Download Introducción - Colombia Aprende

EL TRIÁNGULO: UN POLÍGONO CON PROPIEDADES ESPECIALES
Aplicación de los criterios de semejanza
de triángulos en la resolución de problemas
Introducción
1. En la papelería de doña Cecilia se sacan fotocopias. Observa la última fotocopia que sacó y luego
responde.
¿Cuáles son los cambios que se producen en la
fotocopia del cuadro?
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Original
¿Qué cosas no cambian cuando se realiza la
fotocopia del cuadro?
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Copia
Figura 1. Pintura abstracta
1
2. A doña Cecilia le piden que saque una fotocopia ampliada al 150% de la siguiente obra. Utilizando
la técnica de la cuadrícula, realiza un dibujo de la fotocopia que le solicitan a doña Cecilia.
Figura 2. Obra de arte abstracto
Realiza aquí tus cálculos
2
Objetivos de aprendizaje
El estudiante interpreta los criterios de semejanza en la solución de problemas.
• El estudiante distingue la semejanza entre figuras geométricas.
• El estudiante diferencia cada uno de los criterios de semejanza dadas sus características.
• El estudiante soluciona problemas aplicando los criterios de semejanza.
Actividad 1
Comparando fotocopias
1. Observa la imagen original y su fotocopia, halla la medida de sus lados utilizando una regla.
Luego, completa.
Original
5 cm
7,5
5 cm
4 cm
4 cm
4 cm
3
6 cm
Fotocopia
7,5 cm
7,5 cm
m
6 cm
6 cm
m
Figura 3
6 cm
Escribe la razón entre las medidas de dos pares de lados correspondientes cualquiera. Luego,
contesta.
Razón:
Compara las razones, ¿qué puedes concluir ?____________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
4
2. Halla las medidas de los lados de cada pareja de figuras. Luego, escribe la razón entre tres lados
correspondientes en cada una.
a.
Razón:
Figura 4
b.
Razón:
Figura 5
c.
Razón:
Figura 6
5
3. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa.
Fotocopia
Original
R
7,5 cm
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
6 cm
6 cm
4 cm
ocopia
7,5 cm
6 cm
Figura 7
Razón:
7,5 cm
4
=
6
=
5
7,5
6 cm
Como las _____________ entre las ____________de los lados ______________ son iguales, los _________
son semejantes.
Los segmentos de las figuras semejantes cumplen una relación de _________________________.
6 cm
6
4. A continuación encontrarás varias parejas de fracciones, que representan razones entre las medidas
de lados correspondientes de dos figuras. Determina cuáles de ellas representan lados semejantes
y enciérralas con color azul.
a.
b.
c.
3
6
15
30
8
3
40
15
d.
__________________
e.
__________________
f.
15 3
__________________
3 15
5
10
10
15
__________________
21 63
3
9
__________________
9
6
27
18
__________________
Fotocop
5. Observa nuevamente la imagen original y su fotocopia, usando un transportador, halla la medida
de sus ángulos. Luego, completa.
Original
70°
145°
145°
145°
90°
90°
7
90°
Fotocopia
70°
145°
145°
90°
90°
5°
0°
Figura 8
¿Qué puedes concluir al comparar los ángulos correspondientes en la imagen original y su fotocopia?
____________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
8
6. Halla las medidas de los ángulos utilizando un transportador, de cada pareja de figuras.
a.
Razón:
b.
Razón:
c.
Razón:
9
7. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa.
Fotocopia
Original
70°
En dos _______________ semejantes, los
_________________
70°
145°
145°
90°
90°
145°
145°
90°
90°
correspondientes
son __________________.
8. Determina cuáles de las parejas de imágenes son figuras semejantes hallando y comparando la
medida de sus lados y ángulos.
a.
Razón:
b.
Razón:
c.
Razón:
10
Actividad 2
Telarañas
Las arañas tienen glándulas que se encuentra en su abdomen, las cuales proveen el material para
hacer las telarañas, utilizando el viento, especialmente cuando están entre dos árboles, para darle
dirección durante la construcción, creando así un patrón para elaborarla.
Observa las siguientes telarañas y traza los triángulos que veas en ellas.
