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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-A] Estudiar, para los distintos valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones.
Resolverlo cuando m = 3.
mx-y+13z = 0
x+y+7z
=0
2x-my+4z = 0
2. [2014] [EXT-B] Determinar los valores de los parámetros a y b para los que tiene inversa la matriz A =
a+b 4b
.
a a+b
Calcular la matriz A-1 cuando a = 3 y b = 1.
3. [2014] [JUN-A] Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del parámetro m y resolverlo en los casos en los que sea
x+y
= 1
posible:
my+z
= 0
x+(m+1)y+mz = m+1
4. [2014] [JUN-B] Sean las matrices A =
verifican el sistema matricial
3
1 0
2
1
5
2
2
y B =
3 4 2
. Hallar las matrices X e Y de dimensiones 2x3 tales que
2 1 8
3X + Y = A
.
4X + 2Y = B
1 0 4
0 m 1
-1 3 -m
a) Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa.
b) Calcular la inversa de la matriz A para m = 2.
5. [2013] [EXT-A] Dada la matriz A =
6. [2013] [EXT-B] Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
y+x
=1
(m-1)x+y+z = m
x+(m-1)y-z = 0
a) Discutirlo según los valores de m.
b) Resolverlo para m = 2.
7. [2013] [JUN-A] Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
x+y+(m+1)z = 2
x+(m-1)y+2z = 1
2x+my+z
= -1
a) Discutirlo según los valores de m.
b) Resolverlo para m = 2.
5A + 3B =
2 0
-4 15
3A + 2B =
1 -1
-2 9
8. [2013] [JUN-B] Calcular las matrices A y B tales que:
9. [2012] [EXT-A] Resolver la ecuación matricial A·X + 2C = 3B, siendo A =
3 1
-3 1
1 4
,B=
,C=
.
-2 -4
2 -2
-3 3
(detallar todos los calculos realizados)
10. [2012] [EXT-B] Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m:
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2x+y-z = -1
x-2y+2z = m .
3x-y+mz = 4
11. [2012] [JUN-A] Calcular la matriz X tal que X·A + 3B = 2C, siendo A =
2 3
-1 4
-1 -3
,B=
,C=
.
4 -1
3 -2
2 4
(detallar todos los cálculos realizados).
12. [2012] [JUN-B] Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m:
3x+mz = 1
-x+my+2z = m .
2x+2z = 1
3x-ay = -3
2x+ay-5z = 13
x+3y-2z = 5
a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo para a = 9.
13. [2011] [EXT-A] Dado el sistema
-2 1 5
2 0 1
-1 0 1
14. [2011] [EXT-B] Dadas las matrices A = 2 1 -1 , B = 3 2 -2 y C = 3 -1 4
1 0 7
0 1 -3
1 3 0
a) Calcular la inversa de A paso a paso.
b) Resolver la ecuación A·X = B+C.
15. [2011] [JUN-A] Dadas las matrices A =
2 -1 1
-1 0 1
3 1 -1 y B = 0 1 3 :
2 -2 1
2 1 0
2X - 3Y = A
2X + 4Y = B
b) Calcular el rango de M = A·B.
a) Resolver el sistema
ax-3y+az = 1
3x+2y = 1
x-y+z = -1
a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo cuando sea compatible.
16. [2011] [JUN-B] Dado el sistema
17. [2010] [EXT-A] Resolver la ecuación A·X = Bt+2I, siendo: A =
-3 1
2 -1
1 0
,B=
eI=
.
4 -3
4 -2
0 1
18. [2010] [EXT-B] Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema, y en caso posible resolverlo:
19. [2010] [JUN-A] a) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro m:
3x-2y+z = 1
x+3z = -2 .
3x-4y-7z = 8
mx-y+3z = m
2x+4z = 1 .
x-y+2z = -2
b) Resolverlo para m = 0.
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20. [2010] [JUN-B] Resolver la ecuación matricial A·X = A+B , explicando las operaciones efectuadas, siendo: A =
B=
-1 0 2
2 -1 0
1 -1 1
y
2 0 -2
1 3 1 .
-1 1 0
0 -1
2 0
yN=
:
3 1
1 2
2A+B = M
.
i) Hallar las matrices A y B que verifican el sistema:
A-3B = N
21. [2009] [EXT] Dadas las matrices M =
ii) Calcular M-1Nt.
22. [2009] [EXT] Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
23. [2009] [JUN] Dado el sistema
x+ky+z = 4
x+3y+z = 5 .
kx+y+z = 4
2x-3y+az = 1
x+z = 0 , hallar el valor del parámetro a para que sea incompatible. ¿Por qué lo es?
