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Leyendo a Feynman
Leyendo a Feynman
Aranzazu García Páez
Rocio García Puente
Martín Rodríguez Vega
Andrés Sepúlveda Quiroz
Universidad de Colima
Colima, México
2009
@ 2009 García Páez, García Puente, Rodríguez Vega, Sepúlveda Quiroz
Libro de circulación interna.
Prohibida su venta.
A Elena, que nos motivó a hacer este proyecto
y a todos aquellos que encuentran
un gusto especial por la física.
Índice general
Prefacio
xi
Agradecimientos
xiii
1 Introducción
1.1. Imaginación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Feynman: Vida y Obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Experiencia Feynman Lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
5
2 Electromagnetismo
2.1. Una fuerza muy especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Sentir de lejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Las cuatro fantásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
12
13
3 Cálculo diferencial vectorial
17
4 Cálculo integral vectorial
4.1. Primer Teorema . . . . . .
4.2. Segundo Teorema . . . . . .
4.3. Tercer Teorema . . . . . . .
4.4. Observaciones Importantes
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21
21
22
23
23
5 Electrostática
5.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Campo Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Potencial Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Índice general
viii
6 Aplicaciones de la Ley de Gauss
6.1. Equilibrio . . . . . . . . . . . .
6.2. Los átomos . . . . . . . . . . .
6.3. Ejemplos de la ley de Gauss . .
6.4. Los Conductores . . . . . . . .
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7 El campo eléctrico en diversas
situaciones
7.1. Ecuaciones del potencial electrostático . . . . . . . . . . .
7.2. El dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Comentarios sobre ecuaciones vectoriales . . . . . . . . . .
7.4. El potencial de un dipolo como gradiente . . . . . . . . .
7.5. La aproximación dipolar para una distribución arbitraria .
7.6. Campos de conductores cargados . . . . . . . . . . . . . .
7.7. El método de las imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. La carga puntual cerca de un plano conductor . . . . . . .
7.9. La carga puntual cerca de una esfera conductora . . . . .
7.10. Condensadores; las placas paralelas . . . . . . . . . . . . .
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8 Energía electrostática
8.1. La energía electrostática de cargas . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. La energía electrostática en los núcleos . . . . . . . . . . . . . .
51
51
52
9 La electricidad en la atmósfera
9.1. El potencial en la nariz y la electricidad en las alturas
9.2. Thunder, thunder, thuderstorms . . . !! . . . . . . . . . .
9.3. Introducción al Mecanismo de Tláloc . . . . . . . . . .
9.4. Relámpagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Espíritus rojos y Blue Jets . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Dielćtricos
10.1. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. El Vector de Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Ecuaciones electrostáticas con dieléctricos . . . . . . . . . . . .
75
75
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11 Dentro de los dieléctricos
11.1. Dentro de los Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Dielécticos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
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12 Magnetostática
12.1. El campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Índice general
ix
12.2. La corriente eléctrica y Conservación de la
12.3. La Fuerza Magnética en una Corriente .
12.4. La Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . .
12.5. La Relatividad de los Campos . . . . . . .
carga
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14 El potencial vectorial
14.1. Las fuerzas sobre un lazo de corriente; energía de un dipolo .
14.2. Las energías mecánica y eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3. La energía de las corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . .
14.4. B versus A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5. El potencial vectorial y la mecánica cuántica . . . . . . . . .
14.6. Lo que es verdadero para la estática y falso para la dinámica
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117
120
121
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124
15 Corrientes inducidas
15.1. El motor que mueve al mundo .
15.2. Iluminación Inducida . . . . . .
15.3. La fuerza que mueve al mundo
15.4. El mundo que Faraday no vio .
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127
132
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136
13 El campo magnético en varias situaciones
13.1. ¿Un Potencial Vectorial? . . . . . . . . . . . . .
13.2. Por otro camino . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3. Caso 1: Un alambre infinito . . . . . . . . . . .
13.4. Caso 2: Un solenoide infinito . . . . . . . . . .
13.5. Caso 3: Un circuito pequeño . . . . . . . . . . .
13.6. El Potencial Vectorial de un circuito (otra vez)
13.7. Les fabuleux Biot et Savart . . . . . . . . . . .
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16 Las leyes de la inducción
16.1. La física de la inducción . . . . .
16.2. Excepciones a la regla del flujo .
16.3. Aceleración de partículas por un
betatrón . . . . . . . . . . . . . .
16.4. Una paradoja . . . . . . . . . . .
17 Las ecuaciones de Maxwell
17.1. Las Ecuaciones de Maxwell .
17.2. La Física Clásica . . . . . . .
17.3. Un campo viajero . . . . . . .
17.4. La velocidad de la Luz . . . .
17.5. Resolviendo las Ecuaciones de
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campo
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Maxwell .
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eléctrico inducido.
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El
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155
Índice general
x
18 Principio de mínima acción
159
18.1. Principio de Mínima Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
19 Solución de las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacio
165
19.1. Solución de las Ecuaciones de Maxwell en el Espacio Vacio . . 165
19.2. Ondas en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
19.3. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
20 Circuitos AC
20.1. Los ideales y la Impedancia
20.2. Generadores . . . . . . . . .
20.3. Kirchhoff Dice. . . . . . . . .
20.4. Energos . . . . . . . . . . .
20.5. Una red infinita . . . . . . .
20.6. Filtros . . . . . . . . . . . .
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183
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188
191
21 Electrodinámica en notación relativista
21.1. Cuadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3. El gradiente en cuatro dimensiones . . . . . . . . .
21.4. La electrodinámica en notación cuadridimensional
21.5. El cuadripotencial de una carga en movimiento . .
21.6. Invariancia de las ecuaciones de la electrodinámica
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Los autores
201
Las figuras
203
Prefacio
Los autores de este libro, Andrés, Aranza, Martín y Rocío, fueron mis alumnos en el curso de Electromagnetismo I durante el semestre Agosto 08 - Enero
09 en la Facultad de Ciencias, Universidad de Colima.
Decidí incorporar la lectura de "The Feynman Lectures on Physics" como
parte integral del curso porque pienso que es una experiencia que se quedará
con ellos toda su vida; algo en uno cambia si se ven las ecuaciones de Maxwell
por primera vez a través de los ojos de Feynman. La escritura del Wikilibro
correspondiente 1 fue más que nada una forma de concretizar lo que procesaban
de las lecturas.
Al pasar de las semanas fui gratamente sorprendida con el entusiasmo que
Andrés, Aranza, Martín y Rocío mostraban por el Wikilibro. Me di cuenta
que descubrían no solo las ideas de física sino también el placer de compartir
y difundir lo que uno entiende. Y como el entusiasmo, la risa y el fuego son
contagiosos, todo el esfuerzo y cariño que los autores pusieron en la realización
de este libro no podía sino despertar en mi la voluntad de apoyarlos en todo lo
que pudiera.
Alguna gente piensa que un profesor es un encargado de proteger el orden de
las cosas en el edificio del conocimiento, de hacer brillar alguna verdad escrita
en piedra o que es el gaurdián de la puerta hacia un título. Falso, falso, falso.
Enseñar es un baile comunal, una acrobacia sincronizada, una orquesta: que
funcione depende de todos. En las volteretas de símbolos en el aire dependo yo
de mis alumnos tanto como ellos de mi. Y somos felices todos cuando el baile
sale bien, cuando Andrés se agarra la cabeza y exclama “ que bárbaro....no
puede ser ” o cuando se ve en los ojos de Aranza que -click- ahora si entendió
1
http://es.wikibooks.org/wiki/Física/Lo_que_aprendí_leyendo_a_Feynman__Electromagnetismo
xi
PREFACIO
xii
el experimento del anillo y la bobina o cuando Martín con los ojos fijos en la
pizarra dice, como hipnotizado, “ eso es una onda......”
Al ver la alta calidad del producto final de este experimento pedagógico es
claro que fue un éxito. Sin embargo, más allá del contenido en si, más allá de estar bien escrito, más allá de lo que aprendieron, creo que este trabajo es valioso
también como ejemplo de lo que cuatro estudiantes curiosos, inteligentes, inquietos y muy trabajadores pueden lograr.
De mi parte, solo me queda agradecer a los autores; nos maravillamos, nos
divertimos y aprendimos juntos. Gracias muchachos, fue un gran baile.
Colima, Colima, enero de 2009
Elena Cáceres
elenac@ucol.mx
Facultad de Ciencias
Universidad de Colima.
Agradecimientos
Agradecemos la participación de nuestra compañera Karen Ramos Gómez
en el inicio de este trabajo, en particular su aportación al Capt́ulo 8.
xiii
Capítulo
1
Introducción
La física es como el sexo:
seguro tiene una utilidad práctica,
pero no es por eso que lo hacemos.
Richard P. Feynman
1.1.
Imaginación
Pensemos en un color. El proceso por el cual la luz, proveniente de una
fuente externa, sea en parte absorbida y después reflejada sobre un cuerpo, para
que luego, dicha luz reflejada incida de lleno en nuestro ojo, sea transformada en
impulsos eléctricos y finalmente llegue a nuestro cerebro, donde será percibida
como color, eso es física.
Pensemos en un sonido. El proceso por el cual las moléculas de aire circundante son empujadas unas sobre otras por una fuerza externa, sirven de medio
para la transmisión de impulsos más o menos ordenados, que al llegar a nuestro
canal auditivo -ubicado en nuestro oído- se aglomeren, sean transformados en
señales eléctricas y después, interpretadas como sonido, eso es física.
Pensemos en movimiento: satélites orbitando bajo nuestras ciudades, aves
volando a grandes alturas, un ciclista cuesta abajo imponiendo nuevo record,
un ventilador girando, un niño patea un balón y rompe una ventana, eso es
física.
Todo es, en buena parte, física.
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Esta es la preciada ecencia que se busca trasmitir en este trabajo que tiene
en sus manos hoy y que lleva por nombre Leyendo a Feynman. La esencia de
que en la cual la naturaleza que rodea al ser humano puede llegar a ser descrita
y entendida en conocimiento ordenado, para después ser usado en cuestiones
tan familiares como hacer una computadora, cargar un teléfono celular o ver
una telenovela.
En particular, en el interior de este trabajo se trató de cubrir la naturaleza
de las cosas relacionadas con la electricidad, el magnetismo y sus misterios.
¿Qué se esconde detrás de los objetos eléctricos? ¿por qué hay tanta luminosidad en los relámpagos? ¿a qué se debe que un imán atrae objetos? Entre otras
interesantes cuestiones más.
Por otro lado, parte de la labor de un físico -y de todo científico, por
extensión- es transmitir aquello que se descubre y entiende para que después,
la semilla pueda en un futuro germinar y luego brinde frutos. Nosotros, como estudiantes de física, buscamos heredar el entusiasmo y la fascinación por
aprender más acerca de nuestro entorno natural -en especial, en un ambiente
lleno de electricidad, magnetismo y ecuaciones de Maxwell- a todos aquellos
que, si bien no serán físicos en toda la extensión de la palabra, sí son seres
humanos que se cuestionan, piensan e indagan sobre lo que pasa por el mundo.
También buscamos limpiar un poco el concepto de lo que un físico es y hace,
ya que es por todo conocido algunos estigmas sobre los que las matemáticas
causan a los niños en la escuela y sobre lo carentes de espíritu científico que en
la actualidad, nuestra sociedad, es.
Sírvase éste trabajo para demostrar que en nuestro caso, como personas que
nos gusta lo que hacemos, el concepto de física es radicalmente diferente y que
en la vida, sea lo que sea, cuando se hace algo con pasión, no hay porqué decir
que es difícil.
1.2.
Feynman: Vida y Obra
Muy seguramente, la niñez de Richard Phillips Feynman en la comunidad
de Far Rockaway, al sur de Manhattan fue en cierto sentido, de estilo libre y
relajado para su tiempo. Proveniente de una familia judía de clase media, en
los primeros años de su vida -durante la década de los años 20’s- se dedicó inicialmente a responder preguntas que su padre Melville, le inducía como juegos.
Su madre Lucille, mientras tanto, le trasmitió el famoso sentido del humor por
la vida que distinguiría a Feynman y que lo forjaría en actitud como persona.
El espíritu libre y amor por la ciencia que imperaba dentro de la familia se
consagró al destruir tabúes y permitir que la hermana mayor de Richard, Joan,
tuviera la oportunidad para los estudios superiores antes prohibidos para una
1.2. FEYNMAN: VIDA Y OBRA
3
mujer y se convirtiera en una productiva astrofísica. Mantener el camino fue
quizás la premisa que definió la filosofía de los Feynman.
Su época universitaria la pasó en el Instituto de Tecnología de Massachusetts
(MIT) donde obtuvo su licenciatura en 1939. Durante ese tiempo conoció a la
mujer más importante en su vida, después de su madre, quizás: Arline Greenbaum. Con ella compartiría los retos académicos y semejanza de pensamiento,
típicos de toda pareja. Fue en pocas palabras, su confidente. Pero debido a
cosas de la vida, al final de los preparativos de la tesis doctoral de Feymnan
en Princeton, Arline fue diagnosticada con tuberculosis, incurable en aquella
época. Se casaron en ceremonia sencilla.
Es por todos conocido el gran poder de energía que existe dentro del átomo.
En aquella época, durante la segunda guerra mundial, se desarrolló el famoso
Proyecto Manhattan que patrocinado por el gobierno y el ejército de los Estados Unidos, buscaba la construcción de la primera bomba atómica y del cual,
Feynman fue partícipe gracias a la intervención del físico Robert R. Wilson. Su
trabajo consistió en cálculos numéricos y resolver las ecuaciones planteadas en
la pizarra, por lo que estuvo un tanto alejado de la línea de acción del proyecto.
Durante los fines de semana visitaba a su esposa en un sanatorio en Santa Fe.
En su estadía en Los Álamos, Feynman menciona que era un lugar para
no hacer nada debido a su completo aislamiento. De aquí surgen algunas de
sus anécdotas, como en la cual, él era capaz de abrir los escritorios y cambiar
documentos de dueño, burlándose así de los supuestos códigos de seguridad que
allí imperaban. También solía tocar el bongo para el deleite de los presentes y
para relajarse un poco.
Ya al final de la guerra, la tuberculosis de Arline siguió avanzando rápidamente. En julio de 1945, Arline muere. Richard continúa y pocos días después
se convierte en uno de los afortunados en presenciar la detonación de la primera
bomba nuclear en Trinity, California.
Al término de la guerra y del proyecto, acepta trabajar en la universidad de
Cornell. En esta época de su vida entra en una ligera recesión, al sentirse a sí
mismo carente del espíritu innovador que antes le acompañaba. Una sorpresiva
invitación a formar parte del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton -la
cual no acepta- y su posterior incorporación al cuerpo académico del Instituto
de Tecnología de California (Caltech) inician la faceta de físico consagrado en
la cual todos estamos acostumbrados a escuchar.
El gran explicador así lo conocían en Caltech. Cuidaba en gran modo la forma y carácter de transmitir ideas y conceptos a su audiencia: jóvenes aspirantes
a físicos que lo escuchaban y peleaban por llamar su atención. El objetivo era
no difuminar en ningún momento el entusiasmo y las ganas de aprender que
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
con las que muchos estudiantes ingresaban a la universidad y en la mayoría de
los casos, a medio ciclo, simplemente desaparecían. Allí había un problema y
Feymnan buscó resolverlo.
Al mismo tiempo, lo que más le gustaba del ambiente académico era que
si no estaba inspirado en sus investigaciones, daba clases y en ocasiones, eso
le ayudaba a salir del hoyo. Así lo demuestran sus los tópicos de sus investigaciones:
1. En electrodinámica cuántica, donde trabajó y desarrolló un método para
calcular la probabilidad de transición de un estado cuántico a otro, que le
valió el premio Nobel de física en 1965. También se inventó el desarrollo de
la integral de camino, útil en mecánica cuántica y los famosos diagramas de
Feynman, artilugio simbólico para representar de manera simple procesos no
tan simples como la posible reversibilidad del tiempo en procesos de partículas,
colisiones y partículas virtuales, entre otros.
2. En física de superfluidos, donde aplicó la ecuación de Schrödinger al
problema de la viscosidad del helio liquido, permitiendo así un avance notable
a la ferviente área de la superconductividad.
3. En la creación de un modelo de desintegración débil que junto con la
colaboración de otro gran físico Murray Gell-Mann, lograron que la teoría que
describe la interacción nuclear débil -una de las cuatro fuerzas fundamentales
de la naturaleza- se conociera y perfeccionara mucho mejor.
Fue aquí, con su experiencia en Caltech donde se le invitó a ayudar con la
enseñanza de los estudiantes de licenciatura más en forma. Después de trabajar
en el asunto durante aproximadamente 3 años, Feynman escribe The Feynman
Lectures on Physics, una serie de conferencias dictadas a alumnos de primer
ciclo consistente actualmente en tres volúmenes y del cual, se desprende el
volumen II, que habla acerca de la Electricidad y el Magnetismo en la Materia
y junto con la propuesta y apoyo de Elena Cáceres, nuestra profesora, inició
sirvió de inspiración este pequeño proyecto.
El legado final de Richard Feynman, mas allá de su muerte ocurrida en
1988, fue la de poder trascender en la mente de sus estudiantes, siguiendo ese
espíritu libre con el que creció, que lo motivó y le ayudó a seguir, en todo
momento, ante obstáculos de la vida; junto con sus enormes ganas de buscar
más allá de lo posible, una respuesta que sacie las ganas del intelecto humano,
para poder así expander la frontera del conocimiento y llevarla a sus límites.
1.3. EXPERIENCIA FEYNMAN LECTURES
1.3.
5
Experiencia Feynman Lectures
El proceso que se vivió durante todo un semestre, en el cual se aprendió
mucho y se sufrió igual, fue en general, muy emocionante. Se trabajó muy duro
en cubrir los temas de clase, pero en una manera muy relajada y abierta al
debate. Donde cada clase iba de sorpresa en sorpresa, a tal punto de llegar a la
indigestión mental. Como estudiantes de física de segundo año (sophomores),
tuvimos la oportunidad de conocer a una de las súper teorías físicas particularmente más accesible: la teoría electromagnética. Sentimos la experiencia de
ver desfilar por la pizarra, ante nuestros ojos, gran cantidad de ecuaciones tan
sofisticadas, elegantes y profundas, que valieron la pena el sacrificio de pasar
días enteros enfrascados en su entendimiento óptimo.
Leer The Feynman Lectures fue algo muy enriquecedor. Nos abrió el panorama en muchos sentidos: tanto en la asimilación como en la profundización de
conceptos y su posterior implementación en problemas y cuestiones prácticas.
En ocasiones daba la impresión de tener al mismo Feynman explicando a
detalle frente a nosotros, los contenidos del capítulo.
Consideramos que aprender la forma de pensar y ver al mundo como lo
hace un físico, es lo que a manera de resumen, se logró al leer a Feynman.
El proceso de edición fue de un constante aprendizaje también. El primer
paso consistió en dictaminar los capítulos que cada autor iba a leer por separado
para su posterior publicación en línea. La utilización de programas de edición en
LATEX y comandos de edición en línea tuvieron que ser investigados. Aprender a
sintetizar y a no perderle el hilo al a historia fueron los retos que como autores,
nos tuvimos que enfrentar.
Finalmente y viendo nuestro trabajo terminado, esperamos que sea de
provechosa lectura y de especial disfrute para la divulgación del gusto por
la física, que nosotros nos propusimos a hacer.
Colima, Col, enero de 2009
LOS AUTORES
Capítulo
2
Electromagnetismo
Así como cuando por fin encontramos la llave que nos va a permitir entrar
a un lugar totalmene desconocido, donde nadie jamás ha entrado y en el cual
tenemos la certeza de que, tarde o temprano, vamos a descubrir algo intresante,
así, con esas mísmas ganas, Richard Feynman hereda la adrenalina necesaria al
lector para poder sumergirse en el mundo del electromagnetismo en este primer
capítulo del libro. Lejos de ser un prólogo o una síntesis global del mismo, aquí
expreso (en lo personal) los ganchos que permitan descubrir lo interesante de
su lectura.
2.1.
Una fuerza muy especial
Supongamos que queremos hacer un diccionario y queremos empezar a
definir conceptos. Iniciamos definiendo fuerza eléctrica. A dicho concepto le
atribuimos propiedades, como por ejemplo, asumimos que a la fuerza eléctrica
le gusta la moda de ser simétrica. ¿Por dónde le buscamos? Bien, pues si nos
ponemos a observar un caso especial, como conectar el cargador del celular,
nos damos cuenta de que el enchufe tiene dos orificios...(existen casos donde
hay tres, pero para éste caso, da lo mismo), en principio pudieron haber sido
cuatro, cinco o simplemente uno, pero al final solo existen dos. El punto es que
la por la sabiduría popular hemos aprendido que en nuestras casas, uno de esos
orificios es “positivo” y el otro “negativo”. ¿Qué significa esto?
Ayuda saber que a nivel elemental, la materia de la cual estamos hechos
(personas, cargadores y celulares) está hecha de átomos y en los átomos existen
partículas que poseen una propiedad llamada carga eléctrica. Aquí radica la
simetría. Existen dos especies de carga, tales que conglomeradas en un grupo
7
8
CAPÍTULO 2. ELECTROMAGNETISMO
y dejadas al azar, especies iguales se repelen y especies opuestas se atraen.
Éste hecho es tan simple que da risa pensarlo por lo común que es. Pero es
tan trascendente que vale la pena estudiarlo con detenimiento. Volviendo al
átomo, sabemos que en el núcleo existen partículas llamadas nucleones (obvias
razones) que son el protón con carga positiva y el neutrón con carga neutra, en
cuyo alrededor giran otras partículas llamadas electrones con carga negativa,
como si fuera un minisistema solar. El átomo pues, visto desde afuera es por
naturaleza, neutro.
Equilibrio. ¿Por qué a primera vista, no estamos tan familiarizados con la
fuerza eléctrica, pero sí con la gravedad? Muchas veces, el desconocimiento de
algo nos causa temor: en sus orígenes el hombre le temía al fuego y al trueno por
que no los entendía. A gran parte de las personas les causa temor las cuestiones
eléctricas porque creen que sufrirán algún daño al manejar cables, aparatos o
enchufes. Lo cierto es que la naturaleza de la fuerza eléctrica radica es su
perfecto equilibrio. Los objetos del mundo son neutros porque hay equilibrio
entre positivos y negativos. Algo así como el Ying y el Yang eléctrico, partes
iguales y en cantidades iguales. ¿Podríamos vivir en un mundo con aire para
respirar cargado? Quizás pero ante una ligerísima descompensación eléctrica
en nuestro cuerpo, el acto de respirar sería molesto: ¿se imaginan tener toques
en los pulmones?
La fuerza eléctrica ha estado con nosotros desde siempre, al igual que la
gravedad y que otras cuestiones físicas, solo que sus manifestaciones son por
causas de desequilibrios. Qué curioso, nos damos cuenta de que algo existe por
que deja de funcionar ordenadamente. Peor que un desequilibrio hormonal, un
desequilibrio de cargas del menos del 1en el cuerpo de algún mortal crearía una
fuerza de repulsión tan grande que bien podría mover la tierra. Hagan cálculos.
Cabe mencionar de que el hecho de que se le haya asignado el nombre de
carga positiva a la partícula llamada protón y carga negativa al electrón es una
mera convención. Bien pudo haber sido al revés: electrón carga positiva y protón
carga negativa. Una manera de evitar confusiones en física como las del tipo
“conversión de unidades” es aceptar normas estándar para algunos conceptos, y
ésta fue una de ellas. No existe diferencia real subjetiva entre cargas de la misma
especie, sólo que se repelen. Si a las que llamamos positivas las ordenamos
en una cajita, dado que tienen la misma carga, todas lucirán idénticas. Lo
mismo pasará con las que llamamos negativas. Pero ya hemos inducido que si
mezclamos las cajas, se armará una revolución por las atracciones y repulsiones
entre ellas. ¿Qué hace que un protón y un electrón se atraiga y dos electrones
se repelan? El concepto mismo de ”fuerza”.
Parte del éxito de Newton fue explicar matemáticamente algo tan común
como la fuerza entre dos cuerpos (en su caso, fuerza gravitatoria). Para nuestro
caso, una fuerza especial que se tratará es la fuerza eléctrica arriba presentada.
2.1. UNA FUERZA MUY ESPECIAL
9
Figura 2.1: Las cargas eléctricas de los átomos del suelo evitan que las llaves
los traspasen
A los físicos nos gusta medir, y en cierto punto, medir es comparar. Hagamos
apuestas. Si fuera una pelea de box, ¿a qué fuerza le apostaría que va a ganar,
a la fuerza gravitatoria o a la fuerza eléctrica? A la gravedad la vemos todos
los días: nos permite mantener los pies en la tierra aunque nuestro ego no lo
esté, hace que el mar no salga disparado y que la galaxia completa se mantenga
compacta girando alrededor del superhoyo negro en la constelación de Sagitario.
A la fuerza eléctrica la vemos más tímida en los motores eléctricos, en algunas
descargas de fusibles siempre tan colorida de chispas y hasta cuando andamos
descalzos en una alfombra y queremos abrir la puerta, sentimos toques.
A primera vista, gravedad gana porque qué se compara con mover un planeta a sentir toques.Pero, ¿se han puesto a pensar qué pasa cuando a uno se le
caen a uno las llaves? Bueno, pues no pasa de que lleguen al suelo y ya. ”¿Y
nada más?” Es un hecho de que por la simple razón de que un cuerpo tenga
masa, éste atrae a otros cuerpos en forma radial. La tierra, atrae a la luna,
satélites, edificios, personas y llaves a su centro, de manera natural. Pero para
el caso de las llaves, estas no pasan del suelo porque simplemente, no pueden,
ya que algo las ”detiene”. Y ese algo es la fuerza eléctrica. Pensemos qué es lo
que sucede a nivel atómico. Al contacto con la superficie del suelo, los átomos
del las llaves al caer ”sienten” a los átomos del suelo.
Los electrones en la superficie también sienten la influencia de sus colegas en
10
CAPÍTULO 2. ELECTROMAGNETISMO
las llaves. La fuerza eléctrica de repulsión entré éstos aparece forzando a toda la
masa de las llaves a detener su camino, liberando energía en forma de sonido,
calor, etcétera. Así pues, la cruda realidad es que la simple área delimitada
por las llaves genera una fuerza eléctrica de repulsión suficiente como para
detenerlas de la caída producida por la fuerza de atracción de toda la tierra.
Increíble, ¿no?
Más increíble es, que la razón por la cual sentimos por medio del tacto,
es debido a la estimulación de las fuerzas eléctricas de repulsión de nuestros
sensores en la piel. La noción de “contacto” se reduce a “repulsión”. Cuando nos
cortamos, la presión que se genera en cierta área de nuestra piel es tal que la
fuerza de repulsión cede y se abre paso, dejando entrar el objeto que hiere, la
piel entonces se rasga pero jamás toca la superficie del alfiler (por ejemplo).
Otra vez dentro del átomo pensemos ¿por qué éste no colapsa? Sabemos que
existen fuerzas eléctricas muy fuertes en comparación con la gravedad, ¿por qué
hay estabilidad en el átomo más simple, que es el de hidrógeno, siendo que hay
exactamente una carga positiva y una carga negativa? Ésta pregunta es muy
importante, ya que el hidrógeno está presente en múltiples organismos y en
general, en todo el universo. Debería ser inestable. Pero otra vez, la naturaleza
sorprende. La respuesta viene de la ”Mecánica Cuántica”.
Ya vimos que dos superficies no se tocan, sino que es la fuerza de repulsión
eléctrica la que a escala microscópica las separa. Ahora en lugar de superficies
tenemos un electrón en la mano izquierda y un protón en la mano derecha.
Claramente sentimos una fuerza atractiva entre estos dos objetos. Pero no hay
que olvidar que estamos en el mundo subtatómico y las cosas son muy diferentes
a las vistas en nuestro mundo. La física es diferente a diferentes escalas.
Si acercamos el electrón al protón, debido al principio de incertidumbre de
Werner Heisenberg, debe existir un ”momento” o cantidad de movimiento, que
en términos matemáticos se expresa: ∆x∆p ≥ ~ el término de la derecha es del
orden de 10− 34, muy pequeño pero distinto de cero. Grande comparado con
las escalas subatómicas. El punto es, que si acercamos más y más el electrón al
protón, la distancia entre ellos tiende a cero, pero la cantidad de movimiento
tiende a infinito. O sea, nuestra pobre mano izquierda se moverá tan salvajemente conforme la acercamos a la derecha que quizás va a llegar un lapso en
el que salga volando por los aires. Y todo por acercarla más y más al protón
de carga positiva. Rara sutileza.
Las órbitas atómicas obedecen éste principio y todo gira alrededor del equilibrio energético. Ya visto pues que el átomo de hidrógeno no colapsa, ¿por
qué el núcleo mismo de átomos más pesados no se desintegra siendo que está
hecho por partículas de igual carga que deberían repelerse? En la naturaleza
existen hasta la fecha, cuatro interacciones fundamentales. Se les llama formalmente interacciones“ en lugar fuerzas porque a nivel básico, a cada fuerza se
2.1. UNA FUERZA MUY ESPECIAL
11
le asocia una partícula portadora de dicha fuerza, que es intercambiada por
otras partículas que ”sienten” dicha fuerza a manera de interacción: siento y
te respondo, etcétera. Esta idea viene de la física de partículas. Las cuatro in-
Figura 2.2: Gráfico de la fuerza nuclear fuerte versus la fuerza electromagnética
en los radios atómicos
teracciones son la gravedad, la electromagnética, la nuclear fuerte y la nuclear
débil. Para responder a esta pregunta haremos uso de la interacción nuclear
fuerte. Como su nombre lo indica, es la más fuerte de todas, sólo que su radio
de acción es, por desgracia, el más corto de todas, ya que queda confinado
al radio de un átomo promedio. Otra peculiaridad es que su magnitud como
fuerza decrece más rápido que 1/r2 , que es la tasa de decaimiento de la magnitud de la fuerza eléctrica. Así, para átomos con radios nucleares pequeños,
es increíblemente poderosa, pero conforme el número atómico crece, se hace
inestable ya que entra en conflicto con las interacciones de protones con otros
protones.
Imaginemos un globo de plástico que puede contener cierta cantidad de
canicas, conforme le vamos agregando más y más canicas, el globo crece pero
llega al limite de que con cualquier movimiento brusco éste se rompa liberando
todo su contenido. Lo mismo pasa con el átomo de uranio con 92 protones. Es
tal la disputa entre la fuerza nuclear y la eléctrica repulsión en el núcleo, que
cuando se le llega a aventar un simple neutrón, se desencadena un rompimiento
que libera trozos de átomo y partículas alejadas por la repulsión que por fin
sale a flote.
La energía aquí descrita es la que se genera en una bomba atómica.Es raro
de decir, pero la energía que se libera en una desintegración nuclear es 100 %
eléctrica. Los trozos salen disparados porque se odian, se repelen. Pero lo que
siempre se destruye en el núcleo. Por eso lo de fisión nuclear.
12
2.2.
CAPÍTULO 2. ELECTROMAGNETISMO
Sentir de lejos
El hecho de que yo traiga un vaso con agua desde la mesa del comedor
hasta mi cuarto sin haberme levantado puede deberse dos cosas: a que sea yo
el hombre elástico o a que tengo el poder de la acción a distancia. Por otro lado,
¿cuántas veces no hemos soñado con poder influir en las personas, con el mero
poder del pensamiento(para lograr algún objetivo, digamos, copiar un examen
o saber si nos gusta)?... Pues una carga eléctrica parece que sí lo puede hacer.
Dejada en el vacío, una electrón extiende su “influencia” por todo el espacio
afectando las vidas de lo que sea que tenga carga, igual u opuesta, a la suya.
Un imán, a cierta distancia de una mesa llena de herrumbre de fierro, puede
’mover’ a las partículas de metal a su antojo dentro de un cierto rango. ¿Cómo
podemos entender estos fenómenos? ¿En qué se sustenta el poder sentir de
lejos?
Estrictamente hablando, un campo es una función matemática que varía en
el espacio (no es la definición formal, pero nos ayudará). El ejemplo clásico es
el de la temperatura en un cuarto: si nos ponemos con un termómetro junto
a la ventana, puede que la temperatura sea alta a comparación de debajo de
la cama, o viceversa. Para cada punto del espacio podemos imaginar un termómetro que mide la temperatura allí exactamente y que conforme recorremos
la habitación, varía su lectura. A un conjunto de cantidades numéricas que
varíen con la posición, se le llama campo escalar. Por Newton, sabemos que la
fuerza es una magnitud vectorial. Fuerza y campos eléctrico E y magnético B
son proporcionales a la carga y está relacionados por la fuerza de Lorentz:
~ + v × B]
~
F~ = q[E
~ yB
~ serán campos vectoriales. El sustento por el cual una carga
Entonces, E
influye en el espacio se basa en éste tipo de campos. Vale la pena recordar que
en esencia, vector es más que una simple flechita. Es un objeto matemático
que posee magnitud o tamaño, y dirección (hacia a dónde apunta), que sigue
reglas matemáticas formales y que le facilita la vida a los físicos en su afán de
resolver algunos problemas.
Un hecho interesante de los campos E y B es que se pueden superponer.
La idea clásica se visualiza en que dos ondas sumadas en fase producen una
onda con el doble de amplitud. Así pues, una carga Qde prueba, alejada cierta
~ si éste es generado por dos
distancia, sentirá el doble de magnitud de campo E
cargas. En pocas palabras, para los campos arriba mencionados se les puede
~ más cargas es más influencia.
sumar y restar la cualidad de influencia: para E,
Existen otras propiedades que hacen un poco más entendible la noción de
campos vectoriales. Matemáticamente, se puede definir la propiedad de flujo tal
2.3. LAS CUATRO FANTÁSTICAS
13
como estamos acostumbrados: a la orilla de un río, podemos ver cómo el agua
corre en una dirección, decimos entonces que fluye. El flujo vectorial consiste
en que en lugar de que sea una cantidad compacta de materia, como lo puede
ser el agua, sean vectores los que apunten en dicha dirección de fluidez y sean
las trayectorias tangenciales de éstos, o sea, las lineas de campo (vectores en
fila india) los que provean el flujo. Entonces quedaría que:
F lujo = (componente normal promedio) (area de superf icie)
La componente normal promedio no es mas que la componente perpendicular a el área de superficie (ver figura). La magnitud del flujo vectorial dependerá de cuántas componentes normales pasen a través de cierta área. Decimos
que una superficie es cerrada si podemos caminar sobre ella y jamás encontraríamos un borde o abismo (una esfera) y decimos que una superficie no es
cerrada cuando dicha superficie está delimitada por una frontera (o abismo).
La otra propiedad característica de los campos vectoriales es su circulación.
Cuando le bajamos al baño, el agua del retrete se hace remolino alrededor de
un punto (la tubería del caño). Cuando un niño corre con su rehilete por el
parque, éste gira porque el aire circula por la superficie de plástico. Cuando un
campo vectorial rota, su circulación está dada por:
Circulacion =
(componente tangencial promedio) (distancia recorrida)
Así pues, las corrientes que ascienden por el vértice de un huracán generan una serie de fuerzas que poseen componentes vectoriales tangenciales a su
trayectoria, lo que provoca una espiral que bien puede medirse por medio de la
circulación. Otro nombre para esto es rotacional vectorial.
Las ideas de campo, flujo, rotacional (y un poquito de lineas de campo)
permiten una comprensión de lo que físicos como Faraday y Newton sabían
pero no podían describir: ¿cómo influir de lejos?
2.3.
Las cuatro fantásticas
Termino esta parte del capítulo con una descripción breve y general de lo
que son las cuatro ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.
La primera ley en electromagnetismo se deriva de un super teorema matemático hecho por uno de los grandes: Gauss. La así llamada ley de Gauss describe
el flujo total del campo eléctrico:
14
CAPÍTULO 2. ELECTROMAGNETISMO
~ a traves de cualquier superficie cerrada =
El flujo de E
1
0 (la carga total encerrada)
¿Qué significa ésto? Puede pasar que tengamos una carga eléctrica y queremos saber cuánta es. Lo que hacemos es encerrarla en su respectiva superficie
gaussiana (esfera, cilindro, cubo, etc, pero que sea completamente una superficie cerrada) y contamos cuántas líneas perpendiculares de campo pasan a
través de la superficie. ¿Que cómo le hacemos para contar las líneas de campo?
pues evaluamos una función dada, correspondiente a la forma que tendría (en
flechitas) el campo eléctrico en el espacio (como una foto tridimensional de las
líneas de campo)en una integral cerrada, cerrada porque corresponde al área
de la superficie gaussiana) y ya...
La segunda ley corresponde a la segunda propiedad característica general
de los campos vectoriales: la circulación ó rotacional. Si tomamos una curva
arbitraria en el espacio y medimos el rotacional del campo eléctrico alrededor
de dicha curva, en general no es cero. Entonces en electricidad:
Para cualquier superficie S (no cerrada) delimitada por una curva C (la
superficie de una hoja de papel S está delimitada por un borde , que es una
linea cuadrada C; la superficie S’ de un vaso está delimitada por el borde donde
tomamos, que es un círculo C’, etc) se tiene que:
~ alrededor de C =
La circulación de E
d
~
dt (flujo de B a traves de S)
Electrodinámica pura! (Ley de Faraday)! descifremos el lado derecho de la
ecuación: imaginemos un aro de metal y una imán en barra. Si acercamos el
imán al centro del aro las líneas de campo pasarán a través de la superficie circular que genera el aro. Ahora, si lo empezamos a mover dentro y fuera del aro,
las lineas de campo se ven afectadas y cambian en función del tiempo, entonces,
según la segunda ecuación de Maxwell, en el aro se generará una componente
tangencial del campo E tal que hará circulación en dicha trayectoria. Nótese
que cuando la razón de cambio de el imán para con el aro no depende del
tiempo (esto es, constante) el rotacional del campo eléctrico es cero y se puede
apreciar de la imagen de las líneas de campo que genera una carga eléctrica en
reposo: su campo es radial y para nada posee componentes tangenciales.
Completaremos las leyes de Maxwell describiendo las propiedades del campo
vectorial magnético:
~ a traves de cualquier superf icie cerrada S = 0
El f lujo de B
Interpretación: ¿Se pueden separar los polos magnéticos de un imán? Esto
2.3. LAS CUATRO FANTÁSTICAS
15
es, ¿puede existir algún material que visto por donde sea, genere sólo atracción
magnética negativa o sólo atracción magnética positiva? ¿existen los monopolos
magnéticos (cargas magnéticas)? Esta simple pregunta tiene mucho romanticismo y radica en que se rompe con la belleza estética (aunque fría) de la
naturaleza matemática y de la teoría física. La ecuación análoga a esta fue la
misma ecuación de Gauss, que dice que si sabemos el flujo total a través de
la superficie cerrada, entonces sabemos cuanta carga encerrada hay. Pero esto
” ’funciona” ’ porque cada línea de campo radiada por un protón, por ejemplo,
sale de la superficie y jamás entre, por lo que no se cancela y se puede tomar en
cuenta. En pocas palabras, las lineas de campo magnético con curvas cerradas,
aros, para nada líneas rectas que divergen más y más unas de otras, sino que
salen de la superficie de la cual, hipotéticamente se podría encerrar una carga
magnética, y vuelven a entrar por el otro lado, cancelando el flujo total. Hasta hoy, no se ha descubierto una ” ’carga magnética” ’. Teóricos como Paul M.
Dirac inventaron teoría profunda que llega a predecir, bajo ciertas condiciones,
la existencia de dichos monopolos. Está por verse.
Si algún día una persona le dice que:
~ sobre C) =
c2 (circulacion de B
d
~ a traves de S)+
(f lujo de E
dt
1
(f lujo de una corriente electrica a traves de un area S)
0
no lo juzgue por loco, sino que más bien, apiádese de él, porque puede que
sea un estudiante de física declamando la ley de Ampère y última ecuación
de Maxwell del electromagnetismo. Aquí se cierra el ciclo, ya que así como se
vio que un campo magnético variable generaba un campo eléctrico, también
pasa lo contrario: que un campo eléctrico variable genere un campo magnético.
Podemos decir algo de esta ecuación en un ejemplo de magnetostática. Una
corriente eléctrica constante (electrones moviéndose) en un alambre genera un
campo magnético circular como se ve en la figura. Si evaluamos la integral de
la magnitud de campo magnético sobre esa trayectoria circular encontramos
cuánta corriente pasaba por el alambre. Sutiles recuerdos a la ley de Gauss...
