Download cap 04-2008 - Universidad de Concepción

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142
Primer Semestre
FUNCIONES CIRCULARES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
1
Funciones circulares
Definición: Círculo Trigonométrico
Sea C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} la circunferencia unitaria,
se define P : R → C por P (0) = (1, 0) y para t > 0 (resp.
t < 0) P (t) es el punto al que se llega luego de desplazarse en
sentido antihorario (resp. horario) sobre C, en t unidades desde
P (0).
Definición: sen y cos
Se definen las funciones sen : R → [−1, 1] y cos : R → [−1, 1]
a través de la ecuación:
P (t) = ( cos (t), sen (t) )
2
Funciones Circulares
Círculo Trigonométrico
Y
eje tangencias
|sen (t)| = |OS|
eje de seno
B
R
eje cotangencias
P(t)
|cos (t)| = |OC|
S
|tan (t)| = |AT |
T
lA,P(t)
t
A’
O
A
X
C
eje de coseno
|cot (t)| = |BR|
|sec (t)| = |OT |
|csc (t)| = |OR|
+
B’
t = (OX,OP(t)) = lA,P(t)
3
Funciones Circulares
Teorema de Pitágoras
2
2
a +b =c
b′
c′
a′
=
=
a
b
c
2
c
Teorema de Thales
b
c’
b’
a
c
b
a
a’
sen 2 (t) + cos 2 (t) = 1
tan 2 (t) + 1 = sec2 (t)
cot 2 (t) + 1 = csc2 (t)
sen (t)
tan (t) =
cos (t)
sec (t) =
1
cos (t)
cos (t)
cot (t) =
sen (t)
csc (t) =
1
sen (t)
4
Funciones Circulares
Definición: Función Periódica
Una función f : R → B se dice periódica de periodo p, si p es
el menor número positivo que satisface la propiedad:
∀t ∈ R : f (t) = f (t + p).
Propiedad
Si f : R → B es periódica de periodo p, se cumple que:
∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : f (t) = f (t + kp).
Observación
P : R → C es periódica de periodo 2π:
(∀t ∈ R) (∀ k ∈ Z) P (t + 2kπ) = P (t)
5
Funciones Circulares
Definición: Función Seno
sen : R −→
t 7−→
[−1, 1]
∀ k ∈ Z : sen (t + 2kπ) = sen (t)
y = sen (t)
∀ t ∈ R : sen (−t) = −sen (t)
GRAFICO DE LA FUNCION SENO
sen(t)
1
2π
3π
2
π
π
2
π
2
π
3π
2
2π
t
−1
k
)
=
(−1)
∀ k ∈ Z : sen (kπ) = 0 ∧ sen ( (2k+1)π
2
6
Funciones Circulares
Definición: Función Coseno
cos : R −→ [−1, 1]
t 7−→
∀ k ∈ Z : cos (t + 2kπ) = cos (t)
y = cos (t)
∀ t ∈ R : cos (−t) = cos (t)
GRAFICO DE LA FUNCION COSENO
cos(t)
1
2π
3π
2
π
π
2
π
2
π
3π
2
2π
t
−1
k
)
=
0
∧
cos
(kπ)
=
(−1)
∀ k ∈ Z : cos ( (2k+1)π
2
7
Funciones Circulares
D =R−
Definición: Función Tangente
tan : D ⊂ R −→
t 7−→
2
+ kπ : k ∈ Z
∀ k ∈ Z : tan (t + kπ) = tan(t)
R
y = tan (t) =
π
sen (t)
cos (t)
∀ t ∈ D : tan (−t) = −tan (t)
GRAFICO DE LA FUNCION TANGENTE
tan(t)
−3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
t
8
Funciones Circulares
Definición: Función Secante
sec : R −
π
2
+ kπ : k ∈ Z
−→
R− ] − 1, 1[
t 7−→ sec (t) =
1
cos (t)
- Es 2π-periódica
- Es par
GRAFICO DE LA FUNCION SECANTE
sec(t)
1
3π
2
π
π
2
0
π
2
π
3π
2
t
−1
9
Funciones Circulares
Definición: Función Cosecante
csc : R − kπ : k ∈ Z
−→
t 7−→
R− ] − 1, 1[
csc (t) =
- Es 2π-periódica
1
sen (t)
- Es impar
GRAFICO DE LA FUNCION COSECANTE
csc(t)
1
3π
2
π
π
2
0
π
2
π
3π
2
t
−1
10
Funciones Circulares
Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una expresión matemática (una
igualdad), cuya característica es la de ser verdadera para todo número
real para el cual cada una de las funciones circulares que intervienen en
la expresión estén definidas.
