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Área Básica: Álgebra
Temario:
1. Grupos. Grupos, subgrupos y subgrupos normales. Grupos cocientes,
homomorfismos y teoremas del ismorfismo. Acciones de grupos. Teoremas de
Sylow. Grupos libres y generadores.
2. Anillos Anillos, ideales y morfismos. Dominios y campos, campo de fracciones.
Anillos conmutativos, ideales máximos y mínimos. Dominios Euclideanos, de
ideales principales y de factorización única. Anillos Noetherianos y teorema de la
Base de Hilbert.
3. Módulos Definiciones básicas. Suma directa y producto directo. Módulos libres y
proyectivos. Módulos finitamente generados sobre un DIP. Formas canónicas de
un endomorfismo lineal y grupos abelianos finitamente generados.
4. Campos Extensiones algebraicas. Campos de descomposición. El teorema
Fundamental de la Teoría de Galois. Grupos solubles y solubilidad de ecuaciones
algebraicas. Grupos simétricos y la ecuación general de grado
5. Elementos de representación de grupos finitos. Generalidades. Teoría de
caracteres, el Lema de Schur. Representaciones inducidas. Representaciones de
grupos cíclicos, dihédricos y alternantes.
Bibliografía.
1. Jacobson, “Basic Álgebra I”, Freeman and Company, 1985.
2. Grove, “Algebra”, Academic Press, 1983.
3. Lang, “Algebra”, Adisson-Wesley, 1993.
4. Kepmf, “Algebraic Structures”.
5. Serre “Linear Representations of Finite Groups”, Springre Verlag, 1977
6. Hungerford, “Algebra”, Springer Verlag, 2003.
Área Básica: Análisis Real
Temario:
1. El sistema de los números reales
2. Sucesiones
3. Funciones Continuas
4. Derivadas e integrales de Riemann
5. Espacios Métricos
6. Espacios Topológicos
7. Teorema de Bolzano-Weierstrass
8. Teorema de Stone-Weierstrass
9. Espacios de Banach
10. Operadores Lineales y funcionales lineales
11. Teorema de Hahn-Banach
12. Teoremas de la gráfica cerrada y de la aplicación abierta
13. Espacios Vectoriales Topológicos
14. Espacios de Hilbert
15. Medida Lebesgue
16. Integral de Lebesgue
17. Espacios L_P
18. Medida e Integración (abstracto)
19. Teoremas generales de convergencia
20. Teorema de Radon-Nikodym
21. Espacios L_P , revisado
Bibliografía:
1. H. L. ROYDEN, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
2. W. RUDIN, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1986
3. A. FRIEDMAN, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, 1982.
4. A. N. KOLMOGOROV, S. V. FOMIN, Elementos de la teoría de funciones y del
análisis funcional, Mir-Moscu, 1975.
5. T. M. APOSTOL, Análisis Matemático, Ed. Reverte, 1981.
6. E. DIBENEDETTO, Real Analysis, Birhäuser Boston, 2002.
Área Básica: Variable compleja
Temario:
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4.
5.
Funciones Analíticas. Propiedades básicas de la diferenciación. Funciones
elementales: exponencial, logarítmica, raíces. Las ecuaciones de CauchyReimann.
Teorema de Caychy. Integral de contorno. Fórmula Integral de Cauchy. Teorema
de Liouville. Teorema de Morera. Teorema de unicidad. Teorema de Runge.
Principio del módulo máximo.
Representación en series. Series de potencias y teorema de Taylor. Series de
Laurent. Clasificación de singularidades.
Cálculo de residuos. Cálculo de residuos. El Teorema del residuo. Cálculo de
integrales definidas.
Temas adiconales. Aplicaciones conformes. Continuación analítica. Teorema de
Rouché y principio del aregumento.
Bibliografía:
1.
2.
3.
4.
L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd. ed. Mc-Graw-Hill, 1979.
N. Levinson and R. Ledheffer, Complex variables, McGraw-Hill, 1970.
J. Marsden and Hoffman, Basic complex analysis , Freeman. 1987.
R. Nevanlinna and V. Paatero, Introduction to complex analysis , Addison-Wesley,
1969.