Históricamente, se hace alusión a estas cuatro ecuaciones como las ecuaciones de Maxwell. Corren rumores que antes ya se habían publicado y que
esto no es más que un plagio del dichoso Maxwell. Otra vez, más romanticismo
al asunto. Lo que sí podemos estar seguros es que el intelecto de éste gran
físico escocés sentó las bases de un sueño llamado unificación. Para el mundo
de la física, no hay nada más bello que poder describir a la naturaleza con la
menor cantidad de esfuerzo en trazos de tinta y gis que se gastan al escribir
ecuaciones. Maxwell unió con estas ecuaciones dos mundos que antes parecían
completamente alejados, dos caras de la misma moneda. No hay mejor ejemplo
16
CAPÍTULO 2. ELECTROMAGNETISMO
de unificación a nivel básico, la electricidad y el magnetismo, el electromagnetismo.
Capítulo
3
Cálculo diferencial vectorial
¿ Por qué es importante el calculo diferencial en la física?. En nuestro mundo todo tiene una determinada posición en el espacio, pero no todo se queda
en la misma posición ya que va cambiando debido a diversos factores. Estos
fenómenos podemos verlos matemáticamente y podríamos utilizar el cálculo
vectorial para tratar de explicarlos y comprenderlos. Para este debemos conocer perfectamente algunas leyes, propiedades y formulas para luego tratar de
aplicarlas a determinados fenómenos físicos.
Comenzaremos este capítulo definiendo los campos escalares y vectoriales.
Un “campo escalar: es una región donde un solo número caracteriza una serie
de puntos como por ejemplo la temperatura, la longitud, el tiempo y la masa.
Un ” ’campo vectorial” ’ es una región donde se da un vector para cada punto
en el espacio, pero este vector tiene módulo, dirección y sentido y además varía
de un punto a otro, por ejemplo la velocidad, la fuerza y la aceleración.
Describiremos algunas propiedades de los vectores,
~ = vector
A
(Ax , Ay , Az ) = componentes
17
18
CAPÍTULO 3. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL
~·B
~ = escalar = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A
(3.1)
~×B
~ = vector
A
~ × B)
~ z = Ax B y − Ay B z
(A
~ × B)
~ x = Ay B z − Az B y
(A
~ × B)
~ y = Az B x − Ax B z
(A
(3.2)
~×A
~=0
A
~ · (A
~ × B)
~ =0
A
~ · (B
~ × C)
~ = (A
~ × B)
~ ×C
~
A
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − C(
~ A
~ · B)
~
A
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Analicemos un ejemplo de campo vectorial, el flujo de calor. Imaginemos
que tenemos un bloque de algún material y que su temperatura sea alta en un
punto y baja en otro, esto significa que la temperatura va variar de un punto
a otro. Además recordemos que el calor se propaga del punto caliente el frío,
por lo tanto fluirá en diferente dirección en cada punto del bloque. También
mencionamos el módulo en las propiedades de campo vectorial, en este caso
sería la cantidad de energía térmica que atraviesa por unidad de tiempo y de
superficie en un punto.
El Gradiente
Representa el grado de variación espacial de un campo escalar. En el caso
de la temperatura (T) sería su variación entre un punto y otro.¿Pero como
saber que la temperatura es un escalar?. Imaginemos otra vez nuestro bloque,
si rotamos nuestro sistema de coordenadas, esta rotación no cambiaría la temperatura ?total?, únicamente las coordenadas varían. Para un campo escalar φ
se escribiría
∂φ
∂φ
∂φ
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
El operador ”nabla” (∇) representa el grado de variación espacial de algún
escalar, su dirección es aquella en la que puede tomar el mayor valor posible, o
sea donde el campo varía mas rápidamente. Este operador actúa sobre cualquier
campo escalar.
∇φ =
19
Podemos usar nabla para un vector cualquiera como F. Sabemos por las
propiedades de los vectores que el producto punto entre dos vectores es un
escalar. A esto se le llama “Divergencia”:
∂Fy
∂Fz
x
∇ · F~ = ∂F
∂x + ∂y + ∂z
Al aplicar el operador nabla a un rotacional tendremos un vector:
∇ × F~ =
∂Fz
∂Fy
−
∂y
∂z
x̂ +
∂Fx
∂Fz
−
∂z
∂x
ŷ +
∂Fy
∂Fx
−
∂x
∂y
ẑ
Derivadas segundas de los campos vectoriales
a)
div (grad f ) = ∇ · (∇f )
b)
curl (grad f ) = ∇ × (∇f )
c)
grad (div ~v ) = ∇(∇ · ~v )
d)
div (curl ~v ) = ∇ · (∇ × ~v )
e)
curl (curl ~v ) = ∇ × (∇ × ~v )
Si analizamos el caso b), veremos por las propiedades de los vectores que
~ × (A
~ B)
~ = (A
~ × A)
~ B
~ = 0 El caso d) tiene la misma
tiene la misma forma que A
~
~
~
forma que A · (A × B) = 0.
Entonces podremos decir:
b)
curl (grad f ) = ∇ × (∇f ) = 0
d)
div (curl ~v ) = ∇ · ∇ × ~v = 0
De estos casos podemos enunciar dos teoremas.
Teorema 1:
~ = 0 existe un Ω tal que
Si ∇ × A
~ = ∇Ω
A
Teorema 2:
20
CAPÍTULO 3. CÁLCULO DIFERENCIAL VECTORIAL
Si ∇ · D = 0 existe un C tal que
D =∇×C
Ahora analicemos el caso a). De este tendremos un nuevo operador llamado
” ’Laplaciano” ’ (∇2 ). Este operador es un escalar y opera sobre cualquier sistema
de coordenadas. También aparece en el caso e) Por lo tanto tendríamos:
a)
div (grad f ) = ∇ · (∇f ) = ∇2 f
e)
∇ × ∇ × ~v = ∇(∇ · ~v ) − ∇2~v
Peligros
Consideremos la siguiente expresión:
(∇φ ) × (∇ψ )
A primera vista pensaríamos que es igual a cero, pero debemos hacer notar
que φ y ψ pueden ser diferentes escalares, por lo que el tomar el gradiente de
cada uno de ellos nos darían diferentes vectores y eso implica que el rotacional
ya no tendría que ser cero.s
Capítulo
4
Cálculo integral vectorial
Las leyes del electromagnetismo están escritas en lenguaje matemático. Se
basan en teoremas básicos que describen a la teoría de campos y estos son
de tal trascendencia como el teorema de la conservación de la energía es a la
mecánica de partículas.
La base sólida en la cual se formula la teoráa física asegura una comprensión importante y profunda de sus manifestaciones. Un edificio con cimientos
resistentes permite una estructura confiable y duradera.
Una ligera desventaja consiste en que alguien con pocos conocimientos previos de teoría matemática (de campos) dificilmente entenderá y apreciará los
encantos de unas ecuaciones, que si bien son abstractas, encierran un mundo
de cosas tan cotidianas y tan básicas como una aurora boreal o una cámara
digital.
4.1.
Primer Teorema
Hablemos de cuánto cambia una cantidad con respecto a otra. El gradiente
de una función vectorial representa cuánto ha cambiado una magnitud vectorial
en un campo con respecto a otra magnitud. Hay que recordar que el gradiente
de una función es la generalización del concepto de derivada y que el gradiente
mismo de una función da una cantidad escalar (número). Dado que el gradiente representa en sí la razón de cambio en un intervalo, si sumamos todas las
razones de cambio en un rango más grande, podemos obtener el cambio total.
Un ejemplo serı’a el de querer medir la altura de una escalera, pero no contamos con una cinta métrica sino con solamente, un palillo de madera. Podemos
empezar de la base he ir trazando lineas dónde empieza y dónde termina el
21
22
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL
palillo, haciendo una trayectoria lineal ascendente sobre el piso y luego sobre
la escalera misma, después, sumamos todos los intervalitos para conseguir una
razón total. La idea de sumar pedazo por pedazo nos dará lo mismo si hacemos la diferencia de la altura superior menos la inferior (base) con una cinta
c
mÃtrica.
Esto se resume en el siguiente teorema:
Z 2
~ · d~l T eorema de Gradientes
∇ϕ
(4.1)
ϕ(2) − ϕ(1) =
1
La integral anterior es llamada ”integral de línea” y es porque el diferencial
ds corresponde a una curva l en la cual se traslada la dirección de la razón de
cambio. Obsérvece que solo nos interesa la componente paralela a la trayectoria
(por eso el producto punto). Las integrales de línea son el límite de una suma
de los componentes paralelos a la trayectoria de la función gradiente.
4.2.
Segundo Teorema
Pongamos una bolsa de plástico alrededor de una foco en el techo. La cantidad de líneas de luz que atraviesan la bolsa es proporcional a la intensidad
luminosa del foco. Entre más potente sea la luz que emana, mayor serán las
líneas que atraviesen a la bolsa. Pero si ahora tomamos una bolsa de plástico
más grande (un costal) y con ella encerramos al foco, la cantidad de líneas de
luz que emanan del foco y que atraviesan a la superficie debe ser la misma,
ya que conservamos el mismo foco. Lo que cambió fue la ”densidad” de líneas
de luz que atraviesan la bolsa. Ahora bien, sólo nos interesan los rayos de luz
que salgan perpendicularmente a la bolsa, no nos interesará contar a aquellos
rayos misteriosos que se curven o salgan desviados por algún objeto material.
Así pues, definimos un diferencial de área sobre cualquier superficie como el
producto:da = dxdy
Entonces, todas aquellas líneas de flujo perpendiculares a este diferencial de
área, serán tomadas en cuenta para calcular el flujo neto total. Gauss estableció
esa propiedad para redactar el siguiente teorema:
Z
Z
~ · d~s =
~ · C)dv
~
C
(∇
T eorema de Gauss
(4.2)
superf icie
volumen
y se interpreta como sigue: del lado izquierdo tenemos una función vectorial
~ que cambia con la posición. Se toman todas las componentes de dicha función
C
que tengan la misma dirección que el área de la superficie ”S” y se suman. Del
~ Puede decirse
lado derecho vemos una operación vectorial: la divergencia de C.
que mide cuánto se separan unas de otras las líneas generadas por la función
C dentro del volumen V. De aquí sale directamente la primera ecuación de
4.3. TERCER TEOREMA
23
Maxwell: Si encerramos una carga dentro de una superficie esférica: el flujo que
sale perpendicular a la superficie será igual a la carga encerrada.
4.3.
Tercer Teorema
Pensemos en una red de alambre tirada en el suelo, donde existen celdas
interiores irregulares pero definidas, como una malla de tenis o un colador.
Dicha red tiene forma de una rodaja de papa. El teorema de Stokes afirma que
~ por la línea l que
la suma de las componentes tangenciales de una función C
delimita la red es igual a la suma de las componentes normales de la operación
~ ·C
~ sobre toda el área ”S”.O sea, que a una línea de campo que rote sobre
∇
la línea que delimita una superficie estará relacionada con las líneas de campo
que pasen a través de la superficie.
I
~ · d~l =
C
linea
4.4.
Z
~ × C)
~ · d~a
(∇
T eorema de Stokess
(4.3)
superf icie
Observaciones Importantes
Se termina el capítulo con algunos hechos interesantes sobre el cálculo integral vectorial. Si pintamos una linea de gis que simbolizará nuestro andar de la
puerta de la cocina a la sala, sin duda, será una trayectoria con longitud dada.
Pero si seguimos trazando nuestra línea ahora de regreso al punto de partida, el cambio total de posición será cero, porque llegamos a donde partimos.
Mateméticamente, este hecho significa:
I
Z
~ · d~l =
~ · C)dv
~
∇ϕ
(∇
(1)
(4.4)
cerrada
volumen
Utilizando el teorema de Stokes podemos concluir que:
Z
~ × (∇ϕ)d~
~
∇
a=0
(4.5)
S cerrada
o sea que:
~ × ∇ϕ
~ =0
∇
Pensemos un momento en las líneas de campo eléctrico generadas por una
carga en el vacío. <Son totalmente radiales! <para nada rotan! En pocas palabras, el rotacional de un divergente definido por un gradiente es cero siempre
y cuando se cumpla con (1).
24
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL
?’ Pasará lo mismo al revés? Observemos un caso, digamos, al amarrar una
bolsa. Pensemos que en el borde de dicha bolsa existe un cordón. Entonces, la
curva que delimita a la bolsa es dicho cordón y la superficie es la de la bolsa.
Conforme vamos cerrando la bolsa, la curva se hace cada vez más pequeña,
pero la superficie está igual. El problema estriba en que si l tiende a ser cero,
entonces la integral
Z
~ ×M
~ ) · d~a = 0
(∇
S
Usando el Teorema de Gauss podemos relacionar este hecho y quedaría:
Z
Z
~ ×M
~ )d~a =
~ · (∇
~ ×M
~ )dv
(∇
∇
(4.6)
S cerrada
volumen dentro
Z
~ · (∇
~ × (M
~ )dv = 0
∇
(4.7)
volumen dentro
~ en cualquier volumen, lo
y como esto es general para cualquier campo M
será también para todo punto:
~ · (∇
~ ×M
~)=0
∇
entonces, el divergente de un rotacional será cero siempre. Así son las cosas.
Capítulo
5
Electrostática
En electrostática las ecuaciones de Maxwell no dependen del tiempo, las
cargas están fijas en el espacio por lo que las ecuaciones de Maxwell se escriben
de la siguiente manera,
Electrostática:
∇·E=
ρ
ε0
∇×E=0
Magnetostática:
∇·B=0
∇ × B = µ0 J
s
En el caso estático se puede ver que la electricidad y el magnetismo son
independientes el uno del otro.
5.1.
Ley de Coulomb
Esta ley nos dice que la fuerza entre dos cargas en reposo es directamente proporcional al producto entre las cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa:
25
26
CAPÍTULO 5. ELECTROSTÁTICA
1 q1 q2 (~r1 − ~r2 )
1 q1 q2
=
r̂21
3
4πε0 |~r1 − ~r2 |
4πε0 r2
Cuando solo nos interesa la fuerza entre cargas puntuales existe un principio
llamado de superposición que nos dice que la fuerza sobre cualquier carga es la
suma vectorial de las fuerzas provenientes de cada una de las otras cargas.
F~ =
5.2.
Campo Eléctrico
Ahora podemos introducir el concepto de campo eléctrico que es la fuerza
producida sobre una carga. No necesariamente debe haber una carga en el punto
donde queremos calcular el campo eléctrico, tal vez solo queremos conocer el
campo en algún punto del espacio.
~ 12
F~12 = q1 E
El campo eléctrico en el punto 1 producido por q2 esta dado por,
1 q2
r̂21
4πε0 r2
También podemos aplicar el principio de superposición que sería el campo
producido sobre una carga o sobre un punto determinado es la suma del campo
eléctrico producido por cada carga.
~ 12 =
E
~ =
E
n
X
~i =
E
i=1
n
1 X qi
r̂
4π0 i=1 k~rk2
Si consideramos el caso de una carga dispersa de manera continua en un
volumen dV 0 cualquiera le llamaríamos densidad de carga ρ(r0 ). Donde r0 nos da
las coordenadas del diferencial de volumen.
Entonces el diferencial de carga sería:
dq = ρ(r0 )dV 0
5.3.
Potencial Eléctrico
Se define como el trabajo realizado para llevar una carga de un punto a
otro. Para realizar este trabajo debemos vencer una fuerza eléctrica, en este
caso queremos mover nuestra carga del punto A al punto B.
Z
B
WAB =
A
F~ · d~l = −q
Z
B
A
~ · d~l
E
Capítulo
6
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Existen dos leyes de fundamentales de las cuales se obtienen todas las
predicciones de la electrostática: la que dice que el flujo de un campo eléctrico de un volumen es proporcional a la carga dentro (conocida como Ley de
Gauss) y la que dice que la circulación de un campo eléctrico es cero. Aquí las
tenemos en su forma diferencial
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~ ×E
~ =0
∇
6.1.
Equilibrio
Consideremos tres cargas negativas en las esquinas de un triángulo equilátero en un plano horizontal, si ponemos una carga positiva en el centro, ¿Qué
pasara con ésta carga? ¿Permanecerá ahí? Es claro que la fuerza neta es cero,
pero, ¿la carga está en un punto de equilibrio estable? La respuesta es no, no
hay puntos de equilibrio estable en ningún campo eléctrico, excepto justo en
los puntos donde se encuentran las otras cargas.
La ley de Gauss nos explica fácilmente porqué: primero, para que una carga
se encuentre en equilibrio en un punto, digamos P, el campo debe ser cero;
segundo, como el equilibrio debe ser estable, requerimos que si movemos un
poco la carga de P, exista una fuerza que la regrese al punto P, pero esto no
es posible de acuerdo a ley de Gauss. Para que el punto P sea de equilibrio
estable, necesitamos que el campo apunte hacia P. Imaginemos una superficie
que encierra al punto, claramente el flujo debe ser un numero negativo, pero
27
28
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
como no tenemos carga dentro de la superficie, el flujo es ser cero, por lo
tanto, no es posible balancear una carga positiva en el espacio vacío. El mismo
razonamiento funciona para el caso de un arreglo de muchas carga.
Ahora ya sabemos que no hay punto de equilibrio estable en un campo
eléctrico debido a un sistema de cargas fijas, pero, ¿Qué pasa con un sistema
de conductores cargados? ¿Pueden producir un campo con puntos de equilibrio
estable? Ya sabemos que las cargas se mueven libremente en la superficie de los
conductores, podemos pensar entonces que quizá al mover un poco la carga,
las cargas en la superficie del conductor se muevan de manera que produzcan
fuerzas restauradoras; pero no, no es así. Veamos porqué: primero recordemos
que la fuerza es el negativo del gradiente del potencial, ahora notemos que
cuando las cargas se redistribuyen en la superficie de los conductores, sólo
pueden hacerlo si su movimiento reduce su energía total, un poco de energía se
pierde en forma de calor. Si las cargas que producen el campo son estacionarias,
existe cerca de cualquier punto cero en el campo una dirección hacia la cuál,
si movemos la carga, disminuimos la energía del sistema, entonces cualquier
reajuste de las cargas del conductor solo disminuye aun más la energía potencial
del sistema, incrementando la fuerza en esa dirección particular, alejando aún
más la carga en vez de regresarla al punto de equilibrio.
Esto no significa que es imposible balancear una carga en un campo eléctrico, esta puede ser sostenida en un punto por campos eléctricos si es que estos
son variables, pero no en el caso de campos estacionarios.
6.2.
Los átomos
Una vez, tratando de describir la configuración atómica, Thomson propuso
un modelo en el que sugería que la carga positiva de un átomo estaba distribuida
uniformemente en una esfera y que los electrones estarían fijos distribuidos en
la esfera como pasas en un pan con pasas. Pero Rutherford concluyó, a partir
de los experimentos de Geiger y Marsden que la carga positiva estaba más
concentradas, como en un núcleo. Como consecuencia de esto el modelo de
Thompson tuvo que ser abandonado.
Rutherford y Bohr sugirieron entonces que el equilibrio debía ser dinámico,
con los electrones girando en órbitas alrededor del núcleo, pero existe un problema con esta explicación, nosotros ya sabemos que este movimiento en circulo
es acelerado, por lo que el electrón debería estar radiando energía, y cayendo
en espiral hacia el núcleo. Éste modelo resulta ser también inestable.
Ahora, la estabilidad del átomo es explicada por la mecánica cuántica. La
fuerza eléctrica atrae al electrón tanto como puede hacia el núcleo, pero el
electrón esta obligado a mantenerse a cierta distancia dada por el principio de
6.3. EJEMPLOS DE LA LEY DE GAUSS
29
Figura 6.1: Línea infinita con carga
incertidumbre. Si el electrón fuera confinado a un espacio muy muy pequeño,
su momento sería muy grande, y con ello vendría asociada una gran energía
esperada, lo que le permitiría al electrón escapar de la atracción eléctrica. El
resultado es un equilibrio eléctrico.
6.3.
Ejemplos de la ley de Gauss
La ley de Gauss puede ser usada para resolver problemas de campo eléctrico
que involucran una simetría especial, que puede ser esférica, cilíndrica o plana.
Revisaremos los tres casos:
1) Simetría cilíndrica:
Supongamos que tenemos un alambre cargado que se extiende en todo el
espacio, desde -infinito hasta +infinito. Primeramente observamos que la única
componente del campo que tenemos es la radial, las otras componentes se cancelan entre ellas debido a la simetría. Consideremos ahora un superficie cilíndrica
coaxial que envuelva al alambre. De acuerdo a Gauss, el campo eléctrico es
igual a la carga que encierra la superficie, dividida por 0 . Como el campo es
normal a la superficie, la magnitud del campo es igual a la componente radial,
y nos podemos olvidar del producto punto. Entonces tenemo:
30
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
Figura 6.2: Plano infinito uniformemente cargado
I
~ =E
~ ds
~
E.
I
ds =
Q
0
Llamemos “r” al radio del cilindro, y por conveniencia, tomemos su longitud
como una unidad. El flujo a través del cilindro es E veces el área del cilindro,
que es 2πr. El flujo a través de las bases es cero porque no tenemos campo en
la dirección tangencial. La carga total dentro de la superficie es solo λ porque
la longitud del alambre dentro es una unidad. Entonces:
E ∗ 2πr =
E=
λ
0
λ
2π0 r
Vemos que el campo eleétrico de una linea infinita de carga depende del
inverso de la distancia desde la linea de carga.
2) Simetría Plana:
Ahora calcularemos el campo de un plano infinito cargado. Suponemos que
la carga por unidad de área es σ. Considerando la simetría del plano, podemos
ver que la dirección del campo es normal al plano, y que, si estuvieramos en el
vacio, el campo sería el mismo a cada lado del plano. Esta vez elegiremos una
caja rectangular como superficie gaussiana. Las caras laterales tienen misma
área A y como el campo es normal al plano, solo tenemos flujo a traves de estas
caras. El flujo total será entonces el campo eléctrico por dos veces el área:
6.3. EJEMPLOS DE LA LEY DE GAUSS
31
Figura 6.3: Esfera con densidad de carga uniforme
E ∗ 2A =
E=
σA
0
σ
20
¡La magnitud del campo no depende de la distancia al plano!
El problema de los dos planos paralelos con iguales pero opuestas en signo
densidades de carga es simple si asumimos que el mundo exterior es simétrico.
Superponiendo la solución para cada campo de las laminas nos podemos dar
cuanta que el campo fuera de los planos es cero y que entre los planos es σ/0
3) Simetría Esférica:
Buscaremos cuál es el campo eléctrico dentro de una esfera de radio R uniformemente cargada, con densidad de carga ρ por unidad de volumen. Asumimos, por cuestiones de simetría que el campo es radial e igual en magnitud
en todos los puntos equidistantes del centro. Para encontrar el campo a una
distancia r menor a R del centro tomamos una superfice gaussina esférica. El
flujo a través de esa superficie es:
4πr2 E
1
y la carga dentro de la superfcie gaussiana es:
4 3
πr ρ
3
Usando Gauss encontramos que el campo esta dado por:
32
CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
ρr
(r < R)
30
El campo eléctrico resulta ser proporcional al radio.
E=
6.4.
Los Conductores
Un conductor eléctrico es un material que contiene muchos electrones libres.
Estos electrones se pueden mover libremente en el conductor, pero no pueden
abandonarlo, ya que para ello requieren mayor energía. Cualquier campo eléctrico pondrá en movimiento muchos de estos electrones, que, para el caso de
electrostática, se detendran solo hasta que el campo dentro del conductor sea
cero. El caso de la corriente producida por los electrones no se considera ahora.
Consideremos ahora el interio de un material conductor. Como es un conductor, el campo eléctrico es cero, lo que implica que el potencial es constante,
por lo que cualquier conductor es una región equipotencial. A partir de la ley
de Gauss, podremos concluir que la carga dentro de un conductor es cero. Toda la carga se localiza justo en la superficie del conductor, donde hay fuerzas
que no les permiten dejar el material. Vemos también que el campo eléctrico
justo afuera del conductor solo tiene componente normal, ya que si tuviera una
pequeña componente tangencial, esta provocaría que los electrones se muevan
a lo largo de la superficie; no tenemos fuerzas que prevengan eso. Dicho de otro
modo, los campo electricos son normales en las superficies equipotenciales.
Ahora sabemos que el campo dentro de un conductor es cero, pero, ¿Qué
pasa si tenemos una cavidad dentro del conductor? Si la cavidad esta vacia,
no existen campos dentro de ésta, sin importar la forma de la cavidad ni del
conductor. Si consideramos una superficie que encierra la cavidad, Gauss nos
garantiza que la carga neta dentro de esta es cero (debido a que el campo es
cero). Pero podríamos tener el caso de cargas positivas y negativas equilibradas
entre sí, produciendo carga neta cero. Lo que realmente pasa es que las cargas
iguales con signo opuesto de deslizan para encontrarse y cancelarse totalmente.
Esto lo podemos ver utilizando la ley que nos dice que, en electrostática, la
circulación del campo eléctrico a través de cualquier curva cerrada es cero.
Supongamos que tenemos igual numero de cargas negativas y positivas en la
superficie de la cavidad, y tomemos una curva que cruce tanto la cavidad como
una parte del interior del conductor. Esta curva va de una carga positiva a una
negativa. La integral sobre la linea que va de la carga positiva a la negativa
definitivamente no es cero, y la parte que cruza el conductor si es cero. Ahora,
¿Es la integral sobre la curva cerrada diferente de cero? Existe una ley que nos
dice que esta integral es cero, por lo que no puede habar campos dentro de la
cavidad. Si hubiera una carga dentro de la cavidad, si podemos tener campo
6.4. LOS CONDUCTORES
33
electricos. Hemos visto que si tenemos una cavidad completamente cerrada por
un conductor, ninguna distribución de cargas estaticas puede producir campos
dentro de la cavidad. Este principio es usado para proteger los equipos de
campos eléctricos colocandolos dentro de un recipiente de metal. Un dispositivo
así es conocido como Jaula de Faraday.
¿Es el campo de un punto de carga exactamente r12 ?
[[Imagen:Cascaronesferico.jpg|thumb|250px|rght|El campo eléctrico dentro
de un cascarón esférico es cero.]]Si analizamos con detalle como es que el campo
eléctrico dentro de un cascaron esférico se hace cero, podremos darnos cuenta
claramente porque la Ley de Gauss es cierta solo porque la fuerza de Coulomb
depende exactamente del inverso del cuadrado de la distancia. Consideremos
un punto dentro de una esfera uniforme cargada e imaginemos unos conos como
se muestra en la figura. A partir de la geometria se puede demostrar la siguiente
relación:
∆a2
r2
= 22
∆a1
r1
Si la esfera esta uniformemente cargada, la carga ∆q en cada uno de los
elementos de area es proporcional al área, asi:
∆a2
∆q2
=
∆a1
∆q1
Entonces, la ley de Coulomb dice que las magnitudes de los campo prducidos
en el punto debido a estos dos elementos de area estan a razón:
q2 /r22
E2
=
=1
E1
q1 /r12
Observamos que los campos se cancelan, y como podemos acomodar en
parejas todas las partes de la superficie, podemos concluir que el campo dentro
del cascarón esferico es cero.
Se han hecho experimentos que han demostrado que la ley de Coulomb
sigue siendo valida hasta ordenes de 10( − 13) cm. Para ordenes menores, ¡la
fuerza electrica parece ser 10 veces más débil!
Capítulo
7
El campo eléctrico en diversas
situaciones
En este capítulo estudiaremos cómo se comporta el campo eléctrico ante
algunas circunstancias diferentes. Esto nos dará cierta experiencia en el comportamiento del campo eléctrico, y describiremos algunos métodos matemáticos
que se emplean para encontrar este campo.
7.1.
Ecuaciones del potencial electrostático
Para empezar, toda la cuestión matemática del problema queda resuelto
cuando encontramos la solución de tan solo dos ecuaciones...¿cuales?...pues las
ecuaciones de Maxwell para la electrostática!...ya que todo fenómeno electromagnético queda completamente descrito con las cuatro ecuaciones de Maxwell.
Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática son:
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~ ×E
~ =0
∇
Cuando tenemos un campo vectorial cuyo rotor es cero, como en la segunda
ecuación, el campo es igual al gradiente de alguna función escalar, como lo
vimos en el capítulo cálculo integral vectorial.
~ = −∇Φ
~
E
35
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
Como podemos escribir cualquier campo eléctrico en términos de su potencial φ;, obtenemos la ecuación diferencial que debe satisfacer φ; al sustituirlo
en la primera ecuación, lo que nos da:
36
~ · ∇Φ
~ =−ρ
∇
0
La divergencia del gradiente de φ; es lo mismo que ∇2 operando sobre φ,
2
2
2
~ · ∇Φ
~ = ∇2 Φ = ∂ Φ + ∂ Φ + ∂ Φ
∇
∂x2
∂y 2
∂z 2
Por lo que podemos escribir la ecuación (4) en la forma:
∇2 Φ = −
ρ
0
El operador ∇2 se llama laplaciano y la ecuación (6) se llama ecuación
de Poisson. De esta manera toda la electrostática es, desde el punto de vista
matemático, un estudio de las soluciones de esa única ecuación (6). Una vez
~ inmediatamente, usando
obtenido φ; resolviendo esa ecuación podemos hallar E
(3).
Si conocemos ρ; en todo punto, el potencial en un punto (1) es:
Z
ρ(2)dV2
Φ(1) =
2
V 4π0 r12
Hay que tener muy en cuenta la solución anterior porque hay muchas situaciones en la física que dan lugar a ecuaciones como:
∇2 (algo) = (algo más)
y la ecuación (7) es un prototipo de solución para cualquiera de estos problemas.
La resolución de los problemas de campo electrostático es completamente
directa cuando se conoce la posición de todas las cargas.
7.2.
El dipolo eléctrico
Para empezar tomemos dos cargas puntuales, +q y -q, a una distancia 2a.
Tomemos el eje y pasando por las cargas con el origen a la mitad del camino
entre ambas, como muestra la fugura e imaginando un eje z perpendicular a x
y y para extenderlo al espacio tridimencional:
Como ya lo vimos en el capítulo de Electrostática sabemos que el potencial
φ; en un punto (1) está dado por:
7.2. EL DIPOLO ELÉCTRICO
37
Φ(1) =
1 X qn
4π0 n rn
luego el potencial de las dos cargas es dado por:

Φ(x, y, z) =
1 

4π0 h

q
2
(y − a) + x2 + z 2
i 12 + h
−q
2
(y + a) + x2 + z 2

i 21 
Y así es como queda resuelto el problema de dos cargas, ya que podemos
calcular el campo eléctrico rápidamente porque ya hemos visto un montón de
veces que es el negativo del gradiente del potencial.
Llamamos ”dipolo” al par de cargas que están muy juntas una de la otra,
o sea, donde la distancia entre de estas dos cargas es insignificante frente al
punto donde estamos calculando el campo.
Si hay un campo eléctrico en cualquier material, los electrones y los protones
experimentan fuerzas opuestas y se desplazan unos respecto a otros. En un
conductor algunos electrones se mueven hasta la superficie de modo que el
campo es cero en el interior. En un aislante los electrones no se pueden alejar
mucho; están retenidos por la atracción del núcleo; sin embargo sí se corren
un poquito. Así pues, aunque un átomo, o una molécula, siga siendo neutro en
un campo eléctrico externo, hay una pequeñísima separación entre las cargas
positivas y negativas por lo que se convierte en un dipolo microscópico. Si
estamos interesados en los campos de estos dipolos atómicos en las cercanías
de objetos de tamaño ordinario, estamos considerando distancias grandes frente
a la separación de los dos pares de cargas.
En algunas moléculas las cargas están un poco separadas aun en ausencia
de campos externos debido a la forma de la molécula. En una molécula de
agua, por ejemplo, hay una carga negativa neta sobre el átomo de oxígeno y
una carga positiva neta sobre cadaq uno de los dos átomos de hidrógeno, los
cuales no están colocados simétricamente sino como en la figura 2. Aunque la
carga total de la molécula sea cero, hay una distribución de carga con un poco
más de carga negativa de un lado y un poco más de carga positiva del otro. La
disposición no es tan simple como con dos cargas puntuales, pero si lo vemos
desde muy lejos, entonces el sistema se comporta como un dipolo.
Volvamos entonces a la primera figura. Examinemos el campo de dos cargas opuestas, como en la primer figura, pero donde la distancia 2a sea muy
crecana a cero...pero no cero, porque de ser así entonces las dos cargas estarían
una sobre la otra, los dos potenciales se compensarían y no habría campo. En-
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
38
Figura 7.1: La molécula de agua, H2 O. Los átomo de hidrógeno tienen un poco
menos de lo que les corresponde de la nube electrónica; el oxígeno un poco más
tonces asumiendo distancias cercanas a cero, usemos los términos lineales del
desarrollo de los términos de la ecuación anterior en serie de potencias, entonces
(y − a)2 ≈ y 2 − 2ay
Como
x2 + y 2 + z 2 = r 2
Por lo tanto
2
2
2
2
(y − a) + x + z ≈ r − 2ay = r
2
2ay
1− 2
r
y
1
p
≈
2
2
2
r
(y − a) + x + z
1
2ay
1− 2
r
− 12
Usando nuevamente el desarrollo del binomio para este último término, y
despresiando términos con potencias mayores al cuadrado de d, obtenemos
1
ay 1+ 2
r
r
Análogamente, con el segundo término del segundo miembro de la ecuación
que encontramos para el potencial de las dos cargas (ecuación 8...después de la
7), hacemos lo mismo y obtenemos, como era de esperarse...
7.2. EL DIPOLO ELÉCTRICO
39
Figura 7.2: Momento dipolar
ay 1
1− 2
r
r
La diferencia de estos dos términos da para el potencial:
haciendo
2a ≡ d
Φ(x, y, z) =
1 y
qd
4π0 r3
Entonces, el potencial, y por lo tanto el campo (su derivada) en proporcional
a qd, el producto de la carga por la separación. Pero este producto tiene nombre,
es el ”momento dipolar” de las dos cargas y lo denotamos por p:
p = qd
Dándole carácter vectorial, p~ lo definimos como una magnitud vectorial con
módulo igual al producto de la carga ”q” por la distancia que las separa ”d”,
cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a
la positiva:
p~ = q · d~
Potencial de un dipolo
Sea eˆr el vector unitario en dirección de ~r
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
40
Φ(r) =
1 p~ · eˆr
1 p~ · ~r
=
4π0 r2
4π0 r3
Esta fórmula es válida para un dipolo con orientación y posición cualesquiera
si ~r representa el vector desde el dipolo al punto de interés. Es fácil obtener el
campo eléctro en este punto, tomemos el gradiente de φ, digamos por ejemplo
la componente zel campo, o sea ∂Φ
∂y . Para un dipolo orientado según el eje y
podemos usar la ecuación número (9):
−
∂Φ
p 3cos2 θ − 1
= Ey =
∂y
4π0
r3
Las componentes en x y y son
Ex =
p 3yx
,
4π0 r5
Ez =
p 3yz
4π0 r5
Podemos combinar las ecuaciones anteriores para dar una componente perpendicular al eje y, a la cual llamaremos componente transversal E ⊥
Entonces
E ⊥=
p
Ex2 + Ez2 =
p 3y p 2
x + z2
4π0 r5
o bien,
E ⊥=
p 3cosθsenθ
4π0
r3
La componente transversal E ⊥ está en el plano x − z y está orientada
alejándose del eje del dipolo. El campo total es:
q
E = Ey2 + E 2 ⊥
El campo de un dipolo varía con la inversa del cubo de la distancia al dipolo.
Sobre el eje, para θ = 0 es el doble de intenso que para θ = 90◦ . Para estos
ángulos especiales el campo sólo tiene componente y pero de signos opuestos
en ambos lados.
7.3.
Comentarios sobre ecuaciones vectoriales
Hay que tratar por todos los medios de aprovecharnos de que las ecuaciones
vectodiales son independientes de cualquier sistema de coordenadas. Como en
7.4. EL POTENCIAL DE UN DIPOLO COMO GRADIENTE
41
el ejemplo anterior que nos facilitamos la vida tomando el eje y, siempre hay
que tratar de elegir los ejes de la manera más conveniente.
Cuando estemos tratando de calcular la divergencia de un vector, en lugar
~ ·E
~ no hay que olvidar qque podemos siempre
de examinar simplemente ∇
desarrollarlo en la forma
∂Ex
∂Ey
∂Ez
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Si pueden calcular las componentes x, y, z” del campo eléctrico y las derivadas,
tendrán la divergencia. A veces parece que se tiene la impresión de que hay algo
inelegante -una especie de fracaso- al escribir explícitamente las componentes;
de algún modo siempre habría una manera de hacerlo todo con los operadores
vectoriales. Muchas veces no se gana nada con eso. La primera vez que encontramos una clase particular de problemas, por lo común es conveniente escribir
explícitamente las componentes para asegurarnos de que comprendemos lo que
pasa. No es nada inelegante sustituir símbolos igeniosos por derivadas. Por el
contrario, muchas veces el hacerlo revela inteligencia. Por supuesto que cuando
publiquen un trabajo en una revista profesional tendrá mejor aspecto -y se
comprenderá más fácilmente- si escriben todo en forma vectorial. Además se
ahorra impresión.
7.4.
El potencial de un dipolo como gradiente
Podemos escribir la ecuación del dipolo (11) como sigue:
Φ=−
1
~
p~ · ∇
4π0
1
r
Hay una razón física para poder escribir el potencial del dipolo como en (14).
Para ver esto supongamos que tenemos una carga q en el origen, el potencial
en el punto P en (x, y, z) es
Φ0 ∝
q
r
si movemos la carga +q a una distancia ∆z el potencial en P cambiaría un
poco, en ∆Φ+ digamos. Pues cambiaría de la mima manera que si hubiéramos
movido a P hacia abajo la misma distancia que movimos q hacia arriba, dicho
de otra forma:
∆Φ+ = −
∂Φ0
∆z
∂z
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
donde por ∆z entendemos lo mismo que d2 , (o, como antes a...es lo mismo,
2a = d). Por tanto usando Φ = rq tenemos que el potencial de la carga positiva
es
42
Φ+ =
∂ q d
q
−
r ∂z r 2
Igual, hacemos lo mismo con Φ− , entonces tenemos:
−q
∂ −q d
Φ− =
−
r
∂z
r
2
Y pues el potencial total es la suma de los dos potenciales, que es:
∂ 1
Φ+ + Φ − = −
qd
∂z r
Ahora, generalizando, llamaremos ∆~r+ al desplazamiento de la carga positiva, y entonces la ecuación (17) se convertiría en
~
~ 1 · dq.
Φ = −∇
r
~ 0
Φ = −~
p · ∇Φ
donde Φ0 = 4π10 r
Siepre podemos encontrar el potencial de una distribución de carga por integración, pero es mejor (para ahorrarnos tiempo) pensar en otra forma de hacerlo, por ejemplo cuando podemos recurrir al principio de superposició...podemos
recurrir a él, por ejemplo cuando se nos da una distribución de carga que se
puede costruir a partir de la suma de dos contribuciones para las que ya se
conoce el potencial, y pues al sumar el potencial conocido ya obtenemos el que
queremos.
Un ejemplo:
Supongamos que enemos una superfície esférica con una distribución superficial que varía con el coseno del angulo polar. Ahora, imaginemos una linda
esfera con carga superficial positiva y uniforme en su volumen, y otra con la
misma densidad uniforme pero negativa en su volumen, al principio, si las sobreponemos constituyen una esfera neutra. Y si después de esto se desplaza
un poquito la esfera positiva respecto a la negativa, el lugar de la intersección
sigue siendo neutro, pero ahora aparecerá carga positiva de un lado y carga
negativa del otro. Si el desplazamiento relativo a las dos esferas es pequeño, la
7.5. LA APROXIMACIÓN DIPOLAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN
ARBITRARIA
43
Figura 7.3: Cálculo del potencial en el punto P a una distancia muy grande de
un conjunto de cargas
carga neta va a ser equivalente a una carga superficial, y entonces la densidad
de carga superficial será proporcional al coseno del ángulo polar.
Sabemos que el potencial es el mismo, para cada una de las cargas -para
puntos exteriores- el mismo que el de una carga puntual. Las dos esferas desplazadas son como dos cargas puntuales...de hecho son como el dipolo!
Entonces una distribución de carga sobre una esfera de radio a, con una
densidad de carga
σ = σ0 cos θ
Produce un campo fuera de la esfera que es el de un dipolo cuyo momento
es
p=
4πσ0 a3
.
