Download prácticas grupos - Universidad de Jaén

Departamento de Matemáticas
(Área de Álgebra)
Curso 2006/07
UNIVERSIDAD DE JAÉN
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
PRÁCTICA Nº3
EL GRUPO COCIENTE
1. CLASES LATERALES. EL TEOREMA DE LAGRANGE
Sea (G, ∗) un grupo, entonces para cada subgrupo propio H ⊆ G podemos definir dos relaciones de
equivalencia sobre G. Para g1, g2 ∈ H, diremos que,
g1 R1 g2 ⇔ g1´ ∗ g2 ∈ H
g 1 R2 g 2 ⇔ g 1 ∗ g 2 ´ ∈ H
(1)
(2)
para estas relaciones de equivalencia, las clases equivalencia de un x ∈ G son:
1
x = {y ∈ G | x R1 y} = { y ∈ G | x´ ∗ y ∈ H } = {x ∗ h | h ∈ H } = x ∗ H
(1)
2
x = {y ∈ G | x R2 y} = { y ∈ G | y ∗ x´ ∈ H } = {h ∗ x | h ∈ H } = H ∗ x
(2)
a x ∗ H la llamaremos clase de equivalencia por la izquierda módulo H y a H ∗ x la llamaremos clase de
equivalencia por la derecha módulo H. Obsérvese que |H| coincide con el número de elementos (cardinalidad) de
x ∗ H o H ∗ x para cada x ∈ G, luego es evidente que el número de elementos de G/R1 y G/R2 coincide.
Llamaremos índice de H en G al número de clases de equivalencia de G/R1 o G/R2 y lo representaremos por [G :
H]. En consecuencia tendremos el siguiente teorema:
Teorema 1. Teorema de Lagrange. Sea (G, ∗) un grupo finito y sea H ⊆ G un subgrupo, entonces:
[G : H ] =
G
.
H
Una consecuencia inmediata del teorema es que el cardinal de un subgrupo siempre debe dividir al
cardinal del grupo (esto es, el número de elementos de un subgrupo H de G finito, será un divisor positivo de
|G|).
Para un grupo finito es fácil programar una rutina que calcule las clases de equivalencia por ambos
lados (laterales).
FUNCIÓN
COMENTARIOS
G=GRUPO;
operacion=TABLA DE OPERACIONES DE G;
Introducimos el grupo.
op[x_,y_]:=…
Introducimos la función 1 de la práctica
1.
Clases[x_,H_]:=Module[
{claseizquierda,clasederecha,CONTADORi},
claseizquierda={};
clasederecha={};
Do[
AppendTo[claseizquierda,op[x,H[[CONTADORi]]]];
AppendTo[clasederecha,op[H[[CONTADORi]],x]];
,{CONTADORi,1,Length[H]}];
- 15 -
Los argumentos serán un elemento “x”
de “G” y un subgrupo “H”.
Se calculan ambas clases.
PRÁCTICAS DE GRUPOS DE ÁLGEBRA II
Print[x,"*H = ",claseizquierda,"; H*",x," = ",clasederecha]
]
Se muestran los resultados.
Función 1. Clases laterales.
Ejemplo 1. Consideramos el mismo conjunto y operación interna del ejemplo 1 de la práctica 2. Calcular las
clases laterales de a y c para el subgrupo H ={a, b}.
In[]:=
G={a,b,c,d};
operacion={{a,b,c,d},{b,a,d,c},{c,d,b,a},{d,c,a,b}};
op[x_,y_]:=operacion[[Position[G,x][[1]],Position[G,y][[1]]]][[1]][[1]];
Definimos la función 2.
In[]:=
Clases[x_,H_]:=Module[{claseizquierda,clasederecha},
ª
ª
Calculamos las clases laterales de a:
In[]:=
Clases[a,{a,b}]
Out[]=
a*H = {a,b}; H*a = {a,b}
Y las clases laterales de c:
In[]:=
Clases[c,{a,b}]
Out[]=
c*H = {c,d}; H*c = {c,d}
2. SUBGRUPOS NORMALES Y GRUPOS COCIENTES
Un subgrupo H de G se dice que es normal y denotaremos H 1 G, si x ∗ H = H ∗ x, para cada x ∈ G,
esto es, coinciden las clases laterales de cada elemento de G. En tal caso coinciden los conjuntos cocientes G/R1
= G/R2 que denotaremos por G/H y dicho conjunto cociente con la operación interna:
(x ∗ H) ∗ (y ∗ H) = (x ∗ y) ∗ H
es un grupo, que llamaremos grupo cociente de G sobre H.
