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Sesión especial 20
Problemas y técnicas matemáticas de la
mecánica celeste y la astrodinámica
Resúmenes de las conferencias
Congreso Bienal
de la
Real Sociedad Matemática Española
Zaragoza, 30 de enero - 3 de febrero de 2017
Versión actualizada el 9 de diciembre de 2016
Congreso Bienal de la Real Sociedad Matemática Española (Zaragoza, 2017)
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Sesión especial 20
Problemas y técnicas matemáticas de la
mecánica celeste y la astrodinámica
Programa
Jueves, 2 de febrero
11:30 - 12:20 Víctor Lanchares Barrasa (Universidad de La Rioja), Estabilidad en sistemas hamiltonianos
fuertemente degenerados con aplicaciones en mecánica celeste.
12:20 - 13:10 José Ángel Docobo Durántez (Universidade de Santiago de Compostela), Estrellas dobles y
múltiples. Su matemática y el uso de sus técnicas para la detección de exoplanetas.
17:00 - 17:50 Antonio Elipe (Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza), Dinámica en problemas de N
cuerpos.
17:50 - 18:40 Eva Tresaco Vidaller (Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza), Aproximaciones al
problema de cálculo de órbitas congeladas.
18:40 - 19:30 Jesús F. Palacián (Universidad Pública de Navarra), Estabilidad normal y estabilidad de Lie.
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Estabilidad en sistemas hamiltonianos fuertemente degenerados con
aplicaciones en mecánica celeste
Víctor Lanchares Barrasa
Departamento de Matemáticas y Computación, Universidad de La Rioja
vlancha@unirioja.es
Resumen
El problema de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema hamiltoniano, en el sentido de Lyapunov,
juega un papel importante en la comprensión del comportamiento cualitativo de las soluciones del sistema. En el caso
de los sistemas periódicos con un grado de libertad, o sistemas autónomos con dos grados de libertad, el problema está
casi completamente resuelto. Sin embargo, incluso para estos sistemas, existen situaciones de fuerte degeneración en los
que el problema continúa abierto. Estas situaciones tienen lugar en presencia de resonancias y de ello trataremos en
esta conferencia. En este sentido, daremos condiciones bastante generales de estabilidad e inestabilidad para estos casos
degenerados, lo que nos permitirá dar criterios de estabilidad para resonancias de orden uno, dos, tres y cuatro [1]. Por
último, estos resultados los aplicaremos a algunos problamas clásicos de mecánica celeste.
Referencias
[1] B. Bardin y V. Lanchares, On the stability of periodic Hamiltonian systems with one degree of freedom in
the case of degeneracy, Regul. Chaotic Dyn. 20 (2015), 627–648.
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Estrellas dobles y múltiples. Su matemática y el uso de sus técnicas
para la detección de exoplanetas
José Ángel Docobo Durántez
Observatorio Astronómico Ramón María Aller, Universidade de Santiago de Compostela
joseangel.docobo@usc.es
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S20. Problemas y técnicas matemáticas de la mecánica celeste y la astrodinámica
Resumen
Las estrellas dobles y múltiples constituyen a día de hoy uno de los campos más interesantes en la investigación
astronómica, prueba de ello es que la Unión Astronómica Internacional le reserva una de sus comisiones, la G1.
El interés por este tema es múltiple pero, sin duda, lo más importante es que gracias al cálculo de sus órbitas, y
conociendo la distancia a ellas, es posible calcular las masas del sistema, lo cual es fundamental para luego predecir su
camino evolutivo. Es más, si una binaria es a la vez espectroscópica de doble línea y visual (binarias interferométricas),
no solo podremos conocer el valor de las masas individuales, sino también su distancia a nosotros, sin necesidad de ser
medido su paralaje por otros medios.
En el cálculo de las órbitas de las estrellas dobles, ya sean las visuales, las espectroscópicas, o las eclipsantes, entran
de lleno las matemáticas y lo hacen desde hace más de un siglo. En la presente comunicación se hace un recorrido por
los principales métodos de cálculo de órbitas, analíticos y gráficos, con especial énfasis en las binarias visuales, siendo
estas en las que mayor variedad de métodos se han diseñado, algunos de ellos, en España.
Por otra parte se describe el problema estelar de tres cuerpos, el cual surge cuando una binaria es perturbada por
una estrella más alejada, dando lugar a un bien estudiado problema de astrodinámica.
Finalmente se exponen las similitudes entre las técnicas utilizadas en su día, y actualmente, para el estudio de las
estrellas dobles y las que han servido para el descubrimiento de numerosísimos planetas extrasolares en las últimas
décadas, comentándose algunas líneas actuales de investigación en relación con la dinámica de estos planetas y sus
posibles satélites.
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Dinámica en problemas de N cuerpos
Antonio Elipe
Grupo de Mecánica Espacial-IUMA, Centro Universitario de la Defensa, Universidad de Zaragoza
elipe@unizar.es
Abstract
The restricted three-body problem is the most widely studied problem in celestial mechanics. In the last three
decades this problem has been extended by considering other forces apart from the gravitation, like radiation pressure or
by considering some of the primaries has finite dimensions. The dynamics of these extended problems is very interesting,
since there are new parameters. Again, this problem is extended by considering three or more primaries, or by considering
a central body with a ring. In the communication we will describe the problem, and present some results on bifurcations
and periodic orbits.