3
Y el campo, que es constante, es
σ0
30
Si θ es el ángulo a partir del eje z, el campo eléctrico dentro de la esfra está
en la dirección z negativa.
E=
7.5.
La aproximación dipolar para una distribución
arbitraria
Ahora vamos a calcular el potencial debido a una distribución fea de carga
en un punto P muy lejos de la misma.
Como se ve en la figura, vamos a consiferar que cada carga qi está a una
distancia d~i del origen, y que ri es la distancia entre P y la carga qi .
44
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
El potencial de todo el conjunto está dado por
Φ=
1 X qi
4π0 i ri
Entonces, si consideramo que el punto P está a una distancia enorme entonces podemos decir que cada uno de los ri es aproximadamente igual a R,
entonces tenemos lo siguiente:
Φ=
Q
1 1 X
qi =
4π0 R
4π0 R
donde Q es la carga total del objeto.
Y pues obtenemos lo que esperábamos, que a una distancia tan grande, el
conjunto de cargas parece como una carga puntual.
Ahora podemos preguntarnos lo que pasa cuando la carga es neutra, cuando
se compensan el número de cargas positivas y negativas la carga total es cero.
Las cargas no están unas sobre otras, es decir, si nos acercamos mucho deberíamos de persivir los efectos de las cargas separadas. La ecuación (19) sigue
funcionando bien, pero la ecuación (20) empiza a fallar, porque no podemos
decir simplemente ri = R; entonces necesitamos una mejor aproximación. Si
~ es presisamente
observamos la imagen, la proyección ortogonal de d~i sobre R
a
~
lo que le "sobra. R para ser como r~i , entonces lo que vamos a hacer es restarle
esta parte. Tomemos por ejemplo un vector con norma uno y en la dirección de
~ digamos êr . Entonces podemos ver de la figura que la proyección ortogonal
R,
~ es (imaginando un ángulo θ; entre d~i y R)
~ |d~i |cosθ. Al calcular
de d~i sobre R
el producto interno d~i · êr = di cosθ, entonces de esta manera aproximamos a
ri así
ri ≈ R − d~i · eˆr
Como supusimos que P está muy pero muy lejos de la distribución de carga,
entonces di R y podemos escribir r1i como
!
1
1
d~i · eˆr
≈
1+
ri
R
R
Ahora sustituimos esta ecuación en la (19) para obtener el potencial
!
1
Q X d~i · eˆr
Φ=
+
qi
+ ...
4π0 R
R2
i
Definimos
7.6. CAMPOS DE CONDUCTORES CARGADOS
p~ =
X
45
qi d~i
Como propiedad de la distribución de la carga, el segundo término del
potencial (23) es
Φ=
1 p~ · eˆr
4π0 R2
”exactamente un potencial dipolar.”
Los campos dipolares son importantes, más que por el caso simple de un par
de cargas puntuales (que es complentamente raro), porque lejos de cualquier
distribución complicada de cargas (que es neutra en conjunto), el potencial es
un potencial de dipolo.
7.6.
Campos de conductores cargados
¿Cómo podríamos saber cómo se han distribuido las cargas en una superficie si se ha colocado una carga total Q sobre un conductor arbitrario? Lo
que queremos es decir exactamente dónde están las cargas...se diseminarán de
alguna forma sobre la superficie. Éstas deberán distribuirse de tal forma que el
potencial en la superficie sea constante. Para resolverlo podríamos hacer una
conjetura sobre la distribución y calcular el potencial y si éste es constante en
toda la superficie, ya está; pero si la superficie no es equipotencial entonces
usamos una distribución de carga que no servía y hay que hacer otra conjetura...pero no es tan buena idea porque esto puede seguir indefinidamente.
Matemáticamente es difícil estimar esta distribución. Por supuesto que la
naturaleza tiene tiempo de hacerlo; las cargas andan al tira y afloja hasta que
se equilibran. Pero cuando tratamos de resolver el problema nos lleva mucho
tiempo hacer cada prueba que el método es más bien aburrido. Si escogemos
un grupo de conductores y cargas arbtrarios el problema puede ser muy complicado y por lo general no se puede resolver sin métodos numéricos bastante
elaborados. Pero para nuestros días, esos cálculos numéricos se preparan para
una computadora que hace nuestro trabajo una vez indicado cómo proceder.
Pero hay montones de pequeños casos prácticos donde sería bueno poder
encontrar la respuesta con un método más directo. Hay una cantidad de casos
donde se puede obtener la respuesta exprimiéndola de la naturaleza por medio
de algún ardid.
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
46
Figura 7.4: Líneas de campo y equipotenciales de dos cargas puntuales
7.7.
El método de las imágenes
La figura de la derecha trata de mostrar algunas de las líneas de campo
y superficies equipotenciales que se obtuvieros con los cálculos del capítulo 5.
Vamos a considerar la superficie equipotencial marcada con A. Ahora vamos
a suponer que tenemos una hoja fina de metal y le damos la forma de esta
superficie. Si la colocamos exactamente sobre la superficie y ajustamos su potencial al valor apropiado, parecería que es exactamente la misma porque nada
cambiaría.
Hemos resuelto un problema nuevo. Tenemos la situación de que a una
superficie de un conductor curvado se le coloca cerca de una carga puntual a
un potencial determinado. Si llegara a cerrarse sobre sí misma la hoja de metal
que en la superficie equipotencial colocamos, tendremos el tipo de situación
que consideramos en el capítulo anterior. Allí encontramos que los campos
en las dos regiones son completamente independientes uno del otro. O sea que
tendríamos los mismo campos fuera de nuestro conductor curvo no importando
lo que haya dentro. En el espacio exterior el campo es como el de dos cargas
puntuales. Dentro del conductor es cero. Inmediatamente fuera del conductor
el campo es normal a la superficie.
Por lo tanto podemos calcular el campo debido a q y a una carga imaginaria
llamada −q en el punto apropiado. La carga puntual que imaginamos que existe
detrás de la superfici conductora se llama ”carga imágen.”
7.8.
La carga puntual cerca de un plano conductor
Tenemos un plano a la mitad del camino entre dos cargas (imaginen un
plano justo en el centro de la figura anterior), y como sucede esto, el plano
tiene potencial cero. Ya hemos resuelto el problema de una carga positiva cerca
de una hoja conductora a tierra.
7.8. LA CARGA PUNTUAL CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR
47
~ paralelo al diferencial de superficie dS
~
Figura 7.5: E
Además de nuestra carga puntual positiva hay cargas negativas inducidas
sobre la hoja conductora que han sido atraídas por las positivas. Si queremos
saber cómo estan distribuidas las cargas negativas sobre la superficie; primero
podemos hayar la densidad superficial de carga usando Gauss. La componente
normal del campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es igual a
la densidad de carga superficial σ dividida por 0 ; y como conocemos el campo
en todo punto podemos hayar la densidad de carga en cualquier punto de la
superficie trabajando hacia atrás a partir de la componente normal del campo
eléctrico en la superficie.
Imaginemos un punto de la superficie a una distancia ρ; del punto directamente de la carga positiva. La componente del campo de la carga puntual
normal a la superficie es
En+ = −
1
aq
2
4π0 (a + ρ2 ) 23
Hay que agregarle el campo eléctrico producido por la carga imaágen negativa. Esto duplica la componente normal, y entonces la densidqa de carga σS
es cualquier punto de la superficie es
σ(ρ) = 0 E(ρ) = −
2aq
4π(a2
3
+ ρ2 ) 2
¿Hay alguna fuerza sobre la carga puntual?...así es, porque hay una atracción de la carga superficial inducida sobre la placa.
La carga puntual experimenta una fuerza cuyo módulo es
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
SITUACIONES
48
F =
1
q2
4π0 (2a)2
Y encontrar la fuerza fué mucho más fácil que integrando sobre todas las
cargas negativas.
7.9.
La carga puntual cerca de una esfera conductora
Imaginemos una esfera metálica cerca de la cual hay una esfera puntual q.
Hay que encontrar los campos alrededor de ella. Vamos a resolver este problema,
como el anterior, buscando soluciones que ya obtubieron antes y ajustándolo
al nuestro.
El campo de dos cargas puntuales desiguales tiene una equipotencial que
es una esfera...¡Ajá! Si elegimos la hubicación de una carga imágen tal vez
podamos lograr hacer que la superficie equipotencial se ajuste a unestra esfera.
Supongamos que queremos que la superficie equipotencial sea una esfera de
radio a con su centro a una distancia b de la carga q. Ahora vamos a poner una
carga imágen de valor q 0 = −q( ab ) en la línea de la carga al centro de la esfera
2
y a una distancia ab del centro. La esfera estará a potencial cero.
Si r2 va de q 0 a un punto P en la superficie de la esfera, y r1 va de P a q,
entonces el potencial en P debido a q y a q 0 es proporcional a
q
q0
+
r1
r2
y entonces el potencial va a ser cero para todos los puntos para los que
7.10. CONDENSADORES; LAS PLACAS PARALELAS
q0
q
=−
r2
r1
Si ponemos a q 0 a
stante ab . Además, si
a2
b
o
49
r2
q0
=−
r1
q
de distancia al centro, el cociente
r1
r2
tiene valor con-
q0
a
=−
q
b
la esfera es una equipotencial, y de hecho su potencial es cero.
Si ahora tenemos una esfera conductora aislada y descargada y le acercamos
una carga positiva q, la carga total de la esfera sigue siendo cero. La solución
otra vez se encuentra usando una carga imágen q como antes, pero además una
carga q 00 en el centro de la esfera, eligiendo
q 00 = −q 0 =
a
q
b
En todos los puntos exteriores de la esfera los campos están dados por la
superposición de campos de q,q 0 y q 00 . El problema está resuelto.
Deben estarse preguntando de dónde proviene la atracción entre la esfera y
la carga puntual q, ya que no es cero aunque no haya carga sobre la esfera neutra...pues cuando se acerca una carga positiva a una esfera conductora, la carga
positiva atrae las cargas negativas hacia el lado más cercano a ella y deja cargas
positivas sobre la superficie más alejada. La atracción d las cargas negativas
excede la repulsión de las cargas positivas; hay una atracción resultante.
7.10.
Condensadores; las placas paralelas
Consideremos ahora dos placas paralelas y que esten separadas por una distancia muy chiquita en comparación con su ancho, en estas cargas también se
CAPÍTULO 7. EL CAMPO ELÉCTRICO EN DIVERSAS
50
SITUACIONES
han puesto corgas iguales pero opuestas. Las cargas tendrán densidades superficiales +σ y −σ respectivamente, como se muestra en la figura. Por conocimientos expuestos anteriormente (de hecho en el capítulo 5) sabemos que el campo
entre las placas es σ0 y fuera es cero. Llamemos V a la diferencia de potenciales
entre las cajas, que respectivamente son φ1 y φ2 , o sea
φ1 − φ2 = V
como V es el trabajo por unidad de carga que se necesita para llevar una
pequeña carga desde una placa hasta otra, por lo que
V = Ed =
σ
d
d=
Q
0
0 A
donde ±Q la carga total de cada placa, A el área de las mismas y d la
separación.
El volvate (diferencia de potencial) es proporcional a la carga. ¿Por qué?,
Simplemente por el principio de superposición. Lo podemos escribir así
Q = CV,
donde C es constante. A este cociente de proporcionalidad se le llama ”capacidad” y ese sistema de dos conductores se llama condensador. Para nuestro
caso
0 A
(placas paralelas)
d
Esto no es exacto porque qel campo en realidad no es uniforme en todo
punto de las placas.
En muchas aplicaciones en circuitos electrónicos, es útil tener algo que pueda absorber grandes cantidades de carga sin variar mucho el potencial. Es
presisamente lo que un condensador (o capacitor) hace.
C=
0 ≈
1
f arad/metro
36π × 109
De acuerdo a la definición de C, vemos que su unidad es coulomb/volt, a esto
también se le conoce como ”farad”. Los tamaños típicos de los condensadores
van desde un micromicrofarad (=1 picofarad) a los milifarad. Un par de placas
de un centímetro cuadrado de superficie a una distancia de un milímetro tiene
una capacidad de aproximadamente un microfarad.
Capítulo
8
Energía electrostática
8.1.
La energía electrostática de cargas
Esfera uniforme
En nuestros primeros cursos de física nos empiezan a presentar la mecánica,
uno de los más importantes estudios en la física, de la cual Newton hizo fama,
por obvias razones, gracias a el entendemos sistemas que son apreciables a
nuestros ojos, tuvimos conocimieto de algo llamado conservación de energía.
Pero también una buena contribución y porque no decirlo, más que contribución
fue el descubrimiento de otro mundo, habló de cargas, donde nos podremos ir a
dimensiones de menor tamaño, donde también existe la conservación de enegia.
En este caso hablaremos de la electrostatica, podra sonar aburrido algo estatico,
pero veremos que no,asi como lo dije, es otro mundo, más conocimiento, chamba
para los físicos, algo más en lo que podemos pasar noches buscando respuestas.
Recordemos la energía de interacción. Que tenemos dos cargas q1 y q2 a
una distancia r12 Hay una cierta energía en el sistema porque se necesitó cierta
cantidad de trabajo para juntar las cargas. Es
q1 q2
4π0 r12
Así también ya sabemos el principio de supeposicion; cuando tenemos muchas
muchas cargas la fuerza total sobre cualquiera de estas muchas cargas, la fuerza
total sobre cualquier de estas muchas cargas es la suma de las fuerzas debido
a las otras cargas. entonces la energía electrostática es entonces la suma de
todos los pares posibles de cargas, cómo interaccioan entre cada una de ellas,
matemáticamente podemos verlo de la siguiente manera:
51
52
CAPÍTULO 8. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
Fi =
X
j6=i
qi qj
4π0 rij
Ya no ocupamos calcular el trabajo que nos costaría traer partícula por
partícula, sino que nos hemos dado cuenta que solo basta saber la interacción
que hay entre cada una de ellas. Pero, ¿para qué queremos saber la energía
o el trabajo total de sus interacciones de muchas muchas cargas? Recordemos
nuestra esfera de carga uniforme, ¿Cómo garantizar su uniformidad? Pues para
esto traemos desde el infinito cargas y las vamos acomodando en diferenciales
de capas de tal forma para hacer una esfera del radio que queramos. Ahora
viendo lo dicho antes de cómo formar nuestra esfera lo podemos ver en la
siguiente manera:
dU =
Qr dQ
4π0 r
Así también no hay que olvidar que teniendo el conjunto de cargas formando
nuestra esfera tenemos que hablar ya de una densidad ρ, y que para la esfera
empezamos con un radio r = 0 hasta llegar a r = a, así que tenemos que
integrar nuestra ecuación para que finalmente nos quede:
U=
8.2.
3 Q2
5 4π0 a
La energía electrostática en los núcleos
Como les había mencionado, la electrostática ha sido tan importante como
la mecánica de Newton en su momento igual lo fue. Veamos ahora un ejemplo
de muchos varios que podremos encontrar, vayamos a la física atómica, ¿qué
es la física atómica?.
Con su misma definición nos daremos cuenta porque está dentro de los
ejemplos de la electrostática , es la energía eléctrica presente en los núcleos
atómicos. Ya visto un poco en el capítulo 1, estamos un poco familiarizados
con conceptos núcleo y esas cosas, de lo platicado acerca de la energía liberada
por una bomba, que nos es más que energía eléctrica pura.
Pues resulta que las cosas no son lo que parecen ya hablando a un nivel
más pequeñito, como del tamaño de un neutrón y protón, resulta ser que con
el descubrimiento de los núcleo y como consecuencia de estas dos partículas,
pues se trato de explicar el comportamiento entre estas dos partículas porque
8.2. LA ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN LOS NÚCLEOS
53
se tenía conocimiento de una cierta intensidad mas no de que tipo, que como ya
sabemos es eléctrica. Se empezo a estudiar algo llamado dispersión de protones
como el inicio de explicar la ley de fuerza entre las partículas en el núcleo,
pero después de treinta años resulta ser que no se encuentra nada aún. Sólo
se pudo tener la noción de que la fuerza es tan complicada como podría ser,
¿tan complicada como puede? ¿qué queremos decir con esto?, para entenderlo
enumeremos las complicaciones que se encontró al tratar de explicar la fuerza
entre estas partículas:
1.- Resulta ser que la ley de nuestro amigo Coulomb no funciona para estas
partículas, la fuerza no estaba en función de las distancia entre 2 protones,
nuestra función distancia es más complicada, actualmente aún lo es.
2.-Hay un problema con los spines de los protones, cuando los espines de 2
protones son paralelos o anti paralelos, su fuerza era diferente, el problema no
radica meramente en lo diferente sino que la diferencia de fuerza es muy grande.
3.-Asi también nos salieron los protones con la sorpresa que la fuerza dependía de otros factores además de la velocidad, de algo llamado spin-orbita
de la fuerza.
Y esto no es solamente con protón-protón, sino también todas las demás
permutaciones posibles, protón-neutrón, neutrón-neutrón,etc. No hay manera
simple de poder comprender esto. Sólo algo nos salva un poco un evento, la
fuerza nuclear, fíjate que la fuerza nuclear entre un protón-neutrón, dos protones, dos neutrones , ¡es igual ! El conocimiento de esto nos ayuda a extender
conocimiento entre las interacciones de otras partículas, las partículas extrañas.
Y pues también, no hay conocimiento claro que nos explique por qué los cálculos ésta vez sí funcionan, hablando de fuerza nuclear.
Veamos un ejemplo de esto de lo que hablo. Pongamos en tela de juicio al
Boro 11 (B 11 ), este consta de protones y neutrones, que interaccionan entre
ellos, hay nivel de energía posible, el de energía más baja se le llama estado fundamental. Ahora bien si se nos acurre darle un golpecito a un protón
tendremos como resultado interaciones, mejor llamadas como excitaciones las
cuales generaran energía. Ahora si hacemos una serie de excitaciones sucesivas
será cada vez de mayor energía al estado fundamental, la física nuclear es la
encargada de explicar esto. Claro otra vez a lo mismo no hay teoría sustentable
que explique estas cosas aún.
La cosa comienza a ponerse más rara cuando nos ponemos a cambiar un
neutrón por un protón del B 11 , con esto formamos un isótopo de carbono (C 11 ),
54
CAPÍTULO 8. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
al checar los niveles de energía del C 11 nos damos cuenta que no hay muchas
diferencias, no hay cambio considerable, de que hay diferencias las hay pero
son pequeñísimas. Estamos conssientes solo de que sus fuerzas completas no
son exactamente iguales, hay una fuerza eléctrica que hace variar el resultado,
debido a los protones, mientras que en los neutrones no la hay. La cosa esta en
preguntarnos si la diferencia entre el B 11 y C 11 se debe a la acción eléctrica de
los protones, pero recordemos que la fuerza nuclear es más intensa que la eléctrica, entonces el efecto eléctrico tiene solo un efecto muy pequeño comparación
de la nuclear.
Qué tal si hacemos un poco de cálculos para ver que pasa matemáticamente,
veamos si realmente las matemáticas no mienten:
Calculemos la energía electrostática de los núcleos, tomando a los núcleos
como si fueran una esfera, la esfera tendrá un radio r, densidad de carga uniforme ρ, y con un Z número de protones, que son los interesantes, veamos cómo
nos quedaría la ecuación:
U=
3 (Zqe )2
5 4π0 r
Si en la ecuación anterior tomamos en cuenta que para un número pequeño
de protones no tendría sentido, tenemos que remplazar Z 2 por Z(Z − 1) para
calcular la energía, usando esta determinamos el radio, ni tendremos que tomar
en cuenta también que al cambiar un neutrón por un protón la masa cambia,
al considerar todo eso y hacer unos cálculos nos encontramos que el radio del
B 11 o C 11 es:
r = 3,12 × 10−13 scm
Y ahora haciendo otros cálculos casi similares, pero ahora considerado, la
densidad y que sus volúmenes son proporcionales al número de partículas contenidas en el núcleo encontramos (disculpen al no mostrarles los cálculos, pero
nos resulta más útil en este caso solo comparar) el siguiente radio:
r0 = 1,2 × 10−13 cm
Nos damos cuenta así que la diferencia de energía es electrostática con un
margen de error del 15 %, es muy bueno. Ahora, ¿qué nos dice ese margen de
error?....pues el feyman nos dice que esto se debe a que el B 11 con 5 neutrones
y 5 protones, si le agregamos una partícula mas esta dará vueltas formando un
nuevo núcleo esférico, y aquí está el error, ya que debimos de haber tomado
una energía electrostática diferente para el protón que estaba de mas.
8.2. LA ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN LOS NÚCLEOS
55
Recapitulando este disparate entre que si le quito o que le pongo un protón
al B 11 , llegamos a la conclusión siguiente, bueno 2 conclusiones:
1.- La que seguramente pudimos intuir al principio, que posiblemente las
leyes eléctricas funcionan a dimensiones tan pequeñas como aproximadamente
10−13 cm.
2.-Pues confirmar la coincidencia de que las fuerzas entre protón-protón,
neutrón-neutrón, neutrón-protón . . . etc. son iguales.
Capítulo
9
La electricidad en la atmósfera
Si bien éste capítulo se aleja un poco de la línea general del libro, se complementa con una temática que aborda algo tan común como son los fenómenos
de los rayos y las tormentas eléctricas. Debido al año de edición del libro, no
se tenían muchos datos metereológicos precisos como en la actualidad y se notan algunos datos sueltos durante su lectura, aún así, es interesante apreciar
cómo existe una relación global entre la física y sus explicaciones a los diversos
problemas que plantea la naturaleza.
9.1.
El potencial en la nariz y la electricidad en las
alturas
Para muchos, verano es época de sol, playa y vacaciones. Pero en un día
normal -que sea claro y despejado- por cada metro de elevación con respecto a la
superficie terrestre, la diferencia de potencial terrestre aumenta unos 100 volts.
¡Suficiente para que funcionen algunos aparatos eléctricos! Si a esas vamos,
la diferencia de potencial entre mis rodillas y mi nariz sería de 120 volts, ¡ya
estuvo! La pregunta obvia es que si realmente existe semejante oportunidad
para adquirir energía gratis, ¿por qué no recibo también una buena descarga
gratis?
Claramente, aquí hay gato encerrado. Primeramente, el cuerpo humano es
un conductor más o menos aceptable. Así que en nuestro diario andar por la
vida nuestros pies entran en contacto con la superficie de la tierra y ambos
tienden a formar una superficie equipotencial, osea, que adquieren el mismo
valor. Dichas superficies equipotenciales son paralelas al suelo, pero cuando
uno entra en escena, se distorsionan (ver figura). Por lo tanto, la diferencia de
57
58
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
Figura 9.1: A la izquierda, distribución de potencial sobre la superficie de la
tierra y a la derecha, la distribución del potencial en un lugar abierto modificado
por una persona.
potencial en el cuerpo, que bien pudo haber causado pánico al lector, al final
es prácticamente nula.
¿Cómo le hicieron para medir el campo eléctrico de la superficie de la tierra?
Bueno, en esencia es muy sencillo. Se coloca una placa metálica sobre el suelo
y se conecta a tierra. Dado que hay un campo E(que asumimos es el terrestre),
existirá una densidad superficial de carga σ = 0 E -en tierra- por lo que habrán
cargas negativas (¿porqué negativas?) sobre la superficie de la placa. Si ahora se
cubre la placa anterior con otra placa conductora a una altura muy pequeña, las
cargas ahora se irán directamente a la nueva placa y no habrá en la anterior.
Si medimos la carga que fluye desde la placa inferior hacia tierra cuando se
le recubre con la placa superior (por medio de un galvanómetro) se puede
encontrar σ y en por ende, el campo E. El campo eléctrico terrestre existe a
grandes alturas pero disminuye en magnitud. Alrededor de los 50 kilómetros es
mucho muy débil ya, por lo que lo interesante sucede a bajas alturas. Aún así,
la diferencia de potencial total desde la superficie terrestre hasta los límites de
la atmósfera es alrededor de ¡400 000 volts!
¿Y qué podemos decir de la atmósfera? Bueno, pues que el aire, tal y como
lo conocemos, no es un aislante perfecto (en sí, nada es perfecto) por lo que
existe también una muy pequeña -del orden de los microampers- densidad de
corriente que pasa del cielo a la tierra por medio del aire, que sirve como conductor mediador. ¿Cómo es posible que el aire sea conductor? Si pensamos en
el aplastante número de moléculas que tiene un metro cúbico de aire, podría
pasar que de todas ellas al menos una molécula es un ion: el oxígeno es un
buen candidato (aunque también lo puede ser el nitrógeno, etc.) ya que los
choques entre partículas pueden hacer que el oxígeno pierda o gane electrones.
Una molécula ionizada tiende a conglomerarse con otras partículas y juntas se
mueven de acuerdo con el campo eléctrico. Allí generan esa minúscula corriente.
9.1. EL POTENCIAL EN LA NARIZ Y LA ELECTRICIDAD EN LAS
ALTURAS
59
Ahora bien, ¿cuál sería el origen de esos iones? ¿simples choques moleculares? En un principio se pensó que las partículas β (electrones a altas energías) producidas por la radiactividad de la tierra sacaban a los electrones
de las moléculas y producían iones. Lógico pensar es que a grandes alturas, la
ionización disminuiría. Pero, ¡oh sorpresa! cuando unos físicos llevaron acabo
un experimento para medir dicha ionización usando globos (Hess, en 1912) encontraron que la ionización aumentaba con la altura. Éste hecho fue el logro
más impactante de la física atmosférica -en aquel tiempo- y originó una rama completamente nueva: la física de los rayos cósmicos. Aquí Feynman da el
avionazo en su explicación argumentando poco acerca de los rayos cósmicos.
Lo trascendente es que partículas nuevas a las conocidas en aquel entonces
(muones, neutrinos, etc.) provenientes de remotos lugares en el espacio exterior, llegaban a la atmósfera a velocidades cercanas a la de la luz, chocando con
las moléculas y disparando una cascada de partículas atómicas y subatómicas
que producían iones en altas alturas (por algo se llama ionosfera).
La ionosfera es la región en la alta atmósfera donde existe tal cantidad de electrones y partículas cargadas -iones- que deambulan libres
por el espacio que logran hacer a la
propia atmósfera un conductor razonablemente bueno. La mayoría de
las partículas cargadas con creadas
cuando la radiación solar en una lonFigura 9.2: En a) la placa metálica ten- gitud de onda menor a los 102.7 nanómetdrá la misma carga superficial σ que la ros que corresponde a la radiación
superficie terrestre mientras que en b) ultravioleta, es absorbida por las moléculas y átomos atmosféricos. Tal enno habrá tal carga superficial
ergía absorbida es trasferida a un electrón en una molécula, el cual escapa -convirtiéndose en un electrón libre- y formando un ion. Éste proceso es llamado fotoionización. Esencialmente, toda la
radiación solar en el espectro del alto-ultravioleta es absorbido en la ionosfera
-debería de serlo, pero debido a los gases contaminantes, la disminución del
ozono ha adelgazado dicha capa en los últimos años.Debajo de la ionosfera, la
atmósfera es débilmente conductora.
En cualquier caso, la conductividad de la ionosfera es debida primariamente
a los electrones libres, ya que son más ligeros que los iones. Por convención, la
ionización de la atmósfera es descrita en términos de la densidad de electrones
Ne . Pero dada la peculiar ligereza del electrón, ¿cuántos factores no pueden
influir en la variación de su concentración en el ambiente? Efectivamente, la
60
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
densidad de electrones varía según la hora del día, altitud, longitud, convergencia o divergencia de los altos vientos, de la propia radiación solar -que nos
envía hasta el comportamiento mismo del sol- y de efectos locales, entre otros.
Como quiera que sea, estudios sugieren un comportamiento promedio descrito
por la figura que indica un pico fuertemente marcado a los 300 km de altitud
aproximadamente. No es ninguna sorpresa, ya que corresponde al rango de altitud de la propia ionosfera.
Figura 9.3: Distribución típica de la
densidad de electrones entre la salida
y puesta del sol durante a) el día y b)
la noche
Figura 9.4: Gráficos del flujo de radiación y de la densidad de electrones
La forma de dichos gráficos obedece lo que anteriormente se había
propuesto: que la producción de iones
en un volumen dado es proporcional
al flujo de radiación -en la frecuencia
apropiada- y al número de moléculas
en el volumen que pueden absorber y
ser ionizadas por la radiación. Cuando la radiación penetra profundamente
en la atmósfera, dada su energía, alguna de ella es absorbida por las moléculas atmosféricas y átomos, así que en
su camino, el flujo disminuye y está
menos disponible a ionizar un cierto
volumen.
Pero -un pero con mucho énfasis-,
la densidad de moléculas incrementa
con la profundidad, así que el porcentaje de flujo restante que podrá
ser absorbido en un volumen equis,
aumenta. Como resultado de esas tendencias opuestas, tenemos un gráfico que muestra que arriba de cierta
altitud, la radiación es alta pero la
densidad es poca, mientras que debajo de dicha altitud, la radiación
es poca y la densidad mucha; en resumen, volvemos a tener un pico muy
marcado en las concentraciones eléc-
tricas de la atmósfera. (Chapman 1931).
Pero la historia no acaba ahí. Es preciso sugerir que además de esos pequeños iones producidos por los rayos cósmicos existe otra clase de iones más
9.2. THUNDER, THUNDER, THUDERSTORMS . . . !!
61
pesados y relativamente más grandes -como partículas de polvo- que no están
a grandes alturas, pero que influyen en la variación de la conductividad del
propio aire. Un ejemplo de dichas partículas pesadas son los granos de sal. En
el mar no sólo la vida es más sabrosa sino que cuando una ola de mar rompe,
muchísimas gotas son proyectadas hacia el aire. Cuando éstas se evaporan dejan a su paso un pequeñísimo grano de sal común (N aCl) flotando en el aire.
Tales cristales son los encargados de acaparar carga y convertirse en iones pesados. Dada la relativa inmensidad de la superficie terrestre comparada con un
ion pesado y un ion pequeño, la intensidad de la corriente eléctrica atmosférica
está relacionada con la densidad. Así pues, conforme vamos incrementando en
altitud, los iones pesados son cada vez menos abundantes debido al factor peso, al factor humano -contaminación- o a que las gotitas de las olas de mar no
llegan tan alto, mientras que las partículas ionizadas ligeras, que se originan
en su gran mayoría por las colisiones con los rayos cósmicos en la atmósfera
superior, tienen mayor espacio para avanzar antes de decaer/colisionar en otras
partículas. En resumen, iones pesados implica menos velocidad, lo que a su vez
se traduce en una corriente muy débil; por otro lado, iones ligeros, por minúscula que sea la carga que transporten, si van a altas velocidades (cercanas a
las de la luz) pueden generar una corriente notable. La intensidad de corriente
atmosférica aumenta con la altura tal como se había visto experimentalmente
Hasta ahora, nos hemos dado cuenta que el aire no es un aislante perfecto, que existe una corriente eléctrica en la atmósfera debido a la ionización por partículas cargadas y que
el voltaje aumenta en promedio 100
volts por metro, entre otras cosas. O
sea, que podemos imaginar el asunto viendo a la tierra como una gran Figura 9.5: Gráfico del potencial versus
esfera sólida con carga negativa y a altitud
la atmósfera como un cascarón que la
cubre con caga positiva. ¿Por qué no simplemente se descargan? ¿qué mantiene
a las cargas en su lugar? Para terminar, recordemos que a 50 km aproximadamente, la atmósfera tiene las condiciones de comportarse como una superficie
conductora, estamos hablando de unos 400 000 volts . . .
9.2.
Thunder, thunder, thuderstorms . . . !!
Desde el inicio de los tiempos, el ser humano ha presenciado una gran cantidad de espectáculos naturales. Erupciones volcánicas, huracanes, eclipses, paso
62
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
de cometas, auroras boreales- Algunos buenos, otros trágicos. Dentro del conjunto de dichos shows, he tenido la fortuna de apreciar por unos instantes, una
tormenta eléctrica. La experiencia fue única.
Unos instantes antes de que comenzara, el ambiente era más bien apocalíptico: ráfagas silbantes de aire frío
en todas direcciones, árboles retorciéndose y ramas luchando por no
caer, perros ladrando y gente corrienFigura 9.6: Variación diurna del potendo a sus casas a resguardarse- oscuricial eléctrico en un día con clima normal
dad y un cielo sutilmente rojizo. Desobre la superficie del océano
cidí subir a la azotea de mi casa y
acostarme en el techo. Empezó entonces a llover y a relampaguear. Allí es
cuando uno se da cuenta de lo pequeño que es en el mundo: como pólvora encendida, una explosión de líneas luminosas surcó los cielos entre nube y nube,
iluminando las entrañas de la tormenta en formas algo arrogantes. Las líneas
recorrían e iluminaban al mismo tiempo, después desaparecían. Todo en un
pestañeo. Silencio. Luego calma, y desde la parte más alejada en el horizonte,
emergió una luz cegadora que en un suspiro vivió y que dejó a su paso un ruido
tan intimidante que me hizo bajar inmediatamente del techo.
Si meditamos un poco acerca de
la naturaleza de un rayo de tormenta eléctrica y su relación con las corrientes atmosféricas más que en el
tiempo que a una persona le puede
llevar en bajar del techo de su casa,
vemos que existe una analogía con
Figura 9.7: Concepto simple del modelo
las bombillas de plasma y los gende circuito global. Las tormentas coneradores de Van der Graff. Nuestro
ducen corriente a la electrosfera (altamodelo de la electricidad atmosférimente conductora) y regresa a tierra en
ca del planeta se asemeja a una esforma de corriente con los iones anterifera sólida con carga negativa dentro
ormente vistos
de un cascarón conductor con carga
positiva y además, había surgido la interrogante de cómo es posible que no se
descargue el sistema, siendo que el aire -conductor hasta cierto punto- que se
encuentra entre las dos superficies serviría de mediador- la respuesta viene de
los rayos de las tormentas arriba presentados.
Visualicemos lo siguiente: un generador de Van der Graff en medio de una
mesa y muy juntito a él otra esfera apoyada en un tripié a la misma altura que
9.3. INTRODUCCIÓN AL MECANISMO DE TLÁLOC
63
la esfera del generador. Cuando éste se enciende, adquiere carga en la superficie y después de cierto tiempo, empiezan a salir unos rayos que hacen contacto
en la otra esfera. Aunque idealmente, las dos superficies están cargadas y las
separa el famoso aire no-conductor, aparecen dichos rayos que transmiten el
exceso de carga de la superficie del generador a la superficie de junto que está
polarizada.
Con la tierra pasa algo parecido. Los rayos envían cargas negativas desde
las alturas hacia tierra donde alimentan el potencial y lo mantienen constante.
Es evidente entonces el dinamismo: la alta atmósfera ionizada, las nubes de tormenta polarizada, rayos que bajan carga, tierra que recibe y mantiene. ¿Pero
una tormenta puede mantener por sí misma semejante potencial? Se han hecho
estimaciones y los resultados arrojan cerca de 40 000 tormentas por día en todo
el planeta. Es muy factible que la unión hace la fuerza.
Propiedades Eléctricas Globales bajo la Ionosfera Definamos buen
tiempo. Cuando el día es soleado, despejado y agradable en general, significa que el estado eléctrico de la baja y media atmósfera está en un equilibrio
cuasi-estático, o sea, que la carga que se mueve en una región es igual a la carga
que abandona tal región. La definición del buen tiempo puede ser tan simple
como la de que no haya tormentas eléctricas cerca. En equilibrio cuasi-estático,
la distribución vertical de la carga podría ser esencialmente la misma en diferentes lapsos de tiempo y las leyes de la electrostática son las que se aplican.
En relación a tormentas eléctricas, consideramos un clima óptimo como aquél
libre de aire o nubes que acareen electricidad suficiente como para revertir la
polaridad del campo eléctrico en el suelo.
9.3.
Introducción al Mecanismo de Tláloc
Definimos una tormenta como una nube que produce truenos. Ya en el
siglo 18, Benjamín Franklin estableció que carga negativa estaba presente en
las tormentas, aunque también carga positiva era observada ocasionalmente.
C. T. Wilson (1916,1920,1929) famoso e influyente científico realizó mediciones
comparando el campo eléctrico de tormentas y el campo eléctrico cambiante
de los relámpagos. Basado en sus observaciones, conjeturó que en las nubes
de tormentas existen cargas positivas en la parte superior y cargas negativas
en la inferior, en una configuración llamada dipolo positivo. Si tenemos dos
cargas separadas cierta distancia Dy queremos saber qué campo habrá a los 20
kilómetros, existe una expresión para dicho campo dada por:
64
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
1
2QzN
2QzP
[ 2
−
]
2
1,5
2
4π0 (D + zN )
(D + zP2 )1,5
donde zN y zP son las alturas de las cargas negativa y positiva respectivamente, y Q es la magnitud de la carga en cada polo del dipolo.
Ez =
Figura 9.8: Relación del campo eléctrico en la superficie como función de la
distancia de eje de una distribución de dipolo positivo. Las cargas están en
la izquierda. La magnitud de la carga en este ejemplo es de 40C pero dicha
magnitud no afecta de distancia de cambio
La distancia en la cual el campo eléctrico pasa por cero invirtiendo su
polaridad es llamada la distancia de cambio. Dicho cambio de polaridad ocurre
porque la magnitud relativa de la componente vertical del campo eléctrico
disminuye con más lentitud con la distancia para las cargas positivas en las
alturas de la nube, que para las cargas negativas abajo.
Figura 9.9: Modelo del dipolo/tripolo para una nube de tormenta. Nótese la
carga positiva en la parte inferior del esquema
Ahora bien, el modelo que mejor describe el comportamiento eléctrico de
las nubes de tormenta es el del dipolo positivo, sólo que con una ligera variante:
9.3. INTRODUCCIÓN AL MECANISMO DE TLÁLOC
65
observaciones meteorológicas hechas allá por la década de los 40 encontraron
que para evitar anomalías, la carga eléctrica negativa de dipolo en la nube debe
estar entre dos cargas positivas una superior y otra muy ligera en la aparte
inferior, como sugiere la figura. Este peculiar arreglo de cargas se denomina
estructura dipolo/tripolo ya que es una mezcla entre ambas. Los siguientes son
características típicas de la estructura general de la carga en nubes de tormenta:
1. Cargas negativas dominan en las regiones bajas de la nube, entre un
rango de temperatura que va de los −25◦ C a los −10◦ C.
2. La región positiva está probablemente un 1km arriba de la anterior. Datos
sugieren que también exista alrededor de la misma.
3. Observaciones de la variación del campo eléctrico con la altura indican
que existen más de tres aglomeraciones de carga en la nube de tormenta.
4. La mayoría de las cargas de los iones ligeros bajo la tormenta son producidos por puntos de descarga, la corriente inducida en el suelo por objetos
puntuales, como árboles y edificios, bajo la influencia del campo eléctrico de
las tormentas.
5. Las gotas de la precipitación acarrean en mayor parte cargas positivas
bajo la nube, esta carga cuando se acerca al suelo es afectada por los iones
producidos en los puntos de descarga o por la influencia del ambiente.
Figura 9.10: Esquema de las cargas en una nube de tormenta inferida por las
observaciones de Krehbiel (1986). Los valores del campo eléctrico son aproximados a las zonas locales señaladas.
Podemos concluir que cuando se acerca una tormenta eléctrica de grandes
proporciones, el aire se enrarece, debido a que una nube es una fuente de campo
66
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
Figura 9.11: Campo eléctrico generado por un conductor agudo
eléctrico -del orden de los 10 nC sobre metro cúbico- pero capaz de producir
majestuosos espectáculos.
Corona eléctrica se refiere a cualquier descarga eléctrica menos violenta
y energética que una chispa o relámpago. Ocurre que la corona en la atmósfera
se divide en dos: corona para la vegetación y el suelo, y la corona de descarga para las nubes de tormenta. Si todos los demás parámetros se mantienen
constantes, la transición a una forma más energética de corona es causada por
el incremento en el campo eléctrico. La naturaleza de la corona de descarga
en las nubes es básicamente la misma que ocurre sobre puntos metálicos. La
corona es iniciada cerca de puntos cuando el campo eléctrico local es suficientemente fuerte como para acelerar electrones libres a energías tales que ionizan
a moléculas después de colisionarlas.
9.4.
