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Matemática y Lógica
LÓGICA PROPOSICIONAL
4.1 Concepto de Lógica: Deriva del griego logos, que significa palabra y en la
época actual se interpreta como razonamiento o pensamiento.
4.2 Antecedentes Históricos. La evolución de la lógica está relacionada a la
evolución del ser humano, pues su historia representa la historia del hombre.
4.2.1 Lógica Antigua. Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló
la silogística.
Precursores:





Aristóteles (384-332 a.c.)
Platón (427-347 a.c.)
Sócrates (470-399 a.c.)
Parménides
Zenón
4.2.2 Lógica Moderna. La lógica moderna como ciencia impactó en el
devenir contemporáneo y el nacimiento del sistema computacional se
deba al formalismo lógico.
Precursores:







Gottfried Wilhelm
Von Leibniz
Leonhard Euler
René Descartes
Isaac Newton
George Boole
Augustus de Morgan
4.3 Leyes de la Lógica. Son enunciados universales y verdaderos.
 El principio de identidad. Una cosa es idéntica a sí misma.
 El principio de contradicción. Es imposible afirmar y negar que una
cosa es y no es al mismo tiempo.
 El principio de tercio excluido. Una cosa es o no es, no cabe un
término medio.
 El principio de razón suficiente. Lo que ocurre tiene una razón
suficiente para ser así y no de otra manera.
4.4. La Oración: Un lenguaje es un conjunto de palabras que forman
oraciones y frases.
La oración es la mínima expresión para decir algo
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Existen cuatro clases de oraciones: Declarativas, interrogativas,
imperativas y exclamativas. La lógica solo usa las oraciones declarativas,
denominadas “proposiciones”.
4.5 Proposición Lógica. Es una oración cuya propiedad es ser verdadera o
falsa.
Ejemplos:






Los abogados poseen conocimientos jurídicos.
La Tierra gira sobre su propio eje.
8 + 5 > 15
El Sol no es el centro del Sistema planetario Solar.
Las obstetrices atienden partos.
Los odontólogos realizan endodoncias.
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(V)
4.5.1 Clases de Proposiciones. Pueden clasificarse en simples y
compuestas.
4.5.1.1 Proposiciones Simples.
predicado.
Tienen un solo sujeto y un solo
p: Todos los hombres son mortales.
q: El Presidente del Perú es el jefe de las fuerzas armadas.
r: Los Ingenieros usan la lógica para resolver problemas.
Las proposiciones simples se clasifican en:
 Proposiciones Simples Predicativas. El predicado concede una
cualidad del sujeto:
-
Colón fue un navegante.
El sol es una estrella.
El mar contiene sal.
 Proposiciones Simples Relacionales. Guaran una relación entre
dos o más entes.
- El río amazona es más caudaloso que el río moche.
- Carolina es más joven que Andrea.
- Diego y Enzo son hermanos y viven en Francia.
4.5.1.2 Proposiciones Compuestas. Están formadas por dos o más
proposiciones simples
-Las enfermeras realizan trabajos comunitarios y los odontólogos realizan
endodoncias.
-Si el Sol es el centro del Sistema Planetario Solar, entonces la Tierra gira
sobre su eje.
- Los abogados poseen conocimientos jurídicos si y solo si estudian leyes.
- Las obstetrices atienden partos o los farmacéuticos conocen de medicamentos.
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4.6 Expresiones No Proposicionales. Son proposiciones que no tienen la
propiedad de ser verdaderas o falsas:
¡ Prohibido fumar ¡
como te encuentras ¡
¡ Buenas noches ¡ ¡ Bienvenido amigo ¡ ¡ Hola
Expresan los sentimientos, directivas, creencias, etc.
4.7 Operaciones con Proposiciones. Se estudian varias operaciones entre
proposiciones.
4.7.1 La Negación. Una proposición negativa de otra afirmativa “p” se
denota por “p” y se lee “no p” o “no es cierto que p”.
Su tabla de verdad
p ~p
V F
F V
4.7.2 La Conjunción. Cuando dos proposiciones simples se unen
mediante el conectivo lógico “y”.
Su símbolo es , se escribe “p  q” y se lee “p y q”
La proposición conjuntiva es verdadera únicamente, cuando las dos
proposiciones p y q son verdaderas
Su Tabla de verdad:
pq
p q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
También puede usarse la conjunción por “además”, “no obstante”,
“aunque”.
4.7.3 La Disyunción Inclusiva. También la o débil, que resulta de
unir dos proposiciones con el conectivo “o”, cuyo símbolo es , se escribe
“p  q” y se lee “p o q”.
Es verdadera si y sólo si por lo menos una de sus componentes es
verdadera, siendo falsa solamente cuando las dos son falsas
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Expresa que el cumplimiento de uno de ellos, no impide el cumplimiento
del otro.
Ejemplos:
 La tierra es un planeta o el agua tiene nitrógeno.
 Trece es mayor que ocho o siete es un número primo.
 Ramón es ingeniero o es médico.
Su tabla de verdad:
q
V
F
V
F
p
V
V
F
F
pq
V
V
V
F
4.7.4 La disyunción Exclusiva. La “o” se usa en sentido excluyente, se
escribe “p Δ q” y se lee o bien p o bien q, pero no ambas.
Ejemplos:
-O la Luna es un satélite o Marte es el centro del Sistema Planetario.
-O bien siete es un número primo o bien es un número par.
-O Lima es la capital de Quito o París está en Francia.
Su Tabla de Verdad:
p
V
V
F
F
q p Δ q
V
F
F
V
V
V
F
F
Es verdadera si y solo si, por lo menos una de las dos proposiciones es
verdadera y no las dos
4.7.5 La Condicional. Su símbolo “p  q”, se lee “si p entonces q”,
donde
p es el antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión.
Ejemplos:
 Si Juan se cae al agua, entonces no se moja.
 Si 12 + 9 = 21 , entonces 9 < 21.
 Si 5 es un número primo, entonces es divisible por 1.
Su tabla de verdad es:
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p q p  q
V V
V
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V F
F V
F F
F
V
V
La condicional es falsa si y solo si, el antecedente es verdadero y falso el
consecuente
4.7.6 La Bicondicional. Su símbolo es “p  q” y se lee “p si solo si q”
El símbolo  es llamado también doble implicación.
Ejemplos:
 Hace sombra en el patio, si y solo si no hay sol.
 Andrea es estudiosa, si y solo si obtiene notas sobresalientes.
 Los hombres son mortales, si y solo si son vertebrados.
Su tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q p  q
V
V
F
F
V
F
F
V
La bicondicional resulta verdadera, cuando el antecedente (p) y
consecuente (q) tienen los mismos valores de verdad
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