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III. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA II: TRIÁNGULOS. DOCUMENTACIÓN PARA EL TALLER1 Edelmira Badillo y Mequè Edo • Actividad 1. Familiarización e introducción al tema de triángulo • Actividad 2. Definición de triángulo. Construcción • Actividad 3. Actividad de síntesis: definición de triángulo y sus partes • Actividad 4. Construcción de producciones artísticas de triángulos • Actividad 5. Construcción y representación de triángulos con la ayuda del geoplano • Actividad 6. Clasificación de triángulos: según sus lados y sus ángulos; el • • • • • • estudio de las alturas de un triángulo y del ortocentro (OPCIONAL) Actividad 7. Actividad de síntesis: tipos de triángulos según sus lados y según sus ángulos (OPCIONAL) Actividad 8. Condición necesaria que han de cumplir los lados de un triángulo Actividad 9. Condición necesaria que han de cumplir los ángulos de un triángulo Actividad 10. Cálculo de perímetro y cálculo de áreas de triángulos Actividad 11. Actividad individual de evaluación Actividad 12. Actividad de investigación y juegos 1. Los instrumentos que a continuación reproducimos están relacionados con la experiencia «Taller de Arte y Geometría en el Ciclo Superior de Primaria: Triángulo» de esta obra. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 1 ACTIVIDAD 1. FAMILIARIZACIÓN E INTRODUCCIÓN AL TEMA DE TRIÁNGULOS 1. Comentamos la imagen de las figuras 1 y 2. a) Cuando observamos esta imagen (ver figura 2), ¿qué palabras relacionadas con la Geometría te vienen a la cabeza? En otras palabras, ¿qué elementos geométricos identificas? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Qué forman las líneas cuando se cortan o se tocan o se intersectan? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c) ¿Podéis explicar o definir con vuestras palabras qué es un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. d) ¿Puedes identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes crees que tiene un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. e) ¿Qué otras cosas ves en el cuadro? ¿ves «tri-ángulos»? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. f) ¿Ves diferentes tipos de triángulos? ¿Cuáles? ¿Podrías enumerarlos? ¿Puedes explicar o definir con tus palabras qué es un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 2 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría Experiencias WOLTERS KLUWER ESPAÑA DESARROLLO CURRICULAR FIGURA 1 3 Taller de Arte y Geometría WOLTERS KLUWER ESPAÑA DESARROLLO CURRICULAR FIGURA 2 4 2. Investigación a) Rasgos de la vida y obra del autor (Wassily Kandinsky). ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) Otras obras de arte del mismo autor que permitan estudiar triángulos. ............................................................................................................................................. c) Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema: triángulos, tipos de triángulos, etc. ............................................................................................................................................. d) Coloquémonos en lugar del pintor, ¿qué ideas y sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra? ............................................................................................................................................. e) ¿Qué podemos destacar de los colores? ¿De la intensidad de los mismos? ............................................................................................................................................. f) ¿De la posición y la colocación de las líneas? ¿Y de las figuras? ............................................................................................................................................. g) ¿Distingues distintos planos? ¿Cuántos planos ves? Describe el fondo y el primer plano. ............................................................................................................................................. h) ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías? ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 5 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias Taller de Arte y Geometría DESARROLLO CURRICULAR 3. Conoce a Wassily Kandinsky y su obra Descripción de la obra ● ● ● ● ● ● Título: Tranquilidad. Año: 1930. Autor: Wassily Kandinsky (1866-1944). Técnica: acuarela y tienta china. Medidas: 1811/18 x 13 pulgadas. Ubicación: Thomas Gallery, Munic (colección privada). Tranquilidad (1930) WOLTERS KLUWER ESPAÑA 6 ACTIVIDAD 2. DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO. CONSTRUCCIÓN FASE I. Definición individual 1. Responde individualmente a estas preguntas: a) ¿Qué es para ti un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Qué partes tiene un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c) ¿Cuántos tipos de triángulos conoces? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. d) ¿Puedes enunciarlos y representarlos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. En el cuadro Tranquilidad de Wassily Kandinsky, busca distintos tipos de triángulos y enúncialos. ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... ...................................................................................... WOLTERS KLUWER ESPAÑA 7 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias FASE II. Confrontación entre iguales Sois editores de un libro y tenéis que redactar una página con la definición del concepto de triángulo y tipos de triángulos que presentaréis en una transparencia. Sugerencia: partiendo de vuestras definiciones (FASE I), podéis incorporar nuevas ideas utilizando otras definiciones de este concepto. Por ejemplo, las siguientes: Definición 1: Editorial MOLINO Un triángulo es una figura bidimensional de tres lados. Definición 2: Diccionario de la Real Academia española m. GEOM. Figura geométrica formada por tres rectas que se cortan mutuamente, formando tres ángulos. Definición 3: http://es.wikipedia.org Siendo A, B y C tres puntos de un plano no alineados, se llama triángulo ABC a la intersección de los ángulos ABC, CAB y BCA. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 8 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría FASE III. Compartimos la definición Pondremos en común las definiciones presentadas en las transparencias y escogeremos entre todos las que utilizaremos en clase: 1. ¿Qué es un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. Partes de un triángulo y su representación. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3. Tipos de triángulos y su representación. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 9 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias ACTIVIDAD 3. ACTIVIDAD DE SÍNTESIS: DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO Y SUS PARTES 1. Une los diferentes componentes de las columnas como creas necesario. PARTES DEFINICIÓN Lados Es el segmento trazado desde un vértice y que es perpendicular su lado opuesto Vértices Es la región del plano comprendida por dos de los lados de un triángulo Ángulos Es el segmento de recta que une dos vértices del triángulo Alturas Es cada uno de los puntos en el que se cortan o interceptan dos lados del triángulo REPRESENTACIÓN 2. Realiza un mapa conceptual sobre triángulos aplicando los conceptos que creas necesarios. Te recomendamos seguir los siguientes pasos: 1. Listado de palabras clave: ángulo, lado, etc. 2. Listado de conectores: «Puede ser», «Tiene...», etc. 3. Construcción del mapa conceptual. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 10 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 4. CONSTRUCCIÓN DE PRODUCCIONES ARTÍSTICAS DE TRIÁNGULOS 1. Inspirándote en la estructura del cuadro «Tranquilidad» de Wassily Kandisnky, ¿crees que puedes hacer una composición propia donde el triángulo sea el protagonista? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. Justifica el procedimiento que aplicas y los triángulos que has escogido para hacer tu composición. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3. Justifica las técnicas artísticas que utilizas. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 4. Redacta los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tu composición. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 5. No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año, etc. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 11 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias ACTIVIDAD 5. CONSTRUCCIÓN Y REPRESENTACIÓN DE TRIÁNGULOS CON LA AYUDA DEL GEOPLANO 1. Observa las figuras A, B y C y reflexiona sobre las siguientes preguntas: a. ¿Cuantos triángulos identificas en la figura B?, ¿en A? y ¿en C? ............................................................................................................................................. b. ¿Identificas triángulos del mismo tipo? ............................................................................................................................................. c. Con la ayuda del geoplano intenta reproducir los tipos de triángulos que has encontrado en las figuras B, A y C. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 12 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría 2. Con la ayuda del geoplano reconstruye un ejemplo de todos los tipos de triángulos que has encontrado en las figuras anteriores y también los que no están. Para ello te damos dos tipos de geoplano. (trama isométrica y trama cuadricular). WOLTERS KLUWER ESPAÑA 13 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias 3. Después, con la ayuda de regla, compás y transportador, represéntalos en la plantilla que te proporcionamos, teniendo en cuenta el tipo de geoplano que has utilizado. No olvides comprobar si realmente son del tipo que has considerado. Justifica el procedimiento que has de realizar para comprobar si son de un tipo o de otro. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 14 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 6. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS I. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS A partir de la actividad anterior clasifica los triángulos según sus lados y según sus ángulos. Verifica y justifica cuáles de las siguientes relaciones entre triángulos son posibles y cuáles no. ACUTÁNGULO EQUILÁTERO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Ø ISÓSCELES ESCALENO WOLTERS KLUWER ESPAÑA 15 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias II. ESTUDIO DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría DE LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO 1. Reconstruye los siguientes tres triángulos en el Geoplano y justifica: a. ¿Qué partes del triángulo se mantienen y qué partes cambian? ............................................................................................................................................. b. Analiza dónde se encuentran las altura de cada triángulo? Sugerencia: fíjate por lo menos en una de ellas. ............................................................................................................................................. 2. Pensemos en las alturas de un triángulo. ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? Dibújalas. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 16 III. ESTUDIO DE LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO Y DEL ORTOCENTRO 1. Opcional. Recorta en papel blanco o de color un triángulo de cada tipo según sus ángulos. Con la ayuda de la escuadra o regla dobla y traza las alturas en cada uno de los triángulos y analiza dónde se encuentran ubicadas y dónde se cortan. A continuación mostramos el caso de triángulos acutángulos, reprodúcelo y comprueba lo que pasa con los otros tipos. a. Si el punto de corte o intersección de las alturas de un triángulo se conoce como «ortocentro». ¿Crees que el ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo? Justifica tu respuesta. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b. Analiza la secuencia de fotos anterior y explica qué crees que pasará con las alturas de los triángulos obtusángulos y rectángulos. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. Conclusiones finales: a. ¿Qué podemos concluir sobre el número de alturas de cualquier triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 17 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias b. Dibuja y analiza la ubicación de las alturas y del Ortocentro en cada uno de los tipos de triángulos según sus ángulos. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 18 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 7. ACTIVIDAD DE SÍNTESIS: TIPOS DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Y SEGÚN SUS ÁNGULOS 1. Recuerda: CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS Equilátero Isósceles Escaleno a. Primero estudiaremos el triángulo equilátero y después intenta hacer lo mismo con los triángulos isósceles y escaleno. DEFINICIÓN Es el triángulo que tiene los tres lados iguales y por tanto, tres ángulos iguales. Podemos decir que tienen la misma medida. REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS Vértices. Tiene 3 vértices y se representan así: A, B y C Lados. Tiene 3 lados iguales y se representan así: AB = BC = AC Tiene tres alturas: Ángulos. Tiene 3 ángulos iguales y se re- h1 AC presentan así: h2 BC h3 AB Alturas. La altura es el segmento de recta perpendicular que va de un vértice a su lado Conclusión opuesto. Todos los triángulos tienen 3 al- Las 3 alturas de un turas. triángulo equilátero se interceptan en un punto interior del triángulo h1 (ortocentro). h2 h3 WOLTERS KLUWER ESPAÑA 19 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias b. Estudia triángulos isósceles: DEFINICIÓN WOLTERS KLUWER ESPAÑA REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS 20 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría c. Estudia triángulos escálenos: DEFINICIÓN WOLTERS KLUWER ESPAÑA REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS 21 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias 2. Recuerda: CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Rectángulo Acutángulo Obtusángulo a. Primero estudiaremos el triángulo