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Teniendo en cuenta que en muchas ocasiones el alumno, no sólo tienen
dificultades con el contenido matemático a la hora de resolver problemas, creemos
conveniente que los profesores reflexionemos sobre los elementos metodológicos o
sobre las herramientas de autorregulación que le proporcionamos a los estudiantes para
que puedan enfrentarse a la resolución de problemas. En particular, a la hora de resolver
un problema algebraico, es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. Un esquema
posible a seguir es el propuesto por G. Polya para la resolución de todo problema:
1. Leer y comprender el enunciado del problema
2. Encontrar la vía de solución. Elaboración de un plan.
3. Realizar el plan elaborado.
4. Comprobar la solución y evaluarla críticamente.
Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el alumno no llegue a la solución
deseada, se podría plantear una serie de interrogantes, (impulsos). Utilizando, en
términos de Shoenfeld, los procedimientos heurísticas, como por ejemplo:
1. ¿Qué nos dan?
2. ¿Qué nos piden?
3. ¿Puedo utilizar alguna fórmula?
4. ¿He utilizado todos los datos?
5. ¿He planteado bien la ecuación?
6. ¿Está bien elegida la incógnita?
7. ¿La ecuación está bien resue lta?
8. ¿El resultado es factible o coherente con los datos que me proponen?
Posteriormente, centrándonos en el itinerario didáctico para el tratamiento de los
sistemas de ecuaciones y su uso, proponemos la siguiente secuencia de contenidos:
1. Ecuación de primer grado con dos incógnitas. Solución.
2. Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
3. Ecuaciones y sistemas equivalentes de primer grado con dos incógnitas.
4. Solución por diferentes métodos analíticos (igualación, reducción y sustitución)
y gráfico.
5. Interpretación gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas, de un
sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y de sus
soluciones (sistema compatible determinado, sistema compatible indeterminado
y sistema incompatible)
Y, los siguientes procedimientos a desarrollar:
1. Obtención de una solución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Comprobación de una solución de una ecuación de primer grado con dos
incógnitas y obtención de una ecuación a partir de una solución.
2. Identificación de ecuaciones equivalentes de primer grado con dos incógnitas e
identificación de sistemas equivalentes de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas.
3. Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
por los métodos de igualación, sustitución y reducción.
4.
Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
5. Determinación de sistemas compatibles indeterminados e incompatibles.
6. Resolución de problemas en los cuales necesita plantear un sistema de dos
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
En lo que concierne al diseño de actividades, por una parte, sugerimos iniciar el estudio
de las ecuaciones con actividades de tanteo. Es decir, por la estrategia del ensayo y
error, en las que los alumnos han de utilizar el razonamiento prealgebraico al que ya
están acostumbrados. A continuación los símbolos son introducidos para representar
objetos o bien acciones sobre objetos, pero no sean considerados objetos sobre los que
realizar acciones. Por último, los símbolos son considerados objetos sobre los cuales
realizar acciones. Un ejemplo de este tipos problemas que se podrían proponer son los
siguientes:
Una empresa fabrica carteras y maletines con el mismo tipo de piel. Para fabricar una
cartera utilizan 1 m2 de piel, y para un maletín, 3 m2. Para fabricar una cartera
necesitan 2 horas de trabajo y para fabricar un maletín, 1 hora. Si sabes que la
empresa dispone de 27 m2 de piel y de un equipo d¡ humano capaz de trabajar 34
horas, completa la tabla siguiente hasta encontrar una producción que agote tanto la
disponibilidad de piel como la de mano de obra. (Sugerencia: utiliza el método del
ensayo y error).
Carteras
Maletines
M2 de piel
No. de horas
7
6
25
20
11
5
27
34
Lo interesante de este problema, además de mostrar al alumno la potencialidad y la
validez de la estrategia del ensayo error, le muestra la importancia de la información
representada en un tabla y la traducción del lenguaje verbal en que está enunciado el
problema al lenguaje tabla en el que es necesario su solución (Janvier). Al final se les
puede mostrar la economía de la técnica (cuando se trate de valores mayores puede ser
muy difícil de encontrar por ensayo y error) y plantear las dos ecuaciones:
x = número de carteras; y = número de maletines.
x + 3y = 27
2x + y = 34.
