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Facultad de Ciencias Sociales
Universidad de la República
Curso: Análisis Económico, 2010
PRÁCTICO 1: PAUTA DE RESPUESTA
1. Cuando una persona ahorra, la riqueza de dicha persona aumenta, pues puede
consumir más en un momento futuro. Sin embargo, si todo el mundo ahorra, los
ingresos de todos disminuyen, pues todos están obligados a consumir menos hoy.
Explique la aparente contradicción.
Este es un ejemplo de cómo el efecto macroeconómico de las acciones individuales es
distinto de aquel que cada individuo previó cuando tomó su decisión.
Se le conoce como paradoja del ahorro: si los individuos aumentan su tasa de ahorro
para consumir más en el futuro a cambio de renunciar a consumo presente, la demanda
actual de bienes y servicios cae y con ella la producción y el ingreso. De esta manera,
una actitud previsora genera un impacto negativo en el ingreso de los individuos.
2. En Macronesia hay 100.000 habitantes. De ellos, 25.000 son demasiado mayores
para trabajar y 15.000 demasiado jóvenes. De los 60.000 restantes, 10.000 no están
trabajando y ya no están buscando empleo, 45.000 tienen empleo y los 5.000 restantes
están buscando empleo pero de momento siguen sin trabajo.
2.1. ¿Cuál es la población activa de Macronesia?
La población económicamente activa es aquella población en edad de trabajar que se
encuentra trabajando (empleados) o que busca activamente trabajar (desempleados).
PEA = Empleados + Desempleados
PEA = 45.000 + 5.000 = 50.0000 habitantes.
2.2. ¿Cuál es la tasa de desempleo de Macronesia?
TD =
Desempleados
5.000
× 100 =
× 100 = 10%
PEA
50.0000
2.3. ¿Cuántas personas de Macronesia son “trabajadores desanimados”?
Los trabajadores desalentados son personas que no trabajan, que son capaces de
trabajar pero no están buscando empleo de manera activa. Ya explicamos en clase la
contradicción que envuelve el término “trabajador” en este caso, ya que de hecho, esta
masa de individuos no forma parte de la PEA.
En Macronesia, las personas desalentadas son 10.000.
3. En Macrolandia, a principios de 2005, la producción agregada era de 10.000
millones de dólares y la población era un millón de personas. Durante 2005, la
producción agregada se incrementó en un 3,5% y la población en un 2,5%. El nivel
general de precios se mantuvo constante.
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3.1. ¿Cuál era la producción agregada per cápita en Macrolandia a principios de
2005?
c
=
y 2004
y 2004 10.000.000.000
=
= 10.000 dólares/ habitante
1.000.000
N 2004
3.2. ¿Cuál era la producción agregada en Macrolandia a finales de 2005?
y 2005 = y 2004 × (1 + yˆ 2004− 2005 ) = 10.000 × (1 + 0,035) = 10.350 millones de dólares
3.3. ¿Cuál era la población de Macrolandia a finales de 2005?
N 2005 = N 2004 × (1 + Nˆ 2004−2005 ) = 1.000.000 × (1 + 0,025) = 1.025.000 habitantes
3.4. ¿Cuál era la producción agregada per cápita en Macrolandia a finales de 2005?
c
=
y 2005
y 2005 10.350.000.000
=
= 10.097,56 dólares/ habitante
1.025.000
N 2005
3.5. ¿Cuál ha sido la tasa de crecimiento anual de la producción agregada per cápita
de Macrolandia durante 2005?
Puede calcularse de dos formas con los datos que se tienen:
a) Aplicando la definición de tasa de crecimiento:
c
yˆ 2004
− 2005 =
c
c
− y 2004
y 2005
10.097,56 − 10.000
× 100 =
× 100 = 0,98% ≈ 1%
c
10.000
y 2004
b) A través de las tasas de crecimiento que se proveen en la letra del ejercicio:
c
ˆ
ˆ
yˆ 2004
− 2005 = y 2004− 2005 − N 2004− 2005 = 3,5 − 2,5 = 1%
Ya que la tasa de crecimiento del producto per cápita es igual a la tasa de crecimiento
del producto agregado menos la tasa de crecimiento de la población.
