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Plan de estudios
LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS
Código: MAB304
Nivel: I
Ciclo lectivo: I
Naturaleza: Teórico-práctico
Área: Álgebra y Geometría
Requisito: Ingreso a carrera
Créditos: 04
Horas presenciales: 05
Horas docente: 05
Horas de teoría: 03
Horas de práctica: 02
Horas de estudio independiente: 06
Total de horas: 11
Unidad académica que imparte el curso: Escuela de Matemática
Descripción
Este es un primer curso dirigido a estudiantes de la carrera de Enseñanza de la
Matemática. El objetivo general es que el estudiante se familiarice con el lenguaje y
razonamientos característicos de esta disciplina.
El curso busca potenciar algunas competencias en el razonamiento y la argumentación
involucradas en los quehaceres matemáticos. Por ello, se dará especial importancia a
algunos métodos de demostración matemática, sobre todo por medio de ejemplos,
ejercicios y problemas tomados de varios campos de las mismas. Se busca que el
estudiante identifique los componentes básicos presentes en un teorema o una
proposición matemática (hipótesis, condiciones, tesis, entre otras), que determine el
método más conveniente en un proceso de prueba matemática y que realice los pasos
deductivos con justificación matemática.
Se pretende que los estudiantes comprendan que el sistema axiomático de las
Matemáticas es un producto que surge como la solución a la necesidad de validar
proposiciones y que la teoría de conjuntos es un medio valioso en la comunicación de
conceptos y métodos matemáticos.
Durante este periodo, es conveniente que no sólo haga énfasis en los aspectos
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Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
procedimentales de los contenidos, sino también en aspectos conceptuales, de
lenguaje matemático y los relacionados con la construcción de argumentos que
justifican tales procedimientos u otras proposiciones.
Objetivos
Que el estudiante:
Obtenga los elementos básicos de la lógica matemática que le permita comprender y
fundamentar la veracidad de una proposición matemática.
Aplique los métodos de razonamiento y de demostración matemática para construir
argumentos válidos.
Formalice algunos conceptos del álgebra universitaria que le permitan el uso de los
métodos de demostración.
Adquiera los elementos básicos de la teoría de conjuntos que le faciliten la comprensión
de otros conceptos matemáticos.
Contenidos
Nociones básicas de Lógica Matemática
Fundamentos de un sistema axiomático. Lógica proposicional. Conectivas lógicas.
Tablas de verdad. Proposiciones condicionales y bicondicionales. La implicación
lógica. Operadores Lógicos. Proposiciones equivalentes. Tautologías. Cuantificador
universal. Cuantificador existencial.
Métodos de demostración
Naturaleza de una demostración. Los métodos de demostración en matemática:
conjunción, disyunción, implicación, contra-positiva, reducción al absurdo o
contradicción. Ejemplos diversos de aplicación de los métodos de demostración
matemática.
El campo de los números reales
Axiomas de campo para los números reales. Demostración de las propiedades
algebraicas. Axiomas de orden. Demostración de las propiedades de orden. Valor
absoluto de un número real: definición y demostración de las propiedades
fundamentales (desigualdad triangular). Sumatoria y productoria.
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Plan de estudios
Números naturales, enteros, racionales e irracionales
Números naturales: introducción con axiomas de Peano. Teorema del principio de
inducción. Definición de suma y producto en . Demostración de propiedades: cierre de
la suma y el producto; todo número natural es positivo. Definición de números enteros.
Demostración de propiedades: cierre para la suma y producto en . Definición de
números racionales. Definición de suma y producto en y clausura de estas leyes. El
símbolo factorial y coeficiente binomial. Demostración del Binomio de Newton.
Existencia de al menos un número no racional.
Potenciación y radicación en el conjunto de los reales
Definición de potenciación en IR: exponente natural y entero. Teorema de la existencia
de la raíz n-ésima (sin demostración) y potencia con exponente racional.
Demostraciones de las leyes de potencias (estas incluyen las propiedades de las
raíces).
Elementos de la Teoría de Conjuntos
Generalidades. Notaciones. Descripción de un conjunto por extensión y por
comprensión. Inclusión. El conjunto vacío. Conjuntos iguales. Teoremas relacionados.
El conjunto de partes. Operaciones entre conjuntos: unión, unión generalizada,
intersección, intersección generalizada, conjuntos disjuntos. Distributividad de la unión
con respecto a la intersección y viceversa. Diferencia de conjuntos y diferencia
simétrica. Complemento de un conjunto. Teoremas relacionados a las operaciones de
conjuntos. Leyes de De Morgan. Definición de pares ordenados. Teorema de la
igualdad de pares ordenados. Producto cartesiano. Gráfico de un producto cartesiano.
Bibliografía
Apuntes del curso Lógica y Teoría de Conjuntos.
Chinchilla, E. Elementos de Lógica Matemática. Sin publicar. Escuela de Matemática,
Universidad de Costa Rica.
Camacho, L. (1987). Introducción a la lógica.
Tecnológica. Segunda edición.
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Cartago, Costa Rica:
Editorial
Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
Camacho, L. (2003). Lógica simbólica básica. San José: EUCR.
Duarte A., Cambronero S. (2004). Un poco sobre teoría de conjuntos. Sin publicar.
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica.
Enderton, A. B. (2004). Una introducción matemática a la lógica. México D.F.: UNAM.
Murillo, M. (2007). Introducción a la Matemática Discreta. Cartago, Costa Rica: Editorial
Tecnológica.
Oubiña, L. (1976). Introducción a la teoría de conjuntos.
Universitaria de Argentina.
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Buenos Aires:
Editorial