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Operaciones y procesos biotecnológicos I
Unidad temática 5
Bio-reactores Enzimáticos
Dr. Juan Manuel Peralta
Instituto de Desarrollo Tecnológico para la Industria Química (INTEC)
Edificio INTEC 1, Paraje el Pozo, Predio UNL-CONICET, Ruta 168 (colectora).
Tel: +54 342 4511595 ext: 1074, Oficina 12. E-mail: jmperalta@intec.unl.edu.ar
Bio-reactores
Enzimáticos
Contenidos
1. Breve revisión de conceptos fundamentales de cinética enzimática.
2. Derivación de expresiones cinéticas a partir de diferentes mecanismos e
hipótesis simplificatorias: etapa determinante y estado estacionario.
3. Enzimas inmovilizados.
4. Interferencia de los procesos de transferencia de materia (difusión) con la
velocidad de reacción enzimática.
4.1. Caso de la enzimas inmovilizados en placas porosas.
4.2. El número de Damköhler.
4.3. Difusión y reacción enzimática en el interior de matrices porosas esféricas.
4.4. El factor de efectividad y el módulo de Thiele.
Bibliografía
1.
Dutta, R. 2008. Fundamentals of biochemical engineering (Chaps. 2-3). Springer Science + Business Media. Berlin. Germany.
2.
Doran, P. M. 2013. Heterogeneous Reactions (Chap. 13). In: Bioprocess engineering principles. 2nd Ed. Academic Press. London. UK.
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Dr. J. M. Peralta
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Bio-reactores
Enzimáticos
1. Conceptos fundamentales
de cinética enzimática
Enzima
Catalizador biológico (en su gran mayoría proteínas). En general,
trabajan mejor en condiciones óptimas para los seres vivos.
La palabra en griego significa “en la levadura” y fue usada por
primera vez por W. Kühne en 1877 para describir la actividad que
Pasteur observó en las fermentaciones.
Que hacen?
E
Sin enzima
B
A
E
B
A
E
B
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G (energía libre)
A
G+
EAB
AB
Con enzima
AB
A+B
A+B
Reacción
W. Kühne
L. Pasteur
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Bio-reactores
Enzimáticos
1. Conceptos fundamentales
de cinética enzimática
Nomenclatura
1. Nombres no descriptivos
Rennina: cataliza el cuajado de la leche para producir quesos
Pepsina: hidroliza proteínas a pH acido
Tripsina: hidroliza proteínas a pH medio y alcalino
1. Adición del prefijo –asa
Basado en el sustrato: Lactasa (lactosa)
Basado en la reacción: Glucosa isomerasa (isom. de la glucosa)
2.
Código numérico (EC number)
Se usa un código de 4 números
Clase (x.1.1.1)
1. Oxidoreductasas
2. Transferasas
3. Hidrolasas
4. Liasas
5. Isomerasas
6. Ligasas (sintetasas)
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EC 1. 1. 1. 1
Sub (1.x.1.1)
1. CH-OH
2. aldehido
3. CH-CH
4. CH-NH2
5. CH-NH
6. NADH y NADPH
7. Otros comp N
8. S9. Grupos hemo
Sub-sub (1.1.x.1)
1. NAD o NADP
2. aldehído
3. oxigeno
4. bisulfuro
5. quinonas
Sub-sub-sub (1.1.1.x)
1. OH- desidrogenasa
2. OH- deshid. NADP+
3. Homoserina deshid.
4. Butanediol deshid.
5. Acetoina deshid.
6. Gliserol deshid.
7. …
Por ejemplo: EC.1.1.1.1 = alcohol dehydrogenasa
Base de datos: http://expasy.org/enzyme/
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Bio-reactores
Enzimáticos
1. Conceptos fundamentales
de cinética enzimática
Sitio activo
Estos polímeros son usualmente grandes moléculas pero sin embargo solamente una porción pequeña
cataliza la reacción.
Carboxipeptidasa
Catalasa
Los sitios activos suelen estar compuestos por dos componentes:
1. Sitio de enlace o unión: área que sostiene al sustrato
2. Sitio catalítico: área donde sucede la reacción.
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Bio-reactores
Enzimáticos
1. Conceptos fundamentales
de cinética enzimática
Formación complejo Enzima-sustrato (ES)
Para explicar la formación del compuesto intermedio ES se plantearon varias teorías:
1. El modelo de llave-cerradura de Hemil-Fisher (1890)
El complejo ES se forma debido a la
complementariedad geométrica entre
el enzima y el sustrato.
A
A
B
E
B
E
H. Hemil Fischer
2. El modelo del ajuste inducido de Koshland (1958)
El complejo ES se forma debido a que el
enzima cambia su conformación a medida
que se acerca el sustrato para obtener la
complementariedad geométrica.
D. Koshland
3. Uso de otros compuestos (ej. Cofactores y/o coenzimas)
Algunos enzimas forman el complejo ES por la
ayuda de compuestos no proteicos –cofacores– (ej.
E
Mg, Zn, Fe, etc) o moleculas organicas complejas –
coenzimas– (ej. NAD, FAD, CoA, vitaminas, etc.).
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A
E
A
B
E
A
E
B
B
E
A
E
B
Co-E
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Cinética enzimática
Para explicar la formación del compuesto intermedio ES se plantearon varias teorías:
Henri (1902) observó que, en general, las reacciones
enzimáticas presentaban las siguientes particularidades:
C
Producto
1. La velocidad de reacción es proporcional a la concentración
del sustrato (esto es, cinética de primer orden) cuando la
misma es baja.
rP 
rP  rm a x
2. La velocidad de reacción no depende de la concentración
del sustrato cuando la misma es alta debido a que la velocidad
cambia de una reacción de primer orden a una de orden cero a
medida que la concentración de sustrato aumenta.
3. La velocidad máxima de reacción es proporcional a la
concentración de enzima dentro del rango experimentado.
rm a x
KM
CS
Sustrato
Tiempo
Brown (1902) propuso el siguiente
mecanismo de reacción:
Se propuso la expresión:
rP 
rm a x C S
K M  CS
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
S+E
k1
k2
ES
k3
P+E
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2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Bio-reactores
Enzimáticos
Cinética enzimática (cont.)
Para explicar la formación del compuesto intermedio ES se plantearon varias teorías:
La ecuación propuesta por Henri puede ser
obtenida a partir del mecanismo propuesto por
Brown efectuando las siguientes suposiciones:
1. La concentración total de enzima permanece
constante durante la reacción: CEo = CES + CE
2. La cantidad de enzima es muy pequeña en
comparación con la cantidad de sustrato. Por lo
tanto, la formación del complejo ES no reduce
significativamente a la cantidad de sustrato.
3. La concentración de producto es tan baja
que la reacción no se ve afectada por su
concentración.
A partir de estas suposiciones existen tres
formas diferentes de obtener la ecuación para
la velocidad de reacción:
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Michaelis – Menten (1913)
Se asume que la etapa de
formación de producto es
mucho mas lenta que la
de formación del
complejo ES, la cual está
en equilibrio.
L. Michaelis M. Menten
Briggs – Haldane (1925)
Se asume que la
concentración del
complejo ES se mantiene
constante (pseudo
estado estacionario)
Solución numérica
G. Briggs
J. Haldane
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Propuesta de Michaelis – Menten
La velocidad de formación de productos es mucho mas lenta que la velocidad de formación de ES. Esto
puede pensarse debido a que la formación del complejo ES esta basada en interacciones débiles.
Si la reacción mas lenta determina la velocidad global de la reacción,
la velocidad de formación de producto y consumo de sustrato es
proporcional a la concentración del complejo ES:
r 
dCP
dt
La concentración del complejo ES puede relacionarse con la concentración de
S y de E a través de la suposición de que la primera reacción esta en equilibrio:
Sustituyendo esta ecuación en la anterior y teniendo
en cuenta la suposición de que la concentración total
de enzima se mantiene constante:
CE
0
 C ES  C E
 