4. La pequeña economía de Pizzania produce tres productos (pan, queso y pizza) y
cada producto lo produce una empresa distinta. Las empresas de pan y queso
producen todas las materias primas necesarias para hacer pan y queso
respectivamente; la empresa de pizzas utiliza pan y queso comprado a las otras dos
empresas para hacer las pizzas. Las tres empresas emplean a trabajadores para
producir sus bienes y el beneficio de la empresa es la diferencia entre el valor de
venta de los bienes y la suma de los costes laborales y de materias primas. La tabla
siguiente resume la actividad de las tres empresas en el supuesto de que todo el pan y
el queso producido se venden a la empresa de pizza como materias primas de su
producción.
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Costo de materias
primas
Salarios
Valor de la
producción
Empresa de pan
($)
0
Empresa de queso
($)
0
15
50
20
35
Empresa de pizza
($)
50 pan
35 queso
75
200
4.1. Calcule el PBI por el método del valor agregado.
Se suma el valor agregado en cada etapa del proceso productivo. El VA es el valor de la
producción menos el costo de la materias primas. En las empresas de pan y queso, el
valor agregado es 50 y 35 respectivamente. En la empresa de pizza, el valor agregado es
200 – (50+35). Por lo tanto, el PBI calculado sumando el VA sectorial es:
3
PBI = ∑ VABi = 50 + 35 + 115 = $ 200
i =1
Observar que el valor de la producción de la pizza ya contiene al valor de la producción
de los insumos intermedios, por lo tanto, el valor agregado de la producción de pizza es
el valor de producción de pizza menos el costo de los insumos intermedios utilizados en
su producción (200 – 50 -35 = 115)
4.2. Calcule el PBI por el método del gasto total en bienes y servicios finales.
PBI = Valor del Consumo Final = Valor de la Producción de Pizza = $200
El consumo final puede adoptar distintas formas (consumo de los hogares, inversión,
gasto del gobierno o exportaciones netas). En este caso el único bien de consumo final
que se produce en la economía es la pizza, por lo tanto, el valor de las compras será
igual al valor de producción de la pizza.
4.3. Calcule el PBI por el método de los ingresos de los factores.
El PBI es igual al pago de todos los factores productivos empleados en la producción.
En esta economía se contratan trabajadores a los que se remunera con un salario y la
empresa se queda con sus beneficios.
3
PBI = ∑ (Salarios + Beneficios )i = (15 + 35) + (20 + 15) + (75 + 40) = $200
i =1
Observar que los beneficios para cada empresa se calculan como la diferencia entre el
valor de producción y el costo de producción.
5. Suponga ahora que en la economía de Pizzania el queso producido se vende tanto
a la empresa de pizzas como a los consumidores, en este caso como bienes finales. La
tabla siguiente resume las actividades de las tres empresas:
3
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Costo de materias
primas
Salarios
Valor de la
producción
Empresa de pan
($)
0
Empresa de
queso ($)
0
25
50
30
60
Empresa de pizza
($)
50 pan
35 queso
75
200
5.1. Calcule el PBI por el método del valor agregado.
3
PBI = ∑ VABi = 50 + 60 + 115 = $225
i =1
Observar que ahora la empresa de queso produce más de manera de seguir abasteciendo
a la empresa de pizza con su necesidad de queso como materia prima, y además vender
directamente al consumidor final.
5.2. Calcule el PBI por el método del gasto total en bienes y servicios finales.
PBI = Valor del Consumo Final = Valor de la Producción de Pizza + Valor de la
Producción de Queso vendida al consumidor final = 200 + (60 -35) = $225
5.3. Calcule el PBI por el método de los ingresos de los factores.
3
PBI = ∑ (Salarios + Beneficios )i = ( 25 + 25) + (30 + 30) + (75 + 40) = $225
i =1
6. La economía de Britannica produce tres bienes: computadores, reproductores de
video y pizzas. La tabla siguiente muestra los precios y la producción de los tres
bienes en los años 2002, 2003 y 2004.
Año
2002
2003
2004
Computadores
Precio ($) Cantidad
900
10,0
1000
10,5
1050
12,0
Videos
Precio ($) Cantidad
10
100
12
105
14
110
Pizzas
Precio ($) Cantidad
15
2
16
2
17
3
6.1. ¿Cuál es la variación porcentual en la producción de cada bien de 2002 a 2003 y
de 2003 a 2004?
