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Cinemática
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Contenidos del módulo
7.1 Movimiento uniforme
7.2 Movimiento uniformemente acelerado
7.3 El plano inclinado
7.4 El movimiento inercial
7.5 El movimiento de los proyectiles
7.6 Relatividad galileana
7.7 Inercia circular
Objetivos del módulo
Galileo Galilei (1564-1642). Además de
astrónomo, Galileo fue un famoso físico.
Descubrió las leyes que rigen la caída de los
cuerpos y el movimiento de los proyectiles.
En la imagen, estampilla conmemorativa.
1. Exponer los argumentos de Galileo para justificar el movimiento inercial.
2. Analizar el movimiento de los proyectiles a partir de la ley de caída libre y del movimiento inercial.
3. Discutir el principio de relatividad galileana.
4. Aplicar el principio de relatividad de Galileo a la justificación del modelo copernicano.
Preguntas básicas
1. Utilice la regla de Oresme para demostrar que en el movimiento uniformemente acelerado la velocidad media de un cuerpo es igual a la semisuma de las velocidades inicial y final.
2. A partir de las ecuaciones para el movimiento uniformemente acelerado demuestre que la velocidad final de un cuerpo que desciende por un plano inclinado sólo
depende de la altura desde la que desciende el cuerpo.
3. ¿Por qué se dice que si los espacios recorridos sucesivamente en intervalos idénticos de tiempo crecen como los números impares el movimiento es uniformemente acelerado?
4. Explique cómo intuir el movimiento inercial a partir del análisis del movimiento de
un cuerpo que desciende por un plano inclinado y asciende por otro plano opuesto
de inclinación variable.
5. ¿Por qué se dice que el principio de relatividad galileano es un principio de impotencia?
6. ¿Por qué razón concibió Galileo el movimiento inercial como un movimiento circular?
Vea el módulo 7 del
programa de
televisión Física
Conceptual
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Introducción
El aporte metodológico de Galileo a la construcción de la ciencia como una actividad
teórica se puede verificar experimentalmente a partir de la cuidadosa preparación de
sus montajes, la selección de las variables que se quieren determinar y la definición
clara de las magnitudes que intervienen en el modelo teórico.
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Módulo 7: Cinemática
7.1 Movimiento uniforme
Escuche Galileo en su
multimedia de Física
Conceptual
Antes de proceder a analizar los experimentos de Galileo en el plano inclinado es
necesario definir con claridad los términos que se van a utilizar. En primer lugar
está el movimiento uniforme de un cuerpo. Decimos que un cuerpo realiza un
movimiento uniforme o con velocidad constante si en idénticos intervalos de tiempo
recorre espacios idénticos, por lo que el espacio total recorrido es proporcional al
tiempo de recorrido. Se llama velocidad a la relación entre el espacio recorrido y el
tiempo del recorrido.
Si 'x
x x0 y 't
v
'x 't
Si definimos que t0
x
t t0 , entonces
(7.1)
0 , de (7.1) se sigue que:
x0 vt
(7.2)
7.2 Movimiento uniformemente acelerado
v
v
Si la velocidad de desplazamiento de un cuerpo cambia decimos que el movimiento
es acelerado. El caso más sencillo de movimiento acelerado es el movimiento
uniformemente acelerado. La aceleración está definida como la relación entre el
cambio de la velocidad y el tiempo en el que se produjo el cambio.
Si 'v
v v0 , entonces
a
'v 't
vo
t
0
t
(7.3)
Figura 7.1. Gráfica de v vs. t
En el movimiento uniformemente acelerado a es constante. De (7.3) se sigue que:
v
v0 at
(7.4)
Si se hace una gráfica de v contra t se puede demostrar la regla de Oresme, que
establece que el espacio recorrido en un movimiento acelerado que se inicia con la
velocidad v0 y aumenta hasta la velocidad v en el tiempo t, es igual al espacio que se
habría recorrido en el mismo tiempo con una velocidad igual al promedio de las
velocidades entre v0 y v (figura 7.1).
x
v v0 t
2
(7.5)
De (7.1) se puede concluir que el promedio de las velocidades inicial y final es igual
a la velocidad media, vM, que es igual al espacio total sobre el tiempo total del
recorrido.
vM
v v0 2
(7.6)
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
A partir de (7.5) es posible conocer fácilmente la velocidad final de un cuerpo que
parte del reposo en un movimiento uniformemente acelerado, en función del espacio
total y el tiempo total de recorrido:
v
2x t
(7.7)
Si introducimos (7.4) en (7.5) obtenemos que:
x
v0 t at 2 2
(7.8)
De acuerdo con (7.8) el espacio total recorrido en el movimiento uniformemente
acelerado es proporcional al cuadrado del tiempo. Este resultado será la clave para
concluir que la caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado a
partir de los datos obtenidos en el plano inclinado.
