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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VERBALES Y CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES
Diana C. Pozas – dpozas@crub.uncoma.edu.ar
Introducción
En nuestra experiencia docente hemos constatado que el acercamiento más tradicional
al álgebra comienza en la escuela secundaria con la enseñanza de la sintaxis
algebraica. Este abordaje involucra expresiones algebraicas, ecuaciones y la resolución
de las mismas, y problemas a resolver mediante la aplicación de ecuaciones. Todo en
ese orden. La principal dificultad que enfrentan los estudiantes es la de trabajar con un
simbolismo desprovisto de sentido, además de tener que abordar los problemas de un
modo determinado aún cuando el contexto determina mucho la manera de resolverlos.
En un sentido amplio, en este trabajo se considera que el álgebra engloba el estudio de
estructuras abstraídas de cálculos y relaciones, el desarrollo y la manipulación del
simbolismo, entre otros aspectos de la matemática (Carraher y Schliemann, 2007).
Asimismo, reconocemos que la comprensión de las reglas sintácticas necesarias para
la resolución de ecuaciones es un objetivo importante de la enseñanza del álgebra.
Pero aquí se pretende analizar de qué manera un grupo de estudiantes de 12 años de
edad emplea el álgebra en la resolución de un problema, es decir, observar si pueden
elaborar notaciones o escribir ecuaciones que se ajusten a una historia e interpretar el
resultado obtenido en el contexto de la historia dada. En este sentido, las preguntas
que orientan este estudio son: ¿cómo resuelven un problema verbal un grupo particular
1 de alumnos de 12 años?, ¿qué habilidades algebraicas manifiestan los alumnos
cuando explican sus propios razonamientos?
Marco de este estudio
En la propuesta de Early Algebra, se considera que diferentes modos de pensamiento
algebraicos pueden emerger con naturalidad de las matemáticas propias de la
educación primaria y tienen el potencial de enriquecer la actividad matemática escolar.
Estos modos de pensamiento pueden favorecer en los alumnos el desarrollo
conceptual de matemáticas más profundas y complejas desde edades muy tempranas,
esto es, desde los primeros cursos de la escuela primaria. En el marco del curso de
Álgebra Temprana que se desarrolló en el Centro Regional Universitario Bariloche, la
docente Dra Bárbara Brizuela, presentó ejemplos de implementaciones llevadas a cabo
con niños de 8 años, edad promedio. Las profesoras que implementamos el trabajo
aquí presentado tenemos formación específica para la enseñanza en la escuela
secundaria, por lo cual, decidimos seleccionar un grupo de estudiantes de edad más
avanzada. Trabajamos con un grupo de cinco alumnos de escuelas de San Carlos de
Bariloche. Los alumnos participantes fueron:
1. Victoria
12 años
7° grado
Instituto María Auxiliadora
2. Rocío
12 años
7° grado
Instituto María Auxiliadora
3. Francisco
12 años
7° grado
Escuela N° 44 (Puerto Moreno)
4. Delfina
12 años
7° grado
Colegio Jean Piaget
5. Iván
13 años
1° año
Instituto Don Bosco
2 La elección y planificación de las actividades fueron realizadas por la Prof. María
Magdalena Guevara Lynch y la autora de este trabajo. Se desarrollaron dos encuentros
de 90 minutos de duración aproximadamente cada uno, en distintos días y lugares. En
este escrito sólo se analizará el primero, ya que en el segundo la actividad desarrollada
fue distinta.
Ambas actividades fueron filmadas con video cámara y se recopilaron las producciones
escritas de los alumnos. Para el análisis del material escrito cada docente realizó una
primera lectura de los mismos en forma individual. Luego, se elaboró en forma conjunta
un resumen de los resultados más destacados para cada actividad implementada.
Cabe mencionar que al finalizar el primer encuentro se entregó a cada alumno un
problema verbal similar al desarrollado (ver Anexo) y se les pidió que lo trajeran
resuelto para el próximo encuentro. Estas producciones escritas también formaron
parte del material analizado. Como se dijo anteriormente este trabajo focaliza en la
primera actividad implementada (resolución de un problema verbal) y los resultados se
presentan en el apartado siguiente.
El problema y las producciones de los alumnos
A continuación se presenta el problema y se describen brevemente las etapas en la
que se desarrolló la clase.
Parte 1: Se proyectó dos veces una presentación en powerpoint con fotos subtituladas
que relatan el problema.
3 Parte 2: Se entregó a los alumnos la siguiente consigna por escrito, la cual los alumnos
comenzaron a resolver en forma individual.