Para los computadores:
Q − Q2002
10,5 − 10
× 100 =
× 100 = 5%
Qˆ 2002− 2003 = 2003
Q2002
10
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Q − Q2003
12 − 10,5
× 100 =
× 100 = 14,3%
Qˆ 2003− 2004 = 2004
Q2003
10,5
Para los videos:
Q − Q2002
105 − 100
× 100 =
× 100 = 5%
Qˆ 2002− 2003 = 2003
Q2002
100
Q − Q2003
110 − 105
× 100 =
× 100 = 4,8%
Qˆ 2003− 2004 = 2004
Q2003
105
Para las pizzas:
Q − Q2002
2−2
× 100 =
× 100 = 0%
Qˆ 2002− 2003 = 2003
Q2002
2
Observar que la producción de pizzas se mantuvo constante entre 2002 y 2003.
Q − Q2003
3− 2
× 100 =
× 100 = 50%
Qˆ 2003− 2004 = 2004
Q2003
2
6.2. ¿Cuál es la variación porcentual de los precios de cada bien de 2002 a 2003 y de
2003 a 2004?
Para los computadores:
P − P2002
1000 − 900
× 100 =
× 100 = 11,1%
Pˆ2002−2003 = 2003
P2002
900
P − P2003
1050 − 1000
× 100 =
× 100 = 5%
Pˆ2003− 2004 = 2004
P2003
1000
Para los videos:
P − P2002
12 − 10
× 100 =
× 100 = 20%
Pˆ2002− 2003 = 2003
P2002
10
P − P2003
14 − 12
× 100 =
× 100 = 16,7%
Pˆ2003− 2004 = 2004
P2003
12
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Para las pizzas:
P − P2002
16 − 15
× 100 =
× 100 = 6,7%
Pˆ2002− 2003 = 2003
P2002
15
P − P2003
17 − 16
× 100 =
× 100 = 6,3%
Pˆ2003− 2004 = 2004
P2003
16
6.3. Calcule el PBI nominal de Britannica para cada año. ¿Cuál es la variación
porcentual del PBI nominal de 2002 a 2003 y de 2003 a 2004?
PBI nominal:
⎛ 3
⎞
PBI 2002 = Y2002 = ⎜ ∑ Pi × Qi ⎟
= (900 x 10) + (10 x 100) + (15 x 2) = $10.030
⎝ i =1
⎠ 2002
⎛ 3
⎞
PBI 2003 = Y2003 = ⎜ ∑ Pi × Qi ⎟
= (1000 x 10,5) + (12 x 105) + (16 x 2) = $11.792
⎝ i =1
⎠ 2003
⎛ 3
⎞
PBI 2004 = Y2004 = ⎜ ∑ Pi × Qi ⎟
= (1050 x 12) + (14 x 110) + (17 x 3) = $14.191
⎝ i =1
⎠ 2004
Cálculo del PBI nominal. PBI a precios corrientes.
Computadores
Año
Precio ($)
Cantidad
Videos
Valor
Precio ($)
Cantidad
Pizzas
Valor
PBI
nominal
Precio ($)
Cantidad
Valor
2002
900
10
9000
10
100
1000
15
2
30
10030
2003
1000
10,5
10500
12
105
1260
16
2
32
11792
2004
1050
12
12600
14
110
1540
17
3
51
14191
Variación porcentual del PBI nominal:
Y − Y2002
11.792 − 10.030
× 100 =
× 100 = 17,6%
Yˆ2002− 2003 = 2003
Y2002
10.030
Y − Y2003
14.191 − 11.792
× 100 =
× 100 = 20,3%
Yˆ2003− 2004 = 2004
Y2003
11.792
6.4. Calcule el PBI real de Britannica usando los precios de 2002 para cada año.
¿Cuál es la variación porcentual en el PBI real de 2002 a 2003 y de 2003 a 2004?
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Cálculo del PBI real. PBI a precios constantes de 2002.
Computadores
Videos
Pizzas
PBI real
Año
Precio ($)
Cantidad
Valor
Precio ($)
Cantidad
Valor
Precio ($)
Cantidad
Valor
2002
900
10
9000
10
100
1000
15
2
30
10030
2003
900
10,5
9450
10
105
1050
15
2
30
10530
2004
900
12
10800
10
110
1100
15
3
45
11945
Solución alternativa usando el índice de Paasche.