7.3 El plano inclinado
Con el fin de comprobar sus hipótesis sobre la caída de los cuerpos, y apoyándose
en las consideraciones de Stevin sobre la composición de fuerzas en una cuña
rectangular, Galileo dispuso de un listón de madera acanalado por uno de sus lados,
pulido y forrado en papel encerado, para reducir la fricción sobre los cuerpos que se
dejaban rodar por él. Posiblemente utilizó la clepsidra para medir el tiempo que
tardaba un móvil en recorrer determinada distancia sobre el plano.
También es posible que, como afirma el historiador Stillmann Drake, Galileo haya
aprovechado sus dotes musicales para medir el tiempo cantando, pues cualquier
persona con el oído educado es capaz de medir con las notas de una canción
intervalos de tiempo del orden de fracciones de segundo. Independientemente del
método que haya utilizado obtuvo la suficiente cantidad de datos como para poder
concluir que el movimiento de caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente
acelerado, aunque debió descartar su hipótesis inicial de que la velocidad de caída
era proporcional al espacio recorrido, pues los datos indicaban que la velocidad era
proporcional al tiempo de recorrido, que es lo que, como vamos a ver, caracteriza al
movimiento uniformemente acelerado. Para llegar a esta conclusión Galileo determinó
las distancias recorridas por el móvil en intervalos sucesivos de tiempo y al analizarlas
encontró que la regularidad con que la aumentaban correspondía a este tipo de
movimiento, pues si el tiempo aumentaba según la secuencia de los números
naturales 1, 2, 3..., los correspondientes espacios aumentaban como los números
impares: 1, 3, 5, 7…; así:
Tabla 7.1
Instante
1
2
3
4
5
n
80
Distancia
recorrida
1
3
5
7
9
2n - 1
Recorrido
total
1
4
9
16
25
n2
Módulo 7: Cinemática
El análisis de los datos indica que el espacio total recorrido es proporcional al
cuadrado del tiempo de recorrido, es decir:
s D t2
La anterior expresión es compatible con la expresión
x
v0 t at 2 2
que habíamos encontrado anteriormente.
Galileo encontró que todos los cuerpos que se dejaban rodar por el plano inclinado
satisfacían esta relación independientemente de su peso, por lo que la ley de caída
se puede establecer en los siguientes términos:
“En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración,
independientemente de su peso”.
7.4 El movimiento inercial
Tal y como se hizo a partir del estudio del movimiento de un péndulo que tiene un
obstáculo en su recorrido y cuya cuerda se va haciendo paulatinamente más larga,
hasta que tiende al infinito, el estudio del movimiento de los cuerpos en planos de
inclinación variable también permite hacer una aproximación al movimiento inercial
(figura 7.2). Consideremos inicialmente dos planos enfrentados con la misma
inclinación. Si desde uno de ellos se deja descender un cuerpo se podrá observar
que asciende por el plano opuesto hasta una altura aproximadamente igual a aquella
desde la que descendió. Si se pudiera eliminar completamente la fricción se podría
esperar que la altura que alcanza el móvil en el plano opuesto sea exactamente igual
a la altura desde la que descendió.
h
h
Figura 7.2. Planos opuestos de igual inclinación
Consideremos nuevamente los dos planos enfrentados pero ahora disminuyamos
la inclinación del segundo de ellos (figura 7.3). Se puede observar que, siempre que
se pueda despreciar la fricción, el cuerpo alcanza la misma altura desde la que
descendió, aunque ahora su recorrido es mayor. Podemos continuar en el proceso
de disminuir la inclinación del segundo plano y se podrá observar que se mantiene
la tendencia del cuerpo a subir hasta la misma altura desde la que descendió, siempre
que se desprecie el efecto de la fricción. Puesto que el cuerpo alcanza su máxima
velocidad cuando llega a la parte inferior del plano, siempre tiene la misma velocidad
Escuche Inercia, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
“En el vacío todos los cuerpos
caen con la misma aceleración,
independientemente de su peso”
Ley de la caída - Galileo
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
inicial antes de ascender por el plano opuesto para alcanzar la altura h desde la que
descendió.