dCS
dt
 k 3C E S
k 1C S C E  k 3 C E S
C ES 
CE CS
0
k2
k1
Se obtiene:
r 
dCP
dt
 
dCS
dt

k 3C E C S
0
k2
k1
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
 CS

rm a x C S
K M  CS
rm a x  k 3 C E
KM 
 CS
0
k2
k1
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Propuesta de Michaelis – Menten (cont.)
KM : es conocida como la constante de Michaelis-Menten y es igual a la constante de disociación K1 o la
reciproca de la constante de equilibrio Keq:
KM 
k2
k1
 K1 
CSCE
C ES

1
K eq
y tiene las mismas unidades que S.
Es importante destacar que cuando KM es igual a S, la velocidad de reacción es la mitad de la velocidad
máxima. Por lo tanto, este parámetro caracteriza la interacción de un enzima con un dado sustrato.
rmax : es la velocidad máxima de reacción. Este parámetro usualmente no se expresa como el producto de
una constante por la concentración CEo, debido a la dificultad de expresar la concentración de un enzima
en unidades molares (necesidad de conocer el peso molecular del enzima).
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Propuesta de Briggs – Haldane
Teniendo en cuenta el mecanismo propuesto por
Brown, la reacción puede ser expresada como:
dCP
Asumiendo que la variación de CES es despreciable
(dCES / dt = 0) en comparación con las variaciones de
CP y CS:
dC ES
Sustituyendo esta ecuación en la anterior, confirma
que:
dCP
Nuevamente, asumiendo que CEo permanece
constante:
dt
0
dt
 k 1C S C E  k 2 C E S
 k 1C S C E  k 2 C E S  k 3 C E S  0
 
dt
CE

 k 3C E S
dt
dCS
dCS
dt
 k 3C E S
 C ES  C E
C ES 
CE CS
0
k2  k3
k1
Se obtiene:
r 
dCP
dt
 
dCS
dt

k 3C E C S
0
k2  k3
k1
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 CS

 CS
rm a x C S
K M  CS
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Propuesta de Briggs – Haldane (cont.)
donde:
rm a x  k 3 C E
KM 
0
k2  k3
k1
Estas expresiones son similares a las obtenidas por Michaelis -Menten excepto por KM. Esta expresión
puede ser simplificada a la de Michaelis - Menten si:
k2  k3
Lo cual significa que la producción de P es mucho mas lenta que la etapa de disociación de ES. Esto es
esperable debido a que las interacciones enzima – sustrato involucran interacciones débiles y por lo tanto
su disociación será rápida en comparación a los enlaces covalentes involucrados en la producción de P.
Solución numérica
Las expresiones de las velocidades de reacción para el mecanismo propuesto
por Brown son:
dCP
dt
 k 3C E S
dC ES
dt
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
 k 1C S C E  k 2 C E S  k 3 C E S

dCS
dt
 k 1C S C E  k 2 C E S
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Evaluación de los parámetros cinéticos
Los parámetros, rmax y KM, pueden ser
evaluados mediante:
1. Se realiza una serie de experimentos batch
con diferentes concentraciones de sustrato
para una concentración inicial constante de
enzima.
2. Se estima la velocidad inicial de reacción a
partir de CS y CP versus el tiempo para las
diferentes concentraciones de sustrato.
Gráfico de Langmuir
CS
1
r
rm a x
CS
KM
r
rm a x

KM
rm a x

CS
rm a x
CS
Gráfico de Lineweaver-Burk
1
KM
r
rm a x
3. Se estiman los parámetro cinéticos usando
técnicas graficas, el método de mínimos
cuadrados o ajustes no lineales.
1
1
r
rm a x

1
rm a x

KM
1
rm a x C S
1 CS
Gráfico de Eadie-Hofstee
Para aplicar el método planteado, se puede
linealizar la ecuación de Michaelis-Menten (o
Briggs-Haldane) por diferentes métodos:
rm a x
r
K M
r  rm a x   K M
r
CS
r CS
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Inhibición en reacciones enzimáticas
Un modulador es una sustancia que se combina con los enzimas para alterar su actividad catalítica.
Un inhibidor es un modulador que disminuye la actividad catalítica en forma competitiva, no competitiva
o parcialmente competitiva.
Inhibición competitiva
El inhibidor tiene una estructura similar a la del
sustrato, por lo tanto, ambos compiten por el sitio
activo.
La formación del complejo EI reduce la cantidad de
enzima disponible para reaccionar con el sustrato
k1
S+E
ES
k2
+ k
3
I
EI
k4
k5
E+P
E+Q
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Inhibición no competitiva
El inhibidor puede interactuar con el enzima en
varias formas.
Estas pueden ser
reversible o
irreversiblemente
en el sitio activo o
en otra región.
En cualquier caso
el complejo
resultante es
inactivo.
k7
k1
I
ESI
k8
+ k
ES 9 E + P
S+E
k
+ k2
3
E+Q
EI
I
k4 +
k5
EIS
S
k6
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Inhibición competitiva
Si la reacción mas lenta, la de producción de
producto, determina la velocidad de reacción (de
acuerdo con la suposición de Michaelis-Menten), la
velocidad puede ser descripta como:
El balance de enzima: C E
0
C ES

k2
CECI
 KS
k1
C EI

rP 
0
CS  K MI
CS
K MI
k4
k3
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r
1
rm a x
 KI

donde K M I  K S  1 
De aquí: K
MI  K S
E+P
E+Q
k4

CI 

KI 
CS
KM
Combinando estas últimas 4 ecuaciones se obtiene:
k 5C E C S
k5
S+E
ES
k2
+ k
3
I
EI
rP  k 5 C E S
 C E  C ES  C EI
A partir de las dos reacciones en
equilibrio:
CECS
k1
Langmuir
1

