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ELEMENTOS DE LA MATEMATICA
SEMESTRE: Primero
CODIGO ANTERIOR: 22G7
CODIGO: 8101
REQUISITOS: No tiene
CREDITOS: 6
HORAS DE TEORIA: 4
HORAS DE PRACTICA : 4
TEMA 1: Lógica simbólica.
Las
conectivas
lógicas.
Tablas
de
verdad.
Tautologías. Proposiciones del tipo a ∨ b, a ∧ b,
a ⇒ b, a ⇔ b y negación de estas proposiciones.
Cuantificadores universal y existencial. Ejemplos de
proposiciones que involucran estos cuantificadores.
Problemas planteados con palabras, incluyendo ejemplos
surgidos de la Matemática.
TEMA 2: Teoría de conjuntos.
Idea de conjunto. La paradoja de Russell y el
esquema
axiomático
de
separación.
Inclusión
de
conjuntos.
Unión,
intersección,
diferencia,
complemento, leyes de De Morgan. Representación de
conjuntos
mediante
diagramas
de
Venn.
Problemas
planteados
con
palabras
que
se
resuelven
usando
diagramas de Venn. Uniones e intersecciones infinitas.
TEMA 3: Relaciones y funciones.
Producto
cartesiano
de
conjuntos.
Relaciones
binarias. Distintos tipos de relaciones. Relaciones de
equivalencia,
clases
de
equivalencia
y
conjunto
cociente. Inversa de una relación. Concepto de función.
ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 2
Ejemplos.
Funciones
inyectivas,
biyectivas. Función inversa.
sobreyectivas
y
TEMA 4: Los números naturales y los números enteros.
Los números naturales.
El principio del mínimo entero. Deducción del
principio de inducción. Aplicaciones sencillas del
principio de inducción. Funciones con dominio los
naturales. Concepto de sucesión.
Los números enteros.
Algoritmo de la división en los números enteros.
Relación de equivalencia que determina un entero
( congruencia ). Divisibilidad. Concepto de número
primo. Descomposición en factores primos.
Reglas de divisibilidad. Se hará hincapié en la
comprensión de la deducción de estas reglas y no en la
memorización de las mismas.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Se
deberá comprender la demostración de su existencia, se
enseñará cómo calcularlo y se resolverán problemas
relacionados.
Demostración de que el máximo común divisor de los
enteros a y b es de la forma ax+by, con x é y enteros,
usando el principio del mínimo entero.
Demostración de que el conjunto de los números
primos es infinito.
TEMA 5: Los números racionales.
Los números racionales.
Introducción al concepto de fracción. Reducción y
simplificación
de
fracciones.
Operaciones
con
fracciones: suma, resta, producto, cociente.
Representación
geométrica
de
los
números
racionales.
Se
deberá
ver
cómo
es
posible
la
construcción de un segmento cuya longitud es un número
racional usando regla y compás.
ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 3
TEMA 6: Los números reales.
Los números reales.
Construcción con regla y compás de un segmento de
2. Demostración de que no existe ningún
longitud
número racional cuyo cuadrado sea igual a 2. Existencia
de
otros
segmentos
cuya
longitud
no
puede
ser
representada mediante un número racional.
Introducción, en forma intuitiva, del conjunto de
los números reales.
Relación de orden en R y comparación de números
reales. Valor absoluto de números reales.
Operaciones
con
números
reales:
suma,
resta,
producto, división, potenciación. Relaciones entre
estas operaciones.
Propiedad de Arquímedes.
Subconjuntos acotados de R. Noción de supremo e
ínfimo.
Representación decimal de los números reales y
notación científica.
Aproximación de un número real por un número
racional, con errores por exceso y por defecto.
Bases distintas a la base 10. Representación
sexagesimal de los Babilonios. Representación binaria y
terciaria.
TEMA 7: Aplicaciones del principio de inducción,
binomio de Newton y sucesiones.
Ejemplos de resultados que se demuestran usando
inducción. Teorema del binomio.
Sucesiones, término general. Sucesiones crecientes
y decrecientes. Sucesiones acotadas. Supremo e ínfimo
de una sucesión.
Progresiones aritméticas y geométricas. Fórmula
para la suma de los términos. Problemas relacionados.
ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 4
TEMA 8: Geometría y Trigonometría.
Definición
de
las
funciones
trigonométricas,
círculo
trigonométrico,
resolución
de
triángulos,
identidades trigonométricas. Teoremas del seno y del
coseno.
Representación
gráfica
de
las
funciones
trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas.
Problemas planteados con palabras.
TEMA 9: Polinomios.
Polinomios con coeficientes reales. Operaciones con
polinomios: suma, resta, producto. Divisibilidad de
polinomios.
Algoritmo
de
la
división
en
R[x].
Polinomios irreducibles. Descomposición de un polinomio
en factores irreducibles. Raíces y factorización de un
polinomio.
Productos notables.
Deducción de la fórmula para las raíces del
polinomio de grado 2.
Número de raíces de un polinomio. Funciones
determinadas por polinomios y sus gráficas.
TEMA 10: Los números complejos
Introducción motivada del conjunto de los números
complejos.
Representación geométrica del conjunto de los
números complejos. Valor absoluto y forma polar.
Operaciones básicas: suma, resta, producto, cociente y
su interpretación geométrica.
Potenciación y radicación de números complejos.
Raíces de la unidad de un orden dado y raíces
primitivas de la unidad.
Estudio de la naturaleza de las raíces de un
polinomio.
Enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Factorización en R de polinomios tales como x4 + 1.
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TEMA 11: Introducción a la teoría combinatoria.
Variaciones, combinaciones, permutaciones.
Problemas planteados con palabras.
Observación general: Se debe evitar el exceso de
formalismo en los tres primeros temas. Sin embargo los
conceptos básicos correspondientes a estos temas deben
ser objeto de referencia constante a través de todo el
curso.
BIBLIOGRAFIA
Gobran, A,
Álgebra Elemental
Baldor, A.
Álgebra.
Baldor, A.
Aritmética.
Baldor, A
Geometría y trigonometría.
Lehman
Álgebra.
Polya, G.
Cómo plantear y resolver problemas.
Rada, S.
Aritmética
Lightstone, A. H.
Simbolic logic and the real number system.
Halmos, P. R.
Teoría intuitiva de los conjuntos.