Por ejemplo, la identidad fundamental sen 2 (t) + cos 2 (t) = 1 es válida
para todo número real t.
Observación
Utilizando las identidades anteriores, la definición de las funciones
circulares y las propiedades algebraicas de los números reales se pueden
demostrar muchas otras identidades.
11
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias
Para obtener este tipo de identidades utilizaremos el siguiente resultado.
Proposición
La longitud de una cuerda generada por un arco de circunferencia de
longitud t es:
p
l(t) = 2 − 2cos (t).
Y
P(t)=(cos t,sen t)
t
l(t)
O
(1,0) X
12
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias
Proposición
Para x, y ∈ R :
cos (x − y) = cos (x)cos (y) + sen (x)sen (y)
Y
P(x)=(cos x , sen x)
P(y)=(cos y , sen y)
O
X
13
Funciones Circulares
Identidades con sumas y diferencias
Dados x, y ∈ R, se cumple que:
cos ( π2 − y) = sen (y); sen ( π2 − x) = cos (x)
cos (x + y) = cos (x)cos (y) − sen (x)sen (y)
sen (x + y) = sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)
sen (x − y) = sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)
tan (x) + tan (y)
tan (x ± y) =
1 ∓ tan (x)tan (y)
cos (2x) = cos2 (x) − sen 2 (x)
sen (2x) = 2sen (x)cos (x)
x
sen (x)
=
tan
2
(1 + cos (x))
sen (x) · cos (y) = 12 (sen (x + y) + sen (x − y))
14
Funciones Circulares
Ejemplo
sen (x + y)
tan (x) + tan (y)
=
sen(x − y)
tan (x) − tan (y)
Demuestre que
Demostración
sen (x + y)
sen(x − y)
=
sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)
sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)
sen (x) sen (y)
+
cos (x)
cos (y)
=
sen (x) sen (y)
−
cos (x)
cos (y)
tan (x) + tan (y)
=
tan (x) − tan (y)
15
Funciones Circulares
Inversa de las funciones circulares
La función sen : R −→ [−1, 1], no es inyectiva. En consecuencia, su
relación inversa, denotada por arcsen y llamada arcoseno,
x arcsen
y ⇐⇒ x = sen(y)
no es una función.
La restricción de seno al intervalo [− π2 , π2 ] es inyectiva:
π π
−→ [−1, 1],
Sen : − ,
2 2
x 7→ y = sen (x).
Luego tiene inversa. Su inversa es la función Arcoseno (parte principal)
denotada por Arcsen .
π π
Arcsen : [−1, 1] −→ − , ,
2 2
y 7→ x = Arcsen (y)
16
Funciones Circulares
Definición: Función Arcoseno
Arcsen
π π
: [−1, 1] −→ [− , ]
2 2
x 7−→ y = Arcsen (x)
con: y = Arcsen (x) ⇐⇒ x = sen (y),
−1 ≤ x ≤ 1,
− π2 ≤ y ≤
π
2.
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSENO
1
–1
–0.5
0.5
x
1
–1
17
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocoseno
Arccos
: [−1, 1] −→ [0, π]
x 7−→ y = Arccos (x)
con: y = Arccos (x) ⇐⇒ x = cos (y),
−1 ≤ x ≤ 1,
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSENO
0 ≤ y ≤ π.
3
2
1
–1
–0.5
0.5
x
1
18
Funciones Circulares
Definición: Función Arcotangente
Arctg
π π
: R −→] − , [
2 2
x 7−→ y = Arctg (x)
con: y = Arctg (x) ⇐⇒ x = tg (y),
x ∈ R,
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOTANGENTE
− π2 < y <
π
2.
