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Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales I
DESEMPEÑOS Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal,
así como la relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en
una variable. Reconoce a y=mx + b
como una ecuación de dos variables como
la forma de una función lineal. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.
Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. Redacta
y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en
una variable y/o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/o
resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica
como gráfica. Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.
Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones
numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones
Bienvenido al bloque VI, en él aplicarás diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales
en una variable.
Formularás y solucionarás problemas, con técnicas algebraicas, en situaciones que se
representan mediante ecuaciones lineales.
Utilizarás los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una
función lineal.
Transitarás de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas
situaciones.
Explicarás cómo será la gráfica de la función lineal, a partir de los parámetros m y b.
Probablemente ya has escuchado hablar sobre las ecuaciones en cursos anteriores, de
hecho si nos remontamos a tu paso por la secundaria, en algún momento las estudiaste.
Una ecuación lineal es “una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable
o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas”
De manera más sencilla una ecuación es: una expresión que indica que dos cantidades son
iguales.
Existen distintos tipos de ecuaciones que dependen del número de variables o del grado de
éstas; en este bloque VI estudiarás las ecuaciones de una variable de primer grado.
Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax+ b = 0 ,
con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al oper ar, trasponer
términos y simplif icar adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos
seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los térm inos en x en un miembro y los térm inos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejant es.
5º Despejar la incógnita.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
Otra solución:
(4)
3(2x + 4 ) = 4x + 76
Aquí participaran la mitad de
alumnos de cada grupo. 5 ejercicios
son propuestos por el docente y 8
están en la guía de matemáticas
pagina 210.
6 x + 12 = 4 x + 76
6 x – 4 x = 76 – 12
2x = 64
64
x= 2 = 32
Ejercicios para exponer: 6)
7)
8)
7
𝑥
6
5
𝑥
2
5
3
−𝑥 =4
1
−2 𝑥+2 = 7
9) 3 𝑥 − 20 = −5
1
𝑥
2
3
5
+ 𝑥 − 𝑥 = −5
GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL y=mx + b
Ejemplo:
o
La ordenada al origen "b" es el valor donde la recta corta al eje “y”
o
El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente,
constante o decreciente.
y = 3x – 2 ► m = 3
y
b= -2
1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2
2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, subimos 3 unidades porque la pendientes positiva (+)
4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada
al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
Ejemplo:
y = - 2x + 4
►
m=-2
y b= 4
1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4
2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades
4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la
pendiente
Dadas las siguientes ecuaciones de recta determinar la pendiente “m” y la ordenada al
origen “b” y luego graficar en un mismo sistema.
a)
b)
c)
d)
y1 = - 2x + 3
m=
b=
y2 = 3 x - 2
m=
b=
y1 = - x + 4
m=
b=
y2 = - 2
m=
b=
y1 = x + 1
m=
b=
y2 = - 2x
m=
b=
y1 = 4
m=
b=
y2 = x - 2
m=
b=
e) y3 = 2x
m=
b=
y4 = - 1
m=
b=
f) y3 = 3x
m=
b=
m=
b=
m=
b=
m=
b=
m=
b=
y4 = 2x - 1
g) y3 = 3
y4 = - 3x - 1
h) y3 = x
y4 = - 4x - 5
m=
b=
Participan otros 15 estudiantes, realizando graficas en el pizarrón, para esto pueden
llevar un pliego de papel cuadriculado (o la mitad)y trazar más fácil la recta
PROBLEMAS QUE SE SOLUCIONAN CON UNA ECUACION LINEAL
1.- Un papa y su hijo tienen juntos 48 años. El hijo es 28 años mas chico que el papa
¿Cuáles son las edades de ambos?
x= edad del padre
x-28= edad del hijo
edad de papa + edad de hijo = 48
x
+
x-28) =48
x
+
x - 28 =48
2x – 28 =48
2x = 48 + 28
2x = 76
x=76/2 =38 edad del padre
x-28 = 38 – 28 =10 edad del hijo
2.- Hallar tres números enteros consecutivos, cuya suma es 105.
1er numero = x
2º numero = x+1
3er numero =x+2
34
34+1=35
34+2=36
105
3.- anexar dos problemas mas
x+ (x+1) + (x+2) = 105
x + x + 1 + x + 2 =105
3x + 3 = 105
3x= 105 – 3
3x =102
x = 102 / 3 = 34
Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales II
DESEMPEÑOS
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante los siguientes
métodos:
Numérico: Determinantes.
Algebraico: Eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución.
Gráficos.
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas.
Identifica gráficamente s un sistema de ecuaciones simultaneas tiene una,
ninguna o infinitas soluciones.
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos
algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas
para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de
ecuaciones con dos incógnitas.
En el bloque VII resolverás sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando métodos
numéricos, analíticos y gráficos. Expresarás y solucionarás situaciones diversas utilizando sistemas de
2x 2.
Resolverás sistemas de ecuaciones 2x2 empleando métodos de reducción algebraica y numérica.
Construirás ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones.
Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación de
primer grado, se requiera obtener una única solución, la cual, obviamente no puede determinarse con sólo una
