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Matemática
2° Medio
UNIDAD 6. Estadística
GUÍA N° 1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS
ACTIVIDAD
Consideremos los siguientes conjuntos de valores referidos a las edades de los jugadores de
dos equipos de fútbol.
Equipo 1: 24,25,26,23,26,21,27,24,23,26,25
Equipo 2: 36,18,28,17,37,15,14,44,27,21,13
1. Calcula la media de las edades en los dos equipos.
2. ¿Qué puedes decir respecto de las edades del equipo 1 en relación a su media?
3. ¿Qué puedes decir respecto de las edades del equipo 2 en relación a su media?
En este caso, conformarnos solo con la media para informar sobre las edades de los jugadores
es insuficiente. Tal como habrás observado, en el equipo 1 todos los jugadores tienen edades
cercanas a los 24 años, y en cambio en el equipo 2 las edades son mucho más variables:
varían entre los 13 y los 44 años.
Necesitamos entonces algún indicador estadístico que nos indique cuánto se separan algunos
valores de su media.
Las medidas de tendencia central que ya estudiaste (media, moda y mediana) sólo nos dicen
parte de la historia de un conjunto de datos. En general, no indican cómo están distribuidos los
datos, es decir, si estos son muy variables o no.
Las medidas de dispersión sí lo hacen. Las medidas de dispersión indican qué tanto se
dispersa o distribuye, alrededor de su media, un conjunto de datos. También entregan
información sobre la variabilidad de las observaciones. Si los datos no son muy variables (como
en ejemplo 1), decimos que hay homogeneidad; en caso contrario se habla de heterogeneidad
del conjunto de datos.
Las medidas o estadígrafos de dispersión que estudiaremos son: rango, varianza y desviación
estándar.
1. Rango o recorrido
El rango de una variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la
distribución. Aunque no es una medida muy significativa, nos indica cuán dispersos se
encuentran los datos entre los valores de los extremos.
1
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. En nuestro ejemplo, ¿cuál es el rango en el equipo 1? ¿Y en el equipo 2?
2. ¿Qué equipo es más disperso, es decir más heterogéneo? Si los equipos no tuvieran la
misma cantidad de jugadores ¿podrías decir que equipo es más disperso?
3. ¿Cómo interpretarías el valor del rango?
2.
Varianza
Si elevamos al cuadrado las desviaciones y luego calculamos el promedio obtenemos un
número denominado varianza.
n
2
∑ (x - x )
i
s = i=1
n
Matemáticamente:
La varianza como medida de dispersión sólo tiene un inconveniente: Su valor está dado en
unidades cuadradas. Para solucionar esto definimos un nuevo indicador estadístico, la
desviación estándar.
3.
Desviación estándar o típica
n
2
∑ (x - x )
i
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir σs =
i=1
n
.
2
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1.
¿Qué significado tiene un rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo
rango es 2,4? ¿Podemos decir que notas están más dispersas? ¿Podemos decir cuáles son
mejores?
2.
¿Es posible que la desviación estándar sea negativa? ¿Puede ser cero? En ambos casos
explica tu respuesta.
3.
¿Qué se puede decir de un conjunto de datos, si sólo sabemos que su media es 67 y que
tanto su rango como su varianza son cero?
4.
Camila obtuvo el primer semestre en matemática las siguientes notas :
Mis notas
Primer semestre:
Matemática
3,6 - 5,9 - 7 - 4,7 6,2 - 6,2
4.1 Calcula el promedio de Camila el primer semestre en matemática.
4.2 Calcula la desviación estándar.
4.3 ¿Consideras que el rendimiento académico en matemática de Camila fue parejo? ¿Qué
información te permite justificar tu respuesta?
5.
En el cuarto medio A de un colegio de Temuco el promedio de las estaturas es de 183 cm
y la desviación estándar 35 cm. En un colegio de Rancagua el cuarto medio B tiene un
promedio de 174 cm y la desviación estándar es 5 cm. Son verdaderas o falsas las
siguientes afirmaciones, justifica:
5.1 Los alumnos del cuarto B tienen una estatura más pareja que los alumnos del cuarto A.
5.2 De esta población, los alumnos más altos están en el cuarto A.
5.3 De esta población los alumnos más bajos están en el cuarto B.
3
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
6.
Un profesor de matemática debe elegir entre sus dos mejores alumnos Andrés y Paula
para una Olimpiada de matemática. Las notas de ambos son:
Andrés
Paula
6,5
7,0
6,6
6,0
6,4
6,3
6,6
6,0
6,5
7,0
6,7
7,0
¿A cuál alumno le aconsejas que presente a la Olimpiada? Justifica.
7.
