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Probabilidad y Estadística
Probabilidad
Ing. Ivannia Hasbum., M.Eng.

Todos los días tomamos decisiones pero
no las tomamos a ciegas, imaginar las
probabilidades de varios resultados
posibles nos ayuda a decidirnos por la
opción correcta. Incluso sin saberlo
confiamos en una clase especial de
cálculo, “el cálculo de la probabilidad de
sucesos específicos”
Considere como se cambian los planes de un
determinado día de paseo si la probabilidad de
lluvia es muy alta. ¿Qué tan probable es, nos
preguntamos, que el aumento de los
hidrocarburos disminuya la venta de los mismos,
o bien que una inspección localice las partes
defectuosa de un proceso? ¿Cuáles son las
probabilidades de encontrar formas de vida en
otro planeta?
 Es por ello que el propósito de este tema es
desarrollar las ideas básicas que se necesitarán
para una adecuada estadística inferencial.


Axioma 1 0 ≤ P(A) ≤1 para cada evento
A en S.


Axioma 2 P(S) = 1.


Axioma 3 Si A y B son eventos que se
excluyen mutuamente en S, entonces
P(A U B) = P(A) + P (B)
Experimentos y eventos

Un experimento es cualquier proceso
planeado que da lugar a observaciones o
a recolección de datos; un ejemplo
tradicional es el área de probabilidad es
arrojar un dado y observar el número de
cara que queda hacia arriba cuando se
detiene; para este experimento habría 6
posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Todos los experimentos tienen resultados y la
mayor parte de ellos son inciertos y dependen
del azar; los resultados de un experimento
forman un conjunto llamado espacio muestral.


Donde un espacio muestral (S), son
todos los posibles resultados de un
experimento

Para cierto experimento,
es posible
determinar la probabilidad de que ocurra
una colección de resultados, en lugar de la
probabilidad de que se de uno solo. Por
ejemplo cuando se lanza un dado, estamos
interesados en aquellos resultados que sean
un número par; a esta colección de
resultados., se les denomina evento


Un evento es cualquier subconjunto
del espacio muestral S.

Tomando como referencia el experimento
del dado, el espacio muestral para este
experimento es {1, 2, 3, 4, 5 y 6}. Algunos
posibles eventos serían:


A= {1, 3, 5}


B = {2, 4, y 6}

Estos son algunos posibles eventos del
espacio muestral antes descrito. El
conjunto vació y el espacio muestral S
también son eventos.


Un evento simple es un evento
que contiene sólo un resultado.
Si se realiza una representación gráfica del espacio
muestral y de las relaciones entre los eventos se
uso el Diagrama de Venn, el cual es un rectángulo
que representa el espacio muestral y los eventos
son círculos dentro del rectángulo

Considere el ejercicio de tirar dos dados y observar como caen; el
espacio muestral sería de 36 resultados posibles y se mostraría de la
siguiente manera.









{ (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
Para el experimento anterior liste los resultados posibles de los
siguientes eventos





La suma sea impar
Los números del primer dado son pares
Los datos obtenidos en el primer dado son 1 ó 4
Los datos del segundo dado son números impares

Solución:






A= {(1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5)
(3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5)
(5,2) (5,4) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5)}



b.
B= {(2,1)


(2,2)
(4,1)
(6,1)
(2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
(4,4)
(6,6)}



c.
C= {(1,2)

(1,4) (1,6) (1,1)
(4,1) (4,2) (4,3)









d.
D= {(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)}
(1,3) (1,5)
(4,4) (4,5) (4,4)}
Si E es un evento contenido en un espacio
muestral S, entonces el evento E’ es llamado
E complemento, es el que contiene todos los
resultados en S que no están contenidos en
E.

Dos o más eventos son mutuamente
excluyentes, o disyuntos, si no pueden
ocurrir al mismo tiempo.
Esto es, la
ocurrencia
de
un
evento
impide
automáticamente la ocurrencia del otro (u
otros). Por ejemplo, supongamos
que
considerando los dos posibles eventos “as” y
“rey” en relación con la extracción de un
naipe de un mazo. Estos dos eventos son
mutuamente excluyentes, porque un naipe
dado no puede ser al mismo tiempo as o
rey.