Figura 9
11
1. Usando un transportador, halla la medida dos ángulos correspondientes en los triángulos
resaltados, luego compáralos y completa.
A
C
D
B
E
I
F
G
Figura 10
Ángulos medidos:
Medida:
12
H
Comparando los ángulos medidos, ¿qué conclusión puedes obtener? _______________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos resaltados son semejantes?_________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Comprueba si los triángulos resaltados son semejantes, hallando la medida de sus ángulos y lados,
y encontrando la razón entre los lados correspondientes.
2. Observa los siguientes triángulos y sus medidas. Luego, halla la razón entre los tres pares de
lados correspondientes, y completa.
35 cm
21 cm
7 cm
4,2 cm
6 cm
30 cm
Figura 11
Razones:
¿Los lados son proporcionales? ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos son semejantes? ___________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
13
Comprueba si los triángulos son semejantes, hallando la medida de sus ángulos.
3. Observa los siguientes triángulos y sus medidas. Luego, halla la razón entre los dos pares de
lados correspondientes.
48 cm
32 cm
40°
40°
18 cm
27 cm
Figura 12
Razones:
¿Los lados son proporcionales _____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Cómo se relacionan los ángulos? _________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Los triángulos son semejantes? ___________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Comprueba si los triángulos son semejantes, hallando la medida de los ángulos y el lado restante.
Para saber si dos triángulos son semejantes, tenemos tres criterios.
14
4. Completa la siguiente tabla con los criterios de semejanza de triángulos de acuerdo con lo visto
en el recurso interactivo. Luego, dibuja un ejemplo que represente cada criterio.
Criterio __________________
Criterio __________________
Criterio __________________
1. El criterio conocido como 2. El criterio conocido como 3.
El
criterio
conocido
AA (ángulo – _____________), LLL (lado – lado – lado), como LAL (lado – ángulo
significa que si dos _____________ significa que si _____________ – lado), significa que si dos
tienen
en
dos
_____________medida triángulos tienen _____________ _____________tienen
de
sus
correspondientes,
ángulos proporcionales
entre
medidas
sus proporcionales en dos de sus
entonces _____________ pares de lados lados correspondientes y los
son triángulos _____________.
correspondientes, entonces los ángulos que se _____________
_____________son semejantes.
con estos dos _____________
tienen
la
misma
medida,
entonces los triángulos son
_____________.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
15
5. Recorta cada pareja de triángulos y pégalos en el recuadro del criterio que podría demostrar
que son semejantes de acuerdo con los datos dados.
AA
48 cm
LLL
LAL
48 cm
41°
57 cm
41°
57 cm
52 km
LLL
LAL
48 cm
48 cm
41°
57 cm
52 km
69 km
41°
55 km
55 km
57 cm
52 km
55 km
LAL
67°
52 km
69 km
69 km
72°
69 km
67°
55 km
72°
Figura 13
16
6. Completa el teorema de Tales y su representación gráfica, de acuerdo con lo visto en el recurso
interactivo.
Si dos __________________ cualesquiera se _____________________ por varias rectas ______________,
los segmentos determinados en una de las rectas son ___________________ a los segmentos
correspondientes en la otra.
Figura 14
Observa la telaraña y los triángulos que se resaltan en ella. Luego, responde.
A
B
C
D
Figura 15
17
Los triángulos ABE y CDE, ¿son triángulos semejantes? Explica tu respuesta aplicando el teorema de
Tales. _____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Qué criterio de semejanza de triángulos aplica para demostrar que los triángulos ABE y CDE son
semejantes? Explica tu respuesta. _________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
7. Completa las tres características de la semejanza de acuerdo con los visto en el recurso interactivo.
Reflexiva:
¿El triángulo ABE es semejante al triángulo ABE? Explica tu respuesta.
A
B
E
18
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Un _________________________ cualquiera es semejante a sí ____________.
19
Simétrica:
Si el triángulo ABE es semejante al triángulo CDE, entonces, ¿El triángulo CDE es semejante al
triángulo ABE? Explica tu respuesta.