1
r
KM
1
rm a x
1 CS
 1 K MI
Lineweaver-Burk
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Inhibición no competitiva
Debido a que el sustrato y el inhibidor no compiten por el sitio activo
para la formación de los complejos ES o EI, se puede asumir que las
const. de disociación para las especies I y S en donde intervienen van a
ser iguales:
k7
k1
I
ESI
k8
+ k
ES 9 E + P
S+E
k2
k8
k4
k6
k2
+
 KI 
 K SI
 KS 
 K IS
k3
k3
k7
k1
k5
E+Q
EI
I
k
4 +
Usando la suposición de Michaelis-Menten (la velocidad de formación de
k5
productos es mas lenta que la de formación de complejos):
EIS
S
rP 
r I ,m a x C S
CS  K S
donde r I ,m a x 
k6
rm a x
1  CI KI
1 r I ,m a x
CS
Por lo tanto, rmax disminuirá por la
presencia del inhibidor mientras que
KM no será afectada.
r
1 rm a x
1 r I ,m a x
r
1
rm a x
K M
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
1
CS
Langmuir
K M
1 CS
Lineweaver-Burk
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Inhibición parcialmente competitiva
Pueden existir muchas variaciones al mecanismo de inhibición
no competitiva.
k7
Un caso es la descomposición del complejo EIS en P y EI.
k1
Este caso se conoce como inhibición parcialmente competitiva.
Otras influencias en la actividad enzimática
Existen otros factores que pueden modificar la actividad
enzimática durante la reacción.
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
S+E
k
+ k2
3
E+Q
EI
I
k4 +
k5
k10
EI + P
EIS
S
k6
-NH2
pK1
pK2
pH
Actividad rel.
-COOpHopt.
-NH3+
-COOH
Actividad rel.
pH: Existe un pH óptimo para cada enzima porque: 1)
En general, los enzimas son proteínas que tienen
residuos de AA, los cuales tienen grupos ácidos,
básicos y neutrales de acuerdo al pH, 2) los sitios
activos funciona para una dada carga de estos grupos.
Temperatura: La velocidades de reacción y de
desnaturalización de los enzimas siguen una
dependencia tipo Arrhenius con la temperatura.
Tensiones de corte en el fluido
I
ESI
k8
+ k
ES 9 E + P
k  A0 e
E RT
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T
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Bio-reactores
Enzimáticos
2. Expresiones cinéticas a partir de
diferentes mecanismos e hipótesis
Problema de aplicación
En una reacción catalizada por un enzima se forman múltiples complejos de la siguiente forma:
k1
S  E
k2
 E S 1
k3
k4
 E S 2
k5
 E  P
Desarrollar una expresión para la velocidad de reacción usando:
(a) el enfoque de Michaelis-Menten
(b) el enfoque de Briggs-Haldane.
Michaelis-Menten
rm a x 
KM 
k 3 k 5C E
k3
k3
rS 
0
 k4
k4
 k4
Briggs-Haldane
K M  CS
rm a x 

k2

rm a xC S
k1
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
KM
k 3 k 5C E
k3
0
 k4  k5
k  k k  k
2
3
4
5
 