ecuación; es decir se requiere de dos o más ecuaciones, las cuales en su conjunto constituyen lo que se
denomina Sistema de Ecuaciones Lineales.
En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:
Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los
básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una
de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan
los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.
Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que
mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el
sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen
a una solución del sistema.
Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y
mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los
básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y
destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones
que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones
necesarias.
Aquí veremos la Regla de Cramer en su forma para dos ecuaciones con dos incógnitas,
como complemento a las formas básicas de resolución.
Método de reducción
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores
necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos
cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene
los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se
resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye
su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.
Tenemos como ejemplo el sistema:
En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de
signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos
ecuaciones directamente:
como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:
despejando la y, tenemos:
que haciendo la operación da:
Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las
ecuaciones, por ejemplo la primera:
Despejando x, tenemos:
que realizando la operación da como resultado:
el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las
dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:
y
En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el
mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra
ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero
esta vez eliminando la y:
Vemos el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1
y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la
cambiamos de signo, tendremos:
con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente
en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:
así tenemos una ecuación con una incógnita:
despejando la x:
el valor de x que obtenemos es:
para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de
las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:
que despejando la y tendremos:
con lo que tenemos:
Método de igualación
El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste
en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta
incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos
expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad.
Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones
iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se
resuelve por igualación:
despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:
el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:
Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y
los términos independientes al otro:
Operando tenemos:
Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera
ecuación y despejada la x, tenemos que si:
Resulta que x vale:
la solución del sistema es:
Ejemplo: resolver el sistema por cramer o determinantes:
Calculamos primero la x:
y ahora calculamos la y:
Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:
SOLUCION A PROBLEMAS
1) La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte
de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos cómo, partiendo de un problema
expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.
El problema es: En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas,
¿cuántos conejos y patos hay?
Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de
ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:
1. Cuáles son las incógnitas.
2. Qué relación hay entre ellas.
En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número
de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos
por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:
Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número
de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar
52:
La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las
dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos
ecuaciones:
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos qué clase
de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:
Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos
solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.
Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:
sumamos las dos ecuaciones:
Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en
la primera ecuación, tenemos:
con lo que ya tenemos la solución del problema:
.
,
.
Problemas resueltos
2)
Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números
son?
x= primer número
y= segundo número
Los número suman 25: x + y = 25
El doble de uno de los números es 14: 2x = 14
Tenemos el sistema
.
. Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 7 y 18.
3)
El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué
números son?
x= primer número
y= segundo número
El doble de la suma de los números es 32: 2(x + y) = 32
La diferencia de los números es 0: x - y = 0
Tenemos el sistema
Aplicamos reducción
Por tanto, los números son 8 y 8.
4)
La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro.
¿Qué números son?
x= primer número
y= segundo número
La suma de los números es 12: x + y = 12
La mitad del primer número es el doble del segundo: x/2 = 2y
Tenemos el sistema
Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 18/5 y 12/5.
