válidas solamente para este instante, lo cual se hace
partiendo de las variables que cumplen continuidad.
dv C
dt
di L
dt
=
iC (0 + )
=0 V /s
C
=
VL (0 + ) − 60
=
== 9,6 A / s
L
6,25
0+
0+
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
VC (t)= A1 e-2t + A2 e-8t V (1)
A1 + A2 = 60
A3 + A4 = 6
-2A1 -8 A2= 0
-2A3 -8 A4= -9,6
iL (t)= A3 e-2t + A4 e-8t A (2)
y resolviendo: A1 = 80 A2 = -20
y resolviendo: A3 = 6,4 A4 = - 0,4
Sustituyendo:
VC (t)= 80 e-2t - 20 e-8t
V
iL (t)= 6,4 e-2t -0,4 e-8t
A
Represente gráficamente los resultados. Se puede representar gráficamente cada respuesta
superponiendo las exponenciales .Es un buen ejercicio para resolver empleando PSPICE o
MATLAB.
Observe que en t = ∞ las respuestas se anulan o desaparecen, lo cual ocurre debido a que
en el circuito no quedan fuentes conectadas, y la energía almacenada inicialmente en ambos
elementos almacenadores pues ambos tienen condiciones iniciales, se disipa en el resistor,
como se había mencionado que ocurre en este tipo de respuesta transitoria.
Ejercicio 2
After being open for a long time, the switch in the
circuit closes at t =0. Find VC(t) for t ≥ 0
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria en el
circuito para t > 0, desactivando las fuentes independientes
y observando la forma de conexión de los elementos RLC,
serie o paralelo, y comparando α y ω0.
Compruebe que se trata de una respuesta libre en un circuito RLC paralelo.
En el circuito equivalente para t > 0 se obtienen los parámetros ω0 y α:
α = 2 s-1 ω0=10,2 s-1
Por tanto, α < ω0 ⇒ inframortiguado, subamortiaguado u oscilatorio (raíces complejas
conjugadas), donde ωd = 10 rad/s
3 - Forma matemática
VC (t ) = Ae −αt sin(ω d t + θ )
VC (t ) = Ae − 2t sin(10t + θ )
ω d = ω 2 − α 2 = 10 rad / s
(1)
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que
cumplen continuidad.
En el circuito equivalente para t = 0- se obtienen VC (0 -) = - 130 V, iL (0 -) = 20 A
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable
deseada evaluada en t = 0+. Partiendo de las expresiones
de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que
muestra que lo primero que hay que hacer es hallar los
valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Observe que el sentido de iC(0+) se corresponde con la
polaridad de la tensión en el capacitor en el circuito para
t > 0, que es la utilizada en t = 0+.
En el circuito equivalente para t = 0+.
Como los elementos están en paralelo, se calcula la
corriente por el resistor iR(0+) =130/6,5 = 20 A, y por LKC
se calcula iC(0+)= 0.
dv C
i (0)
= C
= 0 V /s
dt 0+
C
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
En (1) sustituyendo VC (0+) = VC (0-) = VC(0) se obtiene la ecuación
-130 = A sen θ y despejando A = -130/ sen θ (2)
Derivando (1) y evaluando en t = 0+ se tiene la ecuación:
0 = - (2) A sinθ + (10) A cosθ de la cual se llega a que tanθ = 5 (3)
Calculando la tangente inversa de este valor, se encuentra que hay dos valores de ángulos
que satisfacen esa condición, 78.69o y -101, 31o.
Sustituyendo estos valores de θ en (2), se encuentra que también hay 2 valores de A, uno
negativo para 78.69o y otro positivo para -101, 31o. Ambos juegos de valores satisfacen las
ecuaciones (2) y (3). Se puede escoger cualquiera. Se tomará arbitrariamente el que
proporciona A > 0.
A = 132,57 ≅ 133 V θ = - 101,310 ≅ - 1010
Y finalmente la tensión en el capacitor será
VC (t)= 133 e.-2t sin (10t -1010) V para t ≥ 0
4 Represente gráficamente el resultado.
Resumen: Observe que los pasos seguidos son los mismos en cualquier caso, aunque en el
subamortiguado cuesta más trabajo, en general, hallar las constantes arbitrarias.
Ejeecicio 3
El circuito está en estado estable y en t = 0 el interruptor
pasa de la posición 1 a la 2. Calcule y represente en un
gráfico VC (t) e iL (t ) para t ≥ 0.
Nota: De acuerdo al sentido de referencia de la corriente iL le corresponde la polaridad de la
tensión en el capacitor señalada como elemento pasivo pero, no aparece la tensión en el
inductor. Al situarla encontrará que las tensiones entre inductor y capacitor son opuestas, en
referencia.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta
transitoria en el circuito para t > 0, desactivando
las fuentes independientes y observando la
forma de conexión de los elementos RLC, serie
o paralelo, y comparando α y ω0.