rectángulo y después intenta hacer lo mismo con los triángulos acutángulo y obtusángulo. DEFINICIÓN Es el triángulo que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. Por lo tanto, los dos lados que forman el ángulo recto son perpendiculares entre sí. REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS Vértices: tiene 3 vérti- Tiene tres alturas: ces y se representan así: A, B y C Lados: tienen 2 lados que pueden ser iguales o no, y siempre son perpendiculares. Se h1 = AB representan así: h2 = AC h3 = AO Ángulos: tienen 1 án- Conclusión: gulo recto y 2 ángulos agudos y se represen- Las 3 alturas de un tan así: triángulo rectángulo se interceptan en el vértice del ángulo recto. Dos de las alturas son lados del triángulo rectángulo. Altura: la altura es el segmento de recta perpendicular que va de un vértice a su lado opuesto. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 22 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría b. Estudia triángulos acutángulos: DEFINICIÓN WOLTERS KLUWER ESPAÑA REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS 23 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias c. Estudia triángulos obtusángulos: DEFINICIÓN WOLTERS KLUWER ESPAÑA REPRESENTACIÓN PARTES ESTUDIO DE LAS ALTURAS 24 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 8. CONDICIÓN NECESARIA QUE HAN DE CUMPLIR LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO 1. Construye triángulos utilizando tiras de cartulina como lados. Primero tenéis que recortar tiras de cartulina de color que tengan un centímetro de ancho y de largo según se detalla a continuación: a. 3 tiras de 6 cm. b. 3 tiras de 10 cm. c. 3 tiras de 8 cm. d. 1 tira de 15 cm. ¿Siempre puedes construir triángulos usando las diferentes tiras de cartulina? ¿Por qué? Sí, cuando ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................. No, cuando .......................................................................................................................... ............................................................................................................................................. Con las tiras de cartulinas de las siguientes longitudes construye, si es posible, distintos tipos triángulos. Sugerencia: para unir los lados en los vértices podéis utilizar encuadernadores. a. 15; 10; 6 cm. b. 10; 10; 10 cm. c. 10; 8; 6 cm. d. 10; 6; 6 cm. e. 6; 6; 6 cm. f. 15; 6; 8 cm. 2. Pega estos triángulos que has construido en hojas y escribe una explicación o justificación sobre los siguientes aspectos: a. ¿Qué tipos de triángulos son y por qué? Sugerencia: especifica simultáneamente el tipo según sus ángulos y según sus lados. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 25 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias b. ¿Explica qué pasa en el caso f? Puedes modificar alguna condición para que pueda ser un ejemplo de triángulo. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c. ¿Que conclusión puedes sacar para la construcción de triángulos teniendo en cuenta la longitud de sus lados? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 26 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 9. CONDICIÓN NECESARIA QUE HAN DE CUMPLIR LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO 1. Dado el siguiente ángulo recto, construye un triángulo rectángulo y encuentra la medida de cada uno de los ángulos interiores. MEDIDA DEL ÁNGULO MEDIDA DEL ÁNGULO MEDIDA DEL ÁNGULO OMN MNO MON 2. Suma los tres ángulos del triángulo MNO. ¿Qué resultados has obtenido? ............................................................................................................................................. 3. Construye en papel diferentes tipos de triángulos, recórtalos. Luego enumera cada uno de sus vértices y, finalmente, sepáralos de la siguiente manera: WOLTERS KLUWER ESPAÑA 27 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias 4. Ahora une los tres vértices, sin dejar espacio entre ellos, para comprobar cuánto suman los tres ángulos. ¿Qué tipo de ángulo forman y cuánto mide? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 5. ¿Qué conclusión puedes sacar en general de la suma de los ángulos internos de un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 28 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría ACTIVIDAD 10. CÁLCULO DE PERÍMETRO Y CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS 1. ¿Sabes lo que es el perímetro de cualquier figura geométrica o polígono? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2. Reproduce las siguientes figuras en el geoplano y calcula su perímetro. Sugerencia: define o escoge una unidad de medida de longitud. a) b) ¿Sabes lo que es el perímetro de un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3. ¿Recuerdas qué se mantiene igual y qué cambia en los siguientes triángulos? .