5)
Tenemos dos números cuya suma es 0 y que si a uno de ellos le sumamos
123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?
x= primer número
y= segundo número
La suma de los números es 0: x + y = 0
Si al primero le sumamos 123 obtenemos el doble del segundo + 123 = 2y
Tenemos el sistema
Aplicamos substitución
Por tanto, los números son 41 y -41.
.
Bloque
VIII
Resuelves ecuaciones lineales III
DESEMPEÑOS
Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con
tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres
incógnitas mediante `cg métodos:
Numérico: Determinantes.
Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta) m sustitución.
Gráficos
Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos,
numéricos y gráficos.
Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones
diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.
En Este bloque obtendrás la solución de sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 y aplicarás
el método numérico por determinantes para resolver sistemas
.
Utilizarás el método de sustitución para resolver un sistema de 3 X 3. Representarás y solucionarás
situaciones diversas utilizando sistemas de 3X3. Expresarás ideas y conceptos de sistemas de
ecuaciones con tres incógnitas empleando representaciones en lenguaje común, simbólico o gráfico.
Ejecuta instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3 X 3.
De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,
se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I
DESEMPEÑOS
Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:
Completa:
Incompleta:
Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable
completa e incompleta.
Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e
incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y
formula general para ecuaciones incompletas.
Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula
general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa.
Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales,
complejas e imaginarias.
Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable.
Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución
de ecuaciones cuadráticas.
Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.
Bienvenido a este bloque en el cual trabajarás para solucionar ecuaciones cuadráticas.
Aplicarás técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común. Resolverás
ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable.
Utilizarás la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones
completas de segundo grado en una variable.
Identificarás raíces reales y complejas y escribirás ecuaciones a partir de estas. Representarás y
solucionarás situaciones con ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas se conocen también como “ecuaciones de segundo grado” porque el máximo
exponente de la incógnita es 2 y las soluciones que las resuelven también son dos.
EXPRESION GENERAL .- Una ecuacion de segundo grado, llamada tambien cuadratica
con una incognita de la forma ax2+bx+c=0, donde a, b, c son constants y a≠0
RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS:
A) MIXTAS. Cuando carece del término constante
1.
En las ecuaciones incompletas
mixtas, siempre una raíz es cero, y
la otra es el coeficiente del término
en x con el signo cambiado partido
2
por el coeficiente del término en x .
2.
B) PURAS. Cuando carece del termino de x
Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0,
deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego a y por último
el cuadrado de x, como se muestra a continuación;
Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura
son;
- Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de
una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales.
1.
2.
Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es incompl eta si alguno de
los coef icientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
ax2 = 0
L a s ol uc ió n es x = 0 .
Resolver la ecuación (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0.
Primero resolvemos la ecuación, como hay un producto notable (suma por su diferencia)
aplicamos la fórmula (a + b)(a – b) = a2 – b2;
Ahora, reemplazamos en la fórmula;
Resolver la ecuación 4x2 = - 32x
Ordenamos la ecuación;
Reemplazamos en la fórmula;
Respuesta: Las raíces son 0 y - 8.
Resolver la ecuación
𝒙𝟐
𝟑
−
𝒙−𝟗
𝟔
=
𝟑
𝟐
Para resolver la ecuación hay que quitar los denominadores, para lo cual, tenemos que sacar
el mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y después transponemos los términos
para igualar a 0;
Reemplazamos en la fórmula;
Respuesta: Las raíces son 0 y 1/2.
NOTA: Pueden tomar un ejemplo de los presentados en estos apuntes y presentarlo ante el
grupo, para UN PUNTO EXTRA utilizando hojas de colores; sobre alguna figura creativa.
(Detalles en el salón)
C) CO M PL ET AS :
FACTORIZACION: Consiste en descomponer en f actores la expr esión
cuadrát ica a x2+bx+c=0 , igualar cada factor a cero y resolver la ecuación para x
Caso 1.
x2 + b x +c = 0
Resolver la ecuación cuadrática, por factorización: 1) x2-6x+5=0
( x - 5 ) ( x - 1 )=0
Igualando con cero
x-5=0
x-1=0
x=5
x=1
2) x 2 + x – 20 = 0
(x – 4 )(x + 5)=0
3) x 2 – 7 x + 12 = 0
x-4=0
x+5=0
x=4
x=-5
( x- 4 ) ( x – 3 ) = 0
4) x 2 – 2x – 24 = 0
( x – 5 ) ( x + 2 )=0
X–5=0
x+2=0
X=5
x = -2
5) anexar otro ejercicio
X – 4=0
x-3 =0
X=4
x=3
Caso 2.
ax2 + b x +c = 0
1) 6 x2 + 7 x – 5 = ( 2x – 1) ( 3 x + 1 )
Multiplicados
Tabla:
2)
2x
sumados
- 1
+ 10 x
3x
+5
- 3x
6x
-5
7x
2 x2 +17 x – 9 = ( 2x – 1 ) ( x + 9 )
3) Anexar 3 ejercicios mas
2 x
.x
2x2
-1
9
-9
18 x
-x
17 x
SOLUCION POR TRINO MIO CUADRADO PERFECTO
Problema Encontrar c tal que
cuadrado perfecto.
es un trinomio
Para completar el
cuadrado, sumar
.
b = 8,
entonces
Simplificar
Solución
c = 16
Nuestro trinomio cuadrado perfecto es
el cuadrado de un binomio:
. También lo podemos escribir como
.
Problema.
x 2 – 12 x + 32=0
