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TOPOLOGIA GENERAL José Darío Sánchez Hernández Bogotá-Colombia, Junio del 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de topología general, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba. §1. RESULTADOS BASICOS 1Þ Una métrica en un conjunto Q es una función . À Q ‚ Q d que asocia a cada par de puntos Bß C − Q un número real . Bß C llamado la distancia del punto B al punto C de tal modo que: ESM" . . Bß B œ !ß . Bß C !ß si B Á C ESM# . . Bß C œ . Cß B ESM$ . . Bß D Ÿ . Bß C . Cß D à cualquiera que sean Bß Cß D − Q Þ ì Un espacio METRICO es un par Q ß . formado por un conjunto Q y una métrica . en Q . ì Todo subconjunto \ de un espacio métrico Q posee una estructura natural de espacio métrico. Basta definir la distancia entre dos puntos Bß C − \ como la misma distancia entre ellos considerados como puntos de Q . La métrica así definida en \ se llama la METRICA INDUCIDA en \ por Q . ì Sea Q ß . un espacio métrico y E § Q no vacío, B − Q se define la distancia de B a E por . Bß E œ 380 Ö. Bß + à + − E× si B − E entonces . Bß E œ !Þ 2. Sea E un subconjunto no vacío de un espacio métrico Q . Cualesquiera que sean se tiene l. Bß E . Cß E l Ÿ . Bß C ì Cualesquiera sean Bß Cß D − Q , se tiene l. Bß D . Cß D l Ÿ . Bß C ì Si E, F son dos subconjuntos no vacíos de Q , se define la distancia entre ellos por Bß C − Q Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 2 . Eß F œ 380 Ö. +ß , à + − Eß , − F× ì Una aplicación 0 À Q R de un espacio métrico Q en un espacio métrico R , se llama una inmersión isométrica cuando . 0 B ß 0 C œ . Bß C cualesquiera sean Bß C − Q . Si además, 0 es una aplicación de Q sobre R , entonces se dice que 0 es una isometría de Q sobre R , o una isometría entre Q y R . ì En un espacio métrico Q ß . se denomina bola abierta con centro α − Q y radio < !ß al siguiente subconjunto de Q U αß < œ ÖB − Q Î. +ß B <× ì Dados dos puntos distintos +ß , en un espacio métrico Q , entonces existen en Q dos bolas disyuntas con centros en + y , , respectivamente. (Más adelante se dirá que todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff). ì Un conjunto \ de un espacio métrico se dice limitado o acotada cuando existe un número real < ! tal que . Bß C Ÿ < cualquiera que sean Bß C − \ . El menor de esos números < se conoce con el nombre de diámetro del conjunto \ y se representa por $ \ œ supÞÖ. Bß C à Bß C − \×à $ 9 œ !Þ ì Una función 0 À \ Q de un conjunto \ en un espacio métrico Q se llama limitada o acotada cuando 0 \ es un conjunto limitado o acotado de Q . En particularß si Q posee una métrica limitada esto es, $ Q ∞ entonces toda aplicación 0 À \ Q es limitada o acotada. ì Sea U \ß Q œ Ö0 À \ Q Î0 es limitada× e introduzcamos una métrica definiendo la distacia entre dos aplicaciones limitadas 0 ß 1 À \ Q como: . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \ × ì Una seudométrica en un conjunto Q es una función real . À Q ‚ Q d tal que . Bß C œ . Cß B !ß . Bß B œ ! y . Bß D Ÿ . Bß C . Cß D para cualesquiera sean Bß Cß D − Q . ì Una seudométrica es una métrica si y sólo si . Bß C ! siempre que B Á C. ì Un espacio seudométrico es un par Q ß . , donde Q es un conjunto y . es una seudométrica en Q . 3 . Sean 0 À Q R una aplicación de un espacio métrico Q en un espacio métrico R y + un punto de Q . Se dice que 0 es continua en el punto +, cuando dado arbitrariamente un número % !, es posible determinar otro número $ ! tal que . Bß + $ implica que . 0 B ß 0 + %Þ ì Diremos, simplemente, que 0 À Q R es continua si 0 es continua en todos los puntos de Q Þ ì Sea 0 À Q R una aplicación de un espacio métrico Q en un espacio métrico R , una contracción débil es una función tal que . 0 B ß 0 C Ÿ . Bß C para cualesquiera Bß C − Q ì La compuesta de dos aplicaciones continuas es continua. ì Sea 0 À Q R una aplicación continua. Para cada subconjunto \ § Q , la restricción 0 l\ À \ Q es continua. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 3 ì Sea 0 À Q ‚ R T una función continua. Para cada + − Q y cada , − R las aplicaciones parciales 0+ À R T y 0, À Q T ß definidas por 0+ C œ 0 +ß C y 0, B œ 0 Bß , son continuas. ì Sea I un espacio vectorial real normado. Las aplicaciones α À I ‚ I I y 7 À d ‚ I I , dadas por α Bß C œ B C y 7 -ß B œ - † B son continuas. También es continua la función real 0 À d Ö!× d definida por 0 > œ "> . ì Sean 0 ß 1 À Q d funciones reales continuas en un espacio métrico Q Þ La suma 0 1, la diferencia 0 1, y el producto 0 † 1 son funciones reales continuas en Q . Además de eso si \ § Q es el conjunto de los puntos B − Q tales que 1 B Á !, el cociente 01 es una función continua. ì Una aplicación 0 À \ Q" ‚ â ‚ Q8 de un conjunto \ en el producto cartesiano de los conjuntos Q" ß á ß Q8 equivale a dar 8 aplicaciones 0" À \ Q" ß á ß 08 À \ Q8 tales que 0 B œ 0" B ß á ß 08 B , B − \Þ Las aplicaciones 03 À \ Q3 se llaman las aplicaciones coordenadas de 0 . 4 . Sean Q ß Q" ß Q# ß á ß Q8 espacios métricos. Una aplicación 0 À Q Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 es continua en el punto + − Q si y solamente si, cada una de las coordenadas 03 À Q Q3 es continua en el punto +. ì Sean 0 À Q T ß 1 À R U aplicaciones continuas. Entonces, la aplicación : À Q ‚ R T ‚ U definida por : Bß C œ 0 B ß 1 C es continua. ì Un HOMEOMORFISMO es una aplicación continua y biunívoca 0 À Q R de un espacio métrico Q sobre un espacio métrico R , tal que su aplicación inversa 0 " À R Q también es continua. En este caso, 0 " es un homeomorfismo. ì La compuesta de homeomorfismos también es un homeomorfismo. ì Si existe un homeomorfismo de Q sobre R , los espacios Q y R se dicen homeomorfos. ì La bola F +ß < de d 8 es homeomorfa a todo d 8 . Como la translación y las homotecias son homeomorfismos, basta observar que la bola F !ß " es B homeomorfa a d 8 , tomando 0 À F !ß " d 8 como 0 B œ "lBl ; la cual tiene a 1 À d8 F !ß " , donde 1 C œ C "lCl , como inversa y 0 ß 1 son continuas. Lo mismo es verdadero en un espacio vectorial normado I . ì Sea 0 À Q R una aplicación, el gráfico de 0 es K 0 œ Ö Bß 0 B à B − Q ×. Con la métrica inducida por Q ‚ R el gráfico K 0 es homeomorfo a Q Þ 5.Sean . y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q . Decimos que . es más fina que . w notamos este hecho por . ¢ . w cuando la aplicación 3. À Q ß . Q ß .w es continua. ì Sean . y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q , . ¢ . w si y sólo si, para cada + − Q ß cualquier bola abierta de centro en + según . w contiene alguna bola abierta de centro + según .Þ ì Dos métricas .ß . w en el mismo conjunto Q se dicen equivalentes . µ . w cuando . ¢ . w y . w ¢ . . En otras palabras cuando la aplicación identidad Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 4 3. À Q ß . Q ß .w es un homeomorfismo. ì Las métricas . y . w son equivalentes si y sólo si, toda bola abierta según una cualesquiera de esas métricas contiene otra bola de mismo centro según la otra métrica. ì Si existen números reales 7ß 8 ! tales que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C cualesquiera sean los puntos Bß C − Q entonces las métricas . y . w son equivalentes. La recíproca de esta afirmación es falsa, para eso tome en d la métrica . w Bß C œ lB$ C$ lß . w es equivalente a la métrica usual de d y no existen 7ß 8 tales que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C . ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. Sea . w la métrica inducida por 0 en Q , esto es, . w Bß C œ ." 0 B ß 0 C , Bß C − Q Þ Entonces . y . w son equivalentes si y sólo si, 0 es un homeomorfismo de Q sobre 0 Q . ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. La métrica definida en Q por 3 Bß C œ . Bß C ." 0 B ß 0 C es equivalente a .Þ . BßC ì Sea Q ß . un espacio métrico. La métrica . w w Bß C œ ". nos da una prueba BßC de que todo espacio métrico es homeomorfo a un espacio métrico acotado, pues . w w Bß C " cualquiera que sean Bß C − Q . 6. Sean Iß J espacios vectoriales normados y 0 À I J una aplicación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3) 0 es continua 33) 0 es continua en el punto ! − I 333) existe un número 7 ! tal que l0 B l Ÿ 7lBlß aB − I ì Una aplicación lineal biunívoca 0 À I J de I sobre J es un homeomorfismo si y sólo si, existen números reales 7 !ß 8 !, tales que 8lBl Ÿ l0 B l Ÿ 7lBl para todo B − IÞ ì Dos normas l l y l l" en un espacio vectorial I son equivalentes si y sólo si, existen números reales 7ß 8 ! tales que lBl Ÿ 8 † lBl" y lBl" Ÿ 7 † lBl cualquiera que sea B − I . 7. Un subconjunto E de un espacio métrico Q se dice abierto si para cada + − E existe % ! tal que si B − Q y . Bß + % , entonces B − E. ì Toda bola abierta F +à < en un espacio métrico Q es un subconjunto abierto de Q . ì Indicaremos con µÐ\à Q Ñ œ Ö0 À \ Q à 0 \ es un conjunto acotado× con la métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − Q ×ß siendo Q ß . un espacio métrico. ì Sean Q ß R espacios métricos, las aplicaciones de Q en R que estan a una distancia finita de 0 y que son discontinuas en un punto dado + − Q , forman un subconjunto abierto del espacio µ0 Q à R . ì Las aplicaciones discontinuas pertenecientes a µ0 Q à R forman un subconjunto abierto de este espacio. Darío Sánchez H. 5 TOPOLOGIA GENERAL ì Sean Q un espacio métrico y \ § Q un subespacio. Un subconjunto Ew § \ es abierto en \ si y sólo si, Ew œ E ∩ \ß donde E es un subconjunto abierto de Q . ì Sea \ § Q abierto. Un subconjunto Ew § \ es abierto en \ si y sólo si Ew es abierto en Q . 8. Sean Q ß R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q R sea continua, es E de todo subconjunto abierto necesario y suficiente que la imagen inversa 0 Ew § R , sea un subconjunto abierto de Q . ì Para que la aplicación 0 À Q R sea continua en un punto + − Q es necesario y suficiente que para cada abierto Ew § R , con 0 + − Ew , exista un abierto E § Q ß con + − Q tal que 0 E § Ew Þ ì Sean Q" ß á ß Q8 espacios métricos y E" § Q" ß á ß E8 § Q8 subconjuntos abiertos. Entonces E" ‚ E# ‚ â ‚ E8 es un subconjunto abierto del producto cartesiano Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 Þ ì Sean 0" ß á ß 08 À Q R aplicaciones continuas y +" ß á ß +8 − R . El conjunto de los puntos B − Q tales que 0" B Á +" ß á ß 08 B Á +8 es abierto en Q . Si 0" ß á ß 08 À Q d son funciones reales continuas el ÖB − Q à 0" B !ß á ß 08 B !× es aún un subconjunto abierto Q . ì Una aplicación 0 À Q R que transforma cada subconjunto abierto E § Q en un subconjunto abierto 0 E § R es llamada una aplicación abierta. ì Sean Q y R espacios métricos y 2 À Q R una aplicación biunívoca de Q sobre R . La condición necesaria y suficiente para que 2 sea un homeomorfismo de Q sobre R es: Para cada \ § Q ß 2 \ es abierto en R si y sólo si, \ es abierto en Q . ì Sean . y . w métricas en el mismo conjunto Q . Para que . y . w sean equivalentes es necesario y suficiente que los espacios métricos Q ß . y Q ß . w posean los mismos subconjuntos abiertos. ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q8 un producto cartesiano de espacios métricos. Cada proyección :3< À Q Q3 3 œ "ß #ß á ß 8 es una aplicación continua abierta. " 9. w Una topología en un conjunto \ es una colección T de subconjuntos de \ llamados abiertos (según la topología) satisfaciendo las siguientes condiciones ET" : \ y el subconjunto vacío ø son abiertos ET# : La reunión de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto. ET$ : La intersección de una familia finita de subconjuntos abiertos es un subconjunto abierto. ì Un espacio topológico es una pareja \ß T donde \ es un conjunto y T es una topología en \ . ì Una aplicación 0 À \ ] de un espacio topológico \ en un espacio topológico ] , de dice continua cuando la imagen inversa 0 " F de todo abierto F § ] es un subconjunto abierto de \ . ì Sean \ y ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua, si y sólo si, 0 es continua en cada punto D − \ . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 6 ì Un homeomorfismo 2 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre un espacio topológico ] es una aplicación continua y biunívoca de \ sobre ] cuya inversa 2 " À ] \ es también continua. ì Un espacio topológico \ se dice metrizable cuando es posible definir una métrica . en \ tal que los abiertos definidos por .ß de acuerdo con la métrica, coincidan con los abiertos de la topología de \ . Nota. No todo espacio topológico es metrizable, por ejemplo \ß T con T œ Ö\ß ø× no es metrizable. 10. Sean T y Tw dos topologías en el mismo conjunto \Þ Diremos que T es más fina que Tw cuando T ¨ Tw esto es cuando todo abierto según Tw es necesariamente abierto según T. ì Dadas las topologías T y Tw en un conjunto \ , para que T sea más fina que Tw es necesario y suficiente que la aplicación identidad 3 À \ß T \ß Tw sea continua. ì Para que dos métricas . y . w en el mismo conjunto Q definan la misma topología es necesario y suficiente que ellas sean equivalentes. ì Una aplicación 0 À \ ] , de un espacio topológico \ en un espacio topólogico ] se dice abierta cuando, para cada abierto E § \ß 0 E es abierto en ] . ì Una aplicación biunívoca 0 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre el espacio topológico ] es un homeomorfismo si y sólo si, es continua y abierta. ì EH. Un espacio topológico \ es llamado un espacio de Hausdorff o espacio separado cuando, dados dos puntos arbitrarios B Á C en \ , existen abiertos E, F § \ tales que B − Eß C − Fß y , E ∩ F œ ø. ì Un espacio métrico es un espacio de Hausdorff, por tanto todo espacio metrizable es un espacio de Hausdorff, la recíproca es falsa. ì Resulta de la definición EH que en un espacio de Hausdorff \ , para cada punto de B − \ , el conjunto \ ÖB× es un abierto de \ . La recíproca es falsa, por ejemplo, tome \ , un conjunto infinito con la topólogia de los complementos de los subconjuntos finitos de \ , aquí \ ÖB× es abierto y \ß T no es Hausdorff ni metrizable. 11. Sea 0 À W \ una aplicación de un conjunto arbitrario W en un espacio topólogico \ . La colección T de las imágenes inversas 0 " E de los abiertos E § \ por la aplicación 0 es una topología en W . La topología T así construida es llamada, topología inducida en W por la aplicación 0 À W \Þ ì La topología inducida por 0 À W \ es la menos fina dentro de todas las topologías en W que dejan a la aplicación 0 À W \ continua. ì Sea W § \ , la inclusión 3 À W \ es tal que, si E § \ es un abierto, se tiene que 3" E œ E ∩ W ; de modo que la topología inducida por 3 en W tiene por abiertos las intersecciones E ∩ W de los abiertos E § \ con el subconjunto W . W con ésta topología es llamado un subespacio del espacio topológico \ . ì Sean \ un espacio topológico, U un conjunto cualquiera y : À \ U una aplicación de \ en U. Indiquemos por T la colección de los subconjuntos F § U tales que :" F es abierto en \ . T es una topológia en U llamada co-inducida por la aplicación :. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 7 ì La topología co-inducida es la más fina topología en U con la propiedad de dejar la aplicación : À \ U continua. ì Sean \ß ^ espacios topológicos 1 À U ^ß 0 À \ U donde U posee la topología co-inducida por 0 . Entonces 1 À U ^ es una aplicación continua si sólo si, 1 ‰ 0 À \ ^ es continua. ì Sean : À \ U y U con la topología co-inducida. Entonces con respecto a la topología co-inducida U : \ es un subespacio discreto, esto es, los puntos son abiertos. 12. Sea \ un espacio topológico y : À \ U una aplicación de \ sobre un " conjunto U. Para todo X § U se tiene :Ò: X Ó œ X , pero dado W § \ en general cuando : no es sobre, apenas se tiene :" Ò: = Ó ¨ W . ì Un subconjunto W § \ se dice saturado relativamente a : cuando " : Ò: W Ó œ W . ì El menor conjunto saturado que contiene a W es llamado el saturamiento de W . ì Supongamos ahora que U tiene la topología co-inducida por : À \ U. Entonces, para todo W § \ , el conjunto : W es abierto en U si y sólo si, su saturamiento :" Ò: W Ó es abierto en \ . ì Sea \ un espacio topológico y I una relación de equivalencia en \ . En el conjunto U œ \ÎI cociente de \ por la relación I , consideremos la topología coinicial dada por la aplicación canónica : À \ \ÎI , que asocia a cada B − \ la clase de equivalencia que lo contiene. Esta es la topología cociente en \ÎI . El espacio topológico \ÎI es el espacio cociente de \ por la relación I . : es llamada aplicación cociente. ì Sean \ , ] espacios topológicos y 0 À \ ] una aplicación continua sobre ] . Se define la relación I por: BIBw Í 0 B œ 0 Bw . Consideremos la aplicación cociente : À \ \ÎI , existe una única aplicación 0 À \ÎI ] tal que 0 : B œ 0 B . No siempre 0 À \ÎI ] es un homeomorfismo. Para que eso se tenga es necesario y suficiente que la topología de ] sea co-inducida por 0 . ì Si 0 À \ ] es una aplicación continua y abierta de \ sobre ] , entonces la topología de ] es co-inducida por 0 . ì Una aplicación 0 À \ ] es un homeomorfismo local cuando todo punto B − \ pertenece a un abierto Y tal que 0 Y œ Z es abierto en ] y 0 es un homeomorfismo de Y sobre Z . ì Dada una relación de equivalencia I en un espacio topológico \ , la aplicación cociente : À \ \ÎI es abierta si y sólo si, el saturamiento :" Ò: E Ó de todo subconjunto abierto E § \ , es aún abierto. ì Cuando : À \ \ÎI es una aplicación abierta, la relación de equivalencia I se dice una relación abierta. 