Download xx 0 x≥ + = + 1 1 x

MATEMATICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
CICLO 02 2012
HOJA DE TRABAJO SOBRE LÓGICA
PARTE I: ELEMENTOS DE LÓGICA SIMBÓLICA

En los ejercicios 1-5, formule dos proposiciones, p y q de modo que satisfagan ambas
condiciones que se platean.
p  q es una proposición verdadera y p  q es una proposición falsa.
2. p  q es falsa y p  q es verdadera.
1.
p  q es falsa y p  q es falsa.
4. p  q es falsa y p  q es verdadera.
5. p  q es verdadera y p  q es falsa.
3.

Utilice los conceptos introducidos en clase para responder a los ejercicios 6-8.
6. Si se sabe que p es verdadera. ¿Que sabemos del valor de verdad de p  q , aun si no sabemos el
valor de verdad de q?
7. Si p es falsa, ¿cuál es el valor de verdad de
?
8. ¿Es posible que la tabla de verdad de una composición compuesta tenga 48 filas? Explique.
Sugerencia: Observe el comportamiento de las tablas a medida que aumenta el número de
proposiciones.

En los ejercicios 9-11, escriba la proposición como una implicación condicional ó bicondicional.
9. Una condición necesaria para que x  x es que x  0
10. Una condición suficiente para que a  b es que a  c  b  c
11. Una condición suficiente y necesaria para que x  1 es que 1  x  1
2
12. Demuestre que las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes:
a)  (p  q)  p  q
Leyes de D´Morgan
b)  (p  q)  p  q
c) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Leyes distributivas
d) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
e) p  q 
(implicación condicional)
f) p  q 
(implicación bicondicional)
g) p  q 
h)


i)
j)

Para las proposiciones compuestas siguientes, suponga que p y r son falsas y q es verdadera.
Encuentre los valores de verdad de cada proposición:
13.
14.
15.
16
17.
18.
20. Dado que las proposiciones p,q,r son falsas y la proposición s es verdadera, determine el valor de
verdad de la siguiente proposición compuesta:
21. Dadas las proposiciones simples:
;
; r: 4=11-7
a) Escriba: p  q . A partir de esta implicación condicional escriba:
i) La recíproca ii) La contrarrecíproca iii) La inversa
b) Escriba
. A partir de esta implicación condicional escriba:
i) La recíproca ii) La contrarrecíproca iii) La inversa
22. Formule la recíproca, la contradirecta y la inversa de la implicación condicional:
Si 2+4=6 entonces 2 + 6=10
21. Escriba una proposición lógica que represente cada uno de los siguientes circuitos.
B
.
A
.
D
.
C
F
E
.
G
.
.
H
.
8.
I.
J
8.
23. En los ejercicios siguientes, elabore el circuito eléctrico asociado a la proposición compuesta,
dejando constancia del proceso de transformación utilizado. Si es posible simplifique.
a)
p ( p  q)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)  p  q   r  
i)
j)
p
24. Formule las proposiciones particulares (recíproca, contra recíproca y la inversa) de:
q  p   p  q
en términos de conjunciones, disyunciones incluyentes y negaciones. Utilice equivalencias lógicas.
25. Elabore la proposición compuesta asociada al esquema mostrado, luego elabore la tabla de verdad y
determine el valor de las proposiciones p y q para los cuales hay paso de corriente entre las
terminales.
PARTE II: MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
26. Demuestre las siguientes proposiciones, indicando en cada caso el método usado:
a) Sean a, b y c números reales. Si a + c = b + c, entonces a = b
b) Sean a, b y c números reales, c ≠ 0.
Si a c = b c, entonces a = b
c) El producto de dos enteros pares es un entero par.
d) Si m+n ≥ 6 entonces m ≥ 3 ó n ≥ 3
e) Demostrar que Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar.
f) Demostrar que: la suma de dos impares es par.
g) Demostrar que la suma de dos números racionales, es otro número racional
27. Demuestre que la igualdad es válida  n   .
n
a)
i3 
i 1
n
c)
ar
i 1
n
e)
i 1
n2 (n 1) 2
4
ar n  a

,r 1
r 1
i(i!)  (n 1)!1
n
n(n  1)(2n  1)
6
n(n 1)(6n3  9n2  n 1)
30
d)
i 4 
f)
a  a   a
i 1
n
i 1
i
i 1
n
i)
n
 a0
 (2i 1)(2i 1)  (2n 1)
1
n
i 1
n
j)

n
n
1
n(n  3)


4(n  1)(n  2)
i 1 i(i  1)(i  2)
2
i 1
i 1
n(n  1)(4n 1)
g)  2i(2i 1) 
3
i 1
i
b)
n
k)
i 2
i 1
 1  (n 1) 2n
i 1
28. Demuestre (use inducción) que las siguientes proposiciones son verdaderas
a) 4n1  52n1 es divisible entre 21.
b) 11n  6 es divisible entre 5.
c) 32n  7 es divisible entre 8.
d) 32n1  2n2 es divisible entre 7
e) 4n3  5n es divisible entre 3
f) Para n impar, n(n2 1) es divisible entre 24 (para n impar)
 n  .
Augustus De Morgan (27 de junio de 1806 - 18 de marzo de 1871). Autor de las Leyes de De Morgan
Fue un matemático y lógico inglés nacido en la India. Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres entre
1828 y 1866; primer presidente de la Sociedad de Matemáticas de Londres. De Morgan se interesó especialmente por el
álgebra. Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea de aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así
como los primeros resultados de tal aplicación. En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las
siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: «la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las
negaciones»; «la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones».