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SOLUCIÓN
Primera revisión de Economı́a Matemática
Setiembre de 2013
Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - UdelaR
Ejercicio 1 (26 puntos)
Suponga un mercado formado por un monopolista y dos tipos de consumidores. El monopolista produce un único bien (x), el cual ofrecerá a los dos tipos de consumidores. Éstos
tienen preferencias distintas sobre los bienes, y el monopolista puede discriminar precios
de forma tal que podrá fijar un precio distinto para cada segmento del mercado (es decir,
para cada tipo o clase de consumidores). Ası́, se tiene que x = x1 + x2 y el monopolista
puede fijar (p1 , p2 ), un precio para cada tipo de consumidor.
Si se asume que los costos son fijos e iguales a C, la función de beneficios del monopolista
será:
Π = p 1 x1 + p 2 x2 − C
Por su parte, como el monopolista conoce las preferencias de los tipos de consumidores
puede discrimar sus demandas, las cuales son conocidas y tienen la siguiente forma:
x1 = 2 − p 1
x2 = 3 − 3p2
Se pide:
1. Escriba el problema de maximización para el monopolista, sujeto a las restricciones
de demanda de cada segmento del mercado.
M ax Π = p1 x1 + p2 x2 − C
s.a : x1 = 2 − p1
x2 = 3 − 3p2
2. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de primer orden.
L = p1 x1 + p2 x2 − C + λ1 (2 − p1 − x1 ) + λ2 (3 − 3p2 − x2 )
C.P.O:
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1
L p 1 = x1 − λ 1 = 0
Lp2 = x2 − 3λ2 = 0
Lx1 = p1 − λ1 = 0
Lx2 = p2 − λ2 = 0
Lλ1 = 2 − p1 − x1 = 0
Lλ2 = 3 − 3p2 − x2 = 0
3. Encuentre los valores óptimos (x∗1 , x∗2 , p∗1 , p∗2 )
De las condiciones anteriores se deduce fácilmente que:
λ 1 = x1 = p 1
λ2 = x32 = p2
Sustituyendo en las restricciones se tienen los valores óptimos:
x∗2
x∗1 = p∗1 = 1
= 32 y p2 =
1
2
4. Halle el el valor óptimo de los multiplicadores (λ∗1 , λ∗2 ) y la función de valor máximo
o beneficio óptimo (Π∗ ).
λ∗1 = 1 y λ∗2 =
1
2
Π∗ = p∗1 x∗1 + p∗2 x∗2 − C = 1,1 + 12 . 23 − C =
7
4
−C
5. Es posible afirmar que los valores encontrados constituyen efectivamente un máximo? No se solicita que realicen el Hessiano orlado del problema, sino que concluyan
observando el tipo de problema en el que estamos.
Aquı́ la idea es simplemente que observen que todas las funciones (tanto las objetivo
como las restricciones) son lineales, por lo que en definitiva esto es un problema de
programación lineal (o, por si lo mencionan, es un problema cóncavo), lo cual es
suficiente para afirmar que el resultado obtenido es máximo.
6. Si ahora se asume que el monopolista no conoce las preferencias diferenciadas de
los consumidores, no será posible discriminar las demandas. Esto implica que el
monopolista ahora no podrá establecer precios diferenciados para cada tipo de consumidor, pudiendo fijar un solo precio, es decir: p = p1 = p2 . Por su parte, la demanda total ahora se convierte simplemente en la suma de las demandas anteriores:
x = x1 + x2 . En estas condiciones, el benficio de la empresa será:
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2
Π = px − C
6.1 Bajo las condiciones anteriores, encuentre la función de demanda total o agregada (recuerde que ahora la demanda es la suma de x1 y x2 , donde el precio
no es diferenciable y por tanto igual a p).
x = x1 + x2 = 2 − p + 3 − 3p = 5 − 4p
6.2 Formule el problema de maximización en estas condiciones, plantee el Lagrangeano y resuleva las condiciones de primer orden.
M ax Π = px − C
s.a : x = 5 − 4p
L = px − C + λ(5 − 4p − x)
C.P.O:
Lx = p − λ = 0
Lp = x − 4λ = 0
Lλ = 5 − 4p − x = 0
Por lo tanto, los valores óptimos se pueden obtener de:
λ=
x
5
4
p=λ
− 4p − x = 0
Entonces:
5
5
x
5 − 4 − x = 0 → x ∗ = → p∗ =
4
2
8
6.3 A partir de los valores anteriores x∗ y p∗ , obtenga el valor óptimo del multiplicador (λ∗ ) y el nuevo beneficio óptimo del monopolista (Π∗ )
λ∗ = 58 Π∗ = p∗ x∗ − C = 52 . 58 − C =
25
16
−C
6.4 Compare los resultados obtenidos en este caso y en el de discriminación de
precios. En particular, qué sucede con las cantidades y precios en cada caso?
Qué puede decir de los beneficios que obtiene el monopolista en uno y otro
caso? Sin realizar cálculos, qué dirı́a respecto del excedente del consumidor
comparando ambas situaciones?
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En el caso con discriminación, el monopolista fija un precio y cantidad diferente
para cada segmento del mercado, mientras que en el caso de no discrimación
solo puede fijar un precio (y la cantidad consecuente) que atienda a la demanda
total del mercado. En el último caso, el precio y cantidad fijadas se encuentran
entre los precios y cantidades fijadas con discriminación: el precio es uno intermedio, mientras que la cantidad total vendida es menor. El beneficio es mayor
con discriminación que sin ella, pues en el primer caso el monopolista establece
los precios y cantidades que satisfacen las demandas de cada segmento segun
las preferencias de los individuos. Esto tiene un vı́nculo particular con los excedentes, pues en el primer caso el monopolista extrae todo el excedente posible
al conocer las demandas de cada grupo, mientras que en el segundo caso no
estarı́a en condiciones de hacerlo.
Ejercicio 2 (4 puntos)
A partir de la aplicación del teorema de la envolvente para un caso de optimización
restringida, qué intepretación tienen los multiplicadores de Lagrange en el óptimo?
Si tenemos f y g 1 , ..., g m funciones con derivadas primeras continuas y c = (c1 , ..., cm ) la
m-tupla de parámetros exógenos y x∗ (c) la solución del problema de optimización, con el
correspondiente λ∗ (c). Para cada j = 1, ..., m, se cumple que:
λ∗j (c1 , ..., cm ) =
∂
f (x∗1 (c1 , ..., cm ), ..., x∗n (c1 , ..., cm ))
∂cj
Algunas posibles formas de ver al multiplicador son:
λ∗ proporciona una medida de la sensibilidad de L∗ (o de f (x∗ )) frente a un cambio
en la restricción correspondiente.
Es decir, constituye una medida del efecto que tiene sobre el óptimo de la función
objetivo una relajación de la restricción j (vı́a el parámetro cj ).
Como resultado, es posible afirmar que λ∗ nos da una medida del valor por los
recursos escasos en los problemas de maximización.
Es una medida del cambio derivada del propio proceso de optimización, motivo por
el cual suele denominarse a este parámetro como valor interno, valor imputado o
precio sombra.
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Ejercicio 3 (15 puntos)
Supongamos un modelo simple de una economı́a representada por dos mercados: el mercado de bienes y el mercado monetario, Los supuestos de comportamiento de ambos
mercados son los siguientes.
I. Mercado de bienes:
S = S(Y, i)
I = I(i, E)
Donde S es la función de ahorro que depende positivamente de la tasa de interés (i) y
positivamente pero menor que la unidad del nivel de producto (Y ). La inversión I es una
función que depende positivamente de la variable E y negativa de la tasa de interés. E
es una variable que mide las expectativas de las empresas acerca de la evolución de la
economı́a, y es función del porducto y la tasa de interés. Es decir, E(Y, i), con EY < 0
y Ei < 0. Estas derivadas son negativas puesto que, si la economı́a se encontrara en
una fase de ”recalentamiento”, los empresarios tendrian una expectativa negativa sobre
la evolución futura de ciclo económico. Lo inverso sucederı́a si la fase del ciclo fuera
recesiva (el producto está cayendo, por ejemplo), donde las expectativas futuras serı́an de
recupeación.
II. Mercado monetario:
En el mercado monetario, la demanda de dinero esta representada por la siguiente función
del producto y la tasa de interés:
M d = L(Y, i)
Donde L depende positivamente de Y y negativamente de i. Por su parte, la oferta de
dinero, M s se determina exógenamente como producto de la polı́tica monetaria (M0s )
Consecuentemente, el equilibrio en este modelo requiere que se encuentren simultáneamente en equilibrio ambos mercados. Tenemos entonces dos ecuaciones de equilibrio donde
deben igualarse en cada mercado las demandas y ofertas respectivas.
Se pide:
1. Establezca las dos condiciones de equilibrio de este modelo (recuerde incorporar la
variable de expectativas de las empresas en el mercado de bienes según los supuestos
definidos para dicha variable).
