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TEMA 6: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
4º ESO B
NOMBRE: ___________________________________________________
1.- Dados dos triángulos semejantes calcula los lados que faltan sabiendo que los del primero miden
12, 15 y 27 y en el segundo triángulo el lado menor es de 8 cm.
2.- Sean dos rectángulos proporcionales, si los lados de uno de ellos son 6 y 18 cm respectivamente, y
el perímetro del segundo es de 24 cm, calcula las dimensiones del primer rectángulo.
3.- El área de un rectángulo es de 9 cm2. Calcula las longitudes de sus lados sabiendo que es semejante
a otro rectángulo cuyas dimensiones son 4 y 9 cm.
4.- La razón de semejanza de dos triángulos es 5 cm. Si el perímetro del triángulo pequeño es de 18
cm. ¿Cuál es el perímetro del otro triángulo? Si son equiláteros, ¿cuánto mide la longitud de cada
lado?
5.- Calcula el valor que falte en cada caso:
a)
b)
3
20
3
x
12
20
x
c)
9
d)
4
6
6
8
z
x
y
6
x
y
9
7
z
18
6.- La longitud de un cateto en un triángulo rectángulo es 16 cm y su proyección sobre la hipotenusa
mide 12’8 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa, la altura y el otro cateto
7.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 100 cm. y la proyección de uno de sus catetos es
28’8 cm. Resolver el triángulo.
8.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y la longitud de la altura sobre la hipotenusa
mide 4 cm. Calcula la longitud de los catetos del triángulo
9.- En una cancha de baloncesto cuatro jugadores de la selección están situados de la siguiente
manera: Gasol está en el vértice del ángulo recto, y en los otros dos vértices Felipe Reyes y Llull.
Rudy en el lado que une a los dos últimos y perpendicular a Gasol. Si Gasol está a 12 m de Llull y a
9’6 de Rudy. Calcula la distancia con Felipe Reyes y las de Rudy con Felipe Reyes y Rudy con Llull.
10.- Expresa en grados los siguientes radianes:

a) 4  rad
b) 7  rad
c)
rad
3
11.- Expresa en radianes los siguientes grados:
a) 45º
b) 30º
c) 135º
d)
2
rad
5
d) 90º
12.- Halla las todas las razones trigonométricas de los siguientes ángulos (poniendo cada ángulo como
uno de los ejes de coordenadas más o menos 30, 45 ó 60):
a) 225º
b) 120º
c) 330º
d) – 60
13.- Calcula las razones trigonométricas que faltan en cada apartado teniendo en cuenta la razón que
nos dan de dicho ángulo y el cuadrante en que se encuentra:
2
9
a) cos α = –
si
180 < α < 270
b) sen α = –
si 270 < α < 360
3
14
23
5
c) sen α =
si
0 < α < 90
d) tan α = –
si 90 < α < 180
10
8
14.- Comprueba las siguientes igualdades:
a) cos2 β – sen2 α = cos2 α – sen2 β
c) (sen α +cos α )2 = 1 + 2sen α · cos α
15.- Simplifica las siguientes expresiones:
1
a) tan α ·
sen
1 

c) sen α · cos α ·  tan  

tan  

1  tan  cos  sen

1  tan  cos  sen
1  sen
cos
d)

cos
1  sen
b)
b) cos3 α + cos2 α · sen α + cos α · sen2 α + sen3 α
d) sen4 α – cos4 α
16.- ¿Existe algún ángulo con sen  = 0’4 y cos  = 0’6 ? Justifica la respuesta
17.- En una circunferencia de 100m. de radio se unen dos puntos con una cuerda de 60m. ¿Cuánto
vale el ángulo central?
18.- La base de un triángulo isósceles es 10 m. y el ángulo opuesto 60º. Hallar el área.
19.- El ángulo de elevación de la veleta de una torre es 45º a la distancia de 72 m de la torre. Calcula la
altura de la torre.
20.- Desde un faro colocado a 60 m. sobre el nivel del mar el ángulo de depresión de un barco es de
30º ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco?
21.-Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100m. que forma con la horizontal del terreno un
ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura del globo.
22.- Las puntas de las ramas de un compás están a 12 cm. y cada rama tiene 8 cm. Halla el ángulo que
forman las ramas del compás.
23.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos
observaciones desde los puntos A y B, teniendo como ángulos de elevación 30º y 45º respectivamente.
La distancia AB =30 m. Halla la altura de la torre.
24.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo de 30º con la
horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el pie de la torre ese ángulo se hace de 60º. Hallar la altura de
la torre.
25.- Desde un barco vemos la luz de un faro con una inclinación de 30º y, después de avanzar 20 km
en esa dirección, se ve con un ángulo de 60º. ¿A qué distancia estamos del faro?
26.- Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 20 m y 16 m, y que
los ángulos distintos al comprendido entre ellos miden 60º y 45º
27.- ¿A qué distancia me encuentro de un edificio de 50 m de altura, si observo su parte más elevada
con un ángulo de 60º?
28.- Una lancha está amarrada al muelle por una maroma de 25 m, que forma con la horizontal de la
orilla un ángulo de 30º. Suponiendo que la maroma esté completamente estirada, halla la distancia a la
que está de la orilla
29.- Un triángulo isósceles tiene por base 12 cm. y por lados iguales 10 cm. Halla la altura, el área y
los ángulos del triángulo
30.- Resuelve los triángulos:
a) a = 21 cm, b = 16 cm, B̂ = 30º
b) a = 8 cm, c = 14 cm, B̂ = 60º
c) a = 12 cm, b = 18 cm, c = 15 cm
d) a = 18, B̂ = 45º, Ĉ = 135º
31.- La situación geográfica de tres pueblos forma un triángulo. La distancia entre los pueblos A y B es
de 3’1 km y entre B y C de 1’8 km. Si en el plano el ángulo que forman los caminos en el pueblo B es
de 60º, ¿qué distancia hay entre los pueblos A y C?
32.- Calcular el perímetro de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130
m, y forman entre ellos un ángulo de 60º
33.- Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1
km, la segunda de la tercera 1’5 km y ésta de la primera 2 km. ¿qué ángulos forman entre sí dichas
personas?
34.- Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m, otro 1,5 m y el
ángulo opuesto al primer lado debe ser 120º. ¿Cuánto mide el otro lado? ¿Son todos los ángulos
agudos?
35.- Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 150º y
cada uno va por su lado, uno camina a 3 km por hora y el otro a 3,6 km por hora, ¿a qué distancia se
encuentran al cabo de media hora?
36.- Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observa un
árbol situado en la orilla opuesta. Calcular la anchura del río sabiendo que desde el punto A se ve el
árbol con un ángulo de 45º y desde el punto B con un ángulo de 30º