PBI real:
yt =
Yt
× 100
Pt
Siendo Pt un índice de precios. Si usamos la fórmula de Paasche (recordemos que no
podemos “sumar” cantidades que están expresadas en unidades distintas por lo cual
debemos usar un índice compuesto) tenemos que:
Pt =
∑P
∑P
i
t
× Qti
i
0
×Q
i
t
× 100 =
Yt
× 100
i
i
P
Q
×
∑ 0 t
Obsérvese que el numerador del índice de precios no es otra cosa que el PBI nominal
para el año t.
Si sustituimos en la fórmula del PBI real tenemos que:
yt =
Yt
× 100 =
Pt
Yt
Yt
× 100
∑ P0i × Qti
× 100 = ∑ P0i × Qti
i
i
y 2002 = ∑ P2002
× Q2002
= Y2002 = $10.030
Observar que el PBI real y nominal del 2002 coinciden. Esto es debido a que se tomó
como base los precios de ese año.
i
i
y 2003 = ∑ P2002
× Q2003
= (900 × 10,5) + (10 × 105) + (15 × 2) = $10.530
i
i
y 2004 = ∑ P2002
× Q2004
= (900 × 12) + (10 × 110) + (15 × 3) = $11.945
Variación porcentual del PBI real
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yˆ 2002− 2003 =
y 2003 − y 2002
10.530 − 10.030
× 100 =
× 100 = 5%
y 2002
10.030
yˆ 2003− 2004 =
y 2004 − y 2003
11.945 − 10.530
× 100 =
× 100 = 13,4%
y 2003
10.530
7. Según el Banco Central del Uruguay (http://www.bcu.gub.uy/a31.html), el PBI a
precios corrientes y constantes de Uruguay entre 1988 y 2007 fue el que indica la
siguiente tabla:
FECHA
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
SERIE 19086
SERIE 19135
PBI en miles de $ PBI en miles de $ de
corrientes
1983
2944611
209892
5242091
212209
10874807
212840
22610288
220372
38953979
237851
59124802
244172
88140376
261951
122520863
258159
163545806
272559
204925566
286317
234266812
299311
237143036
290791
243027071
286600
247211395
276898
260966690
246351
315677680
251709
379352723
281461
406705433
300104
464801884
321110
541868644
344939
7.1. ¿Por qué el PBI real (a precios constantes de 1983) es menor que el PBI nominal
(a precios corrientes) en todo el período analizado? ¿Hay algún año para el cual
ambas series deberían coincidir? Explique.
Las dos series deberían coincidir para el año 1983, porque ese es el año base de los
precios usados para calcular el PBI real. En los años presentados en la tabla, el deflactor
implícito del producto fue mayor a 100 porque hubo inflación en todo el período y los
años presentados son posteriores a 1983. Esto lleva a que el PBI nominal sea mayor al
real en todo el período.
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En general, no nos interesa demasiado comparar PBI nominal y real, ya que miden
cosas distintas. La observación de que el PBI nominal es en esta serie mayor al real sólo
sirve a los efectos de verificación estadística. Si hubiéramos visto lo contrario, sabiendo
que en el período hubo inflación, deberíamos investigar qué pasó con las series que
tenemos, porque seguramente habría habido un error.
7.2. Calcule la variación porcentual en el PBI real y nominal entre 1988 y 2007.
¿Cuál creció más? ¿Puede explicarlo?
Y2007 − Y1988 541868644 - 2944611
=
= 18.302%
2944611
Y1998
y2007 − y1988 344939 - 209892
=
= 64%
209892
y1998
Es decir que el producto nominal creció 18.302% (más de diez y ocho mil por ciento) y
el real creció 64% entre 1988 y 2007. La diferencia se debe a la inflación. La mayor
parte del crecimiento del producto nominal en el período se debió al crecimiento de los
precios.