A
B
C
D
E
Figura 17
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Si el _______________ 1 es semejante al triángulo _______________, entonces el triángulo 2 es
________________al triángulo ____________________.
20
Transitiva:
Si el triángulo ABE es semejante al triángulo CDE, y el triángulo CDE es semejante al triángulo
FGE, entonces, ¿cómo se relacionan los triángulos ABE y FGE? Explica tu respuesta.
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
A
B
C
F
G
D
E
Figura 18
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Si el triángulo ____________ es semejante al _________ 2, y el triángulo 2 es ____________ al triángulo
3, entonces los triángulos _____________ y _____________ son semejantes.
21
Actividad 3
Triángulos semejantes en diferentes lugares
¿Puedes identificar triángulos semejantes en la siguiente imagen?
Descríbelos.
Figura 19
Triángulos semejantes: ____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿El triángulo más grande es semejante al más pequeño? ¿Qué criterio podría demostrarlo?
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
¿Se puede decir que todos los triángulos equiláteros son semejantes? ¿Por qué?
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
22
Demuestra que dos triángulos cualesquiera del castillo de naipes son semejantes utilizando el
teorema de Tales.
Realiza aquí tus cálculos
23
1. Observa cada imagen. Luego, escribe un problema que involucre los triángulos semejantes que se
identifican en las imágenes y utiliza como contexto lo que muestra la figura.
Realiza aquí tus cálculos
Figura 20
Realiza aquí tus cálculos
Figura 21
24
Realiza aquí tus cálculos
E
0
10
75
m
F
m
50
m
G
30 m
A
α
B
C
D
Figura 22
Realiza aquí tus cálculos
Figura 23
25
2. Recorta las fichas del rompecabezas que se encuentran en el anexo XX, luego ármalo y pégalo
en el siguiente espacio.
Tercer criterio de semejanza de triángulos: Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
entonces son semejantes.
Dem.: Sean ΔABC y ΔA1B1C1 tales que AB = AC = BC = 𝜆𝜆
A1B1 A1C1 B1C1
Si 𝜆𝜆 = 1 entonces los triángulos tienen los lados iguales y por el tercero criterio de
congruencia (LLL) los triángulos son congruentes.
Supongamos ahora AB > A1B1 y construimos ΔAB’C’ en posición de Thales con ΔABC,
con AB’ = A1B1 como en la demostración del primer criterio. Entonces
AC = BC = AB = AB = AC = BC
A1C1 B1C1 A1B1
AB’
AC’
B’C’
de donde se deduce que B1C1 = B’C’ y A1C1 = AC’. Por el tercer criterio de congruencia
ΔA’B’C’ = ΔA1B1C1
Entonces ΔABC ~ ΔAB’C’ = ΔA1B1C1
Figura 24
26
3. Toma como guía la demostración del criterio LLL, para demostrar los criterios AA y LAL.
Realiza aquí tus cálculos
Realiza aquí tus cálculos
27
1. De acuerdo con lo visto en el recurso interactivo, completa el siguiente mapa conceptual sobre los
criterios de semejanza en triángulos. Luego, dibuja un ejemplo que represente cada criterio.
Criterios de ________________________________ en triángulos
A.A.
Dos
tienen
_______________________
_______________________
igual
_________________
medida
de
en
sus
ángulos correspondientes.
L.L.L
Dos triángulos
Dos triángulos tienen
tienen medidas
______________________
______________________
proporcionales en sus
en dos de sus lados
____________________ lados
correspondientes y el
correspondientes.
_____________________
que se forma entre ellos.
28
1. Determina cuáles de las siguientes figuras son semejantes. Justifica tu respuesta.
a.
Figura 25
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
D
b.
A
H
C
B
E
G
F
Figura 26
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
29
c.
L
L
2
K =1
2
Figura 27
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
d.
P
Q
R
S
U
P’
T
Q’
R’
U’
S’
Figura 28
T’
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
30
2. Determina si los siguientes triángulos son semejantes. Justifica tu respuesta aplicando algún criterio
visto y menciónalo.
a.
4 cm
5 cm
80°
5 cm
80°
6 cm
Figura 29
b.
11 cm
9 cm
65°
65°
7 cm
9,1 cm
Figura 30
c.