Pasar el termino independiente
x 2 – 12x = -32
Dividir el coef icient e de x, y elevar este r esultado al cuadrado y sumar
a ambos lados de la ecuación
x 2 – 12x + (-6) 2 =-32 + (-6) 2
x 2 – 12x + 36 = -32 +36
Reducir y simplif icar ; sacar raíz cuadr ada al pr imer y tercer termino:
(x – 6) 2 = 4
Quitar exponente y af ectar con radical
x – 6 =±√4
x=6 ±2
x 1 =6+2 =8
x 2 = 6 -2 =4
Problema
Encuentra las raíces de la ecuación
cuadrática
Las raíces son las
intersecciones en x, donde la
gráfica cruza el eje x. El valor
de y para cualquier punto en
el eje x es 0, entonces
sustituir 0 por y
Reescribir la ecuación con el
lado izquierdo de la
forma x2 + bx, para prepararla
para completar el cuadrado
x2 – 4x + 4 = -1 + 4
x2 – 4x + 4 = 3
Sumar
al lado
izquierdo para completar el
cuadrado, y también al lado
derecho para mantener la
ecuación válida
b = -4, entonces
=
Reescribir el lado izquierdo
como un binomio cuadrado
Sacar la raíz cuadrada de
ambos lados. Necesitamos
ambas raíces la positiva y la
negativa, o perderemos una
de las soluciones
o
Resolver x. Estas son las
coordenadas en x de las
raíces
o
Solución
o
Problema
Resolver
Dividir ambos lados de
la ecuación entre el
coeficiente de
es 2
, que
Reescribir la ecuación
de forma que el lado
izquierdo tenga la
forma
Sumar
a ambos lados para
completar el cuadrado
Escribir el lado
izquierdo como un
binomio cuadrado
Sacar las raíces
cuadradas de ambos
lados, con ambas
posibilidades positiva y
negativa
Resolver x. Esto nos da
las coordenadas
en x de las raíces, o las
soluciones de la
ecuación cuadrática
Solución
o
Problema
Resolver
Reescribir la ecuación para que el lado
izquierdo tenga la forma
Sumar
lados
.
a ambos
Escribir el lado izquierdo como un
binomio cuadrado
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados.
Normalmente las dos raíces positiva y
negativa son necesarias, pero 0 no es
positivo o negativo. 0 tiene sólo una raíz
Resolver x.
Esta es la solución de la ecuación
cuadrática, y la coordenada x de la raíz
de la función cuadrática
Solución
Por FORMULA GENERAL
1) Resolver x2 −3x −4 = 0
2) Resolver 5x2 −6x −1 = 0
3) Resolver x² - 3x + 2 = 0;
x² - 3x + 2 = 0
a = 1, b= - 3, c = 2. Luego
4) Resolver
4x² + 12x + 9 = 0;
4x² + 12x + 9 = 0.
a = 4, b= 12, c = 9. Luego
9x² + 18x + 17 = 0;
9x² + 18x + 17 = 0.
5) Resolver
)
a = 9, b = 18, c = 17. Luego
PROBLEMAS QUE SE REVUELVEN POR ECUACIONES CUADRATICAS
Problema
1
Un lanzador de peso puede ser modelado
usando la ecuación
, donde x es la
distancia recorrida (en pies) y y es la altura
(también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?
El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en
esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.
Esta ecuación es difícil de
factorizar o de completar el
cuadrado, por lo que la
resolveremos usando la
fórmula
cuadrática,
Simplificar
Encontrar ambas raíces
o
x ≈ 46.4 o -4.9
¿Tienen sentido las raíces?
La parábola descrita por la
función cuadrática tiene dos
intersecciones en x. Pero el
tiro sólo viajó sobre parte de
esa curva.
Una solución, -4.9, no puede
ser la distancia recorrida
porque es un número
negativo
La otra solución, 46.4 pies,
debe ser la distancia del
lanzamiento
Solución
Aproximadamente 46.4 pies
Problema
Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies. Él tiene 10 pies cuadrados
de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe
hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho
en los cuatro lados.)
NOTA: Área del borde = Área del rectángulo
mayor menos el área del rectángulo menor
Área del borde = Área del rectángulo azul
menos el área del rectángulo rojo
Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)
10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20
Sólo estamos interesados en el
área de las tiras del borde. Hay
que escribir una expresión
para el área del borde
Tenemos 10 pies cuadrados
de tela para el borde, entonces
igualamos el área del borde a
10
Multiplicar (4 + 2x)(5 + 2x).
Simplificar
Restar 10 de ambos lados para
obtener una ecuación
cuadrática igualada a 0 y pode
aplicar la fórmula cuadrática
para encontrar las raíces de la
ecuación.
Usar la fórmula cuadrática. En
este caso, a = 4, b = 18, y c = 10.
Simplificar
Encontrar las soluciones,
asegurándonos que el ± es
evaluado para ambos valores
o
Ignorar la solución x = -5,
porque el ancho no puede ser
negativo
Solución
El ancho del borde debe ser de 0.5
pies.
**Estas hojas son las que se les pr oporcionaran impresas o pueden
imprim ir asi su trabajo **
BLOQUE X:
DESEMPEÑOS
Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas.
Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables
como
una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es
una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo.
Transforma la función cuadrática a la forma estándar así obteniendo las
coordenadas del V (h, k) para trazar su gráfica.
Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la
solución de la ecuación cuadrática, y que dependiendo de la naturaleza del
discriminante tiene soluciones reales, imaginarias o complejas.
Visualiza que al cambiar los parámetro de “a, b y c” en la función cuadrática
cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.
Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e
interpreta sus soluciones para cuando son o no admisibles.
(Esta inf ormación es la que solicito: para su lista de cotejo grupo 109,
110 y 139) nov 11 del 2016.
USO DEL DISCRI MI NANTE:
El término b 2 - 4ac se llama discriminante y proporciona información importante sobre el
número y la naturaleza de las soluciones a la ecuación de segundo grado a resolver. Tres
casos son posibles:
1. Si D> 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.
1. Si D = 0, la ecuación tiene 1 solución real.
2. Si D <0, la ecuación tiene 2 soluciones conjugadas imaginario.
Figura
Ejemplo 1: Encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación.
x2 + 3x = 4
x2 + 3x = 4