Relámpagos
La observación del relámpago ha causado asombro y temor durante la historia de la humanidad porque llega a mostrar la cara imprevisible y peligrosa de
la naturaleza. Técnicamente, existen dos tipos de relámpagos: los relámpagos
intranubes y los relámpagos nube-tierra. Dentro de esta clasificación, existe una sub-categorización que divide diferentes tipos de relámpagos intranubes
y nube-tierra. El ejemplo más significativo de los relámpagos intranubes son las
descargas aéreas, propagación de relámpagos sobre la superficie de las nubes de
9.4. RELÁMPAGOS
67
Figura 9.12: Esquemas de coronas positiva y negativa. En a) la corona es positiva; una avalancha de electrones se propagan en el campo eléctrico que aumenta
en magnitud. En b) una corona negativa; un puñado de electrones se propagan
hacia regiones con campo eléctrico débil en magnitud
tormenta que no tocan el suelo. Otro ejemplo de esta categoría son los relámpagos telaraña (spider lightning) consistentes en descargas de varios cientos
de metros sobre el aire, simulando una red que cubre los cielos en dirección
horizontal. La peculiaridad de los relámpagos intranubes consiste en que son
más lentos en comparación con los nube-tierra. La velocidad de propagación
estimada entre las descargas aéreas es de 104 m/s en promedio.
En el caso de los relámpagos nube-tierra, los más representativos y comunes
son los relámpagos de jirones, que en su desplazamiento horizontal la línea sigue
trayectorias zigzagueadas como si desprendiera cintillas conforme cae al suelo.
La velocidad promedio de un relámpago nube-tierra es del orden de 107 m/s.
Galería de Relámpagos
Mecanismo de inicio
Detalles sobre el origen de los relámpagos dentro de las tormentas, así como
los procesos que gobiernan su inicio son aún poco claros. Hay que resaltar a
todo esto, que el mecanismo de descarga entre una nube y el suelo que da como
resultado un relámpago nube-tierra, inicia en el momento mismo en que la nube
comienza a adquirir carga.
Una de las tantas teorías de este proceso sugiere que el proceso inicia cuando una nube entra en un ambiente con condiciones climáticas ideales para la
adquisición de carga, esto es, mediante corrientes de aire cálidas que transportan iones positivos que predominan en la región. Éstas ingresan a través de
68
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
Figura 9.13: Descarga Telaraña ( spider lightning) Relámpago intranube.
Figura 9.14: Descarga Aérea (air discharge) Relámpago intranube.
9.4. RELÁMPAGOS
69
Figura 9.15: Relámpago de jirones (ribbon lightning) Relámpago nube-tierra.
70
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
Figura 9.16: Mecanismo por el cual se carga una nube
la propia nube como corrientes de convección, polarizándola, ya que automáticamente se forma una pantalla de carga negativa sobre la frontera del borde
inferior de la nube, que crea un campo eléctrico dentro de ella.
El transporte organizado de las cargas hacia lo alto de la nube enciende
un flujo de corriente que a temprana edad, produce relámpagos sobre la misma nube cuando el potencial generado entre las superficie inferior y superior
es suficiente como para hacer que el espacio dentro de la nube sea conductor.
Pero ahí no termina todo. Si sigue habiendo corrientes de aire que alimenten
con cargas a la nube, el potencial dentro de ella seguirá incrementándose en
el interior de ella, hasta que súbitamente, en tierra encuentre un motivo para
descargarse en forma de trueno destellante. Entiéndase por motivo una superficie tal que aglomere en su interior cierta carga del signo opuesto a la de la
corona o base de la nube tormenta.
Resumen ad extensum
Resumamos a grandes rasgos todas las ideas expuestas en este capítulo sobre la electricidad en la atmósfera, las tormentas y los relámpagos.
La tierra forma junto con la ionosfera un enorme capacitor. La tierra posee
carga negativa y la ionosfera carga positiva. No se descargan inmediatamente
porque el medio que existe entre ellos, que es el aire, es un aislante hasta cierto
punto. Pero las cargas en tierra se equilibran con las de la ionosfera por medio
de las tormentas que a diario suceden alrededor del globo mediante el flujo de
corriente que transportan los rayos de las tormentas.
9.5. ESPÍRITUS ROJOS Y BLUE JETS
71
En el ambiente existen iones que se generan de múltiples maneras. Cuando
vapor de agua se condensa formando nubes y las condiciones lo ameritan, existen flujos de aire cálido, que es más ligero que el frío, que transportan dichos
iones hacia en interior de la nube.
La naturaleza de las corrientes de aire es un ejemplo termodinámico de un
proceso adiabático, esto es, sin cambio en la energía del sistema. Las lluvias
tropicales de verano obedecen el hecho de que la energía del sol calienta y
evapora agua de mar y en general, de todo el ambiente, cubriendo al medio de
un vapor húmedo. Pero eso sucede sólo a bajas alturas de la atmósfera, arriba
de ella todo el tiempo es un refrigerador: la temperatura promedio a los 100km
es de varios grados bajo cero. Aire cálido es más ligero que el frío, por lo que
tal situación de desequilibrio produce flujos de aire, o sea, vientos. En dichos
vientos se transportan los iones que siempre están ahí, y que alimentan con
carga las concentraciones de vapor de agua que forman a las nubes.
Nótese que aquí radica el porqué de una característica previa a toda tormenta y que pasa sutilmente desapercibida: el soplo de un flujo de aire que
oscila entre cálido y frío que barre las calles echando basura en las cocheras y
moviendo las hojas de los árboles. . .
Si las corrientes de aire han transportado suficiente cantidad de iones, la
nube de tormenta estará tan cargada, que dentro de ella, la polarización de
las cargas, generará un campo eléctrico potente, que a su vez, aumentará la
magnitud del potencial eléctrico de la nube con la del suelo, por lo que en un
momento crítico, se desencadenará una avalancha de corriente descendente que
generará un relámpago digno de apreciar.
9.5.
Espíritus rojos y Blue Jets
Recientemente se han observado nuevos fenómenos relacionados con la electricidad en las tormentas. Había un fuerte mito entre gente que orbitaba a
grandes altitudes sobre la tierra, como los pilotos de transbordadores, que en
época de tormentas, visualizaban unos destellos rojos que emergían súbitamente de la cima de las nubes. En la década de los 90 varios grupos de investigadores se dieron a la tarea de desentrañar tal misterio y se encontraron con
el descubrimiento de dos fenómenos que fueron acuñados como espíritus rojos
y blue jets.
Los espíritus rojos aparecen como manchas luminosas suspendidas arriba
de la cima de la nube, en racimos o solos. Sentman et. al (1995) observaron las
72
CAPÍTULO 9. LA ELECTRICIDAD EN LA ATMÓSFERA
Figura 9.17: Esquema de cómo se genera un relámpago nube-tierra.
siguientes características que los describe: espíritus rojos individuales tienen
entre 5 y 30km de ancho y la parte brillante está a una altitud de 70km sobre
el nivel del mar, de la cual, un manojo de luz roja resplandece hacia fuera hasta
una altitud de 88km sobre el nivel del mar, con ramificaciones hacia abajo unos
40km. Todos los espíritus en un racimo iluminan al mismo tiempo -durante 16
microsegundos- y su tiempo de vida es de 100ms. Su energía promedio es de
1 a 5kJ y su locación preferida es sobre las regiones estratiformes de los sistemas de Mesoscalas Convectivas. Boccippio et. al. en 1995 descubrieron una
asociación entre los espíritus rojos y los golpes de corriente positiva con largas
corrientes detectadas por la National Lightning Detection Network. Sus mismas investigaciones sugirieron que las fuerzas electrostáticas de gran escala en
la alta atmósfera pueden ser las responsables de la formación de los espíritus
rojos.
Los blue jets suelen emerger también de las cumbres de las tormentas. A
veces, son precedidos por relámpagos muy luminosos que poseen ramificaciones
bien definidas que se propagan arriba de la nube, pero no tan alto como los
propios jets; también es común que dos jets emerjan de la misma región. Westcott et. al. (1995) los describen así: lucen como un estrecho cono que abre hacia
arriba y afuera en un color azul eléctrico a una velocidad de propagación de
9.5. ESPÍRITUS ROJOS Y BLUE JETS
73
Figura 9.19: Un ”blue jet” en acción.
105 m/s a una altitud que va de los 40 a los 50 sobre el nivel del mar; duran
entre 200 y 300 milisegundos y su luminosidad decae al mismo tiempo en todo
el jet.
Figura 9.20: Secuencia de red spirits y blue jets.
Capítulo
10
Dielćtricos
10.1.
Figura 9.18: Red Spirit
Dieléctricos
Hemos visto que en los conductores las cargas se mueven libremente en
respuesta a un campo eléctrico a puntos tales que el campo dentro del conductor
es cero. Ahora analizaremos los materiales que no conducen la electricidad, estos
son llamados aislantes o dieléctricos. Mediante experimentos se observó que
la capacitancia aumenta cuando se coloca un material aislante entre las placas
del capacitor. Si este aislante llena completamente el espaco entre las placas,
la capacitancia aumenta por un factor k, que depende del material. A este
factor k se le llama constante dieléctrica. Para explicar porque sucede esto,
consideremos un capacitor, cuya carga es
Q=V ∗C
Si ahora colocamos un dielectrico, la capacitancia aumente. Esto implica que
para una carga fija, el voltaje es menor. Debido a que el voltaje es la integral
de linea del campo electrico, entonces el campo electrico se tiene que reducir.
Consideremos la superficie verde de la figura. Usando la ley de Gauss
I
~ = q
~ · dl
E
0
Como el campo electrico se reduce, podemos concluir que la carga que encierra
nuestra superficie tiene que ser menor que si no estuviera el dielectrico. Tiene
que haber carga positiva sobre la superficie del dielectrico, y como el campo
electrico es diferente de cero, esta tiene que ser menor que la que hy sobre
las placas del condensador. En resumen, cuando un dielectrico es colocado en
75
76
CAPÍTULO 10. DIELĆTRICOS
un campo electrico, se inducen cargas positivas en un lado del dielectrico y
negativas en el otro.
10.2.
El Vector de Polarización
La clave para entender los dielectricos es saber que existen en el muchos
pequeños dipolos inducidos en el material. Veamos un poco que es lo que sucede
a nivel de los átomo. La Fig 2a es la representación de un átomo en ausencia de
campo eléctrico, mientras que la Fig 2b es una representación en presencia de un
campo electrico; podemos verque el nucleo, con carga positiva es atraído hacia
una direccion, mientras que los electrones, con carga negativa son dirigidos
hacia la direccion opuesta. Si el campo eléctrico no es muy grande, la cantidad
de momento dipolar inducida será proprcional al campo. Si consideramos que
cada átomo tiene q cargas separadas una distancia d, entonces
p~ = q d~
Ahora, si tenemos N átomos por unidad de volumen,
P~ = N q d~
Éste es el momento dipolar por unidad de volumen. Es importante notar que
la plarización varia de un lugar a oto en el dieléctrico, y que además es proporcional al campo electrico. Si tenemos una hoja de material a la cual se le
aplica un campo electrico, entonces tenemos una cierta polarización, y si esta
no es uniforme, ésta producirá una densidad de carga volumetrica, ya que más
carga será movida hacia una region que lejos de ella. Ahora, si la polarización
es uniforme, no se genera una densidad de carga, y solo tenemos que revisar
que es lo que ocurre en la supreficie. De hecho, tenemos una densidad de carga
superficial que resulta ser igual a la polarización del material. Las placas de un
capacitor tienen densidad de carga superficial σf ree y campo electrico
E=
σf ree
0
En presencia de un dielectrico
(∗)E =
σf ree − P
σf ree − σpol
=
0
0
Donde σpol es la densidad de carga debido a la polarización. Ahora, la polarizacion depende del campo electrico, y es proporcional a este, entonces podemos
escribir
~
P~ = χ0 E
10.3. ECUACIONES ELECTROSTÁTICAS CON DIELÉCTRICOS
77
donde χ es la suceptibilidad electrica. Sustituyendo la polarizacion en (*),
obtenemos
1 σf ree
E=
1 + χ 0
De esta manera vemos claramente el factor pr el cual se reduce el campo
electrico en presencia de un dielectrico. En el caso de que la polarización no
se constante, tendremos una densidad de carga volumetrica, ¿Cómo la encotramos? La carga que se mueve a traves de cualquier elemento de superficie
es propocional a la parte perpendicular a la superficie del vector P~ . Entonces
tenemos
σpol = P~ · ~n
Es la carga que se mueve a traves de la superficie. Ahora, la carga total desplazada hacia afuera de cualquier volumen V por la polarzación es la integral
de P~ · ~n sobre toda la superficie
Z
~
∆qpol = − P~ · da
s
Podemos atribuir ∆qpol a una distribución volumetrica de carga con densidad
ρpol
Z
∆qpol = ρpol dv
Igualando las dos expresiones para la carga de polarización
Z
Z
~
ρpol dv = − P~ · da
v
s
Por el teorema de divergencia tenemos la igualdad
Z
Z
~
~
~ · P~ )dv
P · da = (∇
s
Entonces
Z
v
Z
ρpol dv = −
v
~ · P~ )dv → ρpol = −∇
~ · P~
(∇
v
En resumen, si tenemos una polarización no uniforme, su divergencia nos dice
cual es la densidad de carga que aparece en el material.
10.3.
Ecuaciones electrostáticas con dieléctricos
Es hora de combinar estos resultados con la teoría de la electrostática. La
ley de Gauss, en su forma diferencial es
~ ·E
~ = ρ
∇
0
78
CAPÍTULO 10. DIELĆTRICOS
Aqui, la ρ es la densidad de todas las cargas.Para nuestros propositos es mejor
separar la parte que es producida por la polarizacion, que llamaremos ρpol de
la demás densidad de carga, que denotaremos por ρf ree . Ahora tenemos
~ ~
~
~ ·E
~ = ρf ree + ρpol = ρf ree − ∇ · P → ∇
~ · (E
~ + P ) = ρf ree
∇
0
0
0
0
~ y sustituyamoslo en nuestra ecuación, entonces
Recordemos que P~ = χ0 E,
tenemos
~ · ((1 + χ)E)
~ = ρf ree
∇
0
Por otro lado, el rotacional del campo eléctrico no sufre cambios
~ ×E
~ =0
∇
Estas son las ecuaciones de electrostática en presencia de dieléctricos, que,
aunque no nos dicen nada nuevo, nos facilitan el calculo de la densidad de
carga libre si tenemos la polarizacion y ésta es proporcional al campo eléctrico.
Observemos que en la ecuación para la divergencia no hemos factorizado el
termino (1+χ), ya que estamos considerando el caso general en el que podemos
tener diferentes dielectricos en diferentes zonas del campo. Hay una cuestion de
importancia histórica que debemos mencionar. En los inicios de la electrostática
no se conocia el mecanismo de la polarización y no era apreciada la existencia
de la ρpol , por lo que toda la carga se englobaba en el termino ρf ree . Para
~ de la siguiente manera
simplificar las ecuaciones se definia un nuevo vector D
~ = 0 E
~ + P~
D
Con este nuevo vector, las ecuaciones de la electrostatica quedan así
~ ·D
~ = ρf ree
∇
~ ×E
~ =0
∇
~ y E.
~ Cuando
¿Es posible resolver esto? Si, pero necesitamos la relación entre D
la polarizaciòn es proporcional al campo eléctrico, esta relación es
~ = 0 (1 + χ)E
~ = (1 + χ)0 E
~
D
Esta relación suele escribirse de la siguiente manera
~ = E
~
D
(10.1)
10.3. ECUACIONES ELECTROSTÁTICAS CON DIELÉCTRICOS
79
donde = (1 + χ)0 . Una ecuación como esta es un intento por describir
las propiedades de la materia, pero la materia es complicada, y de hecho esta ecuación es incorrecta. Por ejemplo, si E se hace grande, D deja de ser
proporcional a E, y además, para muchas sustancias esta proporcionalidad se
rompe incluso para campo muy débiles.Tambièn la contante de proporcionalidad puede depender de cuán rápido varia E con el tiempo, por eso, una ecuación
de este tipo debe considerarse solo una aproximación.
Capítulo
11
Dentro de los dieléctricos
11.1.
Dentro de los Dieléctricos
En esta sección veremos porque los materiales son diélectricos. Discutiremos el mecanismo por el cual la polarización se lleva a cabo cuando existe un
campo eléctico dentro del material. Empecemos con el ejemplo más sencillo, la
polarización de los gases. Se distinguen dos tipos de moleculas de gases, las que
no tienen un momento dipolar inherente,llamadas moléculas no-polares, como
la molécula de oxídeno,la cuál posee un par de átomos simétricos; y las que si
lo tienen, como la molécula del agua, la cual tiene un arreglo no simétrico de
entre sus átomos de hidrógrno y oxígeno. A este tipo de moléculas se les llama polares. Empezaremos discutiendo la polarización de moleculas no-polares.
Consideremos un gas monoatómico, como el helio. Cuando un átomo de este
tipo es sometido a un campo eléctrico, los electrones son jalados hacia un lado
del campo y los nucleos hacia el otro. Esto induce un momento dipolar, que es
proporcional al campo eléctrico cuando éste no es muy fuerte. El desplazamiento de la distribución del electrón que produce este tipo de momentos dipolares
inducidos es llamado polarización electrónica. Es posible demostrar que, cuando el átomo es sometido a un campo eléctrico oscilatorio, el centro de carga del
electron obedece la ecuación diferencial
m
d2 x
+ mw02 x = qe E
dt2
El primer término es la masa multiplicada por la aceleración, y el segundo es
una fuerza restauradora, mientras que el termino del lado derecho es la fuerza
81
82
CAPÍTULO 11. DENTRO DE LOS DIELÉCTRICOS
que ejerce el campo eléctrico. Esta ecuación tiene la solución
x=
qe E
mw02
Multiplicando esta expresion por la carga del electrón obtenemosel momento
dipolar p de un átomo
q2 E
p = qe x = e 2
mw0
Se suele considerar que el momento dipolar es proporcional al campo eléctrico,
y se escribe:
~
p~ = α0 E
donde α es una constante con dimensiones L3 llamada polarizabilidad del átomo, que nos indica que tan facil es polarizar el átomo en cuestion. Comparando
las dos pasadas ecuaciones, obtenemos una expresión para la polarizabilidad
α=
qe2
4πe2
=
0 mw02
mw02
Si tenemos N átomos por unidad de volumen, la polarización P es dada por
~
(∗)P~ = N p~ = N α0 E
Recordemos que la polarización es proporcional al campo electrico:
~
P~ = χ0 E
Expresando esta ecuación en terminos de la constante dielectrica κ:
κ−1=
P
0 E
donde κ = 1 + χ. Igualando esta ultima ecuación con (*) tenemos
κ−1=
P
N
=
0 E
α
Sutituyendo la polarizabilidad:
κ−1=
4πN e2
mw02
Nuestra fórmula es solamente una aproximación, ya que hemos dejado de lado
las complicaciones de la mecánica cuántica. Pero veamos que tan buena es
11.1. DENTRO DE LOS DIELÉCTRICOS
83
nuestra aproximacion calculando κ, la constante dieléctrica del hidrogeno. La
energía necesaria para ionizar al átomo de hidrógeno es aproximadamente
E≈
me4
2~2
Para un estimado de la frecuencia natural w0 , podemos hacer esta energía
igual a ~w0 , la energía de un oscilador atómico cuya frecuencia natural es w0 .
Entonces tenemos:
1 me4
w0 ≈
2 ~3
Sustituyendo este valor para la ecuación de la polarizabilidad tenemos
α ≈ 16π[
~2 3
]
me2
2
~
La cantidad me
2 es el radio de la orbita del estado más bajo en el átomo
de Bohr. Ahora, para un gas a presión y temperatura estandar, es decir, 1
atmósfera y 0◦ C, ahi 2,69x1019 átomos/cm3 . Entonces resulta ser que
k ≈ 1 + (2,69 × 1019 )16π(0,528 × 10−8 )3 = 1,0002
La constante dielectrica para el hidrogeno es medida experimentalmente, y
su valor es kexp ≈ 1,00026 Felizmente encontramos que la teoría va por buen
camino. Ahora pasemos a las moléculas que tienen un momento dipolar permanente p0 , como la molécula del agua. En ausencia de campo magnético, los dipolos individuales apuntan en direcciones arbitrarias, produciendo un momento
total cero. Cuando se aplica un campo eléctrico, pasan dos cosas: primero, hay
un momento dipolar inducido debido a la fuerza sobre los electrones, esta parte
da la misma polarizabilidad electrónica que encontramos para moleculas nopolares. Segundo, el campo eléctrico tiende a alinear los dipolos individuales
para producir un momento neto por unidad de volumen. Si la alineación fuera
perfecta, el momento dipolar sería muy grande, pero eso no sucede ya que, a
temperaturas y campos electricos ordinarios las colisiones entre las moléculas
evitan este alineamiento. La polarización es calculada mediante métodos de
mecánica estadística. Para el uso de este tipo de métodos necesitamos conocer
la energía de un dipolo en un campo eléctrico. Consideremos un dipolo con
momento p0 en un campo eléctrico. Sea qφ(1) la energía de la carga positiva y
−qφ(2) la energía de la carga negativa. Entonces la enrgía del dipolo es
~
U = qφ(1) − qφ(2) = q d~ · ∇φ
~ = −p0 Ecos(θ)
U = −~
p0 · E
84
CAPÍTULO 11. DENTRO DE LOS DIELÉCTRICOS
A partir de la mecánica estadística se sabe que, en estado de equilibrio térmico,
−U
el número relativo de moléculas con energía potencial U es proporcional a e kT
Ahora, sea n(θ) el número de moléculas por unidad de ángulo sólido en θ,
tenemos
n(θ) = n0 ep0 Ecosθ/kt
Para temperaturas y campos de magnitud normal, el exponente es un número
pequeño, entonces, podemos exandir el exponencial en una serie para obtener
n(θ) = n0 (1 +
p0 Ecosθ
)
kT
Podemos encontrar n0 si integramos esta expresión sobre todos los ángulos, el
resultado debe ser N, el número total de moleculas por unidad de volúmen. El
valor promedio de θ sobre todos los angulos es cero, entonces la integral es sólo
n0 multiplicado por el ángulo sólido 4π
n0 =
N
4π
Ahora, para calcular la polarización P necesitamos el vector suma de todos los
momentos de las moléculas en una unidad de volúmen. Como sabemos que el
resultado será en la dirección de E, sumaremos sólo las componentes en esa
dirección (las componente en angulos rectos sumarán cero):
X
P =
p0 cosθi
Podemos evaluar esta suma integrando sobre la distribución de angulos. El
angulo sólido en θ es 2πsinθdθ, entonces
Z π
P =
n(θ)p0 cosθ2πsinθdθ
0
Sustituyendo la expresion que habíamos encontrado un poco antes para n(θ)
Z
p0 Ecosθ
N π
(1 +
)p0 cosθd(cosθ)
P =−
2 0
kT
N p20 E
3kT
La polarización es normal al campo electrico, por lo que hay comportamiento
de un dieléctrico normal, además, P depende inversamente de la temperatura,
ya que a temperaturas más altashay más desalineación por las colisiones. Esta
dependencia de 1/T es llamada ley de Curie. Vemos que p0 aparece elevado
P =
11.1. DENTRO DE LOS DIELÉCTRICOS
85
al cuadrado, esto se debe a que, en un campo electrico dado la fuerza de alineación depende de p0 , y el momento medio que se produce por esta alineación
es otra ves proporcional a p0 . El momento inducido promedio es proporcional
al cuadrado de este momento dipolar permanente. ” ’Campos eléctricos en cavidades de dieléctricos” ’ Consideremos ahora el problema de la constante dieléctrica en la materia densa. Supón que tenemos helo líquido, o argón liquido.
Esperamos que halla polarización, pero esta ves P puede ser muy grande, ya
que el campo sobre un átomo individual se ve influenciado por la polarización
de los átomos vecinos a éste. Nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Qué campo
eléctrico actúa en el átomo individual? Si ponemos el líquido entre las placas
de un condenador cargado, existirá un campo eléctrico que será la suma del
campo del condensador mas el campo producido por las cargas de los átomos.
Ignorando las pequeñas variaciones, diremos que el campo eléctrico promedio
es E = Vd donde d es la distsncia de separación entre las placas y V la diferncia
de potencial entre ellas. Podríamos pensar que un átomo promedio en una localización promedio sentirá este campo promedio, pero no es así. Consideremos
hoyos con diferentes formas en el diélectrico. Supon primero que cortamos un
hoyo como en la figura (a), la integral de linea del campo electrico sobre la
curva es cero. El campo dentro de la ranura debe contribuir con una parte que
cancele el campo afuera. Por lo tanto, el campo que encontramos dentro de una
ranura larga y delgada es igual al campo eléctrico promedio encontrado en el
diélctrico. Ahora consideremos una ranura como se muestra en la parte (b), en
este caso, el campo que encontramos enla renura no es el mismo que hay en el
diélectrico debido a las cargas de polarización que aparecen en la superficie. Si
usamos la ley de Gauss sobre la supreficie S que se muestra en la misma figura
(b), encontramos que el campo electrico dentro de la ranura es
Eranura = E +
P
0
Donde E es el campo electrico dentro del dielectrico. Observese que la superficie
gaussiana contiene la carga de polarizacion σpol = P Ahora, ¿Cuál será el
campo electrico dentro de un hoyo esférico? Imaginemo que recortamos una
esfera de material dieléctrico y la sacamos de este, entonces, por el principio de
superposición, podemos escribir el campo E promedio del dieléctrico como la
suma del campo electrico dentro de la ranura esférica más el campo electrico del
trozo esféreico de dielectrico que sacamos, denotaremos este ultimo por Eplug
E = Ehoyo + Eplug
El campo electrico dentro de la esfera es uniforme, y su valor es
Eplug = −
P
30
86
CAPÍTULO 11. DENTRO DE LOS DIELÉCTRICOS
Y entonces
Ehoyo = E +
P
30
El campo dentro de una cavidad esférica es mayor que el promedio por una
cantidad 3P0
11.2.
Dielécticos Sólidos
El primer hecho interesante sobre los dieléctricos sólidos es que pueden estar
permanentemente polarizados. Los materiales solidos de este tipo se llaman
electrets. Un electret posee cargas de polarizacion permanentes en su superficie,
es una especie de imán electrico, pero no es muy útil, porque cargas libres del
aire son atraidas por eléctret y cancelan las cargas de polarización. En algunas
sustancias critalinas podemos encontramos polarizacion interna permanente.
Si cambiamos este momento dipolar, aparecen campo externos debido a que
no hay tiempo de que las cargas se reordenen y se junten para cancelar las
cargas de polarización. Por ejemplo, el momento puede ser cambiado calentando
el dieléctrico, debido a la expansión termica. A este fenómeno se le conoce
como piroelectricidad. Si el momento es cambiado mediante la aplicacion de
tension sobre el material, encontramos pequeños efectos electricos, llamados
piezoelectricidad.
Capítulo
12
Magnetostática
12.1.
El campo magnético
Para conocer la fuerza sobre una carga en algún punto necesitamos 2 cosas:
1. La fuerza eléctrica: a esta fuerza la identificamos como el campo eléc~ y es independiente del movimiento de la carga.
trico E
2. La fuerza magnética: esta si depende de la velocidad de nuestra carga,
cuando mencionamos que no depende de la velocidad nos referimos a que
su dirección y su modulo depende de la dirección en que se este moviendo
la partícula y esta será perpenticular a la velocidad.
Asi también para todo punto tendremos a la fuerza en dirección perpenticular
hacia una dirección fija en el espacio y el modulo de la fuerza será proporcional a la componente de la velocidad privilegiada. Podemos describir todo lo
~ que nos explica tandicho anteriormente si definimos el campo magnético B
to la dirección privilegiada en el espacio como, una constante proporcional a
~ . Ahora
la velocidad. Así que escribimos a la fuerza magnética como ~v q × B
tenemos a la fuerza total sobre una carga descrita de la siguiente manera:
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
Un ejemplo para poder ver fácilmente la presencia de la fuerza magnética,
intentemos acercar un imán a un tubo de rayos catódicos, el cual lo podemos
encontrar en nuestros televisores podremos ver como cambia la coloración de las
imágenes de nuestra pantalla y algunas veces este color tarda en quitarse.esto
se debe a que el imán produce fuerzas sobre el haz que hace que se desvien.
87
88
CAPÍTULO 12. MAGNETOSTÁTICA
12.2.
La corriente eléctrica y Conservación de la carga
Ahora es turno de comprender que sucede con la fuerza magnética cuando
actúa sobre un alambre con una corriente eléctrica. Primero definimos densidad
de corriente como la cantidad de carga que pasa por unidad de superficie y
tiempo através de un elemento de superficie perpenticular al flujo de cargas.
Se representa por ~j , este vector esta dirigido hacia donde las cargas se dirigen.
La cantidad de cargas que fluyen a través de un diferencial de superficie por
unidad de tiempo esta dado por:
~j · ~n∆S
Donde ~n es el vector normal a ∆S
Ahora definimos la carga por unidad de tiempo como ρ~v · ~n∆S , ahora
tenemos
~j = ρv
Pero si ahora queremos tomar a cada electrón y calcular su densidad de
corriente, decimos que cada uno tendrá una carga q con una velocidad media,
entonces nuestra definición de densidad de corriente para este caso seria
j = N ρv
La N que nos aparece ahora nos representa en numero de cargas por unidad
de volumen.
Ahora hagamos pasar carga por unidad de tiempo en una superficie S , a
esto se le llama corriente electrica y es denotapa por I~ , la cual es igual a la
siguiente integral:
Z
I=
j · dS
S
Uno de los principios físicos más fundamentales nos dice que la carga se
conserva, entonces, si tenemos una corriente neta a través de una superficie, la
cantidad de carga dentro debe decrecer por una cantidad correspondiente, esto
nos permite escribir la ley de conservación de la siguiente manera:
Z
d(Qdentro )
j · dS =
dt
S
El hecho de que
Z
Qdentro =
ρdV
12.3.
LA FUERZA MAGNÉTICA EN UNA CORRIENTE
89
y el Teorema de divergencia nos permiten escribir la ley de continuidad en
su forma diferencial de la siguiente manera
~ · ~j = − dρ
∇
dt
12.3.
La Fuerza Magnética en una Corriente
Una corriente consiste en partículas cargadas moviendose a velocidad v a lo
~ Si
largo del alambre. Cada carga siente una fuerza transversal SF~ = q~v × BS
tenemos N cargas por unidad de volumen, el número en una unidad de volumen
∆V es N ∆V . La fuera magnética total ∆F sobre el volumen ∆V es la suma
de las fuerzas sobre las cargas individuales, esto es
~
∆F~ = (N ∆V )(q~v × B)
Pero Nqv no es otra cosa que la densidad de corriente j, entonces
~
∆F~ = ~j × B∆V
~ Si la corriente es uniforme en todo
La fuerza por unidad de volumen es ~j × B.
el alambre, y el area de la sección transversal es A, podemos tomar el elemento
de volumen como ∆V = A∆L, donde δL es una unidad de longitud. Entonces
tenemos
~
∆F~ = ~j × BA∆L
Ahora podemos llamar al termino ~jA el vector corriente ~i sobre el alambre,
cuya magnitud es la corriente electrica. Entonces
~
∆F~ = ~i × B∆L
~
La fuerza por unidad de longitud es ~i × B
12.4.
La Ley de Ampere
Sabemos experimentalmente que las cargas en movimiento producen un
campo magnético, pero, dada una corriente, ¿Qué campo magnético producirá?
La respuesta a esta pregunta tambièn fue determinada experimetalmente y
gracias a un argumento teórico propuesto por Ampere, pero como se ha demostrado que las ecuaciones de Maxwell son correctas, comenzaremos a partir
de ellas. Quitando los terminos que involucran cambio en el tiempo, obtenemos
las ecuaciones para magnetostática:
~ ·B
~ =0
(1)∇
90
CAPÍTULO 12. MAGNETOSTÁTICA
~
~ ×B
~ = j
(2)c2 ∇
0
Estas ecuaciones solamente son validas si las densidades de carga electrica son
constantes y todas las corrientes son estables. Debemos tener en mente que es
un poco peligroso pensar en algo como una situación magnética estática, ya que
debemos de tener corrientes para que existan los campos magnéticos, y para
que las corrientes existan debemos tener cargas en movimiento. La magnetostatica es entonces solo una aproximacion, y se refiere a una situación dinámica
especial con un gran número de cargas en movimiento, que pueden ser aproximadas como un flujo estable de carga. Es en este caso donde podemos hablar
de densidadesde corriente que no varian con el tiempo. Es importante notar
que, debido a que la divergencia del rotacional de cualquier vector siempre es
~ · ~j = 0, y esto es cierto por la ecuacion de
cero, la ecuación (2) requiere que ∇
~ · ~j = − ∂ρ solo si tenemos densidades de carga
continuidad de la corriente ∇
∂t
que no varian con el tiempo. Esta condición significa quesolo podemos tener
cargas que flujen a traves de caminos cerrados, esto es, deben fluir a traves de
alambres que forman loops completos, llamados circuitos. Analicemos un poco
lo que nos quieren decir las ecuaciones (1) y (2). La primera nos dice que la
divergencia de B es cero, esto quiere decir que no existen cargas magnéticas
a partir de las cuales pueden emerger lineas de campo magnético, los campos
magnéticos aparecen en precencia de corrientes; tienen un rotacional proporcional a la densidad de corriente. Siempre que tengamos corrientes, existen
lineas de campo magnético haciendo loops alrededor de las corrientes. Ahora
revisemos la ecuación (2). Primero, de acuerdo al teorema de Stokes, y usando
los simbolos de la figura A, tenemos lo siguiente
I
Z
~ = (∇
~
~ · dl
~ × B)
~ · ds
B
w
s
Tomando el rotacional del campo magnético de la ecuación (2), tenemos
I
Z
1
~
~
~
~j · ds
B · dl =
0 c2 s
w
La integral de la densidad de corriente sobre toda la superficie es la corriente
sobre la superficie. Ahora, ya que para corrientes estables, la corriente a traves
de S es independiente de la forma de S, siempre y cuando este delimitada por
la curva w, se suele decir: "la corriente a través del loop w". Tenemos entonces
una ley general: la circulacion de B sobre acualquier curva cerrada es igual a
la corriente I que pasa através del loop, multiplicado por una constante:
I
~ = I
~ · dl
B
0 c2
w
12.5. LA RELATIVIDAD DE LOS CAMPOS
91
Esta es la Ley de Ampere y tiene el mismo papel en magnetostática que la
ley de Gauss para electrostática.
Ejemplos
Veremos el uso de la Ley de Ampere en un par de ejemplos.
1. Un alambre recto. ¿Cuál será el campo magnético de un alambre largo y
recto? Asumiremos que las lineas de B van alrededor del alambre en circulos
cerrados. Por la simetría del problema, podemos ver que B tiene la misma
magnitud en todos los puntos de un circulo concentrico con el alambre, esto
hace la integral de linea muy fácil:
I
~ = B · 2πr
~ · dl
B
La corriente que atraviesa el loops es la corriente I que va en el alambre,
entonces
I
~ · 2πr = I → B =
B
2
0 c
2π0 c2 r
2. Un Solenoide. Un solenoide es un rollo de alambre, experimentalmente
se observa que cuando un solenoide es muy largo comparado con su diámetro,
el campo afuera es muy pequeño comparado con el de adentro. Como el campo
se queda adentro, y tienen divergencia cero, las lineas de campo deben ser
paralelas al eje. Tomemos un loop como se muestra en la figura 2. Este loop
tiene una longitud L a lo largo del solenoide y dentro de él, donde es campo
es, digamos B0 , después va en angulos rectos con el campo y regresa por fuera
donde el campo es cero. Entonces, la integral de B a lo largo de esta curva es
B0 L, entonces tenemos B0 L = N0 cI2 donde N*I es la corriente total si hay N
vueltas dentro del loop. Y por unidad de longitud, el campo magnético dentro
del solenoide es
NI
B0 =
0 c2
12.5.
La Relatividad de los Campos
Hasta ahora hemos visto que la fuerza magnética sobre una carga es proporcional a su velocidad, pero no hemos dicho respecto a que marco de referencia
dedemos tomar esa velocidad. Vamos a ver que cualquier marco de referencia
funciona, y a la vez veremos que los campos eléctricos y mangnéticos deben ser
considerados como un solo campo electromagnético. Primero tomaremos
en cuenta que el principio de relatividad es aplicable al electromagnétismo.
92
CAPÍTULO 12. MAGNETOSTÁTICA
Ahora, supon que tenemos una carga negativa moviedose con velocidad v0 paralela a un alambre con corriente. Veremos que pasa en dos marcos de referencia:
(1)Uno fijo con respecto al alabre
(2)otro fijo con respecto a la carga
En el sistema de referencia (1) es claro que tenemos una fuerza magnética sobre
la particula, y esta fuerza resultará en una atracción de la particula hacia el
alambre. Por el principio de relatividad, en el marco de referencia (2) veremos
la misma atracción, pero claramente no existe fuerza magnética, entonces, ¿Qué
es lo que esta pasando? Trataremos de entenderlo. Primero veamos un poco lo
que pasa en el alambre conductor. En un conductor normal, como el cobre, las
corrientes eléctricas se generan por el movimiento de algunos de los electrones
(electrones de conducción) mientras que las cargas positivas (los nucleos) y el
resto de los electrones se mantienen fijos en el cuerpo del material. Llamaremos
ρ_ a la densidad de electrones de conducción y "v.a su velocidad. A la densidad
de cargas en reposo la llamaremos ρ+ , la cual debe ser igual a ρ_ en magnitud
debido a que el alambre es electricamente neutro. No existe campo electrico.
La fuerza sobre la particula es entonces:
~
F~ = q~v0 × B
De un resultado previo en este capitulo, conocemos el campo magnético que
produce un alambre conductor. Efectuando el producto cruz vemos que la
fuerza es en dirección al alambre con magnitud:
F =
Iqv0
2π0 c2 r
Es posible demostrar que la corriente la podemos escribir de la siguiente manera
I = ρ_ vA
donde A es el área de la sección transversal del alambre. Entonces
F =
qρ_ Avv0
2π0 c2 r
Ahora consideraremos el caso en que la velocidad de la carga negativa es igual
a la velocidad de los electrones de conducción, es decir v = v0 , entonces
F =
qρ_ Av 2
2π0 c2 r
12.5. LA RELATIVIDAD DE LOS CAMPOS
93
Pasemos ahora a ver lo que pasa en el marco de referencia (2). En éste, la
particula cargada esta en reposo, mientras el alambre pasa hacia atras con
velocidad v. Las cargas positivas que se mueven con el alambre producen un
cierto campo magnético, pero como esta vez la particula esta en reposo, no
actua fuerza magnética sobre ella. Si es que existe una fuerza sobre la carga,
esta debe de ser debida a un campo eléctrico. Pero, ¿Cómo podemos tener un
campo eléctrico en un alambre que es neutro? Veamo como. Primero calculemos
la densidad de carga en el marco de referencia (2), podríamos pensar que es
la misma que en (1), pero recordemos que las distancias cambian al pasar de
un marco de referencia a otro, por lo que los volumenes también cambian,
y como la densidad de carga depende del volumen, ésta también cambiará.
Antes de continuar, debemos mencionar que las cargas son siempre las mismas,
no importa si se estan moviendo o no, de otra manera, observaríamos que
las carga total no siempre se conserva. Varios esperimentos han demostrado
esto. Entonces la carga q de la particula es una cantidad escalar invariante,
independiente del marco de referencia. Esto quiere decir que sólo debemos
preocuparnos por el cambio en el volumen debido a la contracción de la longitud
para el cálculo de la densidad de carga en el marco de referencia (2). Si tomamos
una longitud L0 del alambre que contiene una densidad de carga de carga
estacionaria ρ0 , esta tendrá una carga Q = ρ0 L0 A0 . Si observamos las mismas
carga es un marco de referencia distinto, moviendose con velocidad v, estas se
encontrarán en un trozo de alambre con longitud menor
r
v2
L = L0 1 − 2
c
pero con la misma área A0 , debido a que el movimiento se realiza en una
dimensión transversal. Sea ρ la densidad de carga en el marco de referencia
(2). Entonces, la carga Q será ρLA0 , y ya que la carga es la misma en los
dos sistemas, se debe cumplir que ρL = ρ0 L0 y sustituyedo L de la ecuación
anterior,
ρ0
ρ= q
2
1 − vc2
Ahora usemos este resultado general para ρ+ de nuestro alambre. Ésta está en
reposo en el marco (1) y se mueven con velocidad v en (2), entonces la densidad
de carga se transforma de la sifuiente manera
ρ+
(2)
ρ+ = q
2
1 − vc2
(2)
donde ρ+ es la densidad de carga en el marco de referencia (2). Por su parte,
la carga negativa esta en reposo en el marco (2), y el marco (1) se mueve
94
CAPÍTULO 12. MAGNETOSTÁTICA
con velocidad v, así, tenemos la siguiente relación para la densidad de carga
negativa
ρ(2)
_
ρ_ = q
2
1 − vc2
Ahora veremos porqué existe un campo eléctrico en el marco de referencia (2).
