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AUTOEVALUACIÓN
6.1.
Expresa estos ángulos en grados.
a)
3π
rad
5
Multiplicando en cada caso por
a)
6.2.
108º
9π rad
c)
1620º
c)
310º
c)
31π
rad
18
180
, obtenemos:
π
b)
36º
675º
b)
Multiplicando en cada caso por
a)
6.4.
c)
Pasa a radianes los siguientes ángulos.
a)
6.3.
15 π
rad
4
b)
π
rad
5
100º
π
, obtenemos:
180
5π
rad
9
b)
El triángulo de la figura es rectángulo en A.
a)
Calcula la medida del cateto desconocido y de la hipotenusa.
b)
Calcula la medida de la altura h.
c)
Calcula las amplitudes de los ángulos x e y.
a)
tg62º =
b
⇒ b = 4 ⋅ tg62º ≈ 7,52 cm
4
cos 62º =
4
4
⇒a=
≈ 8,52 cm
a
cos 62º
b)
sen62º =
h
⇒ h = 4 ⋅ sen62º ≈ 3,53 cm
4
c)
x = 90º – 62º = 28º
y = 90º – 62º = 28º
Halla las otras dos razones trigonométricas en cada caso.
a)
sen α = 0,3;
90º < α <180º
b)
tg α =
0 rad < α <
c)
cos α = 0,125;
d)
tg α =
a)
Al ser un ángulo del segundo cuadrante, el seno es positivo, y el coseno y la tangente, negativos.
24 ;
4
;
3
π
rad
2
270º < α < 360º
π rad < α <
3π
rad
2
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos α = − 1 − 0,32 = −0,954
tgα =
senα
0,3
=
= −0,314
cos α −0,954
Unidad 6 | Trigonometría
b)
Al ser un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas son positivas.
1
⇒ cos
=
α
cos2 α
2
1 + tg
=
α
tgα=
c)
1+
(
1
=
2
24
senα
⇒ senα= tgα cos α=
cos α
)
1
1
=
25 5
24 2 6
=
5
5
Al ser un ángulo del cuarto cuadrante, el seno y la tangente son negativos, y el coseno, positivo.
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ senα = − 1 − 0,1252 = −0,992
tgα =
d)
senα −0,992
=
= −7,736
cos α
0,125
Al ser un ángulo del tercer cuadrante, el seno y el coseno son negativos, y la tangente, positiva.
1 + tg2 α =
tgα =
6.5.
1
⇒ cos α = −
cos2 α
4
1+  
3
2
=−
9
3
=−
25
5
senα
4  3
4
⇒ senα = tgα cos α = ·  −  = −
cos α
3  5
5
Si sen α = 0,2 y α es agudo, halla:
a)
sen (180º – α)
c)
cos (–α)
b)
cos (90º – α)
d)
sen (α + 180º)
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos α =
6.6.
1
1 − 0,22 = 0,98
a)
sen (180º – α) = sen α = 0,2
c)
cos (–α) = cos α = 0,98
b)
cos (90º – α) = sen α = 0,2
d)
sen (α + 180º) = –sen α = –0,2
Calcula los ángulos que cumplen cada una de las siguientes condiciones.
a)
cos α = – 0,44
b)
sen χ =
a)
α 180º −63,9º +360º·
=
k 116,1º +360º· k
=
cos α = −0,44 ⇒ 
donde k ∈ 
k 243,9º +360º· k
=
=
α 180º +63,9º +360º·
b)
χ
sen=
χ 32,23º +360º· k
8 =
⇒
donde k ∈ 
15 =
=
k 147,77º +360º· k
χ 180º −32,23º +360º·
c)
tg
=
β
=
β 81,33º +360º· k
43 ⇒ 
⇒
=
β 81,33º +180º· k donde k ∈ 
=
=
k 261,33º +360º· k
β 180º +81,33º +360º·
d)
=
=
k 253,74º +360º· k
δ 180º +73,74º +360º·
senδ = −0,96 ⇒ 
donde k ∈ 
k 286,26º +360º· k
=
=
δ 360º −73,74º +360º·
8
15
c)
tg β =
d)
sen δ = – 0,96
43
Trigonometría | Unidad 6
6.7.
Demuestra la siguiente igualdad.
sen2 x + sen x ⋅ cos x
= sen2 x
1
1+
tg x
2
sen 2 x + sen x ⋅ cos x senx ⋅ ( senx + cos x ) senx ⋅ ( senx + cos x ) sen x ⋅ ( senx + cos x )
= = =
= sen 2 x
senx + cos x
1
cos x
senx + cos x
1+
1+
tgx
senx
senx
6.8.
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a)
a)
b)
 = 35º, c = 18 cm, B
 = 55º
 = 90º, C
 = 180º – A
 –C
A
sen35º =
tg35º =
b)
6.9.
18
18
⇒ a=
≈ 31,38 cm
a
sen35º
18
18
⇒ b=
≈ 25,71 cm
b
tg35º
 = 180º – A
 = 90º, B
 = 65º, a = 19 cm, C
 – B
 = 25º
A
sen 65º =
b
⇒ b = 19·sen 65º ≈ 17,22 cm
19
cos 65º =
c
⇒ c = 19·cos 65º ≈ 8,03 cm
19
Resuelve los siguientes triángulos.
a)
a)
b)
 = 180º – A
 = 34º, B
 = 30º, a = 16 m, C
 – B
 = 116º
A
a
b
16·sen30º
=
⇒=
b
≈ 14,31 m


sen34º
sen A senB
a
c
16·sen116º
=
⇒=
c
≈ 25,72 m


sen34º
sen A senC
b)
 = 85º, b = 20 m, c = 12 m
A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 202 + 122 − 2·20·12·cos85º ≈ 502,17 ⇒ a ≈ 22,41 m
2
c 2 − b 2 22,412 + 122 − 202
 a +=
 ≈ 62,74º
=
≈ 0,458 ⇒ B
cos B
2ac
2·22,41·12
 = 180º – A
 – B
 = 32,26º
C
Unidad 6 | Trigonometría
6.10. Halla la medida de los lados desconocidos de este trapecio rectángulo.
sen25º =
a
⇒ a = 12·sen25º ≈ 5,07 cm
12
cos 25º =
b
⇒ b = 12·cos 25º ≈ 10,89 cm
12
12
15
12·sen 65º
=
⇒=
≈ 0,725 ⇒ α ≈ 46,47º (La otra solución no es posible).
senα
senα sen 65º
15
β = 180º – 65º – α = 68,53º
2
c=
152 + 122 − 2·15·12·cos β ≈ 237,23 ⇒ c ≈ 15,4 cm
6.11. La generatriz de un cono mide 26 cm y forma un ángulo de 67,38º con el radio de la base. Halla
el área total y el volumen del cono.
La altura del cono mide h = 26 · cos 67,38º ≈ 10 cm.
El radio de la base mide r = 26 · sen 67,38º ≈ 24 cm.
Por tanto, el área total y el volumen del cono valen, respectivamente:
A = π r 2 + π r g ≈ 3769,91 cm2
=
V
πr 2 h
≈ 6031,86 cm3
3
Trigonometría | Unidad 6