13. Una base de abiertos, o simplemente, una base en un espacio topológico \ es una colección µ de subconjuntos abiertos de \ llamados abiertos básicos con la siguiente propiedad: Todo subconjunto E § \ se expresa como reunión de abiertos F- ŠE œ ∪ F- ‹ pertenecientes a µ. - Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 8 ì Sea \ un espacio topológico. Una colección µ de abiertos de \ constituyen una base de \ si y sólo si, para cada abierto E § \ y cada punto B − E existe un conjunto FB − µ tal que B − FB § E. ì Sea µ una colección de subconjuntos de un conjunto \ , para que µ sea una base de una topológia sobre \ es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones: " para cada B − \ , existe F − µ tal que B − F # si B − F" ∩ F# donde F" ß F# − µ entonces existe F − µ tal que B − F § F" ∩ F# (esta condición se cumple en particular cuando F" ∩ F# − µ)Þ ì Sean \" ß \# ß á ß \8 espacios topológicos. En el conjunto \ œ \" ‚ â ‚ \8 producto de los \3 , consideremos la colección µ, formado por los abiertos elementales E œ E" ‚ â ‚ E8 donde E" § \" ß á ß E8 § \8 son abiertos. Como E" ‚ â ‚ E8 ∩ F" ‚ â ‚ F8 œ E" ‚ F" ∩ â ∩ E8 ‚ F8 se sigue que µ es base de una topología en \ , llamada topología producto. ì La topología producto en \ œ \" ‚ â ‚ \8 tiene las siguientes propiedades: + Las proyecciones son continuas y abiertas. , Dado un espacio topológico ^ , una aplicación 0 À ^ \ con 0 D œ 0" D ß á ß 08 D , es continua en el punto , − ^ si y sólo si, cada coordenada 03 œ :3< ‰ 0 À ^ \3 es continua en el punto ,. - Si \" ß á ß \8 son metrizables, entonces \ es metrizable y su topología puede ser determinada por cualquiera de las tres metricas usuales en el producto. 14. Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − W se llama punto interior de W cuando existe un abierto E de \ tal que B − E § W . ‰ ì El interior de W es el conjunto 38> W œ W formado de todos los puntos interiores de W . ì El interior de un conjunto W , en un espacio topológico \ , es la reunión de todos los subconjuntos abiertos de \ que estan contenidos en W . En particular, 38> W es abierto en \ . ì W es abierto si y solamente si W œ 38> W . ì Un punto B − \ tiene interior vacío si y sólo si, B es un punto aislado. ì Todo subespacio vectorial P de un espacio vectorial normado I , con P Á I , tiene interior vacío. ì En un espacio topológico \ se dice que un conjunto Z es una vecindad de un ‰ punto B − \ cuando B − 38> Z œ Z . Esto quiere decir naturalmente que Z contiene un abierto que contiene a B como elemento. ì + Un conjunto E es abierto en un espacio topológico \ si y sólo si, es una vecindad de cada uno de sus puntos. , Sean \ , ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua en el punto + − \ si y sólo si, para cada vecindad Z del punto 0 + en ] existe una vecindad Y del punto + en \ tal que 0 Y § Z . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 9 ì La frontera de un subconjunto W de un espacio topológico \ es un conjunto fr W formado por todos los puntos B − \ tales que toda vecindad de B contiene puntos de W y del complementario \ W , esto es, fr W œ ÖB − \à B  38> \ W • B  38>W× œ W ∩ C\ W . ì Si 38> W œ ø entonces W § fr W . ì Sea ] un espacio topológico, \ un subespacio de ] y B un punto de \ . Las vecindades de B son las intersecciones Z ∩ \ donde Z es una vecindad de B en ] . 15. Un subconjunto J de un espacio topológico \ se dice cerrado cuando su complementario \ J es abierto. ì A fin de que J sea un subconjunto cerrado de \ , es necesario y suficiente que para cada B − \ J exista un abierto YB con B − YB § \ J , esto es, B − YB y YB ∩ J œ ø . ì Los subconjuntos cerrados de un espacio topológico \ gozan de las siguientes propiedades: " El conjunto vacío ø y el espacio entero \ son cerrados. # La intersección J œ ∩ J- de una familia cualquiera ÖJ- ×-−A - finita o infinita de subconjuntos cerrados J- § \ es un subconjunto cerrado de \ . $ La reunión J œ J" ∪ â ∪ J8 de un número finito de subconjuntos cerrados J" ß á ß J8 § \ es un subconjunto cerrado de \ . ì Sean \ y ] espacios topológicos. Para que una aplicación 0 À \ ] sea continua es necesario y suficiente que la imagen inversa 0 " J w de todo subconjunto cerrado J w § ] sea un subconjunto cerrado en \ . ì Sea 0 À \ ] una aplicación biunívoca de \ sobre ] . A fin de que 0 sea un homeomorfismo es necesario y suficiente que la siguiente condición sea satisfecha: Dado T § \ , 0 T es cerrado en ] si y sólo si, T es cerrado en \ . ì En un espacio de Hausdorff \ , todo punto B es un subconjunto cerrado de \ . La recíproca es falsa, como ejemplo tome la topología de los complementos finitos sobre un espacio infinito \ . ì Una aplicación 0 À \ ] \ß ] espacios topológicos se dice cerrada cuando la imagen 0 J de todo subconjunto cerrado J § \ es un subconjunto cerrado de ]. ì Sean \ , ] espacios topológicos, ] un espacio de Hausdorff. El gráfico de una aplicación continua 0 À \ ] es un subconjunto cerrado G J œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] à B − \× del espacio producto \ ‚ ] . ì Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Dada 0 À \ Q , las aplicaciones que estan a una distancia finita de 0 y son continuas en un punto dado + − \ forman un subconjunto cerrado del espacio µ0 \à Q . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 10 ì Las aplicaciones continuas forman un subconjunto cerrado de µ0 \à Q . En particular, las aplicaciones continuas acotadas forman un subconjunto cerrado de µ \à Q . 16. Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ , un punto B − \ se dice adherente a W cuando toda vecindad de B en \ contiene por lo menos un punto de W . ì El conjunto de los puntos de \ que son adherentes a W es llamado la cerradura o adherencia de W y es indicado por W . ì Así B − W si y sólo si, para todo abierto E del espacio \ con B − E implica E ∩ W Á ø. ì Evidentemente, W § W cualquiera que sea W § \ . ì La adherencia de un subconjunto W en un espacio topológico \ , es la intersección de todos los subconjuntos cerrados de \ que contienen a W . ì J § \ es cerrado si y solamente si J œ J . ì La adherencia de un conjunto W en un espacio topológico \ es el menor subconjunto cerrado de \ que contiene a W . Más exactamente " W es cerrado en \ # W¨W $ si J es un subconjunto cerrado de \ que contiene a W , entonces J ¨ W . ì Sea \ un subespacio de un espacio topológico ] . La adherencia relativamente a \ de un subconjunto W § \ es la intersección de \ con la \ ] adherencia de W en ] ŠW œ \ ∩ W ‹. ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q ß . . Entonces B − W si y sólo si, . Bß W œ !. ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q ß . sea cerrado es condición necesaria y suficiente que . Bß J œ ! implique que B − J . 17. Dados dos subespacios cerrados distintos J ß K en un espacio métrico Q ß . , !ß si B − J existe una función real continua : À Q Ò!ß "Ó tal que : B œ œ "ß si B − K ŠBasta definir : B œ . BßJ . BßJ . BßK ‹ ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico Q ß . . Existen abiertos Y ß Z en Q tales que J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø. ì Un espacio topológico \ se llama normal cuando dados dos cerrados J , K § \ , con J ∩ K œ ø existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y , K § Z y Y ∩ Z œ ø. ì Todo espacio topológico métrizable es un espacio normal. ì TEOREMA DE URYSOHN: En todo espacio normal \ , dados dos cerrados disyuntos J ß K, existe siempre una función real continua : À \ Ò!ß "Ó tal que !ß si B − J : B œœ "ß si B − K Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 11 ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio topológico \ . Una función continua : À \ Ò!ß "Ó con : J œ !, : K œ " es llamada una función de Urysohn del par J ß K . ì W § \ es cerrado si y solamente si W ¨ fr W . 18. Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − \ es llamado un punto de acumulación de W cuando toda vecindad Z de B en \ contiene algún punto = − W , distinto del punto B. El conjunto de todos los puntos de acumulación de W se llama derivado y es indicado con W w . ì Sea \ un espacio topológico. Para todo subconjunto W § \ß se tiene W œ W ∪ W w . ì Un conjunto J § \ es cerrado si y sólo si, contiene todos sus puntos de acumulación. ì Si W § \ no posee puntos de acumulación, entonces, todo subconjunto de W es cerrado en \ . ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Para que un punto B − \ sea de acumulación de un subconjunto W § \ es necesario y suficiente que toda vecindad de B contenga una infinidad de puntos de W . ì En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito tiene derivado vacío. ì En un espacio de Hausdorff \ , el derivado de cualquier subconjunto W es cerrado, esto es, W w ¨ W ww . 19. Un espacio topológico \ se llama conexo cuando \ y ø son los únicos subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados. ì Un espacio topológico \ es conexo si y solamente si, no puede ser expresado como reunión de dos subconjuntos abiertos, disyuntos y no vacíos. ì Un conjunto W es abierto y cerrado simultáneamente si y sólo si, su frontera es vacía. ì Todo intervalo de la recta es un espacio conexo. ì Todo subconjunto conexo de la recta es un intervalo. ì La imagen de un conjunto conexo W por una aplicación continua 0 À \ ] , es un conjunto conexo 0 W Þ ì Sean \ un espacio topológico conexo y 0 À \ d una función real continua. La imagen 0 \ es un intervalo. ì Sea 0 À Ò+ß ,Ó d una función real continua definida en el intervalo Ò+ß ,Ó. Si 0 + - 0 , entonces existe B − Ò+ß ,Ó tal que 0 B œ - . ì Un camino en un espacio topológico \ es una aplicación 0 À M \ , donde M es el intervalo cerrado Ò!ß "Ó. Los puntos + œ 0 ! y , œ 0 " son llamados los extremos del camino 0 , + œ 0 ! es el punto inicial y , œ 0 " el punto final. ì Un espacio topológico \ se dice conexo por camino o por arcos, cuando dados dos puntos cualesquiera +ß , − \ existe siempre un camino 0 À M \ con 0 ! œ + y 0 " œ ,. ì Sea I un espacio vectorial normado, un subconjunto W § I se dice convexo cuando, dados dos puntos cualesquiera +ß , − W el segmento de recta Ò+ß ,Ó œ Ö " > + >,à ! Ÿ > Ÿ "× está enteramente contenida en W . Darío Sánchez H. 12 TOPOLOGIA GENERAL 20. Si los caminos 0 ß 1 À M \ en el mismo espacio topológico \ son tales que 0 " œ 1 ! , se puede definir un camino yuxtapuesto, 0 ” 1 À M \ del siguiente modo 0 #> ß si ! Ÿ > Ÿ "# 0 ”1 > œ 1 #> " ß si "# Ÿ > Ÿ " ì Todo espacio topológico conexo por arcos, es conexo. ì La recíproca de la afirmación anterior es falsa, tome como ejemplo el llamado espacio peinilla, esto es, la reunión en d # de los siguientes conjuntos: "Ñ El segmento unitario N œ Ö Bß ! à ! Ÿ B Ÿ "× del eje de las abscisas, #Ñ segmentos verticales unitarios N8 œ Öˆ 8" ß C‰à ! Ÿ C Ÿ "×, levantados sobre los puntos de N los cuales tienen abscisa de la forma 8" ß 8 − ß $Ñ el punto + œ ˆ!ß "# ‰ ì Sea \ un espacio topológico y W un subconjunto de \ se dice denso cuando W œ \ . Si W es además conexo, también \ es conexo. ì Sea W un subconjunto conexo del espacio topológico \ . Si W § X § W entonces X es conexo. ì Si W § d , 2 À W d # es un homeomorfismo de W sobre 0 W entonces 0 W tiene interior vacío en d # . Procediendo por absurdo se llega a que un intervalo es homeomorfo a un disco, lo cual es po contradictorio. ì Sea N § d un intervalo. Una función continua 0 À N d es un homeomorfismo de N sobre 0 N si y solamente si 0 es estrictamente monótona. ì Sea ÖW- ×- una familia de subconjuntos conexos de un espacio topológico. Si existe un punto B! , común a todos los W- , entonces W œ ∪ W- es conexo. - ì La reunión de todos los subconjuntos conexos de un espacio topológico \ que contienen un punto B − \ es un conjunto conexo GB el cual llamaremos componente conexa de B en el espacio. ì La componente conexa GB es un subconjunto conexo maximal de \ . ì Toda componente conexa GB es un conjunto cerrado. ì \ es conexo, si y solamente si, es la componente conexa de cada uno de sus puntos. ì Nótese que el conjunto de los números racionales es un espacio no discreto. 21. Un espacio topológico \ se dice totalmente disconexo cuando sus únicos subconjuntos conexos son ø y sus puntos. Esto equivale a decir que sus componentes conexas son puntos. ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo cuando para todo B − \ y toda vecindad Y de B, existe una vecindad conexa Z de B tal que Z § Y . ì El conjunto de los números racionales no es conexo ni localmente conexo. ì Todo espacio vectorial normado es localmente conexo, pues toda bola es conexa. ì Un espacio conexo puede no ser localmente conexo, tome por ejemplo el espacio peinilla. Darío Sánchez H. 13 TOPOLOGIA GENERAL ì A fin de que un espacio topológico \ sea localmente conexo es necesario y suficiente que para cada abierto E § \ , las componentes conexas de E sean subconjuntos abiertos de \ . ì Una componente conexa por caminos de un punto B en un espacio topológico \ es la reunión de todos los subconjuntos conexos por caminos de \ que contienen a B. ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo por caminos cuando para todo B − \ y toda vecindad Y de B existe una vecindad Z de B conexa por caminos con Z § Y . ì Sea \ un espacio localmente conexo por caminos. Si por otra parte \ es conexo entonces también es conexo por caminos. ì Sea G un subconjunto conexo de un espacio topológico \ . Si para algún W § \ , ‰ se tiene que G ∩ W Á ø y G ∩ \ W Á ø entonces G ∩ fr W Á ø. O sea si un conjunto conexo G contiene un punto interior de W y un punto fuera de W , entonces G contiene algún punto de la frontera de W . 22. Límites: En un espacio métrico Q para una sucesión ÖB8 ×8 § Q , se tiene que B œ lim B8 si y solamente si, para todo subconjunto abierto E conteniendo al punto 8Ä∞ B, existe un índice 8! tal que si 8 8! implica que B8 − E. En este caso se dice que la sucesión ÖB8 ×8 es convergente y que converge a B. ì En un espacio métrico \ , lim B8 œ B si y solamente si para cada vecindad Z del 8Ä∞ punto B existe un indice 8! tal que B8 − Z para todo 8 8! . ì En un espacio métrico Q , una sucesión convergente posee un único límite. ì Para que una sucesión ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × en un espacio métrico Q , posea una subsucesión convergente para un punto + − Q es necesario y suficiente que toda vecindad de + contenga términos B8 con índices 8 arbitrariamente grandes. ì Si B8 +, entonces toda subsucesión de ÖB8 ×8− converge para +. ì Sea + − Q un punto aislado. Entonces B8 + si y sólo si, existe 8! − tal que B8 œ + para todo 8 8! . ì Toda sucesión convergente en un espacio métrico Q es acotada. La recíproca es falsa. ì Dado un subconjunto no vacío acotado E, de un espacio métrico Q , existen sucesiones de puntos B8 ß C8 − E tales que lim . B8 ß C8 œ $ E . (Nótese que 8Ä∞ ÖB8 ×8 ß ÖC8 ×8 no necesariamente son sucesiones convergentes). Análogamente, dado + − Q existe una sucesión de puntos +8 − E con lim . +8 ß + œ . +ß E . 8Ä∞ Finalmente, dados Eß F § Q , existen sucesiones de puntos +8 − Eß ,8 − F con . + 8 ß ,8 . Eß F . ‡ ì Sea T œ Ö!ß "ß "# ß á ß 8" ß á × con la métrica inducida de la recta. Dada una sucesión ÖB8 ×8 en un espacio métrico Q , se tiene lim B8 œ B − Q si y sólo si, la aplicación 0 ÀT Q ß definida por 0 ˆ 8" ‰ œ B8 ß 0 ! œ B es continua. ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 un producto de espacios métricos. Dar una sucesión ÖB8 ×8 en Q equivale a dar 5 sucesiones coordenadas ÖB8" ×8− en Q" ,á ,ÖB85 ×8− en 8Ä∞ ‡ Darío Sánchez H. 14 TOPOLOGIA GENERAL Q5 de modo que B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 . Sea + œ +" ß +# ß á ß +5 − Q , lim B8 œ + si y sólo si, para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 se tiene lim B83 œ +3 . 8Ä∞ 23. Sean Q se tiene 8Ä∞ y R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es necesario y suficiente que si B8 + en Q entonces 0 B8 0 + en R Þ ì Para que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que si B8 + en Q implique que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R . ì Para que 0 À Q R sea continua es necesario y suficiente que la imagen Ö0 B8 ×8− de toda sucesión convergente ÖB8 ×8− en Q , sea convergente en R . ì A fin de que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que para toda sucesión ÖB8 ×8− en Q convergente para +, entonces la sucesión imagen Ö0 B8 ×8− admita una subsucesión convergente a 0 + . ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q . Para que B − W en Q es necesario y suficiente que B sea límite de una sucesión de puntos B8 − W . ì Un punto B − Q pertenece a la frontera de W si y sólo si, B œ lim B8, B8 − W y B œ lim C8 ß C8 − Q W . 8Ä∞ 8Ä∞ ì Sean 0 ß 1 À Q R aplicaciones continuas. Dado W § Q si 0 B œ 1 B para todo B − W entonces 0 B œ 1 B para todo B − W . ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q sea cerrado es necesario y suficiente que él contenga el límite de toda sucesión de puntos B8 − J . ì Sea Q un espacio métrico. Para que un subconjunto E § Q sea abierto es necesario y suficiente que si toda sucesión ÖB8 ×8− que converge para un punto + − E, se tenga que B8 − E para todo 8 suficientemente grande. ì Sea Q un espacio métrico. Para que B − Q sea punto de acumulación de un subconjunto W § Q es necesario y suficiente que exista una sucesión de puntos B8 − W con B8 Ä B y B7 Á B8 para 7 Á 8. 24.Sucesiones de funciones. Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico. Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge simplemente para una aplicación 0 À\ Q cuando, para cada B − \, la sucesión Ö0" B ß 0# B ß á ß 08 B ß á × de puntos 08 B − Q converge para el punto 0 B − Q . ì Así 08 Ä 0 simplemente, si y solamente si, para cada B − \ y cada % ! existe un número positivo 8! œ 8! Bß % tal que 8 8! Bß % implica . 08 B ß 0 B %. ì Se dice que 08 Ä 0 uniformemente, si y sólo si, cuando dado % ! es posible obtener 8! œ 8! % (dependiendo sólo de %) tal que 8 8! implica . 