Download Es claro que el coseno de un ángulo agudo (digamos a) es igual al

MATEMÁTICAS BÁSICAS
Es claro que el coseno de un ángulo agudo (digamos a) es igual al seno de su
complemento W), de ahí la palabra coseno (seno del complemento).
Nota: En adelante escribiremos indistintamente cos a o cos(m(a)), siendo m(a) la
medida del ángulo a, ya sea en grados o en radianes, y cuando se trate de radianes
omitiremos la palabra "radianes".
Análogamente para las restantes funciones
trigonométricas.
Usaremos lo anterior para extender las defin
como el de 0° , como los obtusos, a los cm
dadas.
Nótese que si tomamos r = 1
t = longitud del arco AP , d
Y cos(a)) se tiene:
Ejemplo: De las figuras siguientes
Tenemos así definido se
propósito es extender est
Ángulos en posición es
1
se
obtien~
que
sen(45°) =
~ =cos(45 °);
sen(60 0)=
~ =cos(30 o); COS(60o)=~=sen(300)
o equivalentemente,
Observación: Consideremos un ángulo agudo a. Si lo ubicamos como se indica en la
figura 31, a) siguiente
• Tienen su vértice e
• Uno de los lados c
lado se llama lado
• El ángulo se gener
lo cual puede ocu
las agujas del rejo
Ahora extenderem
Consideremos un á
las figuras siguient
y
y
A continuación descri
ángulos en posición est
x
a)
b)
FIGURA 31
en la cual la circunferencia que aparece es una circunferencia cualquiera de radio r,
entonces
sen(a)=2:'.
r
y
92
cos(a) = ~
r
Si s es la Ion
I
l fi,gura 3
MATEMÁTICAS BÁSICAS
sudo (digamos a) es igual al seno de su
;eno del complemento).
Usaremos 10 anterior para extender las definiciones de sen (a) y cos(a) a otros ángulos,
como el de 0° , como los obtusos, a los cuales no podemos aplicar las definiciones antes
dadas.
mente cosa o cos(m(a)), siendo m(a) la
) en radianes, y cuando se trate de radianes
nálogamente para las restantes funciones
Nótese que si tomamos r = 1 ( ver la figura 31 ,b )), entonces la medida de a en radianes es
t = longitud del arco AP, de manera que (escribiendo sen(t) y cos(t) en lugar de sen{a)
y cos(a)) se tiene:
sen(t)=y
y
cos(t) = x
Tenemos así definido sen(t) y cos(t) para cualquier número real t , 0 < t < ~. Nuestro
2
propósito es extender estas definiciones a todo número real t.
\
Ángulos en posición estándar
A continuación describiremos de manera informal las características de los llamados
ángulos en posición estándar en un plano cartesiano xy :
• Tienen su vértice en el origen.
• Uno de los lados coincide con la parte positiva del ej c x y se llama lado inicial. El otro
.lado se llama lado terminal.
• El ángulo se genera al rotar el lado inicial, alrededor del origen 0, hasta el lado terminal,
lo cual puede ocurrir en el mismo sentido o en el sentido opuesto al del movimiento de
las agujas del reloj, permitiéndose más de una vuelta (en cualquiera de los dos sentidos) .
Ahora extenderemos la medida en radianes a dichos ángulos en posición estándar:
Consideremos un ángulo a en posición estándar y sean A y P los puntos que se indican en
las figuras siguientes
y
y
x
x
a)
FIGURA 32
b)
En dichas figuras la circunferencia que aparece es una circunferencia cualquiera de radio r
y centro en O.
Si s es la longitud del arco AP, entonces la medida en radianes t de a está dada por
93
MATEMÁTICAS BÁSICAS
S
t = - si la rotación se efectúa en sentido "antihorario" (ver figura 32, a))
r
Se define entonces :
o por
sen(a)=I
r
t = -~ si la rotación se efectúa en sentido "horario" (ver figura 32, b))
r
Es claro que si escogemos r = I , entonces tendremos t = S en el caso antihorario y t = -s
en el caso horario .