A los dos segundos medios de un colegio se le aplica una misma prueba de matemática,
obteniendo los siguientes resultados:
II medio A
5,3
0,8
Promedio
Desviación estandar
II medio B
5,3
0,3
Juan Pablo, alumno del II medio A, obtuvo un 6,7 y Gabriel, alumno del II medio B,
obtuvo un 6,6. ¿Quién obtuvo un mejor rendimiento en la prueba en relación a su
curso?
8.
Observa los diagramas de barras adjuntos.
a) ¿Cuál es aproximadamente la media de los datos en cada caso?
b) ¿Qué gráfico representa a los datos con mayor desviación estándar? ¿Cuál representa
a los datos con menor desviación?
1
2
3
4
4
5
6
1
2
3
4
5
5
6
1
2
3
4 5
5
6
4
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GUÍA N° 2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando tenemos datos agrupados, el rango se calcula como la diferencia entre el mayor valor
de la última clase menos el menor valor de la primera clase.
Para calcular los otros parámetros estadísticos, varianza, y desviación estándar, a partir de
datos agrupados, consideremos las marcas de clases como si fueran los valores verdaderos, es
decir xi. Recuerda que la marca de clases corresponde al punto medio de una clase.
Así:
n
Desviación estándar:
σs =
(
f1· x1 − x
)
2
(
+ f2· x 2 − x
)
2
(
+ f3· x 3 − x
)
2
(
+ ..... + f n · x n − x
n
)
2
∑ f ·( x - x )
2
i
=
i
i=1
n
ACTIVIDADES
1. Determina rango, varianza y desviación estándar en la siguiente distribución
xi
fi
0
0
1
0
2
1
3
1
4
2
5
3
6
1
7
0
8
2
9
0
10
0
2. Determina rango, varianza y desviación estándar en la siguiente distribución, completando
la siguiente tabla.
Notas
xi
[1, 2 )
[ 2, 3 )
[3, 4 )
[ 4, 5 )
[5, 6 )
[ 6, 7 ]
fi
2
(x - x)
i
(
f i · xi - x
2
)
1
2
2
5
3
5
Suma total =
5
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3. Se ha aplicado un test a dos grupos de alumnos, obteniéndose las siguientes puntuaciones:
[15, 20 )
Grupo 1
2
Grupo 2
3
8
6
13
9
7
9
6
6
3
4
1
3
[ 20, 25 )
[ 25, 30 )
[30, 35 )
[35, 40 )
[ 40, 45 )
[ 45, 50 )
Aplicando lo visto en esta guía, ¿qué puedes decir de ambos grupos?
6
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GUÍA N° 3
LA MEDIDA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
ACTIVIDADES
1. En un curso se anotan los pesos en kilos de los alumnos obteniéndose los siguientes
valores:
63 56 51 81 68 69 67 65 71 56 77 73 67 65 63 71
72 67 58 68 58 69 65 66 68 71 65 69 61 72 78 65 70
a) Ordena los datos de menor a mayor
b) Calcula la media, la moda y la mediana.
c) Calcula la desviación estándar.
d) Calcula el porcentaje de alumnos con pesos en cada uno de los siguientes intervalos:
( x − σ , x + σ ) ; ( x − 2σ , x + 2σ ) ; ( x − 3σ , x + 3σ )
s
s
s
s
s
s
En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas se verifica que:
• Entre la media menos la desviación estándar y la media más la desviación estándar
es decir en el intervalo x − σs , x + σs se encuentra el 68% de los datos.
(
)
• Entre la media menos dos veces la desviación estándar y la media más dos veces la
desviación estándar es decir en el intervalo x − 2σ s , x + 2σ s se encuentra el 95% de los
datos.
(
)
• Entre la media menos tres veces la desviación estándar y la media más tres veces la
desviación estándar es decir en el intervalo x − 3σ s , x + 3σ s se encuentra el 99% de los
datos.
(
)
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1.
En una distribución unimodal y bastante simétrica, la media es 30 y la desviación estándar
5,5. Si la distribución consta de 500 datos, ¿cuántas personas de los 500 encuestados
están entre 24,5 y 35,5?
2.
Un supermercado desea saber cuánto gasta una familia cuando realiza sus compras (en
miles de pesos). Un día realiza una encuesta a 5000 de sus clientes. Este estudio nos
aporta la siguiente tabla:
Intervalos
0-5
5-10
10-20
20-50
50-100
Frecuencias
1000
1100
1600
1000
300
2.1. ¿Cuál es el motivo por el que los datos se presentan en intervalos?
2.2. Halla los ingresos que en ese día tuvo el supermercado y el gasto medio de cada
familia.
2.3. Si a todas las familias que gastan más de 40.000 pesos, se les obsequia una cafetera,
hallar el número de regalos que realiza el centro comercial, así como el porcentaje de
clientes que se benefician de ellos.
2.4. El supermercado considera como clientes importantes a aquellos que están en el
intervalo x − 2σ , x + 2σ . ¿Qué nivel de gasto tienen estos clientes?
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