08 B ß 0 B %ß para todo B − \ . ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces 08 Ä 0 simplemente, la recíproca es falsa. ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces para todo 8 suficientemente grande, 08 está a una distancia finita de 0 y 08 Ä 0 en el espacio µ0 \à Q . Recíprocamente si 08 Ä 0 en µ0 \à Q entonces 08 converge uniformemente para 0 . ì El límite de una sucesión uniformemente convergente de aplicaciones 08 À \ Q es una aplicación acotada 0 À \ Q Darío Sánchez H. 15 TOPOLOGIA GENERAL ì Se tiene que 08 Ä 0 uniformemente si y sólo si, 08 Ä 0 como puntos del espacio µ \à Q . ì Si 08 Ä 0 simplemente, entonces se puede tener cada 08 acotada sin que 0 lo sea. Tome para cada 8 − , 08 À d d la función dada por ! para lBl Ÿ 8 08 œ œ Ê 08 Ä 0 À d d dada por 0 B œ B. Cada 08 es acotada,0 no. 8 para lBl>8 ì Sean \ un espacio topológico, Q un espacio métrico y Ö08 ×8− una sucesión de funciones de \ en Q convergiendo uniformemente para una aplicación 0 À \ Q . Si cada 08 es continua en un punto dado + − \ entonces 0 es continua en el punto +. ì Dados un conjunto \ y un espacio métrico Q , fijamos una colección G de partes de \ . Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge para una aplicación 0 À \ Q uniformemente en los subconjuntos de G cuando, para cada W − G, la sucesión de las restricciones 08 lW À W Q converge uniformemente para la restricción 0 lW À W Q . Esto significa que para cada W − G y cada % ! existe un entero 8! œ 8! Wß % tal que 8 8! implica . 08 B ß 0 B % para todo B − W. ì Dada una sucesión de aplicaciones continuas 08 À Q R y una aplicación 0 À Q R , supongamos que cada punto B − Q posea una vecindad Z tal que 08 lZ converge uniformemente (esto es, 08 converge uniformemente para 0 , localmente) entonces 0 À Q R es continua. ì Sea 0 À d d una función y - un número real. Se dice que 0 tiene límite - en infinito cuando, para cada % !, existe 5 ! tal que lBl 5 implica l0 B -l %. Se escribe entonces lim 0 B œ - . lBlÄ∞ ì Si 08 Ä 0 uniformemente en cada uno de los subconjuntos W" ß á ß W5 § \ entonces 08 Ä 0 uniformemente en W œ 5 ∪ W3 . 3œ" ì Si 08 Ä 0 uniformemente en W , entonces 08 Ä 0 uniformemente en cualquier parte de W . 25.Límite de una función.- Sea 0 À Q R una aplicación del espacio métrico Q en el espacio métrico R . Dado un punto + − R se dice que el punto , − R es el límite de 0 B cuando B tiende para +, y escribimos , œ lim 0 B cuando todo % ! existe BÄ+ $ ! tal que . Bß + $ implica . 0 B ß , %. ì Sean E un subconjunto del espacio topológico \ , 0 À E ] una aplicación definida en E y tomando valores en un espacio topológico ] y + − E un punto de \ , adherente al conjunto E. Diremos que el punto , − ] es límite de 0 B cuando B tiende para + si para cualquier Z − µ , ß bY − µ B tal que B − Y ∩ E implica 0 B − Z . Se escribe entonces , œ lim 0 B . BÄ+ ì Cuando el espacio ] es Hausdorff, se tiene unicidad cuando el límite existe. Darío Sánchez H. 16 TOPOLOGIA GENERAL ì Sean Q ß R espacios métricos, E § Q , 0 À E R y + − E. Para que exista , œ lim 0 B es necesario que lim 0 B8 œ , para toda sucesión de puntos B8 − E BÄ+ BÄ∞ con B8 Ä + y es suficiente que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R , siempre que B8 − E, B8 Ä +Þ ì Sean Q ß R espacios métricos, E un subespacio de Q y 0 À E R una aplicación continua. Si para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E BÄ+ R definida por J + œ 0 + para + − E y J + œ lim 0 B 26. BÄ+ para + − E E, es continua. Un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio topológico \ es una colección µ B de vecindades de B con la siguiente propiedad: Dada cualquier vecindad Y de B en el espacio \ , existe una vecindad Z − µ B tal que Z § Y . ì El sistema se dice sistema fundamental enumerable cuando µ B es un conjunto enumerable. ì + Sea µ B un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio topológico \ . A fin de que B pertenezca al interior de un conjunto W § \ es necesario y suficiente que exista Z − µ B tal que Z § WÞ Análogamente B − W si y sólo si, para toda Z − µ B se tiene Z ∩ W Á ø. , Sean \ , ] espacios topológicos 0 À \ ] una aplicación, µ + un sistema fundamental de vecindades de un punto + − \ y À , un sistema fundamental de vecindades del punto , œ 0 + − ] . Para que 0 sea continua en el punto + es necesario y suficiente que para cualquier [ − À , existe Z − µ + tal que 0 Z § [. ì En un espacio métrico todo punto B posee un sistema fundamental de vecindades enumerable. ì Sean >" ß ># ß á ß >8 − dß N" ß N# ß á ß N8 § d , 8 intervalos y constrúyase los conjuntos E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 œ Ö0 À d dà 0 >" − N" ß á ß 0 >8 − N8 × En esta forma toda función 0 − ¹ dß d œ \ pertenece a alguno de los conjunto de la forma E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 . Se sigue entonces que estos conjuntos E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 forman una base de una topología para \ llamada topología de la convergencia simple. ì La topología así definida brinda un ejemplo de un espacio topológico donde los puntos no admiten un sistema fundamental de vecindades enumerables. ì Un espacio topológico \ es un espacio I" cuando todo punto B − \ posee un sistema fundamental de vecindades enumerable. ì En un espacio de Hausdorff, una sucesión convergente posee un único límite. Recíprocamente, si \ es un espacio I" en el cual toda sucesión convergente posee un único límite, entonces \ es un espacio de Hausdorff. ì En un espacio topológico \ para que una sucesión ÖB8 ×8− posea una subsucesión convergente para un punto D − \ es necesario que toda vecindad de D contenga términos B8 con índices arbitrariamente grande. Si \ es un espacio I" , esta condición es también suficiente. Darío Sánchez H. 17 TOPOLOGIA GENERAL ì Sean \ y ] espacios topológicos, ] de Hausdorff. Para que una aplicación 0 À \ ] sea continua en el punto + − \ es necesario que B8 Ä + implique 0 B8 Ä 0 + en ] . Cuando \ es un espacio I" esta condición también es suficiente (aunque ] no sea I" ) . ì Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Para que B − W es suficiente que exista una sucesión de puntos B8 − W con B œ lim B8 . Cuando \ es un espacio 8Ä∞ I" esta condición también es necesaria. ì Un espacio topológico \ se dice regular si todo punto posee un sistema fundamental de vecindades cerradas. ì Sea 0 À E ] una aplicación continua, definida en un subespacio E de un espacio topológico \ y tomando valores en un espacio de Hausdorff regular ] . Si para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E ] definida BÄ+ por J + œ lim 0 B , + − E es continua. 27.Sean BÄ+ Q , R espacios métricos. Una aplicación 0 À Q R se dice uniformemente continua cuando, para todo % ! dado arbitrariamente se puede obtener un $ ! tal qu Bß C $ implica que . 0 B ß 0 C %, cualesquiera sean Bß C − Q . ì Sean Q ß R ß T espacios métricos. Si 0 À Q R y 1 À R T son funciones uniformemente continuas entonces 1 ‰ 0 À Q T es uniformemente continua. ì Si 0 À Q R es uniformemente continua y E § Q entonces la restricción 0 lE es uniformemente continua. .. ì Decimos que una aplicación 0 À Q R satisface a una condición de Ho lder de orden α, cuando para cualquier Bß C − Q , se tiene . 0 B ß 0 C Ÿ - † . Bß C α donde - y α son constantes. Si esto ocurreß 0 es uniformemente continua. ì 1Àd d , 0 À d d son homeomorfismos uniformemente continuos $ B È ÈB B È ÈB cuyos inversos no son uniformemente continuos. También nos brindan un ejemplo de funciones que son uniformemente continuas y no cumplen la condición de Lipschitz. 28. Sean . y . w respectivamente ." y ."w métricas uniformemente equivalentes en un espacio métrico Q resp. un espacio métrico R . Si 0 À Q ß . R ß ." es w w uniformemente continua, entonces 0 À Q ß . R ß ." también lo es. ì Sean Q ß R espacios métricos y \ un conjunto. Para que una aplicación : À Q R induzca una aplicación continua :‡ À ¹ \à Q ¹ \à R definida por :‡ 0 œ : ‰ 0 , es suficiente que : sea uniformemente continua. Si \ es infinito, esta condición también es necesaria. ì Si una secuencia de aplicaciones 08 À \ Q converge uniformemente para 0 À \ Q y si : À Q R es uniformemente continua, entonces : ‰ 08 À \ R converge uniformemente para : ‰ 0 À \ R . ì Si : À Q R es un homeomorfismo uniforme, entonces :‡ À ¹ \à Q ¹ \à R es " un homeomorfismo cuyo inverso es dado por : ‡ À ¹ \à R ¹ \à Q . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 18 ì Si : À Q R a más de ser uniformemente continua es una aplicación acotada en particular, si la métrica de R es acotada entonces :‡ ¹ \à Q § µ \à R y una restricción de :‡ a cada µα \à Q es una aplicación uniformemente continua µα \à Q µ \à R . ì Dos métricas uniformemente equivalente en un espacio métrica Q definen la misma topología en ¹ \à Q . Si ambas métricas son acotadas, ellas definen en ¹ \à Q œ µ \à Q métricas uniformemente equivalentes. ì Sean cuales fueren el conjunto \ y el espacio métrico Q , el espacio topológico ¹ \à Q es métrizable. ì Dado un espacio métrico Q ß . , las métricas . w y . ww definidas por . BßC . w œ 738Ö"ß . Bß C × y . ww œ ". son uniformemente equivalentes a . . BßC 29. Sea R œ R" ‚ â ‚ R5 el producto cartesiano de los espacios métricos R3 con la métrica dada por . ww Bß C œ 7+BÖ. B" ß C" ß á ß . B5 ß C5 ÎB œ B" ß á ß B5 ß C œ C" ß á ß C5 ×. Sea Q otro espacio métrico, una aplicación 0 À Q R es uniformemente continua si y sólo si, las aplicaciones coordenadas 03 À Q R3 definidas por 0 B œ 0" B ß á ß 05 B ß B − Q son uniformemente continuas. ì Se dice que un espacio topológico ] es suma topológica de una familia de subespacios Ö]α ×α−E ß cuando ] œ ∪ ]α los ]α son dos a dos disyuntos y cada uno de ellos es abierto y por lo tanto cerrado en ] . ì Un ejemplo es ¹ \à Q œ w∪ µαw \à Q , α Áα α − E œ Örepresentante α:\ 30. Una sucesión si lim $ \8 8Ä∞ Q de los µ0 \à Q × ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q es de Cauchy œ ! donde \8 œ ÖB8 ß B8" ß á ×. si y solamente ì Toda sucesión de Cauchy es acotada. ì En un espacio métrico: + Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es también una sucesión de Cauchy. , Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. - La imagen de una sucesión de Cauchy, por una aplicación uniformemente continua, es una sucesión de Cauchy. ì Dos métricas uniformemente equivalentes en el mismo espacio métrico Q determinan las mismas sucesiones de Cauchy en Q . ì Sean T œ Ö"ß "# ß "$ ß á ß 8" ß á ×, Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 el producto cartesiano de 5 espacios métricos, 0 À T Q una función definida por "‰ ˆ 0 8 œ B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 . Se tiene que ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy si cada una de las sucesiones ÖB"3 ß B#3 ß á ß B83 ß á × es de Cauchy para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 . Además tenemos que las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico Q . 33 0 À T Q es uniformemente continua. 333 Para cada 03 À T Q3 , determinada por 03 ˆ 8" ‰ œ B83 , es uniformemente continua. 3@ Cada sucesión de coordenadas ÖB83 ×8− es de Cauchy en Q3 . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 19 31.Sea ÖB8 ×8− una sucesión de Cauchy en un espacio métrico Q . Si alguna subsucesión ÖB85 ×5− converge para un punto B − Q entonces ÖB8 ×8− también converge para el punto B. ì Se dice que un espacio métrico Q es completo cuando toda sucesión de Cauchy en Q es convergente. ì El producto cartesiano Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 es completo, si y solamente si, cada uno de los factores Q" ß Q# ß á ß Q5 es un espacio métrico completo. ì El espacio euclidiano d 8 es completo. ì Dado α À \ Q , sea ¶α \à Q el conjunto de las aplicaciones continuas 0 À \ Q tales que . 0 ß α ∞. Si Q es completo, ¶α \à Q también es completo en relación a la métrica uniforme . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×. 32.Llámase espacio de Hilbert a todo espacio vectorial I , provisto de un producto interno <B,C> y completo relativamente a la norma lBl œ È Bß B . ì El espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. Sea H el conjunto de las sucesiones B œ ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × de números reales tales que ∞ 8œ" B#8 ∞. ì Dados B œ ÖB3 ×ß C œ ÖC8 × en H absolutamente convergente y l la serie de números reales B3 C3 l Ÿ B3 C 3 3 es lB3 C3 l Ÿ lBl † lCl. s ß 0 ‰, donde 0 À Q Q s es de un espacio métrico Q es un par ˆQ s es completo y 0 Q es denso en Q s. una inmersión isometrica, Q µ s ß 0 ‰ y Š Q ß 1‹ completados del mismo espacio métrico Q . Existe una ì Sean ˆQ µ s única isometría : À Q Q tal que : ‰ 0 œ 1. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q , es homeomorfo a un espacio métrico completo. Tómese 0 À Q d función continua que se anula en Q E 0 B œ . Bß Q E . : À E d ; : B œ 0 "B 33. Un completado 3 3 ì Teorema de Cauchy: El conjunto d de los números reales con la métrica usual . Bß C œ lB Cl es un espacio métrico completo. ì Todo subespacio cerrado de un espacio métrico completo es también completo. Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico es cerrado. 34. Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico completo. Dada cualquier aplicación α À \ Q , el espacio µα \à Q œ Ö0 À \ Q à . 0 ß α ∞× es completo relativamente a la métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q es homeomorfo a un espacio métrico completo. ì Sea W un subconjunto denso de un espacio métrico Q y 0 À W R una aplicación uniformemente continua, donde R es un espacio métrico completo. Existe una única extensión continua 0 À Q R la cual es uniformemente continua. ì Todo espacio métrico Q posee un completado. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 20 35.Un subconjunto W de un espacio topológico \ se dice magro cuando es una reunión enumerable W œ ∪ W8 tal que para cada 8, 38>ˆW 8 ‰ œ ø ì Llámase espacio de Baire un espacio topológico en el cual todo subconjunto magro tiene interior vacío. ì Para que un espacio topológico \ sea un espacio de Baire es necesario y suficiente que toda intersección W œ ∩ E8 de una familia enumerable de abiertos E8 densos en \ sea un subconjunto denso de \ . ì Se dice que una familia de cerrados J8 tiene la propiedad del interior vacío si 38> J8 œ ø para todo 8. ì Un espacio topológico \ es un espacio de Baire si ¹ œ ÖJ- ×-−A es una familia de cerrados con la propiedad del interior vacío entonces X œ ∪ J8 tiene la 8− propiedad de interior vacío. ì Teorema de Baire: Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire. ì Todo subconjunto abierto E de un espacio de Baire \ es un espacio de Baire. ì Si todo punto B − \ posee una vecindad que es un espacio de Baire, entonces \ es un espacio de Baire. ì El complemento de un subconjunto magro de un espacio de Baire es un espacio de Baire. ì Dados los espacios métricos Q y R , siendo Q completo y una sucesión de aplicaciones continuas 08 À Q R la cual converge simplemente para una aplicación 0 À Q R ß entonces el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0 es un conjunto magro de Q . 36. Toda contracción 0 À Q Q de un espacio métrico completo Q , posee un único punto fijo. Dado cualquier punto B! − Q ß la sucesión 0 B! ß 0 # B! ß á ß 0 8 B! ß á converge para el punto fijo de 0 . ì Sea E un subconjunto abierto del espacio euclidiano d 8 . Sea 0 À E d 8 una aplicación de la forma 0 B œ B : B , donde : À E d 8 es una contracción. Entonces 0 es un homeomorfismo de E sobre un subconjunto abierto de d 8 . ì Ser espacio de Baire es una propiedad topológica, luego se sigue del teorema de Baire que todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo es un espacio de Baire. ì El conjunto de los números racionales es un conjunto magro de la recta pero no es magro en sí mismo. ì Todo subconjunto cerrado enumerable del espacio euclidiano d 8 posee una infinidad de puntos aislados. ì El teorema de Baire proporciona también una demostración del hecho de que el conjunto de los números reales no es enumerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos aislados. ì Sea ^ el conjunto de Cantor: ^ es un conjunto magro en la recta, esto es, 38> ^ œ ø , pero no es magro en sí mismo, es un espacio de Baire que no posee puntos aislados luego no es numerable. Todo homeomorfismo de ^ sobre ^ tiene puntos fijos. ^ µ Ö!ß #× , ^ no posee puntos aislados, por tanto ^ es compacto. Darío Sánchez H. 21 TOPOLOGIA GENERAL 37. Teorema de Bolzano-Weierstrass : Todo conjunto infinito y acotado de números reales posee un punto de acumulación. ì Teorema de Borel-Lebesgue: Sea ÖM- ×-−A una familia de intervalos abiertos M- tal que todo punto del intervalo cerrado Ò+ß ,Ó pertenece a uno de los M- , esto es, Ò+ß ,Ó § ∪ M- . En estas condiciones es posible escoger un número finito de -−A intervalos M- de tal forma que Ò+ß ,Ó § M-" ∪ M-# ∪ â ∪ M-8 . ì Un espacio topológico \ se dice compacto cuando todo recubrimiento abierto de \ posee un subrecubrimiento con un número finito de abiertos. ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si ÖJ- ×-−A es una colección de cerrados con la propiedad de la intersección finita entonces ∩ J- Á ø. -−A ì En un espacio compacto todo subconjunto infinito posee un punto de acumulación. ì En un espacio compacto \ todo subconjunto cerrado J es compacto. ì Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico es relativamente compacto cuando W es un subconjunto compacto de \ . ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Todo subconjunto compacto O § \ es cerrado en \ . En particular la intersección cualquiera de compactos es compacta. ì La imagen de un conjunto compacto por una aplicación continua es un conjunto compacto. ì Toda aplicación continua 0 À O ] de un espacio compacto O en un espacio de Hausdorff ] es cerrada. ì Toda aplicación 0 À O ] continua y biunívoca, de un espacio compacto O sobre espacios Hausdorff ] es un homeomorfismo. ì Toda función real continua 0 À O d , definida en un espacio compacto O , es acotada y alcanza sus extremos. Esto es, existen B! ß B" − O tales que 0 B! œ infÞÖ0 B à B − \× y 0 B" œ supÞÖ0 B à B − O×. ì Sea \ ‚ O el producto cartesiano de un espacio topológico arbitrario \ por un espacio compacto O . Dado un punto B − \ y sea Y § \ ‚ O un abierto tal que B ‚ O § Y . Entonces existe un abierto E en \ con B − E y E ‚ O § Y . ì Sea \ un espacio topológico cualquiera. Si O es compacto, entonces la proyección :"< À \ ‚ O \ es una aplicación cerrada. ì Para que una función 0 À \ O de un espacio topológico arbitrario \ en un espacio compacto O , sea continua es suficiente que su gráfico K 0 sea un subconjunto cerrado del producto \ ‚ O . Si además \ es un espacio de Hausdorff, la condición también es necesaria. ì El producto cartesiano \ ‚ ] es compacto si y sólo si, \ y ] son espacios compactos. 38. Se dice que una familia ÖJ- ×-−A tiene la propiedad de la intersección finita cuando cualquier subfamilia finita ÖJ-" ß J-# ß á ß J-8 × tiene intersección no vacía. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 22 ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si una familia ÖJ- ×-−A de subconjuntos cerrados en \ posee la propiedad de la intersección finita entonces ∩ J- Á ø. -−A ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es compacto si y sólo si cada uno de los factores \" ß \ # ß á ß \8 es compacto. 39. Un espacio topológico \ se dice normal cuando dados dos cerrados J ß K § \ con J ∩ K œ øß existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal. ì Un espacio topológico \ sea normal si y sólo si, dados en \ un cerrado J y un abierto E con J § E, existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E. 40. Si la topología de ] es co-inducida (esto es, F § ] es un abierto Í :" F es un abierto es \ ) por una aplicación : À \ ] , entonces dado cualquier espacio topológico ^ , una aplicación 0 À ] ^ es continua si y sólo si, la aplicación 0 ‰ : À \ ^ es continua. ì Diremos que una aplicación : À \ ] de un espacio topológico \ sobre un espacio topológico ] , es una aplicación cociente cuando la topología de ] es co-inducida por :. ì Sean \ß ] dos espacios topológicos, toda aplicación sobre, continua y cerrada o abierta : À \ ] es una aplicación cociente. ì Cuando \ es un espacio compacto y ] es un espacio de Hausdorff , toda aplicación sobre y continua : À \ ] es una aplicación cociente. 41. Todo subconjunto compacto convexo O § d 8 tal 38> O Á ø es homeomorfo a una bola cerrada H § d 8 . ì Teorema de Borel-Lebesgue: Un subconjunto W del espacio euclidiano d 8 es compacto si y sólo si, es cerrado y acotado. ì Un subconjunto de un espacio euclidiano d 8 es relativamente compacto si y sólo si, es acotado. ì Si I y J son espacios vectoriales normados un isomorfismo 0 À I J es una aplicación lineal continua, biunívoca y sobreyectiva, cuya inversa 0 " À J I es continua (y es necesariamente lineal). ì Todo espacio vectorial normado I de dimensión finita 8 es isomorfo al espacio euclidiano d 8 Þ ì Sean I y J espacios vectoriales normados. Si I tiene dimensión finita entonces toda aplicación lineal 0 À I J es continua. ì Dos normas cualesquiera de un espacio vectorial de dimensión finita I son siempre equivalentes y I es completo en relación a cualquiera de ellas. ì Todo subespacio de dimensión finita I , de un espacio vectorial normado J , es cerrado. ì Un espacio métrico Q se dice totalmente acotado cuando para todo % ! se puede expresar Q œ W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 como una reunión de un número finito de subconjuntos, cada uno de los cuales tiene diámetro menor que %. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 23 ì Si un subconjunto W de un espacio métrico Q es totalmente acotado, su adherencia (o cerradura) W también lo es. ì En un espacio métrico Q el diámetro de un conjunto W es igual al diámetro de su cerradura W . ì Las siguientes afirmaciones son equivalentes en un espacio métrico Q : 3 Q es compacto. 33 Todo subconjunto infinito de Q posee un punto de acumulación. 333 Toda sucesión en Q posee una subsucesión convergente. 3@ Q es completo y totalmente acotado. 42. Un espacio topológico \ es llamado secuencialmente compacto cuando toda sucesión en \ posee una subsucesión convergente. Þ ì Existen espacios topológicos que no son secuencialmente compactos como Ò!ß "ÓÒ!ß"Ó esto es el conjunto de todas las funciones 0 À Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó es compacto y no es secuencialmente compacto. ì Para que un espacio métrico Q sea totalmente acotado es necesario y suficiente s sea compacto. que su completado Q ì Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólo si, es relativamente compacto. ì Sea G œ ÖG- ×-−A un recubrimiento de un espacio métrico Q . Se dice que un número % ! es un número de Lebesgue del recubrimiento G cuando se cumple la siguiente afirmación: Para todo subconjunto W § Q con $ W %, existe un - − A tal que W § G- . ì Todo recubrimiento abierto G œ ÖY- ×-−A de un espacio métrico compacto Q posee un número de Lebesgue. 43. Sean Q ß R espacios métricos. Si Q es compacto, entonces toda aplicación continua 0 À Q R es uniformemente continua. ì Un espacio topológico \ se dice localmente compacto cuando todo punto B − \ posee una vecindad compacta. ì Para que un espacio métrico Q sea localmente compacto es necesario y suficiente que todo punto B − Q sea el centro de una bola cerrada compacta. ì Para que un espacio de Hausdorff \ sea localmente compacto es necesario y suficiente que todo punto B − \ este contenido en un abierto E cuya adherencia E es compacto. ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas de cada punto constituyen un sistema fundamental vea numeral 26 . ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas de un subconjunto compacto O constituyen un sistema fundamental de vecindades de O . 44. Un subconjunto W de un espacio topológico \ se dice localmente cerrado en \ cuando todo B − W posee una vecindad Y en \ tal que Y ∩ W es cerrado en Y . Esto significa que existe un subconjunto cerrado J en \ tal que Y ∩ J œ Y ∩ W . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 24 ì W es localmente cerrado en \ si y sólo si, W es un subconjunto cerrado de un conjunto E abierto en \ . ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ todo subespacio cerrado W es localmente compacto. Recíprocamente en cualquier espacio de Hausdorff, todo subconjunto localmente compacto W , es localmente cerrado en \ . ì Todo subconjunto localmente compacto W denso de un espacio Hausdorff \ es abierto en \ . ì Todo espacio métrico localmente compacto es homeomorfo a un espacio métrico completo Ðo sea su topología puede ser definida por una métrica en relación a la cual el espacio es completoÑ. ì Todo espacio localmente compacto Q es un subconjunto abierto de su s. completado Q 45.Teorema de Riesz: Todo espacio vectorial normado localmente compacto tiene dimensión finita. ì Todo espacio de Hausdorff locamente compacto es un espacio de Baire. ì Si un espacio vectorial normado I no es localmente compacto, entonces todo subconjunto compacto de I tiene interior vacío (ver 35). ì El producto cartesiano \ ‚ ] es localmente compacto, si y sólo si, cada uno de los factores \ß ] es localmente compacto. ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es localmente compacto, si y sólo si, cada uno de los factores \" ß \# ß á ß \8 es localmente compacto. 46.Una compactificación del espacio topológico \ es una aplicación continua : À \ ] tal que ] es compacto, : \ es denso en ] y : es un homeomorfismo de \ sobre : \ . ì Una compactificación de Alexandroff de un espacio topológico \ es una aplicación : À \ \ ‡ tal que 3 \ ‡ es un espacio compacto de Hausdorff 33 : es un homeomorfismo de \ sobre : \ 333 \ ‡ œ : \ ∪ ÖA×, donde A  : \ . ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto posee una compactificación de Alexandroff. ì Solamente los espacios de Hausdorff localmente compactos poseen compactificación de Alexandroff. ì Si : À \ \ ‡ y < À \ \ # son campactificaciones de Alexandroff del mismo espacio de Hausdorff localmente compacto \ , con \ ‡ œ \ ∪ ÖA‡ × y \ # œ \ ∪ ÖA# ×, entonces existe un homeomorfismo 2 À \ ‡ \ # tal que 2 ‰ : œ < y 2 A‡ œ A# . ì Sean : À \ \‡ y <À] ]‡ campactificaciones de Alexandroff. Todo homeomorfismo 2 À \ ] se extiende a un homeomorfismo 2 ‡ À \ ‡ ] ‡ el cual transforma el punto al infinito de \ ‡ en el punto en el infinito de ] ‡ . 47.Un espacio de Hausdorff localmente compacto se dice enumerable en el infinito cuando su compactificación de Alexandroff \ ‡ œ \ ∪ ÖA× en el punto en el infinito A posee un sistema fundamental de vecindades enumerable. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 25 ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio de Hausdorff localmente compacto son equivalentes 3 \ es enumerable en el infinito 33 \ œ ∪ P8 es una reunión enumerable de partes compactas 8− 333 \ œ ∪ O8 es reunión enumerable de partes compactas tales que para 8− todo 8 œ "ß #ß á ß 8ß á O8 § 38> O8" . ì Un espacio discreto \ conteniendo una infinidad no enumerable de puntos, brinda un ejemplo de un espacio metrizable localmente compacto que no es enumerable en el infinito. En particular la compactificación de Alexandroff \ ‡ no es metrizable. ì El conjunto de los números racionales muestra que un espacio topológico puede ser reunión enumerable de partes compactas sin ser localmente compacto. 48.Una colección µ de abiertos es una base de \ si y sólo si, para cada B − \ , los conjuntos F − µ que contienen a B forman un sistema fundamental de vecindades de B. ì Si un espacio topológico \ tiene base enumerable, todo subespacio W § \ tiene base enumerable. ì En un espacio \ con base enumerable, todo subconjunto no enumerable W contiene un punto de acumulación. ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \5 tiene base enumerable si y sólo si, cada uno de los espacios factores \" ß \# ß á ß \5 tiene base enumerable. ì Si \ es un espacio topológico con base enumerable y 0 À \ ] es una aplicación continua, abierta de \ sobre ] , entonces el espacio topológico ] también tiene base enumerable. ì Sea \ un espacio topológico con base enumerable, entonces 3 todo recubrimiento abierto de \ admite un subrecubrimiento enumerable 33 existe un subconjunto enumerable denso en \ . .. ì Un espacio topológico \ es un espacio de Lindelo f cuando todo recubrimiento abierto de \ admite un subrecubrimiento enumerable. 48.Un espacio topológico \ el cual posee un subconjunto enumerable denso es llamado separable. ì El espacio de Hilbert L es un espacio separable. ì En un espacio con base enumerable toda colección de abiertos no vacíos dos a dos disyuntos es enumerable. ì Todo espacio métrico totalmente acotado Q es separable. ì Todo espacio métrico compacto es separable. s también es separable. ì Si un espacio métrico Q es separable, su completado Q ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico Q son equivalentes: 3 Q tiene base enumerable Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 26 .. 33 Q es un espacio de Lindelof 333 Q es separable. ì El resultado de arriba es falso para espacios topológicos cualesquiera. ì Sea I un subconjunto denso de un espacio métrico Q . Las bolas abiertas F ˆBà 8" ‰ con B − I y 8 − constituyen una base de Q . 49.Sea O un espacio métrico compacto y Q un espacio métrico con base enumerable. El espacio ¶ Oà Q de las aplicaciones continuas 0 À O Q con la métrica de la convergencia uniforme, tiene base enumerable. ì Sin embargo ¶ Q à O no posee base enumerable, como ejemplo ¶ dà Ò!ß "Ó . ì Sea µ una base de abiertos en un espacio métrico Q . Dados B − Q y % ! arbitrarios, existe un conjunto F − µ con B − F y $ F %. 50.Un espacio métrico Q se dice localmente separable cuando todo B − Q posee una vecindad separable. Esto equivale a decir que todo punto B − Q es centro de una bola abierta F Bà < en la cual existe un subconjunto denso enumerable. < ì Sea Q un espacio métrico localmente separable. Dados Bß C − Q ß . Bß C #C implica C − F Bà <B donde <B œ supÞÖ< !à F Bà < es separable×. ì Todo espacio métrico Q conexo y localmente separable es separable. ì Todo espacio métrico conexo y localmente compacto tiene base enumerable. ì En la afirmación anterior la conexidad es esencial. Tome como ejemplo un espacio métrico discreto no enumerable. ì Todo espacio métrico compacto es separable. ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico localmente compacto Q son equivalentes 3 Q tiene base enumerable 33 Q es enumerable en el infinto 333 La topología de Q puede ser definida por una métrica, en relación a la cual un subconjunto W § Q es compacto si y sólo si, es acotado y cerrado en Q . 3@ La compactificación de Alexandroff Q ‡ œ Q ∪ ÖA× es separable. 51. Sea L un espacio de Hilbert, G œ Ö B" ß B# ß á ß B8 ß á Î! Ÿ B3 Ÿ "3 ß a3 − × § L . G es un espacio métrico con base enumerable, llamado el cubo de Hilbert. G es un espacio métrico completo que es universal para espacios métricos con base enumerable, esto es todo espacio metrizable con base enumerable es homeomorfo a un subespacio de G . ì Para que una aplicación 0 À \ G de un espacio topológico arbitrario \ en el cubo de Hilbert G , sea continua en un punto + − \ es necesario y suficiente que cada una de sus coordenadas 03 œ :3< ‰ 0 À \ Ò!ß "3 Ó sea una función continua en el punto +. ì Una sucesión ÖB8 ×8− en el cubo de Hilbert G converge para un punto + œ Ö+3 ×3− − G si y sólo si, para cada 3 − la sucesión de las 3-ésimas coordenadas ÖB"3 ß B#3 ß á ß B83 á × converge para +3 . Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 27 ì El cubo de Hilbert es compacto.ŒG œ # Ò!ß "3 Ó ∞ 3œ" ì Sea W un subconjunto denso de un espacio métrico Q . Dada una sucesión ÖB8 ×8− en Q , para que se tenga lim B8 œ B − Q es necesario y suficiente que lim . B8 ß = œ . Bß = para cada = − W . 8Ä∞ 8Ä∞ ì Todo espacio métrico Q con base enumerable es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert. ì Todo espacio de Hausdorff normal con base enumerable es métrizable. ì Un espacio de Hausdorff compacto es metrizable si y sólo si, posee una base enumerable. ì Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable, si y sólo si, posee base enumerable. 52.Dados dos subconjunto cerrados disyuntos J ß K en un espacio métrico Q , ! si B − J existe una función real continua : À Q Ò!ß "Ó tal que : B œ œ " si B − K . BßJ Si J Á ø Á K entonces tómese : B œ . BßJ . BßK . ì Sea J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico Q . Existen abiertos Y ß Z ß en Q tales que J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø. ì Teorema de Urysohn: En todo espacio normal \ , dado dos cerrados disyuntos J ß K existe siempre una función real continua : À \ Ò!ß "Ó tal que ! si B − J : B œ œ . " si B − K Esta función es conocida como una función de Urysohn. ì Sea \ un espacio topológico e M œ Ò!ß "Ó el intervalo unitario de la recta. Dada una función 0 À \ M , tal que para cada > − M se considera Y > œ ÖB − \à 0 B >×. Los conjuntos Y > gozan de las siguientes propiedades: 3 Cada Y > es abierto en \ ; 33 Si = > entonces Y = § Y > 333 Dado B − \ß o 0 B œ " o existe > − M tal que B − Y > . En este último caso, se tiene 0 B œ infÞÖ> − Mà B − Y > × ì Sean \ un espacio topológico y H un subconjunto denso del intervalo M œ Ò!ß "Ó supongamos dado, para cada < − H, un subconjunto Y < § \ , de tal modo que 3 Cada Y < es abierto en \ 33 Si < = entonces Y < § Y = . Definamos una función 0 À \ M , tomando infÞÖ< − Hà B − Y < × si B − Y < 0 B œœ " si B  Y < para algún Y < esta función es continua. ì Lema de Urysohn: Sea \ un espacio normal. Todo par de subconjuntos cerrados en \ posee una función de Urysohn. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 28 ì Sea J un subconjunto cerrado y Y un subconjunto abierto de un espacio normal \ , con J § Y . Existe una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que " si B − J 0 B œœ . ! si B − \ Y 53. Sea µ una base de abiertos en un espacio de Hausdorff normal \ . Dados F − µ y un punto B − Fß existe F" − µ tal que B − F" y F" § F . ì Para que un espacio topológico \ sea normal, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición: Dados en \ un cerrado J y un abierto E, con J § Eß existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E. ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal. ì Teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff normal \ , con base enumerable, es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert G . En consecuencia, \ es metrizable. ì Sea µ œ ÖF8 ×8− una base enumerable de un espacio topológico \ . Diremos que una pareja T œ F7 ß F8 es admisible cuando F7 § F8 . El conjunto de las parejas admisibles es enumerable. ì Para que un espacio compacto de Hausdorff sea metrizable es condición necesaria y suficiente que \ tenga una base enumerable. 54.Un espacio topológico \ se llama regular cuando todo B − \ posee un sistema fundamental de vecindades cerradas. Esto es equivalente a decir que para todo cerrado J en \ y todo punto B  J , existe un abierto Y tal que B − Y y Y ∩ J œ ø. ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es regular. ì Todo espacio regular \ con base enumerable es normal. ì Forma fuerte del teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff regular con base numerable es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert y por lo tanto es metrizable. ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable es metrizable. ì Es falso en general que un espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable pueda ser normal, pues en general un espacio localmente compacto puede no ser normal, aun que se satisfaga el axioma de Hausdorff, como se ve en el contraejemplo que sigue. ì Sea \ œ Òαß HÓ con su topología del orden bien conocida. \ y \ ‚ \ son espacios de Hausdorff normales. Pero el subconjunto abierto ] œ \ ‚ \ Ö Hß H × del producto cartesiano \ ‚ \ no es normal. En efecto los subconjuntos disyuntos J œ \ ‚ ÖH× ∩ ] , K œ ÖH× ‚ \ ∩ ] son cerrados en ] pero no estan contenidos en abiertos disyuntos. ì El ejemplo anterior también muestra que un espacio regular en general no es normal. ì No es verdad que un subespacio de un espacio normal sea normal, ni aún cuando \ sea de Hausdorff compacto. Darío Sánchez H. 29 TOPOLOGIA GENERAL 55. Sea A un conjunto y Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos con índices en Aß esto significa que a cada - − A corresponde un espacio topológico \- . Consideremos el conjunto \ œ # \- el producto cartesiano de los \- . Los - −A elementos de \ son todos familias B- -−A œ Bß tales que para cada - − A, B- − \- . En otras palabras un punto B − \ es una función B À A ∪ \- expuesto a las -−A condiciones de que para cualquier - − A, B - œ B- − \- son llamadas las coordenadas del punto B. ì En el producto cartesiano \ œ #\- se destacan las proyecciones sobre los ejes - \- . Cada proyección es una aplicación de \ sobre \- , :-< À \ \- definida por < :- B œ B- œ --ésima coordenada de B. Dados Bß C − \ß B œ C Í :-< B œ :-< C cualquiera que sea - − A. ì Una topología definida en \ œ # \- debe ser tal que por lo menos las - −A proyecciones sean continuas. Sea Y. un abierto en \. , para que :.< sea continua es necesario y suficiente que :.<" Y. sea abierto en \ para toda elección del abierto Y. en \. . Ahora :.<" Y. es considerado como el producto de los \< " donde se sustituye \. por Y. .Šaquí :.<" œ ˆ:. ‰ ‹ Luego :.<" Y. œ Y. ‚ # \- œ franja de anchura Y. . ì Así la topología en \ œ # \- deja a :.< continua, si y sólo si, para cada abierto - Á. - −A Y. § \. la franja :.<" Y. es abierta en \ . ì Como la intersección de un número finito de abiertos es un abierto, una topología en \ œ # \- que deja todas las proyecciones :-< À \ \- continuas - −A deberá contener como abiertos por lo menos las intersecciones finitas :-<" Y-" ∩ â ∩ :-<" Y -5 œ Y -" ‚ â ‚ Y -5 ‚ # \ ‡ 5 " - Á- 3 donde Y-" § \-" ß á ß Y-5 § \-5 son abiertos. Aquí por simplicidad se escribe - Á -3 para indicar que - − A Ö-" ß á ß -5 ×. Estos elementos ‡ son llamados abiertos elementales. ì Los abiertos elementales constituyen una base para la topología 7 en el producto cartesiano \ œ # \- . Un abierto de 7 es por definición una reunión de - −A abiertos elementales. ì Sea Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos. La topología menos fina en el producto cartesiano \ œ # \- que deja continuas todas las proyecciones - −A :-< À \ \- ß es la que tiene una base formada por los abiertos elementales :-<" Y-" ∩ â ∩ :-<" Y-5 œ Y-" ‚ â ‚ Y-5 ‚ # \" 5 - Á- 3 donde cada Y-3 § \-3 es abierto. Esta es la llamada topología producto. Darío Sánchez H. 30 TOPOLOGIA GENERAL 56. Sea A un conjunto arbitrario y \ un espacio topológico. El conjunto \ A œ ¹ Aà \ de todas las aplicaciones de A en \ puede, como vimosß ser considerado como producto cartesiano # \- , donde \- œ \ para todo - − A. La -−A topología producto así definida se conoce como topología de la convergencia simple en \ A . ì La topología producto en \ œ # \- posee las siguientes propiedades: - −A + Las proyecciones :-< À \ \- son continuas y abiertas. , Dado un espacio topológico ^ , para que una aplicación 0 À ^ \ sea continua en un punto , − ^ es necesario y suficiente que para cada índice -, la aplicación 0- œ :-< ‰ 0 À ^ \- sea continua en el punto ,. - Si para cada -, J- es un subconjunto cerrado de \- , entonces J œ # Jes cerrado en \ œ # \- . - −A ì Un producto E œ # E- de subconjuntos abiertos E- § \- no es en general un - −A subconjunto abierto de \ œ # \- . - −A ì E œ # E- es abierto en \ œ # \- si y sólo si E- Á \- salvo para un número finito - −A - −A -−A de valores de -. ì En particular el producto cartesiano de una familia de espacios discretos no es un espacio discreto (salvo en el caso de espacios reducidos a un punto para un número finito de ellos) ì Una sucesión ÖB8 ×8− en el espacio producto \ œ # \- converge para un punto - −A + − \ si y sólo si, para cada índice -, se tiene lim B8- œ +- , donde B8- œ :-< ÖB8 × y 8Ä∞ +- œ :-< + . ì En particular en el espacio \ A œ ¹= Aà \ una sucesión de aplicaciones 08 À A \ converge para una aplicación 0 À A \ si y sólo si, para cada - − A, se tiene lim 08 - œ 0 - . Esto justifica la denominación de topología de convergencia 8Ä∞ Sea \ œ # \- un producto de espacios topológicos. Si A es numerable y cada simple. 57. - −A \- es un espacio I" , entonces \ es un espacio I" . Recíprocamente, si \ es un espacio I" entonces cada \- es un espacio I" y A es numerable siempre que ningún \- sea un espacio grosero. (Aquí se entiende que un espacio topológico es I" cuando todo punto B − \ posee un sistema fundamental de vecindades enumerables. Como espacio grosero se entenderá a un espacio topológico cuyos únicos abiertos son el espacio total y el conjunto vacío) Darío Sánchez H. 31 TOPOLOGIA GENERAL ì Si A no es numerable, para cada - − Aß todo punto B- − \- posee una vecindad diferente del espacio entero, entonces ningún punto B del producto \ œ # \- −A posee un sistema fundamental de vecindades enumerables. ∞ ì Sean \" ß á ß \8 ,á espacios I" . Introducimos en \ œ #\8 una nueva topología 3œ8 e indicamos con \ el espacio resultante. Supongamos que \ ‡ sea un espacio I" , se tiene que una sucesión ÖB8 ×8− en \ ‡ converge para un punto + œ Ö+3 ×3− si y sólo si para cada 3 − lim B83 œ +3 , donde B83 œ :3< ÖB8 × . Entonces, \ ‡ œ \ , esto es ‡ 8Ä∞ la topología de \ ‡ , es la topología producto. ì Sea Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos no groseros. A fin de que el producto \ œ # \- tenga base enumerable es necesario y suficiente que A sea - −A enumerable y cada uno de los factores \- tengan base enumerable. 58. Sea ÖQ- ×-−A una familia de espacios métricos cada uno de los cuales posee por lo menos dos puntos. La topología producto en Q œ # Q- es metrizable si y sólo - −A si, A es enumerable. ì Para mostrar el recíproco de la afirmación de arriba tómese A œ y defínase . ÀQ ‚Q d tomando ∞ . Bß C œ . " . B3 ßC3 #3 ". B3 ßC3 ì Sean Q" ß á ß Q3 ß á espacios métricos. El producto cartesiano Q œ #Q3 , es un 3œ" 3− espacio métrico completo si y sólo si, cada Q3 es completo. 59.Sea Q un espacio métrico completo. Si W œ ∩ E3 es la intersección de una familia enumerable de abierto E3 § Q , entonces W es homeomorfo a un espacio métrico completo. ì El producto cartesiano Q œ #Q3 de una sucesión de espacios métricos 3− compactos es un espacio métrico compacto. ì Sea O el conjunto de Cantor : À Ö!ß #× O ∞ : B" ß B# ß á œ !ß B" B# á B8 á œ 8œ" donde la métrica en Ö!ß #× definida por B8 $8 esta dada por . Bß C œ entonces : es un homeomorfismo. ∞ 8œ" lB8 C8 l $8 , B œ ÖB8 ×ß C œ ÖC8 ×, 60. Existencia de una curva de Peano, en el cubo de Hilbert M 8 œ M ‚ â ‚ M M œ Ò!ß "Ó 3 Existe una aplicación continua 1 À O M , intervalo M œ Ò!ß "Ó. Basta definir una ∞ < B" ß B# ß á ß B8 ß á œ 8œ" , donde del conjunto de Cantor O sobre el aplicación < À Ö!ß "× M mediante B8 #8 . 33 Para todo 8 − , 8 O œ O ‚ O ‚ â ‚ O. el conjunto de Cantor O es homeomorfo a Darío Sánchez H. 32 TOPOLOGIA GENERAL 333 Toda aplicación continua 0! À O \ se extiende continuamente a una aplicación 0 À M \ ì El producto cartesiano \ œ # \- es un espacio de Hausdorff si sólo si, para cada - −A - − A, \- es un espacio de Hausdorff. ì El producto cartesiano \ œ \" ‚ â ‚ \8 es conexo si y sólo si, cualquier factor de \ es conexo. ì El producto cartesiano \ œ # \- es conexo si y sólo si, cada factor \- es conexo. - −A 61. Sea ÖW- ×-−A una familia de subespacios conexos de un espacio topológico. Si existe un punto B! , común a todos los W- , entonces la reunión W œ ∪ Wes también conexa. ì En el producto cartesiano \ œ # \- las componentes conexas son los productos # G- , donde G- es una componente conexa de \- . - −A ì Para que el producto cartesiano \ œ # \- sea localmente conexo es necesario y -−A - −A suficiente que todos los factores \- sean localmente conexos con excepción de un número finito de ellos los cuales son conexos. ì El producto de una infinidad de espacios localmente conexos puede no ser localmente conexo, como contra-ejemplo el espacio Ö!ß #× es el producto de una infinidad de copias del espacio conexo Ö!ß #× pero no es localmente conexo pues es homeomorfo al conjunto de Cantor. 62. Decir que una colección À de subconjuntos de \ es máxima con la propiedad de la intersección finita de toda colección de partes de \ que contienen a À y goza de la propiedad de la intersección finita, coincide necesariamente con À. Esto equivale a decir que si W § \ es tal que W ∩ Q Á ø para todo Q − À entonces W − À. ì Si una colección À de partes de \ es máxima con la propiedad de la intersección finita entonces, dados J" ß J# ß á ß J8 − À se debe tener que J" ∩ J# ∩ â ∩ J8 − À. ì Lema: Sea ¹ una colección de partes de un conjunto \ , con la propiedad de la intersección finita. Existe una colección À de partes de \ máxima con la propiedad de la intersección finita y conteniendo a ¹. 62.Teorema de Tychonoff: El producto cartesiano \ œ #\- es compacto, si y sólo - −A si, cada factor \- es compacto. ì Pasos de la demostración: É ) " Tómese ¹ como la familia de todos los subconjuntos cerrados en \ con la propiedad de la intersección finita. # Existe una colección À de partes de \ conteniendo a ¹ y máxima en relación a la propiedad de intersección finita (los subconjuntos de À no necesariamente son cerrados) Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 33 $ Para todo -, :-< À œ Ö:-< Q à Q − À× tiene la propiedad de la intersección finita. % Ö:-< Q à Q − À× forman una colección de cerrados en \- con la propiedad de la intersección finita. & \- es compacto para todo - entonces existe B- − \- tal que B- − :-< Q para todo Q − À. ' Sea B œ ÖB- × el punto de \ que posee por coordenadas los B- obtenidos en & . ( B − Q para todo Q − ÀÞ ) B − J para todo J − ¹. ì El producto cartesiano \ œ # \- es localmente compacto si y sólo si, los - −A factores \- son compactos salvo para un número finito de ellos los cuales son localmente compactos. 63. Sea Æ una colección de subconjuntos W § \ . Definiremos en ¹ \à Q una topología la cual llamaremos la topología de la convergencia uniforme en las partes de Æ. Consideremos ahora la familia de espacios topológicos Ö¹Y Wà Q ×W−Æ y el producto ] œ # ¹Y Wà Q . La aplicación : À ¹ \à Q ] definida W−Æ por : 0 œ Ö0 lW×W−Æ , donde 0 lW es la restricción de 0 À \ Q a W , induce en ¹ \ß Q una topología. El espacio topológico resultante será indicado con ¹Æ \à Q . ì Resulta de la definición que 08 0 en ¹Æ \à Q si y sólo si, 08 lW 0 lW uniformemente para cada W − Æ. ì Un sistema fundamental de vecindades de una aplicación 2 − ¹Y Wà Q está formada por los conjuntos: Z 2à % œ Ö5 À W Q à . 2ß 5 %× œ Ö5 À W Q à sup . 2 B ß 5 B %× B−W donde % ! es arbitrario. ì Podemos obtener un sistema fundamental de vecindades de un punto 2 œ Ö2W ×W−Æ en ] œ # ¹Y Wà Q considerando los abiertos elementales: W−Æ Z 2à W" ß á ß W8 ß % œ Ö5 œ Ö5W × − ] à . 2W3 ß 5W3 %ß 3 œ "ß á ß 8× donde W" ß á ß W8 − Æ son abiertos y % !. ì Se concluye que para cada 0 À \ Q , un sistema fundamental de vecindades de 0 en el espacio ¹Æ \à Q esta formado por los conjuntos de la forma Z 0 à W" ß á ß W8 ß % œ Ö1 À \ Q à . 1lW3 ß 0 lW3 %ß 3 œ "ß #ß á ß 8× donde W" ß á ß W8 − Æ y % ! son arbitrarios y . 1lW ß 0 lW œ =?: Ö. 1 B ß 0 B ×. B−W 64. ¹Æ \à Q es un espacio de Hausdorff si y sólo si, Æ es un recubrimiento de \ . ì Casos particulares: + La topología de la convergencia simple ¹Æ \à Q œ ¹S \à Q cuando Æ es la colección de las partes finitas de \ o sea Æ, consiste de las partes de \ que se reducen a un punto. Darío Sánchez H. 34 TOPOLOGIA GENERAL , La topología de la convergencia uniforme ¹Y \à Q œ ¹Æ \à Q cuando Æ es el conjunto de todas las partes de \ . - La topología de la convergencia uniforme en las partes compactas, cuando \ es un espacio topológico y Æ es la colección de las partes compactas de \ entonces ¹G \à Q œ ¹Æ \à Q . La topología de la convergencia uniforme en las partes acotadas, cuando \ es un espacio métrico y Æ es la colección de las partes acotadas de \ . Notamos entonces que ¹, \à Q œ ¹Æ \à Q . ì Indicaremos con ¶Æ \à Q al subconjunto de ¹Æ \à Q formado por las aplicaciones continuas 0 À \ Q, del espacio topológico \ en el espacio métrico Q . 65. Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Dada una colección Æ de partes de \ , si las adherencias de los conjuntos W − Æ cubren a \ , entonces ¶Æ \à Q es un subconjunto cerrado de ¹Æ \à Q . ì Pasos de la demostración: " ¶Æ \à Q es un subconjunto cerrado de ¹Y \à Q . # Para cada W − Æ, ¶Y Wà Q es un subconjunto cerrado de ¹Y \à Q $ H œ #¶Y Wà Q es un subconjunto cerrado de ] œ # ¹Y Wà Q . W W−Æ % :" H es un subconjunto cerrado de ¹Æ \à Q donde : À ¹Æ \à Q ] 0 È : 0 œ 0 lW W−Æ & Ahora :" H œ Ö0 À \ Q à 0 lW es continua, W − Æ× ' Cada punto B − \ pertenece al interior de algún W − Æ se sigue que 0 À \ Q es continua si y sólo si, 0 lW es continua para cada W − Æ. ( :" H œ ¶Æ \à Q . ì Si \ es localmente compacto, entonces ¶Y \à Q es un subconjunto cerrado de ¹G \à Q . ì Cuando S es un recubrimiento enumerable, el espacio ¹S \à Q es metrizable. ì Sea \ un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinito, entonces ¹G \à Q es metrizable. 66.Sea Æ una colección de subconjuntos W § \ . Indicaremos con Ƈ la colección formada por todas las reuniones finitas W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 de elementos W3 − Æ junto con todas las partes X § W de elementos W − Æ, entonces tenemos ¹Æ \à Q œ ¹Æ‡ \à Q . La colección Ƈ será llamada el saturamiento de Æ y diremos que Æ es saturado cuando Ƈ œ Æ. ì Cuando existe un recubrimiento enumerable Æ! œ ÖW" ß W# ß á ß W8 ß á × tal que ¹Æ \à Q œ ¹Æ! \à Q entonces la topología de ¹Æ \à Q puede ser definida por la métrica ∞ . 0ß 1 œ 8œ" " #8 =?: B − W8 . 0 B ß1 B ". 0 B ß1 B ‡ Darío Sánchez H. 35 TOPOLOGIA GENERAL ì Considerando S œ Ö Ò 8ß 8Ó § dà 8 − × vemos que la topología de ¹G \à Q puede ser definida por la métrica . 0 ß 1 œ ∞ 8œ" " #8 =?: 8Ÿ>Ÿ8 l0 > 1 > l "l0 > 1 > l ì Si Q es un espacio métrico completo entonces (dentro de las hipótesis hechas sobre Æ! Ñ la métrica ‡ trasforma a ¹Æ \à Q en un espacio métrico completo. 67. El conjunto J, imagen ] œ # ¹Y Wà Q y : 0 œ 0 lW W−Æ W−Æ , de la aplicación es cerrado en ] . : À ¹Æ \à Q ] ß donde ì Si \ es un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinito y Q es un espacio métrico completo, la métrica ‡ arriba definida, transforma ¶G \à Q en un espacio métrico completo. Si además \ es metrizable y Q tiene base enumerable, entonces ¶ \à Q tendrá base enumerable. ì Supóngase que W" ß á ß W8 − Æ implica que W" ∩ W# ∩ â ∩ W8 − Æ. Dado un subconjunto T § ¹Æ \à Q se tiene 0 − T si sólo si, para cada W − Æ existe una secuencia de aplicaciones 08 − T convergiendo para 0 uniformemente en W . [La sucesión Ö08 ×8− depende del conjunto W ]. 68. Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Un conjunto I de aplicaciones 0 À \ Q se dice equicontinuo en el punto B! − \ cuando para todo % !, existe una vecindad Z de B! en \ tal que para todo B − Z ß . 0 B ß 0 B! %, cualquiera que sea 0 − IÞ ì Si I es equicontinuo en el punto B! , entonces todas las aplicaciones 0 − I son continuas en el punto B! y todo subconjunto de I es equicontinuo en el punto B! . ì Se dice que un conjunto I de aplicaciones 0 À \ Q es equicontinuo cuando I es equicontinuo en todo punto de \ . ì Si \ también es un espacio métrico, un conjunto I de aplicaciones 0 À \ Q se dice uniformemente equicontinuo si para cada % !, existe $ ! tal que . Bß C $ , Bß C − \ implica . 0 B ß 0 C % cualquiera que sea 0 − I . ì La notación usada aquí nos dice que T À \ ¶ Ià Q B È T B œµ B µ siendo B 0 œ 0 B , 0 − I § ¹Æ \à Q 69. Un conjunto I § ¹ \à Q es equicontinuo en el punto B! − \ si y sólo si, la aplicación T À \ ¶Y Ià Q es continua en el punto B! . Si \ es un espacio métrico, entonces I es uniformemente equicontinua si y sólo si, T es uniformemente continua. ì Sea \ un espacio métrico compacto. Todo conjunto equicontinuo I § ¹ \à Q es uniformemente equicontinuo. 70.Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Sobre un conjunto equicontinuo I § ¶ \à Q la topología de la convergencia simple coincide con la topología de la convergencia uniformemente en las partes compactas. Darío Sánchez H. 36 TOPOLOGIA GENERAL ì Pasos de la demostración. " Sean IW ß IG los espacios topológicos obtenidos sobre I al considerarlos como subespacio de ¹S \à Q y ¹G \à Q respectivamente. # La aplicación identidad IG IW es claramente continua. Basta mostrar que la aplicación identidad IW IG es continua. $ Para 0 − IG considerese Z œ Z 0 ß Oß I œ Ö1 − IÎ =?: . 0 B ß 1 B %× una B−O vecindad básica de 0 , siendo O compacto y % ! arbitraria. % B − O , posee una vecindad [B tal que si C − [B implica que . 