5
4
3
2
1
–4
–2
0
2
x
4
–1
–2
–3
–4
–5
19
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocotangente
Arccot
: R −→]0, π[
x 7−→ y = Arccot (x)
con: y = Arccot (x) ⇐⇒ x = cot (y),
x ∈ R,
0 < y < π.
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOTANGENTE
5
4
3
2
1
–4
–2
0
2
x
4
20
Funciones Circulares
Definición: Función Arcosecante
: R−] − 1, 1[−→ [0, π] −
Arcsec
x 7−→ y = Arcsec (x)
con: y = Arcsec (x) ⇐⇒ x = sec (y),
|x| ≥ 1,
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSECANTE
nπo
2
y ∈ [0, π] − { π2 }.
4
3
2
1
–4
–2
0
2
x
4
–1
21
Funciones Circulares
Definición: Función Arcocosecante
Arccsc
π π
: R−] − 1, 1[−→ [− , ] − {0}
2 2
x 7−→ y = Arccsc (x)
con: y = Arccsc (x) ⇐⇒ x = csc (y),
|x| ≥ 1,
GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSECANTE
y ∈ [− π2 , π2 ] − {0}.
4
3
2
1
–4
–2
0
2
x
4
–1
22
Funciones Circulares
Uso de las funciones inversas
Si cos (x) = a, con |a| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:
Si x está en I o II, x = Arccos (a) + 2kπ.
Si x está en III o IV, x = −Arccos (a) + 2kπ.
Si sen (x) = b, con |b| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:
Si x está en I o IV, x = Arcsen (b) + 2kπ.
Si x está en II o III, x = π − Arcsen (b) + 2kπ.
23
Funciones Circulares
Definición: Angulo
Un ángulo ∠AOB consiste en la semirecta que
parte en O y pasa por A, llamada lado inicial y la semirecta que parte
en O y pasa por B, llamada lado terminal.
Si OA está sobre el semieje OX, entonces se dice que el ángulo está en
posición normal o standar.
O
O
B
A
A
B
24
Funciones Circulares
Medida de ángulos
A cada ángulo ∠AOB se asocia un número real m(∠AOB) llamado
medida del ángulo, denotada por α, β, γ o θ.
Sistema Sexagesimal (en grados) y Sistema Circular o Radial ( en
radianes), para medir ángulos.
Un Grado es la medida de un ángulo que subtiende a un arco de
1
del perímetro de una circunferencia. Así, la
longitud igual a 360
circuferencia corresponde a un ángulo de 360o .
Un Radian es la medida de un ángulo que subtiende a un arco de
longitud igual al radio de la circunferencia. Así, la circunferencia
corresponde a un ángulo de 2π radianes.
25
Funciones Circulares
Sistema Radial
La medida de un ángulo R(∠AOB) en Radianes es igual a la longitud del
arco de circunferencia subtendido por el ángulo en la circunferencia de
radio 1 y centro O, recorriéndolo en sentido antihorario y partiendo del
lado inicial.
Sistema Sexagesimal
De la relación:
360 Grados Sexagesimales = 2π Radianes
se deduce que la medida de un ángulo S(∠AOB) en Grados
Sexagesimales está dada por:
S(∠AOB) =
180
R(∠AOB).
π
26
Funciones Circulares
Funciones Circulares sobre un ángulo
Dado un ángulo en posición normal de medida α en radianes, y un punto
(x, y) sobre su lado final, se cumple que el punto P (α) = (cos (α), sen (α))
está también sobre su lado final y si r = d((0, 0), (x, y)), por el teorema
de Thales se obtiene:
r
y
= ,
sen (α)
1
de donde:
sen (α) =
y
r
cos (α) =
x
r
tan (α) =
y
x
cot (α) =
x
y
sec (α) =
r
x
csc (α) = yr .
x
r
= ,
cos (α)
1
Y
(x,y)
r
y
P(α)
1
x
cos(α)
sen(α)
α
X
27
Funciones Circulares
Teorema de los senos
Los lados a, b y c de un triángulo son proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos α, β y γ. Es decir:
a
sen (α)
=
b
sen (β)
=
c
sen (γ) .