Área Básica: Topología
Temario:
1. Espacios Métricos. Los espacios euclideanos. Propiedades de una métrica.
Vecindades y conjuntos abiertos. Convergencia y completitud. La categoría de los
espacios métricos.
2. Espacios topológicos. Axiomas de una topología. Abiertos y cerrados. Cerradura,
adherencia y frontera. Bases de vecindades. Continuidad. Homeomorfismos. La
categoría de espacios topológicos.
3. Familias de Topologías. Topologías gruesas y finas. Intersección de Topologías.
Límites y colímites. Comparación de bases.
4. Productos y cocientes. Topología relativa. Espacios cocientes. Espacios producto.
La topología de las cajas. Suma topológica. Conexidad. Límites y colímites.
Cofribaciones.
5. Convergencia. Filtros. Puntos de acumulación y de adherencia. Ultrafiltros. Filtros
y funciones. Filtros y productos. Redes.
6. Compacidad. Conjuntos compactos. Compacidad y numerabilidad.
Compactificación de Alexandroff. Funciones propias. La topología compactoabierta. La ley exponencial. Espacios compactamente generados.
7. Axiomas de separación. Espacios de Huassdorff. Espacios normales. Espacios
regulares y completamente regulares. Compactificación de Stone-Cêch.
Metrizabilidad. Paracompacidad.
8. Variedades. Funciones coordenadas. Variedades. Variedades de dimensión 1.
Clasificación de superficies. Ejemplos de variedades. Los grupos clásicos.
Bibliografía:
1. Texto base: Carlos Prieto. “Topología Básica” Fondo de Cultura Económica,
México 2003.
2. Armstrong, “Basic Topology” Springre Verlag, 1966.
3. Bredon, “Introduction to Compact Transformation Groups” Academic Press, 1972.
4. Dugunngji Topology Allyn and Bacon, 1966.
5. Halmos, “Naive Set Theory” Van Nostrand 1960.
6. Kelley, “General Topology” Springer Verlag 1955.
7. Munkres, “Topology: a first course”
8. Salicrup, “Introducción a las Topología” Sociedad Matemática Mexicana 1993.
9. Steen and Seebach, “Counterexamples in Topology” Springer Verlag 1978.
10. Willard, “General Topology” Addison-Wesley 1970.
Área Básica: Teoría Algebraica de los Números
Temario:
1. Anillos de Dekind. Módulos y módulos sobre dominios de ideales principales.
Anillos locales. Cerradura entera. Anillos de valuación discreta y anillos de
Dedekind. Ideales fraccionarios y el grupo de clase. Normas y trazas. Extensiones
de anillos de Dedekind: Ramificación. Terminología de campos de números
algebraicos. Finitud del grupo de clase. Teorema de las unidades de Dirichlet.
Ejemplos: Campos cuadráticos y campos ciclotómicos.
2. Campos Completos. Valuaciones y completaciones. Valuaciones arquimedianas
y no-arquimedianas. La topología de las completaciones de campos de números
algebraicos. La fórmula del producto.
Bibliografía:
1. KENNETH IRELAND, MICHAEL ROSEN, A Classical Introduction to Modern
Number, Springer-Verlag, 1990.
2. GERALD J. JANUSZ, Algebraic Number Fields, American Math. Society, 1996.
3. SERGE LANG, Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 19904.
4. PIERRE SAMUEL, Théorie Algébrique des Nombres, Hermann Éditeurs des
Sciences et Arts, 2003.
5. Jean-Pierre SERRE, Local Fields, Springer.
Área Básica: Geometría Algebraica
Temario:
1. Conceptos fundamentales. Lema de Normalización de Noether y Teorema de los
Ceros. Correspondencia entre cerrados afines e ideales de k[x_1,…,x_n]. Haces,
definiciones básicas. Haces definidos en una base y su extensión a todo el
espacio. Germen en un punto. Morfismos inyectivos y sobreyectivos. Sucesiones
exactas de haces. Espacios anillados. La categoría de prevariedades. Variedades
afines como espacios anillados. Definición de prevariedades y morfismos.
Productos en la categoría de prevariedades. Axioma de Haussdorff y definición de
variedades.Teoría de dimensión. Teorema del ideal principal y morfismos finitos.