k 1k 3




k3


k 1   k 3  k 4  k 5
k4
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
18
3. Enzimas inmovilizados
Bio-reactores
Enzimáticos
Enzimas inmovilizados
Debido a que la mayoría de los enzimas son proteínas globulares, estas son solubles en agua. Por lo tanto,
es muy difícil o inviable su separación de la corriente de proceso para su reutilización.
Ventajas
 Reducción de costos, comparado con los
sistemas con enzimas libres donde se requiere un
proceso de purificación.
 Algunos métodos de inmovilización pueden
incrementar la actividad.
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Desventajas
 Muchos enzimas inmovilizados presentan una
reducción en su actividad.
 Pueden ser mas costosos que los enzimas libres.
 Puede existir reducción en la actividad debido a
la transferencia de materia.
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Bio-reactores
Enzimáticos
3. Enzimas inmovilizados
Métodos de inmovilización
Entrampada
En matriz
Ligada
En membrana
Adsorbida
Covalente
(física o iónica)
E E
E
E
E
Microencapsulación
Macroscópicas
E E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
Métodos físicos
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E E E
E E
E
E E
E
Soporte
Enzima
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
Métodos químicos
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3. Enzimas inmovilizados
Bio-reactores
Enzimáticos
Métodos de inmovilización (cont.)
Métodos físicos
Entrampamiento en matriz: La solución que contiene el enzima se mezcla con un fluido polimérico
que solidifica en varias formas (usualmente en pequeñas partículas).
El material polimérico es semipermeable provocando que los enzimas con alto peso molecular no
difundan hacia el exterior pero permitiendo que los sustratos pequeños difundan.
Las matrices usadas son:
Alginato de calcio, agar, polyacrilamida, colageno.
Entrampamiento en membrana: Las soluciones enzimáticas pueden ser entrampadas entre finas
membranas semipermeables:
Nylon, polisulfonas, celulosa, poliacrilato.
Microencapsulación: Los enzimas se inmovilizan dentro de microcápsulas son membranas
semipermeables.
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21
Bio-reactores
Enzimáticos
3. Enzimas inmovilizados
Métodos de inmovilización (cont.)
Métodos químicos
Enlace covalente a soportes: residuos de AA , que no son funcionales (participan en el sitio activo), se
unen al soporte.
Los grupos funcionales son: -COOH
-SH
-OH
-NH2
-fenil
-imidazol
Soportes comunes son:
1. Soportes sintéticos (polipéptidos, polímeros con grupos: acrilamida, anhidrido maleico,
metacrilatos y estireno).
2. Soportes naturales (agarosa, celulosa, dextrano, vidrio y almidón).
Enlace covalente entre enzimas: La inmovilización se puede producir uniendo enzimas por medio de
crosslinking produciendo derivados insolubles.
Métodos físicos o químicos
Adsorción: Es el método mas simple de inmovilización. Usualmente se produce por fuerzas físicas
débiles: van der Waals, dispersión, etc.
La inmovilización es débil, posee una bajo poder de inmovilización y es dependiente del pH, fuerza
iónica y la temperatura.
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Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Efecto de la transferencia de materia
La inmovilización de enzimas puede introducir un nuevo problema, el cual esta ausente en enzimas libres.
Este problema se debe al gran tamaño del enzima inmovilizado o debido a la inclusión del enzima en la
matriz polimérica.
El trayecto hipotético del sustrato desde el fluido hasta el enzima:
1. Transferencia desde el seno del liquido hasta la capa
relativamente no mezclada que rodea el enzima
inmovilizado.
2. Difusión a través de la capa relativamente no
mezclada.
3. Difusión desde la superficie de la partícula hacia el
sitio activo del enzima en el interior del soporte.
1
2
3
E
CSb
CS
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23
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia externa
Si un enzima es inmovilizado en la superficie de la partícula de soporte, la trayectoria del sustrato solo se
compone de las dos primeras etapas.
La velocidad de transferencia de materia será proporcional a la diferencia de concentración (fuerza
impulsora):
N s  k s A C Sb  C S

CSb y CS: concentraciones de sustrato en el seno del liquido y la superficie
de la partícula, respectivamente.
ks: coeficiente de transferencia de materia.
A: superficie de una partícula de soporte.
Durante la reacción, la velocidad de transferencia de sustrato es
rm a x C S
igual a la velocidad de consumo del mismo. Por lo tanto, si la
rp  k s a C S b  C S  
K M  CS
velocidad de reacción puede ser descripta por Michaelis-Menten:
Expresando esta ecuación en forma adimensional:
1  xS
N Da

 xS
1   xS
xS 
CS
CSb
 
CSb
KM
N Da 
rm a x
kS aCSb
Número de Damköhler
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Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia externa (cont.)
Número de Damköhler: es la relación entre la máxima velocidad de reacción química y la máxima
velocidad de transferencia de materia:
N Da 
M á x im a v e l. d e r e a c c ió n q u ím ic a
M á x im a v e l. d e tr a n s fe r e n c ia d e m a te r ia

rm a x
k S a C S b  0 
NDa << 1: la transferencia de materia es mucho mayor que la velocidad de reacción. Por lo tanto, la
velocidad global de reacción es controlada por la reacción enzimática:
rp 
rm a x C S b
K M  CSb
NDa >> 1: la velocidad de reacción es mucho mayor que la transferencia de materia. Por lo tanto, la
velocidad global de reacción es controlada por la transferencia de materia, la cual se puede describir
como una reacción de primer orden:
rp  k s a C Sb
Para medir la extensión en la cual la velocidad de reacción es alterada debido a la transferencia de
materia, se define el factor de efectividad interno de un enzima inmovilizado como:
 