Se puede concluir que la altura que alcanza un cuerpo disparado hacia arriba sobre
un plano inclinado depende exclusivamente de la velocidad inicial.
h
Figura 7.3. Planos opuestos de diferente inclinación
Si se deja descender el cuerpo desde el segundo plano, siempre desde la misma
altura h, para varias inclinaciones posibles, se podrá observar que alcanza la altura
h en el plano inicial. De lo anterior se puede llegar a una importante conclusión: la
velocidad que alcanza un cuerpo que desciende sin fricción por un plano inclinado
depende exclusivamente de la altura inicial.
Ahora podemos plantearnos la siguiente pregunta: ¿qué sucede con el cuerpo
después de descender del primer plano si el plano opuesto está en posición horizontal
y se prolonga indefinidamente? (figura 7.4).
v = cte
h
Figura 7.4. Plano inclinado con plano horizontal
Podemos asumir que en tanto el cuerpo se desplace horizontalmente y no ascienda
por otro plano conservará su velocidad. Al igual que en el caso del péndulo cuya
cuerda tiende a infinito, el movimiento horizontal de un cuerpo sobre un plano sin
fricción es un movimiento inercial. En este tipo de situación el cuerpo conserva su
estado de movimiento en tanto no cambien las condiciones de su desplazamiento,
o no se presenten obstáculos. La característica más importante del movimiento
inercial es su autonomía, puesto que puede mantenerse indefinidamente siempre
que no actúen elementos externos –por eso se denomina “estado de movimiento”–,
con lo que se establece una clara diferencia con la concepción aristotélica para la
cual el movimiento debe tener una causa.
7.5 El movimiento de los proyectiles
Consideremos el movimiento de un cuerpo que es lanzado horizontalmente.
Supongamos que el cuerpo en cuestión inicialmente desciende por un plano inclinado
hasta alcanzar una velocidad v sobre la horizontal y que luego cae al vacío. Si en
lugar de caer al vacío el cuerpo hubiera continuado su trayectoria horizontal sobre
un plano su movimiento habría sido uniforme, de tal modo que en iguales intervalos
de tiempo habría recorrido espacios iguales, que vamos a registrar como puntos
igualmente espaciados sobre una línea horizontal.
Ahora consideremos el movimiento de un cuerpo que se deja caer desde el punto
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Módulo 7: Cinemática
donde termina el plano horizontal. De acuerdo con la ley de caída de Galileo, el
cuerpo recorre en intervalos consecutivos de tiempo espacios proporcionales a los
números impares.
El movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente se puede descomponer en
dos movimientos independientes: el movimiento horizontal con velocidad uniforme
y el movimiento vertical uniformemente acelerado. Si describimos el movimiento
horizontal mediante la coordenada x, y el movimiento vertical por la coordenada y,
entonces el espacio recorrido a partir del punto O será:
x
y
(7.9)
vt
2
gt 2
(7.10)
donde g es la aceleración de caída libre. Si despejamos la variable t en (7.9) y la
introducimos en (7.10) obtenemos que:
y
g
2v 2 x 2
(7.11)
A partir de la ecuación (7.11) podemos concluir que el movimiento de un proyectil
corresponde a una trayectoria parabólica. De nuevo aparece una de las cónicas
desempeñando un papel clave en la descripción del movimiento de los cuerpos.
Antes de Galileo, y siguiendo la tradición aristotélica, se creía que la trayectoria de
un proyectil era inicialmente rectilínea, correspondiente al movimiento violento
sustentado por el aire, y posteriormente, una vez el aire se “cansaba” de impulsar al
proyectil, era una recta que apuntaba hacia el centro de la Tierra, lo que no resultaba
de mucha ayuda a los maestros artilleros de la época cuando necesitaban acertar a
un blanco que se encontraba a considerable distancia. Gracias a los estudios de
Galileo sobre el movimiento de los proyectiles, los artilleros han podido desempeñar
mejor su trabajo.