1 C ß 1 B $% , cualquiera que sea 0 en IW . & O § ∪ [B admite un recubrimiento finito O § [" ∪ â ∪ [8 donde [3 œ [B3 , B 3 œ "ß #ß á ß 8Þ ' Y œ Ö1 − Ià . 1 B3 ß 0 B3 $% ß 3 œ "ß #ß á ß 8×. ( Y es una vecindad de 0 en IW . ) Se muestra que Y § Z B − O Ê B − [3 œ [B3 para algún 3 œ "ß #ß á ß 8. Luego . 1 B ß 0 B $% y . 0 B ß 0 B3 $% pues 0 ß 1 − I . Como 1 − Y Ê . 1 B ß 0 B3 $% , se sigue que . 1 B ß 0 B Ÿ . 1 B ß 1 B3 . 1 B 3 ß 0 B 3 . 0 B 3 ß 0 B % Como 0 ß 1 son continuas y O es compacto se sigue que =?: . 1 B ß 0 B % de ahí 1 − Z . 71. B−O Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. La adherencia de un conjunto equicontinuo I § ¹S \à Q es aún un conjunto equicontinuo. ì Pasos de la demostración. " Sean B! − \ arbitrario y % !. Existe una vecindad Z del punto B! en \ tal que . 0 B ß 0 B! $% , aB − Z ß a0 − I I es equicontinuo # B − Z implica . 1 B ß 1 B! %ß a1 − I . $ Y œ Ö0 − ¹S \à Q à . 0 B ß 1 B $% ß . 0 B! ß 1 B! $% × es una vecindad de 1 en ¹S \à Q % 1 − I Ê b0 − I ∩ Y & Se sigue que . 1 B ß 1 B! Ÿ . 1 B ß 0 B . 0 B ß 0 B! . 0 B! ß 1 B! % Luego I es equicontinuo ya que B! es arbitrario. 72. Sea I § ¹ \à Q equicontinuo. Entonces la adherencia de I en ¹S \à Q coincide con la adherencia de I en ¹G \à Q . ì Si 08 B Ä 0 B para todo B − \ y I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es equicontinuo entonces 0 es continua y 08 Ä 0 uniformemente en cada parte compacta de Q . 73. Teorema de Dini: Sea 0" Ÿ 0# Ÿ â Ÿ 08 Ÿ â una sucesión creciente de funciones reales continuas 08 À \ d . Si Ö08 ×8− converge simplemente para una función continua 0 À \ d , entonces 08 Ä 0 uniformemente en cada parte compacta de \ . ì Pasos de la demostración.- Basta mostrar que I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es un conjunto equicontinuo. " B! − \ y % !, existe R ! tal que l0R B! 0 B! l &% Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 37 # Existe una vecindad Z de B! tal que l0R B 0R B! l &% y l0 B 0 B! l &% para todo B − Z esto se tiene por la continuidad de 0R y de 0 . $ Para todo B − \ y todo 8 R tenemos l08 B 0 B l Ÿ l0R B 0 B l (pues 08 converge crecientemente hacia 0 ). % Para B − Z ß l0R B 0 B l Ÿ l0R B 0R B! l l0R B! 0 B! l l0 B! 0 B l Ÿ $&% & Se sigue entonces para todo B − Z y 8 R que l08 B 08 B! l Ÿ l08 B 0 B l l0 B 0 B! l l0 B! 08 B! l Ÿ l0R B 0 B l l0 B 0 B! l l0 B! 0R B! l $&% &% &% œ %. Å $ ì Dados I § ¹ \à Q y B − \ indicaremos con I B el conjunto de los valores 0 B , cuando 0 recorre I . 74. Teorema de Ascoli. Sea I un conjunto de aplicaciones continuas de un espacio topológico \ en un espacio métrico Q . A fin de que I sea relativamente compacto en ¶G \à Q es suficiente: 3ÑÞ I B § Q sea relativamente compacto, para todo B − \ . 33Ñ I sea equicontinua. Cuando \ es localmente compacto de Hausdorff, estas condiciones son también necesarias. ì Pasos de la demostración. Supóngase que I satisface las condiciones 3) y 33). " B − Q ß I B § Q es un subconjunto compacto. # # I B es un subconjunto compacto del espacio de Hausdorff ¹S \à Q y por lo B−\ tanto cerrado en este espacio. $ I § # I B ß entonces IW § # I B de aquí IW es compacto. B−\ B−\ % Pero I es equicontinuo, por lo tanto IW œ IG , luego IG es compacto. & IG − ¶G \à Q luego IG es la cerradura de I en ¶G \à Q . ì De estos cinco pasos se demuestra la suficiencia del teorema. Sea ahora \ localmente compacto, de Hausdorff y supongamos que I es relativamente compacto, esto es que I en ¶G \à Q es compactoÞ " Como ¶G \à Q es cerrado en ¹ \à Q , I también es la cerradura de I en ¹S \à Q . # Para cada B − \ la aplicación µ B À ¶G \à Q Q definida por µ B 0 œ 0 B es µ ˆ ‰ continua. Luego I B œ B I es compacto en Q . $ I B § I B , entonces I B § I B , de donde I B § Q es compacto, lo cual prueba la primera afirmación del enunciado del teorema. % Sea B! − \ y % !, como cada 0 − I es continua en B! − \ß dada 0 − I existe una vecindad compacta O0 de B! en \ tal que si B − O0 implica . 0 B ß 0 B! $% . & Para cada 0 − I supongamos también que Z0 œ Z ˆ0 ß O0 ß #% ‰ œ Ö1 − ¹G \à Q à =?: . 1 B ß 0 B $% × B − O0 Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 38 ' Dado el recubrimiento abierto I § ∪ Z0 podemos extraer un subrecubrimiento finito I § Z" ∪ â ∪ Z8 , donde Z3 œ Z03 . Escribimos también O3 œ O03 , 3 œ "ß #ß á ß 8. ( La intersección Y œ O" ∩ O# ∩ â ∩ O8 es una vecindad de B! . ) Dados B − Y y 1 − I cualquiera, tenemos 1 − Z3 para algún 3. * Como Bß B! − O3 se tiene . 1 B ß 1 B! Ÿ . 1 B ß 0 3 B . 0 3 B ß 0 3 B ! . 0 3 B ! ß 1 B ! % Por lo tanto I es equicontinuo y por consiguiente I también lo es. 75.Teorema de Hausdorff. Sea ¹ Q el conjunto de las partes acotadas, cerradas y no vacías de un espacio métrico Q Þ Si Q es un espacio compacto entonces ¹ Q es compacto. ì Pasos de la demostración. " I œ Ö0J à J − ¹ Q × es equicontinuo ¾ 0J À B È . Bß J # aB − Q ß I B œ Ö. Bß J à J − ¹ Q × § Ò!ß $ Ó donde $ œ .3+7ÞQ ß de donde I B es relativamente compacto. $ Por el teorema de Ascoli aplicable porque ¶Y Q à d œ ¶G Q à d I es un subconjunto relativamente compacto de ¶Y Q à d % Finalmente se prueba que I § ¶Y Q à d es cerrado. & I œ ¹ Q es cerrado en ¶Y Q à d y por lo tanto es compacto. 76. El conjunto de las isometrías de un espacio métrico compacto es un conjunto compacto en la topología de la convergencia uniforme. 77. Topología compacto abierta. Sea \ un espacio topológico. Dada una colección Æ de partes de \ se dice que la topología de \ es generada por Æ cuando \ y las intersecciones finitas K" ∩ â ∩ K8 de los subconjuntos K3 − Æ constituyen una base de \ . ì Dados los espacios \ß ] si la topología de ] es generada por una colección de abiertos de Æ, entonces una aplicación 0 À \ ] es continua en un punto B − \ si y sólo si, para cada generador K − Æ conteniendo C œ 0 B existe una vecindad Z de B en \ tal que 0 Z § K. ì Sean \ß ] espacios topológicos. Dados T § \ y U § ] indiquemos con E T à U al conjunto de todas las aplicaciones continuas 0 À \ ] tales que 0 T § Uß así E T à U œ Ö0 − ¶ \à ] à 0 T § U×. ì Sean \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. La topología del espacio ¶G \à Q es generada por los conjuntos E Oà Z donde O § \ es compacto y Z § Q es abierto. ì Sean \ß ] espacios topológicos. Indicaremos como de costumbre con ¶ \à ] al conjunto de las aplicaciones de \ en ] . La topología en ¶ \à ] generada por los conjuntos E Oà Z œ Ö0 − ¶ \à ] à 0 O § Z × donde O es compacto en \ y Z abierto en ] , se llama topología compacta-abierta y el espacio topológico correspondiente será indicada con ¶-+ \à ] Þ Darío Sánchez H. 39 TOPOLOGIA GENERAL 78. La topología compacto abierta es más fina que la topología de la convergencia simple. En otras palabras, sean cuales fueren los espacios topológicos \ß ] la aplicación identidad de ¶-+ \à ] ¶S \à ] es continua. ì Si ] es un espacio de Hausdorff, entonces ¶-+ \à ] es espacio de Hausdorff sea cual fuere el espacio \Þ ì ¶S \à ] œ ] \ œ #] es Hausdorff como ¶-+ \à ] ¤ ¶S \à ] se sigue que \ ¶-+ \à ] es Hausdorff. 79. Sean 0 − ¹ \à ] , J § ¹ \à ] , B − \ y W § \ . Por simplidad se escribe 0 † B o 0 B en vez de 0 B à 0 † W o 0 W en vez de 0 W y J † B o J B en vez de J B œ Ö0 B à 0 − J ×Þ ì Dados \ß ] ß ^ y una aplicación 0 À \ ¹ ] à ^ usaremos la notación µ µ 0 À \ ‚ ] ^ para indicar la aplicación definida por 0 Bß C œ 0 B † C 80. Sean \ß ] ß ^ espacios topológicos, donde ] es un espacio de Hausdorff. Una aplicación 0 À \ ¶-+ ] à ^ es continua si y sólo si, para cada compacto P § ] , la µ µ restricción 0 À \ ‚ P ^ de 0 a \ ‚ P es continua. ì Dados los conjuntos \ß ] ß indicaremos por @ À ¶-+ \à \ ‚ ] ] definida por @ 0 ß B œ 0 B ß que asocia a cada par 0 ß B el valor 0 B de 0 en B, llamada valuación. 81.Si \ es un espacio de Hausdorff, entonces ¶-+ \à ] ‚ O @ 0 ß B œ 0 B ß es continua para cada compacto O § \Þ ] definida por ì Sean \ß ^ espacios topológicos arbitrarios y ] un espacio localmente compacto de Hausdorff. Para que 0 À \ ¶-+ ] à ^ sea continua es necesario y suficiente que µ 0 À \ ‚ ] ^ sea continua. ì Sea \ un espacio de Hausdorff localmente compacto. La aplicación @ À ¶-+ \à ] ‚ \ ] definida por @ 0 ß B œ 0 B ß es continua. ì Obervación: Dados un espacio de Hausdorff localmemente compacto \ y un espacio topológico cualquiera ] , la topología compacta-abierta es la menos fina en ¶ \à ] que deja continua la aplicación @ À ¶ \à ] ‚ \ ] . Cuando ] no es localmente compacto una tal topología no existe. 82.Sean \ß ] espacios de Hausdorff y ^ un espacio topológico cualquiera. Entonces W À ¶-+ \ ‚ ] à ^ ¶-+ \à ¶-+ ] à ^ es un homeomorfismo sobre un subespacio de ¶-+ \à ¶-+ ] à ^ ì Ley exponencial: Sean \ un espacio de Hausdorff, ] localmente compacto de µ Hausdorff y ^ arbitrario. La aplicación definida por W Š 0 ‹ œ 0 , donde µ 0 B † C œ 0 Bß C es un homeomorfismo de ¶-+ \ ‚ ] à ^ sobre ¶-+ \à ¶-+ ] à ^ . 83.Teorema de extensión de Tietze. Sea \ siguientes afirmaciones " Dados J § \ cerrado y 0 À J tal que :lJ œ 0 Þ un espacio topológico. Considérese las d continua, entonces existe : À \ d continua Darío Sánchez H. 40 TOPOLOGIA GENERAL # Dados J ß K § \ cerrados disyuntos, entonces existe : À \ d tal que : J œ !ß : K œ ". $ \ es normal. Entonces se puede mostrar que " Ê # Ê $ . ì Sea J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ y N un intervalo de la recta N puede ser abierto o no, acotado o no . Dada una función real continua 0 À J N existe una función continua : À \ N tal que : B œ 0 B para todo B − J. ì Sea J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ . Toda aplicación 0 À J d 8 puede ser continuamente extendida a una aplicación : À \ d 8 . ì Sean J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ y W 8 la esfera unitaria 8-dimensional. Toda aplicación continua 0 À J W 8 puede ser extendida continuamente a una vecindad de J en \ . ì No es verdad que toda aplicación continua 0 À J W 8 pueda extenderse continuamente a una aplicación : À \ W 8 . Por ejemplo la función identidad 0 À W " W " no se puede extender continuamente como una función : À d # W " . 84. Sean \ un espacio topológico y ] \ § ] un espacio de Hausdorff, dada una función real acotada digamos 0 À \ Ò!ß "Ó existe una compactificación : À \ ] tal que 0 se extiende a una función continua 0 À ] Ò!ß "Ó. ì Un espacio topológico \ es llamado completamente regular cuando, dados arbitrariamente un punto B − \ y Y un abierto en \ con B − Y ß entonces existe siempre una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que 0 B œ " y 0 \ Y œ !Þ ì Todo espacio métrico Q es completamente regular, pues tómese B! − Y , Y § Q Y abierto y 0 À Q Ò!ß "Óß definida por 0 B œ . BßB.! BßQ . BßQ Y . ì Todo espacio completamente regular es regular. La recíproca es falsa pues todo espacio de Hausdorff regular no es completamente regular. ì Todo espacio de Hausdorff compacto es completamente regular. ì Para que un espacio de Hausdorff \ posea una compactificación : À \ ] donde ] es Hausdorff es necesario que \ sea completamente regular. ì La recíproca también es verdadera pues todo espacio localmente compacto de Hausdorff es completamente regular, en ese caso existe la compactificación de Alexandroff . 85. Sea \ un espacio topológico. Indiquemos con M œ Ò!ß "Ó y con ¶ œ ¶ \à M , M œ # M0 que es un espacio de Hausdorff. Existe una aplicación natural ¶ 0 −¶ : À \ M ¶ definida tomando para cada B − \ , : B œ ÖB0 ×0 −¶ donde B0 œ 0 B . ì La aplicación : À \ M ¶ es continua, porque, para cada 0 − ¶ , la aplicación compuesta 10 ‰ : À \ M (donde 10 À M ¶ M es la proyección sobre el 0 -ésimo factor) coincide con la propia aplicación 0 À \ M donde 10 ‰ : es continua. 86. Para que la aplicación continua :À\ M¶, así definida sea un homeomorfismo de \ sobre : \ es necesario y suficiente que \ sea un espacio de Hausdorff completamente regular. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 41 87. Compactificación de Stone-Cech: Dado el espacio de Hausdorff completamente regular \ indiquemos con " \ œ : \ la imagen de la aplicación : À \ M ¶ . Entonces " \ es un espacio de Hausdorff compacto y : À \ " \ es una compactificación de \ , llamada la compactificación de Stone-Cech del espacio \ . ì Muchas veces el espacio " \ es llamado la compactificación de Stone-Cech del espacio \ , queda subentendida la aplicación natural :À\ " \ , : \ œ Ö0 B ×0 −¶ . 88. Un espacio de Hausdorff \ es completamente regular si y sólo si, es homeomorfo al cubo, M A œ # M- , M- œ M ß a- − AÞ -−A ì Evidentemente un espacio de Hausdorff compacto \ es homeomorfo a su compactificación de Stone-Cech " \ y por lo tanto puede siempre ser naturalmente identificado a un subconjunto cerrado M ¶ de ¶ œ ¶ \à M . ì Diremos que dos compactificaciones : À \ ] ß :w À \ ] w del mismo espacio topológico \ son isomorfas cuando existe un homeomorfismo 2 À ] ] w tal que 2 ‰ : œ :w . 89. Sea \ un espacio completamente regular de Hausdorff. Dada una compactificación < À \ ] , las siguientes afirmaciones son equivalentes " < À \ ] es isomorfa a la compactificación de Stone-Cech : À \ " \ . # Para toda función real continua, acotada 0 À \ d existe una única función 0 À ] d tal que 0 ‰ < œ 0 à si 0 \ § Ò+ß ,Ó entonces 0 ] § Ò+ß ,Ó. $ Para toda aplicación continua 1 À \ ^ en un espacio de Hausdorff compacto ^ , existe una única aplicación 1 À ] ^ tal que 1 ‰ < œ 1. 90. La compactificación de Stone-Cech es un proceso natural o funcional en el siguiente sentido: Dados espacios de Hausdorff completamente continuos regulares \ß ] ß ^ sean :À\ " \ ß <À] " ] ß 6À^ " ^ las compactificaciones de Stone-Cech respectivas. Toda aplicación continua -‡ À " \ " ] caracterizada por el diagrama que es conmutativo. Si . À ] ^ es otra aplicación, considérese .‡ À " ] " ^ , se tiene . ‰ - ‡ œ .‡ ‰ -‡ À " \ " ^ . Si + À \ \ es la aplicación idéntica entonces +‡ À " \ " \ también es la identidad. Se sigue que si - À \ ] es un homeomorfismo, entonces -‡ À " \ " ] también es un homeomorfismo y se tiene el siguiente diagrama conmutativo Darío Sánchez H. 42 TOPOLOGIA GENERAL §2. RESULTADOS PROBADOS 1..Sea Q un espacio métrico. Indiquemos con ¹ Q el conjunto de todas las partes \ § Q que gozan de las siguientes propiedades: 3 Q es acotado, 33 . Bß \ œ ! entonces B − Q . Para \ß ] − ¹ Q sea 3 \ß ] el mayor de los números supÞÖ. Bß \ à B − \×, o, supÞÖ. Cß ] à C − ] × Entonces 3 es una métrica en ¹ Q , llamada la métrica de Hausdorff. Para \ § Q cualquiera y < ! sea Y \à < œ ∪ F Bß < la reunión de las bolas abiertas de radio B−\ < y centro en un punto de B. Entonces si muestre que 3 \ß ] < y ] − Y \à < . Por otra parte estas dos inclusiones \ß ] − ¹ Q implica que \ § Y ] à < implican que 3 \ß ] Ÿ <. 3 \ß ] es una función a valor real ya que SOLUCIÓN. Primera parte. 3Ñ 3 À \ß ] 3 \ß ] ∞, en efecto sabemos que \ß ] − ¹ Q o sea existe Eß F − d tal que $ \ Ÿ Eß $ ] Ÿ F. Sean B! , C! elementos de \ y ] respectivamente fijos entonces de la desigualdad triangular en Q ß . se tiene . Bß C Ÿ . Bß B! . B! ß C! . C! ß C ß aBß aC ahora . Bß C Ÿ E . B! ß C! Fß aBß aC. Sea . Bß C œ - entonces se tiene que . Bß C Ÿ E F -ß aBß aC entonces . Bß ] Ÿ E F -ß aB ß • ß . \ß C Ÿ E F -ß aC Luego sup Bß ] Ÿ E F -ß • ß sup \ß C Ÿ E F B−\ C−] por lo tanto 3 \ß ] Ÿ E F - Darío Sánchez H. 43 TOPOLOGIA GENERAL 33Ñ 3 \ß \ œ maxÞÖ sup B−\œ] . Bß ] ß sup C−] œ\ . Cß \ × œ sup . Bß \ œ ! B−\ ya que . Bß \ œ !ß aB − \Þ 333Ñ 3 \ß ] œ maxÞÖ sup . Bß ] ß sup . Cß \ × œ !, esto equivale a decir que B−\ C−] sup . Bß ] œ !ß • ß sup . Cß \ =! o sea que B−\ C−] aB − \ß . Bß ] œ !ß • ß aC − ] ß . Por la propiedad 33Ñ de los conjuntos de ¹ Q aB − \ß B − ] ß • ß aC − ] ß C − \ , de donde \ 3@Ñ 3 \ß ] œ maxÞÖsup . Bß ] ß sup . Cß \ × B−\ C−] Cß \ œ ! dada en la hipótesis, se tiene § ] ß • ß ] § \ , o sea que \ œ ] . y como . Bß ] !ß . Cß \ !, se sigue que 3 \ß ] ! cuando \ Á ] . @Ñ Veamos ahora que 3 \ß ] Ÿ 3 \ß ^ 3 ^ß ] . Esto es equivalente a mostrar que para todo B − \ , y todo C − ] se tiene MÞ . Bß ] Ÿ 3 \ß ^ 3 ^ß ] MMÞ . Cß \ Ÿ 3 \ß ^ 3 ^ß ] Sabemos que en el espacio métrico Q . Bß C Ÿ . Bß D . Cß D ß aBß aCß aD " De la definición de 380 se tiene C−] . Bß ] œ 380 . Bß C Ÿ . Bß D 380 . Cß D œ . Bß D . Dß ] C−] C−] la cual es válida para cualquier B − \ß y cualquier D − ^ por lo tanto . Bß ] Ÿ . Bß D 3 Dß ] ß aB − \ß aD − ^ de donde . Bß ] Ÿ . Bß ^ 3 ^ß ] ß aB − \ esto según la definición de . Bß ^ . Luego . Bß ] Ÿ 3 \ß ^ 3 ^ß ] # Ahora de " tomando 380 tenemos B−\ . Cß \ Ÿ . Dß \ . Cß D Ÿ 3 ^ß \ . Cß D la cual es válida para todo C − ] y todo D − ^Þ Tomando 380 se tiene que D−^ . Cß \ Ÿ 3 ^ß \ . Cß ^ Ÿ 3 ^ß \ 3 ] ß ^ de donde hemos probado " ß # y se tiene 3 \ß ] Ÿ 3 \ß ^ 3 ^ß ] . Segunda parte: 3 \ß ] < implica que maxÞÖ sup . Bß ] ß sup . Cß \ × < B−\ C−] $ Existe B−\ tal que aC − ] ß . Bß C < ‡ ß • ß existe C−] tal que aB − \ß . Bß C <, entonces aC − ] ß bC − \ tal que C − F Bà < ß • ß aB − \ß bC − ] tal que B − F Cà < , o sea aC − ] à C − ∪ F Bà < , • , aB − \à B − ∪ F Cà < B−\ C−] Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL lo cual es equivalente a ] § ∪ F Bà < ß • ß \ § B−\ ∪ C−] 44 F Cà < œ Y ] ß < Notese que existe B − \ tal que aC − ] , . Bß C < ya que si aB − \ß bC − ] à . Bß C < entonces bC − ] à . Cß \ < o sea que 3 \ß ] < que es po contra la hipótesis. Por otra parte supongamos que \ § Y ] à < ß • ß ] § Y \à < esto significa que aB − \ß bC − ] ß . Bß C Ÿ <ß • ß aC − ] ß bB − \à . Bß C Ÿ < entonces . Bß ] Ÿ <ß aB − \ Ê 3 \ß ] Ÿ < œ . Cß \ Ÿ <ß aC − ] 2. Sea s. la aplicación que asocia a cada parte \ § Q de un espacio métrico Q la ‡ función real .\ À Q d , definida por .\ D œ . Dß \ , D − Q (o sea . \ es la función distancia de un punto variable de Q al conjunto fijo \ ). Si nos restringimos a considerar .