7.3. Calcule el deflactor implícito del producto en 1988 y en 2007.
Y1988 2944611
=
= 14
y1988
209892
Y
541868644
= 2007 =
= 1571
y2007
344939
P1988 =
P2007
7.4. Relacione las tasas de crecimiento del PBI nominal, real y del deflactor implícito
del producto entre 1988 y 2007. Observe que la tasa de crecimiento del PBI nominal
no es igual a la suma de las tasas de crecimiento del PBI real y del deflactor implícito
del PBI en este caso. ¿Puede proponer una explicación?
Primero veamos cuál fue la tasa de crecimiento del deflactor implícito del PBI:
P
1571
Pˆ1988, 2007 = 2007 − 1 =
− 1 = 11.121%
P1988
14
Luego comprobamos que la tasa de crecimiento del producto real no puede aproximarse
razonablemente bien por la diferencia entre las tasas de crecimiento del producto
nominal y del deflactor:
yˆ1988, 2007 = 64% ≠ 18.302% − 11.121% = Yˆ1988, 2007 − Pˆ1988, 2007
Notar que la diferencia es enorme.
La diferencia se explica del siguiente modo. Sabemos que:
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1 + yˆ1988, 2007 =
y2007 Y2007 P2007 Y2007 Y1988 1 + Yˆ1988, 2007
=
=
=
y1988 Y1988 P1988 P2007 P1988 1 + Pˆ1988, 2007
Por lo tanto:
(1 + yˆ
1988, 2007
)(1 + Pˆ
1988, 2007
) = 1 + Yˆ
1988, 2007
Y desarrollando los productos:
1 + yˆ1988, 2007 + Pˆ1988, 2007 + yˆ1988, 2007 Pˆ1988, 2007 = 1 + Yˆ1988, 2007
yˆ
= Yˆ
− Pˆ
− yˆ
Pˆ
1988, 2007
yˆ1988, 2007
1988, 2007
1988, 2007
1988, 2007 1988, 2007
Yˆ
− Pˆ
= 1988, 2007 1988, 2007
1 + Pˆ
1988, 2007
Es decir que la tasa de crecimiento del producto real (lado izquierdo en la última
expresión) sería igual a la diferencia entre las tasas de crecimiento del producto nominal
y del deflactor (numerador en el lado derecho) si la tasa de crecimiento del deflactor
fuera cero. Cuando las tasas son pequeñas, el denominador no es muy distinto de uno.
En particular, cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a cero (tasas de
crecimiento instantáneas) entonces el denominador tiende a 1. Pero en el caso que
estamos analizando, el período es relativamente largo y las tasas de crecimiento
involucradas son muy elevadas. No se obtiene entonces una buena aproximación a la
tasa de crecimiento del producto real en esos 20 años restando la tasa de crecimiento del
deflactor de la tasa de crecimiento del producto nominal.
8. El PBI de Crecemucho ha crecido al 10% anual durante los últimos 20 años. Su
población ha crecido al 2% anual en ese mismo período. ¿Por cuánto se ha
multiplicado el PBI per cápita de Crecemucho en este período?
El PBI en el año 20 sobre el PBI en el año 1 es: y20 y1 = 1,120 = 6,7 . La población en el
año 20 dividida por la población en el año 1 es: N 20 N1 = 1,02 20 = 1,5 . El producto per
y N
y y
6,7
cápita creció entonces: 20 20 = 20 1 =
= 4,5
y1 N1
N 20 N1 1,5
Es decir que el producto per cápita se multiplicó por cuatro veces y media en sólo 20
años.
9. En el último año, el PBI del país XX ha crecido al 1% mensual en promedio y el
del país YY ha crecido al 12% anual. ¿Cuál de los dos países ha crecido más en el
año? Explique.
El objetivo de esta pregunta es que el estudiante entienda cómo se relacionan las tasas
de crecimiento anual y mensual. Para eso, se puede empezar por ver cuál es el
crecimiento en el año del país XX dado que creció en promedio al 1% cada mes. La
relación entre el producto en el mes 2 y el producto en el mes 1 será: y2 y1 = (1 + yˆ1 ) ,
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donde ŷ1 es la tasa de crecimiento entre 1 y 2. Entre los meses 2 y 3: y3 y2 = (1 + yˆ 2 ) .