Dos eventos son no
mutuamente
excluyentes
cuando es posible que
ocurran al mismo tiempo. Obsérvese
que esta definición no indica que estos
eventos
siempre
deban
ocurrir
necesariamente en forma conjunta
Reglas de adición

Las reglas de la adición se emplean cuando se desean
determinar la probabilidad de que ocurra un evento u
otro (o ambos) en una sola observación.
Simbólicamente, podemos representar la probabilidad
de que ocurra el evento A o el evento B con P(A o B).
en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esto se conoce
como la unión de A y B, y la probabilidad se designa
como P (AUB) (“probabilidad de A unión B).

P (A o B) = P(AUB) = P(A) +P (B)
Ejemplo
Al extraer un naipe de un mazo, los eventos “as” (A) y “rey”
(R) son mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer
un as o un rey en una sola extracción es:



Cuando los eventos no son mutuamente
excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia
conjunta de los dos eventos resta de la suma de
las probabilidades simples de los dos eventos.
Podemos representar la probabilidad de
ocurrencia conjunta con P (A y B). En el lenguaje
de la teoría de conjuntos esto se conoce como
intersección de A y B y la probabilidad se designa
P (A∩B). Así la regla de la adición para eventos
mutuamente excluyentes es:
P (A o B) = P(AUB) = P(A) +P (B) – P(A∩B)
Para eventos mutuamente
excluyentes
Para eventos que no son
mutuamente excluyentes

Ejercicio de Diagrama de Venn
Permutaciones y Combinaciones
Permutaciones
 Una permutación es una combinación en
donde el orden es importante. La
notación para permutaciones es P(n,r)
que es la cantidad de permutaciones de
“n” elementos si solamente se
seleccionan “r”.

Existen diferentes permutaciones los
cuales nos ayudan a obtener el tamaño de
muestra. Estas se muestran
seguidamente:
 a. En donde por ejemplo el número de
permutaciones de n objetos distintos es
n!.

¿De cuántas maneras diferentes se puede
acomodar una caja con 12 lápices de
color?.
 En este caso el número de permutaciones
sería ! o sea 479001600. No pareciera
que los lápices de una caja de 12 unidades
puedan acomodarse de tantas maneras
posibles es por ellos la importancia de la
permutaciones


De cuantas maneras pueden sentarse 10
personas en un banco en el que solo hay
asiento para 4?

10 *9 *8 *7 = 5040
¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden
formar con los dígitos 0,1,2,3,…..,9 si:
 a. se permiten las repeticiones
 b. no se permiten las repeticiones
 c. el último dígito debe ser cero y no se
permiten las repeticiones.

El número de permutaciones de n objetos
distintos tomados de r a la vez es
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en
un círculo es:
(n-1)!
De cuántas maneras se pueden sentar 7 personas en una
mesa redonda si:
 A. pueden sentarse como quieran
Si se deja que cada uno de ellos se siente donde quiera.
Entonces las 6 personas restantes se pueden sentar de 6!
Maneras.

B. Dos personas no deben sentarse juntas
 Considere a 2 determinadas personas como una. Entonces
hay 6 personas que en total pueden ser acomodadas de 5!=
120. Maneras. Pero las 2 personas consideradas como una se
pueden sentar como 2 !. Por lo que al final esas personas
pueden sentarse en 720-240 formas diferentes

Combinaciones
Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una
campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán
formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos,
b. si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los
grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?,
c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres
o más
Probabilidad usando Análisis
Combinatorio
En el juego de póquer se extraen 5 cartas
de un paquete de 52 cartas bien
mezcladas. Encontrar la probabilidad de
 A. P(4 ases)
 B. p(4 ases y 1 rey)
 C. P( 3 sean dieces y sean sotas)
 D. P(nueve, diez, sota, reina, rey en
cualquier orden)

Probabildad Condicional
La posibilidad de que un evento ocurra sabiendo que ha ocurrido
otro evento se denomina Probabilidad Condicional.
Por ejemplo la probabilidad de que una persona nacida en 1973 viva
hasta los 40 años es 0,97, y la probabilidad de que viva hasta los 65 es
0,66. Sabiendo que ha alcanzado los 40, calcular la probabilidad de que
viva hasta los 65.