1) Si se toma como serie
El circuito equivalente para t > 0 tiene 2 formas
de verlo:
RS = 0: α = RS /2L = 0
2) Si toma como paralelo
Rp = ∞: α = 1/(2RP C) = 0
Es el caso extremo del circuito subamortiguado, α < ω0, donde α = 0. Está tan subamortiguado,
que la respuesta no decrece. El circuito NO PRESENTA AMORTIGUAMIENTO, no hay
pérdidas ya que α, que es el coeficiente de amortiguamiento como se definió, no existe, y en
este circuito ideal la energía oscila entre el inductor y el capacitor. Este circuito es
denominado circuito tanque, y se usa mucho en aplicaciones electrónicas.
ω0 = 1 (LC)1/2 = 2 rad/s
⇒ ω0 > α = 0 ωd = ω0
- Forma matemática
vC (t) = A1 cos (ω0 t + θ) (1)
iL (t) = A2 cos (ω0 t + Φ) (2)
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
5 Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que
cumplen continuidad.
En el circuito equivalente para t = 0- se obtienen VC (0-) = 10 V, iL (0 -) = 0 A
El resto de los pasos es similar a los casos anteriores, o sea, el proceso para calcular las
constantes arbitrarias A1, A2, θ y Φ.
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+.
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
En el circuito equivalente para t = 0+ se obtienen VL (0+)= - 10V, iC( 0 +) = 0 A
dv C
dt
=
0+
iC (0 + )
0
=
= 0V /S
C
1/ 4
di L
dt
=
0+
v L (0 + ) − 10
=
= −10 A / S
L
1
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales.
VC (0-) = VC(0+) = 10
iL ( 0-) = iL (0+) =0
Sustituyendo en (1) VC (0+) = A1 cos θ = 10 (3)
Derivando (1) y sustituyendo las condiciones derivadas:
- A1 ω0 sin θ = 0, se tiene θ = 00 y con ese valor se obtiene en (3) que A1 = 10
Con igual procedimiento
iL (0+) = A2 cos Φ =0, - A2 ω0 sin Φ = -10, Φ = 900 y A2 = -10 /- 2 = 5
Obteniendo finalmente
VC (t) = 10 cos (2 t) V para t ≥ 0
iL(t) = 5 cos (2 t + 900) = - 5 sen (2t) A para t ≥ 0
El período (T) de las funciones es π. Represente gráficamente e interprete físicamente el
fenómeno.
Sugerencia: Calcule la energía en el capacitor en t = 0, y en el inductor en T/4 y 3T/4.
Compruebe que Wc(t) + WL(t) = Wc(0) Físicamente, ¿por qué?
6 Ejercicio 4
Calcular iL (t ) y vC(t) para t ≥ 0.
Las fuentes están representadas empleando la función
paso escalón unitario.
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria, desactivando las fuentes independientes y
observando la forma de conexión de los elementos R, L y C para t > 0.
En t >0 con la fuente de corriente desactivada, el circuito presenta una conexión serie entre
sus elementos.
- Calculando α y ω para determinar la forma de la componente transitoria se obtiene
α = R/2L = 6, ω0 =1/ √LC = 5,66 rad/ s
ο
Comparando α >ω0 ⇒ respuesta transitoria sobreamortiguada
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 4 s-1 y S2 = - 8 s-1 (raíces reales negativas y
desiguales)
- Forma matemática de la respuesta completa:
iL (t) = A1 e-4t + A2 e-8t + iLF A
vC (t) = A3 e-4t + A4 e-8t + vCF V
2. Cálculo de la respuesta forzada, componente forzada o de estado estable, en el circuito
equivalente en el estado final estable t = ∞.
En t = ∞ el capacitor y el inductor alcanzan sus estados final
estables energizados y se representan como circuito abierto y
cortocircuito respectivamente.
Se obtiene iL (∞) = 4 A, vC (∞) = 0
- Forma matemática de la respuesta completa sustituyendo el valor calculado de la
componente forzada:
iL (t) = A1 e-4t + A2 e-8t +4
vC (t) = A3 e-4t + A4 e-8t
A
V
(1)
(2)
3. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas.
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que
cumplen continuidad.
7 Circuito equivalente en t = 0Para t < 0 la fuente de tensión está conectada y la de
corriente no actúa aun.
En el circuito equivalente para t = 0 - el capacitor y el
inductor están en estado estable, en circuito abierto el
capacitor y el inductor sin corriente, lo que se representa
como un circuito abierto y por tanto iL (0 -) = 0 A.
Aplicando LKT se obtiene VC (0-) = 116V
4. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+.