Estefi fue al shopping el sábado. Allí gastó $7,25 jugando en el salón de video games.
Más tarde, se dirigió a la “Bolsa del libro usado” y la encargada del negocio le dió el
dinero que le correspondía por la venta del libro de inglés que había dejado en
consignación. Al salir de allí Estefi había duplicado el dinero que tenía antes de entrar.
El mismo día, Juan también fue al shopping con $14,60 de sus ahorros. Al llegar, su
mamá le dió $20 más. Luego Juan recuerda que en su bolsillo tiene $1,40. Muy
contento gastó un tercio de todo el dinero jugando con los video games.
Al finalizar la tarde Estefi y Juan contaron el dinero de cada uno y descubrieron que
tenían exactamente la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tenia Estefi cuando llegó al
shopping?
Representar en forma escrita qué sucede con el dinero de Estefi y con el de Juan
según la secuencia dada.
Dinero de Estefi
Cuando ella llega al shopping
Después de jugar a los video games
Cuando sale de la bolsa del libro usado
Dinero de Juan
Cuando llega al shopping
Después de encontrarse con su mamá
Después de encontrar dinero en su bolsillo
Después de jugar a los video games
4 Parte 3: se realizó la puesta en común. Esta etapa fue la de mayor duración en
relación al tiempo total, aproximadamente 50 minutos, y en la cual se arribó a un
consenso grupal acerca de la resolución algebraica del problema.
Parte 4: se entregó a cada alumno la siguiente consigna por escrito con el objetivo de
realizar un cierre de la actividad.
Recordemos el final de la historia …
“Al finalizar la tarde Estefi y Juan contaron el dinero de cada uno y descubrieron que
tenían exactamente la misma cantidad.”
Escriban una expresión matemática la cual muestre que Estefi y Juan tienen
exactamente la misma cantidad de dinero al finalizar la tarde.
Resuelvan la expresión matemática o la ecuación que plantearon.
¿Qué significa el resultado obtenido?
Luego de realizar sucesivas lecturas del material disponible, tanto escrito como en
video, se observó que:
• Todos comienzan a resolver el problema efectuando cálculos con el dinero de
Juan.
• Tres de los cinco alumnos prescinden del signo $ en la resolución escrita del
problema.
5 • En general, redactan respuestas coherentes con la pregunta que plantea el
problema.
• En general, escriben alguna igualdad numérica como ejemplo de "la expresión
matemática" que muestra que Estefi y Juan tienen la misma cantidad de dinero
al finalizar el día. Por ejemplo: (35 + 7) : 2 = (17 – 10) x 3
• En algunas oportunidades, encadenan cálculos sin reconocer la simetría de la
igualdad. Es decir, utilizan el signo = en forma unidireccional.
• No retoman una expresión que contenga una letra para continuar operando, sino
que prefieren usar otra letra para referirse a dicha expresión.
• Resuelven las ecuaciones de un modo no convencional, indicando con flechas el
razonamiento seguido.
Discusión
En primer lugar es importante tener en cuenta que, generalmente, los estudiantes
pueden resolver por sus propios medios los problemas típicos que la escuela les exige
a propósito del aprendizaje de las ecuaciones. Efectivamente, el problema verbal citado
fue resuelto en un primer momento sin necesidad de herramientas algebraicas, o al
menos, no escribieron nada que sugiera un tratamiento algebraico del mismo. Sin
embargo, a la hora de socializar producciones, no todos los estudiantes pueden
explicitar claramente sus procedimientos, más aún si existe algún desacuerdo con los
resultados obtenidos.
6 En nuestro caso, los alumnos trabajaron al principio en forma individual. Nuestro
objetivo era guiarlos hacia una resolución de tipo algebraica, esto es, esperábamos que
alguien comience definiendo una incógnita tal como sugiere la secuencia de acciones
que ocurren en la historia. No fue así. Todos comenzaron directamente a efectuar
cálculos con el dinero de Juan y con los otros datos del problema. Luego, decían en
voz alta el resultado obtenido. En definitiva, los alumnos operaron con los datos
concretos del problema, configurando una estrategia de resolución que podríamos
denominar como puramente aritmética.
FIGURAS 1 Y 2 AQUI
Se mencionaron dos resultados distintos, como podemos ver en la figura 2. Esto
posibilitó la apertura a una discusión grupal. Al principio la discusión giró en torno a
expresiones verbales. Todos los alumnos estuvieron de acuerdo con lo que respecta al
dinero de Juan, es decir, Juan salió del shopping con $24. Los desacuerdos surgieron
con el dinero de Estefi, en donde debían deshacer acciones y traducirlas a una
operación matemática.