Nótese que los valores sen(a) y cos(a) nc
escojamos, y que si escogemos r = 1 entone
Ejemplo: La medida en radianes de los ángulos en las figuras 33, a), b), c), d) siguientes,
n
n n
9n
n
9n
son 4' - 4' 4 + 2n = 4 y -4 - 2n = - 4' respectivamente.
y
y
e)
a)
Se cumple la relación fu
y
y
A
cualquiera sea el ángulo
x
Además se tiene que:
d)
b)
co
FIGURA 33
o eq ui va lentemente
Seno y coseno de ángulos en posición estándar
Consideremos un ángulo a en posición estándar. Tracemos una circunferencia cualquiera
de radio r y centro en 0 , y sea p(x, y) el punto donde dicha circunferencia corta al lado
terminal de a , como se muestra en las figuras siguientes:
cualesquiera sean
Finalmente las otras fu
y
y
tE
tan(a) = 2'
x
~ sen (a)
cos(a) '
A
x
x
FIGURA 34
94
Seno y coseno de núm
Si t es un número rea
cuya medida en radian
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Itido "antihorario" (ver figura 32, a))
Se define entonces:
sen(a)= 1.
r
y
cos(a)=~
r
sentido "horario" (ver figura 32, b))
odremos t = s en el caso antihorario y t = -s
Nótese que los valores sen(a) y cos(a) no dependen del radio r de la circunferencia que
escojamos, y que si escogemos r = I entonces sen(a) = y y cos(a)= x.
y
os en las figuras 33, a), b), c), d) siguientes,
9n
\
4
1
respectivamente.
x
-1
-1
FIGURA 35
Se cumple la relación fundamental
cualquiera sea el ángulo a (lo cual se infiere de la figura).
Además se tiene que:
cos( t + k(2n)) = cos( t),
sen( t + k(2n)) = sen(t)
o equivalentemente
cualesquiera sean tER Y k E Z . Finalmente las otras funciones tri gonométr icas se definen como sIgue: tan(a) = 1. = sen(a) '
x
cos ( a )
cot(a)-- ~ -- cos(a)
()'
y
sen a
sec(a) - r
1
csc(a) r _
I
-- =
=- x cos(a )'
y sen (a)
Seno y coseno de números reales
Si t es un número real, por sen(t) entenderemos el seno del ángulo en posición estándar
cuya medida en radianes es t. De manera simi lar se entiende cos( t) .
95
MATEMÁTICAS BÁSICAS
y
En la gráfica siguiente, se indican los valores sen(t) y cos(t) para un t positivo. En dicha
gráfica t es la longitud del arco AP, el ángulo que mide t radianes es el ángulo AOP, y las
coordenadas x, y del punto P son, respectivamente, cos(t) y sen(t).
R
v
FIGl
(- 1,0)
•
(O, - 1)
cos(t+11/ 2)=-sent, sen(t+11/2)=co:
O
FIGUR.i\ 36
y
Ejemplo: De la figura 36, se obtienen los resultados que aparecen en la tabla siguiente:
t
O
11/ 2
- 11/ 2
±11
3rr./ 2
cos(t)
)
O
-)
O
sen(t)
O
O
1
O
- 1
- ]
- 311/ 2
± 211
O
1
1
O
e
De las definiciones dadas se obtienen, entre otras, las propiedades
•
sen t
S;
1 Y -) _ cos t
S;
cos t = cos( - t) ,
1 , para todo tER.
•
- ) S;
•
cos(t+ 2krr.)= cost , sen(t+2krr.)=sent,paratodo tER. (Verla figura 37 siguiente)
y
x
F
FIGURA. 37
•
COS(t+11)=-cost , sen(t+11)=-sent, para todo tER . (Ver la figura 38 siguiente)
96 Las otras funciones trigonométricas s
sen t
tant=--,
cos t