Teniendo en cuenta

Vuelva a escribir la ecuación dada en forma igual a cero y hallar a, b y c.
x 2 + 3x - 4 = 0
a=1

b=3
c=-4
Encuentra el discriminante D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25

Desde el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales, es
dado por.

Conclusión: Las soluciones de la ecuación dada es de 1 y -4.
Resolver: x2-3x+2=0
Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática
𝒙𝟐
𝟑

+ 𝟑 = 𝟐𝒙 .
Eliminar el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por 3.
𝒙𝟐
3 [ 𝟑 + 𝟑 = 𝟐𝒙 ] =
𝑥 2 + 9 = 6𝑥

Simplificar y volver a escribir la ecuación con el término derecho igual a cero, y
determinar a, b y c.
x 2 - 6x + 9 = 0
a=1
b=-6
c=9

El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0

Desde el discriminante es igual a cero, las dos fórmulas da las dos soluciones de
la ecuación cuadrática convertido en uno x = -b/2a y la ecuación tiene una
solución.
x =- 3
Resolver
𝑥2
2
= −8 − 4𝑥
Ejemplo 3: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática
x 2 - 4x + 13 = 0

Teniendo en cuenta

El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36
Desde el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es un
número imaginario puro.

Utilice las fórmulas de segundo grado para encontrar las dos soluciones.
x 1 = 2 + 3i
x 2 = 2 - 3i
x 2 - 4x + 13 = 0
Resolver x2-4x+5 =0
( Noviembre
11 del 2016 )
FELIZ NAVIDAD Y PROSPERO
AÑO 2017…