Una alumna, Rocío, decide explicar y escribir en la pizarra su propia resolución. Es en
este momento cuando se menciona por primera vez la idea de denominar con la letra X
a un valor desconocido.
7 Rocío:
primero que todo averigüé cuanto tendría que ser para que la totalidad
sea $24.
Entonces, si después de gastar 7,25 en los juegos, le quedó x plata,
¿cuánto
debería tener para que el doble sea $24? Tenía que ser la mitad.
Entonces
primero hice … bueno eso lo hice mentalmente ¿no? … 24 dividido 2 y va
a dar doce, y después le sumé los $7,25.
Si bien Rocío usa un registro verbal para explicar su procedimiento necesitó nombrar
de alguna manera a la incógnita con la que estaba operando. Cuando ella terminó su
explicación, retomamos su propia expresión "x plata" para discutirla grupalmente.
Magui: ¿ustedes alguna vez vieron esto de llamar a un valor desconocido X? Delfi? …
Delfina: si, si
Magui: en la escuela. Fran … ¿todavía no?
Francisco: ¿cómo, cómo?
Magui: ¿alguna vez viste esto de llamar con una letra a un valor que uno no conoce?
Francisco: suponete para sacar …
Delfina: el año pasado.
Francisco: (gesticulando con las manos) para sacar el por ciento hacés esto por esto
dividido esto y eso y el resultado que te hace falta es X.
Magui: muy bien. ¿Entonces que estas queriendo decir? Que X es un valor …?
Francisco: es un valor desconocido.
8 Magui: ¿y a nadie se le ocurre en que otro momento podríamos haber usado ese …
que
acá lo estamos llamando X, pero puede ser A, M …
Rocío: desde el principio.
Diana: muy bien, desde el principio.
Rocío: desde el principio hay una X
Diana: o sea, ¿a qué cosa llamarías X?
Rocío: a lo que empezó ella, a la plata con que ella entró.
Magui: si, Victoria dijo algo recién … Victoria a quien decías vos?
Victoria: si, a lo que había llevado Estefi al shopping.
Vemos en este fragmento del diálogo que a los alumnos no les resulta incómodo
trabajar con una/s letra/s para plantear el problema de otra manera. Pero son
necesarias las intervenciones docentes para organizar y explicitar las ideas que
espontáneamente brindan los alumnos. En la figura 3 podemos ver que, ya definida la
incógnita, Rocío pudo completar la secuencia, mostrando en forma simbólica lo que
sucede con el dinero de Estefi.
FIGURA 3 AQUI
9 También podemos observar que usan más de una letra en la resolución. Si bien las
ecuaciones no son las más económicas, lo más importante es que son significativas
para los alumnos y que ellos mismos las propusieron. Es decir, para ellos tiene mucho
sentido denominar con una letra distinta a cada resultado que van obteniendo.
Pareciera que de esta manera pueden relacionar los datos del problema con más
facilidad. En la figura 4, podemos ver que Victoria, usando las mismas letras que Rocío,
completó la última parte del trabajo de la siguiente manera:
FIGURA 4 AQUI
En el ítem a) planteó claramente dos ecuaciones. En el ítem b) las resolvió usando
operaciones inversas y finalmente, en el ítem c) interpreta y escribe el significado del
resultado obtenido.
En definitiva, se puede ver que la ecuación más económica para este problema, a
saber: 2.(x - 7,25) = 24 , no surgió de los propios alumnos. Las compactas ecuaciones
que caracterizan al álgebra simbólica pueden no ser accesibles a los alumnos en una
primera instancia de aprendizaje. De todos modos, los alumnos pudieron pensar y
proponer por sí solos ecuaciones alternativas las cuales confirmaron un resultado que
ya sabían.
Reconocemos que fue difícil llegar a un consenso grupal acerca de una resolución
algebraica del problema, quizá porque el álgebra no era una herramienta necesaria
10 dadas las condiciones del mismo. Como se mencionó anteriormente, esta tarea
insumió un tiempo considerable ya que en todo momento se intentó trabajar con todas
las ideas propuestas por los alumnos. Como sugieren Schliemann, Carraher y Brizuela
(2007), debemos ser cuidadosos de no desechar el considerable esfuerzo que los
estudiantes deben hacer en cada adaptación.