En este marco existe una densidad de carga neta ρ(2) dada por
(2)
ρ(2) = ρ(2)
_ + ρ+
Usando las expresiones que obtuvimos anteriormente para estas densidades de
carga tenemos que
r
ρ+
v2
(2)
ρ =q
+ ρ_ ( 1 − 2 )
2
c
1− v
c2
Ahora, debido a que el alambre estacionario es nuetro,
ρ_ = −ρ+
y entonces , después de un poco de álgebra
ρ
(2)
= ρ+ q
v2
c2
1−
v2
c2
Nuestro alambre en movimiento esta cargado positivamente, y produce un campo electrico que actua sobre nuestra particula. Ya conocemos como es el campo
eléctrico que pruduce un cilindro uniformemente cargado
E (2) =
ρ(2) A
ρ+ Av 2 /c2
q
=
2
2π0 r
2π0 r 1 − vc2
Para obtener la magnitud de la fuerza simplemente multiplicamos el campo
eléctrico por la carga q
F (2) = q
ρ(2) A
ρ+ Av 2 /c2
q
=
2
2π0 r
2π0 r 1 − vc2
Comparando las fuerzas en (1) y (2) vemos que estas se relacionan de la siguiente manera
F
F (2) = q
2
1 − vc2
12.5. LA RELATIVIDAD DE LOS CAMPOS
95
Para velocidades pequeñas, estas dos fuerzas son iguales, en ese caso podemos
decir que "la electricidad y el magnetismo son dos maneras de observar
el mismo fenómeno".
Capítulo
13
El campo magnético en varias
situaciones
En este capítulo se desentrañara un gran misterio concerniente a la simetría
propuesta entre la electricidad y el magnetismo estáticos: ¿es posible que exista
un análogo magnético para el potencial escalar, visto anteriormente, del cual
se puedan obtener expresiones lo más general posible para los campos magnéticos? Sí, no, ¿porqué? Todo esto se sabrá gracias a la utilización de poderosas
herramientas matemáticas.
13.1.
¿Un Potencial Vectorial?
En general, magnetostática tiene sabor a corrientes constantes. Y esto es
importante porque las expresiones que describen a los fenómenos estáticos del
magnetismo son las ecuaciones de Maxwell vistas antes:
~ =0
∇·B
~
~ = j
c2 ∇ × B
0
Ahora bien, si tenemos las ecuaciones, ¿cuáles son sus soluciones? esto es,
¿cuáles son las expresiones para el campo magnético B que dan dichos resultados? A dicho objetivo, le agregamos los gustosos que somos en complicarnos
la vida, para que valga en verdad la pena, buscaremos aquellas soluciones que
sean independientes de cuestiones un tanto triviales como pudiera ser el caso
de simetrías -el acomodo ordenado de corrientes- o aquellas otras de simple
97
98CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
intuición -que con ver el problema ya sepamos una posible solución- Nos arriesgaremos a buscar algo que generalice de manera extensa todas las soluciones,
para que así puedan existir los ya famosos casos especiales. Vayamos por partes.
Empecemos analizando la ecuación
~ =0
∇·B
En electrostática vimos que como el rotacional de E era siempre cero, por
artilugios del cálculo vectorial de los primeros capítulos era posible representar
al dicho campo E como el gradiente de un campo escalar φ. ¿Qué pasa con
lo magnético? Pues que la ecuación arriba mencionada indica que B está en
términos de un rotacional, sólo así, la divergencia de un rotacional es cero
siempre, en otras palabras, que podemos relacionar al campo magnético B
con otro campo, al que lo bautizamos con la letra A, de tal manera que si
proponemos como solución:
~ =∇×A
~
B
entonces
~ = ∇ · (∇ × A)
~ =0
∇·B
cumple satisfactoriamente.
Dado que el rotacional de dos vectores da un vector, escribimos las componentes vectoriales:
~ x = ∂Az − ∂Ay ,
Bx = (∇ × A)
∂y
∂z
~ y=
By = (∇ × A)
∂Ax
∂Az
−
,
∂z
∂x
~ z = ∂Ay − ∂Ax
Bz = (∇ × A)
∂x
∂y
Y como en el caso eléctrico, al campo bautizado como A le llamamos Potencial Vectorial de B. El hecho de que tenga el adjetivo de vectorial proviene
de su naturaleza en las ecuaciones: fue propuesto como un vector, no puede ser
~ es propia entre vectores. Las cosas
un número solamente, la operación ∇ × A
se complican.
Siguiendo con las analogías eléctricas, se había encontrado que si teníamos
un potencial escalar φ para un problema específico, podíamos encontrar siempre
otro potencial φ0 igualmente útil agregando solamente una constante:
13.1. ¿UN POTENCIAL VECTORIAL?
99
φ0 = φ + C
¿Cómo es posible que se obtengan los mismos resultados? Pues claramente
al momento de obtener divergencias, ∇C es igual a cero (la derivada de un
vector constante), por lo que φ y φ0 son iguales. Esta propiedad matemática
tan simplona pero tan fundamental, ¿se hereda al nuevo potencial vectorial A?
¡Claro! Y se ve en el hecho de que como B se obtiene de A por diferenciación,
si le agregamos una constante ¡no pasa absolutamente nada! Ahora bien, existe
más por explotar en este ambiente. ¿Qué pasa si en lugar de agregarle una
simple e inocente constante, le agregamos el gradiente de algún campo escalar?
¿alterará la física? ¿obtendremos resultados diferentes? Despejemos dudas.
Comencemos con un potencial vectorial A que sea el artífice de un campo
B en determinada situación y nos preguntamos ahora bajo qué condiciones,
otro potencial vectorial A’, da el mismo campo magnético B. Entonces:
~ =∇×A
~0 = ∇ × A
~
B
por lo tanto
~0 − ∇ × A
~ = ∇ × (A
~ 0 − A)
~ = 0.
∇×A
Eureka! Si el rotacional de un vector es cero entonces debe ser el gradiente
de algo, como por ejemplo, de algún campo escalar ψ -esta película ya se vio,
ya que fue el argumento para encontrar al propio potencial vectorial A- . Así
~0 − A
~ = ∇ψ, lo que significa que si tenemos un A que cumpla para un
que A
problema, entonces para cualquier ψ
~0 = A
~ + ∇ψ
A
y A’ también cumple, para el mismo campo B. Por el momento, no confundir ∇ψ con el campo escalar eléctrico φ, ∇ψ es cualquier campo escalar.
A estas alturas, ¿quedan más trucos matemáticos por ver? Pues ahora presenciaremos nada más y nada menos que una cirugía operacional matemática
estilo trasplante de corazón. El hecho de que hayamos deducido un potencial
vectorial implica que posea ciertas propiedades matemáticas y físicas. ¿Qué
propiedades debe cumplir A para que no altere lo que se ha encontrado? Podemos restringir las múltiples posibilidades escogiendo libremente y por conveniencia lo que en su caso, la propia divergencia de A deba ser. Libremente y
por conveniencia implica lógica y simplicidad, así por ejemplo, podemos decidir
que el potencial escalar eléctrico φ sea cero a muy grandes distancias -cero en
el infinito-; esto es simple, es lógico y funciona. Ahora bien, el que podamos
hacer y deshacer, jugar con las expresiones de A, radica en que A y A’ poseen
100CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
el mismo rotacional, o sea, que sus derivadas parciales son iguales. Operemos
~0 = ∇ · A
~ + ∇2 ψ. Quedamos que ψ puede ser cualquier campo, su
entonces:∇ · A
rotacional será cero de todos modos... entonces, ¿qué queda por escoger para
~ Estrictamente hablando, la elección debe ser tal que se consiga la mayor
∇ · A?
conveniencia matemática -esto es, que simplifique cálculos y nos ahorre gastos
en tinta y papel- y su versatilidad dependerá del problema que se trate. Para
magnetostática, se elige
~=0
∇·A
Pero cuando se aborde electrodinámica, se tendrá que cambiar de elección
porque sencillamente, emphno conviene.
Resumiendo:
~=B
~
∇×A
~=0
∇·A
Teniendo juguete nuevo, invitemos unos cuates a jugar. Hagamos un ejemplo
sobre lo que es el potencial vectorial para un campo B0 que tiene dirección sobre
el eje z.
De acuerdo con la expresión B = ∇×A = B0 las derivadas parciales quedan:
~ x = ∂Az − ∂Ay = 0
Bx = (∇ × A)
∂y
∂z
~ y=
By = (∇ × A)
∂Ax
∂Az
−
=0
∂z
∂x
~ z = ∂Ay − ∂Ax = B0 .
Bz = (∇ × A)
∂x
∂y
Obsérvese que una posible solución es que
Ay = xB0 ,
Ax = 0
Az = 0
pero también podría ser que
Ax = −yB0 ,
Ay = 0
Az = 0
aún así, podemos hacer una combinación lineal de las dos anteriores soluciones y continúa siendo solución (linealidad de la solución)
1
Ax = − yB0 ,
2
Ay =
1
xB0
2
Az = 0.
13.1. ¿UN POTENCIAL VECTORIAL?
101
Figura 13.1: Un campo mangético uniforme B en la dirección del eje x corresponde a un potencial vectorial A que rota alrededor del eje z con una magnitud
A = Br0 /2/ donde r0 es el desplazamiento del eje z
Nótese que para un campo magnético B en particular, existen varias posibilidades para el potencial vectorial A. Ahora bien, la tercera solución tiene
un trasfondo interesante: las componentes x y y de A son proporcionales a −y
y a x, respectivamente, por lo que debe ser tangente al vector r0 que viene
desde el origen -no confundir con el vector rpde posición- entonces queda que
la magnitud del potencial es proporcional a x2 + y 2 y por lo tanto, A puede
ser escrito como
A=
1
B × r0
2
Para este ejemplo, el potencial vectorial rota alrededor del eje z, ver la
figura 1. Si estuviéramos hablando del campo generado dentro de un solenoide,
el potencial vectorial circularía en la misma dirección que lo hace la corriente.
Esta deducción un tanto geométrica se puede obtener de otra manera. Recurriremos al cálculo afirmando que la circulación de A sobre cualquier trayec-
102CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
toria cerrada Γ puede ser relacionada a una integral de superficie de acuerdo
con el teorema de Stokes:
Z
I
~ · d~s =
~ · d~s
A
(∇ × A)
superf icie de Γ
Γ
Pero como B = ∇ × A, la integral queda:
I
Z
~ · d~s =
A
Γ
~ · d~s
B
superf icie de Γ
el término de la derecha corresponde al flujo de B, así que la circulación de
A alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual al flujo de B a través de
dicha trayectoria. Una muy útil expresión. ¿Qué pasa si tomamos una trayectoria circular de radio r0 ? Pues que el flujo es
0
πr 2 B
y si ponemos al origen como eje de simetría, la circulación de A sobre la
trayectoria circular queda
I
~ · d~s = 2πr0 A = πr0 2 B
A
Simplificando obtenemos
A=
Br0
2
igual que el resultado anterior.
Conclusión: en este primer ejemplo se calculó el potencial vectorial a partir
del campo magnético, hecho que es totalmente opuesto a lo que usualmente se
hace ya que para casos más complicados -menos bonitos, más reales- es usual
resolver el potencial vectorial y a partir de allí encontrar al campo magnético.
En la siguiente sección se verá más a fondo cómo se hace y se darán unos
ejemplos.
13.2.
Por otro camino
Ahora trabajaremos con la otra ecuación de Maxwell para el magnetismo
estático que relaciona al campo magnético B con la densidad de corriente j.
~
~ = j.
c2 ∇ × B
0
13.2. POR OTRO CAMINO
103
El potencial vectorial A también estará en función de la corriente, ya que
proviene de B, por lo que nuestro objetivo es encontrar una expresión para A
que lo relacione con las corrientes.
¿Por dónde empezamos? Pues, por lo que sabemos: B = ∇ × A
~
~ = j
c2 ∇ × (∇ × A)
0
Viene a nuestra mente el caso electrostático:
∇ · ∇φ = −
ρ
0
que es otra de tantas analogías magnético-eléctricas.
Recordando la identidad vectorial
~ × (B
~ × C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − (A
~ · B)
~ C
~
A
Sustituimos en la ecuación (14) y obtenemos
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∇2 A
~
∇ × (∇ × A)
¿Y que hacemos ahora? Bien, pues como anteriormente se escogió ∇×A = 0
(ahora se ve bien por qué) la ecuación anterior se transforma a
~=−
∇2 A
~j
0 c2
¡Toda una fiera! Esta ecuación vectorial encapsula tres ecuaciones -una por
componente- así
∇ 2 Ax = −
jx
,
0 c2
∇ 2 Ay = −
jy
,
0 c2
∇ 2 Az = −
jz
0 c2
Ahora, estas ecuaciones son matemáticamente idénticas a la ecuación de
Poisson electrostático:
∇2 φ = −
ρ
0
la cual, si se conoce la densidad de carga ρ, tiene como solución
Z
1
ρ(2)dv2
φ(1) =
4π0
r12
Así que inmediatamente deducimos una solución para la componente x del
potencial vectorial:
104CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
Z
1
jx (2)dv2
2
4π0 c
r12
El principio usado es que la misma componente x del potencial vectorial A
que emerge de una densidad de corriente j es la misma que el potencial eléctrico
φ que podría ser producido por una densidad de carga ρ = ~j/c2 , igualmente
para las otras componentes.
Similarmente para la componente Ay y Az por lo que la forma vectorial
queda:
Ax (1) =
Z ~
1
j(2)dv2
4π0 c2
r12
Esta ecuación corresponde un paso para encontrar el campo magnético B,
ya que con saber las densidades de corrientes, encontramos el potencial en cada
componente, luego aplicamos la expresión ∇ × A = B y hemos terminado.
Advertencia: Este camino de análisis y deducción de expresiones para
encontrar un método que relacione densidad de corriente-potencial vectorialcampo magnético tiene una muy ligera sutileza. Recuerdo claramente cómo en
un problema visto en clase, se llegó a dos resultados completamente diferentes
para encontrar el potencial vectorial: utilizando la ecuación (20) la integral se
iba a infinito mientras que el resultado tenía que ser algo finito -solución del
libro-. ¿Qué andaba mal si se suponía que se había encontrado una ecuación
confiable directamente de las ecuaciones de Maxwell?
Bueno, pues primeramente, la ecuación (20) no es para nada general. Dicha
ecuación es solución de la ecuación diferencial ecuación (17) que corresponde a
una ecuación de Poisson y que la solución de dicha ecuación dependerá de las
”condiciones de frontera” del problema, esto es, de las condiciones particulares
con las que se lleguen a trabajar. Así pues, un detalle importante que se pasa por
alto es que se da por hecho que en todos, absolutamente todos los problemas,
∇ · A = 0 en el infinito, cosa que no siempre es cierta y habrá que tener especial
atención en ello. Es cuestión de evaluar el potencial resultante antes de seguir
procediendo. Así pues, la ecuación general que llene el vacío intelectual que se
pudo haber creado será
~
A(1)
=
~=−
∇2 A
13.3.
~j
0 c2
Caso 1: Un alambre infinito
Poseemos ya útiles herramientas para calcular potenciales magnéticos. Revisaremos el ejemplo del alambre que lleva corriente utilizando el formalismo
13.3. CASO 1: UN ALAMBRE INFINITO
105
Figura 13.2: Un alambre infinito sobre el eje z con una densidad de corriente
uniforme j
que hemos encontrado en las expresiones antes mencionadas.
Imaginemos un alambre de 20 millones de kilómetros de largo, más o menos
infinito, que tiene radio A y que lleva una corriente uniformemente distribuida
I en su interior. Si escogemos el marco de referencia como en la figura; el vector
de densidad de corriente tendrá sólo componente z y su magnitud será, dada
la ecuación de para una corriente:
Z
I = ~j · d~a
entonces
I
πa2
dentro del alambre y cero fuera de el. Dado que jx y jy son cero, sus
integrales también lo son y por lo tanto, las componentes del potencial vectorial
Ax y Ay son ambas cero. ¿Qué pasó con Az ? Podemos recurrir a nuestro análogo
electrostático: pensemos en una densidad de carga ρ = jz /c2 sobre el alambre
y calculando el potencial eléctrico de ese mismo alambre obtenemos
jz =
106CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
λ
ln r0
2π0
p
Donde r0 es la magnitud de la distancia x2 + y 2 y λ es la carga por unidad
de longitud, o sea, λ = πa2 ρ. Así que Az debe ser
φ=−
Az =
πa2 jz
ln r0
2π0 c2
Pero como I = πa2 jz , tenemos que
Az =
I
ln r0
2π0 c2
Ahora podemos encontrar el campo magnético de la expresión B = ∇ × A,
que en componentes queda:
Bx = −
By =
I
∂
I
y
ln r0 = −
2π0 c2 ∂y
2π0 c2 r0 2
I
∂
I
x
ln r0 =
2
2
2π0 c ∂x
2π0 c r0 2
Bz = 0
Obtuvimos el mismo resultado para B que antes: el campo magnético está
alrededor del alambre en círculos con centro en el eje del alambre y posee
magnitud de
B=
13.4.
I 2I
2π0 c2 r0
Caso 2: Un solenoide infinito
En esta sección veremos el caso de un solenoide infinito con una corriente
circular sobre su superficie de nI por unidad de longitud (esto es, n vueltas de
alambre por unidad de longitud que transportan corriente I ).
Es preciso definir ahora una densidad de corriente superficial, ya que no
sólo tenemos un alambre con corriente, sino un arreglo del mismo alambre que
transporta la misma corriente, le acuñaremos el nombre J a dicha densidad y
pediremos que sea igual a la corriente por unidad de longitud sobre la superficie del solenoide -análogo eléctrico a la densidad de carga superficial σ0 - La
magnitud de J es nI y sus componentes, de acuerdo con la figura 3 son
13.4. CASO 2: UN SOLENOIDE INFINITO
107
Figura 13.3: Un solenoide infinito con una densidad de corriente superficial j
Jx = −J sin φ,
Jx = J cos φ,
Jz = 0
Ahora encontraremos el potencial vectorial de tal distribución de corriente.
Empezamos con el potencial vectorial fuera del solenoide. El resultado electrostático indica que para una carga superficial
σ = σ0 sin φ
Con σ0 = J/c2 , el potencial eléctrico es proporcional a ln r0 . Si nos movemos
en la dirección del eje y vemos que
φ∝
y
∂ ln r0
= 02
∂y
r
Así que la componente Ax del potencial vectorial es
y
r0 2
Donde K es alguna constante que por el momento no nos interesa calcular.
Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que
Ax = −K
108CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
x
r0 2
Pero surge una cuestión delicada: anteriormente se había dicho que no puede
existir campo magnético fuera de un solenoide, para este potencial que se acaba
de encontrar, ¿su rotacional será cero?
Dado que el campo magnético de un solenoide apunta hacia arriba, no posee
componentes Bx ni By , entonces son ambas cero, quedando
Ay = −K
Bz =
∂
x
∂
y
(K 0 2 ) −
(−K 0 2 )
∂x
r
∂y
r
1
2x2
1
2y 2
)=0
02 −
04 +
02 −
r
r
r
r0 4
Así que el campo magnético de un solenoide infinito sigue siendo cero, ¡aún
cuando su potencial vectorial no lo sea! Sorprendente.
Ahora podemos checar algo más: de acuerdo con la ecuación (12)
Z
I
~ · d~s
~ · d~s =
B
A
= K(
Γ
superf icie de Γ
tomando una trayectoria circular y como previamente se vio que el campo
magnético dentro de un solenoide es nI/0 c2 entonces
A · 2πr0 = πa2
nI
0 c2
Pero arriba vimos que
~ = −K y0 + K x0
A
r2
r2
~ =
|A|
r
y
x
k p
(−K 0 2 )2 + (K 0 2 )2 = 0 2 x2 + y 2
r
r
r
A=
K
r0
Por lo que
2πK = πa2
K=
nI
0 c2
nIa2
20 c2
13.5. CASO 3: UN CIRCUITO PEQUEÑO
109
Figura 13.4: Un loop rectangular de alambre con corriente I. Se encontrará una
expresión para el campo magnético en el punto P
Así que el potencial vectorial fuera del solenoide tiene magnitud
A=
nIa2 1
20 c2 r0
Y siempre es perpendicular al vector r0 .
13.5.
Caso 3: Un circuito pequeño
Pensemos en que, por azares del destino, tenemos sobre nuestra mesa de
trabajo un pequeño rectángulo de alambre por el cual circula una corriente
eléctrica constante en dirección contraria a las manecillas del reloj. Después de
pasar horas vislumbrando tan maravilloso objeto, obra del intelecto humano,
surge en lo más profundo de nuestra mente la cuestión de que si ahora mismo
estuviéramos en la luna, ¿qué sería del campo magnético producido por ese
loop de corriente?
Unos minutos más tarde, ya que hayamos salido de tal descomunal trance
filosófico, escogemos un sistema de coordenadas como el mostrado en la figura 4
y apreciamos que pase lo que pase, no habrá componentes del potencial vectorial
en la dirección del eje z. Apelamos a nuestro espíritu científico de observación
por tal importante descubrimiento y volvemos a la mesa de trabajo. Es entonces
cuando recordamos que en nuestra libreta de apuntes de electrostática vimos
que el potencial entre dos alambres cargados es
φ=
1 p · eR
4π0 R2
110CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
Notamos que p es el momento dipolar de la distribución de carga y que
para este caso, es igual a la carga total sobre uno de los alambres multiplicada
por la separación entre ellos:
p = λab
Figura 13.5: La distribución de jx en el
loop de corriente
φ=−
¡Genios! La misma expresión se
puede usar para corrientes ya que como se ve en la figura la solución para
la componente Ax del potencial vectorial consiste en poner el momento
dipolar en función de la corriente que
pasa sobre los dos alambres paralelos
al eje x.
Guardamos silencio un poco y pensamos: en todo momento, dicho momento dipolar apunta hacia donde
esta la carga positiva ver figura 5),
así que aquí apuntará hacia el eje y
negativo... por lo tanto, el coseno del
ángulo entre la distancia R a un punto cualquiera P y el vector del momento dipolar es, por trigonometría,
igual a−y/R, así que
1 λab y
4π0 R2 R
Casi estamos, sólo falta poner a la carga total lambda en función de la
corriente, que como se vio al iniciar el capítulo, es igual a λ = I/c2 (recordar
ρ = j/c2 )
Ax = −
Iab y
4π0 c2 R3
Fantástico, ahora, por el mismo razonamiento, tiene que ser que:
Ay = −
Iab x
4π0 c2 R3
No cabe duda que nos esta brillando la mente. Notamos enseguida que Ay
y Ax son proporcionales a x y a y si tomamos la magnitud del potencial, por lo
13.5. CASO 3: UN CIRCUITO PEQUEÑO
111
Figura 13.6: El vector potencial de un pequeño circuito en el origen (en el plano
xy) da el campo dipolar magnético
que a grandes distancias -como originalmente queremos, en la luna- el potencial
vectorial gira alrededor del eje z en el mismo sentido que la corriente I (ver
figura 6)
¿Qué otras sorpresas nos tiene la vida? La intensidad de A es proporcional
a la cantidad Iab, que no es otra cosa que el momento dipolar magnético
representado por
µ = Iab
Y en general, el momento dipolar de cualquier forma que un loop pudiera
tener esta dado por
µ = I(area del loop)
¿Qué nos falta para sentirnos plenos en la vida? Podemos poner nuestra
ecuación del potencial vectorial en forma meramente vectorial, así al menos
garantizamos estética: definimos nuestro momento magnético -momento dipolar magnético- que sea normal al plano del loop, positivo apuntando hacia
arriba, por lo tanto
112CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
~=
A
~
1 µ
~ ×R
1 µ
~ × e~R
=
4π0 c2 R3
4π0 c2 R2
Ya hemos encontrado la expresión que buscábamos, ahora, a encontrar el
campo magnético generado:
~ =∇×A
~
B
Por componentes,
Bx = −
By =
Bz =
∂
µ
x
µ 3xz
=
2
3
∂z 4π0 c R
4π0 c2 R5
µ
y
µ 3yz
∂
(
)=
2
3
∂z 4π0 c R
4π0 c2 R5
∂
µ
x
∂
µ
y
(
)−
(−
)
2
3
2
∂x 4π0 c R
∂y 4π0 c R3
=
µ
1
3z 2
( 3− 5 )
2
4π0 c r
r
Al terminar de ver ciento ochenta y cuatro veces tales expresiones, estamos
convencidos que las componentes de B se parecen mucho a las ecuaciones de
un dipolo eléctrico orientado sobre el eje z. ¡Claro, por eso le llamamos dipolo
magnético!
Cabe señalar, que estrictamente, la palabra dipolo no tiene mucho sentido,
si contrastamos el hecho para el caso magnético, no existan polos asociados
a cargas como en el caso eléctrico, en sí, el campo dipolar magnético no es
producido por dos cargas sino por un arreglo geométrico elemental de corriente.
¡Qué curioso que comenzando con dos leyes totalmente diferentes
~ = ρ
∇·E
0
~ =
∇×B
~j
0 c2
terminemos con la misma especie de campo! ¿Por qué debería de ser?
13.6. EL POTENCIAL VECTORIAL DE UN CIRCUITO (OTRA VEZ) 113
Figura 13.7: Para un alambre fino, j dv es lo mismo que I ds
13.6.
El Potencial Vectorial de un circuito (otra vez)
¿Qué pasa con el potencial vectorial para un circuito cualquiera? A primera
vista nos interesa el comportamiento a grandes distancias, esto es, lo que pasa
cuando el diámetro del circuito sea mucho muy menor comparado con las dimensiones de todo el sistema -la distancia a la que se mide- así pues, se podrán
simplificar las ecuaciones para el campo magnético.
Si estamos trabajando con elementos de circuito en forma de alambres,
conviene cambiar o reescribir el diferencial de volumen a
dV = S ds
donde S es el área de la sección transversal del alambre y ds es el elemento
diferencial de distancia en el alambre (ver figura 7). Como la densidad de corriente se traslada por dicho alambre, tendrá la misma dirección que el diferencial
ds, por lo que
j dV = jS ds
R
pero es precisamente jS lo que llamamos corriente I (recordar que I =
j da = jS) por lo que la integral para el potencial vectorial se convierte en
Z
1
I ds
A(1) =
4π0 c2
r12
(ver figura 8) Para este ejemplo asumimos que I es la misma a través del
circuito, pero si llegaran a existir varios lazos dentro del mismo con diferente
corriente, debemos usar la corriente apropiada en cada parte del circuito.
114CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
Figura 13.8: El campo magnético de un alambre puede ser obtenido de una
integral alrededor del circuito
13.7.
Les fabuleux Biot et Savart
En la vida hay cosas buenas y malas, caminos cortos y caminos largos, como
por ejemplo, el camino largo y tortuoso que utilizó Caperucita Roja para llegar
a la casa de su abuelita mientras que el lobo se fue por el camino corto y llegó
antes que ella, lo demás claro, es puro cuento. En electrostática, para saber el
campo eléctrico de una distribución conocida de cargas utilizamos la expresión
Z
ρ(2)e12 dV2
1
E(1) =
2
4π0
r12
que en realidad es más trabajo ya que para evaluarla, ésta esconde tres
integrales, una por cada componente, mientras que otro camino puede ser el
de integrar el potencial y luego tomar su gradiente.
Existe en la teoría electrostática, una expresión similar que relaciona campos magnéticos con corrientes eléctricas en una sola ecuación. De la fórmula
del potencial vectorial y la densidad de corriente
~
A(1)
=
1
4π0 c2
Z ~
j(2)dv2
r12
tomamos el rotacional en ambos lados y obtenemos
~ = ∇ × A(1)
~
B
=∇×[
1
4π0 c2
Z ~
j(2)dv2
]
r12
Ya sabemos hacer cirugías operacionales, por lo que hay que tener cuidado
en que el operador rotacional trabaje sólo con las coordenadas del punto 1, esto
13.7. LES FABULEUX BIOT ET SAVART
115
es, con (x1 , y1 , z1 ), por lo que podemos introducir ∇× dentro de la integral si
respetamos tales variables
r12 = [(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 ]1/2
Así, para la componente Bx tenemos
Bx =
=
1
4π0
Z
[jz
∂Ay
∂Ax
−
∂y1
∂z1
(13.1)
∂
1
1
∂
(
) − jy
(
)]dV2
∂y1 r12
∂z1 r12
(13.2)
=−
1
4π0
Z
[jz
y1 − y2
z1 − z2
− jy
]dV2
3
3
r12
r12
(13.3)
La cantidad entre corchetes corresponde a la componente x de
~j × e~12
~j × r~12
=
3
2
r12
r12
Si hacemos lo mismo para las otras dos componentes restantes, tenemos
~
B(1)
=
1
4π0 c2
Z ~
j × e~12
dV2
2
r12
Ahora bien, si las corrientes existen solamente en circuitos de pequeños
alambres -un caso especial- podemos hacer el truco de la sección pasada reemplazando j dV por I ds, donde ” ’ds” ’ es un elemento diferencial de longitud de
alambre, por lo tanto
Z
1
I e~12 × ds~2
~
dV2
B(1)
=−
2
4π0 c2
r12
El signo menos aparece porque se intercambió el orden del producto cruz,
ya que este es no-conmutativo. Ésta ecuación para B es la famosa ley de Biot
& Savart, debida a sus descubridores franceses -allá por principios de los 1800y da una fórmula para obtener directamente campos magnéticos producidos
por alambres que llevan corrientes.
Conclusión: ¿Cuál es la ventaja de usar el potencial vectorial si podemos
encontrar B directamente con una integral vectorial? Después de todo, el potencial también involucra ¡tres integrales! Analizando la situación, vemos que
debido al producto cruz dentro de la ley de Biot- Savart, éstas integrales son
un tanto más complicadas como lo evidencia la ecuación (31) Además, como
116CAPÍTULO 13. EL CAMPO MAGNÉTICO EN VARIAS SITUACIONES
algunas de las integrales para el potencial vectorial poseen análogo electrostático, como se vio en los tres ejemplos de casos especiales, prácticamente sabemos
todo. Y para finalizar con este dilema, como se verá en cuestiones más avanzadas dentro de la física -relatividad, mecánica teórica, mecánica cuántica- el
potencial vectorial juega un papel importante, así que conviene familiarizarnos
con él.
Capítulo
14
El potencial vectorial
14.1.
Las fuerzas sobre un lazo de corriente; energía de
un dipolo
Un lazo de corriente además de producir campos magnéticos también sufre
fuerzas cuando se ubica en el campo magnético de estas corrientes; veremos
primero las fuerzas sobre un lazo rectangular en un campo magnético uniforme,
para ello consideraremos el eje z en la dirección del campo y que el plano del
lazo contenga al eje y formando un ángulo θ con el plano xy como en la figura.
No hay una fuerza resultante sobre el lazo cuando el campo es uniforme
porque como las corrientes son opuestas en lados opuestos del lazo, las fuerzas
también lo son. Debido a las fuerzas sobre ambos lados del lazo hay un torque
que tiende a rotar el lazo al rededor del eje y, el módulo de dichas fuerzas es
F1 = F2 = IBb
El brazo del momento es es
a sin θ
,
por lo tanto el torque es
τ = Iab B sin θ
o, puesto que Iab es el momento magnético del lazo,
τ = µB sin θ
117
118
CAPÍTULO 14. EL POTENCIAL VECTORIAL
Figura 14.1: Lazo rectangular recorrido por la corriente I ubicada en un campo
~ (en la dirección z). El torque sobre el lazo es ~τ = µ
~ donde el
uniforme B
~ × B,
momento magnético es µ = Iab.
En forma vectorial:
~
~τ = µ
~ ×B
.
El principio de los trabajos virtuales dice que el torque es la derivada de la
energía con respecto al ángulo, es decir,
dU = −γ dθ
por la definición de τ e integrando, podemos escribir la energía
U = −µB cos θ + una constante.
El signo es negativo porque el torque tiende a a linear el momento con el
campo. Esta es sólo una parte de la energía, llamaremos a esta energía Umec
para recordar que es solo una parte de la energía, así
14.1. LAS FUERZAS SOBRE UN LAZO DE CORRIENTE; ENERGÍA DE
UN DIPOLO
119
~ perFigura 14.2: Un lazo se desplaza en la dirección x a través del campo B,
pendicular a x.
~
Umec = −~
µ·B
Y nuevamente hay correspondencia con nuestro resultado para un dipolo
eléctrico:
~
U = −~
p·E
La energía electrostática de esta última ecuación es ahora la energía verdadera, pero Umec no es la energía real, sin embargo puede ser utilizada para
calcular las fuerzas, por el principio de los trabajos virtuales, suponiendo que
la corriente en el lazo se mantiene constante (o por lo menos µ).
Ahora imaginemos que queremos mover el lazo en la dirección x -hacia la
región de campo más intenso- y que el lazo está orientado como se muestra en
la siguiente figura:
Partimos de un lugar en el que el campo es nulo e integramos el producto
de la fuerza por la distancia recorrida al introducir el lazo dentro del campo. Primero vamos a calcular el trabajo efectuado sobre cada lado de manera
120
CAPÍTULO 14. EL POTENCIAL VECTORIAL
aislada y después hacemos la suma. Las fuerzas de los lados 3 y 4 son perpendiculares a la dirección y de movimiento y, por lo tanto, no realizan trabajo
alguno. Sobre el lado 2 la fuerza esIbB(x) en la dirección de x, y para obtener
el trabajo realizado contra las fuerzas magnéticas hay que integrar desde un
cierto x donde el campo sea nulo, por ejemplo x = −∞, hasta x2 , es decir, la
posición actual:
x2
Z
W2 = −
Z
x2
F2 dx = −Ib
B(x) dx
−∞
−∞
el trabajo realizado sobre el lado 1 es
Z
x1
W1 = −
Z
x1
F1 dx = Ib
−∞
B(x) dx
−∞
Como el lado uno y el lado 2 son iguales, su integral contiene todo el trabajo
realizado sobre el lado 2. La suma de a y b es
Z
x2
W = −Ib
B(x) dx
x1
.
Pero si estamos en una región donde B es casi igual en los dos lados, la
energía mecánica total que hemos proporcionado es
Umec = W = −Iab B = −µB
14.2.
Las energías mecánica y eléctrica
Imaginemos que el lazo de la figura anterior se mueve en dirección positiva
~ Los electrones en el lado 2
del eje x y tomemos el eje z en la dirección de B.
experimentan una fuerza a lo largo del alambre en la dirección y. Pero debido
a que fluyen no hay componente de su movimiento en la misma dirección de la
fuerza. Por lo tanto cada electrón recibe por segundo un trabajo igual a Fy vy ,
donde vy es la componente de la velocidad de los electrones en la dirección del
alambre. Se llama trabajo eléctrico a este trabajo realizado sobre los electrones.
Este nos dice que si el lazo se mueve en un campo uniforme, el trabajo eléctrico
total es cero, puesto que se realiza un trabajo positivo en algún lugar del lazo
y la misma cantidad de trabajo negativo se realiza en el otro. La energía total
es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo.
Ahora supongamos un sistema completo como en la siguiente figura, en el
que movemos nuestro lazo con la corriente I1 dentro del campo magnético B~1
14.3. LA ENERGÍA DE LAS CORRIENTES ESTACIONARIAS
121
Figura 14.3: La energía de un lazo pequeño en un campo magnético.
producido por la corriente I2 en una bobina. Pero la corriente I1 en el lazo crea
igualmente un campo magnético B~2 donde se encuentra la bobina.
Si el lazo se desplaza, el campo B~2 varía.Cuando movemos el lazo hacia la
bobina fija sabemos que su energía eléctrica es precisamente igual y opuesta al
trabajo mecánico realizado. Entonces
Umec + Uelect (lazo) = 0
Ahora supongamos que consideramos lo que sucede desde otro punto de
vista, en el cual el lazo está en reposo y la bobina se mueve hacia él.
Umec + Uelect (bobina) = 0
La energía mecánica es la misma en los dos casos porque se debe a la fuerza
entre los dos circuitos. La suma de las dos ecuaciones da
2Umec + Uelect (lazo) + Uelect (bobina) = 0.
La energía total del mundo es realmente menos Umec . Si deseamos la energía
verdadera de un dipolo magnégtico por ejemplo, debemos escribir
~
Utotal = +~
µ · B.
Si calculamos artificialmente sin tener en cuenta que la duente de potencial
debe suministrar trabajo para mantener el voltaje constante, obtenemos la
respuesta correcta. Esto es exactamente análogo a la cituación que se presenta
en magnetostática.
14.3.
La energía de las corrientes estacionarias
Podemos hallar la energía de un circuito de cualquier forma imaginándonos
que está formado por pequeños lazos de corriente. Supongamos que tenemos
122
CAPÍTULO 14. EL POTENCIAL VECTORIAL
un alambre de la forma de un lazo dado. Este lazo limita una superficie S
la cual está dividida en pequeños lazos que se pueden considerar planos. Si
consideramos la corriente I circula por cada uno de los pequeños lazos, el
resultado neto debe ser el mismo que la corriente por el lazo dado, puesto
que las corrientes se anularán sobre todas las líneas internas del lazo mismo.
Físicamente, el sistema de pequeñas corrientes es indistinguible del circuito
original. La energía también debe ser la misma y es precisamente la suma de
las energías de los pequeños lazos. Si la superficie de cada pequeño lazo es ∆a,
su energía I∆aBn donde Bn es la componente normal a ∆a. La energía total
es
U=
X
IBn ∆a.
Pasando al límite para lazos infinitesimales la suma se convierte en integral
y
Z
U =I
Z
Bn da = I
~ · ~n da,
B
donde ~n es el versor normal para da.
~ = ∇×A
~ podemos relcionar la integral de superficie con una
Si ponemos B
de línea por Stokes:
Z
I
~ · d~s,
~ × A)
~ · ~n da = I A
I (∇
s
γ
donde ds es el elemento de línea a lo largo de γ. Tenemos así la energía para
un circuit de cualquier forma:
I
~ · d~s
U =I
A
circuito
~ como una especie de energía poPodemos considerar, si lo deseamos, a A
tencial de las corrientes en magnetostática.
14.4.
B versus A
Nos referiremos a un campo real como a toda aquella función matemática que utilizamos para evitar la idea de acción a distancia. Si tenemos una
partícula cargada en la posición P , la misma se ve afectada por otras cargas
ubicadas a cierta distancia de P . Un modo de describir la interacción es diciendo que las otras cargas crean ciertas condiciones en las proximidades de
14.5. EL POTENCIAL VECTORIAL Y LA MECÁNICA CUÁNTICA
123
P . Si conocemos esas condiciones, que describimos dando los campos eléctrico y magnético podemos determinar completamente el comportamiento de la
~ porque tiene una gran significación en
partícula. Los físicos han introducido A
la física. No solamente se relaciona con la energía de las corrientes, sino que es
también un campo físico real.en el sentido descrito anteriormente. En mecánica
clásica podemos escribir la fuerza sobre una partícula en la forma
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
de manera que dada la fuerza todo lo relativo al movimiento está deter~ = 0 aunque A
~ no sea nulo, tal como
minado. En cualquier región donde B
~ Por esto duen el exterior de una bobina, no hay efectos perceptibles de A.
~
rante mucho tiempo se pensó que A no era un campo real. Sin embargo se
puede demostrar que hay fenómenos donde interviene la mecánica cuántica
~ es en efecto un campo real en el sentido que ya
que muestran que el campo A
definimos con anterioridad.
14.5.
El potencial vectorial y la mecánica cuántica
Consideremos el experimento imaginario en el cual los electrones son difractados por dos rendijas, como se muestra en la siguiente figura.Los electrones,
aproximadamente todos de la misma energía, dejan la fuente y van hacia una
pared con dos rendijas estrechas. Detrás de la pared se instala una pantalla con
un detector móvil. El detector mide la cantidad por unidad de tiempo, que llamaremos I, de electrones que llegan a una pequeña región de la pantalla a una
distancia x del eje de simetría. La cantidad es proporcional a la probabilidad de
que un electrón solo que deje la fuente puede llegar a esa región de la pantalla.
