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Grado 5
Clase:
Matemáticas
Unidad 1
DESCRIBIR RELACIONES ENTRE
NÚMEROS NATURALES
Nombre:
INTRODUCCIÓN
Los números naturales y sus relaciones en la multiplicación y la división
Bienvenidos a nuestra granja. Hoy nos acompañarán en un recorrido por los sitios en donde
recogemos, cosechamos, empacamos y distribuimos nuestros deliciosos y nutritivos alimentos.
Veremos cómo los números naturales, siendo unos múltiplos o divisores de unos números, siendo
divisibles por muchos o por pocos números, pueden resultar muy útiles en nuestro trabajo aquí.
¡Acompáñanos!
1
Grado 5
Matemáticas
Responde la siguiente pregunta:
Hay dos números bien particulares: uno de ellos cabe dentro de todos los números, pero
solo cabe dentro de sí mismo. El otro cabe en todos, pero ninguno cabe en él. ¿Podrías
identificarlos?
Objetivos
Identificar situaciones en donde están inmersas las relaciones multiplicativas y de divisibilidad
entre números.
•
Encontrar propiedades relativas a los múltiplos.
•
Encontrar propiedades relativas a los divisores.
•
Clasificar números naturales de acuerdo a su cantidad de divisores.
•
Resolver situaciones problema que requieran la identificación del máximo común divisor.
•
Resolver situaciones problema que requieran la identificación del mínimo común múltiplo.
2
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Matemáticas
ACTIVIDAD 1
En el corral de las gallinas: múltiplos.
En la granja de nuestros amigos hay tres gallinas que ponen más huevos que las demás, pues
cada una pone 6 huevos. Si en una canasta recogemos estos huevos, al guardar los de una
gallina, dentro de la canasta habría 6 huevos. Al recoger los de otra, habría 12 huevos en la
canasta. Al guardar los 6b de la última gallina, dentro de la canasta habría 18 huevos en total.
•
¿Qué relación existe entre los números 6, 12 y 18?
3
Grado 5
Matemáticas
1. Completa la tabla y determina la cantidad de huevos que una de estas gallinas pone por días
Días
0
1
Huevos
0
6
4
7
11 13 17 21 35 46 58 100
2. Con todas las gallinas pueden llenarse 8 cubetas de huevos por día.Ahora completa la
siguiente tabla, teniendo en cuenta el número de cubetas que pueden llenarse
Días
0
1
2
3
5
Cubetas
4
10 15 22 37 54 100
Grado 5
Matemáticas
Teniendo en cuenta las tablas que llenaste, responde las siguientes preguntas:
• ¿Qué procedimiento empleaste para llenar las tablas?
• Imagina un número muy grande. Supón que ese es el número de días que nuestra amiga
lleva recogiendo los huevos que ponen las gallinas de la granja. Podemos calcular el número
de huevos, sabiendo que si el número de días es grande, el de huevos es muchísimo mayor
¿Podemos seguir calculando para números cada vez más grandes? ¿Por qué?
3. Ahora escribe en las siguientes tablas los dos primeros múltiplos de los números ya dados:
N
0
1
0
1
Mùltiplos
de 3
N
Mùltiplos
de 7
5
Grado 5
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4. Escribe los múltiplos de otros dos números en las siguientes tablas
N
0
1
0
1
Mùltiplos
de
N
Mùltiplos
de
5. Responde las siguientes preguntas:
• Fíjate en los números que has escrito en cada tabla, los cuales son algunos múltiplos
de los números ya dados. ¿Has escrito como múltiplo el número proporcionado en cada
tabla? Describe cómo entiendes la relación que guardan estos números con el número
proporcionado en cada tabla.
• Fíjate en el primer número que has escrito en cada tabla que has llenado. ¿Qué puedes
concluir de estos resultados?¿Crees que esto sucede con todos los números hasta el infinito?
6
Grado 5
Matemáticas
• Fíjate en el primer número que has escrito en cada tabla que has llenado. ¿Qué puedes
concluir de estos resultados? ¿Crees que esto sucede con todos los números hasta el infinito??
• En la siguiente tabla se muestran los múltiplos del número 1 menores o iguales a 10:
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mùltiplos
de 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Si comparas esta tabla con todas las que has llenado hasta ahora, ¿qué puedes concluir? Si
la tabla de los múltiplos del 1 pudiera escribirse completa, ¿crees que encontrarías a todos
los números naturales?
Un múltiplo de un número es aquel que puede contenerlo un número exacto de veces
• El 12 es múltiplo de 2 porque lo contiene 6 veces.