Por lo tanto, la relación entre el producto en el mes 3 y en el mes 1 es:
t =12
y3 y1 = (1 + yˆ1 )(1 + yˆ 2 ) . En un año: y13 y1 = (1 + yˆ1 )(1 + yˆ 2 )...(1 + yˆ12 ) = ∏ (1 + yˆ t )
t =1
La tasa de crecimiento mensual media del año es una tasa tal que si la economía hubiera
crecido exactamente a esa tasa los 12 meses, el crecimiento obtenido en el año habría
sido el mismo que se obtuvo con las tasas mensuales yˆ1 , yˆ 2 , ..., yˆ12 . Es decir que la tasa
t =12
media ŷ queda definida por:
12
∏ (1 + yˆ ) = (1 + yˆ ) = y13
t =1
(1 + yˆ ) = ( y13
y1 )
1 12
t =12
y1 = ∏ (1 + yˆt ) . Por lo tanto:
t =1
1 12
⎛ t =12
⎞
= ⎜⎜ ∏ (1 + yˆt )⎟⎟
⎝ t =1
⎠
El país XX creció a la tasa media mensual yˆ = 0,01 . El producto en el año habrá crecido
12
12
entonces: y13 y1 = (1 + yˆ ) = (1,01) = 1,1268 . Por lo tanto, el país XX creció un 12,68
por ciento en el año, es decir que creció más que el país YY.
10. Indique si las siguientes variables son de flujo o de stock y proponga al menos
una unidad de medida para cada una de ellas:
a) PBI
b) Población
c) Capital
d) Deuda pública
e) Déficit fiscal
a) PBI. FLUJO. Miles de dólares/año.
b) Población. STOCK. Miles de personas.
c) Capital. STOCK. Miles de dólares.
d) Deuda pública. STOCK. Miles de dólares.
e) Déficit fiscal. FLUJO. Miles de dólares/año.
11. Diga cuál o cuáles de las siguientes unidades de medida puede usarse para medir
el PBI:
a) Miles de pesos
b) Miles de pesos/año
c) Miles de pesos/trimestre
d) Miles de dólares/año
e) 1/año
Nota: Observe que en economía es frecuente no explicitar totalmente la unidad de
medida, pero esto sólo es correcto cuando la unidad surge claramente del contexto.
Por ejemplo, si se dice que el PBI del 2009 fue de 30 mil millones de dólares, se
entiende que la cifra se refiere al PBI anual. Hay otros casos menos claros y que
suelen generar confusiones. Ver la pregunta 16, referida a la inflación.
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a) Miles de pesos. INCORRECTO.
b) Miles de pesos/año. CORRECTO.
c) Miles de pesos/trimestre. CORRECTO.
d) Miles de dólares/año. CORRECTO.
e) 1/año. INCORRECTO.
12. Diga cuál o cuáles de las siguientes unidades de medida puede usarse para medir
la tasa de crecimiento del PBI:
a) Miles de pesos
b) Miles de pesos/año
c) Miles de pesos/trimestre
d) Miles de dólares/año
e) 1/año
f) %/año
a) Miles de pesos. INCORRECTO.
b) Miles de pesos/año. INCORRECTO.
c) Miles de pesos/trimestre. INCORRECTO.
d) Miles de dólares/año. INCORRECTO.
e) 1/año. CORRECTO.
f) %/año. CORRECTO.
13. Diga cuál o cuáles de las siguientes unidades de medida puede usarse para medir
el empleo:
a) Miles de pesos
b) Miles de personas
c) Miles de personas/trimestre
d) Miles de personas/año
e) 1/año
a) Miles de pesos. INCORRECTO.
b) Miles de personas. CORRECTO.
c) Miles de personas/trimestre. INCORRECTO.
d) Miles de personas/año. INCORRECTO.
e) 1/año. INCORRECTO.
14. Diga cuál o cuáles de las siguientes unidades de medida puede usarse para medir
la tasa de desempleo:
a) Miles de pesos
b) Miles de personas
c) Miles de personas/trimestre
d) Miles de personas/año
e) 1/año
f) Ninguna de las anteriores, ya que la tasa de desempleo es “adimensional”.
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a) Miles de pesos. INCORRECTO.
b) Miles de personas. INCORRECTO.
c) Miles de personas/trimestre. INCORRECTO.
d) Miles de personas/año. INCORRECTO.
e) 1/año. INCORRECTO.
f) Ninguna de las anteriores, ya que la tasa de desempleo es “adimensional”.