Caracterizaciones de dimensión. El teorema de dimensión de las fibras.Variedades
completas. El lema de Chow. Topología fuerte, variedades complejas.
Caracterización de variedades complejas completas.
2. Fibrados vectoriales y divisores. Variedades no singulares y normales.
Definiciones básicas. Diferenciales de Khaler, vectores tangentes y espacios
vectoriales. Estudio diferencial de un morfismo. Normalización y desingularización.
El caso de curvas. Correspondencia entre divisores de Cartier, haces invertibles y
fibrados en rectas. Divisores de Weil y de Cartier. Equivalencia lineal y grupo de
Picard. Cohomología de Cech. La sucesión larga en cohomología. Haces
coherentes, teoremas de finitud de cohomología para haces coherentes definidos
en variedades proyectivas. Sistemas lineales, morfismos asociados a sitemas
lineales. Haces amplios y muy amplios. El Teorema de Bertini. Teorema de la
sección hiperplana de Serre. Dualidad de Serre. El caso de curvas: Teorema de
Riemann-Roch. La aplicación canónica.
3. Variedades complejas. Variedades no singulares y variedades complejoanalíticas. El principio GAGA. Clases de Chern. Resultados principales de la
Teoría de Hodge.
BIBLIOGRAFIA.
1. D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes. Springer Verlag LNM 1358,
1999.
2. R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Springer Verlag GTM 52, 1977.
3. P. Griffiths and J. Harris. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, Inc.
1978.
4. J.P. Serre. Faisceaux Algebriques Coherents., Annals of Mathematics vol 61 no2
1955, 197-278.
Área Básica: Teoría de gráficas
Temario:
1. Gráficas y digráficas. Gráficas y gráficas orientadas. Árboles y bosques.
Trayectorias y conexidad. Subgráficas. Homeomorfismos, homeomorfismos
reflexivos, isomorfismos de gráficas, automorfismos. Productos de gráficas y
digráficas, producto cartesiano, normal o fuerte, composición de gráficas. Gráficas
de líneas, de clanes, árboles de bloques y puntos de corte.
2. Recorrido de gráficas. El teorema de Euler. Graficas hamiltonianas, el teorema
de Ore. El problema del cartero chino. El problema del agente viajero.
3. Gráficas planas. Gráficas planas y aplanables. Gráficas duales. La formula de
Euler. El teorema de Kuratowski. Genero de una gráfica. El teorema de Heawood.
4. Coloraciones de vértices y aristas. Número cromático. Los teoremas de los
cinco colores. El teorema de Brook. Polinomios cromáticos. Coloraciones de
aristas. El teorema de Vizing.
5. Conjuntos independientes y clanes. Conjuntos independientes. El teorema de
Ramsey. El teorema de Turán.
6. Gráficas perfectas. El teorema de Lovász.
7. Apareamientos. Apareamientos. Apareamientos y cubiertas en gráficas bipartitas.
Apareamientos perfectos. El teorema de Tutte. El problema de asignación de
personal.
8. Digráficas. Gráficas dirigidas. Trayectorias dirigidas y ciclos dirigidos. Torneos.
Núcleos
9. Conexidad. El teorema de Menger. Flujos. El teorema de FordFulkerson.
10. Redes. Flujos. Cortes. El teorema del flujo máximo y el corte mínimo. El teorema
de Menger.
11. Ciclos y cociclos. Espacio de ciclos y cociclos. Número ciclomático. Grupo
fundamental. Cuello.
BIBLIOGRAFIA
1. Harary F. Graph Theory, AddisonWesley, 1969
2. Berge, C. Graphs, NorthHolland, Amsterdam, 1986
3. Chartrand, G. and L. Lesniak. Graphs and digraphs, Wadsworth and Brooks
/Cole of Mathematical Series, 1986
4. Bondy, J. A. and U. S. R. Murty. Graph theory with applications, New York,
NorthHolland, 1976.
5. Ore O. Theory of Graphs, American Mathematical Society, 1962
6. Ringel, G. Map color theorem, Berlin, Springer Verlag, 1974
7. Lovasz, L. A characterization of perfect graphs, Journal of Combinatorial
Theory (B), 95 98, 1972