Si G es conmutativo es evidente que cualquier subgrupo suyo es normal.
Usando la función 2 podemos determinar para grupos finitos, cuándo un subgrupo es normal y en caso
afirmativo calcular el grupo cociente. Para ello, en primer lugar generamos un test para comprobar si un
subgrupo es normal, lo hacemos desde la definición, calculamos las clases laterales de cada elemento y
comprobamos si son iguales.
FUNCIÓN
COMENTARIOS
G=GRUPO;
operacion=TABLA DE OPERACIONES DE G;
Introducimos el grupo.
op[x_,y_]:=…
Introducimos la función 1 de la práctica
1.
NORMAL[H_]:=Module[
{normal,clasederecha,claseizquierda,
CONTADORi,CONTADORj},
normal=True;
Do[
claseizquierda={};clasederecha={};
Do[
AppendTo[claseizquierda,
op[G[[CONTADORj]],H[[CONTADORi]]]];
AppendTo[clasederecha,
op[H[[CONTADORi]],G[[CONTADORj]]]];
- 16 -
El argumento es el subgrupo que
pretendemos testear.
Se comprueba si es normal.
PRÁCTICAS DE GRUPOS DE ÁLGEBRA II
,{CONTADORi,Length[H]}];
If[Intersection[claseizquierda,G]!=
Intersection[clasederecha,G],normal=False;Break[];];
,{CONTADORj,Length[G]}];
normal
]
Se muestran los resultados.
Función 2. Subgrupos Normales.
En segundo lugar calculamos el grupo cociente suponiendo que el subgrupo sea normal.
PROGRAMA
COMENTARIOS
G=GRUPO;
operacion=TABLA DE OPERACIONES DE G;
Introducimos el grupo.
Introducimos la función 1 de la práctica
1.
Introducimos un subgrupo normal H de
G.
op[x_,y_]:=…
H=SUBGRUPO NORMAL;
cociente={};
evaluados={};
Do[
If[Intersection[{G[[CONTADORj]]},evaluados]{},
clase={};
Do[
AppendTo[clase,op[G[[CONTADORj]],
H[[CONTADORi]]]];
,{CONTADORi,1,Length[H]}];
AppendTo[cociente,clase];
evaluados=Union[clase,evaluados];
];
,{CONTADORj,1,Length[G]}];
cociente
Calculamos todas las clases.
Mostramos el grupo cociente
Programa 3. Grupo cociente.
Una vez calculado el grupo cociente, es fácil operar entre sus elementos, pues recordemos que
(x ∗ H) ∗ (y ∗ H) = (x ∗ y) ∗ H,
y con el ordenador no habría más que escribir:
Clases[op[x,y],H]
Ejemplo 2. Consideramos el mismo conjunto y operación interna del ejemplo 1 de la práctica 2. Comprobar si el
subgrupo H = {a, b} es normal y en caso afirmativo calcular el grupo cociente.
Introducimos el grupo, la operación y la función 1:
In[]:=
G={a,b,c,d};
operacion={{a,b,c,d},{b,a,d,c},{c,d,b,a},{d,c,a,b}};
op[x_,y_]:=operacion[[Position[G,x][[1]],Position[G,y][[1]]]][[1]][[1]];
Definimos la función 3:
In[]:=
NORMAL[H_]:=Module[{normal},
ª
ª
Comprobamos que en efecto H es normal:
In[]:=
NORMAL[{a,b}]
Out[]=
True
Puesto que es normal, calculamos el grupo cociente usando 4:
In[]:=
H={a,b];
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PRÁCTICAS DE GRUPOS DE ÁLGEBRA II
ª
Out[]=
ª
{{a,b},{c,d}}
Por tanto |G/H| = [G : H] = 2 y las clases de equivalencia son:
a ∗ H = b ∗ H = {a, b}
y
c ∗ H = d ∗ H = {c, d}
Definimos la función 1:
In[]:=
Clases[x_,H_]:=Module[{claseizquierda,clasederecha,CONTADORi},
ª
ª
y como
In[]:=
Clases[op[a,a],H]
Clases[op[a,c],H]
Clases[op[c,a],H]
Clases[op[c,c],H]
Out[]=
a
c
c
b
*H
*H
*H
*H
=
=
=
=
{a,b}
{c,d}
{c,d}
{b,a}
;
;
;
;
H*
H*
H*
H*
a
c
c
b
=
=
=
=
{a,b}
{c,d}
{c,d}
{b,a}
por tanto concluimos que la tabla de operaciones del grupo cociente es:
G/H
a∗H
c∗H
a∗H
a∗H
c∗H
c∗H
c∗H
a∗H
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