CORRECTO.
Explicación: El empleo es una variable de stock que se mide, por ejemplo, en miles de
personas. La tasa de desempleo es la proporción de las personas interesadas en trabajar
que no logra hacerlo. Por lo tanto, tenemos miles de personas tanto en el numerador
como en el denominador. Al dividir se cancelan y la tasa de desempleo resulta entonces
adimensional.
15. Considere la siguiente definición de la tasa de variación del PBI entre los
momentos t y t’:
yt ' − yt yt + Δt − yt
=
t '−t
Δt
15.1. La tasa de variación entre t y t’ es la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (t, yt ) y (t ' , yt ' ) en el gráfico:
yt '
yt ' − yt
yt
t
t '−t
t’
15.2. Identifique en el gráfico la tasa de variación del PBI en el instante t’. ¿Es esta
tasa menor, igual o mayor a la tasa de variación del PBI entre t y t’?
Es la pendiente de la trayectoria del PBI en el punto t’. Es decir que es la pendiente de la
tangente a esa curva en el punto t’. En este ejemplo, la tasa de variación en el instante t’
es mayor a la tasa de variación entre t y t’.
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yt '
yt ' − yt
yt
t
t '−t
t’
15.3. Usando el concepto matemático de límite, proponga una expresión para la tasa
de variación del PBI en el instante t. (Nota: observe que la tasa de variación
instantánea del producto no es otra cosa que la derivada en el tiempo de la trayectoria
del producto).
La pendiente en t se obtiene considerando un Δt muy pequeño:
lim
Δt → 0
yt + Δt − yt dyt
=
Δt
dt
15.4. Partiendo de la expresión que presentamos para la tasa de variación del PBI
entre t y t’, proponga una expresión para la tasa de crecimiento del PBI entre t y t’.
yt ' − yt 1 yt + Δt − yt 1
=
t '−t yt
Δt
yt
16. Diga cuál o cuáles de las siguientes unidades de medida puede usarse para medir
la tasa de inflación:
a) Pesos
b) Pesos/año
c) 1/trimestre
d) Miles de dólares/año
e) 1/año
f) %/año
a) Pesos. INCORRECTO.
b) Pesos/año. INCORRECTO.
c) 1/trimestre. CORRECTO
d) Miles de dólares/año. INCORRECTO.
e) 1/año. CORRECTO
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f) %/año. CORRECTO
La inflación es la tasa de crecimiento de los precios. Los precios pueden medirse en
pesos, pero la tasa de crecimiento cancela los pesos e introduce una dimensión
temporal:
P − Pt 1
$ 1
1
=
=
Pˆt = t + Δt
Δt
Pt año $ año
Obviamente, esto mismo puede referirse a trimestres o cualquier otra medida del
tiempo. Pero es importante notar que la inflación mensual es mucho menor a la
inflación anual. Por lo tanto, debe aclararse cuál es la unidad de tiempo que se está
considerando. La unidad de medida es %/año cuando se elige expresar el incremento
proporcional de los precios en porcentaje.
17. Muestre que la tasa instantánea de crecimiento del PBI real es igual a la tasa
instantánea del crecimiento del PBI nominal menos la tasa de crecimiento del
deflactor implícito del producto.
Las tasas instantáneas de crecimiento pueden calcularse como la derivada en el tiempo
dividido por el nivel de la variable. El producto real es igual al nominal sobre el
deflactor yt = Yt Pt . Tomando logaritmos naturales: ln ( yt ) = ln(Yt ) − ln (Pt ) y derivando
en el tiempo: yˆ = Yˆ − Pˆ .
t
t
t
18. Muestre que la tasa de crecimiento del PBI real entre enero de un año y enero del
año siguiente es sólo aproximadamente igual a la tasa de crecimiento del PBI
nominal menos la tasa de crecimiento del deflactor implícito del producto entre esos
mismos dos momentos.