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Aproximaciones al problema de cálculo de órbitas congeladas
Eva Tresaco Vidaller
Centro Unversitario de la Defensa, Universidad de Zaragoza
etresaco@unizar.es
Resumen
En el diseño orbital de misiones espaciales desde un punto de vista operativo ha de tenerse en cuenta no solo la ley
del movimiento de dos cuerpos, sino el efecto que tienen las perturbaciones en la evolución temporal de la trayectoria del
satélite artificial. Para llevar a cabo este análisis de misión es necesario determinar la magnitud y origen de las perturbaciones orbitales sobre los parámetros que definen la órbita: semieje y excentricidad (forma de la órbita), inclinación,
ángulo del nodo y argumento del periastro (posición de la órbita en el espacio), y la anomalía media (posición del satélite
en la órbita). Con idea de minimizar el efecto a largo plazo de las perturbaciones se diseñan órbitas especiales, como son
las órbitas heliosíncronas, de repetición de traza o las órbitas congeladas.
En particular, las órbitas congeladas se caracterizan por mantener constante la altitud sobre cada punto de la
superficie que sobrevuelan en los sucesivos pases haciéndolas atractivas para el diseño de misiones de observación del
planeta alrededor del cual orbitan. Además, el minimizar las variaciones en la altitud hace que la órbita sea más estable
a largo plazo y requiera un menor coste de mantenimiento orbital.
Este control sobre la altitud se consigue cancelando las variaciones de largo periodo en la excentricidad orbital (e)
y el argumento del periastro (ω) mediante una adecuada elección de los valores del resto de los elementos orbitales.
En este trabajo se presentan los distintos procedimientos para obtener órbitas congeladas. La aproximación más simple
consiste en considerar solo la perturbación debida al achatamiento del planeta producido por primeros zonales J2 y J3 e
Congreso Bienal de la Real Sociedad Matemática Española (Zaragoza, 2017)
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introducir la expresión de la correspondiente función potencial (una vez eliminadas las variaciones de corto periodo) en
las ecuaciones de Lagrange, que son las ecuaciones que dan la variación secular de los elementos orbitales (y en particular
de la excentricidad y argumento de periastro). Resolviendo el sistema ė = 0, ω̇ = 0 se obtienen los valores del semieje
mayor, excentricidad e inclinación que dan lugar a órbitas congeladas. Este procedimiento puede mejorarse incluyendo la
presión de radiación solar o la atracción de terceros cuerpos. En estos casos los términos de corto periodo van asociados
a la anomalía media del satélite y a la anomalía media del tercer cuerpo por lo que en general es necesario realizar un
segundo promedio con respecto a esta segunda anomalía antes de estudiar las correspondientes ecuaciones de Lagrange.
Por otro lado, es importante resaltar que los valores obtenidos mediante técnicas de promedio corresponden al problema
simplificado y no al real, se decir, son aproximaciones de órbitas congeladas y por tanto se van degenerando con el tiempo.
Para solventar esto podemos eliminar las variaciones de corto periodo mediante transformaciones de Lie, de tal modo
que obtengamos las funciones generatrices de las transformaciones y el procedimiento sea reversible recuperando así los
valores de las órbitas correspondientes al problema dinámico no promediado.
Estos procedimientos los ilustraremos con dos ejemplos. El caso de un satélite artificial orbitando la Luna, donde
calcularemos órbitas congeladas en altitudes bajas. Y el caso de un orbitador en Mercurio, donde será necesario incluir el
efecto de la perturbación debida a la presión de radiación solar y la atracción gravitatoria ejercida por el Sol. En ambos
casos se mostrarán gráficas donde observar las propiedades y el comportamiento de las órbitas congeladas obtenidas.
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Estabilidad normal y estabilidad de Lie
Jesús F. Palacián
Departamento de Ingeniería Matemática e Informática, Universidad Pública de Navarra
palacian@unavarra.es
Resumen
En el contexto de estabilidad de puntos de equilibrio de tipo elíptico en sistemas hamiltonianos n dimensionales,
presentamos el concepto de estabilidad normal [3], basado en la forma normal del punto de equilibrio. Esta es una noción
de estabilidad no lineal más débil que la de Liapunov, siendo más próxima a la estabilidad de tipo formal. Una de las
características importantes de la estabilidad normal es que únicamente con la parte cuadrática del hamiltoniano alrededor
del equilibrio en cuestión es suficiente para establecer cuándo un equilibrio es normalmente estable, lo que resulta muy
útil en aplicaciones para sistemas de n grados de libertad con n ≥ 3. Un caso relacionado con la estabilidad normal es
el de estabilidad de Lie [4], otro tipo de estabilidad formal que generaliza el caso de estabilidad normal. Analizamos la
conexión entre estos dos tipos de estabilidad. La última parte de la charla consiste en presentar estimadores temporales
de carácter exponencial para equilibrios que cumplen la caracterización de estabilidad de Lie. Estos estimadores están
basados en un trabajo de Chartier et al. [1]. Este es un trabajo realizado conjuntamente con S. Dumas, K. Meyer y P.
Yanguas [2].
Referencias
[1] P. Chartier, A. Murua y J. M. Sanz-Serna, Higher-order averaging, formal series and numerical integration
III: error bounds, Found. Comput. Math. 15 (2015) 591–612.
[2] H. S. Dumas, K. R. Meyer, J. F. Palacián y P. Yanguas, Asymptotic stability estimates near an equilibrium
point, enviado (2016).
[3] K. R. Meyer, J. F. Palacián y P. Yanguas, Normally stable Hamiltonian systems, Discrete Contin. Dyn.
Syst. 33 (2013), 1201–1214.
[4] F. dos Santos y C. Vidal, Stability of equilibrium solutions of autonomous and periodic Hamiltonian systems
in the case of multiple resonances, J. Differential Equations 258 (2015), 3880–3901.