V e lo c id a d d e r e a c c ió n c o n tr a n s f. d e m a te r i a
V e lo c id a d d e r e a c c ió n s in tr a n s f. d e m a te r ia
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Dr. J. M. Peralta
25
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia externa (cont.)
Teniendo en cuenta el modelo planteado:
 xS
rm a x C S
 
K M  CS
rm a x C S b
K M  CSb
Si:
Si:
Si:
xS = 0
CS = 0
xS = 1
CS = CSb

1   xS


1    x S
1   xS
 f
 xS ,  
1 
 = 0 (Máxima limitación: vel. de reacción igual a difusión)
 = 1 (No hay limitación)
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Dr. J. M. Peralta
26
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia externa (cont.)
En general no es sencillo conocer el valor de kS. Por este motivo se recurre a correlaciones empíricas en
función de las principales variables del sistema.
Partículas esféricas con libre movimiento:
Sh 
Para
G r  36
4

Rep  G r 18
36  G r  8  10
8  10

4  1 .2 1 R e p S c
0 .6 7
4
 G r  3  10
R e p  0 .1 5 3G r
9
R e p  1 .7 4G r
Rep  10
0 .7 1
3
Rep Sc  10
4
0 .5
0 .5
S h  2  0 .6 R e p
Sc
0 .3 3
Partículas esféricas en lecho empacado:
Para
10  Rep  10
Donde:
Rep 
Reynolds
4
D pu pl  L
L
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
0 .5
S h  0 .9 5 R e p
Sc 
L
Schmidt  L D A L
Sc
0 .3 3
Sh 
kS D p
Sherwood D A L
3
Gr 
Grashof
gDp L
p
 L

3
L
Dr. J. M. Peralta
27
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna
El conjunto de suposiciones generan un modelo denominado modelo distribuido:
1. El sistema es isotérmico
2. La transferencia de materia ocurre solamente por difusión
molecular
3. La difusión se describe por la Ley de Fick con un coeficiente de
difusión constante
CS
4. El sistema es homogéneo
5. El coeficiente de partición del sustrato es igual a uno
dr
R
6. El sistema está en estado estacionario
7. La concentración de sustrato varía con una sola variable
espacial
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
r
CSb
Dr. J. M. Peralta
28
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
El conjunto de suposiciones generan un modelo denominado modelo distribuido.
Aplicando un balance de materia
para el sustrato para una cascara
esférica de espesor dr :
2
 4 r d r
1
2
 4
r
 dr
r

2
dCS
 dr
D Ae

D Ae
dCS

d  dCS 



 dr 
dr  dr 
 dr

2
1
3
dt
2
 V e lo c id a d d e 
 V e lo c id a d d e   V e lo c id a d d e 
 V e lo c id a d d e 






 



in g re s o
e g re s o
 a c u m u la c ió n 

 

 g e n e r a c ió n 
4
2
 4 r D Ae
 4
r
2
dCS
dr
CS

d r rS
R

Para la condición de estado estacionario, el cambio en la
concentración de sustrato dCS / dt = 0. Simplificando el balance:
Esta ecuación puede ser resuelta utilizando una expresión para rS.
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
r
dr
dCS