Esta probabilidad presenta la distribución complicada que muestra la figura
y que se puede comprender como debida a la interferencia de dos amplitudes,
una por cada rendija. Si la distancia entre la pantalla y las rendijas es L y si
la diferencia de los caminos recorridos por los electrones que pasan por las dos
rendijas es a, la diferencia de las dos ondas dadas por
δ=
a
k
λ
Tomé k = 2π
donde λ es la longitud de onda de la variación espacial de
la amplitud de probabilidad. Para simplificar vamos a considerar solamente
valores de x mucho menores que L; y entonces podemos poner
a=
y
x
d
L
124
CAPÍTULO 14. EL POTENCIAL VECTORIAL
δ=
xd
.
Lk
Cuando x es cero, δ es cero; las ondas esán en fase y la probabilidad tiene
un máximo. Cuando δ es π, las ondas están desfasadas, interfieren en forma
destructiva y la probabilidad es un mínimo.
Lo que queremos es enunciar la ley que en la mecánica cuántica reemplaza
~ Será la ley que determine el comportamiento de
la ley de la fuerza F~ = q~v × B.
partículas en un campo electromagnético. Como lo que sucede está determinado
por las amplitudes, la ley nos debe decir cómo afecta las amplitudes la influencia
magnética; no hablamos más de la aceleración de una partícula. La ley es la
siguiente: la fase de la amplitud de llegar por una trayectoria cualquiera es
afectada por la prsencia de un campo magnético en una cantidad que es igual a
la integral del potencial vectorial a lo largo de toda la trayectoria por la carga
de la partícula dividida por la constanteR de planck. Esto es
~ · d~s
Variación magnética de la fase = ~q trayectoria A
R
q
Variación eléctrica de la fase = − ~ Φdt
Cuando se coloca el campo magnético la fase será
q
Φ1 = Φ1 (B = 0) +
~
Z
~ · d~s
A
(1)
Para un solenoide largo por el que circula una corriente de electrones hay un
~ dentro pero no fuera de la bobina, mientras que hay montones de A
~
campo B
circulando alrededor por fuera. Si creamos una situación en la cual los electrones
~
se encuentren solamente en el exterior de la bobina solamente donde hay A
existirá una influencia sobre el movimiento. Clasicamente esto es imposible.
~ para saber si por la bobina
Clásicamente la fuerza depende solamente de B;
circula corriente, la partícula la debe atravesar. Pero desde un punto de vista
cuántico pueden encontrar que hay un campo magnético dentro de la bobina,
andando a su alrededor, sin aproximarse jamás a ella.
14.6.
Lo que es verdadero para la estática y falso para la
dinámica
La ley de Coulomb es falsa y se debe usar solamente para la estática, la
~ + ~v × B)
~ es verdadera.
fuerza electromagnética (fuerza de Lorentz) F~ = q(E
~
Debemos abandonar la idea de que E es nulo en los conductores. Cuando los
campos son variables, las cargas en los conductores no tienen en general tiempo
de reacomodarse para anular el campo. Son puestas en movimiento pero nunca
14.6. LO QUE ES VERDADERO PARA LA ESTÁTICA Y FALSO PARA
LA DINÁMICA
125
Figura 14.4:
alcanzan el equilibrio. El único enunciado general es el siguiente: los campos
eléctricos en los conductores producen corrientes.
Capítulo
15
Corrientes inducidas
Éste es uno de los capítulos más exquisitos que se pueden haber leído del
libro. Aquí se lee una presencia más palpable de la magia de las ecuaciones de
Maxwell en contextos más ordinarios y terrenales, que en los capítulos siguientes será más formal pero para nada menos importante. Además, es en éste
donde se sugiere en un espacio de edición pequeño -me refiero al número de
páginas versus información - una gran cantidad de explicaciones y conocimiento básico sobre la naturaleza de algunos objetos de la vida diaria, que muy
probablemente saciarán la inquietud más básica del típico niño preguntón que
todos llevamos dentro. Disfruten.
15.1.
El motor que mueve al mundo
A principios del siglo XIX la revolución tecnológica moderna inició con los
descubrimientos sobre electricidad y magnetismo que condujeron al hecho de
que la corriente en un alambre produce un campo magnético y que dichas
corrientes en alambres producían fuerzas entre ellos. El quimerismo entre dos
fenómenos que por años se creían totalmente separados y opuestos, lograban
surgir como entes que al final se reducían en un todo gracias a las aportaciones
de siglos de teoría y descubrimientos que Maxwell encabezó en refinar. A eso se
le llama unificación. No pasó mucho tiempo para que éste significativo hecho
repercutiera de manera directa en la vida de las personas. Por ejemplo, se
comenzaron a diseñar motores eléctricos usando las fuerzas sobre las corrientes
en los alambres.
El principio electromagnético que impera es hermosamente simple. Imaginemos tener un imán que produce un campo constante sur-norte. Si en medio
127
128
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
Figura 15.1: Esquema de un motor eléctrico sencillo
de las dos puntas del imán colocamos un alambre conductor con forma de
cuadrado tal y como se muestra en la figura, cuando la corriente fluya a través
de él lo hará en opuestas direcciones -una cuando este arriba y otra cuando esté
abajo- por lo que las fuerzas tendrán signo opuesto, produciendo un torque
o fuerza perpendicular sobre el alambre en el eje mostrado (la dirección op~ como de
uestaRde los torques se ve tanto de la fuerza de Lorentz F~ = ~v × B
~
~
~
F = I(dl × B) Y voilà! Si conectamos dicho alambre que gira a engranes y
poleas, éstos hacen trabajo mecánico. . . !
Cabe señalar que para incrementar la potencia de giro en el alambre, ésta
es proporcional a la cantidad de vueltas que tenga. Así pues, para una corriente
eléctrica I basta con tener un arreglo de alambre enrollado para que la fuerza
aumente. Bajo este mecanismo de corrientes en alambres, torques y campos
magnéticos trabajan los galvanómetros que miden la corriente, los voltímetros
y amperímetros.
El asombro ante tales aparatos y descubrimientos condujo a mucha gente a
preguntarse si existía un camino inverso: ¿pueden corrientes eléctricas producir
15.1. EL MOTOR QUE MUEVE AL MUNDO
129
campos magnéticos? En aquella época, esto se tomó como un reto al intelecto,
un tipo de enigma que su resolución provocaría prestigio al osado que lo lograra.
Obviamente varios experimentos fueron realizados, pero en todos se hacía en
esencia lo mismo: colocar corrientes eléctricas e imanes juntos y estáticos, como
si esperaran que comenzaran una conversación sobre política o de chismes del
barrio. Las campanas se echaron al vuelo cuando en 1840 Faraday descubrió que
para que existan efectos eléctricos algo tenía que estar cambiando con el tiempo.
Aquí hago un paréntesis, para recalcar la profundidad de la oración pasada: el
hecho de que algo cambie con el tiempo da el inicio de la electrodinámica
que Faraday inicia experimentalmente y que Maxwell formalmente, en unos
capítulos más adelante, desarrollara en teoría allá en el 1865. Otra vez: la noción
de que algo cambie en el tiempo une a la electricidad con el magnetismo.
Pensemos en que tenemos dos alambres A y B, que llevan cada cual una
corriente eléctrica que cambia de intensidad en el tiempo, entonces una corriente es inducida en el otro alambre. O si un imán se mueve cerca de un circuito
eléctrico, entonces existe una corriente. Faraday acuñó el término inducción a
estos fenómenos. Visualicemos éste término en un ejemplo. Sobre una armazón
metálica colocamos una varilla horizontal que posee dos orificios, dentro de los
cuales colgamos abajo un alambre rectangular que hará el papel de columpio
y que arriba se conecten las entradas de un galvanómetro medidor de corriente. Justo en la base de la armazón colocamos un par de imanes que generen
un campo sur-norte constante y que le hagan sándwich a la base del alambre
rectangular, obviamente, con una cierta distancia de separación. Es entonces
cuando nuestra inquietud científica hace mover el alambre y para nuestra sorpresa, dilatamos las pupilas ante el registro de corriente en el galvanómetro.
¿Qué ha pasado? Recurramos a la expresión vectorial formal de fuerza magnética:
~
F~ = ~v × B
~ = 0 y q igual a la corriente. Cuando
que viene de la fuerza de Lorentz para E
el alambre rectangular está en el punto más alto de su energía potencial, esto
es, cuando lo tomamos de la mano y lo dejamos caer, los vectores velocidad
y campo magnético son perpendiculares entre sí, por lo que su producto cruz
genera un vector fuerza paralelo a la base del alambre. Ahora bien, la magnitud
de esa fuerza, ¿sobre qué actúa? Pues actúa sobre las partículas constituyentes
del alambre, en este caso, sobre los electrones y protones. Pero actúa con mayor
fuerza sobre primeros dada su ligereza. ¿Cómo se genera entonces la corriente
que se ve en el galvanómetro? Pues si dicha fuerza actúa sobre un electrón,
éste se mueve por acción, pero se topa con otro electrón vecino y por medio
de la repulsión eléctrica, uno mueve al otro, y éste a su vez, se topa con otro
130
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
Figura 15.2: Una bobina con corriente produce una corriente en una segunda
bobina siempre que la primer bobina se mueva o si su corriente cambia en el
tiempo
electrón vecino, y lo mueve, y así sucesivamente, hasta que electrones tenemos
una serie de electrones en movimiento, que eso, al final de cuentas, es corriente
señores . . . Una nota más: para ver qué tan lejos dichas fuerzas transportadas
por el alambre podían llegar, Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Weber colocaron
un alambre que cruzara toda la ciudad y en un extremo, conectaron baterías
mientras que en el otro, observaban al galvanómetro moverse. Extasiados y sin
saberlo, habían encontrado una manera de enviar señales a largas distancias e
iniciaron la era del telégrafo.
Ahora volvamos al ejemplo de arriba. Si dejamos al alambre rectangular
estático y en su lugar movemos los dos imanes simultáneamente, también se
producirá corriente. Pero para entender de dónde viene tal fuerza, tenemos que
recurrir a un argumento relativista ya que no se puede aplicar la ley de Lorentz,
tal y como observó Faraday.
Vayamos ahora un poquito más allá. Sustituyamos los imanes por alambres
enrollados como bobinas y solenoides cuyo campo magnético fluye internamente
y hagamos lo mismo. Si conectamos la bobina a una batería y la pasamos a
través de un alambre rectangular tal y como se ve en la figura, habrá una
corriente; pero si también movemos el alambre rectangular ahora cerca de la
bobina, igual habrá corriente. Pero lo trascendente ahora es de que, si en lugar
15.1. EL MOTOR QUE MUEVE AL MUNDO
131
de tener que mover una cosa o la otra, ponemos a alambre y bobina quietos,
pero hacemos cambiar la corriente dentro del solenoide, habrá un campo magnético variable que igualmente producirá una corriente. Al encender la bobina,
el galvanómetro registrará una corriente y se moverá hacia un lado, y cuando
se apague, registrará una corriente contraria y se moverá al inverso. Con estos argumentos podemos deducir una expresión matemática para las fuerzas
inducidas en los alambres. La fuerza generadora de la corriente puede actuar
sobre los electrones empujándolos en diferentes direcciones, pero se va por una
en particular -la paralela al alambre. Si contamos los empujes en esa dirección
en particular sobre todo el circuito obtenemos la llamada fuerza electromotriz
-abreviada emf - que corresponde a la fuerza tangencial por unidad de carga
en el alambre, integrada sobre la longitud de un circuito completo.
Z
emf = f~ · d~a
Faraday completó su descubrimiento al señalar que las emfs -con énfasis
especial en la e- pueden ser producidas en un alambre en tres maneras distintas:
moviendo el alambre, moviendo un imán cerca de un alambre o cambiando la
corriente en un alambre cercano.
Serendipia cultural: Volvamos al ejemplo de motor eléctrico y reemplacemos el hecho de que en lugar de que una corriente fluya por el alambre, ahora
sólo gire sobre su propio eje -por una fuerza externa, digamos, el pedalear de
la abuela. Dado que está metido en un campo magnético, en el alambre ahora
se produce una fuerza electromotriz, ya que lo que se mueve es propiamente,
el alambre y esto basta para inducir una corriente. El motor se ha convertido
en un generador de corriente.
A dicha corriente le corresponde una emf inducida que para calcularla recurrimos a la experiencia que Faraday -otra vez- tuvo al respecto: observó que la
fuerza electromotriz era igual a la razón de cambio del flujo magnético. Primeramente, la noción de flujo no es nueva, desde el capítulo de aplicaciones de la
Ley de Gauss conocimos que el flujo de algo está dado por la integral:
Z
F lujo de algo = algo · d~a
El producto punto involucra las componentes normales -perpendiculares- al
diferencial de área del campo magnético B mientras que la integral es la suma de
todas éstas. En el generador, cuando el alambre comienza a girar lo que cambia
en el tiempo en primera instancia es el área, por lo que el flujo de B aumenta
y disminuye, esta alternancia genera corrientes en direcciones contrarias cada
cierto tiempo, por lo que este tipo de generador es de corriente alterna. Existe
una equivalencia sustancial entre motores y generadores. Supongamos tener dos
132
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
motores de corriente directa, cuyas bobinas están conectadas a dos alambres
de cobre. Si al primero lo hacemos girar manualmente, el segundo se convierte
en un generador. Caso inverso, si hacemos girar la bobina del segundo motor
manualmente, éste se convierte en generador mientras que el otro se hace motor.
No se trata de un accidente, este hecho esta fuertemente relacionado con la
conservación de la energía.
Un ejemplo más real y cotidiano
de aparatos que pueden producir emfs
y responder a ellas son los teléfonos
normales, en particular los auriculares. Trabajan como sigue: un imán
genera un campo magnético sobre dos
balancines, que soportan a una delgada lámina de material conductor,
en un los balancines se enrollan alambres que hacen de bobina. Ver la figura de la izquierda. Cuando una onda
de sonido presiona sobre la lámina,
Figura 15.3: Esquema de un teléfono cambia la cantidad de campo magnético sobre los balancines lo que provoemisor y/o receptor.
ca una corriente sobre los alambres.
Si se conectan a otro aparato igual, la corriente cambiante produce un campo
magnético variable, lo que movería el disco de material conductor produciendo
sonido. Simple.
15.2.
Iluminación Inducida
Resumiendo hasta aquí, los descubrimientos de Michael Faraday obtuvo se
pueden escribir en la siguiente premisa: la corriente cambiante de un arreglo
de alambre -como una bobina- induce una fuerza electromotriz a una segunda
bobina.
Veamos lo siguiente: tenemos dos bobinas A y B que están enrolladas cada
una sobre un paralelepípedo hueco de hierro -esto se hace para concentrar las
líneas de campo dentro del solenoide-. Cuando la bobina A se conecta a un
generador de corriente alterna, el campo magnético producido es variable. Si
acercamos lo suficiente a la bobina B, la emf inducida puede llegar a ser tal que
¡¡logra encender un foco!!. La frecuencia de la emf inducida es la misma que la
del generador original y para incrementar la potencia de la emf -que también
puede verse como voltaje- basta con poner más vueltas en la bobina B (ya que
15.2. ILUMINACIÓN INDUCIDA
133
Figura 15.4: Dos bobinas sobre un núcleo de hierro forma un generador que
logra encender un foco sin conexiones directas
la emf en cada vuelta es la misma, y dado que la emf total es la suma de las
emfs separadas, muchas vueltas en serie producen una mayor emf!).
A tal arreglo de bobinas de diferente número de vueltas sobre un núcleo de
hierro se le llama transformador. Por otro lado, no conforme con afectar la
existencia de los demás, también existe una inducción propia en la bobina que
está conectada al generador. La corriente variable a la que es objeto la bobina
A produce un campo variable que induce una emf sobre la propia bobina. Ésta
ironía de la vida tiene nombre y se llama autoinductancia.
Falta un cabo suelto en todo este dilema. Cuando se vio que la emf era
equivalente a la razón de cambio del flujo de B, no se especificó su dirección.
Pero para la fortuna de la humanidad, Heinrich Emil Lenz, físico nacido en
Estonia descubrió que la naturaleza aborrece el cambio de flujo. Esto significa
que la fuerza electromotriz tratará siempre de oponerse a cualquier cambio de
flujo magnético, por ejemplo, en un alambre con corriente variable, existirá una
emf negativa que luchará por mantener dicha corriente constante, será opuesta
a la dirección de I cuando ésta incremente y estará en su dirección cuando I
decaiga. La analogía más próxima es que la emf actúa como la fuerza de inercia
que trata siempre de mantener un flujo constante, así como la inercia mecánica
134
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
trata de mantener la velocidad de un objeto constante.
15.3.
La fuerza que mueve al mundo
Una de las demostraciones más impresionantes
en electromagnetismo es el ring launcher de PASCO
o lanza-anillos pa0 los compas. Dicho aparato consiste en una bobina sobre un núcleo de hierro que
se conecta a la toma de corriente alterna y sobre la
bobina se coloca un anillo de material conductor como aluminio o cobre. Cuando se cierra el circuito, el
anillo es lanzado por los cielos con una fuerza tal que
bien puede sacarle el ojo a alguien. La explicación es
que antes de bajar el switch, el flujo de B es cero.
Después, aparece un flujo de B positivo hacia arriba, que induce una emf sobre el anillo. Por la ley
de Lenz, dicha emf conducirá una corriente con dirección tal que trate de cancelar el nuevo flujo. Esto
Figura 15.5: Un anil- significa que la corriente en el anillo será opuesta a
lo conductor es fuerte- la corriente de la bobina. Corrientes iguales se repemente repelido por un len por lo tanto, el anillo sale disparado. Pero nada
electroimán de corri- de esto pasa si sobre el anillo se hace una abertura
ente variable.
vertical de extremo a extremo, ya que la corriente
inducida no logra cerrar el circuito. Ahora bien, si
en lugar de un anillo colocamos un disco de aluminio o cobre sobre el mismo
electroimán, también será repelido. Pero el encanto de las sutilezas de la física
no llega ahí. Imaginemos un conductor que pinte en lo perfecto, a tal grado
que en su estructura interna no haya resistencia. Esto significa que una corriente que se genere sobre él, se quedará allí por siempre, ya que no se disipará
al no haber resistencia. ¿Qué pasa si lo acercamos a un campo magnético?
Pues que aparecen corrientes sobre el conductor, llamadas eddy currents o corrientes parásitas que generan un campo de tal intensidad que repelen al del
electroimán. Si tuviéramos un tazón de material perfectamente conductor y
colocamos en su centro una barra de imán, ésta flotaría. No hay materiales
así a temperatura ambiente, ya que en parte, la resistencia eléctrica es proporcional a la temperatura del material, pero si se bajan las escalas, aparece
el fenómeno de la superconducción. A 3,8◦ Kelvin, el estaño es un material
superconductor. Después de todo, si existe la levitación.
Pero dejemos de soñar un poco y bajemos a algo más terrenal. En un con-
15.3. LA FUERZA QUE MUEVE AL MUNDO
135
Figura 15.6: Una barra magnética suspendida sobre un tazón de material superconductor, debido a la repulsión de las corrientes parásitas.
ductor común y corriente como el propio aluminio, existen fuerzas generadas
por las corrientes parásitas y otras fuerzas, llamadas fuerzas de arrastre o sidewise forces. Estas fuerzas se visualizan en el siguiente experimento: tenemos
una lámina de aluminio suspendida por un alambre que oscila como péndulo y
que pasa enteramente por una región de campo magnético constante.
Al soltar la lámina, esta entrará a la región del campo e inducirá corrientes
parásitas que actuarán opuestas al cambio de flujo (lo que cambia es el área
en la zona del campo). Como el aluminio es conductor, existe cierta cantidad
de resistencia que mermará las corrientes de eddy con el tiempo, así pues, en
el momento de entrada de la lámina y en sucesivos instantes, la intensidad
del campo que se opone al cambio de flujo disminuirá, como si dicha lámina
entrara a un medio viscoso, hasta que finalmente se detiene. La intensidad y
geometría de las corrientes parásitas son muy sensibles a la forma de la lámina.
Si nos imaginamos una peineta en lugar de una lámina sólida, las corrientes
inducidas son mínimas y no hay fuerza de arrastre apreciable. Pero en general,
las corrientes parásitas ejercen una fuerte resistencia al movimiento.
Cambiemos un poco la configuración y en lugar de frenar una lámina soltándola de cierta altura para que se detenga en la zona de campo magnético, la
rotamos en dicha zona, habrá un torque que igual tenderá a detenerla. Ahora bien, si rotamos a un imán cerca de la lámina, ésta tenderá a seguir su
movimiento. La idea de tener un campo magnético que rote permite crear motores como los que hacen girar un ventilador de techo. Tenemos un arreglo
simétrico de bobinas sobre un anillo de hierro -toro-.
El campo magnético apunta en tal dirección como se ve en la figura, cuando
hay corriente sobre las bobinas 1 y 4. Si ahora encendemos las bobinas 2 y 5,
las líneas de campo apuntan de otra manera y si el proceso se hace continuo,
tenemos un campo magnético que rota. Para obtener la secuencia, conectamos
136
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
Figura 15.7: El frenado del péndulo muestra las fuerzas debido a las corrientes
de eddy o parásitas.
este especial arreglo de bobinas a una línea de poder trifásica, así cuando las
bobinas roten una unidad, su emf inducida será máxima en la bobina 1, luego
en la 2 y así sucesivamente. Por esta y más razones estos motores son muy
prácticos. Otro ejemplo de campos rotatorios consiste en poner sobre la mesa un
anillo magnético y arriba de él una lámina no-conductora sobre la cual descanse
un anillo de metal colgado de un hilo. Si giramos el anillo este mantendrá su
estado por algún tiempo. Suena a truco de magia pero es verdad.
15.4.
El mundo que Faraday no vio
Es un buen momento para reflexionar sobre lo increíble que ha pasado desde el tiempo de Faraday hasta ahora en materia de electricidad y magnetismo.
Vasta ver nuestro alrededor y proclamar que nuestra vida ya depende de ello.
Computadora, televisión, refrigeradores, cámaras digitales, equipo médico, comunicaciones, transporte, naves espaciales, todo esto en buena parte funciona
gracias a los fenómenos descritos en éste capitulo.
Feynman hace alusión a Faraday cuando le preguntaron, en una de sus
demostraciones públicas, sobre la utilidad de sus descubrimientos en materia
15.4. EL MUNDO QUE FARADAY NO VIO
Figura 15.8: Corriente parásita en un péndulo
Figura 15.9: Un campo magnético que gira
137
138
CAPÍTULO 15. CORRIENTES INDUCIDAS
Figura 15.10: El campo magnético rotatorio puede ser usado para proveer un
torque sobre un anillo conductor.
de cambios de flujo y emfs. Todo lo que había hecho era mostrar al mundo que
una débil corriente eléctrica era producida cuando él mismo movía un imán
cerca del alambre. ¿Qué uso podría tener? Bueno, pues su respuesta fue: ¿cuál
es el uso de un bebé recién nacido? Analicemos un poco.
El nacimiento de sus ideas provocó tal impacto que perduraron y repercutieron hasta nuestros días gracias a la inventiva de gente que trato de llevar
la teoría de algunos de los fenómenos electromagnéticos a la práctica, en objetos materializados que ayudaran al hombre en su vida cotidiana. Así pues,
un simple anillito de metal que gira inducido por un campo magnético rotatorio se convierte en enormes motores de potencia que alimentan con energía
a máquinas que mueven, producen y trasforman materias primas en utensilios comunes. El poder de la transformación se vio fuertemente ayudada por
la llegada de generadores, motores eléctricos. La ciencia detrás de una central
hidroeléctrica, el poder de transformar la energía de un cúmulo enorme de agua
en energía eléctrica que alimente a las ciudades actuales, esconde una historia
que nos lleva como prólogo a Faraday y sus descubrimientos. Pero también
realza el espíritu de los hombres que diseñaron y construyeron todas aquellas
maquinas que hacen posible lo posible: ingenieros y científicos prácticos. El
problema de cerrar huecos y hacer que las cosas funcionen de la manera más
practica no es sino ingeniería. Crear el arreglo perfecto de cobre y hierro que
15.4. EL MUNDO QUE FARADAY NO VIO
139
minimice pérdidas, para crear bloques inducidos con campos magnéticos, que
moverá bastos motores, que llevarán energía en líneas de transmisión, que se
aumentará y disminuirá en subestaciones hasta llegar a la lámpara de tu casa.
Éste es el poder de la ingeniería y del cuidado en el desarrollo de la tecnología
eléctrica. Cuando se vieron las leyes de inducción, hemos tendido un puente
entre la teoría y un enorme desarrollo práctico que conlleva. Los físicos sólo
proporcionan la base, los principios básicos que se aplicarán no importa en
qué.
La tecnología eléctrica moderna inició con los descubrimientos de Faraday.
El bebé inútil se convirtió en un niño prodigio que cambió la faz de la tierra en
maneras que su orgulloso padre jamás se hubiera imaginado.
Capítulo
16
Las leyes de la inducción
16.1.
La física de la inducción
(1) Una fem es inducida en un lazo si se varía el flujo variando el área del
~ pero sin cambio
circuito. (2) Cuando el disco gira hay una fem debido a ~v × B,
en el flujo enlazado. (3) Cuando las placas se mesen en un campo magnético
uniforme, puede haber una gran variación del flujo enlazado sin generación de
una fem. (4) ¿Rotará el disco si la corriente I se para?. (5) Un circuito con un
generador de Corriente Alterna y una resistencia.
En la figura (1) podemos ver un solo lazo de alambre cuyas dimensiones se
pueden cambiar. El lazo tiene dos partes; la parte (a) en forma de U fija, y un
travesaño (b) que se puede deslizar a lo largo de las dos partes de U . Siempre
hay un circuito completo, pero su área es variable. Coloquemos el lazo en un
campo magnético con el plano de la U perpendicular al campo. De acuerdo a la
regla, cuando el travesaño se mueve, debe haber en el lazo una fem proporcional
a la derivada respecto al tiempo del flujo através del lazo. Esta fem originará
una corriente en el lazo. Supondremos que existe en el alambre una resistenca
adecuada para que las corrientes sean pequeñas. Así podemos ignorar cualquier
campo magnético de estas corrientes. El flujo através del lazo es wLB de modo
que la regla del flujo daría para la fem
ε = wB
dL
= wBv
dt
donde v es la velocidad de traslación del travesaño.
¿Qué sucede si el lazo queda estático y el campo magnético varía? La regla de
flujo sigue siendo correcta, cualquiera que sea la razón por la que el flujo varíe.
141
142
CAPÍTULO 16. LAS LEYES DE LA INDUCCIÓN
Figura 16.1:
Las observaciones de Faraday condujeron al descubrimiento de que los campos
magnéticos y estáticos están relacionados por una ley nueva: en una región
donde el campo magnético esté variando con el tiempo, se generan campos
eléctricos. La ley general para el campo eléctrico está asociado con un campo
magnético variable es
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
Así, la regla de flujo -o sea que, la fem en un circuito es igual a la derivada
respecto al tiempo del flujo magnético através del circuito- servirá lo mismo si
la variación del flujo se debe a variación de campo o si el circuito se mueve (o
ambos). No sebemos de ninguna otra parte de la física donde un principio general simple y exacto requiera para su comprensión real un análisis en términos
de dos fenómenos diferentes.
16.2. EXCEPCIONES A LA REGLA DEL FLUJO
16.2.
143
Excepciones a la regla del flujo
~ puede existir en el espacio libre y su integral de línea al rededor
El campo E
de cualquier línea imaginaria fija en el espacio es la derivada respecto al tiempo
~ a través de esa línea. Veamos ahora una situación en la cual el
del flujo de B
flujo a través del circuito no varíe pero, sin embargo, existe una fem. La figura
(2) muestra un disco conductor que puede rotar sobre un eje fijo en la presencia
de un campo magnético. Un contacto se hace en el eje y el otro en la periferia
del disco. Se completa un circuito con un galvanómetro. Cuando el disco gira,
el çircuito", en el sentido del lugar en el espacio donde están las corrientes,
siempre es el mismo. Pero la parte del circuito en el disco está en el material
que se mueve. Aunque el flujo através del circuito es constante, hay una fem,
como se puede observar por la deflección del galvanómetro. Claramente, existe
~ en el disco en movimiento da lugar a una fem
un caso donde la fuerza ~v × B
que no se puede igualar a una variación de flujo.
Ahora vamos a ver una situación rara, un ejemplo opuesto, en el cual el
flujo a través de un circuito varía pero no hay fem. Imaginemos dos placas
metálicas conbordes ligeramente curvos, como se ve en la figura (3), colocadas
en un campo magnético uniforme perpendicular a sus superficies. Cada placa
está conectada a uno de los terminales de un galvanómetro, como se puede ver.
Las placas hacen contacto en un punto P , así que hay un circuito completo.
Si ahora las placas se mecen en un pequeño ángulo, el punto de contacto se
moverá hacia el punto P 0 . La regla del flujo no se aplica en este caso. Debe ser
aplicada a circuitos en los cuales el material del circuito no se altera. La física
correcta siempre está dada por las dos leye básicas
~ + ~v × B),
~
F~ = q(E
~
~ ×E
~ = − ∂B .
∇
∂t
16.3.
Aceleración de partículas por un campo eléctrico
inducido. El betatrón
Imaginemos un campo magnético que en todo punto de un plano señala
en dirección vertical. El campo magnético es producido por un electroimán,
pero no nos preocuparemos de los detalles. Imaginemos que el campo eléctrico
es simétrico con respecto a un eje. El campo magnético también varía con el
tiempo. Ahora imaginemos un electrón moviéndose en este campo magnético
en una trayectoria que es un círculo de radio constante con su centro en el
144
CAPÍTULO 16. LAS LEYES DE LA INDUCCIÓN
Figura 16.2: Generador de Van de Graaf
eje del campo. Debido al campo magnético variable, habrá un campo eléctrico
~ tangencial a la órbita del electrón, el cual hará que éste viaje alrededor del
E
~ y será acelerado por ella. El funcírculo El electrón sufrirá la fuerza eléctrica q E
cionamiento correcto de un betatrón necesita que el campo magnético promedio
dentro de la órbita aumente el doble de la papidez del campo magnético en la
órbita misma.
El acelerador de inducción magnética o betatrón, pertenece al grupo de
máquinas ideadas para acelerar partículas cargadas hasta elevadas energías.
Fue inventado en 1941 por Donald W. Kerst. El betatrón construido en 1945
aceleraba electrones hasta una energía de 108 eV.
El acelerador consistía en un tubo toroidal en el que se había hecho el
vacío, y se situaba entre las piezas polares de un electroimán. Los electrones
acelerados mediante una diferencia de potencial de unos 50.000 voltios por un
cañón electrónico, entraban tangencialmente dentro del tubo, donde el campo
magnético les hacía dar vueltas en una órbita circular de 5 m de longitud.
La fuerza centrípetra que ejerce el campo magnético, obliga a las partículas
a describir una órbita circular. El problema que surge en esta situación, es que
a medida que las partículas son aceleradas, se necesita un campo magnético
cada vez mayor para que las partículas describan una órbita circular de un
determinado radio.
El aspecto didáctico más importante de esta máquina, es la de mostrarnos
el campo eléctrico inducido por un campo magnético variable con el tiempo.
Los fundamentos físicos del betatrón combinan, la ley de Faraday, y el
movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico y en un campo mag-
16.4. UNA PARADOJA
145
nético.
16.4.
Una paradoja
Imaginen que construimos un dispositivo como el de la figura (4). Este dispositivoconsistirá en un disco circular de plástico delgado sostenido en un eje
concéntricocon cojinetes excelente, que sea completamente libre de rotar. En el
disco hay una bobina de alambre en forma de solenoide corto concéntrico con el
eje de rotación. Por este solenoide pasa una corriente estacionaria I producida
por una pequeña batería montada también en el disco. Cerca del borde del
disco ha un número de pequeñas esferas metálicas aisladas unas de otras. Cada una de estas pequeñas esferas conuctoras está cargada con la misma carga
electrostática Q. Todo está completamente quierom y el disco está en reposo.
Por algún accidente la corriente en el solenoide se interrumpe sin ninguna intervención externa. Mientras la corriente continuaba, había un flujo magnético
a través del solenoide más o menos paralelo al eje del disco. Cuando la corriente se interrumpe, este flujo debe desaparecer. Habrá como consecuencia, un
campo eléctrico inducido que circulará a lo largo de círculos centrados en el
eje. Las esferas cargadas en el perímetro del disco experimentarán un campo
eléctricon tangencial al perímetro del disco. Según este razonamiento sería de
esperar que a medida que la corriente en el solenoide desaparece, el disco debe
empezar a rotar. Si conociéramos el momento de inercia del disco, la corriente del solenoide y las cargas en la esfera pequeña, calcularíamos la velocidad
angular resultante. Aplicando la conservación del momento angular, es decir,
no debe haber rotación cuando se pare la corriente. ¿Cuál es el razonamiento
correcto? ¿Rotará o no rotará el disco? Dejamos la interrogante para el lector.
Capítulo
17
Las ecuaciones de Maxwell
17.1.
Las Ecuaciones de Maxwell
Hasta antes de este capitulo hemos estudiado las ecuaciones de Maxwell por
pedacitos, y ha llegado ya la hora de unirlos todos y retomar el conjunto completo de ecuaciones que hemos estudiado en los primeros capitulos. Tendremos
la historia completa de los campos electromagneticos que pueden variar en el
tiempo en cualquier manera. He aquí las cuatro ecuaciones de Maxwell:
~ ·E
~ =
(I)∇
ρ
0
~
~ ×E
~ = − ∂B
(II)∇
∂t
~ ·B
~ =0
(III)∇
~ ×B
~ =
(IV )c2 ∇
~
J~
∂E
+
0
∂t
La primera ecuacion, la divergencia del campo electrico es la densidad de
carga sobre epsilon, es cierto para campos dinaicos y estaticos. La tercera es
la correspondiente ley general para campos magnéticos, como no existen cargas magnéticas, el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie
cerrada es simpre cero. La segunda ecuación, el rotacional del campo eléctrico
es igual a la derivada del campo manético con respecto al tiempo es la ley de
Faraday, y es cierta en general también. La cuarta ecuacíon tiene un termino
147
148
CAPÍTULO 17. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
nuevo que que no hemos estudiado antes. Solo hemos estudiado la parte que es
cierta para casos estaticos:
~ ×B
~ =
(V )∇
J~
0 c2
Maxwell comenzó considerando las leyes conocidas y expresandolas en su
forma diferencial. Él notó que había algo extraño con esta ultima ecuación: si
tomos la divergencia, el lado izquierdo es cero (recordar que la divergencia de
un rotacional simpre es cero). Esto requiere que la densidad de corriene siempre
sea cero, pero si ocurre esto, entonces el flujo total de corriente a través de una
superficie cerrada es también cero. Pero la ley de conservación de corriente nos
dice que
(V I)∇ · J~ = −
∂ρ
∂t
El flujo de corriente de una superficie cerrada es el decremento de la carga
dentro de la superficie. Maxwell observó esta dificultad y propuso que podia
ser evitada añadiendo el termino
~
∂E
∂t
en la parte derecha de la ecuación (VI). Así obtenemos la cuarta ecuación de
Maxwell:
~ ×B
~ =
c2 ∇
~
J~
∂E
+
0
∂t
En tiempo de Maxwell no se acostumbraba a pensar en terminos de campo
abstractos. Maxwell explico sus ideas en terminos de un modelo en el cual el
vací es como un sólido elástico y trato de explicar el significado de la nueva
ecuación en terminos del modelo mecánico. Hubo mucho desgano para aceptar
esta teoría, primero por el modelo mismo y depues porque no había justificación
experimental. Pero hasta nuestros dias se han hecho inumerables experimentos
que nos dicen que las ecuaciones de Maxwell funcionan.
Veamos como el nuevo termino resulta ser lo que necesitabamos para evitar
la dificultad encontrada por Maxwell. Tomando la divergencia de la ecuacion
(IV)
~
~
~ × B)
~ = ∇ · ( J + ∂E )
∇ · (c2 ∇
0
∂t
17.1. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
0=∇·(
149
~
J~
∂E
)+∇·(
)
0
∂t
En el segundo termino, las derivadas con resecto al tiempo y a las coordenadas pueden ser intercambiadas, entonces la ecuació puede ser escrita:
∂
~ =0
∇·E
∂t
Y por la primera ecuación de Maxwell:
∇ · J~ + 0
∇ · J~ = −
∂ρ
∂t
¡¡La carga siempre se conserva!!
Ejemplos
1) Consideremos que pasa con una distribucion de corriente radial con
simetría esferica. Imaginemos una pequeña esfera con material radioactivo dentro de ella. Este material radioactivo arroja chorros de particulas de cargas.
Entonces tendremos una corriente que sale de la esfera radialmente. Consideremos que tiene igual magnitud en todas direcciones. Sea la carga total dentro del
radio r Q(r). Si la densidad de corriente radial al mismo radio es J(r) entonces,
por la conservación de corriente, se requiere que Q decresca a una tasa de
∂Q(r)
~
= −4πr2 j(r)
∂t
Ahora, ¿Cuál será el campo magnético producido por estas densidades de
corriente? Consideremos un loop como se ve en la figura, hay cierta corriente
que atraviesa el loop, entonces esperamos que halla cierta circulación de campo
magnético alrededor del loop. Pero tenemos una dificultad, ¿Cómo puede tener
el campo magnético tener una dirección particular sobre la esfera? Si escogemos
un loop diferente, podemos concluir que la direccion es exactamente puesta
a la que teniamos antes, ¿Cómo puede haber entonces circulación de campo
magnetico alrededor de las corrientes? Estamos salvados gracias a las ecuaciones
de Maxwell. La circulacion del campo magnetico no solo depende de la corriente
total a traves del loop, sino también de la tasa de cambio respecto al tiempo
del flujo de campo electrico atraves de él. Debe ser que estas dos partes se
cancelen. Veamos si esto funciona.. El campo electrico a una distancia r debe
ser:
Q(r)
E=
4π0r2
150
CAPÍTULO 17. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
Su derivada respecto al tiempo es:
~
∂E
1 ∂Q
=
∂t
4π0 r2 ∂t
Entonces, comparando con la tasa de decremento de la carga, tenemos que
a cualquier radio r
~
∂E
J
=−
∂t
0
En la ecuación (IV) las dos fuentes se cancelan y el rotacional de B es
siempre cero. No hay campo magneticos en este ejemplo.
2) Como segundo ejemplo, consideremos el campo magnético de un alambre
usado para cargar un capacitor. Si la carga en el capacitor esta cambiando con el
tiempo, la corriente en el alambre es dQ/dt. Es de esperarse que esta corriente
cree un campo magnetico que encierre en alambre. Supón que tomamos un
loop, que es un circulo de radio r. Encontramos el campo magnetico usando la
Ley de Ampère:
I
I
I
~
~
B · dl = B dl = µ0 I → B =
2πrµ0
Supón ahora que comenzamos a mover el loop hacia las placas del capacitor.
Obtenemos el mismo resultado hasta que llegamos a las placas del condensador.
Entre estas placas la corriente es cero. Entonces, ¿Se hace cero el campo magnético también? La ley de Maxwell nos dice que no, consideremos un loop
circular, que llamaremos Loop2, cuyo plano pasa entre las placas del condensador, ” ’como se ve en la figura” ’. La integral de linea alrededor del Loop2 es
2prB, este debe ser igual a la derivada respecto al tiempo del campo electrico
que pasa a través de la superficie que encierra el Loop2. Este flujo de campo
electrio, es Q0 , donde Q es la carga en una de las placas del capacitor. Es lo
que nos dice la ley de Gauss. Entonces tenemos:
c2 2πrB =
d Q
I
I
( )=
→B=
dt 0
0
2πrµ0
Este resultado es bastante interesante, ya que es exactamente igual al que
obtuvimos de considerar la corriente que pasa a través del alambre.
17.2.
La Física Clásica
A continuación presentamos las ecuaciones que junto con las cuatro de
Maxwell, encierran todo el conocimiento de la física clásica, es decir, la física
17.3. UN CAMPO VIAJERO
151
conocida hasta antes de 1905:
Ley de Lorentz:
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
Ley de Movimiento:
d
(~
p) = F~
dt
donde p~ = m~v
Gravitación:
m1 m2
F~ = −G 2 êr
r
Con estas ecuaciones podemos entender el reino completo de la fisica clasica.