\ apenas para los \ − ¹ Q obtenemos una aplicación s . À ¹ Q ¹ Q à d de ¹ Q en el conjunto ¹ Q à d de las funciones reales en el espacio métrico Q Þ Tenemos entonces + Para cualesquier \ß ] − ¹ Q , las funciones .\ y .] estan a una distancia finita en ¹ Q à d . , La aplicación s . :\ .\ es una inmersión isométrica de ¹ Q en el espacio de las funciones ¹ Q à d . Sean \ß ] subespacios acotados de un espacio métrico SOLUCIÓN. Afirmación : Q . Sea α \ß ] œ supÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] ×. Entonces α \ß ] ∞ y para cualquier D − Q , se tiene l. Dß \ . Dß ] l Ÿ α \ß ] . En efecto, sea $ \ Eß $ ] F para algún E y algún F números reales positivos (estos existen, dado que \ß ] son acotados), sea B! − \ß C! − ] elementos fijos así que . B! ß C! œ - está bien determinada. En Q se tiene que . Bß C Ÿ . Bß B! . B! ß C! . C! ß C E F - aB − Q ß aC − Q Por lo tanto supÞ . Bß C œ α \ß ] Ÿ E F - ∞ B − \ß C − ] Se debe mostrar ahora que l. Dß \ . Dß ] l Ÿ α \ß ] , lo cual es equivalente a -α \ß ] Ÿ . Dß \ . Dß ] Ÿ α \ß ] o sea veamos que MÞ . Dß \ Ÿ α \ß ] . Dß ] MMÞ . Dß ] Ÿ . Dß \ α \ß ] . Sabemos que l. Dß B . Dß C l Ÿ . Bß C o sea que . Bß C Ÿ . Dß B . Dß C Ÿ . Bß C aBß aCß aD de aquí tenemos que . Dß B Ÿ . Bß C . Dß C aBß aCß aD . Dß C Ÿ . Dß B . Bß C aBß aCß aD Darío Sánchez H. 45 TOPOLOGIA GENERAL de donde se tiene que 380 . Dß B Ÿ 380 . Bß C . Dß C B−\ B−\ 380 . Dß C Ÿ . Dß B 380 . Bß C C−] o sea que C−] aCß aD aBß aD . Dß \ Ÿ . \ß C . Dß C aCß aD . Dß ] Ÿ . Dß B . Dß ] aBß aD recibiéndose . Dß \ Ÿ 3 \ß ] . Dß C Ÿ α \ß ] . Dß C ß aC − ] . Dß ] Ÿ 3 \ß ] . Dß B Ÿ α \ß ] . Dß B ß aB − \Þ Por lo tanto . Dß \ Ÿ α \ß ] . Dß ] aD − Q . Dß ] Ÿ α \ß ] . Dß \ aD − Q Þ Obteniéndose l. Dß \ . Dß ] l Ÿ α \ß ] Resta mostrar que 3 \ß ] Ÿ α \ß ] , en efecto, se conoce que l. Bß E . Cß E l Ÿ . Bß C para cualquier subconjunto no vacío EÞ En particular para E œ \ se tiene l. Bß \ . Cß \ l Ÿ . Bß C aBß aC para B − \ se tiene . Cß \ Ÿ . Bß C aB − \ß aC − Q o sea que sup . Bß ] Ÿ α \ß ] . C−] Análogamente tomando E œ ] se tiene sup . Bß ] Ÿ α \ß ] B−\ por lo tanto + 3 \ß ] Ÿ α \ß ] HIJ Þ ll. s s s\ . s] ll œ supÖ.\ D .] D à D − Q ×. . Š. \ ß . ] ‹Þ œ De esta definición se recibe l.\ D .] D l œ l. Dß \ . Dß ] l Ÿ α \ß ] aD − Q . Por lo tanto sup l.\ D .] D l œ sup l. Dß \ . Dß ] l Ÿ α \ß ] . D−Q D−Q s\ . s] ll ∞ o sea Se sigue de la afirmación que α \ß ] ∞, por lo tanto ll. que .\ y .] están a una distancia finita en ¹ Q à ‘ . s\ s , Probemos ahora que ll. . ] ll œ 3 \ß ] Se sabe que si B − \ Ê . Bß \ œ !, por lo tanto s\ . s] ll sup . Bß ] œ sup l. Bß \ . Bß ] l Ÿ sup l. Bß \ . Bß ] l œ ll. B−\ B−\ Å B−Q \§Q también s\ . s] ll sup . Cß \ œ sup l. Cß \ . Cß ] l Ÿ sup l. Cß \ . Cß ] l œ ll. C−] C−] Å C−Q ] §Q Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 46 de donde se tiene s\ . s] ll. 3 \ß ] œ maxÞÖ sup . Cß \ ß sup . Bß ] × Ÿ ll. C−] B−\ s\ s Mostremos ahora ll. . ] ll Ÿ 3 \ß ] o sea que l. Dß \ . Dß ] l Ÿ 3 \ß ] aD − Q lo cual es equivalente a 3 \ß ] Ÿ . Dß \ . Dß ] Ÿ 3 \ß ] aD − Q esto es, mostrar la veracidad de las dos desigualdades siguientes: . Dß \ Ÿ 3 \ß ] . Dß ] aD − Q . Dß ] Ÿ 3 \ß ] . Dß \ aD − Q . Para esto se sabe que . Dß B Ÿ . Bß C . Dß C aBß aCß aD . Dß C Ÿ . Dß B . Bß C aBß aCß aD de donde se obtiene . Dß \ Ÿ . \ß C . Dß C aCß aD . Dß ] Ÿ . Dß B . Dß ] aBß aD de manera que tenemos . Dß \ Ÿ 3 \ß ] . Dß ] aD − Q . Dß ] Ÿ 3 \ß ] . Dß \ aD − Q Þ 3.Sea W 8 œ ÖB − d8" à lBl œ "× la esfera unitaria 8-dimensional, con la métrica lB Cl, inducida de d 8" . Para cada B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8 se tiene también B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8 . Sea 8 el conjunto cociente de W 8 por la relación de equivalencia que identifica B con B los elementos de 8 son las parejas : œ ÖBß B×, B − W 8 . Indiquemos con 1 À W 8 8 la aplicación cociente 1 B œ ÖBß B× œ 1 B . En 8 ß supongamos que . :ß ; œ minÞÖlB Clà lB Cl× si : œ ÖBß B× y ; œ ÖCß C×. Esto lleva a que 8 sea un espacio métrico, llamado el espacio métrico proyectivo real 8 dimensional. Se tiene . 1 B ß 1 C Ÿ lB Cl. Sea \ § W 8 un subconjunto tal que $ \ Ÿ È#, esto es, si Bß C − \ entonces lB Cl Ÿ È#. Entonces, 1l\ es una inmersión isométrica de \ en 8 . SOLUCIÓN. Para cada :ß ; − 8 se tiene que lB Clß lB Cl están siempre bien determinados, por lo tanto . :ß ; está bien definido. 3 . :ß ; œ minÞÖlB Blß lB B× œ minÞÖ!ß l#Bl× œ ! 33 . :ß ; œ ! Í minÞÖlB Clß lB Cl× œ ! Ê lB Cl œ !ß ” ß lB Cl œ !ß esto es, B œ Cß ” ß B œ C Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 47 333 . :ß ; œ minÞÖlB Clß lC Bl× ! si : Á ; , en efecto, : Á ; Ê B Á Cß ” ß B Á C , de esto se sigue que B C Á !ß ” ß B C Á !, entonces lB Cl !ß ” ß lB Cl !, se sigue estonces que minÞÖlB Clß lB Cl× ! de donde . :ß ; ! si : Á ; 3@ . :ß ; œ minÞÖlB Clß lB Cl× œ minÞÖlC Blß lC Bl× œ . ;ß : @ Se va mostrar que . :ß ; Ÿ . :ß = . =ß ; donde : œ ÖBß B×ß ; œ ÖCß C×ß = œ ÖDß D× o sea debemos mostrar que minÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ minÞÖlB Dlß lB Dl× minÞÖlC Dlß lC Dl× Sabemos que lB Cl Ÿ lB Dl lD Cl aBß aCß aD lB Cl Ÿ lB D D Cl Ÿ lB Dl lD Cl aBß aCß aD por lo tanto minÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ minÞÖlB Dl lD Clß lB Dl lD Cl× Ÿ minÞÖlB Dlß lB Dl× minÞÖlD Clß lD Cl× @3 Es claro que . 1 B ß 1 C œ minÞÖlB Clß lB Cl× Ÿ lB Cl @33 Si se demuestra que aB,aC − \ß lB Cl È#, se sigue inmediatamente que . 1l\ B ß 1l\ C œ lB Cl Veámoslo, se sabe que $ \ Ÿ È# y hemos ya mostrado en el álgebra lineal lo siguiente: mα+" m# œ α " ß α " œ αß α αß " " ß α " ß " œ mαm# m" m# " ß α αß " " # mα " m œ α " ß α " œ αß α αß " " ß α " ß " œ mαm# m" m# " ß α αß " # De " y # tenemos: mα+" m# +mα " m# =#mαm# +#m" m# En particular tenemos aquí que lB Cl# lB Cl# œ # lBl# lCl# aBß aC y también lB Cl Ÿ $ \ Ÿ È#. Como Bß C − \ § W 8 se tiene que |B|# œ "ß • ß lCl# œ "ß así lB Cl# lB Cl# œ # # œ % Í lB Cl# œ % lB Cl# Como lB Cl# Ÿ # entonces lB Cl# # así, lB Cl# % # œ #ß aB − \ß aC − \ . O sea que lB Cl# # Í lB Cl È# ß aB − \ß aC − \ , lo cual se quería probar. 4.Sean Q ß . ß R ß . w espacios métricos. La oscilación de 0 À Q un número A 0 à + œ infÞ$ Ò0 ÖF +ß < ×Ó imágenes por 0 de las bolas abiertas de centro en +. Probar que + 0 es continua en +, si y sólo si, A 0 à + œ !. , Calcule la oscilación de 0 À d d en el !, donde R en el punto + es Darío Sánchez H. SOLUCIÓN. + que TOPOLOGIA GENERAL 0 B œœ =/8 B" para B Á ! . ! para B œ ! Ê Ñ Si 0 es continua en +, significa que dado % !, existe 5 !, tal a> − F +ß 5 Ê . w 0 > ß 0 + Ahora 48 % a> − F +ß 5 ß a>w − F +ß 5 ß . w 0 > ß 0 >w Ÿ . w 0 > ß 0 + . w 0 >w ß 0 + Entonces $ 0 F +ß 5 œ sup Þ . w 0 > ß 0 >w Ÿ #% a% ! . w Ÿ #%Þ >ß > − F +ß 5 Ahora b8 !, tal que 5 8" !ß • ß $ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰ Ÿ #%, entonces Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰ #%× Á ø, entonces existe infÞ Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+à 8" ‰‰‰ Ÿ #%× Ÿ #% 8− por lo tanto A 0 à + œ ! É Ñ Si A0 B œ ! entonces dado % ! existe < ! tal que supÞ . w 0 > ß 0 >w % Ê . w 0 > ß 0 >w % a>ß a>w − F +ß < w >ß > − F +ß < entonces dado % !, existe < ! tal que a > − F +ß < , . w 0 > ß 0 + % Ê 0 es continua. # , Tomemos B8 œ 81 , 8 œ "ß $ß &ß (ß á una sucesión de números reales tendientes para cero, tenemos "ß 8 œ "ß &ß *à á 0 B8 œ =/8 ˆ "# ‰ œ =/8 1# 8 œ œ "ß 8 œ $ß (ß ""ß á 81 " Así sea F ˆ!ß 8 ‰ 8 œ "ß $ß &ß (ß á entonces " $ ˆ0 ÒF ˆ!ß 8 ‰Ó‰ œ supÞ " l0 B 0 C l œ supÞ " l=/8 B" =/8 C" l œ # Cß B − F ˆ!ß 8 ‰ Ahora A 0ß ! œ infÞ 8 − Ö"ß $ß &ß á × $ ˆ0 ˆF ˆ!ß Bß C − F ˆ!ß 8 ‰ " ‰‰‰ 8 œ #. 5.Establecer los siguientes homeomorfismos: + Entre d 8" Ö+× y W 8 ‚ d donde + − d 8" , Entre el semi-espacio superior abierto L œ ÖB − d 8 à B8 !× y el espacio entero d 8 ; entre L œ Ö< − d 8 à B8 !× y - Entre d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ. T œ ÖB − d 8 à B" !ß á ß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ. SOLUCIÓN. + Sea : À d 8 Ö!× W 8 ‚ d definida así: Ú B Š lBl ß lBl "‹ ß si lBl " : B œÛ B lBl" si lBl " Ü Š lBl ß lBl ‹ ß como B Á ! entonces |Bl Á !, además lBl" lBl œ" " lBl B lBl B − W 8 ya que ¹ lBl ¹ œ " por otra parte Ä ∞ cuando lBl Ä ! ß y ß lBl " Ä +∞ cuando lBl Ä ∞ por lo tanto : está bien definida. Darío Sánchez H. 49 TOPOLOGIA GENERAL Ahora sea 1 À W 8 ‚ d d 8" Ö!× definida porß 1 Cß D œ œ " D Cß si D ! " si D ! "D Cß es claro que 1 está bien definida además se tiene que 3) Ú "D C Š "D ß " D "‹à l" DllCl œ " D " : " D C , si D ! : 1 Cß D œ œ ˆ " ‰ œ Û "D C " " " : "D C , si D Ÿ ! " ‰ ‹à ¹ "D C ¹ œ "D " Ü Š "D ß " ˆ "D o sea que : ‰ 1 Cß D œ œ Cß D Cß D si " D " " si "D " de donde : ‰ 1 œ M.W 8 ‚d o sea que : es 33) Por otra parte Ú B 1Š lBl ß lBl "‹, si lBl " 1‰: B œÛ B " Ü 1Š lBll ß " lBl ‹, si lBl Ÿ " œ Cß D inyectiva. Ú Ý lBl " " ßœÛ " " à Ý " " Š Ü lBl ‹ Þ B lBl , B lBl , si lBl " ! si " " lBl œ lBl" lBl Ÿ! œœ B, si lBl " œ B, B, si lBl Ÿ " o sea que 1 ‰ : œ M.d8" Ö!× . Así : es sobre, por lo tanto : es biyectiva y se tiene :" œ 1Þ 333) : es continua: En efecto : œ :" ß :# donde :" À d 8" Ö!× d 8" Ö!× B B È lBl es continua, :# À d 8" Ö!× BÈ Como lim ÖlBl "× œ lim lBl" lBlÄ" lBl lBlÄ" d lBl "ß si lBl " lBl" si |Bl Ÿ " lBl ß œ! entonces :# es continua. Luego := :" ß :# es continua ya que cada una de sus componentes lo es. 3@) : es abierta: Para lo cual basta ver que :" es continua donde " D Cß D ! :" Cß D œ œ " DŸ! "D Cß Se sabe que la multiplicación por un escalar es una operación continua en un espacio métrico, ahora como " lim :" Cß D œ lim " D C œ C, lim :" Cß D œ lim "D CœC o sea DÄ! DÄ! lim :" Cß D œ lim :" Cß D œ C, DÄ! DÄ! es abierta. Luego : es un homeomorfismo. (,) 3) Se define DÄ! DÄ! entonces :" es continua, por lo tanto : Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 50 : À L œ ÖB − d 8 à B8 !× d8 ß " # 8 B ß B ß á ß B È B" ß B# ß á ß B8" ß log B8 así : œ 3.d ß á ß 3.d ß log como B8 ! entonces log B8 − d está bien definido por lo tanto : queda bien definida. Ahora 1 À d 8 L œ ÖB − d 8 à B8 !× 8 B" ß á ß B8" ß B8 È ˆB" ß á ß B8" ß /B ‰ es también bien definida y además 8 1 ‰ : B" ß á ß B8 œ 1 B" ß á ß log B8 œ ˆB" ß á ß B8" ß /log B ‰ œ B" ß á ß B8" ß B8 o sea 1 ‰ : œ M.L y 8 8 : ‰ 1 B" ß á ß B8 œ :ˆB" ß á ß /B ‰ œ ˆB" ß á ß B8" ß logÞ/B ‰ œ B" ß á ß B8 o sea : ‰ 1 œ M.d8 Por lo tanto : es biyectiva y tiene por inversa :" œ 1. Como : y :" son continuas entonces : es un homeomorfismo. 33) Ahora L À ÖB − d 8 à B8 !× d 8" ‚ Ö!ß ∞Ñ B" ß á ß B8 È B" ß á ß B8 es claramente continua y un homeomorfismo. (- ) Tomemos : À T œ ÖB − d 8 à B" !ß B# !ß á ß B8 !× d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ B" ß á ß B8" ß B8 œ Bß C È lBl# C# ß #BC donde B œ B" ß B# ß á ß B8" ß C œ B8 . Es claro que : está bien definida ya que : Bß C œ lBl# C# ß #BC œ ˆl B" ß á ß B8" l# B8 # ß #B" B8 ß á ß #B3 B8 ß á ß #B8"B8 ‰ y se tiene que #B8" B8 − Ò!ß ∞Ñ. Para mostrar que : es un homeomorfismo basta probarlo para dos dimensiones o sea considerar : À T œ ÖB − d # à B" !ß B# !× d ‚ Ò!ß ∞Ñ : es inyectiva À : Bß C œ : B" ß C# Í B# C# ß #BC œ B#" C"# ß #B" C" o sea que B# C# œ B#" C"# , • , #BC œ #B" C" de donde tenemos B# #BC3 C# œ B#" #B" C" 3 C# Í B 3C # œ B3 3C" # Í Bß C # œ B" ß C" # de donde B œ „ B" ß • ß C œ „ C" pero B œ B" • C œ C" no se puede presentar ya que el punto B" ß C"  T por lo tanto B œ B" • C œ C" , o sea Bß C œ B" ß C" . : es sobreyectiva: Sea A − d ‚ Ò!ß ∞Ñ tal que A œ A" ß A# , A" Á !ß A# Á ! para hallar Bß C − T utilizamos métodos elementales B# C# ß #BC œ A" ß A# Ê B# C# œ A" • #BC œ A# entonces se tiene que B# C# œ A" • ŠB œ A#C# ” C œ A#B# ‹ de donde se debe tener o sea que A## %C # C # œ A" ” B# A## %B# œ A" Darío Sánchez H. 51 TOPOLOGIA GENERAL %A" „É"'A"# "'A## A „ÈA# A# %B% A## œ %A" B# Ê B# œ Í B# œ " # " # . ) Como A" ÈA#" A## ! , entonces debe tomarse A" ÈA#" A## ! , por lo tanto B œ „ É A" lAl œ É A" lAl , •, C œ # # Luego dado A œ A" ß A# A# #B œ A# A lAl #É " # œ A# È# A" lAl . con A" Á !ß A# Á !ß tómese Bß C œ ŒÉ A" lAl , È# AA#lAl # " . Si A œ A" ß ! con A" !, tómese B œ ÈA" ß C œ !, en ese caso Si A œ A" ß ! : Bß ! œ ŠˆÈA" ‰ !ß #ÈA" † !‹ œ A" ß ! Þ : !ß C œ Š! ˆÈ A" ‰ ß !‹ œ A" ß ! # con A" ! , tómese B œ !, C œ È A" en ese caso # Si A œ !ß A# œ Š! ˆÈ A" ‰ ß !‹ œ A" ß ! Þ # Si A œ !ß A# , nótese que A# !, en ese caso tómese B œ È A## ß C œ È A## y se tiene :ˆˆÈ A## ß È A## ‰‰ œ ˆ A## A## ß #È A## È A## ‰ œ !ß A# . Así : es sobre. : es continua: Ya que : œ :" ß :# donde :" À T d es continua y :# À8 T d 8"8 es continua, # Bß B8 È lBl# È #B † B Bß B B8 por lo tanto : es continua. : es abierto: Con tal fin se define la función inversa de : la cual obtenemos como una conclusión de los cálculos realizados para mostrar que : es sobre Ú Ý A" lAl ˆA# ßA ßáßA8 ‰ ŒÉ # ß È# A$" lAl ß si A" Á ! " : A œÛ ݈ È si A8 œ !ß A" ! Ü !ß A" ‰ ß donde A œ A" ß á ß A8" ß A8 . En dos dimensiones tendríamos Ú Ý A" lAl A ŒÉ # ß È# A"#lAl " : A œÛ ݈ È Ü !ß A" ‰ß y se tiene : :" A œŠ œ :ŒÉ A" lAl ß # ˆA# ßA ßáßA8 ‰ $ È# A" lAl A"# #A" lAlA"# A## âA8# A## âA8# ß # A" lAl œ Š A" lAl # ß si A" Á ! si A# œ !ß A" ! ÈA lAl A ßáßA A## A$# âA8# ß # È"#È#ÈA# lAl8 #ˆA" lAl ‰ " " lAl A# ß A$ ß á ß A8 ‹ œ Š #A# "AA" lAl ß A# ß A$ ß á A 8 ‹ œ A" ß A# ß á ß A8 A œA si A" Á !ß o sea :‰: " : es continua. Cuando A" Á !ß A# ! es claro que :" œ <" ß <# es continua ya que <" À T d y <# À T d A" ß A# È È# AA#lAl A" lAl É A" ß A # È : A " ß A # œ " # " ‹ Darío Sánchez H. 52 TOPOLOGIA GENERAL son funciones continuas. Las funciones <" ß <# pueden ser extendidas así por ejemplo <# À T d 8" A" ß á ß A8" ß A8 È ˆA# ßA ßáßA8 ‰ $ È# A" lAl es una función continua. Ahora lim :" !ß A" œ lim !ß A" œ !. Sea A" Ä! A" Ä! donde B œ A" ß C œ A# ß á ß A8 , así A" ß A# ß á ß A8 œ Bß C :" A œ ŒÉ A" lAl ß È# AA#lAl # " y lim :" Bß C BÄ! C ! lim BÄ! CÄ! ŒÉ œ Bl BßC l ß È# BlC BßC l # ÈC œ Œ!ß lim È# CÄ! œ ŒÉ Bl #BßC l ß È# BlC BßC l œ Œ!ß lim lim C È # Bl BßC l CÄ! BÄ! œ C CÄ! É#ÈC # !ß lim œ !ß ! Luego :" es continua y : es abierta. De lo anterior se sigue que : À T d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ es un homeomorfismo. 6. Bß C È lBl# C# ß #BC En cada uno de los casos de abajo, determínese si E es o no subconjunto abierto del espacio métrico Q correspondiente. + Q œ dß E œ Önúmeros racionales×. , Q œ µ \à d ß E+ œ Ö0 À \ d acotada; 0 + ! para + fijo×. - Q œ dß 0 − ¹ dß d y E0 œ Ö B − dà 0 B !× . Q œ d 8 , E œ ÖB − d 8 à B" es entero !× / Q œ d # ; E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B# C# œ " ni en el eje de las B× 0 Q œ ™ números enteros ; E œ ÖB − Q à lB #l œ $× œ Ö "ß &× 1 Q œ d , E œ ÖB − Q à B $× 2 Q œ µ dà d ß E œ Ö0 − Q à 0 es discontinua en todos los puntos de la recta× , 3 Q œ ¶! Ò+ß ,Óà d ; E œ Ö0 − Q à '+ 0 B .B !× 4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente tres coordenadas !× SOLUCIÓN. + Q œ dß E œ Önúmeros racionales×. E no es abierto: En efecto se sabe que cualquier subconjunto abierto no vacío de d contiene números racionales e irracionales. Entonces cualquier bola abierta centrada en un punto de E irá a contener puntos racionales y no está totalmente Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 53 contenida en E. Luego E no es abierto. Nos resta probar que cualquier intervalo abierto contiene por lo menos un racional y un irracional, en efecto sea +ß , un intervalo abierto, existe 8 − tal que 8" , +, sea 7! œ minÖ7 − Î 7 8 +× 7! 7! 7! " entonces se tiene, + 8 , , puesto que si 8 ,, entonces 8 , 8" +ß • ß 7! no sería mínimopo. De la misma manera, existe 5 − tal que 15 , + entonces existe 7 tal que + 17 5 ,. Nota: Aquí hemos supuesto que ! + ,. , Q œ µ \à d ß E+ œ Ö0 À \ d acotada; 0 + ! para + fijo×. E+ es abierto: En efecto sea F 0 ß % § µ 0 à d una bola abierta con centro en 0 y radio %, sea 1 − F 0 ß % . Tomando 0 + œ 5 ! y % œ 5# tenemos ll0 1ll 5# Í ll0 1ll œ sup Öl0 B 1 B × 5# B−\ se sigue que l0 B 1 B l 5# , aB − \ en particular para B œ + tenemos l0 + 1 + l 5# o sea 5# 0 + 1 + 5# de donde 0 + 1 + 5# Í 0 + 5# 1 + ahora como 0 + œ 5 , entonces 0 + 5# œ 5 5# œ 5# ß por lo tanto 1 + 5# !, entonces 1 − E+ ß así F 0 ß % § E+ y E+ es abierto. - Q œ dß 0 − ¹ dß d y E0 œ Ö B − dà 0 B !× E0 no es abierto en general. Para eso consideremos la función 0 − ¹ dß d definida por " ß si B Ÿ + 0 B œœ " ß si B + E0 œ ÖB − dÎ0 B !× œ Ð ∞ß +Óß B! œ + − E0 y para todo < !ß existe B − F +à < tal que 0 B ! entonces B  E0 por lo tanto F B! à < § Î E0 o sea E0 no es abierto. Nótese que E0 depende de 0 , así si 0 es positivo, o sea 0 B !ß aB − \ en ese caso E0 es claramente abierto. . Q œ d 8 , E œ ÖB − d 8 à B" es entero !×. E es cerrado: Para esto considérese la aplicación C 8À d 8 "d " # B ßB ßáßB ÈB la cual es la función primera proyección sobre d. C es continua: El conjunto E puede ser considerado como E œ C" ^‡ . Como ^‡ es un conjunto cerrado en d , tenemos que E es cerrado. / Q œ d # ; E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B# C# œ " ni en el eje de las B× Darío Sánchez H. 54 TOPOLOGIA GENERAL E es abierto, en efecto, sea 0 À d # Bß C d , 0 es continua ya que tomando en È B# C # " d la métrica . Bß C ß B" ß C" œ . Bß B" . Cß C" œ lB B" l lC C" lß se tiene que; % dado % !, existe $ Ÿ #O con O œ maxÖlB B" lß lC C" l×, se tiene # . 0 Bß C ß 0 B" ß C" œ lB C# " B"# C"# "l œ l B# B"# C # C"# l Ÿ lB# B#" l lC# C"# l œ lB B" l † lB B" l lC C" l † lC C"l Ÿ lB B" lO lC C" lO Ÿ ÖlB B" l lC C" l×O Ahora si lB B" l $ • lC C" l $ se tiene que . 0 Bß C ß 0 B" ß C" Ÿ #$ O Ÿ O% O œ % Asíß como E=0 " d Ö!× ß entonces E es imagen inversa por una aplicación continua de un conjunto abierto de d , luego E es abierto. 0 Q œ ™ números enteros ; E œ ÖB − Q à lB #l œ $× œ Ö "ß &× E es abierto: Tomando 5 œ "# ß F" œ ˆ "ß "# ‰y F# œ ˆ!