• El 20 es múltiplo de 5 porque lo contiene 4 veces.
Los múltiplos de un número se calculan multiplicando este número por los números
naturales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .......} , es decir, los múltiplos de un número son todos los
números que podrías encontrar como resultado en una tabla de multiplicar con todos los
números
7
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6. Escoge dos múltiplos de 4 y súmalos, réstalos y multiplícalos entre sí y escribe los resultados
en los recuadros. Luego compara los resultados con los números de la siguiente tabla
Multiplos
de 4
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ...
+
-
x
7. Responde las siguientes preguntas:
¿Los resultados que escribiste también aparecen entre los números que están en la tabla?
Si no es así, ¿crees que esos números aparecerían si la tabla abarcara más múltiplos del 4?
8
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¿Crees que esto mismo sucede con los múltiplos de cualquier otro número?
8. Escoge dos múltiplos de 7. Luego encuentra 4 de sus múltiplos y escríbelos en las tablas.
Multiplos
de 7
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 ...
Multiplos de
Multiplos de
9. Responde las siguientes preguntas:
• Compara la tabla con los múltiplos de 7 y las dos tablas que acabas de realizar y escribe
tus conclusiones
• ¿Crees que todos los múltiplos de los números que escogiste son múltiplos de 7?
9
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Matemáticas
ACTIVIDAD 2
Empacando mazorcas: divisores
1. Si tuvieras que empacar 12 mazorcas usando canastas en las que caben de a una mazorca,
de a dos, de a tres, y así sucesivamente hasta doce mazorcas, tendrías 6 opciones diferentes
para recogerlas todas sin que sobre espacio en las canastas. Encierra dentro de un círculo las
canastas que podrían usarse para guardar todas las mazorcas sin que sobre espacio y escribe
cuántas canastas de cada una deben usarse.
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
10
Grado 5
Matemáticas
2 Responde las siguientes preguntas:
• ¿Qué operación realizas para identificar las cajas qué sirven?
• Si existieran 18 mazorcas y cajas con capacidades de 1 a 18 mazorcas, ¿cuántas cajas de
cada una de las seleccionadas se necesitarían para almacenar 18 mazorcas?
• ¿Qué cajas nos sirven para empacar tanto 12 como 18 mazorcas sin que sobre espacio?
Un divisor de un número es aquel que está contenido en él en número exacto de veces. Si
realizamos la división entre un número y su divisor, el residuo siempre será 0
• El 3 es divisor de 12 porque 3 es contenido en 12 exactamente 4 veces.
12 ÷ 3 = 4; residuo = 0
• El 5 es divisor de 30 porque 5 es contenido en 30 exactamente 6 veces.
30 ÷ 5 = 6; residuo 0
¿Sabías que si el 5 es divisor de 30, entonces 30 es múltiplo de 5? Así es, si un número es
divisor de otro, este último es un múltiplo del primero
11
Grado 5
Matemáticas
3 Responde las siguientes preguntas:
• ¿Existe algún número qué sea divisor de todos los números naturales? ¿Cuál? ¿Por qué?
• ¿Existe algún número que tenga como divisor a cero? Justifica la respuesta.
4. Ayuda a nuestros amigos a empacar las mazorcas de los bultos en canastas. Tacha con una
“X” las canastas que sirven para empacar todas las mazorcas sin que sobre espacio en ellas.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
24
19 20 21 22 23 24
12
Grado 5
Matemáticas
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25
36
26
27
28 29
30
31 32 33 34 35 36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
54
28
29
30
31 32 33 34 35 36
37
38
39
40 41 42 43 44 45
46
47
48
49 50 51 52 53 54
13
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Matemáticas
ACTIVIDAD 3
En el platanal: números primos y compuestos
1. Escoge las cajas que permiten recoger los plátanos producidos en la granja
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14
Grado 5
Matemáticas
2 Organiza los números de acuerdo al número de divisores el menor número de grupos
posibles.
1
1
2
1
2
3
1
3
4
1
2
4
5
1
5
6
1
2
3
6
7
1
7
8
1
2
4
8
9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 1 1 1 1
3 2 11 2 13 2 3
9 5
3
7 5
10
4
14 15
6
12
3 Responde las siguientes preguntas:
• ¿Qué características comunes comparten los números de cada grupo?
15
Grado 5
Matemáticas
•¿Es posible encontrar las mismas características en números mayores? Compruébalo por
medio de un ejemplo para cada grupo.