7.6 Relatividad galileana
El estudio que tan ingeniosamente condujo Galileo sobre el movimiento de los
proyectiles tenía un objetivo concreto, que no era otro que demostrar a los
aristotélicos que era perfectamente posible que la Tierra estuviera en movimiento
sin que éste se hiciera evidente, por la sencilla razón de que era un movimiento
inercial, que no precisaba de la acción de ninguna fuerza. Durante mucho tiempo se
había discutido si el movimiento de la Tierra se debía manifestar o no a través del
comportamiento de los cuerpos en caída libre y de los proyectiles.
Tycho Brahe había argumentado, sobre el papel, que si la Tierra tuviera un
movimiento de rotación hacia el este se debía manifestar haciendo que las balas de
un cañón tuvieran mayor alcance hacia el oeste y que como tal efecto no se apreciaba
se podía concluir que la Tierra estaba inmóvil. También se argumentaba que debido
a la rotación de la Tierra los cocos no deberían caer al pie de las palmas, puesto que
durante la caída el piso se habría desplazado una distancia considerable. Si tenemos
en cuenta que un coco cae desde una altura de unos cinco metros en poco más de
un segundo y que la velocidad con la que supuestamente gira un punto del ecuador
es de unos 460 m/s, los cocos deberían caer desde las palmas de más de cinco
metros a una distancia de medio kilómetro de la base de la palmera. De nuevo, el
hecho de que tal fenómeno no se aprecia se tomaba como una prueba irrefutable de
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
que la Tierra estaba en reposo. Sin embargo, el argumento de Galileo respecto a la
falta de evidencia del movimiento se podría parafrasear en los siguientes términos:
Observe lo expuesto en
“el movimiento de la Tierra no se siente porque el movimiento inercial no se siente”.
la figura 7.5 en su
La anterior afirmación constituye una forma de enunciar lo que se ha dado en llamar
multimedia Física
el Principio de Relatividad Galileana, que también se puede enunciar diciendo que:
Conceptual.
“es imposible detectar el estado de movimiento de un sistema inercial desde adentro
«Barco con mástil y
marinero soltador de
del propio sistema”. Las anteriores consideraciones permiten establecer que la
balas»
mecánica de Galileo y, en consecuencia, la física que se construye a partir de sus
conceptos parte de un principio de relatividad.
A partir del principio de relatividad galileana y del estudio del movimiento de los
proyectiles se puede analizar un viejo problema directamente relacionado con la
posibilidad de detectar el movimiento de la Tierra que se había planteado mucho
antes de que Galileo publicara sus trabajos. Se trataba de determinar dónde caería
una bala de cañón soltada desde lo alto del mástil de un barco que se desliza
suavemente río abajo (figura 7.5).
De acuerdo con los aristotélicos, al soltar la bala ésta dejaba de experimentar la
acción violenta que la mantenía en un movimiento horizontal solidario con el barco
y, siguiendo la naturaleza de su materia, caía verticalmente hacia el centro de la
Tierra mientras que el barco continuaba en su movimiento horizontal. En
consecuencia la bala debía caer lejos del pie del mástil. Suponiendo que el barco
estuviera completamente envuelto en una capa de niebla, se podría utilizar la caída
de balas desde lo alto del mástil para saber si el barco estaba en reposo o en
movimiento, e, incluso, se podría saber qué tan rápido se movía.
Figura 7.5. Barco, con mástil y marinero soltador de balas
Alternativamente a la solución aristotélica se planteaba que el barco y todos los
elementos que había en él hacían parte de un mismo sistema de referencia y que por
tanto compartían solidariamente todos los movimientos, lo que hacía imposible
detectar el movimiento del sistema desde el propio sistema. Se considera que este
fue el origen del concepto de sistema de referencia y está asociado al nombre de
Giordano Bruno.
