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Matemáticas Propedéutico para Profesional Tema 7. Medida de ángulos, ángulos coterminales, complementarios y suplementarios, triángulos rectángulos y funciones trigonométricas de ángulos especiales. 1 Ángulo • Un ángulo se forma al rotar un rayo alrededor del vértice.
Lado terminal q
Vértice Ángulo
Lado inicial 2 D.R. © Universidad TecMilenio 1
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Ángulo en posición estándar • Vértice en el origen. • El rayo inicial debe coincidir con el eje positivo x. y x 3 Ángulos positivos y negativos • Ángulos positivos: se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj. • Ángulos negativos: se miden en el sentido de las manecillas del reloj. y y 80° x x ­135°
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Ángulos coterminales • Ángulos de diferente medida que tienen el mismo lado inicial y terminal. • Puede haber ángulos coterminales positivos y negativos. y y y
440° 80° x -280° x x 5 Ángulos complementarios • Dos ángulos positivos que sumados forman un ángulo recto. • La suma de dos ángulos complementarios es 90°. • Ejemplo: encontrar el ángulo complementario de 80° y de 160°. — Solución: ­ Complemento de 80° es 10°, ya que 80°+10°=90° ­ 160° no tiene complemento.
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Ángulos suplementarios • Dos ángulos positivos que sumados forman un ángulo llano. • La suma de dos ángulos suplementarios es 180°. • Ejemplo: encontrar el ángulo suplementario de 160° y de 300°. — Solución: ­ Suplemento de 160° es 20°, ya que 160°+20°=180° ­ 300° no tiene suplemento. 7 Radián • Un radián es la medida de un ángulo central q que intercepta un arco s igual en longitud al radio r del círculo. s
q
s=r
r 8 D.R. © Universidad TecMilenio 4
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Radián 7p
• Ejemplo: Graficar el ángulo en posición q=
6 estándar. — Solución: y x 9 Ángulo coterminal • Ejemplo: Encontrar un coterminal negativo y otro positivo para el ángulo: 7p
q = 6 — Solución:
y y q=
x q =-
19p
6 x 5p
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Ángulos complementarios y suplementarios • Dos ángulos positivos que al sumarlos forman un ángulo de p son ángulos complementarios. 2
• Dos ángulos positivos que al sumarlos forman un ángulo de p son ángulos suplementarios. 11 Ángulos complementarios y suplementarios • Ejemplo: Encontrar el ángulo complementario y el suplementario de: 5p
q = 6 — Solución: Ángulo complementario: q = Ángulo suplementario:
q=
p
6
7p
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Conversión de grados y radianes • Para convertir de grados a radianes multiplicamos por • Para convertir de radianes a grados multiplicamos por
p
180 ° 180 ° p
13 Conversión de grados y radianes • Ejemplo: convertir 130° a radianes. • Solución: æ p ö 13 p
130° ç
÷=
è 180 ° ø 18 2p
• Ejemplo: convertir a grados. 7 • Solución: 2p æ 180 ° ö
ç
÷ = 51 . 43 °
7 è p ø
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Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos • Representan las razones o relaciones entre los lados. senq =
op hip ad cos q =
hip tan q =
op ad csc q =
hip op hip sec q =
ad cot q =
ad op Hipotenusa (hip) q
Cateto adyacente (ad)
Cateto opuesto (op) 15 Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos • Ejemplo: Graficar un triángulo rectángulo 4 senq =
correspondiente a la función trigonométrica y 7 encontrar las otras cinco funciones trigonométricas. • Solución: csc q =
7 4 7 cos q =
33 7 4 33 tan q =
33 7 33 sec q =
33 33 cot q =
4 4
q ad = 49 - 16 = 33 16 D.R. © Universidad TecMilenio 8
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Funciones trigonométricas de ángulos especiales Seno, coseno y tangente de ángulos especiales p sen 30 ° = sen 6 p cos 30 ° = cos 6 =
=
1 2 p 2 sen 45 ° = sen =
4 2 3 2 cos 45 ° = cos p 4 tan 45 ° = tan 4 3 3 2 =
p 2 2 cos 60 ° = cos = 1 tan 60 ° = tan =
p p 3 tan 30 ° = tan =
6 3 p sen 60 ° = sen 3 p
3 =
1 2 = 3 17 Funciones trigonométricas de ángulos especiales • Ejemplo: Para la función cos q =
1 2 Encontrar el valor del ángulo q en grados (0°<q<90°) y p radianes (0<q< ) sin la ayuda de una calculadora. 2
— Solución: en la tabla se observa que el coseno de un p ángulo es ½ cuando q =60° o q =
3
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Créditos Diseño de contenido: Dra. Dinaky Glaros Koyama Edición de contenido: Lic. Yabneet Abril Pérez García Edición de texto: MMT. María del Mar Méndez Félix Diseño gráfico: Ing. Felipe Leyva Silva, MGTI
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