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MÚSICOS, ACTORES, BAILARINES
Proceso de Resolución
COMPRENDER
Datos
20 alumnos de una clase.
Tres grupos: músicos (M), actores (A), bailarines (B).
Objetivo
Cantidad de alumnos en cada grupo (todas las posibilidades).
Relación
Actores “menor que” bailarines “menor que” músicos ….. A < B < M
Diferencia entre músicos y actores “más pequeña” de 7 ….. M – A < 7 (1, 2, 3, 4, 5 o 6)
Diagrama
El diagrama a utilizar, donde no hay etiquetas conocidas (salvo el total de alumnos) será una
tabla de doble entrada en la que podamos explorar las condiciones del problema a partir de
una conjetura inicial.
actores
bailarines
músicos
PENSAR
Estrategias
Ensayo y error, con ayuda de una herramienta lógica (tabla) que nos permita hacer un
inventario completo, sistemático y exhaustivo de las posibles descomposiciones de 20 con las
condiciones del problema.
EJECUTAR
Haremos los ensayos sobre el número de actores (entre 1 y 13) al cual se añade desde 1
hasta 6 para obtener el número de músicos:
actores
bailarines
músicos
n
20 – (actores + músicos)
n + 1 hasta n + 6
1
17 a 12
2a7
SE DESCARTA. Los bailarines no pueden ser más que los músicos (están ordenados).
2
15 a 10
3a8
SE DESCARTA. Los bailarines no pueden ser más que los músicos (están ordenados).
3
13 a 8
4a9
SE DESCARTAN los valores de los bailarines excepto el 8, el único que es menor que el
número (9) de músicos (13 > 4 ; 12> 5 ; 11 > 6 ; 10 > 7 ; 9 > 8). Esa es una solución:
3 actores, 8 bailarines y 9 músicos
4
11 a 6
5 a 10
SE DESCARTAN los valores de los bailarines excepto el 7 y el 6, único menores que el
número (10 y 9) de músicos (11 > 5 ; 10> 6 ; 9 > 7 ; 8 = 8 ; 7 < 9 ; 6 < 10).
Eso hacen otras dos soluciones:
4 actores, 6 bailarines y 10 músicos ; 4 actores, 7 bailarines y 9 músicos
5
9a4
6 a 11
SE DESCARTAN los valores de los bailarines excepto el 7 y el 6, único menores que el
número (9 y 8) de músicos (9 > 6 ; 8> 7 ; 7 < 8 ; 6 < 9 ; 5 < 10 ; 4 < 11 y, además los dos
últimos valores son menores que el número de actores, cosa imposible).
Eso hacen otras dos soluciones:
5 actores, 6 bailarines y 9 músicos ; 5 actores, 7 bailarines y 8 músicos
6
7a2
7 a 12
SE DESCARTAN todos los valores de los bailarines entre 6 y 2 por ser menores o
iguales que el número de actores (6). El que queda (7 > 6) es igual que el número de
músicos, en contra de las condiciones iniciales.
Nos quedan, pues, sólo 5 distribuciones posibles de los 20 alumnos en tres grupos.
Podríamos haber utilizado otra manera de trabajar, consistente en hacer el inventario de todas
las descomposiciones de 20 como suma de tres términos distintos, ordenados desde el más
pequeño al más grande:
1 + 2 + 17
diferencia 16
1 + 3 + 16
diferencia 15
…
…
3+8+9
diferencia 6
4 + 5 + 11
diferencia 7
4 + 6 + 10
diferencia 6
4+7+9
diferencia 5
5+6+9
diferencia 4
5+7+8
diferencia 3
y elegir aquellas en las cuales no haya más de 6 de diferencia entre el término menor y el
mayor.
Y obtenemos de nuevo las cinco distribuciones que ya habíamos calculado.
Solución
Cinco posibilidades (actores, bailarines, músicos):
(5; 6; 9) y (5; 7; 8).
(3; 8; 9), (4; 6; 10), (4; 7; 9),
RESPONDER
Comprobación
Comprobar tres cosas en cada terna: a) están ordenadas en orden creciente, b) la diferencia
entre el primer número y el tercero es siempre menor de 7, c) la suma de los tres números es
20.
Análisis
El trabajo sistemático y exhaustivo realizado nos garantiza que no hay más posibilidades que
las cinco presentadas.
Respuesta: Hay 5 subdivisiones posibles:
actores
bailarines
3
8
4
6
4
7
5
6
5
7
músicos
9
10
9
9
8
Conocimientos previos o simultáneos a la resolución:
Ordenación de números naturales.
Operaciones con números naturales.
Tabla de doble entrada.
La estrategia de ensayo y error.
Haber desarrollado las actitudes de ser ordenado, sistemático y exhaustivo.
Adaptación
Menos alumnos, dos grupos, condiciones menores (diferencia de 1, 2 o 3).
Generalización
Otros problemas similares (en otros contextos) con condiciones iguales o más
complejas.