3x+y-3z = a
-1 2
2 3 0
0 2 -1
, calcular el determinante de B·C-2At.
24. [2009] [JUN] Dadas las matrices A = -7 -5 -2 , B = 0 3 y C =
3 -4 0
2 1
1 -1 0
2 1
y la identidad de orden 2, I:
1 2
i) ¿Para qué valores de m la matriz A-mI no admite inversa?
ii) Describir las matrices X de orden 2x2 que cumplen: (A-3I)X = O.
25. [2008] [EXT] Dadas las matrices A =
a1 b1 c1
26. [2008] [EXT] Se sabe que |A| = a2 b2 c2 = -3. Calcula:
a3 b3 c3
3a1 3b1 15c1
i) a2 b2 5c2
a3 b3 5c3
b1
c1
a1
1
ii) - A iii) a2-a3 b2-b3 c2-c3
3
a3
b3
c3
27. [2008] [JUN] Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro  y resolverlo en los casos en los que
6x+2y+2z = 6
sea posible:
x+2y+z = 
5x+3y+z = 5
28. [2008] [JUN] Dadas las matrices A =
0 1
-1 1 2
y B = -1 0 , se pide:
k 0 1
k 2
i) Razonar para qué valores de k la matriz BtAt tiene inversa.
ii) Resolver la ecuación (AB)tX = I, para k = 0, siendo I la matrid identidad.
29. [2007] [EXT-A] Resolver la ecuación matricial B(2A+I) = AXA + B, siendo A=
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1 -1
1 2
1 0
, B=
e I=
.
0 1
-1 -1
0 1
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a2x+3y+2z = 0
30. [2007] [EXT-B] Estudiar el siguiente sistema según los valores del parámetro a:
ax-y+z = 0 .
8x+y+4z = 0
Resolverlo en todos los casos posibles.
a b c
5a -5b 5c
31. [2007] [JUN-A] Conocido que 5 0 10 = 1, calcula el valor del siguiente determinante: 1 0 2 .
1 1 1
1 -1 1
32. [2007] [JUN-B] Discutir el sisguiente sistema según los valores del parámetro k:
2A+3B =
4 8
7 11
5A-2B =
10 1
8 18
-k
-k
-k
-k
6
3
:
-1
-1
33. [2006] [EXT-A] Resolver el siguiente sistgema matricial:
34. [2006] [EXT-B] Hallar los valores de k para que la matriz
4
1
-k
-k
5
2
0
-k
kx+ky-z = 2
3x-ky = 0
.
5x+ky = 0
x+2z = 1
.
a) No tenga inversa.
b) Tenga rango 3.
35. [2006] [JUN-A] Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro m:
x-2y+z = 0
4x+y-3z = -5 .
3x-y+mz = m-1
36. [2006] [JUN-B] Resolver la ecuación matricial AX+B = A2 y determinar la matriz X, siendo A =
0 1 1
1 -1 1
1 0 0 ; B = 1 -1 0 .
0 0 1
-1 2 3
x
1 0 1
2
1
37. [2005] [EXT-A] Calcular el vector X = y que verifica que AX - B = C, siendo: A = -1 0 1 , B = 0 y C = 1 .
z
2 3 -2
-2
-3
z 3z z+2
z 0 2
38. [2005] [EXT-B] Sabiendo que y -1 2 = 7, halla sin desarrollar el valor de x 3x+1 x+2 explicando las propiedades de los
y 3y-1 y+2
x 1 2
determinantes que utilizas.
1 2 0
39. [2005] [JUN-A] a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriz A = -1 1 k .
0 1 2
b) Calcular A-1 en función de k.
40. [2005] [JUN-B] a) Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
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x+
2y + 3z = 1
x+
ky + 3z = 2
2x + (2+k)y + 6z = 3
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b) Resolverlo para k = 0.
41. [2004] [EXT-A] Discutir el sistema según los valores de k y resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado:
kx
+2z=0
ky - z= k .
x+3y+ z=5
2X - Y =
2 -3
1 -5
X + 2Y =
1 -4
3 0
42. [2004] [EXT-B] Resolver el sistema matricial:
2x-y+z = m2
-x+2y = 0
mx-y+z = 1
43. [2004] [JUN-A] Discutir y resolver, según los valores del parámetro m:
1 m 0
44. [2004] [JUN-B] a) Determina para qué valor de m tiene inversa la matriz: m -1 -2 .
1 0 1
b) Calcular la matriz inversa para ese valor de m.
45. [2003] [EXT-A] Estudiar para qué valores de m es invertible la matriz
m 0 1
0 1 1 y, en caso de ser posible, hallar su inversa para
m 0 m
m = -1.
