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Matemáticas
TRABAJO
“Funciones Trigonométricas”
Funciones Trigonométricas
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En este trabajo trataremos de mostrar de una forma práctica las funciones
trigonométricas, con sus formas de presentación, origen y manejos.
También se incluirán
entendimiento del contenido.
algunos
ejemplos
1. Definición de las funciones trigonométricas :
MATEMÁTICAS
al
final
para
mejor
difusión
y
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Sea ? el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º ??????360º.
Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones trigonométricas es
conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los enunciados que siguen se aplican a
cada una de las cuatro posiciones que aparecen en la figura.
Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano coordenado
XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha generado un ángulo XOA=??que
tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a
las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo
sentido de las manecillas, se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo
está en el mismo cuadrante que su lado final.
Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O, y de
coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El segmento de recta OP
se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre como positivo. En el triángulo OPB,
OB = x y PB = y tienen los signos de las coordenadas del punto P, como está indicado para los
cuatro cuadrantes. Entonces, cualquiera que sea el cuadrante en que esté ?, las seis funciones
trigonométricas de ? se definen en magnitud y signo, por las siguientes razones:
seno de ? = sen ? = y/r
coseno de ? = cos ? = x/r
tangente de ? = tg ? = y/x
cotangente de ? = ctg ? = x/y
secante de ? = sec ? = r/x
cosecante de ? = csc ? = r/y.
Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos positivos y negativos
mayores que 360º en valor numérico.
Sistema de cuadrantes:
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Teorema del Seno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en
que el triángulo no el rectángulo y se conocen más ángulos que lados. Se define de la siguiente
manera:
Teorema del Coseno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el
triángulo no el rectángulo y se conocen más lados que ángulos. Se define como:
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2. Identidades trigonométricas fundamentales:
csc ? = 1/sen ?
sec ? = 1/cos ?
ctg ? = 1/tg ?
tg ? = sen ?/cos ?
sen² ? + cos² ? = 1
1 + tg² ? = sec² ?
1+ ctg² ? = csc² ?
3. Fórmulas de reducción:
sen (90º ± ?) = cos ?
cos (90º ± ?) = ± sen??
tg (90º ± ?) = ± ctg ?
sen (180º ± ?) = ± sen ?
cos (180º ± ?) = -cos ?
tg (180º ± ?) = ± tg ?
sen (270º ± ?) = -cos ?
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cos (270º ± ?) = ± sen ?
tg (270º ± ?) = ± ctg ?
sen (360º ± ?) = ± sen ?
cos (360º ± ?) = cos ?
tg (360º ± ?) = ± tg ??
4. Medida de ángulos en radianes.
Sea ? un ángulo central que intercepta un arco de longitud “s” sobre un círculo
de radio “r”. La medida del ángulo ?, en radianes, está definida por ? = s/r. Obsérvese que por
ser s y r longitudes, esta razón es un número abstracto. De esta definición de medida en
radianes tenemos de inmediato la relación de conversión:
? radianes = 180º
de donde,
1 radián = 180/? =57,2958º (aprox.) = 57º17’ 45” (aprox.),
1º = ?/180 radianes = 0,017453 radianes (aprox.).
5. Funciones trigonométricas de ángulos especiales:
Ángulo ? en
Radianes
Grados
sen ?
cos ?
tg ?
0
0º
0
1
0
?/6
30º
½
?/4
45º
½
2
?/3
60º
½
3
?/2
90º
1
6. Fórmulas de adición y sustracción.
sen ( x ± y ) = sen x * cos y ± cos x * sen y;
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½
3
3 /3
½
2
1
½
0
3
indefinida
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cos ( x ± y ) = cos x * cos y ± sen x * sen y;
tg (x ± y ) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ± tg x * tg y ).
7. Funciones trigonométricas del ángulo doble.
sen 2x = 2 * sen x * cos x
cos 2x = cos² x - sen² x = 1 - 2 * sen² x = 2 cos² x - 1
tg 2x = ( 2 * tg x ) / ( 1 - tg² x).
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Conclusión
Las funciones trigonométricas, son poderosas herramientas en el desarrollo de
complicados problemas, que incluyen triángulos no rectángulos y en que no se tienen muchos
datos ó información referente al mismos.
Con estas se pueden resolver problemas que antes no eran posibles de
resolverse con los métodos tradicionales.
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