Al analizar el mismo problema desde la perspectiva del movimiento de los proyectiles
que había elaborado Galileo era fácil concluir que mientras el barco se deslizara
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Módulo 7: Cinemática
suavemente por el río con velocidad uniforme sería imposible detectar su estado de
movimiento mediante la observación de la caída de balas desde lo alto del mástil,
puesto que en el momento de ser soltada la bala adquiría un movimiento vertical
acelerado, pero conservaría su estado de movimiento inercial horizontal solidario
con el barco, de modo que debería caer al pie del mástil. Para un observador en tierra
la bala habría descrito un movimiento parabólico, en tanto que para un observador
dentro del barco el movimiento habría sido vertical y rectilíneo.
7.7 Inercia circular
En el prólogo que escribió Albert Einstein para la edición inglesa de los Diálogos
de Galileo dijo que sólo una audaz imaginación como la del italiano permitía saltar la
inmensa brecha que había entre los datos experimentales y las conclusiones a las
que llegó. Einstein hacía referencia a que la exactitud de las medidas realizadas por
Galileo no era suficiente para verificar sus hipótesis, pero que sin embargo era tal su
convicción que logró elaborar una estructura bastante coherente con el fin de
poder sustentar las ideas que defendía.
De esta manera es posible entender que Galileo, al establecer el movimiento inercial
como la ley fundamental de la mecánica, estaba pensando en una inercia de tipo
circular, apropiada para describir el movimiento de la Tierra y de los demás planetas
como un movimiento exento de fuerzas y de manifestaciones internas, tal como
proponía el sistema copernicano y exigían las objeciones de sus detractores. La
prolongación del plano horizontal opuesto al plano inclinado desde donde se dejaba
rodar un cuerpo, configuraba la circunferencia terrestre y el movimiento inercial del
cuerpo que se desplazaba sin ningún obstáculo con velocidad uniforme era un
movimiento circular.
Se especula que el compromiso de Galileo con el movimiento circular podría haber
sido la razón por la que nunca manifestó interés o reconocimiento por la obra de
Kepler y sus órbitas elípticas; aunque también es igualmente probable que la
oscuridad de los escritos del alemán y su innumerable cantidad de
seudodescubrimientos le hayan ocultado el verdadero valor de su obra.
La primera persona que estableció con toda claridad el movimiento inercial como
una ley de movimiento rectilíneo y uniforme fue René Descartes, cuando elaboró su
propio sistema del mundo a partir de la idea de que el universo estaba completamente
lleno de materia y que ésta giraba en vórtices o remolinos. Descartes consideraba
que de no ser por la fuerza que el medio ejercía sobre los cuerpos al girar, éstos se
moverían rectilínea y uniformemente. El modelo de Descartes pretendía dar una
explicación mecánica a la fuerza de gravedad y reprochaba de la obra de Galileo que
sólo describiera el movimiento de caída de los cuerpos sin dar una explicación de su
causa.
Resumen
Con el fin de determinar a qué tipo de movimiento corresponde la caída de los
cuerpos, Galileo concibió los experimentos en el plano inclinado, lo que le permitió
eliminar la influencia de la fricción en el movimiento de los cuerpos que se deslizan
sobre él y dilatar el tiempo de caída de tal modo que pudiera ser medido con instrumentos como la clepsidra, de los que podía disponer en su época. El análisis de los
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
resultados le permitió llegar a la conclusión de que el movimiento de caída es uniformemente acelerado, y establecer que todos los cuerpos caen en el vacío con la
misma aceleración, independientemente de su peso. Posteriores consideraciones
sobre las causas de la aceleración lo llevaron a afirmar que un cuerpo sobre el que
no actúa ninguna fuerza conserva su estado de movimiento, lo que constituye un
primer enunciado del principio de inercia, aunque restringido a trayectorias circulares, tales como las que él suponía que describe la Tierra en su órbita alrededor del
Sol.
Bibliografía
1.
2.
3.
4.
5.
86
Arons A. 1970. La evolución de los conceptos de la física. México: Editorial
Trillas.
Dampier WC. 1971. Historia de la ciencia. Londres: Cambridge University
Press.
Drake S. 1971. Galileo. Londres: Alianza Universidad.
Koyre A. 1980. Estudios galileanos. Madrid: Siglo XXI Editores.
Sepúlveda A. 2003. Los conceptos de la física. Evolución histórica. Medellín:
Editorial Universidad de Antioquia.