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DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN
TÉRMINOS DE SUS LADOS
HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE
ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
U de A
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de la geometría se acostumbra determinar la ubicación de los puntos
notables del triángulo por métodos sintéticos, analíticos o dinámicos. Los métodos
sintéticos corresponden a procedimientos constructivos, los cuales conllevan consigo
la inexactitud propia de los instrumentos y la imprecisión propia de la pericia del
dibujante, siendo netamente intuitivos. Los métodos analíticos, por su parte, arrojan
datos exactos pero requieren de la ubicación en el plano cartesiano de los vértices del
triángulo y la posterior determinación de parámetros como puntos medios,
pendientes, ecuaciones de rectas y puntos de intersección, claves para establecer la
ubicación de los puntos notables, todo haciendo uso de la geometría analítica,
requiriendo de gran desempeño matemático y cálculos diversos. En los métodos
analíticos difícilmente se parte de conocer las longitudes del triángulo. Los métodos
dinámicos son los más versátiles porque conjugan los dos anteriores y permiten una
excelente visualización a partir de la manipulación de software creado para tal fin, en
ellos se puede partir de conocer la longitud de los lados y determinar con exactitud la
ubicación de los puntos notables, pero requiere de acceso a un ordenador y pericia en
el manejo del software.
Con el presente documento se pretende divulgar otra manera de determinar la
ubicación de los puntos notables del triángulo, a partir del conocimiento de la longitud
de los lados. Este método permite, mediante fórmulas algebraicas1, hacer cálculos
exactos para establecer la ubicación de cada punto notable, sin requerir del uso del
ordenador ni del uso de construcciones geométricas.
CONSIDERACIONES INICIALES
En todo triángulo ABC con lados a opuesto al vértice A , b opuesto al vértice B
y c opuesto al vértice C , se puede determinar la ubicación de los puntos notables
BARICENTRO, INCENTRO, CIRCUNCENTRO y ORTOCENTRO, en términos de los lados
del triángulo, cuando éstos son conocidos.
Para determinar la ubicación del punto notable, se establece como punto de referencia
el vértice B del triángulo y se determinan la distancia , correspondiente a la medida
del segmento que va desde el punto notable hasta el lado ̅̅̅̅ o su prolongación y es
1
La determinación de las fórmulas divulgadas en este documento hacen parte de escrito más
extenso , el cual está en preparación por parte del autor.
perpendicular a éste, y la distancia , correspondiente a la medida del segmento sobre
la línea que contiene a ̅̅̅̅ , que va desde el vértice B hasta el pie de la perpendicular
, con lo cual las coordenadas del punto notable será
Los valores de
se consideran positivos hacia la derecha de B y se consideran
negativos hacia la izquierda de B.
Los valores de se consideran positivos hacia arriba de BC y se consideran negativos
hacia abajo de BC.
DETERMINACIÓN DEL BARICENTRO O GRAVICENTRO DE UN TRIÁNGULO.
Definiciones básicas:
Mediana de un triángulo: es el segmento de recta que une el punto medio de un
lado de un triángulo con el vértice opuesto.
En un triángulo se pueden trazar tres medianas, una por cada vértice del triángulo, las
cuales se cortan en un punto denominado BARICENTRO o GRAVICENTRO.
El baricentro o gravicentro es el centroide o centro de gravedad del triángulo.
La ubicación del baricentro en términos de los lados del triángulo, corresponde a:
 3a 2  c 2  b 2 4a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2
G ( d , e)  G 
,

6a
6a





Para el triángulo de lados
se tiene
DETERMINACIÓN DEL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO.
Definiciones básicas:
Mediatriz de un segmento: es la recta que pasa por el punto medio de un segmento
y es perpendicular a éste.
En un triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una por cada lado del triángulo, las
cuales se cortan en un punto denominado CIRCUNCENTRO.
El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita que pasa por los vértices
del triángulo.
La ubicación del circuncentro en términos de los lados del triángulo, corresponde a:
a
a (c 2  b 2  a 2 )

C c ( d , e)  C c
,
 2 2 4 a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2





Para el triángulo de lados
se tiene
DETERMINACIÓN DEL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO.
Definiciones básicas:
Altura de un triángulo: es el segmento de recta que va desde un vértice de un
triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación y es perpendicular a éste.
En un triángulo se pueden trazar tres alturas, una por cada vértice del triángulo, cuyos
segmentos o sus prolongaciones se cortan en un punto denominado ORTOCENTRO.
La ubicación del ortocentro en términos de los lados del triángulo, corresponde a:
 a 2  c 2  b 2 (a 2  b 2  c 2 )(a 2  c 2  b 2 ) 

O ( d , e)  O 
,
2 2
2
2
2 2 

2a
2 a 4 a c  (c  a  b ) 

Para el triángulo de lados
se tiene
DETERMINACIÓN DEL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO.
Definiciones básicas:
Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide a un ángulo en otros dos ángulos
congruentes entre sí.
En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, una por cada ángulo del triángulo, las
cuales se cortan en un punto denominado INCENTRO.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita que es tangente a los lados del
triángulo.
La ubicación del incentro en términos de los lados del triángulo, corresponde a:
 a  c  b 4 a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2
I ( d , e)  I 
,

2
2(a  b  c)





Para el triángulo de lados
se tiene
PUNTOS NOTABLES Y RECTA DE EULER
Al ubicar conjuntamente los puntos notables de cualquier triángulo se observa que el
ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados. La línea que contiene a
éstos puntos notables recibe el nombre de RECTA DE EULER. Puede también
observarse que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es igual al doble de la
distancia entre el baricentro y el circuncentro.
Para el triángulo de lados
,
La fórmula para determinar la distancia entre el ortocentro y el circuncentro en
términos de los lados del triángulo es:
[
√
Así para los valores dados de
y
]
se tiene que
La fórmula para determinar la distancia entre el baricentro y el circuncentro en
términos de los lados del triángulo es:
[
√
Así para los valores dados de
y
]
se tiene que
EJERCICIO
Determine la ubicación de los puntos notables circuncentro, baricentro, ortocentro e
incentro, y calcule la distancia entre el ortocentro y el circuncentro para el triángulo
de lados
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herdaror@hotmail.com