dCS
dCS
d  dCS 
2
2
2

 r d r rS  r d r


 dr   r D Ae
dr  dr 
dr
dt
 dr


4
3
CSb
D Ae
 d 2C
2 dCS
S


 dr 2
r dr


  rS  0


Dr. J. M. Peralta
29
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Algunos valores del coeficiente
efectivo de difusión (DAe) se
presentan en la siguiente tabla.
En la ecuación de balance, sólo es
necesario reemplazar el término rS
por una expresión cinética adecuada.
En el caso de una reacción
enzimática, son útiles las siguientes
expresiones:
Soluto
Gel
Glucosa
Etanol
Sacarosa
Sacarosa
Sacarosa
Sacarosa
Lactosa
L-triptofano
Alginato (Ca)
Alginato (Ca)
Gelatina
Gelatina
Gelatina
Gelatina
Gelatina
Alginato (Ca)
Cinética de orden cero:
rS   k 0
Cinética de primer orden:
r S   k 1C S
Cinética de Michaelis-Menten:
rS  
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
rm a x C S
Conc. (%)
2
2
0
3.8
5.7
7.6
25
2
Temp. (°C)
25
25
5
5
5
5
5
30
DAe (m2 s-1)
6.10 10-10
1.00 10-9
2.85 10-10
2.09 10-10
1.86 10-10
1.35 10-10
0.37 10-10
6.67 10-10
A continuación se tratarán los casos por
separado para obtener las expresiones de
los parámetros mas importantes.
K M  CS
Dr. J. M. Peralta
30
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Cinética de orden cero
Asumiendo que el consumo de sustrato sigue una cinética de orden cero:
rS   k 0
si
CS  0
Esta es una buena aproximación cuando KM << CS en la cinética de
Michaelis-Menten. Es ese caso k0 = rmax.
rS  0
si
CS  0
2
d CS
Sustituyendo esta cinética en el balance:
reordenando:
d
2
 rC S 
dr
2

k0
D Ae
dr
CS 
r
Usando las condiciones de contorno:
dCS
dr
Se obtiene:
CS
CSb

k0
6D AeC Sb

 r


2
 R
2
  2R
3
c
 0
1
 1


r
R
1 k0
6 D Ae

2
r
2
cuando
r

dr
 C1 
k0
D Ae
 0
CS  0
si
C2
r
CS  CSb
r  RC
cuando
r  R

  1

Finalmente, el factor de efectividad para esta cinética es:
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
2 dCS
 
4
3 
4
R
3
3
 Rc
3  R k0
3
k
0
 Rc 
 1 

 R 
3
Dr. J. M. Peralta
31
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Cinética de orden cero
Cuando el valor de Rc no es conocido, se opta por la estrategia de asumir que CS > 0 en toda la partícula.
Esta suposición hace que:
RC  0
Entonces el perfil de concentración se simplifica en:
CS  CSb 
1 k0
6 D Ae
r 2
 R
2

A partir de la expresión de la concentración se puede calcular el R máximo que hace:
Este radio se calcula mediante la expresión: R m a x
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I

6
D Ae
k0
CS  0 cuando r  0
CSb
Dr. J. M. Peralta
32
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Cinética de primer orden
xS  CS CSb
Sustituyendo la expresión de la cinética de primer d  r x S   9  2 x
r  r R
S
2
orden en la ecuación de balance de materia y
dr
   R 3  k1 D Ae
adimensionalizando este último:
El módulo de Thiele es un parámetro que mide la relación entre las
Modulo de Thiele
velocidades de reacción y difusión. En la literatura existen varias definiciones.
2
Resolviendo la expresión del balance:
Usando las condiciones de contorno:
xS 
1
C 1 c o s h  3  r
r 
  C2
s e n h  3  r  
xs =1 cuando r  1
x s e s a c o ta d a c u a n d o r  0
Por lo tanto:
xS 
s e n h  3 r

1
r s e n h  3

0.8

 Ap

V p D A e C S b R
 dxS
dr
  0 .5
0.6
El factor de efectividad será:
 
1
 r 1
3
1
2
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
0.1
0.4
  2
0.2
k 1C S b
3  c o th  3 

xs
  5
0
0.01
0
0.2
0.4
0.6
r
0.8
1
0.1
1

10
Dr. J. M. Peralta
100
33
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
CSb
2
El modelo distribuido aplicado a una geometría
d CS
D Ae
 rS  0
rectangular queda:
2
CS
dz
dCS
dz
Aplicando las condiciones de contorno:
 0
CS  CSb
cuando
z  0
cuando
z  b
Reacción de orden cero
Balance de
materia
d xS
Perfil de
concentración
Factor de
efectividad
b
Reacción de primer orden
xs  CS CSb
2
dz
z
2

2
z  z b
 0
 
xS  1  
2
b
1 
2

2

z
0    1
  1
 
xs  CS CSb
1
  1
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
k0
 D AeC Sb 
Balance de
materia
2
d xs
dz
2
Perfil de
concentración
xS 
Factor de
efectividad
 