En un mostrador hay una caja grande y otra pequeña.
La grande contiene 5 jabones de color verde y catorce
de color amarillo, mientras que la pequeña contiene uno
de color verde y cuatro de color amarillo. Se saca, al
azar, un jabón de la caja pequeña y se deposita en la caja
grande; luego se saca, al azar un jabón de la caja grande
y se deposita en la pequeña. Cuál es la probabilidad de
que estos dos últimos jabones sean de color amarillo?
Eventos Independientes, Dependientes y Probabilidad
Condicional
Dos eventos son independientes cuando la
ocurrencia o la no ocurrencia de un evento no
afectan a la probabilidad de ocurrencia del otro
evento.
 Cuando dos eventos son dependientes, se
emplea el concepto de probabilidad condicional
para designar la probabilidad de ocurrencia del
evento relacionado. La expresión P (B/A) indica
la probabilidad de que ocurra el evento B dado
que ha ocurrido el evento A. Note el hecho de
que B/A no es una fracción.


Las expresiones de probabilidad condicional no se
requieren para eventos independientes, porque, por
definición no existe relación entre la ocurrencia de
estos eventos. Por lo tanto, si los eventos A y B son
dependientes, la probabilidad condicional P(B/A) es
siempre igual a la probabilidad no condicional P(B).
Consiguientemente, para probar la independencia de
dos eventos A y B puede decirse que:


P(B/A) = P(B)

P(A/B) = P(A)
Reglas de la multiplicación

Las reglas de la multiplicación se refieren a la
determinación de la probabilidad de la ocurrencia
conjunta de A y B. Como se explicó en la sección 3.3,
esto alude a la intersección de A y B: P(A B): Existen
dos variantes de la regla de la multiplicación, según si los
dos eventos son independientes o dependientes. La
regla de la multiplicación para eventos independientes
es



P(A y B) = P(A B) = P(A) *P(B)
De acuerdo con la formula anterior, si una
moneda equilibrada se lanza dos veces, la
probabilidad de que ambos lanzamientos
den por resultado una “cara” es
 ½ * ½= ¼



Ejemplo
Supongamos que se sabe que un conjunto de 10 partes de
repuesto contiene ocho partes aceptables (A) y dos partes
defectuosas (D). Dada la selección aleatoria sin reemplazo de dos
partes, la secuencia de resultados posibles y las probabilidades
aparecen en el diagrama de árbol siguiente. Con base en la regla de
la multiplicación para eventos dependientes, la probabilidad de que
las dos partes seleccionadas sean aceptables es
P( A1 yA2 )
P( A1 ) P( A2 / G1 )
8
10
7
9
56
90
28
45
Teorema de Bayes
Sea un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente
excluyentes, luego,
= A1 A2 A3 ..... An
Luego si ocurre un evento B definido en , observamos que;
B= B=(A1 A2 A3 ..... An) B= A1 B) (A2 B) (A3 B) ..... (An B)
Donde cada uno de los eventos Ai B son eventos mutuamente excluyentes,
por lo que
p(B) = p(A1 B) + p(A2 B) + p(A3 B) +......+ p(An B)
y como la p(Ai B) = p(Ai)p(B/Ai) , o sea que la
probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es
igual al teorema de la multiplicación para probabilidad
condicional, luego;
 p(B) = p(A1)p(B/A1) + p(A2)p(B/A2) + p(A3)p(B/A3) +
p(An)p(B/An)


Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%,
26% y 31% de la producción total de una empresa
respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6%
del producto manufacturado por estas máquinas es
defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se
encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de
que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b.
Si el producto seleccionado resulta que no es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
fabricado en la máquina C?

Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en
cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Aurora o
Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5%
respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se
les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a.
Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que
no se le haya dado un mal servicio?, b. Si se selecciona a un visitante
al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado,
¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del
Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado,
¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel Fiesta
Inn?