5 cm
7 cm
12,8 cm
8 cm
7 cm
d.
11,2 cm
A
Figura 31
A’
O
B
B’
Figura 32
31
e.
O
40 mm
M
80°
o
60°
n
54 mm
m
60 mm
R
20 mm
40°
N
P
r
q 27 mm
p
30 mm
Q
Figura 33
f.
1.9 cm
2 cm
1.9 cm
2.7 cm
1.9 cm
2.7 cm
Figura 34
g.
24 m
26 m
10 m
52 m
b’
c’
Figura 35
3. Encierra las imágenes donde hay triángulos semejantes. Justifica tus respuestas.
a.
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Figura 36
32
_________________________________________________
b.
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Figura 37
_________________________________________________
c.
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Figura 38
_________________________________________________
d.
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
Figura 39
33
Lista de figuras
Figura 1. Pintura abstracta.
Figura 2. Obra de arte abstracto.
Figura 3. Figura con medidas.
Figura 4. Figura semejantes.
Figura 5. Figuras no semejantes.
Figura 6. Figuras con semejanza.
Figura 7. Pintura abstracta.
Figura 8. Figura con puntas.
Figura 9. Telaraña sin angulos marcados.
Telaraña 1, Eukalyptus (2014) telaraña-red-el-otoño-redes-197666. Recuperado el 15 de julio del
2015, de https://pixabay.com/es/telara%C3%B1a-red-el-oto%C3%B1o-redes-197666/. Telaraña 2.
OpenClipartVectors (2014) spiderweb-telaraña-tela-de-araña-152117. Recuperado el 15 de julio
del 2015, de https://pixabay.com/es/spiderweb-telara%C3%B1a-tela-de-ara%C3%B1a-152117/.
Telaraña 3. Eukalyptus (2014) telaraña-red-rocío-goteo-sparkle-210186. Recuperado el 15 de julio
del 2015, de https://pixabay.com/es/telara%C3%B1a-red-roc%C3%ADo-goteo-sparkle-210186/
Figura 10. Telaraña con angulos.
Figura 11. Triángulos.
Figura 12. Triángulos con ángulos marcados.
Figura 13. Triángulos para recortar.
Figura 14. Flechas.
Figura 15. Telaraña con flechas.
Figura 16. Telaraña con semejanza reflexiva.
Figura 17. Telaraña con semejanza simétrica.
Figura 18. Telaraña con semejanza transitiva.
Figura 19. Castillo de naipes.
wilhei (2015) castillo-de-naipes-frágil-paciencia-763246. Recuperado el 15 de julio del 2015, de https://
pixabay.com/es/castillo-de-naipes-fr%C3%A1gil-paciencia-763246/
34
Figura 20. Triángulo con puerta.
Figura 21. Triángulo con niño
Figura 22. Triángulo con escalador.
Figura 23. Triángulo con escalador.
Figura 24. Rompecabezas.
Figura 25. Estrella de cuatro puntas.
Figura 26. Triapecios.
Figura 27. Figuras sesgadas.
Figura 28. Figura de seis puntas.
Figura 29. Triángulos a.
Figura 30. Triángulos b.
Figura 31. Triangulos c.
Figura 32. Triángulos d.
Figura 33. Triángulos e.
Figura 34. Triángulos f.
Figura 35. Triángulos g.
Figura 36. Escultura triangular.
Gobeirne (24 de octubre, 2006) Triángulo imposible. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https://
commons.wikimedia.org/wiki/File:ImpossibleTriangleEastPerth_edit_gobeirne.jpg
Figura 37. Escuadra.
Luigi Chiesa (4 de septiembre, 2006) Esquadra. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https://
commons.wikimedia.org/wiki/File:Squadra_45.jpg
Figura 38. Exclamación.
ClkerFreeVectorImages (2014) Signo de exclamación. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https://
pixabay.com/es/atenci%C3%B3n-signo-de-exclamaci%C3%B3n-signo-307030/
Figura 39. Cancha de fútbol.
Osckar (2015) cancha-fútbol-soccer. Recuperado el 16 de julio del 2015, de https://pixabay.com/es/
cancha-f%C3%BAtbol-soccer-juego-deporte-787406/
35