Primero tenemos las ecuaciones de Maxwell, que nos permiten conocer cuales
son los campos electricos y magnéticos. Conociendo B y E, podemos encontrar
la fuerza que actua sobre las cargas que se mueven con velocidad v. Con la ley
de movimiento podemos saber como responderan estas cargas a la fuerza que
se le aplica. Y si queremos tener la historia completa debemos incluir la Ley
de Gravitación.
17.3.
Un campo viajero
Supondremos que tenemos una hoja de carga localizada en el plano yz. Esta hoja esta primero en resposo, e instantaneamente comienza a moverse con
una velocidad u~y en la dirección y, y se mantiene en movimiento con velocidad
constante. Entonces repentinamente tenemos una corriente superficial ~j (por
unidad de anchura en el eje z). Para hacer las cosas más simples, supondremos
que tenemos otra hoja de con carga estacionaria, pero con signo opuesto, superpuesta en el plano yz, así no tendremos que preocuparnos por efectos eléctricos.
¿Qué pasará? Como tenemos una corriente en la dirección y+ hay un campo
magnético generado en la dirección z- para x>0 y en la dirección opuesta para
x<0. Podemos encontrar la magnitud del campo magnético usando la ley de
Ampère, y considerando un loop como se ve en la figura:
I
~ = µ0 I → B(2w) = µ0 wJ → B = µ0 J
~ · dl
B
Esto nos da el campo magnético cerca de la hoja de carga, pero ya que
estamos considerando una hoja de carga infinita, esperamos que el mismo argumento nos de el campo magnético lejos, para valores grandes de x. Pero, eso
significaría que en el momento en que se genera la corriente, el campo magnético es cambiado súbitamente de cero a un valor finito en todos lados. Un
momento! Si el campo magnético es cambiado tan bruscamente, tendríamos
152
CAPÍTULO 17. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
tremendo efectos electricos! Debido a que estamos moviendo la hoja con carga,
producimos un campo magnético que varia, y entonces un campo eléctrico se
~
genera. Existe algún ∂∂tE que hará una contribución en la generación de campos
magnéticos. Checando sólo las ecuaciones de Maxwell no resulta obvio cual
sería la solución. Entonces explicaremos primero cual es la solución y luego
probaremos que de hecho satisface las ecuaciones de Maxwell. Respuesta: El
campo B que calculamos es el que se genera junto a la hoja de carga, es decir,
para x pequeña. En esta parte no tenemos contribuciones del campo eléctrico
inducido. Para x grande, B es cero, sigue siendo cero por un momento y de
repente se enciende. En resumen: encendemos la corriente y el campo magnético inmediato junto a ella se enciende a un valor constante B, después B
se esparce desde la región fuente. Después de un cierto tiempo hay un campo
magnético en todos lados hasta un cierto valor de x, mas allá es cero. Debido
a la simetría, se esparce en las direcciones de x<0 y x>0. El campo E hace la
misma cosa. Antes de t=0 el E es cero en todos lados. Después de t, E y B
están uniformemente distribuidos hasta una distancia x=v t, y cero después.
Los campos se mueven como una ola de la marea, con un frente moviéndose a
una velocidad uniforme que resulta ser la velocidad de la luz.
Analicemos ahora cuantitativamente que es lo que está pasando. Para ello
consideraremos dos puntos de vista, uno desde arriba viendo hacia abajo a lo
largo del eje y, como se ve en la figura (a) y uno lateral, viendo desde el eje
z, como se observa en la figura (b). Empezemos considerando la vista lateral,
vemos la hoja de carga moviendose. B apunta hacia dentro de la pagina para
x+ y hacia afuera para x-, el campo electrico es hacia abajo en todo lugar, para
x=v t. Consideremos el loop rectangular de la figura. Tenemos algo de flujo
magnetico a traves de él y como el frente de onda se esta moviendo, tendremos
un flujo variable, ya que el área en que B existe esta creciendo progresivamente
a una velocidad v.
Veamos que nos dice la Ley de Faraday:
I
Z
~
~ =−∂
~ · dl
~ · da
B
E
∂t
−EL = −
∂
(BL∆x)
∂t
∂
(∆x) → E = Bv
∂t
Entonces, si el cociente de E sobre B es v, los campos que hemos asumido
satisfacen la Ley de Farady.De la cuarta ecuación de Maxwell, tambien conocida
como ley de Ampère, encontramos otra relación entre E y B:
EL = BL =
17.3. UN CAMPO VIAJERO
153
~
~
~ ×B
~ = J + ∂E
c2 ∇
0
∂t
Consideremos ahora la figura (b), que corresponde a la vista desde arriba.
Si el loops estuviera despues de la hoja de carga y detrás del frente de onda,
observamos que J=0, E no esta cambiando y el rotacional de B es cero, por
lo que la ecuación se cumple en esa región. Ahora consideremos el loop que
se ve en la figura (a), en esa región J=0, y en la forma integral de la ecuacón
tenemos:
Z
I
~
~ = d
~ · da
~ · dl
E
c2 B
dt
d
(∆x) = Elv → c2 B = Ev
dt
Tenemos una solucion en la que los campos E y B son constantes y viajan
detrás del frente de onda, en angulos rectos uno respecto al otro y ambos
respecto al frente de onda. De las ecuaciones de Maxwell hemos obtenido las
relaciones:
c2 BL = EL
E =v·B
y
c2
B
v
La unica posibilidad para satisfacer estas dos relaciones es que v = c. El
frente de onda debe viajar a la velocidad de la luz. Ahora veamos que pasa
si, despues de un tiempo T, detenemos el movimiento de la hoja con carga.
Añadiremos una segunda hoja con carga y la comezaremos a mover despues
un tiempo T en la direccion opuesta a la primera, con la misma velocidad. Al
principio, la suma de la corriente será cero, después variará y volverá a cero
depués de un tiempo T. Tenemos un pulso cuadrado de corriente. La segunda
corriete negativa produce los mismo campo electricos y magneticos, sólo que
con signos opuestos y retrasados un tiempo T. El frente de onda viaja a la
velocidad de la luz también. Al tiempo t a alcanzado una distancia x=c(t-T),
como se ve en la parte (ii) de la figura 5. En la parte (i) se muestran los campo
E y B para la primera corrinte, y en la parte (iii) se muestra la suma de los
dos. Como podemos ver, tenemos un pequeño bloque de campos de ancho cT
que ha dejado la hoja de corriente y viaja libre a traves del espacio. ¿Cómo
pueden estos campo mantenerse por si mismos? La respuesta nos la dan los
efectos combinados de las ecuaciónes de Faraday:
E=
154
CAPÍTULO 17. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
Y el termino que Maxwell añadió a la ley de Ampère:
~
~ ×B
~ = ∂E
c2 ∇
∂t
Veamos como funciona: si, por ejemplo, B trata de desaparecer, en el proceso inducira un campo electrico, y despues, si este campo electrico trata de
desaparecer, inducira un campo magnético de nuevo. De esta manera se mantendran en una danza perpetua propagandose a traves del espacio.
17.4.
La velocidad de la Luz
Desde el punto de vista hostórico, , no era conocido que el coeficiente c en
las ecuaciones de Maxwell era de hecho la
Velocidad de la luz. Era solo una constante en las ecuaciones. A partir de
las ecuaciones
~ ·E
~ = ρ
(I)∇
0
J~
0
es posible determinar experimentalmente el valor de las constantes. Por
ejemplo, podemos determinar 0 midiendo la fuerza entre dos unidadesde carga
usando la ley de Coulomb y podemos encontrar el valor de c2 midiendo la
fuerza entre dos unidades de corriente (una unidad de corriente corresponde a
una unidad de carga por seundo). Entonces solo con experimentos es posible
encontrar el valor de c2 , que resulta ser el cuadrado de la velocidad de la luz.
Cuando Maxwell hizo sus calculos dijo que los campos electricos y magneticos
debían de propagarse a esta velocidad y que la luz consistía en ondulaciones
del mismo que es la causa de los fenomenos electricos y magneticos. Maxwell
hizo una de las mas grandes unificaciones de la física, la luz ya no era sólo .algo
más", sino qe era sólo electricidad y magnetismo en esta nueva forma, pequenos
trozos de campo E y B que se propagan solitos a través del espacio.
A continuación haremos una lista de tres verdades que hemos encontrado
en estos dos ultimos apartados:
~ ×B
~ =
(IV )c2 ∇
1. Los campos electricos y magneticos son perpendiculares a la dirección de
movimiento del frente de onda
17.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES DE MAXWELL
155
2. E y B son perpendiculares entre ellos
~ = c|B|
~
3. |E|
17.5.
Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell
En esta sección escribiremos las ecuaciones de Maxwell en una forma más
compacta. Empezaremos por considerar a las mas simple de las ecuaciones:
~ ·B
~ =0
∇
Nosotros sabemos que B es el curl de algo, entonces, si escribimos:
~ =∇
~ ×A
~
B
Ya hemos resuelto una de las ecuaciones. Ahora tomemos la ley de Faraday:
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
Sustituyend B por el rotacional del vector potencial obtenemos:
~ ×E
~ = − ∂ (∇
~ × A)
~
∇
∂t
Intercambiando el lugar de las derivadas del vector potencial y factorizando:
~
~ × (E
~ + ∂A ) = 0
∇
∂t
~
~ + ∂ A es un vector cuyo rotacional es siempre cero. EnObservamos que E
∂t
tonces este vector es el gradiente de algo. Entonces escribimos:
~
~ + ∂ A = −∇φ
~
E
∂t
resolviendo para el campo eléctrico tenemos:
~
~ = −∇φ
~ − ∂A
E
∂t
~ determina una parte de E tanto como una de B. Analizemos enAhora A
~ por
tonces que sucede si hacemos el cambio A
~0 = A
~ + ∇Φ
~
A
156
CAPÍTULO 17. LAS ECUACIONES DE MAXWELL
~ es
recordemos que podemos hacer este cambio porque el rotacional de ∇Φ
cero, y el campo magnetico se mantiene igual-. Ahora, para que la física no
cambie será necesario también cambiar al potencial electrico junto con el vecto
potencial de la siguiente manera:
~0 = A
~ + ∇Φ
~
A
∂Φ
∂t
Así E y B se mantienen sin cambios. Ahora regresemos a las ecuaciones
de Maxwell que nos restan. Sustituyamos el campo electrico que acabmos de
obtener en la Ley de Gauss:
φ0 = φ −
~
~ · (−∇φ
~ − ∂A ) = ρ
∇
∂t
0
y lo podemos escribir de la siguiente manera:
ρ
∂ ~ ~
∇·A=
∂t
0
Solo nos resta la ecuación más complicada, la cuarta ecuacion de Maxwell
que iniciaremos por escribirla de la siguiente manera:
(∗) − ∇2 φ −
~
J~
∂E
=
∂t
0
Sustituyendo B y E por sus potenciales:
~ ×B
~−
c2 ∇
~ × (∇
~ × A)
~ +
c2 ∇
~
∂ ~
∂A
J~
(∇φ +
)=
∂t
∂t
0
Usando la identidad
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ − ∇2 A
~
∇
obtenemos:
2~
~
~ +∂ A= J
~ ∇
~ · A)
~ − c2 ∇2 A
~ + ∂ ∇φ
c2 ∇(
∂t
∂t2
0
No muy simple ni agradable a la vista. Pero afortunadamente ahora podemos utilizar el hecho de que tenemos la libertad de elegir la divergencia de A.
Antes, en magnetótatica la habíamos elgido igual a cero, pero ahora haremos
la siguiente elección:
17.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES DE MAXWELL
157
~ ·A
~ = − 1 ∂φ
∇
c2 ∂t
De esta forma los terminos centrales se cancelan, y solo nos queda:
~−
∇2 A
~
1 ∂2A
J~
=
−
c2 ∂t2
0 c2
y subtituyendo en la ecuacion (*) que relaciona el potencial electrico y la
densidad de corriente:
∇2 φ −
ρ
1 ∂2φ
=−
2
2
c ∂t
0
¡Que hermoso par de ecuaciones! Estan bellamente separadas, en una
encontramos las densidades de carga y φ y en la otra las densidades de corriente
y a A.
Como ultim punto, consideremos el caso donde J~ = 0, ρ = 0, es decir, el
espacio vacío. Entonces tendremos:
~=
∇2 A
~
1 ∂2A
2
2
c ∂t
1 ∂2φ
c2 ∂t2
!Acabamos de obtener la ecuación de onda en tres dimensiones! Esto nos dice
que en regiones donde no hay cargas ni corrientes, la solucion de las ecuaciones
~ = 0 sino que podemos tener conjuntos de
de Maxwell no es solamente φ = 0, A
potenciales que estan cambiando con el tiempo y moviendose a velocidad c.
∇2 φ =
Capítulo
18
Principio de mínima acción
18.1.
Principio de Mínima Acción
Supongamos que tenemos una partícula que parte desde algún punto y
se mueve libremente hasta otro punto. Si por ejemplo estamos en un campo
gravitatorio, lanzamos la partícula de manera que suba y baje, va a realizar
ese recorrido, de un punto a otro, en cierto tiempo. Si ahora cambiamos la
trayectoria del punto inicial hasta el final la forma que sea pero que llegara
exactamente en el mismo lapso de tiempo, entonces si calculamos la Energía
Cinética en cada instante de la trayectoria, le restamos la energía potencial e
integramos sobre la trayectoria recorrida, encontraremos que el valor obtenido
es mayor que para el movimiento real.
O sea que podemos enunciar la primera Ley de Newton (F=ma) de otra
manera: la energía cinética media menos la energía potencial media es tan
pequeña como sea posible para la trayectoria de un objeto que va desde un
punto hasta otro.
Si estamos en el caso del campo gravitatorio, en una dimensión en el eje
x de forma vertical y con nuestra partícula con una trayectoria x(t), donde x
es la altura sobre el suelo. Si tomamos la energía cinética menos la potencial
en cada instante a lo largo de la trayectoria e integro respecto al tiempo desde
el instante inicial t1 partiendo desde cierta altura hasta el instante final t2 en
otro punto.
La integral es:
Z
t2
t1
"
1
m
2
dx
dt
2
159
#
− mgx dt
160
CAPÍTULO 18. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN
El movimiento real seguirá una clase de curva, en nuestro caso sería una
parábola y nos va a dar un valor de la integral. Nos podríamos imaginar trayectoria diferente a la verdadera (de todas las formas que queramos), pero al calcular la energía cinética menos la potencial e integrar la trayectoria que nos
imaginamos... entonces la integral mínima nos va a dar la trayectoria verdadera!
Si tomamos el caso de una partícula libre que no tenga energía potencial,
cuando vaya de un punto a otro en un tiempo determinado, la integral de
energía cinética será la mínima. Nuestra partícula irá a velocidad uniforme ya
que no hay fuerzas actuando sobre ella. La velocidad media va a ser la misma
en cada punto, esto es por que no sufre ningún cambio en su velocidad a lo
largo de la trayectoria recorrida.
Si nuestra partícula está en un campo gravitatorio habrá energías potencial
y cinética. Supongamos que lanzamos hacia arriba nuestra partícula, primero se
va a elevar rápidamente y luego más lentamente. Entonces tendremos un mínimo para la diferencia entre las energías medias. Cada vez que sube la partícula
crece la energía potencial, tendremos una diferencia menor si podemos llegar lo
más pronto posible hasta donde hay una energía potencial alto. Entonces podemos quitar ese potencial de la energía cinética y obtener un promedio menor.
Es mejor tomar un camino que suba logre de la energía potencial una cantidad
de material negativo.
Tampoco puede subir ni demasiado rápido ni demasiado alto por que entonces utilizará demasiada energía cinética. La diferencia entre las dos energías
debe ser tal que la cinética menos la potencial sea lo mas pequeña posible. A
esta diferencia integrada respecto al tiempo le llamamos acción S.
Las energías son funciones del tiempo. Para cada trayectoria posible diferente obtendremos un número diferente para esta acción. Lo que queremos es
encontrar la curva o camino en el espacio para el cual este valor es mínimo. A
esta rama de las matemáticas se le llama cálculo de variaciones.
Para encontrar esta trayectoria verdadera usaremos el siguiente método: si
tenemos una trayectoria verdadera (un mínimo). Si nos apartamos de un mínimo en una cantidad de primer orden, su desviación de la función respecto a su
valor mínimo será solamente de segundo orden. Entonces una curva que difiera
de la trayectoria verdadera un poco no nos producirá en primera aproximación
un cambio en la acción.
Para ver esto llamemos x’(t) a la trayectoria verdadera. Sea x(t) una trayectoria de prueba que difiere de la trayectoria verdadera una pequeña cantidad
η(t). Llamemos S la acción para x(t) y S’ la acción para x’(t). La diferencia
entre S y S’ en primer orden debe ser cero y en segundo orden puede diferir.
Debemos considerar que las 2 trayectorias comienzan y terminan en los
mismos dos puntos t1 y t2 , así podemos especificar nuestras condiciones de
frontera por que sabemos que el apartamiento en los extremos es cero, esto es
18.1. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN
161
η(t1 ) = 0 y η(t2 ) = 0.
Ahora debemos sustituir x(t) = x0 (t) + η(t) en la formula para la acción
Z
t2
"
1
m
2
t1
dx
dt
#
2
− V (x) dt
Por lo que nos quedará
Z
t2
t1
"
1
m
2
d0 x dη
+
dt
dt
2
#
0
− V (x + η) dt
Al desarrollar el primer término cuadrático obtendremos términos de η con
potencias mayores a uno, pero ya habíamos hablado de nuestras condiciones
de frontera por lo que solo nos interesa el primer orden. Ahora en el potencial
V consideraremos η pequeña para poder desarrollar V (x) en serie de Taylor y
además despreciaremos todos los términos de segundo orden en adelante. Dado
que nos estamos concentrando en la diferencia entre las dos trayectorias, que
llamaremos δS tendremos:
Z
t2
δS =
t1
dx0 dη
0
m
− ηV (x) dt
dt dt
Sabemos que esta integral debe ser cero y también sabemos que η evaluado
en t1 y t2 es cero. Entonces podríamos tratar de manipular dη
dt para introducir
η. Ahora bien, queremos introducir η para que desaparezcan sus derivadas respecto al tiempo y para que multiplique todos los términos de nuestra integral.
La variación de S está en la forma deseada porque cualquier cosa multiplicada por η siempre es cero. La integral debe ser un mínimo para el camino que
satisfaga la primera ley de newton en forma diferencial. El primer término es
la masa por la aceleración y el segundo es la derivada de la energía potencial
que es la fuerza. Así que para un sistema conservativo el principio de mínima
acción da la respuesta correcta: la trayectoria que tiene la mínima acción es
aquella que satisface la ley de Newton.
Esto lo hicimos solamente en una dimensión pero lo podemos generalizar a
tres dimensiones. La trayectoria es alguna curva en el espacio y η un vector, la
variación de primer orden debe ser cero y podemos hacer el cálculo por medio
de tres desplazamientos sucesivos. Así que tendríamos tres ecuaciones, una para
cada dimensión.
Si tenemos dos partículas con una fuerza entre ellas, sumamos su energía
cinética y su energía potencial. Puesto que cada una se mueve en tres dimensiones, su trayectoria varía y tendríamos seis ecuaciones.
162
CAPÍTULO 18. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN
Consideremos el caso de una partícula que se mueve de manera relativista.
La acción estará dada por las ecuacines de movimineto en forma relativista.
El primer término es menos la masa en reposo m0 por la velocidad de la luz
al cuadrado por la integral de una función de la velocidad. Y en el segundo
término tenemos el potencial escalar φ y el producto de la velocidad v y el
potencial vectorial A.
La función que se integra sobre el tiempo para obtener la acción se llama
Lagrangiano L el cual es función de las velocidades vι y las posiciones xι de las
partículas,
Z
t2
S=
L(xι , vι )dt
t1
.
Ahora, analicemos una trayectoria real en el espacio-tiempo en una dimensión. Conocemos la trayectoria verdadera y pasa por un punto ”a” y otro punto
”b”. Si la integral total nos da un mínimo entonces cada trayectoria infinitesimal de un punto a otro también nos da un mínimo. Como estamos considerando
curvas infinitesimales, nuestros dos puntos están casi en el mismo lugar por lo
que solamente debemos analizar la variación de primer orden en el potencial.
Esto solamente depende de las derivadas del potencial en cada punto, o sea, la
fuerza.
¿Por que una partícula toma la trayectoria según la cuál la acción va a
ser mínima?, ¿por qué de tantas trayectorias que puede tomar, se va por la
verdadera? Lo que ocurre es que analiza todas las trayectorias posibles y digamos que escoge el camino más rápido, un fenómeno análogo a la difracción
de la luz. Recordemos que ocurre con la luz: si emprende una trayectoria que
emplea un tiempo diferente, llegará con una fase diferente. La amplitud total
es la suma de las amplitudes tomadas por los diferentes caminos que puede
tomar. Cuando las fases coinciden se van sumando hasta llegar a una amplitud
equilibrada. Ahora el camino dominante es aquel donde muchas trayectorias
tienen la misma fase.
La mecánica cuántica (para el caso no relativista y despreciando el espín
del electrón) nos dice: la probabilidad de que una partícula que parte del punto
1 en el tiempo t1 llegue al punto 2 en el tiempo t2 es el cuadrado de la amplitud de probabilidad. Para cada trayectoria imaginaria debemos calcular una
amplitud y luego sumar cada una para llegar a la amplitud total. La amplitud
correspondiente a cada trayectoria nos la indicará la integral de la acción S.
ιS
La amplitud es proporcional a una constante por e ~ . Donde el ángulo de fase
es ιS
~ y ~ es la constante de Plank. Si ~ es muy pequeña y la acción tiene
un valor grande las trayectorias se cancelarán ya que la fase entre dos puntos
cercanos será muy distinta. Si la constante de Plank tiende a cero, la partícula
18.1. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN
163
irá por una trayectoria en particular para la cual la acción no varía en primera
aproximación. De esta manera nos podemos olvidar de la probabilidad de que
siga cualquier otra trayectoria.
Podemos describir la electrostática diciendo que una cierta integral es un
máximo o mínimo. Si queremos encontrar el potencial φ en todo punto del
espacio y conocemos la densidad de carga sabemos que:
∇2 φ = −
ρ
0
(Ecuación de Piosson)
Si calculamos la integral de la energía potencial U* sobre todo el espacio
Z
Z
0
(∇φ)2 dV − ρφdV
U∗ =
2
La distribución correcta del potencial φ será un mínimo. Para demostrar
esto podemos tomar:
φ=φ+f
y
ρφ = ρφ + ρf
y lo sustituimos en U*. Dejamos fuera los términos de segundo órden y
las derivadas de f. Es casi el mismo procedimiento que hicimos al calcular S.
Entonces:
Z
∆U ∗ =
−0 ∇2 φ − ρ f dV
El término que está entre paréntesis debe ser cero, de esta manera llegamos
a
∇2 φ = −
ρ
0
En la integral de ∆U ∗.podemos reemplazar la integral de volumen de la
divergencia por una integral de superficie:
Z
Z
∇ · (f ∇φ) dV = f ∇φ · nda.
Entonces f sigue siendo cero ya que si estamos integrando sobre todo el
espacio, la superficie sobre la que estamos integrando está en el infinito.
164
CAPÍTULO 18. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN
¿Qué ocurre cuando no sabemos donde se encuentran todas las cargas?. Para
esto supongamos que tenemos conductores sobre los que hay cargas repartidas
de alguna forma. Integramos U ∗ sobre todo el espacio fuera de los conductores.
Como φ no varía sobre el conductor, f es cero sobre toda la superficie, por
lo que la integral de superficie seguirá siendo nula. Los límites de la integral
de volumen solamente abarcarán el espacio entre los conductores, lo que nos
llevará nuevamente a la ecuación de Poisson.
Así que la integral original de U ∗ es también un mínimo si la calculamos
sobre el espacio exterior de conductores que están a potenciales fijos, o sea
que toda función de prueba φ sera igual al potencial dado de los conductores
cuando x,y,z es un punto sobre la superficie de un conductor. Si tenemos dos
conductores a ciertos potenciales, estos se ajustarán de manera que U ∗ sea
mínimo.
Supongamos que tenemos dos conductores en forma de condensador cilíndrico. El conductor interior tiene radio a y potencial V. El exterior tiene radio
b y potencial cero. Si utilizamos la φ correcta y calculamos U ∗, nos debe dar
la energía del sistema 12 CV 2 con una capacidad C correcta. Pero si el φ falso
se aproxima al valor correcto entonces al calcular la capacidad C obtendremos
una buena aproximación ya que su error será solamente en segundo orden. Si no
conozco la capacidad se pueden utilizar estas aproximaciones para encontrarla,
lo que debemos obtener es el menor valor de C. Si en el ejemplo del cilindro
tenemos un potencial correspondiente a un campo constante, las condiciones
a satisfacer son que la función vale V en t = a, cero en r = b. Al calcular U ∗
e igualándola con la energía del sistema, al despejar C tendremos una fórmula aproximada. Si la comparamos con la C verdadera notaremos una buena
aproximación. Si consideramos un alambre delgado en el interior de un cilindro, el campo no será constante, pero si tomamos b/a muy pequeño el campo
constante sí podrá ser una buena aproximación.
Para obtener una mejor aproximación podemos empezar por calcular C,
su menor valor es el que más se aproxima al verdadero. Supongamos que el
potencial es cuadrático en r, entonces el campo eléctrico será lineal. Esta forma
cuadrática debe cumplir que φ sea igual a cero en r = b y que φ sea igual a V en
r = a. Además introducimos una constante α, entonces, al obtener el campo E
lo elevamos al cuadrado e integramos sobre el volumen, además debemos darle
a α valores arbitrarios hasta que tengamos el valor mínimo de C
Capítulo
19
Solución de las ecuaciones de
Maxwell en el espacio vacio
19.1.
Solución de las Ecuaciones de Maxwell en el
Espacio Vacio
En el capitulo anterior alcanzamos el punto en el que tenemos el conjunto completo de las ecuaciones de Maxwell. Todo lo que se debe saber sobre
electromagnetismo esta contenido en estas ecuaciones.
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~
~ ×B
~ = J + ∂E
c2 ∇
0
∂t
Hemos visto que cuando las ponemos juntas, ocurren un fenomeno sorprendente: los campos que se generan por cargas en movimiento pueden dejar sus
fuentes y viajar solitos a través del espacio. Revisamos un ejemplo en el que
teniamos una hoja con carga sobre el plano yzy en t=0 comenzabamos a mover
la hoja para obetenr una corriente. Esto nos generaba campos electrico en la
165
CAPÍTULO 19. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN
166
EL ESPACIO VACIO
direccion de
campos magneticos e la direccion de "z", cuya magnitud esta
dada por:
22
Ey = cBz = −
J
20 c
para x positiva, menor que ct. Para x mayor, los campos valian cero. Debido
a la simetria de la hoja con carga, también se generaban campo iguales, pero
con signo opuesto en la dirección negativa de "x".
Ahora consideremos un ejemplo un poco más complicado. Consideremos que
la corriente es encendida hasta una unidad por un instante, luego la intensidad
de la corriente es subida a tres unidades, y después es llebada a cero. ¿Cuáles son
los campos para esa corriente? Dividiremos el problema e tres partes. Primero
encontremos los campos para la corriente con una unidad de fuerza (ya hemos
resuleto ese problema), después encontramos los campos producidos para una
corriente de dos unidades, y finalmente resolvamos para corriente de menos
tres unidades. Cuando sumamos las tres partes, tenemos una corriente que es
de una unidad de t=0 a otro tiempo consecuente, digamos t1 , después tendremos una corriente de tres unidades entre t1 y t2 y finalmente es apagada,
es decir, vale cero. En la figura 1 se observ una grafica en función del tiempo.
Cuando sumamos las tres soluciones para el campo electrico encontramos que
su variación con x a un tiempo t es como se muestra en la figura 2. El campo
resulta ser una representacion exacta de la corriente. La distribución del campo
en el espacio es uan buena grafica de la variación de la corriente en el tiempo,
solo que dibujada haca atrás. Si estuvieramos muy muy lejos, podríamos decir,
a partir de la variación de los campos eléctricos y magnéticos como ha variado
la corriente en la fuente.
Notamos también que tiempo después de que la actividad en la fuente se ha
dtenido completamente, y todas las cargas y corrientes son cero, el bloque de
campo continua viajando en el espacio. Tenemos una distribución de campos
eléctricos y magnético que existen independientemente de cualquier carga o
corriente. Si queremos podemos dar una representación matemática de analisis
que acabamos de hacer escribiendo que el campo eléctrico a un tiempo y lugar
dados es proporcional a la corriente en la fuente, solo que no al mismo tiempo,
sino que a un tiempo t − xc más temprano. Podemos escribir
Ey (t) = −
J(t − xc )
20 c
Veamos ahora en una manera más general el comportamiento de campos
eléctricos y magnéticos en el espacio vacío y lejos de las fuentes (corrientes y
cargas). Cerca de las fuentes, lo suficiente para que durante el retraso de la
19.1. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN EL
ESPACIO VACIO
167
transmión la fuente no halla tenido tiempo de cambiar,los campos son practicamente los mismos que en el caso de magneto y electrotática. Para distancias
mayores, donde el retraso se hace importante, la naturaleza de los campos
puede ser completamente diferente a la sluciones ue hemos encontrado. De alguna manera los campos se hacen indepenientes de las fuentes y comienzan
a tomar forma propia. Entonces, ¿Qué tipo de campos podemos encontrar en
regiones donde no hay cargas ni corrientes? En el capitulo anterior habiamos
encontrado
~−
∇2 A
~
J~
1 ∂2A
=
−
c2 ∂t2
0 c2
1 ∂2φ
ρ
=−
c2 ∂t2
0
Si las densidades de caga y corriente son cero:
∇2 φ −
~=
∇2 A
~
1 ∂2A
2
2
c ∂t
1 ∂2φ
c2 ∂t2
En el espacio vacio, el potencial escalar y cada una de las componentes del
vector potencial satisfacen la misma ecuación, la llamada ecucion de onda. En el
espacio vacio, los campos eléctricos y mangnéticos satisfacen la misma ecuación
~ =∇
~ × A,
~ y consideremos
de onda. Veamos como. Primero recordemos que B
∇2 φ =
~
1 ∂2A
c2 ∂t2
tomando el rotacional de esta relación:
~=
∇2 A
2~
~ × (∇2 A)
~ =∇
~ × ( 1 ∂ A)
∇
c2 ∂t2
Ya que el Laplaciano es un operador escalar, el orden del Laplaciano y del
rotaciona puede ser intercambiado
~ × (∇2 A)
~ = ∇2 (∇
~ × A)
~ = ∇2 B
~
∇
De igual manera, el orden del rotacional y de la derivad respecto al tiempo
puede ser inercambiado:
2~
2
2~
~ × A)
~ = 1 ∂ B
~ 1 ∂ A = 1 ∂ (∇
∇
2
2
2
2
2
c ∂t
c ∂t
c ∂t2
CAPÍTULO 19. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN
168
EL ESPACIO VACIO
Entonces podemos escribir la ecuacion para B de la siguiente manera:
~
1 ∂2B
=0
c2 ∂t2
Cada componente del campo magnético satisface la ecuacion de onda. Similarmente podemos econtrar que, en el espacio libre, el campo electrico satisface
la misma ecuacion de onda:
~−
∇2 B
~
1 ∂2E
=0
c2 ∂t2
Pero, ¿Cuál será la solución más general a esta ecuación? Antes de contesar esta pregunta dificil, veamos primero que podemos decir en general sobre
aquellas soluciones en las que nada varia ni en y ni n z. Suponemos que las magnitudes de los campos dependen solo de x. Ahora empezaremos directamente
con las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacio
~−
∇2 E
~ ·E
~ =0
(I)∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
(II)∇
∂t
~ ·B
~ =0
(III)∇
~
~ ×B
~ = ∂E
(IV )c2 ∇
∂t
Como asumimos que los campos solo dependen de x, entonces de la ecuacion
I solo sobrevive el termino:
∂Ex
=0
∂x
La solución es que Ex es una constante en el espacio. Est tipo de campo
podria ser el producido entre las placas de un condensador, pero por el momento estamos solamente interesados en campo dinámicos, entonces, Ex = 0 .
Hemo llegado a un resultado importante, para la propagación de ondas planas
en cualquier dirección, el campo electrico debe estar a angulos rectos de la
dirección de propagacion de la onda. La componente transversal del campo
puede separarse en dos componente, digamos
"z". Analicemos primero el
caso en que el campo electrico tiene solo una componente transersal sobre el
eje y. Ahora la única componente del campo electrico que no es cero es Ey , y
22
19.1. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN EL
ESPACIO VACIO
169
de todas las derivadas, la unica que sobrevive es con respecto a x. Veamosla
segunda de las ecuaciones de Maxwell. Escribimos explicitamente el rotacional:
~ ×E
~ = ( ∂Ez − ∂Ey )î + ( ∂Ex − ∂Ez ))ĵ + ( ∂Ey − ∂Ex ))k̂ = ∂Ey k̂
∇
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂x
Igualando las componentes del rotacional a las correspondientes compo~
nentes de − ∂∂tB , tenemos que
∂Bx
∂By
= 0,
=0
∂t
∂t
∂Bz
∂Ey
=−
∂t
∂x
Entonces, para ondas electromagneticas planas, tanto el campo magnético
como el eléctrico tienen que ser perpendiculares a la dirección de propagación.
Además, vemos que B y E son perpendiculares entre sí también.
Por último, usaremos la ecuación (IV) de Maxwell.
(∗)
~ ×B
~ =
c2 ∇
~
∂E
∂t
Desarrollando el rotacional tenemos:
c2 (
∂Bx ∂Bz
∂By ∂Bx
∂Ex
∂Ey
∂Ez
∂Bz ∂By
−
)î+c2 (
−
)ĵ+c2 (
−
)k̂ = (
)î+(
)ĵ+(
)k̂
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂t
∂t
∂t
De todo esto, el único termino que sobrevive es
∂Bz
∂Ey
=
∂x
∂t
El resultado de nuestro trabajo es que solo una componente de cada campo
es diferente de cero, y que estas componentes deben satisfacer las relaciones
(*) que hemos obtenido. Estas dos relaciones pueden ser combinadas en una
misma de la siguiente manera.
Tomamos la primera relación
(∗) − c2
∂Bz
∂Ey
=−
∂t
∂x
y derivandola respecto a x tenemos
∂ ∂Bz
∂ 2 Ey
(
)=−
∂x ∂t
∂x2
CAPÍTULO 19. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN
170
EL ESPACIO VACIO
Ahora tomamos la segunda,
−c2
∂Bz
∂Ey
=
∂x
∂t
y derivando respecto a t,
−c2
∂ ∂Bz
∂ 2 Ey
(
)=− 2
∂t ∂x
∂t
Podemos igualar las dos expresiones que hemos encontrado y resulta:
1 ∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
−
=0
∂x2
c2 ∂t2
Es la ecuacion de onda unidimensional. En general, si tenemos la ecuacion
1 ∂2ψ
∂2ψ
−
=0
∂x2
c2 ∂t2
sabemos que una posible solucion es una funcion ψ(x, t) de la forma
ψ(x, t) = f (x − ct)
Esta funcion representa un patrón rígido que se desplaza en la dirección
positiva del eje x a una velocidad c. Pero no solo una funcion de (x − ct) es
solución, una funcion de (x + ct) también lo es. Entonces, por el principio de
superposición, la solución más general a esta ecuación de onda es
ψ = f (x − ct) + g(x + cy)
Aplicando nuestra conclusión sobre la solución de la ecuación de onda a
la componente y del campo eléctrico, encontramos que Ey puede variar con
x de cualquier manera. Debemos recordar que en cualquier punto, el campo
eléctrico y el ampomagnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de
propagación. Si tenemos ondas viajando en una dirección, digamos sobre el eje
x, existe una regla simple que nos dice la orientación relativa de los campos
~ ×B
~ apunta en la
eléctricos y magnéticos, esta regla es que el producto cruz de E
dirección en que la onda esta viajando. Este producto tiene un significado especial: es el vector que describe el flujo de energia en un campo electromagnético.
Es llamado vector de Poynting y se denota
~=E
~ ×B
~
S
19.2. ONDAS EN TRES DIMENSIONES
19.2.
171
Ondas en tres dimensiones
Volvemos ahora a las onda en tres dimensiones. Anteriormente habíamos
mencionado que el campo electrico satisface la ecuación de onda tridimensional.
Veamos ahora la demostración a partir de las ecuaciones de Maxwell:
Empezamos con
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
Tomando el rotacional de ambos lados:
~ × (∇
~ × E)
~ =−
(∗∗)∇
∂ ~
~
(∇ × B)
∂t
Recordamoa la identidad
~ × (∇
~ × E)
~ = ∇(
~ ∇
~ · E)
~ − ∇2 E
~
∇
Ya que en el espacio libre la divergencia de E es cero, solo sobrevive el
laplaciano. Consideremos ahora la cuarta ecuación de Maxwell en el espacio
libre:
~
~ ×B
~ = ∂E
c2 ∇
∂t
Tomado la derivada respecto al tiempo de esta expresión encontramos:
2~
∂ ~
~ =∂ E
(∇ × B)
∂t
∂t2
Entonces la ecuación (**) se convierte en
c2
~
1 ∂2E
=0
c2 ∂t2
Es justo a lo queríamos llegar. Ahora, ¿Cómo encontramos la solución de
onda general? La respuesta es que todas las soluciones de la ecuación de onda tridimensional puede ser representada mediante una superposición de soluciones de onda unidimensionales, que ya hemos encontrado.
~−
∇2 E
19.3.
Ondas Esféricas
Hemos visto que hay soluciónes de la ecuación de onda que corresponden a
ondas planas, y cualquier onda electromagnética puede ser descrita como una
CAPÍTULO 19. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN
172
EL ESPACIO VACIO
superposición de muchas ondas planas. Sin embargo, en algunas ocasiones es
más conveniente expresar estas soluciones en una forma matemática distina.
Revisaremos las ondas esféricas, que son ondas que corresponden a superficies
esféricas que se estan esparciendo desde un origen. Sea ψ(r) la distancia radial
desde el origen, donde
p
r = x2 + y 2 + z 2
Para poder encontar la función ψ(r) que satisface la ecuacion de onda,
necesitamos una expresion para el Laplaciano de ψ. Esta es
2
∇2 ψ(r) = ψ 00 (r) + ψ 0 (r)
r
o la expresión que es equivalente
1 d2
(rψ)
r dr2
Si queremos considerar campos con simetría esférica que se propagan como
ondas esféricas, nuestro campo debe ser una función de r y t. Ahora, ¿Qué
función ψ(r, t) satisface la ecuacion tridimensional:
∇2 ψ(r) =
1 ∂2
ψ(r, t) = 0?
c2 ∂t2
Sustituyamos la expresion qu hemos encontrado para el laplaciano, solo
cambiando la deriada total respecto a r por una derivada parcial, ya que ψ
también depende del tiempo.
∇2 ψ(r, t) −
1 ∂2
1 2 2
∂ ∂r (rψ) − 2 2 ψ = 0
r
c ∂t
Ahora debemos resolver esta ecución. Si la multimplicamos por r obtenemos
1 ∂2
(rψ) = 0
c2 ∂t2
Esta ecuación nos dice que la funcion rψ satisface la ecuación de onda en
una dimension, además sabemos que si ψ es solo funcion de (r-ct), entonces
será solución de la ecuación de onda. Entonces, las ondas esféricas tendrán la
forma rψ(rt) = f (r − ct), despejando para ψ:
∂ 2 ∂r2 (rψ) −
f (r − ct)
r
Una función de este tipo representa uns onda esférica viajando hacia afuera
del centro con una velocidad c. A diferencia de las ondas planas que se propagan
ψ=
19.3. ONDAS ESFÉRICAS
173
con amplitud constante, el factor (1/r) nos dice que la amplitud de las ondas
esférica decrece. Este efecto tiene una sencilla explicación física. Sabemos que
la densidad de energía de una onda depende del cuadrado de la amplitud de la
onda. Mientras la onda se esparce, la energia se esparce sobre áreas más y más
grandes, proporcionales a r2 . Si la energía total es conservada, la densidad de
energía debe caer como r12 , y la amplitus de la onda debe decrecer como (1/r).