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 29 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias 4. Podrías definir una medida de longitud y estimar aproximadamente, ¿cuál es el valor del perímetro de cada uno de los triángulos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 5. Compara los perímetros de cada triángulo. ¿Qué conclusión puedes sacar? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 6. ¿Mide los lados de cada uno de estos triángulos y suma sus medidas? TRIÁNGULO APQ MPQ NPQ LADO 1 AP = LADO 2 PQ = LADO 3 AQ = SUMA 7. ¿Cómo son las sumas de los lados de los diferentes triángulos? Justifica tu respuesta. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 8. ¿Qué podríamos concluir sobre el nombre que recibe la suma de los lados de un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 9. ¿Sabes lo que es el área de un triángulo? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 10. Reproduce las siguientes figuras en el geoplano y calcula su área. Sugerencia: define o escoge una unidad de medida de área. a) WOLTERS KLUWER ESPAÑA b) 30 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría Experiencias DESARROLLO CURRICULAR 11. Reproduce los siguientes polígonos con la ayuda del geoplano y responde: a) Di qué polígonos tienen la misma área. .............................................................................. .............................................................................. b) Di qué polígonos tienen el mismo perímetro. .............................................................................. .............................................................................. 13. Podrías definir una medida de área, (aprovechando la trama y el geoplano) y estimar, aproximadamente, ¿cuál es el valor del área de cada uno de los triángulos de la figura del ejercicio 3 de esta misma actividad? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 14. Compara las áreas de cada triángulo de la figura del ejercicio 3. ¿Qué conclusión puedes sacar? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 31 15. ¿Cuánto mide la base común de estos triángulos? ¿Cuánto mide la altura común de estos triángulos? TRIÁNGULO BASE COMÚN ALTURA COMÚN CALCULA bxh 2 APQ MPQ NPQ Cálculos: 16. ¿Qué ocurre con el resultado obtenido al hacer bxh de los lados de los diferentes trián2 gulos? Justifica los resultados obtenidos. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 17. ¿Sabes que has calculado en cada caso? Justifica tu respuesta. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 32 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría 18. ¿Qué puedes concluir del cálculo de áreas de triángulos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 19. ¿Qué pasa con el área y con el perímetro de estos tres triángulos? ¿Qué se mantiene y qué cambia? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 20. ¿Qué puedes concluir en general de la relación entre el perímetro y el área de los triángulos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 33 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias ACTIVIDAD 11. ACTIVIDAD INDIVIDUAL DE EVALUACIÓN 1. Coloca estas expresiones dentro de los recuadros del siguiente diagrama de forma que no sobre ni falte ninguno. No olvides que tienes que argumentar cada una de las respuestas. Opciones: triángulo isósceles rectángulo, triángulo escaleno obtusángulo, triángulo escaleno acutángulo, triángulo isósceles, triángulo equilátero, triángulo isósceles acutángulo, triángulo escaleno, triángulo escaleno rectángulo, triángulo isósceles obtusángulo. Inicio ¿Tiene 3 lados? No Si ¿Tiene todos sus lados iguales? Si No ¿Tiene 2 lados iguales? Si No ¿Tiene 1 ángulo recto? Si No No ¿Tiene 1 ángulo obtuso? No ¿Tiene 1 ángulo recto? Si Si ¿Tiene 1 ángulo obtuso? Si No Fin WOLTERS KLUWER ESPAÑA 34 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría 2. A partir del cuadro «Tranquilidad» de Wassily Kandinsky, encuentra, si crees posible, un ejemplo de cada uno de los tipos de triángulos anteriormente definidos. – Haz una representación. – Justifica el procedimiento utilizado para demostrarlo. TIPO DE TRIÁNGULO REPRESENTACIÓN JUSTIFICACIÓN Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo isósceles-rectángulo Triángulo isósceles-acutángulo Triángulo isósceles-obtusángulo Triángulo escaleno Triángulo escaleno-obtusángulo Triángulo escaleno-acutángulo Triángulo escaleno-rectángulo WOLTERS KLUWER ESPAÑA 35 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias ¿Por qué en la tabla no aparece el buscar tres tipos de triángulos: equilátero-acutángulo, equilátero-obtusángulo y equilátero-rectángulos? ¿Crees que se podrían encontrar en el cuadro de Kandinsky? Justifica tu respuesta. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 36 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría 3. Tomando como referencia el cuadro «Tranquilidad», resuelve los siguientes interrogantes: a. ¿Cuántos tipos de triángulos según sus ángulos identificas? ............................................................................................................................................. b. ¿Utiliza algún tipo de procedimiento para comprobar a qué tipo de triángulo, según sus ángulos, pertenece? Justifica el procedimiento utilizado. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c. ¿Puedes expresar el procedimiento utilizado para comprobar el tipo de triángulo según sus ángulos mediante signos matemáticos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 37 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias OPCIONAL. Rellena esta tabla teniendo en cuenta las condiciones qué han de cumplir los lados y los ángulos de un polígono para que puedan ser triángulos. SEGÚN LOS ÁNGULOS TODOS los ángulos agudos UN ángulo obtuso 0 2 SEGÚN EL NUMERO DE LADOS IGUALES UN ángulo recto 3 WOLTERS KLUWER ESPAÑA Ø 38 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría Experiencias DESARROLLO CURRICULAR ACTIVIDAD 12. ACTIVIDAD DE INVESTIGACIÓN Y JUEGOS 1. Investigación I. Encontrar figuras escondidas. Observa bien este diseño. ¿Puedes encontrar figuras básicas escondidas? Por ejemplo, ¡aquí hay un rectángulo! WOLTERS KLUWER ESPAÑA 39 Propuesta de investigación: a) ¿Cuántos triángulos distintos puedes encontrar en el diseño? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. b) ¿Puedes identificarlos según sus lados y sus ángulos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. c) ¿Algunos de ellos se parecen? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. d) ¿Qué has considerado que son «triángulos distintos»? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. e) ¿Ves triángulos con forma diferente pero que tengan la misma área (equivalentes)? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. f) ¿Ves triángulos con la misma forma pero que tengan distinto tamaño o distinta área (semejantes)? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. g) ¿Podrías encontrar y nombrar otros polígonos que no sean triángulos? ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 40 DESARROLLO CURRICULAR Taller de Arte y Geometría Experiencias WOLTERS KLUWER ESPAÑA DESARROLLO CURRICULAR ¡A investigar! 41 Taller de Arte y Geometría DESARROLLO CURRICULAR 2. Investigación II. Lados equivalentes en un triángulo equilátero. Reto Individual. Dispones de estos números: Propuesta de investigación: a) ¿Puedes colocar estos números en los círculos marcados de forma que cada lado del triangulo equilátero sume lo mismo que los demás lados? ............................................................................................................................................. b) ¿Podríais encontrar otros seis números consecutivos que cumplan las mismas condiciones? ............................................................................................................................................. c) ¿Podéis encontrar más de una colección de números que servirían para rellenar los círculos del triángulo equilátero? WOLTERS KLUWER ESPAÑA 42 3. Investigación III. Juego del Sim. ¡Pierde quien forma el primer triángulo! Juego para dos jugadores. Disponemos de estos 6 puntos que forman un hexágono regular. Los dos jugadores cogen un lápiz de color distinto cada uno. a. En cada tirada un jugador tiene que unir dos de los seis puntos con su lápiz de color. Por ejemplo, posible segmento tirada 1. WOLTERS KLUWER ESPAÑA 43 DESARROLLO CURRICULAR Experiencias Taller de Arte y Geometría DESARROLLO CURRICULAR Ejemplo de posible segmento tirada 2: b. No está permitido dibujar un segmento ya dibujado. c. Pierde el primer jugador que forma un triángulo con los tres lados de su color y que tenga los tres vértices sobre el hexágono. Propuesta de investigación juego: pensar individualmente y luego compartir los razonamientos con los compañeros: d. ¿Podrías justificar que en este juego no puede haber empate? (uno de los dos jugadores tiene que perder siempre a la fuerza, porque cuando se hayan formado todos los segmentos posibles seguro que habrá un triangulo con todos los lados del mismo color). e. ¿Sabrías encontrar un desarrollo del juego en el que durante las 14 primeras jugadas no se formara ningún triángulo con los tres lados del mismo color y a la quinceava (la última posible) se formaran dos triángulos del mismo color? WOLTERS KLUWER ESPAÑA 44 Experiencias WOLTERS KLUWER ESPAÑA DESARROLLO CURRICULAR ¡A JUGAR! 45