S = S(Y, i) = I(i, E(Y, i)) = I
M d = L(Y, i) = M0s
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2. Determine las variables endógenas y la variable exógena de este modelo.
Variables endógenas: Y , i Variable exógena: M0s
3. A partir de las ecuaciones de este modelo, es posible obtener la solución de equilibrio
en forma explı́cita?
Como nos encontramos en un modelo de ecuaciones generales, no es posible obtener
ninguna solución explı́cita. Por ello es que deberemos hallar las derivadas estáticocomparativas directamente de las ecuaciones del modelo.
4. A partir de las identidades de equilibrio (llámense, F 1 ≡ 0, F 2 ≡ 0), muestre de
qué dependerán en equilibrio las variables endógenas.
Las ecuaciones de equilibrio son:
F 1 = I(i, E(Y, i)) − S(Y, i) ≡ 0
F 2 = L(Y, i) − M0s ≡ 0
Si diferenciamos totalmente estas dos expresiones tenemos:
Ii di + IE EY dY + IE Ei di − SY dY − Si di ≡ 0
LY dY + Li di − dM0s ≡ 0
El Jacobiano (recordar que se obtiene considerando únicamente las variables endógenas) es:
J=
IE EY − SY
LY
Ii + IE Ei − Si
Li
Cuyo determinante es:
|J| = (IE EY − SY )Li − (Ii + IE Ei − Si )Li > 0
El signo positivo de este determinante se obtiene a partir de los supuestos iniciales
presentados en la letra sobre los elementos que lo componen.
5. Represente gráficamente el equilibrio en el plano de las variables endógenas.
Para graficar estas ecuaciones de equilibrio podemos diferenciar totalmente las ecuaciones únicamente respecto de las variables endógenas, para obtener las pendientes
de las curvas. Ası́:
Ii di + IE EY dY + IE Ei di − SY dY − Si di ≡ 0
LY dY + Li di ≡ 0
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Si despejamos el cociente de diferenciales di sobre dY en ambos casos tenemos:
di
dY
E EY −SY
= − IIi +I
<0
E Ei −Si
di
dY
= − LLYi > 0
(AQUÍ DEBEN PRESENTAR LAS CURVAS DE EQUILIBRIO)
6. Realice el ejercicio de estática comparativa considerando una variación de la oferta
de dinero (M0s ).
A partir de los diferenciales totales presentados en el punto (4), expresando el sistema
en forma matricial tenemos:
IE EY − SY
LY
Ii + IE Ei − Si
Li
dY
di
=
0
dM0s
Utilizando la regla de Cramer llegamos a:
0 Ii + IE Ei − Si
1
Li
dY
=
s
dM0
|J|
IE EY − SY
LY
di
=
s
dM0
|J|
=
0 1 −(Ii + IE Ei − Si )
>0
|J|
=
IE EY − SY
<0
|J|
7. Interprete económicamente estos resultados. Muestre además gráficamente cómo se
modifica el equilibrio.
El aumento exógeno de la oferta dinero impacta positivamente sobre el nivel de producto
y negativamente sobre la tasa de interés. Por lo tanto, el nuevo equilibrio se alcanzará en
un punto con un mayor nivel de producto y una tasa de interés menor (con esto deberı́an
hacer el gráfico).
Una posible interpretación económica podrı́a basarse en el hecho de que un aumento de
la cantidad de dinero genera una mayor liquidez en el mercado monetario. Esta cantidad
excedente de dinero, por un lado, presiona a la baja la tasa de interés (precio del dinero),
lo cual aumenta la demanda de dinero, reduce el nivel de ahorro de la economı́a y presiona
al alza el nivel de inversión por dos vias: uno directo por la reducción de la tasa de interés y
uno indirecto a através de las expectativas empresariales, la cuales se verán incrementadas.
Estos efectos sobre la demanda real (inveriones), provoca un aumento de la producción,
hasta el punto en que se reinstaura el equilibrio en los mercados.
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Ejercicio 4 (5 puntos)
Bajo las condiciones de un modelo económico con funciones generales, ¿qué papel tiene el
Teorema de la Función Implicita en el análisis estático-comparativo? Plantee las hipótesis
y tesis del teorema para el caso de ecuaciones simultáneas de varias variables.
VER NOTAS DE CLASE, TRANSPARENCIA 47. El papel de este teorema es fundamental para el análisis estático-comparativo en el caso de funciones generales. Bajos los
supuestos del teorema, es posible afirmar que las variables endógenas serán funciones
de las variables exógenas, a partir de lo cual se puede realizar la estática comparativa
directamente de la ecuaciones generales.
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