Reformulación del problema verbal
Separada de un elemental principio de necesidad, la nueva herramienta aparece frente
a los alumnos como una complicación innecesaria. En este trabajo se presentó un
problema (ver pág 3) que podría ser reformulado de tal manera que la resolución
mediante ecuaciones resulte francamente más eficaz que los recursos aritméticos de
los que dispone, en general, un alumno de 12 años. Por ejemplo, se podría presentar
de la siguiente manera:
Estefi y Juan fueron al shopping el sábado. Llevaban la misma cantidad de dinero cada
uno. Juan gastó la mitad de su dinero en el salón de video games, mientras que Estefi
gastó $17,25. Más tarde, se dirigieron a la “Bolsa del libro usado” y la encargada del
negocio le pagó a Estefi lo que le correspondía por la venta del libro de inglés que
había dejado en consignación. Al salir de allí, Estefi había duplicado el monto de dinero
que tenía antes de entrar.
Al finalizar la tarde, contaron el dinero que les quedó y descubrieron que volvían a tener
exactamente la misma cantidad. ¿Cuánto tenía cada uno cuando llegaron al shopping?
11 Este problema se diferencia del anterior en que no dice concretamente con cuánto
dinero llegó Juan al shopping. Por lo cual, ya no se podría resolver de la misma
manera. Aquí serán necesarias otras estrategias como, por ejemplo, definir una
incógnita desde el principio y resolver el problema mediante ecuaciones.
Conclusión
Retomando la pregunta formulada al inicio de este trabajo se podría decir que el uso de
símbolos (letras) sirvió en esta oportunidad como una estrategia para comunicar un
razonamiento. Efectivamente, el uso de la notación simbólica surgió durante la
interacción grupal donde cada integrante explicó su procedimiento. Por lo tanto, debió
existir un consenso en el cual se aceptó trabajar con símbolos (letras) ya sea por
necesidad o porque simplemente se asumió el desafío. Más aún, si consideramos que
el razonamiento algebraico está asociado con e integrado a otros sistemas
representacionales (Carraher y Schliemann, 2007), podemos decir que los alumnos
tuvieron oportunidad de manifestar algunas habilidades algebraicas tales como:
•
entender las relaciones entre los datos del problema y explicar en forma verbal
un procedimiento matemático,
•
hacer un uso significativo de las letras para designar un valor desconocido,
12 •
traducir a un lenguaje simbólico dichas relaciones mediante el planteo de
ecuaciones,
•
usar expresiones algebraicas tales como
X – 7,25 = E para representar
otro valor desconocido, distinto de X.
Estos resultados sugieren que si se les ofrece a los estudiantes la posibilidad de
intercambiar opiniones con el fin de pensar otros procedimientos, el planteo y el trabajo
con ecuaciones están al alcance de ellos. Las notaciones y las expresiones
espontáneas de los alumnos deberían trabajarse pues éstas proveen fundamento para
el aprendizaje de las estructuras sintácticas del álgebra (Carraher et al., 2006).
Bibliografía
Carraher, D. W., Schliemann, A. D., Brizuela, B. M., & Earnest, D. (2006). Arithmetic
and Algebra in Early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics
Education 37(2), 87-115.
Carraher, D. W. & Schliemann, A. D. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. In
F. Lester (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Education (pp. 669-705)
Greenwich, CT: Information Age Publishing.
Schliemann, A. D., Carraher, D. W. & Brizuela, B. M. (2007). Bringing Out the Algebraic
Character of Arithmetic: From Children's Ideas to Classroom Practice. Mahwah, NJ:
Lawrence Erlbaum and Associates.
13 Anexo
Se entregó a cada alumno el siguiente problema para resolver respetando el formato
dado:
Nahuel fue a la playa una calurosa tarde de verano a encontrarse con sus
amigos. Llevaba $35. Como era su día de suerte encontró $7 entre las piedras. Invitó a
tres amigos y gastó la mitad de todo su dinero en helados.
Camila también fue a la playa con cierta cantidad de dinero. Allí gastó $10 en
una docena de churros para compartir con sus amigos. Más tarde triplicó la cantidad de
dinero que le había quedado vendiendo collares artesanales hechos por ella misma.
a) Completa la tabla con una expresión que represente:
El dinero de Camila
Cuando llegó a la playa
Después de comprar los churros
Después de la venta de collares
El dinero de Nahuel
Cuando llegó a la playa
Después de encontrar plata entre las
piedras
Después comprar helados
14 Al finalizar la tarde, Camila y Nahuel contaron su dinero y descubrieron que tenían la
misma cantidad de dinero.
b) Escribe una expresión matemática mostrando que Camila y Nahuel tenían
exactamente la misma cantidad de dinero al final de la tarde.
c) Resuelve la ecuación y redacta una respuesta adecuada.
15 Figura 1
Figura 2
Figura 3
16 Figura 4
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