2
  xs  0
z  z b
  b
k1 D Ae
c o s h  z 
z c o s h 
ta n h  



Dr. J. M. Peralta
34
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Cinética de Michaelis-Menten
El uso de esta cinética conlleva resolver el balance de materia en forma numérica.
Geometría esférica
Balance de
materia
D Ae
Modulo de Thiele:
 d 2C
2 dCS
S


 dr 2
r dr

 
R
r S ,m a x
3
D AeC Sb
1

rm a x C S
 0
 
 K
 CS
M

Primer orden
2
Balance de
materia
D Ae
Modulo de Thiele:
  b
d CS
dz
2
 
Orden
cero
rm a x C S
K M  CS
  
KM
 0
D AeC Sb
CSb

0.1

r S ,m a x
1
  
  0

Geometría rectangular
 
Orden
cero
  0
CSb
KM
Primer orden
0.1
  5
  5
Michaelis-Menten
Michaelis-Menten
0.01
0.01
0.1
1

10
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
100
0.1
1

10
100
Dr. J. M. Peralta
35
Bio-reactores
Enzimáticos
4. Efecto de la transferencia de materia
Resistencia interna (cont.)
Criterio de Weisz
El criterio de Weisz es válido para todas las geometrías y permite determinar si la transferencia de
materia puede afectar el proceso.
Las siguientes observaciones
pueden efectuarse:
  0 .3
  1
  3
 1
0 .3    3
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Se requiere un análisis mas detallado para
determinar la influencia de la transferencia de
materia
Dr. J. M. Peralta
36
4. Efecto de la transferencia de materia
Bio-reactores
Enzimáticos
Problema de aplicación
Se quiere catalizar una reacción mediante un enzima que es inmovilizado por una técnica de copolimerización. El diámetro medio de las partículas esféricas es de 2 mm. La concentración del sustrato
en la solución es de 0,1 mol L-1. La reacción química puede ser descripta por una cinética de primer
orden con un k1 = 0,002 s-1. Se encontró que ambas resistencias, interna y externa, son significativas. El
coeficiente de transferencia de materia alrededor de la partícula es de aproximadamente 0,02 cm s -1 y el
coeficiente de difusión del sustrato en la partícula es de 5×10-6 cm2 s-1.
a. Si la resistencia interna a la transferencia de materia es despreciable, plantee la ecuación de balance
en forma adimensional y calcule cuál será la concentración de sustrato en la superficie de la
partícula. Cuál será el factor de efectividad para este enzima inmovilizado?
b. Si la resistencia externa a la transferencia de materia es despreciable, cuál será la concentración del
sustrato en la posición radial?
(a)
C S  0 .0 9 9 3
(b)
m ol
C S  0 .0 6 4 8
L
  0 .9 9 3
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
m ol
L
  0 .8 0 6
Dr. J. M. Peralta
37
4. Efecto de la transferencia de materia
Bio-reactores
Enzimáticos
Problema de aplicación #2
Se quiere catalizar una reacción de formación de galactosa, hidrolizando lactosa, por medio de lactasa
que es inmovilizado por una técnica de co-polimerización. El diámetro medio de las partículas esféricas
es de 1,5 mm. La concentración del sustrato en la solución (Csb) es de 0,1 kmol m-3. El modelo cinético
puede ser descripto por:
donde S, P, Q y E representan a la lactosa, galactosa, glucosa y el enzima libre, respectivamente. En
ensayos cinéticos se pudo encontrar que: k1 = 1 m3 kmol-1 s-1, k2 = 2 s-1, = 0,1 s-1, k3 = 3 m3 kmol-1 s-1 y k4
= 1,5 s-1. Se observó que ambas resistencias, interna y externa, son significativas. El coeficiente de
transferencia de materia por unidad de área volumétrica alrededor de la partícula (ksa) es de
aproximadamente 0,8 s-1 y el coeficiente de difusión del sustrato en la partícula (Ds) es de 5x10-4 cm2 s-1.
a. Derive la ecuación (paso por paso) de velocidad de reacción para la producción de galactosa usando el
enfoque de Michaelis-Menten. La presencia de galactosa inhibe la reacción?
b. Si la resistencia interna a la transferencia de materia es despreciable, plantee la ecuación de balance
en forma adimensional y calcule cuál será la concentración de sustrato en la superficie de la partícula
(Cs). Cuál será el factor de efectividad () para este enzima inmovilizado?
c. Usando una solución de Csb = 0,01 kmol m-3 se puede suponer que la cinética química es de primer
orden (k1=rmax/kM ). Si la resistencia externa a la transferencia de materia es despreciable, cuál será la
concentración del sustrato en la posición radial r = R/2? Datos: CE0= 1 kmol m-3.
Operaciones y Procesos Biotecnológicos I
Dr. J. M. Peralta
38