Llamemos t a enero de un año y t+1 a enero del año siguiente. El PBI real es el cociente
entre el PBI nominal y el deflactor del producto: yt = Yt Pt . La tasa de crecimiento del
PBI real entre t y t+1 puede calcularse como
Y −Y
1 + t +1 t
yt +1 − yt yt +1
Y P
Y Y
Yt
−1
=
− 1 = t +1 t +1 − 1 = t +1 t − 1 =
Pt +1 − Pt
yt
yt
Yt Pt
Pt +1 Pt
1+
Pt
1 + Yˆt
Es decir que: yˆ t =
− 1 ⇒ (1 + yˆ t ) 1 + Pˆt = 1 + Yˆt
ˆ
1+ P
(
)
t
(
)
Entonces: 1 + Yˆt = (1 + yˆt ) 1 + Pˆt = 1 + yˆt + Pˆt + yˆt Pˆt
Yˆt = yˆt + Pˆt + yˆt Pˆt ⇒ yˆt = Yˆt − Pˆt − yˆt Pˆt
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El último sumando en el lado derecho es el que hace que la tasa de crecimiento del
producto real no sea exactamente igual a la tasa de crecimiento del producto nominal
menos la tasa de inflación. Cuando las tasas de crecimiento y de inflación son pequeñas,
entonces el último sumando resulta mucho menor a los otros dos y puede aproximarse
razonablemente la tasa de crecimiento del producto real por la diferencia entre la tasa de
crecimiento del producto nominal y la inflación. Claramente estos números tienden a ser
pequeños y la aproximación es cada vez más precisa cuando los períodos considerados
son breves.
19. Se ha determinado a través de un modelo econométrico que la trayectoria del PBI
del país Z puede representarse adecuadamente por la siguiente ecuación:
yt = y0 exp(0,02t ) , donde y0 es el PBI en un momento inicial que llamamos ‘0’ y t es
el tiempo, medido como una variable continua. ¿Cuál es la tasa instantánea de
crecimiento del PBI en esta economía?
La tasa de crecimiento instantánea es:
yˆ t =
dyt 1
dt yt
En este caso, la derivada en el tiempo del PBI es:
dyt
= y0 exp(0,02t )0,02 y dividiendo
dt
por la expresión del PBI obtenemos:
yˆt =
dyt 1 y0 exp(0,02t )0,02
=
= 0,02
dt yt
y0 exp(0,02t )
dyt 1 d ln ( yt )
.
=
dt yt
dt
Podemos entonces tomar logaritmo natural en la fórmula de la trayectoria del PBI y
luego derivar:
Lo mismo puede obtenerse más directamente, recordando que:
ln ( yt ) = ln ( y0 exp(0,02t )) = ln ( y0 ) + ln (exp(0,02t )) = ln ( y0 ) + 0,02t
La derivada en el tiempo da:
dyt 1 d ln ( yt )
=
= 0,02
dt yt
dt
20. La trayectoria del PBI del país W entre 1950 y 2000 puede representarse
adecuadamente por la siguiente expresión: yt = y1950 + 0,05(t − 1950 ) , donde yt es el
PBI del año t y t es una variable discreta que adopta los valores 1950, 1951, etc.
hasta 2000.
20.1. Determine la variación anual del PBI en esta economía, es decir la diferencia
entre el PBI de un año y el PBI del año anterior.
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La variación anual del PBI es:
yt − yt −1 = ( y1950 + 0,05(t − 1950 )) − ( y1950 + 0,05(t − 1 − 1950)) = 0,05
20.2. Determine la tasa de crecimiento del PBI en esta economía, es decir la variación
porcentual o proporcional del PBI entre un año y el anterior.
La tasa de crecimiento del PBI es:
0,05
yt +1 − yt 0,05
=
=
yt
yt
y1950 + 0,05(t − 1950 )
20.3. ¿A qué valor tiende la tasa de crecimiento del PBI en esta economía a medida
que transcurre el tiempo?
La tasa de crecimiento es una función decreciente de t. Para ver concretamente a qué
valor tiende, debemos tomar el límite con t tendiendo a infinito:
0,05
y − yt
lim t +1
= lim
=0
t →∞
t →∞ y
yt
1950 + 0,05(t − 1950 )
21. El promedio del PBI trimestral del 2009 fue 25. ¿Cuál fue el PBI anual en ese
año?
El PBI en el año es igual a la suma del PBI en los cuatro trimestres. A su vez, el
promedio del PBI trimestral es la suma del PBI en los cuatro trimestres, dividido por 4.
Por lo tanto, el PBI en el 2009 tiene que haber sido 100 = 25*4.
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