Otro tipo de actividad, del cual ya no hemos extendido en el módulo 4, es el uso de
balanzas como instrumento para modelizar situaciones de la realidad que requieren de
gran complejidad algebraica. Hay investigaciones en didáctica que demuestran las
potencialidades de esta herramienta para la introducción del álgebra, auxiliando a los
alumnos a vencer dos tipos de obstáculos que interfieren significativamente en la
comprensión del álgebra en la escuela:
1. La operación sobre incógnitas
2. La utilización de un concepto de
equivalencia distinto de los significados
anteriormente atribuidos por los alumnos al
signo igual (Carraher y Schliemann, ,
1987)
Estas mismas autoras, plantean que el proponer situaciones significativas en el aula
como lo son las situaciones hipotéticas que incluyen el uso de representaciones de
balanzas de dos brazos, permite una modelización de situaciones de la realidad que
facilitan la introducción del álgebra escolar y revelan el uso práctico del álgebra con
situaciones concretas de la realidad y no como la presentan muchos de los profesores
rodeada de ejercicios y expresiones abstractas.
Carraher y Schliemann (1987), señalan que en este proceso de modelización pueden
emerger diferentes niveles:
1. En un nivel más simple los alumnos comprenderían sólo, que las equivalencias,
que se dan en la balanza, podrían ser transmitidas a otras medidas, como litros, y
a valores básicos diferentes. En este caso podemos caracterizar la competencia
de los alumnos como suficiente para resolver incógnitas, pero no para operar
sobre incógnitas. La resolución de la situación sería lograda intuitivamente, de la
misma forma que hacemos cuando resolvemos un ejercicio muy sencillo
representado en un lenguaje algebraico: 4 + x = 6.
2. Un segundo nivel más complejo, también posible, es el que denominan la
comprensión profunda de equivalencias y cancelaciones, que puede ser aplicada
en la solución de ecuaciones utilizadas en situaciones de enseñanza.
Por tanto, el uso de balanza puede llevar implícito diferentes niveles de dificultad y
puede favorecer la consolidación de expresiones equivalentes que es importante a la
hora de introducir los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, más
concretamente el método de reducción. Igualmente, puede ayudar a consolidar la
competencia de cancelación de expresiones básicas para la introducción de l método de
igualación de ecuaciones.
Un ejemplo de este tipo de actividades, y que lleva implícito un proceso de resolución
con diferentes complejidad cognitiva, y por tanto, de diferentes métodos de resolución
pueden ser:
Encuentra
½ Kg.
con
la
información del dibujo, el
valor de cada paquete.
Los alumnos pueden utilizar diferentes estrategias para resolver la ecuación de primer
grado con dos incógnitas que modelista la situación, sin utilizar el álgebra:
- Quienes utilicen hipótesis sobre el valor de cada paquete.
- Quienes hagan hipótesis sobre el valor del platillo. En este caso, las hipótesis se
centran en la compensación y hablan de cantidades en cada platillo
relacionándolos con valores exactos 1 kilo, dos kilos, etc.
- Quienes eliminen el paquete común y llegan a la conclusión que la esfera vale 400
g.
- Quienes busquen la igualación, descomponen el medio kilo como: 500 = 400 +
100 y concluyen que 400 +100 + = 100 + + Ï. Por tanto, esfera igual 400 g.
Lo interesante es después llevarle al planteamiento de la ecuación y que la resuelvan por
técnicas ya conocidas:
500 + x = 100 + x + y
Igualmente, en las actividades que proponemos en el aula de secundaria, se debe
tener en cuenta ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado,
con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución, con infinitas
soluciones y con solución única), y su interpretación en el problema planteado.