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
Circuito equivalente en t = 0+
En el circuito equivalente para t = 0+, el capacitor se comporta como fuente de tensión
vC (0+) = 116V, y aplicando LKT calculamos la tensión en el inductor vL (0+) = 212V. El
inductor se representa por un circuito abierto pues iL (0 +) = 0 A y la corriente en el capacitor
es iC (0+) = 4 A debido a que la corriente de la fuente de corriente, es la que circula por el
circuito serie que queda.
Aplicando las condiciones iniciales iC (0+) y vL (0+) calculas en las expresiones de corriente
en el capacitor y tensión en el inductor se tiene
di L
dt
=
t =0
dv C
dt
VL (0) 212
=
= 106
L
2
=
t =0
iC (0)
4
=
= 256
C
1 / 64
5. Evaluación de las constantes en la respuesta completa (1) y (2), a partir de las
condiciones iniciales.
iL (0) = A1 + A2 + 4 = 0
vC (0) = A3 + A4 = 116
Para la corriente en el inductor:
A1 + A2 = −4
4 A1 + 8 A2 = −106
resolviendo
A1 = 18,5 A2 = −22.5
Para la tensión en el capacitor:
A3 + A4 = 116
4 A3 + 8 A4 = −256
obtenemos A3 = 296 A4 = −180
Para t ≥ 0 se obtiene: iL (t)= 18,5 e-4t -22,5 e-8t +4
A
vC (t)= 296 e-4t -180 e-8t
V
8 Observe que hubo que analizar el circuito equivalente en los instantes t= 0
obtener las dos constantes en cada respuesta.
-
y t= 0+ para
Obtenga los valores de energía en los elementos almacenadores en los estados estables
inicial y final y saque conclusiones sobre el comportamiento energético del circuito durante el
proceso transitorio.
Represente los gráficos dibujando las exponenciales por separado y sumándolas
posteriormente.
Ejercicio 5
Assume that the switch in Figure has been open for a
long time and is closed at t =0 .Find i(t) for t ≥ 0
Solución:
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria,
desactivando las fuentes independientes y observando la
forma de conexión de los elementos R, L y C para t > 0. Compruebe que se trata de un
circuito RLC paralelo.
Calcule y obtenga: Req =500Ω
- Calculando α y ω para determinar la forma de la componente transitoria se obtiene
α = 1/2 Req C = 500 s-1 ω0 =1/ √LC = 500 s-1 ⇒ proceso transitorio críticamente amortiguado
ο
2. Cálculo de la respuesta forzada, componente forzada o de estado estable, en el circuito
equivalente en el estado final estable t = ∞.
En t = ∞ iL (∞) = 450/2500= 0,18 A
- Forma matemática de la respuesta completa:
iL (t)= A1t e-500t + A2 e-500t +0,18
A
3. Estado de los elementos almacenadores en el
instante inicial. Estos valores hacen falta para hallar las
constantes así como el valor de la primera derivada de
cada una de ellas.
No es necesario representar el circuito en t = 0- en este caso ¿Por qué?
En t = 0 - , iL(0 -) =0 A VC(0 -) =0 V
4. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+.
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+.
9 Circuito equivalente en t = 0+
En el circuito equivalente para t = 0+ el capacitor se representa como fuente de tensión de 0
volt (cortocircuito). vL(0+) = 0, por tanto
di L
V (0)
= L
=0
dt t =0
L
5. Evaluación de las constantes en la respuesta completa, a partir de las condiciones
iniciales.
Se obtienen A1 = -90 A 2 = -0,18
Sustituyendo : iL (t) = 0,18 - (90 t + 0,18 ) e-500t A para t ≥ 0
Analice energéticamente el proceso transitorio. Observe la necesidad del cálculo de la
resistencia equivalente en paralelo para poder hallar α, que no fue necesario representar el
circuito equivalente en t = 0-, al igual que hay que estar muy claro en la construcción del
circuito equivalente en t = 0+.
En todo momento se ha mostrado una metodología para resolver ecuaciones diferenciales
mediante la utilización de circuitos equivalentes, lo cual simplifica mucho el proceso
matemático y lo identifica más con la parte circuital.
Represente los gráficos dibujando las exponenciales por separado y sumándolas
posteriormente.
Conclusiones
Se han analizado los circuitos dinámicos de 2do orden utilizando una metodología dada en los
materiales, la cual es muy fácil y es sistemática, dando un algoritmo de solución.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudie la bibliografía señalada: Capítulo 9. Epígrafes 9.1 al 9.5, Ejemplos 9.1 y 9.2. Realice
las prácticas 9.1, 9.2 (a, b, c, d), 9.3 (a), 9.4 (a, b, c, d) y los problemas del capítulo 9: 7, 9, 11,
13, 21, 23, 25, 31, 35, 41, 45, 47
Tarea10.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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