Mencionaremos ahora un último punto importante. En nuestra solución, ψ
es infinita en el origen. Eso es un poco raro, además de que nos gustaría una
solución donde todo sea suave. Físicamente, nuestra solución representa una
situación en la que tenemos una fuente en el origen. Esto es algo que no resulta
extraño, ya que, para que existan ondas esféricas emergiendo desde el origen,
debe haber una fuente en ese origen que las produzca.
Capítulo
20
Circuitos AC
La era moderna está infestada de objetos que funcionan gracias a las leyes
de la Teoría de Circuitos. La física que hay detrás de los celulares, radios,
televisores, computadoras y demás sofisticaciones, sienta sus bases en un conjunto compacto de reglas que permiten su estudio posterior y entendimiento
óptimo. Las Aplicaciones Tecnificadas de la teoría electromagnética es la cara
amigable y bonita que la mayoría de la gente ordinaria conoce y percibe en
supermercados, oficinas, tiendas departamentales y el hogar, acerca del trabajo teórico monumental que Maxwell, Ampère, Faraday y compañía elaboraron
desde varios años atrás.
20.1.
Los ideales y la Impedancia
Del cúmulo de posibilidades que a nuestra mente puede venir el trabajar con
las ecuaciones de Maxwell, la teoría de circuitos es como si nos encerrásemos
en un cubículo y trabajáramos sin calcetines resolviendo crucigramas y juegos
de lógica. Literalmente, claro. En particular, la onda de los circuitos es un tipo
de especialización práctica acerca de las teorías algo esotéricas -por no decir
fumadas- de las que proviene. Pero aún así no deja de ser interesante, ya que al
igual que la electrodinámica en general, plantea retos y problemas acerca de la
realidad de la mayoría de aparatos y tecnología de la era moderna. ¿Quién no
ha sentido curiosidad acerca de cómo funciona una cámara digital (que hace
actualmente mil y un monerías)? ¿Cómo puede funcionar un radio? Pues eso
y más se lo debemos a los intrincados circuitos que dentro de dichos aparatos
podemos encontrar.
Un circuito eléctrico consiste en una serie de elementos que conectados
175
176
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
entre sí y mediante el uso de una fuente, permiten el movimiento de cargas eléctricas. Existe gran diversidad de ellos. Los más básicos son los circuitos de sistemas lineales, en donde voltajes y corrientes fluyen en forma sinusoidal. Claro
que podrían hacerlo en formas más caprichosas y arrogantes, pero para fines
prácticos, el hecho de que sean sinusoidales -y de que sean alternantes-simplifica
la vida ya que tales magnitudes pueden ser descritas en notación matemática
como exponenciales con parte imaginaria y que dependan del tiempo, por lo
que:
V (t) = V0 eıωt (voltaje)
I(t) = I0 eıωt (corriente)
E(t) = E0 eıωt (emf )
E(t) = E0 eıωt (campo electrico)
A estas alturas existirá quizás alguna vaga noción acerca de conceptos
tales como resistencia, inductancia y capacitancia. Tales conceptos son las
propiedades de los elementos básicos que forman, en mayor parte, a todo tipo
de circuito eléctrico: inductores, resistores y capacitores. Pero eso es el mundo
ideal. En realidad, la forma como los llaman se ha vuelto flexible, así que inductancia puede referirse tanto al objeto como a la propiedad, etcétera. Lo que
conviene ahora es hablar con más detalle acerca de cada uno de ellos.
La idea de una inductancia -como objeto- es la de un simple alambre enrollado en forma de bobina cuyas puntas están separadas y a cierta distancia una
de otra (ver figura). En la búsqueda de trabajar con objetos simples e ideales,
debemos de recurrir a ciertos hechos que se asumen por default para que no
interfieran en nuestro objetivo: el de explicar la forma menos complicada de
cómo funcionan las cosas. Así pues, para describir una inductancia ideal asumimos que el campo magnético producido por la circulación de la corriente en
el arreglo no se desparrama sobre todo el espacio afectando posiblemente a los
elementos vecinos, sino que se queda confinado, por lo que el campo magnético
externo o cerca de las terminales a y b de la bobina es meramente despreciable.
También asumiremos que tanto la resistencia en el alambre al flujo de corriente
como la posible producción de un campo eléctrico debido a la acumulación
de carga en la bobina, son igual despreciables. Queremos calcular el potencial
debido a una inductancia. Sabemos que cuando una corriente pasa a través de
un arreglo de alambre como este, se produce un campo magnético dentro de la
bobina. Si cambia la corriente con el tiempo también lo hace el campo. Existe
20.1. LOS IDEALES Y LA IMPEDANCIA
177
una relación entre el cambio del campo magnético y el campo eléctrico que
lo vemos expresado en las ecuaciones de Maxwell -ley de Faraday- en forma
integral como:
Z
I
d
~
~ · d~a
~
B
E · dl = −
dt s
Γ
Donde la integral cerrada es igual a la suma de dos posibles trayectorias
sobre la inductancia como sigue:
Z
~ · d~l =
E
Z
b
a( via alambre)
~ · d~l +
E
Z
a
~ · d~l
E
b( af uera)
En la primera trayectoria comenzamos en a y bajamos hasta b por la bobina,
en la segunda regresamos hacia a desde b pero fuera del arreglo, a través del
espacio entre las terminales. Claramente, la primera integral es cero ya que
asumimos que no hay campos eléctricos dentro de un conductor perfecto, por
lo que la entera contribución del campo E viene de la segunda integral. Dado que
no existen campos magnéticos fuera de la bobina, esta integral es independiente
de la trayectoria a seguir, por lo que podemos definir la diferencia de potencial
o voltaje entre los dos puntos a y b como:
178
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
a
Z
~ · d~l =
E
V =−
I
~ · d~l
E
b
pero a esta igualdad le hemos asociado el cambio de flujo magnético con el
tiempo y a la integral de línea la hemos llamado fuerza electromotriz (emf),
por lo que tenemos:
dI
dt
Donde L es la inductancia de la bobina. De la expresión (2) obtenemos
dI/dt = ıωI, así que
V = −ε = L
V = ıωLI
Esta inocente expresión relaciona el voltaje y la corriente en el caso de
la inductancia. Pero se tiene que para todos los elementos de circuitos existe
una relación voltaje = constante(corriente) que es digna de resaltar. Dicha
constante de proporcionalidad suele ser un número imaginario que recibe el
nombre de impedancia -que se denota por la letra z- y que físicamente se acopla
a toda aquella oposición al paso de corriente alterna. En general es función de
la frecuencia ω; de la corriente. Así que:
V
=z
I
Y para el caso especial de un inductor, se cumple que:
impedancia = zinductancia bobina = zL = ıωL
Ahora veamos otro elemento básico dentro de todo circuito, analizaremos
el capacitor de la misma manera que a la inductancia. Dos objetos conductores
cada uno con cierta carga igual el magnitud pero de diferente signo, separados
cierta distancia es la idea general de un capacitor. Ahora bien, la forma clásica
es que los objetos conductores tengan forma de láminas tal y como se ve en
la figura 2. Para este caso, asumiremos que las láminas y los alambres son
conductores perfectos; que existe un aislamiento total entre las dos láminas,
por lo que no habrá cargas que fluyan de una lámina a otra; que las líneas de
campo parten enteramente de una lámina para llegar a la otra y que no hay
campos magnéticos cerca del capacitor. Como buscamos la forma del potencial
en un capacitor, recordamos la integral de línea del campo E sobre la siguiente
trayectoria cerrada: primero, desde el punto a hasta el punto b enteramente
sobre el capacitor; segundo, desde b hasta a pero ahora fuera del capacitor volando a través del espacio-. Obtenemos que esta famosa integral de línea será
20.1. LOS IDEALES Y LA IMPEDANCIA
179
Figura 20.1: Esquema de un capacitor
cero gracias a que no hay campo magnético presente, por lo que también puede
ser escrita en partes como el anterior caso:
I
~ · d~l =
E
Z
~ · d~l +
E
Z
sobre los alambres
entre los platos
~ · d~l +
E
Z
~ · d~l
E
af uera
Las dos primeras integrales serán cero, ya que volvemos al ofuscado hecho
de que no hay campo eléctrico dentro de conductores perfectos. La diferencia de
potencial entre a y b estará dada por la tercera integral entonces. Aunado a esto,
la carga en los platos es igual pero opuesta, y ya se ha visto que la diferencia
de potencial entre las placas es igual a Q/C, donde C es una constante que
dependerá de la geometría y que se le llama capacitancia, por lo tanto, tenemos
que de manera general para un capacitor:
Q
C
La corriente que entra por el capacitor es en términos de la carga total
igual dQ/dt pero si ahora derivamos toda la expresión anterior con respecto
del tiempo, obtenemos:
V =
180
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
Figura 20.2: Esquema de una resistencia
I
ıωC
Notamos la relación voltaje = constante(corriente), con lo cual, es fácil
obtener la impedancia del capacitor:
V =
V
1
= impedancia = zC =
I
ıωC
Finalmente, terminamos este análisis considerando al resistor. La imagen
descriptiva de la resistencia (figura 3) da una idea acerca de la relación voltajecorriente, que es precisamente la ley de Ohm:
V=I R
Donde R es la resistencia. Un hecho que debe llamar la atención es que para
corrientes alternas, el voltaje sobre el resistor esta en fase con la corriente, esto
significa que la impedancia del resistor será un número real.
V
= impedancia = zR = R
I
20.2. GENERADORES
181
Figura 20.3: Un generados formado por una bobina fija y un campo magnético
rotatorio
Los 3 elementos descritos idealmente forman lo que se llama elementos pasivos, ya que para darnos cuenta de su existencia deben responder a una acción
aplicada externa. Por el contrario, los elementos activos vienen a ser las fuentes
de oscilaciones tanto de corriente como de voltaje -o sea, los generadores-.
20.2.
Generadores
Como su nombre lo indica, un generador es una fuente que suministra
de corriente y voltaje a un circuito. Pensemos en una inductancia -bobina
de alambre- y junto a ella, un barra magnética -fuente de campo magnético
variable- que gira sobre su propio eje tal y como se ve en la figura 4. Volveremos
al mundo idealizado, por lo que asumimos que dicho campo magnético está
confinado a cierta región tal que no tenga influencia sobre los puntos a y b.
Dadas las condiciones, observamos que el potencial entre las terminales es igual
a:
I
V =−
~ · d~l
E
Dicha integral es igual a una emf producida en el circuito, que a su vez es
igual a la razón de cambio del flujo magnético, o sea:
182
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
Figura 20.4: Otro tipo de generador, formado ahora por una bobina rotatoria
y un campo magnético fijo
V = −E =
d
(f lujo de B)
dt
En un generador ideal no existirá impedancia ya que el flujo de campo
magnético se verá afectado, para este caso, por cuestiones externas -como la
velocidad angular de la barra- y no por la corriente a través de la bobina, por
ejemplo.
Pero esta no es la única forma que un generador puede tener. Veamos el
siguiente caso. Tenemos una fuente constante de campo magnético -que bien
puede ser un imán o una bobina con corriente constante- y un arreglo de alambre enrollado que rote sobre un eje, en el cual una terminal esté conectada a
un cilindro y la otra no, tal y como se aprecia en la figura 5.
Ahora no existe campo magnético cambiante, por lo que la pregunta obvia
es qué pasa con el voltaje en las terminales. Sabemos que no existen campos
eléctricos dentro del generador y lo respaldamos siguiendo la línea de que como
el alambre es un conductor perfecto, entonces no puede haberlo- pero, ¿se sigue
aplicando este razonamiento aún cuando tenemos el caso de que un conductor
se mueva en un campo magnético? No. No es cierto que el campo eléctrico
sea cero en una bobina de alambre conductor cuando ésta se mueva en un
campo magnético. Lo que sí es verdad es que la fuerza total sobre cualquier
carga dentro de un conductor perfecto debe ser cero. De otro modo habría una
infinidad de flujo de cargas libres. Continuando con aquello que dice que la
suma total debe ser cero, matemáticamente se representa con la ecuación:
~ + ~v × B
~ =0
F~ = E
20.3. KIRCHHOFF DICE. . .
183
en un conductor perfecto. Nuestra primera tesis acerca de que no hay campo eléctrico dentro de un conductor perfecto es cierta si la velocidad v del
conductor es cero, de otro modo corresponde a la ecuación de arriba.
¿Y qué pasó con nuestro nuevo generador? Pues que analizando las trayectorias por ambos lados vemos que:
Z
b
~ · d~l = −
E
V =
a (dentro del conductor)
Z
b
~ · d~l = 0
(~v × B)
a (dentro del conductor)
Que debe ser igual a cero, ya que hay campo magnético constante. Otra vez,
tenemos que la primera integral de línea es igual a la diferencia de potencial
entre las terminales a y b, mientras que la segunda integral de línea es igual
al cambio de flujo de B con respecto del tiempo lo que corresponde a una emf
inducida. Así que otra vez, la diferencia de potencial entre las terminales es
igual a la fuerza electromotriz en el circuito.
20.3.
Kirchhoff Dice. . .
Pongamos a trabajar a los ideales. Si bien el estudio de las resistencias, capacitancias e inductancias por separado nos llevó a ciertas expresiones derivadas
de las ecuaciones de Maxwell que modelan su trabajo, las cosas se ponen complicadas cuando tratamos de entender el comportamiento masivo de esos componentes y buscar dar una descripción precisa acerca de lo que sucede con los
campos e impedancias de los elementos en circuitos complejos, como los de una
computadora portátil. ¡Pero que no cunda el pánico! en física mejor que en
otras ciencias, idealizar es una herramienta bastante útil. Si se hacen ciertas
aproximaciones y si sólo se toman en cuenta los hechos esenciales, es posible
analizar circuitos complicados en una forma metódica y correcta.
Supongamos que tenemos un circuito lo más general posible en cuanto a
sus elementos: un generador y gran cantidad de impedancias conectadas entre
si como muestra la figura. Donde las impedancias pueden ser de capacitores,
resistencias e inductores, generalizamos (figura 6). Asumimos la no presencia
de cualquier campo magnético. Entonces, definimos una curva cerrada tal que
pase por entre cada uno de los elementos. Dicha curva será la que cumpla que
I
~ · d~l = 0
E
Dicha integral de línea puede ser llamada la caída de potencial del circuito
-ya que toma los puntos antes y después del elemento- y a su vez está hecha de
muchas integrales individuales -que corresponden a la caída de potencial de los
184
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
Figura 20.5: La suma de las caídas de potencial sobre cualquier trayectoria
cerrada es cero
Figura 20.6: La suma algebraica de las corrientes en cualquier nodo es cero
elementos del circuito-. Con este razonamiento, la integral de línea completa
es entonces la suma de las caídas de potencial sobre todos los elementos en el
circuito:
I
X
~ · d~l =
E
Vn = 0
Ahora imaginemos un circuito como el de la figura 7. Si establecemos una
20.3. KIRCHHOFF DICE. . .
185
analogía entre las impedancias del circuito y una serie de botellas que están
sobre una repisa, vemos que ambas tienen el mismo potencial -se dice que están
conectadas en paralelo-. Pero dado que voltaje y corriente están relacionados,
¿qué pasa con las corrientes en cada uno de los elementos del circuito? Asumiendo no impedancias ni acumulaciones de carga, la conservación de la carga
nos dice que cualquier cantidad de ésta que salga de un elemento del circuito
debe entrar a otro, o sea, que la suma algebraica de las corrientes que entran en
una terminal debe ser cero. Por terminal nos referimos a los puntos a, b, c, . . . h
del circuito, también llamados nodos. En general se aplica que la suma de las
corrientes dentro de cualquier nodo debe ser cero:
X
In = 0
dentro de un nodo
Ésta es la primera regla de Kirchhoff y un ejemplo para el caso del circuito
anterior sería que
I1 − I2 − I3 − I4 = 0
La segunda regla de Kirchhoff es la regla de las mallas que relaciona a los
voltajes
X
Vn = 0
sobre cualquier trayctoria cerrada
Y con estas dos sencillas sentencias podemos conocer las corrientes y voltajes de cualquier elemento en cualquier circuito.
¿Cómo? Supongamos tener un circuito como el de la figura 8.
El primer buen paso es observar las diferentes curvas cerradas que se obtienen indirectamente de él. Así para la trayectoria a − b − e − d obtenemos una
ecuación que involucre las impedancias y las corrientes igualadas con la fuerza
electromotriz:
z1 I1 + z3 I3 + z4 I4 − E1 = 0
Si hacemos lo mismo para las corrientes -utilizando la segunda regla de
Kirchhoff- obtenemos:
I1 − I3 − I2 = 0
Finalmente, tendremos un sistema de ecuaciones lineales, que serán tantas
como las incógnitas -para que tenga sentido resolverlas. Cabe señalar que hay
que tener especial cuidado con los signos que se manejan, así pues, una caída
de potencial será tomada como positiva si va en dirección de la corriente. Claro
186
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
Figura 20.7: Analizando un circuito con las Reglas de Kirchhoff
es, que en principio no sabemos las direcciones de las propias corrientes, por lo
que se recomienda iniciar con la ley de nodos más que con la de mallas. Pero
técnicas hay muchas.
Un poco de series y paralelos
Un circuito en paralelo es parecido al de la figura 7. Éste se distingue por
que los elementos tienen igual voltaje pero diferente corriente. Así pues:
Vtotal = I1 z1 + I2 z2 + I3 z3
Pero dado que la corriente se conserva en, todo caso
I1 + I2 + I3 = Itotal
De la relación
V
I
= z = impedancia obtenemos
Itotal =
Vtotal
1
1
1
= Vtotal ( +
+ )
Ztotal
z1
z2
z3
Por lo que todo circuito en paralelo puede ser reducido a una impedancia
equivalente de la forma
Zequivalente =
1
1
1
+
+
z1
z2
z3
Hablemos ahora sobre otro tipo de acomodo de elementos dentro de un
circuito. Los circuitos en serie se distinguen por tener una corriente constante
20.4. ENERGOS
187
que circula sobre todos los elementos del mismo, pero que cuenta con caídas
de potencial e impedancias diferentes según cada elemento. Así pues, el voltaje
total dado por una emf es:
Vtotal = Iz1 + Iz2 + Iz3 = I(z1 + z2 + z3 )
Por lo que todo circuito en serie puede ser reducido a una impedancia
equivalente de la forma
Zequivalente = z1 + z2 + z3
20.4.
Energos
Ahora hablaremos de la energía en un circuito, que equivaldría a hablar
sobre la energía sobre cada uno de los componentes ideales anteriormente analizados. Cuando una corriente I pasa sobre una inductancia L, la energía que
se le debe suministrar es del orden de U = 12 LI 2 . Si la corriente es alterna, la
energía viene y va dentro y fuera del circuito, así como un oscilador mecánico,
pero se sigue respetando que el valor promedio de la razón de energía que se
suministra al circuito sigue siendo cero. Se dice pues que la inductancia es un
elemento no-disipativo -que no disipa la energía-. Para el caso de un condensador, su energía propia viene dada por U = 12 CV 2 cantidad que entrará al
circuito una vez que éste se descargue. Al igual que la inductancia, para corrientes alternas no hay pérdidas de energía por lo que también se le considera
un elemento no-disipativo.
Como fuentes de energía, tenemos que la fuerza electromotriz es una de
ellas. Así pues, cuando una corriente fluye en dirección de la emf, la energía
provista al sistema es dU
dt = EI, en caso de contrario -de que la corriente fluya
contra la emf- el cambio de la energía con respecto al tiempo será negativo.
Pero las cosas no son tan amigables cuando entran en escena los resistores.
Cuando un generador se conecte a una resistencia, la energía propiamente generada es absorbida por el resistor y se disipa de manera general en forma de
calor. Decimos entonces que la energía se disipa en un resistor a razón de
dU
2
dt = RI . Pero, ¿qué hay de la energía eléctrica perdida -que se convierte en
energía térmica- cuando un generador se conecta a una impedancia arbitraria
z? Pues se tiene que cualquier impedancia z puede ser escrita como un número
complejo:
z = R + ıX
Donde R y X son cantidades reales. Cabe mencionar que desde el punto de
vista de la equivalencia de circuitos podemos decir que cualquier impedancia
188
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
es igual a una resistencia conectada en serie con otra impedancia pura, que
corresponde a X y se llama reactancia(ver figura 9). Si un generador con su
propia emf se conecta a una impedancia z como la anterior, la propia emf y la
corriente se relacionan mediante:
E = I(R + ıX)
Para una corriente alterna, tomamos la expresión (2) I(t) = I0 eıωt
E = I0 eıωt (R + ıX) = I0 R cos(ωt) − I0 X sin(ωt)
Los dos términos representan las caídas de potencial sobre R y sobre la
reactancia X. Observamos que la caída de potencial sobre la resistencia está
en fase con la corriente, mientras que la caída de potencial sobre la reactancia
está fuera de fase con la corriente.
20.5.
Una red infinita
Supongamos tener un inocente arreglo consistente sólo de dos impedancias
cuya resultante equivale a su suma, tal y como se ve en la figura.
Ahora agreguemos un circuito igual al anterior y lo acoplamos al primero.
Para estudiarlo con la reglas de Kirchhoff invertiríamos notable tiempo, en
cambio, lo podemos simplificar a su equivalente reduciendo términos en serie y
en paralelo como explica la figura.
Ahora, qué pasa si agregamos otro circuito igual al inicial y lo acoplamos
al anterior, y luego agregamos otro y lo volvemos a acoplar. . . y así, hasta la
eternidad, hasta formar un circuito formado por impedancias en serie y paralelo
infinito. ¿Cómo podríamos resolverlo? Pues pareciera difícil pero en realidad
no lo es tanto.
Hagamos una analogía. David Hilbert, matemático alemán eminente, propuso el siguiente ejemplo: él era el dueño de un hotel famoso por tener infinitos
cuartos. Un día llegó un autobús del cual se bajaron infinitas personas que buscaban hospedaje. Hilbert se los proporcionó -quién podría despreciar semejante
20.5. UNA RED INFINITA
189
Figura 20.8:
Figura 20.9:
oportunidad-. A la media noche, un vagabundo llegó pidiendo posada, pero el
gerente en turno del lugar le objetó que el hotel ya estaba lleno. Sin embargo,
esto llego a los oídos de Hilbert y se puso a trabajar. Ordenó que todos los
huéspedes se trasladaran a un cuarto adyacente, así, el del cuarto número 1
se cambió al 2, el del 2 se cambió al 3, el del 3 al 4 y así sucesivamente. Al
final, el vagabundo tuvo un digno cuarto -el cuarto número 1- y se demostró
que infinito más uno, sigue siendo infinito. . .
¿Qué pasa si a toda la red le agregamos un circuito básico más? Pues sigue
igual. Ahora llamamos z0 a la impedancia de toda la red infinita -esto es,
comprimimos todas las infinitas impedancias en una sola- dejando a la red
infinita con sólo tres elementos. Simplificamos combinando las propiedades de
serie y paralelo a:
Zequivalente = z1 +
z2 z0
z2 + z1
Pero dicha impedancia equivalente es igual a la impedancia z0 (propiedades
190
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
de infnito) por lo que tenemos
Z0 = z1 +
z2 z0
z2 + z1
Si resolvemos para z0 encontramos que:
z1
+
Z0 =
2
r
z12
+ z1 z2
4
Donde z0 es llamada la impedancia característica del arreglo infinito hecho
de impedancias en serie y en paralelo
Apliquemos éste modelo a un circuito más real hecho enteramente de inductancias y capacitores (ver figura 13).
Sabemos que la impedancia de una inductancia es z1 = ıωL mientras que
1
la de un capacitor es z2 = ıωC
.Notemos que el término z21 de la expresión
(15) corresponde a la mitad de la impedancia del primer elemento. Así que
establecemos un diagrama del circuito anterior como lo es en la parte b) de
la imagen 12 y si sustituimos los datos de las impedancias de capacitores e
inductancias nos damos cuenta de que la impedancia característica viene a ser:
r
Z0 =
L
ω 2 L2
−
C
4
Aquí notamos dos casos interesantes: primero, si la frecuencia ω 2 es menor
a 4/LC, el segundo término dentro del radical se hace pequeño a comparación
del primero, y obtenemos un número real. Caso contrario, si la frecuencia al
cuadrado es mayor que 4/LC entonces obtenemos una impedancia imaginaria:
r
Z0 = i
ω 2 L2
L
−
4
C
20.6. FILTROS
191
Pero lógico sería pensar que en un circuito hecho de elementos cuyas impedancias son enteramente imaginarias -como los son la del capacitor y la del inductorgeneren circuitos con impedancias también imaginarias. ¿Cómo es posible entonces que para ciertos valores de la frecuencia, en un circuito L-C, la impedancia seqcomporte como la de una resistencia -que adquiera valores reales-? (caso
4
ω < LC
) Para altas frecuencias la impedancia es imaginaria en acuerdo con
nuestras hipótesis, pero a bajas frecuencias la impedancia es una resistencia
que puede absorber energía. ¿Cómo puede pasar esto si el circuito está hecho
de capacitores e inductancias y no de resistores? Bien, pues porque existen
un número infinito de inductancias y capacitancias. Coloquemos un generador
al comienzo de la red. Pensemos en que la energía que salga de dicha fuente
alimentará -a razón constante- bobinas y capacitores, que después la almacenarán línea abajo. Podría surgir la idea de que si con ese mismo generador se
propaguen efectos a través de toda la red. O sea, tal como la propagación de las
ondas que son absorbidas por una antena, esperamos que exista propagación de
energía en elq
circuito cuando la impedancia sea una cantidad
qreal -que ocurre
cuando ω <
propagación.
20.6.
4
LC -
mientras que cuando sea imaginaria ω >
4
LC )
no veremos
Filtros
La idea de una frecuencia especialpnecesaria para que una red absorba o no
energía continuamente a valores de (4/LC) se le llama frecuencia de corte
ω0 . El hecho de que absorba puede ser comprendido en términos de un continuo
transporte de energía a través de la línea. Por el otro lado, para altas frecuencias
no existe una continua absorción de energía, por lo que pudiéramos sugerir que
la propia corriente en el circuito no llegue muy lejos. Veamos cómo explicar
esto con más detalle. Supongamos que queremos analizar un elemento de la
ya famosa red infinita -digamos, el elemento mil ocho mil 1000 8000-. Por las
propiedades de infinito, el voltaje valdrá lo mismo en un elemento de la red que
en el siguiente, así pues, definiremos las corrientes y voltajes para el elemento
n + 1 como se aprecia en la figura 14.
Analizaremos la parte b) de la figura aterior: la diferencia de voltajes está
dado por
192
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
Vn − Vn+1 = In z1 = Vn
z1
z0
La razón de dichos voltajes es igual a:
Vn+1
z1
z0 − z1
=1−
=
Vn
z0
z0
Bautizaremos a ésta razón como el factor de propagación y le pondremos
el seudónimo de alfa α:
α=
z0 − z1
z0
Si comprimimos todo, queda que el voltaje para la enésima sección de la
red está dada por:
Vn = α n E
¡Ahora ya podemos obtener el voltaje en cualquier elemento del circuito!
Pongamos las impedancias del capacitor y del inductor en el factor de propagación para formar una red infinitos de ellos y ver que pasa:
p
(L/C) − (ω 2 L2 /4) − i(ωL/2)
α= p
(L/C) − (ω 2 L2 /4) + i(ωL/2)
Hermosa expresión. Notemos que si el ω de arriba es menor que la frecuencia ω0 de corte, los radicales serán números reales, por lo que numerador y
denominador serán iguales y alfa valdrá 1. Podemos escribir
α = eiδ
Lo que significa que la magnitud el voltaje es la misma en cada sección,
sólo que cambia su fase. Delta es de hecho un número negativo y representa
el retraso del voltaje sobre la red. ¿Qué tal para frecuencias altas? Pues que
un w mayor que la frecuencia de corte hace que la expresión para el factor de
propagación sea un número real -pero menor que uno-.
p
(ω 2 L2 /4) − (L/C) − (ωL/2)
α= p
(ω 2 L2 /4) − (L/C) + (ωL/2)
Esto significa que el voltaje en cualquier sección es siempre menor que el
voltaje precedente por un factor de alfa. O sea, para cada frecuencia arriba
de ω0 , el voltaje muere conforme avance por la red. Si bien intuye un comportamiento extraño, permite afirmar que el circuito dejará pasar las bajas
20.6. FILTROS
193
Figura 20.10: a) Esquema de un filtro pasa-altos. b)su factor de propagación
como función de 1/ω
frecuencias e impedirá o filtrará las altas frecuencias. Cualquier circuito diseñado para tener tales características de selección según la frecuencia, se le
denomina filtro.
El circuito anterior posee las capacitancias en paralelo y las inductancias en
serie, por lo que es un filtro pasa-bajos. En caso de intercambiar los elementos,
obtendremos un circuito para un filtro pasa-altos.
¿Pero todo esto es posible en realidad? No olvidemos que estamos tratando
con series de elementos infinitos. Aunque parezca mentira, las mismas características son encontradas en una red con elementos finitos siempre y cuando
acoplemos una impedancia igual a la impedancia característica. Esto es, que
para una aproximación algo alejada de nuestro sentido común, los fenómenos
de la vida cotidiana se ven en un espejo solamente algo despeinadas. Claro que
en el sentido estricto de la palabra, no es posible reproducir los elementos de
tal impedancia característica utilizando solamente resistencias, inductancias y
capacitancias. Pero lo que sí se puede hacer es aproximar una cierta gama de
frecuencias. Los filtros poseen variadas aplicaciones técnicas. Por ejemplo, los
filtros pasa- bajos son usados para alisar la corriente en una fuente de poder
194
CAPÍTULO 20. CIRCUITOS AC
de corriente directa. Si queremos transformar una fuente de corrientes alterna a una de corriente directa, colocamos un filtro entre un rectificador y la
carga. Las bondades del filtro harán que la corriente alterna fluya solo en una
dirección.
Los filtros pasa-altos son usados para rechazar ciertas bajas frecuencias.
El ejemplo más representativo en que en un fonógrafo -de los del siglo pasadoutilizan un filtro para amplificar las ondas de sonido en lugar de que se escuchen
los ruidos procedentes del motor de la tornamesa o el del raspar de la aguja
con el disco.
También es posible crear filtros sintonizados que rechacen frecuencias por
encima y por debajo de cierta gama, que podrían separar señales que ocupan
cierto intervalo de frecuencias, tales como los múltiples canales de voz en un
cable telefónico o en la modulación de las transmisiones de radio.
Capítulo
21
Electrodinámica en notación
relativista
21.1.
Cuadrivectores
Experimentalmente las leyes de la física quedan invariantes si nos movemos
con velocidad uniforme. La relación espacio-tiempo entre dos sistemas de coordenadas con movimiento uniforme en la dirección x con velocidad v está dada
por la transformación de Lorentz:
t − vx
t0 = √
,
1 − v2
y 0 = y,
x − vt
x0 = √
,
1 − v2
z 0 = z,
Cuando aplicamos estas transformaciones a las leyes de la física, la nueva
forma que tomen debe ser igual a la de antes de la transformación. Esto es
similar al principio de que las leyes de la física no dependen de la orientación
de nuestro sistema de coordenadas. Recordemos que, si tenemos dos vectores,
realizamos el producto escalar entre ellos y rotamos el sistema de coordenadas,
la ecuación resultante siempre tendrá la misma forma.
En Relatividad Especial espacio-tiempo están íntimamente mezclados, así
que trataremos de juntar las tres dimensiones espaciales y la temporal. Al hacer
esto nuestras ecuaciones deben permanecer invariantes bajo transformaciones
de Lorentz. Por ahora se tomarán las unidades de longitud y tiempo de modo
que la velocidad de la luz c sea igual a 1.
195
196CAPÍTULO 21. ELECTRODINÁMICA EN NOTACIÓN RELATIVISTA
Un cuadrivector se define como un sistema de cuatro cantidades at , ax , ay , az
que se transforman como t, x, y, y z cuando se pasa a un sistema de coordenadas
en movimiento. Escribiremos aµ = (at , ax , ay , az ) o si queremos indicar que las
tres componentes es un trivector, entonces aµ = (at , ~a)
¿Cómo encontramos el cuadrivector de la velocidad?. Para esto podemos
utilizar el cuadrivector pµ formado por la energía y el momentum de una partícula dividido entre la masa en reposo:


pµ
~
v
c

,q
= q
m0
v2
v2
1−
1−
c2
21.2.
c2
Producto escalar
Bajo rotaciones la distancia de un punto al origen no cambia, es decir r2 =
x + y 2 + z 2 es un invariante, depués de una rotación r02 = r2 .
Entonces de la primera ecuación podemos escribir t02 − x02 = t2 − x2 . Esto
solamente depende del eje x, pero si quisieramos tomar en cuenta las otras
dos coordenadas (x, y), se las podemos restar, esto aún deja nuestro sistema
invariante, lo único que hicimos fue rotar nuestra cantidad. Entonces tendremos
la cantidad r2 en cuatro dimensiones t2 − x2 − y 2 − z 2 .
Esto es un invariante a lo que se llama Grupo completo de Lorentz, en otras
palabras, las transformaciones que corresponden a traslaciones con velocidad
constante y rotaciones). Es válida para cualquier cuadrivector. La combinación
entre dos vectores aµ y bµ es una cantidad invariante, un escalar, debido a
que se transforman del mismo modo. La longitud cuadridimensional se puede
escribir como:
2
aµ aµ = a2t − a · a ≡ a2µ
Para ver como funciona esto, analicemos el choque entre un protón de alta
energía y otro en reposo. Si el protón incidente tiene la energía suficiente se
producirá un par protón antiprotón además de los dos protones que teníamos
originalmente en reposo. Si la energía incidente es mayor los cuatro protones
tendrán energía cinética y se apartaran unos de otros. Si la energía fuera menor
no se podrían producir las cuatro partículas. Estas reacciones se realizan en un
sistema de centro de masa, a será el protón incidente y b el que está en reposo.
pµ será el cuadrivector momentum. Si consideramos pµ del estado inicial y final
tenemos:
p~a + p~b = p~c
(momento lineal)
21.3. EL GRADIENTE EN CUATRO DIMENSIONES
197
Ea + Eb = Ec
o sea:
paµ + pbµ = pcµ
Ahora saquemos la longitud de cada miembro de la ecuación. Como son
iguales y sabemos que pcµ pcµ es invariante, su energía es 4M (M es la masa) y
como estaban en reposo su momento lineal es cero.
(paµ + pbµ )(paµ + pbµ ) = (pcµ )(pcµ ) = 16M 2
Como para cualquier partícula la longitud del cuadrivector momentum es
el cuadrado de la masa de la partúcula. Entonces:
paµ + pbµ = 7M
a
a b
hora paµ = (Ea , p~a ) y p=
µ (M, 0) entonces pµ pµ = M E tendremos
E a = 7M
21.3.
El gradiente en cuatro dimensiones
Ya sabemos cómo es el gradiente en tres dimensiones. Para encontrarlo en
4 dimensiones consideremos una función escalar φ que dependa solo de x y t.
Si variamos φ respecto a t:
∂φ
∆t
∂t
y para un observador en movimiento:
∆φ =
∂φ
∂φ
∆x0 + 0 ∆t0
∂x0
∂t
Podemos expresar ∆x0 y ∆t0 en términos de x y t, con x constante. Si
derivamos parcialmente respecto a x y t, resolvemos con las ecuaciones que
se escribieron al empezar el capítulo y cambiamos el signo (a negativo ) a las
componentes temporales obtendremos el gradiente cuadridimensional.
∂
∇µ =
, −∇
∂t
∆φ =
Definimos la divergencia de un cuadrivector como:
198CAPÍTULO 21. ELECTRODINÁMICA EN NOTACIÓN RELATIVISTA
∇ µ bµ =
∂
∂
∂
∂
∂
bt − −
bx − −
by − −
bz = bt + ∇ · b
∂t
∂t
∂y
∂z
∂t
En tres dimensiones el producto escalar del operador nabla con él mismo
es:
∇2 = ∇ · ∇ =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Para 4 dimensiones se define un operador llamado D´Alambertiano:
2 = ∇µ ∇µ =
21.4.
∂2
− ∇2
∂t2
La electrodinámica en notación cuadridimensional
Anteriormente encontramos que el potencial puede ser escrito por medio de
las siguientes ecuaciones:
2 φ =
ρ
,
0
~=
2 A
~j
0
La cantidad escalar ρ y el vector j son invariantes y 0 es una constante y es
la misma en todos los sistemas de coordenadas, por lo que ρ y ~j se transforman
como un cuadrivector. Esto se puede escribir como jmu /0 . Entonces el poten~ también son las componentes de un cuadrivector:
cial escalar φ y el vectorial A
~ µ = (φ, A)
~
A
Esto significa que son algo de lo mismo. Al juntarlos tendremos un Cuadripo~ µ . Entonces las 2 ecuaciones que encontramos para los potenciales
tencial. A
puede ser escrita de una sola forma:
~µ =
2 A
~jµ
0
Las ecuaciones de Maxwell conservan esta forma, en todos los sistemas de
~ µ = 0 llamada condición de Lorentz.
referencia, con la condición invariante ∇µ A
21.5. EL CUADRIPOTENCIAL DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO 199
21.5.
El cuadripotencial de una carga en movimiento
Si tenemos una carga que en un sistema de coordenadas S’ se mueve con
velocidad v en el eje x relativa a otro sistema S en reposo, entonces el cuadripo~ µ = (φ, A)
~ tendrá las siguientes ecuaciones:
tencial A
φ − vAx
φ0 = √
,
1 − v2
A0y = Ay
Ax − vφ
A0x = √
,
1 − v2
A0z = Az
Para encontrar los potenciales escalar y vectorial, primeramente, como la
carga está en movimiento podemos suponer que la carga se encuentra en el
origen en el sistema S 0 . El potencial escalar en S 0 es:
φ0 =
q
4π0 r0
r0 es la distancia de la carga al punto donde se calcula el campo medida
desde el sistema en movimiento. Las ecuaciones de los potenciales en el sistema
en reposo S son:
φ0 + vA0x
φ= √
,
1 − v2
Ay = A0y
A0 + vφ0
,
Ax = √x
1 − v2
Az = A0z
Si sustituimos φ0 en las dos ecuaciones, ponemos r en función de x, y, z y
como el potencial vectorial en S 0 es igual a cero entonces:
φ=
1
q
1
√
q
√
0
2
4π0 r 1 − v
[(x − vt)/ 1 − v 2 ]2 + y 2 + z 2
~ = vφ
A
21.6.
Invariancia de las ecuaciones de la electrodinámica
Las siguientes dos ecuaciones nos dan la ley fundamental del campo electromagnético:
~µ =
2 A
~jµ
0
200CAPÍTULO 21. ELECTRODINÁMICA EN NOTACIÓN RELATIVISTA
∇µ j µ = 0
Estas ecuaciones que se ven tan simples y bonitas no son más que pura notación que las simplifica, esconden toda las ecuaciones que hay dentro de ellas.
Lo importante es que al ser escritas de esta manera, en forma cuadrivectorial,
quiere decir que “funcionan” o no cambian esencialmente tanto en la geometría
tridimensional como en la cuadridimensional, osea que son invariantes bajo
transformaciones de Lorentz.
La teoría de la relatividad fue desarrollada gracias a que cuando se analizaron
experimentalmente los fenómenos predichos por las ecuaciones de Maxwell se
encontró que eran los mismos en todos los sistemas inerciales. Lorentz, estudiando las propiedades de transformación de las ecuaciones de Maxwell, encontró su
transformación que las dejaba invariantes. Después de esto Einstein intuyó el
principio de relatividad que dice que todas las leyes de la física son invariantes
bajo transformaciones de Lorentz.
Los autores
Aranza García Páez
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Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco
laboris
Rocío García Puente
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Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco
laboris
Martín Rodriguez Vega
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Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco
laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.
Andrés Sepúlveda Quiroz
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Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco
laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.
201
Las figuras
Las ilustraciones de este libro no son todas nuestras. Nos hemos prestado
figuras de las siguientes fuentes:
"The Feynman Lectures on Physics"Volumen 2, Richard Feynman.
"The Electrical Nature of Storms", MacGorman, Donald, Rust, David.
Oxford University Press 1996.
http://www.stormeyes.org/tornado/SkyPix/voda.htm
http://www.wunderground.com/wximage/viewimages.html
http://museumvictoria.com.au/scidiscovery
http://antwrp.gsfc.nasa.gov
http://elf.gi.alaska.edu/#top
http://www.weatherscapes.com/links.php
http://www.usatoday.com/tech/columnist/aprilholladay/2005-05-27-wonderquest_x.h
AUnque ellos no lo sepan, les estamos muy agradecidos.
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