Un número primo es aquel que tiene solo dos divisores: el 1 y el mismo número
•El 5 es un número primo porque solo puede dividirse por el 1 y el 5
•El 13 es un número primo porque solo puede dividirse por el 1 y el 13
Un número compuesto es aquel que tiene más divisores que el 1 y el mismo número
•El 4 es un número compuesto porque sus divisores son más que el 1 y el 4, pues
también puede dividirse por 2
•El 15 es un número compuesto porque sus divisores son más que el 1 y el 15, pues
también puede dividirse por 3 y 5
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Grado 5
Matemáticas
4 Encuentra todos los números primos del 1 al 100. Para ello, tacha de la tabla todos aquellos
números cuyos divisores sea alguno de los primeros números primos. Para ello, ten en cuenta
los criterios de divisibilidad:
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
2: Es divisible por 2 todo número cuya última cifra sea un número par (2, 4, 6, 8) o 0
Ej: 254, 870
3: Si la suma de las cifras de un número es múltiplo de 3, es divisible por 3.
Ej: 345 (3 + 4 + 5 = 12, y 12 es múltiplo de 3)
5: Es divisible por 5 todo número cuya última cifra sea 5 o 0.
Ej: 475, 260
7: Todos los múltiplos de 7 pueden dividirse por ese número.
Ej: 161 (161 = 7 x 23); 357 (347 = 7 x 51)
11: Todos los múltiplos de 11 pueden dividirse por ese número.
Ej: 121 (121 = 11 x 11= 121); 693 (693 = 11 x 63)
13: Todos los múltiplos de 13 pueden dividirse por ese número.
Ej: 104 (104 = 13 x 8); 156 (153 = 13 x 12)
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
17
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Grado 5
Matemáticas
ACTIVIDAD 4
¡Todos los números naturales pueden descomponerse en
factores primos!
Así es, todos los números naturales pueden expresarse en sus factores primos. Para realizar la
descomposición factorial de un número natural:
1.Debes escribirlo y a su derecha una línea vertical.
2.Al lado derecho de esa línea debes escribir el menor número primo que pueda dividir, de
forma exacta, el número a descomponer.
3.Luego, debes escribir el cociente de la división debajo del número que descompones.
4.Si puedes continuar dividiendo el número que acabas de escribir por el mismo número
primo usado anteriormente, vuelve a escribirlo al otro lado de la línea y el nuevo cociente
debajo del anterior. Si el número primo utilizado primero no puede dividir ese cociente,
escribe el siguiente número primo que pueda dividirlo al otro lado de la línea.
5.Al final, el cociente final de toda descomposición debe ser el 1.
Para expresar un número en sus factores primos, debes escribir todos aquellos números primos
usados en su descomposición. Como exponente de cada uno de ellos, escribe el número de veces
en que fue utilizado cada uno de ellos.
Fíjate en los siguientes ejemplos:
30 2
15 3
5 5
1
12 2
6 2
3 3
1
12 = 22 x 3
30 =2 x 3 x5
18
Grado 5
Matemáticas
1. Realiza la descomposición en sus factores primos de los siguientes números y escribe la
expresión matemática de cada descomposición factorial
84
147
780
1078
357
861
19
Grado 5
Matemáticas
2. Ahora escribe otros tres números de 2 o más cifras, realiza la descomposición factorial de
cada uno de ellos y escribe finalmente su expresión matemática.
ACTIVIDAD 5
Cargando cantinas de leche: mínimo común múltiplo (m.c.m.)
En la granja, nuestros amigos recogen la leche producida por sus vacas en cantinas de 20 litros
y de 24 litros. Un camión es cargado solo con cantinas de 20 litros, mientras que el segundo
camión es cargado con las de 24. Si ambos camiones cargan la misma cantidad de litros de leche,
¿Cuántas cantinas, como mínimo, fueron cargadas en los camiones?
24L
20L
20
Grado 5
Matemáticas
• ¿Por qué crees el número encontrado da solución al problema?
1. Escribe los primeros 10 múltiplos de 20 y 24. Luego encierra en un círculo el número que da
respuesta al problema planteado.
Cantinas
24L
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Litros
Cantinas
20L
1
Litros
21
Grado 5
Matemáticas
2. Realiza la descomposición factorial de 20 y 24 y exprésalos matemáticamente.
20
24
3. Escoge los factores primos en común con el mayor exponente y los factores no comunes.
Multiplica estos números entre sí y escribe el resultado. ¡Así se puede hallar el mínimo común
múltiplo entre 20 y 24!
Mìnimo Comùn
Mùltiplo (20,24) =
X
X
(m .c .m) =
4. Encuentra el m.c.m. de los siguientes números. Puedes usar el recuadro para hacer operaciones
y escribir la expresión matemática de la descomposición factorial de cada número. Al final,
escribe el m.c.m.
32
76
22
94
Grado 5
Matemáticas
m .c .m (32,76,94) =
ACTIVIDAD 6
Recogiendo frutas: máximo común divisor (M.C.D.)
Nuestros amigos de la granja recogen 12 duraznos, 20 manzanas y 24 peras en canastas. Si
en todas las canastas cosecharon la misma cantidad de frutas de cada clase y usaron la mayor
cantidad de canastas posibles, ¿cuántas canastas lograron llenar?
23
Grado 5
Matemáticas
• ¿Qué procedimiento realizaste para obtener el resultado?
1. Escribe los divisores de 12, 20 y 24. Luego, encierra en un círculos azules los divisores comunes
y colorea el cuadrado con el número que da solución al problema planteado.
D(12)
D(20)
D(24)
24
Grado 5
Matemáticas
2. Realiza la descomposición factorial de 12, 20 y 24 y exprésalos matemáticamente.
12
20
24
3. Escribe solo los factores comunes con el menor exponente. Si es solo un número, escribe la
potencia. Si son más, multiplícalos entre ellos. ¡Así es como se halla el máximo común divisor!
Mìnimo Comùn
Divisor (12, 20, 24) =
(m .c .d) =
4. Encuentra el M.C.D. de los siguientes números:!
96
104
25
244
Grado 5
Matemáticas
M. C. D. (96, 104, 244)=
RESUMEN
Hemos aprendido mucho sobre relaciones entre números naturales.
Propiedades de los múltiplos:
• Todos los números naturales son múltiplos de sí mismos y de la unidad.
• La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
• Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del
segundo
Propiedades de los divisores:
• La unidad es divisor de cualquier número.
• Ningún número natural puede dividirse entre 0
• Si un número es divide de forma exacta otros dos números, puede dividir también de la
misma forma la suma y resta de esos números
• Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero
Números primos y compuestos:
• Un número primo solo tiene como divisores la unidad y él mismo
• Un número compuesto tiene más divisores que la unidad y él mismo
Descomposición de números en factores primos:
Aprendimos que todos los números compuestos pueden descomponerse en factores primos, es
decir, pueden expresarse como la multiplicación de números primos.
26
Grado 5
Matemáticas
Mínimo común múltiplo (m.c.m.):
Para hallar el mínimo común múltiplo entre 2 o más números, descomponemos los números
involucrados y luego seleccionamos los factores comunes con el mayor exponente y luego los
factores no comunes. Finalmente, multiplicamos esos factores.
Máximo común divisor (M.C.D.):
Para hallar el máximo común divisor entre 2 o más números, descomponemos los números
involucrados y luego seleccionamos los factores comunes con el menor exponente. Finalmente,
multiplicamos esos factores.
TAREA
En la granja de nuestros amigos también producen panela en tres presentaciones: grande, mediana
y pequeña. En un mes producen 15 de las pequeñas, 9 de las medianas y 11 de las grandes.
27
Grado 5
Matemáticas
Con base a esta información, el estudiantado debe responder las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas panelas de cada presentación se producen al segundo, tercero, cuarto y quinto mes?
• Si solo conociéramos esas cifras, ¿qué operaciones deben realizarse para saber las cantidades
producidas durante un año y un año y medio de cada presentación de panela? ¿Cuáles son
esas cantidades?
• Suponiendo que vamos a hacer paquetes con toda la producción de panela de los tres tamaños
que se elabora en un año, ¿de cuántas formas se podría empacarse toda esa panela, si deben
empacarse separadamente por presentación y cada paquete debe tener la misma cantidad de
panelas? ¿Se podría dar la situación en que alguna de esas cantidades de panelas producidas
en un año sea un número primo? Explica tu respuesta.
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Grado 5
Matemáticas
• El proceso para hacer panelas pequeñas demora 8 horas, en el caso de las medianas tarda 12
horas, mientras que para hacer las grandes se necesitan 18 horas. Si nuestros amigos empiezan
hacer panelas de las tres presentaciones al mismo tiempo, ¿cuántas horas deben pasar como
mínimo para que los procesos vuelvan a comenzar al mismo tiempo?
• En la bodega nuestros amigos guardan 120 de las pequeñas, 160 de las medianas y 180 de las
grandes. Si se quieren empacar la mayor cantidad de cajas con estas panelas, ¿cuántas cajas
deberían usar? ¿Cuántas panelas de cada presentación vienen en cada una de ellas?
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