γ
b
a
α
β
c
28
Funciones Circulares
Teorema de los cosenos
En un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, el cuadrado
de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
Esto es:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos (α)
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos (β)
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos (γ)
29
Funciones Circulares
Función Sinusoidal
Sean A, w > 0 y φ ∈ R. A la función f : R → R definida por:
f (x) = A sen (wx + φ),
∀x ∈ R,
se le llama Función Sinusoidal, y su gráfica se llama Curva Sinusoidal
o Sinusoide.
Es periódica y su Periodo es p =
2π
.
w
Se llama Amplitud de la función al valor A.
−φ
Se llama Desplazamiento de Fase de la función al valor d =
w
Se llama Frecuencia Angular de la función al valor w.
Se llama Fase de la función al valor −φ.
30
Funciones Circulares
La siguiente figura muestra la gráfica de la función definida por:
3π f (x) = 3sen
x+
.
2
4
π
f(x)
p
3
2
A
1
−5
−4
−3
−2 d
−1
0
−1
1
2
3
4
5
6
x
−2
−3
31
Funciones Circulares
Teorema.
Sean p, q, b ∈ R. Entonces existen A, φ ∈ R tales que:
p sen (bx) + q cos (bx) = A sen (bx + φ)
Observaciónes.
La función g(x) = Acos (wx + φ) también es una función
sinusoidal.
Si b < 0 o C < 0, la función h(x) = Csen (bx + φ) también es una
función sinusoidal.
32
Funciones Circulares
Ejemplo 1
Encuentre el conjunto solución de:
√
sen (x) > 3 cos (x),
Solución
π 3π
,
x∈
2 2
La inecuación es equivalente a
√
3
1
sen (x) −
cos (x) > 0
2
2
Como
√
π
π
1
3
π
= sen (x)cos
− sen
cos (x) = sen (x) −
cos (x)
sen x −
3
3
3
2
2
la inecuación queda:
π
sen x −
>0
3
33
Funciones Circulares
Además,
π
3π
π
π
7π
≤x≤
⇐⇒
≤x− ≤
.
2
2
6
3
6
π
π
π
4π
π
> 0 ⇐⇒
≤ x − < π ⇐⇒
≤x<
.
Luego, sen x −
3
6
3
2
3
Ejemplo 2
Determine la o las soluciones de la siguiente ecuación
Arcsen(x + 1) + Arcsen(x) =
Solución Sean α = Arcsen(x + 1);
π π
α, β ∈ − 2 , 2 . Además
π
2
β = Arcsen(x)
p
sen(α) = x + 1
cos(α) = 1 − (x + 1)2
⇒
√
sen(β) = x
cos(β) = 1 − x2
entonces
34
Funciones Circulares
Como
α + β ∈ [−π, π];
cos(α + β) = cos
de α + β =
π 2
π
2
podemos obtener
= 0 = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
p
p
1 − (x + 1)2 1 − x2 − (x + 1)x = 0
p
p
⇒ 1 − (x + 1)2 1 − x2 − (x + 1)x = 0
p
⇒ [1 − (x + 1)2 ](1 − x2 ) = x(x + 1)
⇒ [1 − (x + 1)2 ][1 − x2 ] = [x(x + 1)]2
⇒ −2x(x + 1) = 0
⇒ x = 0; x = −1
Volviendo a la ecuación original vemos que la única solución es x = 0.
35
Funciones Circulares
Ejemplo 3
Un puente de ferrocarril mide l metros de largo. Desde uno
de sus extremos el ángulo de depresión de una roca situada directamente
abajo del puente es α y desde el otro extremo el ángulo de depresión de
la roca es β. Muestre que la altura del puente sobre la roca es:
lsen (α)sen (β)
h=
sen (α + β)
Solución
P
l
A
α
β
B
h
y
x
36
C
Funciones Circulares
Aplicando teorema de los senos al triángulo ACB tenemos:
l
x
l sen (α)
=
=⇒ x =
sen (π − α − β)
sen (α)
sen (π − α − β)
Por definición de seno en el triángulo CBP y reemplazando obtenemos:
h=
lsen (α)sen (β)
.
sen (π − α − β)
Como sen (π − α − β) = sen (α + β) tenemos lo pedido.
37