46. [2003] [EXT-B] Discutir el siguiente sistema en función de los valores del parámetro m y resolverlo para m = -2:
x+my-z = 1
2x+y-mz = 2
x-y-z = m-1
47. [2003] [JUN-A] En este ejercicio los números x, y, z, u son todos distintos de cero. Justificar, sin efectuar su desarrollo, que el
yz xz xy
u u u
siguiente determinante vale 0:
.
1 1 1
x y z
48. [2003] [JUN-B] Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro p:
Soluciones
-12
1. a
,3 :
7
-7
m{1,3} b) -1
2
inc; m1: c.d.
c.i.; a
-12
,3 : c.d.; (-5k,-2k,k)
7
12 -8
2 -1
-3 2
6. a) m{0,1}: c.i.; m{0,1}: c.d. b) (1,0,1) 7. a) m=-2: inc; m=2: c.i.; m{-2,2}:c.d. b) (k,-k-1,1) 8.
11.
1 -30 -23
2 -22 -17
2 -3 7
28 -8 -4
1
1
12 7 5 ;
-36 -4 36
68
17
14 -2 3
-8 -28 8
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2. ab;
1 -1
-3/4 1
3. m=1: inc; m=0:c.i. (1-k,k,0); m{0,1}: c.d.
12. m = 3: inc; m = 0: c.i.; m{0,3}:c.d.
b) 2
16. a=3: inc; a3: c.d.
m -1 m
,
,
m-1 m.-1 m-1
13. a) a=9: c.i; a9: c.d. b) (3k-1,k,3k-3)
a+5 a+1 -a-17
,
,
9-3a a-3 9-3a
17.
1 -11 -12
5 -13 -16
18. c.i. -3k-2,
2x+py = 0
x+pz = p
x+y+3z = 5
0 -1 -1 1 3 8 6
;
1 0 1
2 -2 1 4
1 3
-1 -5
,
-2 3
2 0
9.
1 -16 -16
5 -7 23
3 3 -1
1
-1 -1 1
2
5 3 -1
b)
17 5 20
1
-5 -1 -4
2
17 7 32
14. a)
-8k-7
,k
2
4.
19. a) m=
3
3
: inc; m : c.d. b)
2
2
5. a)
10. m=1:
15. a)
-7 5 5
, ,
6 2 6
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20.
7 4 0
11 6 -1
4 2 0
21. i) A =
1 6 -1
1 2 2
,B=
7 6 7
7 -5 0
ii)
1 0 6
4 -2 -1
22. k=3: inc; k=1: c.i; k{1,3}:c.d. 23. 20 24. 22 25. i) 1, 3 ii)
-1 2
4-c -c
, ,c ;  = 7: comp.ind. (1+c,-4c,c) ;   {2,7}: comp.det. (1,0,0) 28. i) -{-1,1} ii)
2 0
4 4
0 2
2 1
; B=
34. a) 0, 3 b) 0, 3
(k,0,-2k) ; a {-4,2} c.d. (0,0,0) 31. -1 32. inc. k 33. A=
1 1
2 4
-1 2 1
1
2-k -4 2k
1
37. -1
38. -7 39. a) k6 b)
40. a) k=2: incomp. ; k2: comp.ind.
-1 3 2
2 2 -k
6-k
1 -2 -2
2
-1 -1 3
 = 2: comp.ind.
5-3m,m,0
m{0,1} ;
k{-1,0}: comp. det. 42. X=
-1 0 -1
1
-1 2 1
2
1 0 -1
1 -2
0 -1
, Y=
1 -2
1 1
43. m = 2: incomp. m  2: comp. det.
-3
-1
29.
35. m =
b)
0 2
-2 -2
1
a b
, a,b 26. -45, - , -3 27.
a b
9
24k 4k
,; a = 2: c.i.
5
5
-5m 2m+8 9m+16
,
,
36.
9m+8 9m+8 9m+8
30. a = -4: c.i. k,-
-8
-8
: inc ; m 
: c.d. ;
9
9
2-3m,
-1
,m , m
2
m2-1 m2-1 -2m3+m2+3
,
,
-m+2 -2m+4
-2m+4
41. k = -1: inc. k = 0: comp. ind.
44. m  -1;
-1
(m+1)2
-1 -m
-m-2 1
1
-2m
2
45.
m -m2-1
46. m = -1: inc ; m = 2: c.i. ; m  {-1,2}: c.d. ; m = -2: (-2,-4,5) 48. p = 5: inc; p = 0: c.i ; p {0,5}: c.d.
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