ß "# ‰ entonces F" ß F# § E Ê E es abierto. 1 Q œ d , E œ ÖB − Q à B $× E no es abierto como fácilmente se puede mostrar. 2 Q œ µ dà d ß E œ Ö0 − Q à 0 es discontinua en todos los puntos de la recta× E es abierto. En efecto sea 0 − E y + un punto arbitrario de la recta entonces 0 es discontinua en +, esto significa que existe % ! tal que para todo $ !ß lB +l $ y l0 B 0 + l % " Para este % ! sea F ˆ0 ß $% ‰ œ Ö1 − Q Î. 0 ß 1 œ sup l0 B 1 B l $% × Sea 1 − F ˆ0 ß $% ‰ entonces 1 − E, porque supongamos que 1  E entonces esto significa que existe B! − dß que sin perder generalidad podemos tomar B! œ +, tal que 1 es continua en +, es decir, dado % ! existe $ ! tal que lB +l $ Ê l1 B 1 + l $% . Ahora l0 B 0 + l Ÿ l0 B 1 B l l1 B 1 + l l1 + 0 + l Ÿ $% $% $% œ % o sea que según " obtenemos l0 B 0 + l Ÿ % • l0 B 0 + l % esta es una po contradicción por lo tanto 1 − E, así F ˆ0 à $% ‰ § Eß de donde E es abierto. , 3 Q œ ¶! Ò+ß ,Óà d ; E œ Ö0 − Q à '+ 0 B .B !× , E es abierto: Sea : À Q d ß : 0 œ '+ 0 B .B ! es una función , 0 È '+ 0 B .B ! continua. Como E œ :" d como d es abierto en d entonces E es abierto en Q Þ Otra forma de prueba es la siguiente: Sea F 0 ß % con % !. Se debe mostrar que , cualquier 1 − F 0 ß % Ê 1 − EÞ Por hipótesis si 0 − E Ê 5 œ '+ 0 B .B !, también se tiene que 0 B % 0 B 0 B % de donde tenemos que '+, 0 B % .B '+, 0 B .B '+, 0 B % .B B−d Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 55 5 Tomando ! % ,+ ß 5 !ß , +ß sea F 0 ;% y 1 − F 0 à % Í l1 B 0 B l %, o sea 0 B % 1 B 0 B %ß integrando miembro a miembro tenemos '+, 0 B % .B '+, 1 B .B '+, 0 B % .B entonces , ! 5 % , + '+ 1 B .B 5 % , + , de esta desigualdad recibimos que '+ 1 B .B ! entonces 1 − E o sea E es abierto. 4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente tres coordenadas !× E no es abierto, pues sea + œ "ß "ß "ß !ß ! − E y para todo +ß % en punto ˆ"ß "ß "ß #% ß #% ‰ − F +ß % mientras que ˆ"ß "ß "ß #% ß #% ‰  E, luego E no es abierto en Q Þ 7.Sea E œ Ö Bß C − d # à B Á C ” C œ !×. La intersección de E con cualquier recta horizontal o vertical es abierta en la recta, pero E no es un subconjunto abierto el plano. E œ Ö Bß C − d # à B Á C× ∪ Ö Bß C − d # à C œ !×. Sea L cualquier recta SOLUCIÓN. horizontal o vertical, en esta forma E œ d # Ö Bß C − d # à B œ C • C Á !×. Si L es uno de los ejes es claro entonces que E es abierto en L , ya que E ∩ L œ d. Ahora si L œ Ö Bß C − d # Î Bß C œ Bß 2 con 2 fijo× en este caso E ∩ L œ Ö Bß 2 ÎB − dß • ß B Á 2× œ Ö Bß 2 ÎB 2× ∪ Ö Bß 2 ÎB 2× como Ö Bß 2 − d # ÎB 2× es abierto en L y Ö Bß 2 − d # ÎB 2× es abierto en L entonces se sigue que E ∩ L es abierto en L . Si L w es una recta vertical, o sea L w œ Ö Bß C − d # Î Bß C œ 5ß C con 5 fijo, C − d× entonces E ∩ L w œ Ö 5ß C − d # ÎC Á 5× œ Ö 5ß C − d # ÎC 5× ∪ Ö 5ß C − d # Î C 5× como Ö 5ß C − d # ÎC 5ß 5 fijo× y Ö 5ß C − d # ÎC 5ß 5 fijo× son abiertos en L w se sigue que E ∩ L w es abierto en L w Þ E no es abierto en d # , pues a< !ß F !ß < contiene puntos de la forma B œ C que no estan en EÞ 8.Todo abierto no vacío E § d8 contiene por lo menos un punto B œ B" ß B# ß á ß B8 cuyas coordenadas B" ß B# ß á ß B8 son racionales. Concluír que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos en d 8 entonces ¶ es enumerable. Como consecuencia mostrar que si M § d es un intervalo y 0 À M d es una función monótona, entonces el conjunto de los puntos B − M , en los cuales 0 es discontinua, es enumerable. SOLUCIÓN. 3) Mostremos que todo abierto de E contiene por lo menos un punto p racional ; , cuyas coordenadas son racionales. Sea > œ >" ß ># ß á ß >8 − E. Como E es Darío Sánchez H. 56 TOPOLOGIA GENERAL p abierto entonces existe < ! tal que F< Š > ‹ § Eß donde F< > es una bola abierta de Á p centro en > y radio < ! entonces la bola cerrada F #< Š > ‹ § E. Á Para cada >3 , 3 œ "ß #ß ß á ß 8 sabemos que existe una sucesión Ö;3 × de números racionales que convergen hacia >3 , esto es, sea %< #< ß % ! y suficientemente pequeño entonces existe R3 tal que si 7 R3 entonces 7 l;3 >3 l È%8 " 7 Sea R œ maxÖR3 à 3 œ "ß #ß á ß 8× entonces la desigualdad " se tiene para 7 R , 3 œ "ß #ß á ß 8 o sea si 7 R entonces 7 l;3 >3 l È%8 #< # Entonces para 7 suficientemente grande y 7 R p 7 7 7 ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − F #< Š > ‹, en efecto; tenemos que el punto l >" ß ># ß á ß >8 Š;" ß ;# ß á Þ;8 ‹l œ lŠ>" ;" ß ># ;# ß á ß >8 ;8 ‹l œ 7 7 œË 7 8 5œ" 7 Š>5 ;5 ‹ Ÿ Ë Å 7 # # 8 5œ" 7 7 Š È%8 ‹ œ É8 8% # œ # # % È8 < # Esto muestra que p ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ es un punto de coordenadas racionales ya p 7 7 7 7 que ;3 − y p ; − F #< Š > ‹ Ê p ; − F< > , de donde p ; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − E. 7 7 7 33) Mostremos ahora que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos no vacíos de d 8 entonces ¶ es enumerable. Basta observar que esto es una generalización de: "Sea f una colección de abiertos dos a dos disyuntos de d no vacíos entonces f es enumerable". Veamos esta afirmación, sea œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × el conjunto de los números racionales el cual es un conjunto bien ordenado. Sea E − f ß entonces podemos hablar de 1 (E œ minÖ8 − à B8 − Eß B8 − × entonces la correspondencia E È (E es biunívoca (esta bien definida porque si E Á F Ê (E Á (F , puesto que si (E œ (F entonces existe B(EßF − E ∩ F enpocontradicción con el hecho de que E ∩ F œ ø), en forma análoga se muestra que 1 es biunívoca, ya que si (E œ (F entonces minÖ8 − ÎB8 − E× œ minÖ8 − ÎB8 − F× o sea que existe un B(EßF − E y B(EßF − F como E ∩ F œ ø por lo tanto E œ FÞ Entonces f es equipotente a un subconjunto de . Para el caso general sea ¶ œ ÖE3 ×3−M una colección de abiertos de d 8 dos a dos disyuntos, por la primera parte sabemos que en cada E3 existe por lo menos un puntos con coordenadas racionales; consideremos entonces p œ B ß B ß á ß B ÎB − ß ! Ÿ 3 Ÿ 8×. 8 œ ‚ ‚ â ‚ œ ÖB " # 8 3 Como 8 es enumerable entonces puede bien ordenarse como 8 œ ÖBp8 Î8 − ß Bp8 − 8 ×. La correspondencia Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 3 M 57 È ( 3 œ minÖ8 − ÎBp8 − E3 × establece una correspondencia biunívoca entre M y un subconjunto de , entonces M es enumerable. La correspondencia esta bien definida, pues si 3 Á 4 Ê (3 Á (4 porque si (3 œ (4 entonces E3 ∩ E4 Á ø, contra la hipótesis de ser la colección ¶ disyunta dos a dos. Por lo tanto ¶ es enumerable. 333Ñ Sea M § d un intervalo 0 À M d es una función monótona entonces el conjunto de los puntos B − M en los cuales 0 es discontinua, es enumerable. En efecto supogamos, sin perder generalidad, que 0 es creciente y sea I el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0 I § M . Con cada punto B de I asociamos un número racional < B tal que 0 B < B 0 B . Si B" B# entonces por la monotonía; 0 B" Ÿ 0 B# o sea que si B" Á B# entonces < B" Á < B# . Para B − I , existen :ß ; − tales que ; B :. Sea HB œ ÖB − MÎ0 B ß 0 B existen y 0 B < B 0 B × ∩ ∩ ÖB − MÎ0 > < > ß aC − ;ß B × ∩ ÖB − MÎ0 > < B ß a> − Bß : × w Si Bß B − HB entonces a> − Bß Bw ß 0 > < B • 0 > < B esto es imposible e implica que B œ Bw o sea que HB œ ÖB×. Así M puede ser considerado como una colección Mde subintervalos tales que 0 es continua en M- y además M- ∩ M. œ ø para - Á .. Es de notar que M- es abierto, así M" ß M# ß á ß M8 es una colección de abiertos dos a dos disyuntos, en cada M- hay un número racional ver la parte 33 por lo tanto ÖM- ×- es enumerable. Como las discontinuidades de 0 ocurren cuando se pasa de M3 a M3" se sigue que el conjunto I de las discontinuidades de 0 es enumerable. 9. Sea M œ Ò+ß ,Ó indicaremos con ¶ " M el espacio vectorial de las funciones continuas acotadas 0 À M d que posean derivadas continuas en todos los puntos B − M . Muestre que l0 l‡ œ supÖl0 B l l0 w B là B − M× es una norma en ¶ " y que la aplicación lineal H À ¶ " M ¶! Ò+ß ,Óß d definida por H 0 œ 0 w (la derivada de 0 ), es continua. Dado B! − M ¿es abierto el conjunto E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B! !×?. ¿Es continua la función : À ¶ " M d definida por , w : 0 œ '+ 0 B .B?. ¿Serían H continua y E abierto si tomamos en ¶ " M la norma l0 l œ supÖl0 B là B − M×?. SOLUCIÓN. 3) l0 l‡ œ sup Öl0 B l l0 w B l× es una norma en ¶ " M . B−M + Como l0 B l !ß aB − Mß l0 w B l !ß aB − M , entonces l0 l‡ œ sup Öl0 B l l0 w B l× !ß B−M , l0 l‡ œ sup Öl0 B l l0 w B l× œ ! Í l0 B 0 w B l œ !ß aB − M B−M ! • 0 w B œ !ß aB − Mß Í l0 B l œ ! • l0 w B l œ !ß aB − M Í 0 œ o sea 0 œ !. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 58 - l-0 l‡ œ sup Öl -0 B l l -0 w B l× œ sup Öl-ll0 B l l-ll0 w B l × œ B−M B−M sup l-lÖl0 B l l0 w B l × œ l-l sup Öl0 B l l0 w B l × œ l-ll0 l‡ B−M B−M . Sabemos que l0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B l aB − M w w w w l0 B 1 B l Ÿ l0 B l l1 B l aB − Mß de donde se tiene que l0 B 1 B l l0 w B 1w B l Ÿ l0 B l l0 w B l l1 B l l1 w B l aB − M . Por lo tanto l sup Öl 0 1 B l l 0 +1 w B l× Ÿ sup Ö l0 B l l0 w B l l1 B l l1 w B l × Ÿ B−M B−M Ÿ sup Öl0 B l l0 w B l× sup Öl1 B l l1w B l× B−M B−M o sea que l0 1l‡ Ÿ l0 l‡ l1l‡ . 33) La aplicación H À ¶ " M ¶! Ò+ß ,Óß d es continua. Basta probar que H es una contracción débil, en efecto l0 w B 1w B l Ÿ l0 B 1 B l l0 w B 1w B l, aB − M por lo tanto sup l0 w B 1w B l Ÿ sup Öl0 B 1 B l l0 w B 1w B l× o sea que B−M B−M llH 0 H 1 ll Ÿ l0 1l‡ Luego H es una aplicación continua, ya que H es una contracción débil. 333) El conjunto E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B! !× es abierto. En efecto, sea F œ Ö1 − ¶! Mà d à 1 B! !×, F es abierto, ya que si F œ ø entonces F es abierto por definición. Si F Á øß sea 2 − F, entonces 2 B! !. Sea $ œ 2 B! y R 2ß $ una bola de centro 2 y radio $, y sea 0 − R 2Þ$ Ê sup Öl0 B 2 B l× œ ll0 2ll $ ß B−M o sea l0 B 2 B l $ para todo B − M œ Ò+ß ,Ó, en particular para B œ B! se tiene l0 B! 2 B! l $ Í $ 0 B! 2 B! $ o sea $ 2 B! 0 B! ß como $ œ 2 B! se sigue que 0 B! !, de donde 0 − F y R 2ß $ § F . Se sabe que la aplicación H À ¶ " M ¶! Mà d es continua, por lo tanto H" F 0 ÈH0 œ 0w es abierto, como E œ Ö0 − ¶ M à 0 B! !× œ H" F ß se sigue que E es abierto. 3@) : À ¶ " M d es continua , 0 È'+ 0 w B .B : se puede obtener como la composición de α ‰ H donde ¶ " M H ¶! Mß d α d 0 È 0 w B È' , + 2 B .B 2 B Ya hemos probado que H es continua para que : ‰ H sea continua debemos simplemente probar que α es continua, en efecto dados 0! − ¶! Mß d y % ! existe % $ œ ,+ tal que si |l0 0! ll $ entonces " w Darío Sánchez H. 59 TOPOLOGIA GENERAL lα 0 α 0! l œ l'+ 0 B .B '+ 0! B .Bl œ ¹'+ 0 B 0! B .B¹ Ÿ '+ l0 B 0! B l.B Ÿ , , , Ÿ sup l0 B 0! l'+ .B , , o sea B−M lα 0 α 0! l Ÿ ll0 0! ll , + $ , + œ Luego : es continua. @) Si l0 l œ sup l0 B l es la normal de ¶ " M , H no es continua. B−M Tomando Ò+ß ,Ó œ Ò!ß "Ó œ M • 08 B œ 8 B8" 8 B8 8. 8" % ,+ † , + œ %Þ Ahora 08 B tiende para cero cuando B Ä !, H 08 œ œB Si H es continua se debe tener H 08 H ! . Pero w lH 0 H ! l œ l07 l œ sup l08w l œ sup l08w B l œ sup lB8" l œ ". B−M B−M B−M E œ Ö0 − ¶ " à 0 w ÐB! Ñ ! con B! − M× no es abierto . " Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ y sea $ !. 0 − ¶ ÐMÑ " B8 Entonces existe 8 − R tal que 8 $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que . 08 ß 0 œ 8" $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es continua en 0 œ !Þ Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea % !. Entonces existe 8 − tal " que #8" % y sea B! œ 1 − M . Tómese ahora la función " 08 B œ B #8" =/8 #8 " B ; 08 − ¶ " ÐMÑ y " . 08 ß 0 œ supÞ¹ #8" =/8 #8 " B ¹ œ " #8" % y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ. Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ " ! mientras que consiguiente 08  E y E no es abierto. 10.Sea 08w B! œ 08w 1 œ " " œ !Þ Por \ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos la cual forma un grupo en relación a la composición. La órbita de un punto B − \ relativamente al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \ . Defina en \ una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ según K. Indique por \ÎK el espacio cociente. + Muestre que la aplicación cociente : À \ \ÎK es abierta. , Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. es SOLUCIÓN. + Basta mostrar que si E es una órbita en \ entonces :" : E abierto, lo cual se tiene ya que :" : E œ ∪ 1 E " 1−K como 1 − Kß 1 es un homeomorfismo entonces 1 E es abierto por lo tanto :" : E es reunión de abiertos, por lo tanto, es abierto. Nos resta probar la Darío Sánchez H. 60 TOPOLOGIA GENERAL igualdad "ß veámoslo: sea C − :" : E Í: C œ : E o sea que K C − : E œ ∪ K B ß esto equivale a afirmar que existe B − E tal que K C œ K B B−E o sea existe B − E tal que K C œ Ö1 C Î1 − K× œ Ö0 B Î0 − K× œ K B como K es un grupo + C œ C − Ö0 B Î0 − K×, entonces existe 1 − K tal que C œ 1 B ß B − E. Entonces C − 1 E para algún 1 − K Í C − ∪ 1 E . Recíprocamente 1−K sea C− ∪ 1 E 1−K Í b1 − Kß C − 1 E de donde 1 − K • B − E tal que C œ 1 B Í bB − E tal que C − K B entonces C − donde :" C § :" Š ∪ K B ‹ pero C − :" C C − :" C § :" Š B−E ∪ B−E por lo tanto ∪ B−E existe K B de K B ‹ œ :" : E , entonces C − :" : E Þ Luego : es abierta. , Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. Esto implica que 1 Y y 2 Y son disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − KÞ SOLUCIÓN. Supongamos que 1 Y ∩ 2 Y Á ø entonces existe C − 1 Y ∩ 2 Y ß se sigue la existencia de B! ß B" − Y tal que 1 B! œ Cß 2 B" œ C , como 1ß 2 son homeomorfismos entonces B! œ 1" C • B" œ 2 " C y siendo K un grupo tenemos que 1 Á 2, por lo tanto 2 " ‰ 1 B! œ 2 " C œ B" Ê B" − Y • B" − 2 " ‰ 1 Y entonces Y ∩ 2 " ‰ 1 Y Á ø lo cual po es una contradicción con el hecho de ser K un grupo propiamente discontinuo y 2 " ‰ 1 − K con 2 " ‰ 1 Á 3.. Luego si 1 Á 2ß 1 Y ∩ 2 Y œ ø. - En estas condiciones la aplicación cociente : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. SOLUCIÓN. : es claramente sobreyectiva y continua. Mostremos que : es local e inyectiva. Siendo K un grupo propiamente discontinuo para todo B − \ existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − KÞ Sea :Y À Y : Y donde :Y œ :lY , sean Bß C − Y tales que : B œ : C Í : B œ K B œ Ö1 B à 1 − K× œ Ö1 C à 1 − K× œ K C œ : C entonces 1 B − K B Ê b0 − KÎ0 C œ 1 B por lo tanto B œ 1" ‰ 0 B œ 2 C ß 2 œ 1" ‰ 0 − K Ê Y ∩ 2 Y Á ø entonces por la parte , , se tiene 0 œ 1 o se a que B œ C ya que 2 œ 3.Þ " :" À \ÎK \ es continua si para todo abierto E de \ :" E œ: E es abierto en \ÎK ß pero esto es verdad pues : es una aplicación abierta luego : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 61 . Los toros X 8 , el espacio proyectivo 8 y el cilindro W " ‚ d son casos particulares del caso , p p C ™8 Í p B p C − ™8 o sea SOLUCIÓN. X 8 œ d 8 Ι8 donde B œ p p p p p p p B C œ 8 Í B œ C 8ß 8 − ™8 Þ 8 Sea K œ Ö7p8 À d d 8 à 7p8 B œ p B p 8 ßp 8 − ™8 ×ß 7p8 es un homeomorfismo de d 8 por ser 7p8 œ 78" ß 78# ß á ß 788 y cada una de las componentes es una translación por lo tanto un homeomorfismo. K es un grupo con la composición. p p p − ™ × por lo tanto X 8 œ d 8 ÎK y se Ahora K œ Ö7p8 B œ p B p 8 Î7p8 − K× œ ÖB 8Î8 tiene que el toro es un caso particular del problema en consideración. 8 œ W 8 Î µ donde B µ C Í C œ B. Sea K œ Ö1" ß 1# × dadas por 1" À W 8 W 8 , 1 # À W 8 W8 , BÈ B B ÈB 1" y 1# son claramente homeomorfismos. K es un grupo con la composición pues 1" ‰ 1" œ 1 " ß 1# ‰ 1# œ 1" ß 1" ‰ 1# œ 1# œ 1# ‰ 1". Ahora K B œ Ö1" B ß 1# B × œ ÖBß B×. 8 8 Luego W ÎK œ W Î µ œ 8 obteniendose que el plano proyectivo 8 es un caso particular del problema considerado. d El cilindro W " ‚ d µ d , 8 − ™ la µ ™ ‚ d œ Ö B 8ß C à Bß C − dß 8 − ™×Þ Sea 78 À d BÈ B 8 translación, por lo tanto 78 es un homeomorfismo de d . Sea K œ Ö1 œ 78 ß 3. À d ‚ d dÎ1 Bß C œ B 8ß C ß 8 − ™×. Como 78 e 3. son homeomorfismos entonces 1 œ 78 ß 3. es un homeomorfismo. Si definimos en K la ley de composición 1 ‰ 1" œ 78 ß 3. ‰ 77 ß 3. œ 78 ‰ 77 ß 3. se obtiene que K es un grupo. Consideremos las órbitas de cada p B − d ‚ dß p B œ Bß C K B œ Ö1ˆp B ‰ œ 1 Bß C œ B 8ß C Î1 − K× œ Ö B 8ß C Î8 − ™× Por lo tanto d‚d d µ " K œ ™ ‚d µ W ‚d Teniéndose que el cilindro también es un caso particular del presente problema. 11. Sean 0 ß 1 À \ ] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado en \ . ¿Es esencial en ] que sea Hausdorff ? SOLUCIÓN. 3) Sea I œ ÖB − \à 0 B œ 1 B ×. I es cerrada Í CI es abierto, donde CI œ ÖB − \à 0 B Á 1 B ×Þ Sea B − CI ß entonces, 0 B Á 1 B , ] siendo de Hausdorff, existen E" ß E# abiertos de ] tales que 0 B − E" ß 1 B − E# y E" ∩ E# œ ø. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 62 Como 0 ß 1 À \ ] son aplicaciones continuas, se sigue que 0 " E" y 1" E# son abiertos en \ por ser imagenes recíprocas de abiertos por aplicaciones continuas. Sea F œ 0 " E" ∩ 1" E# , F Á ø pues B − F y F es abierto por ser la intersección de dos abiertos. Veamos que F § CI , en efecto para todo D − F entonces 0 D − E" y 1 D − E# como E" ∩ E# œ ø se sigue que 0 D Á 1 D esto implica que D − CI Þ Luego para todo B − CI ß existe F abierto en \ tal que B − F § CI entonces CI es abierto por lo tanto I es cerrado. 33) Veamos que la condición de ser ] Hausdorff no puede eliminarse. Basta dar un ejemplo, sea ] œ Ö!ß "ß #× y \ œ dß 7] œ Ö] ß øß Ö!×× una topología en ] . Se definen ! ß si B ! !ß si B ! 0 À\ œd ] ß0 B œœ ß 1À\ ], 1 B œœ "ß si B Ÿ ! #ß si B Ÿ ! " " 0 y 1 son continuas, ya que 0 Ö!× œ !ß ∞ ß 0 ] œ d œ \ß 0 " ø œ ø y 1" Ö!× œ !ß ∞ ß 1" ] œ \ß 1" ø œ ø, que son abiertos. Sea E œ ÖB − d œ \Î0 B œ 1 B × œ !ß ∞ que es abierto en \ . Obsérvese que ] con esa topología no es Hausdorff. Si la hipótesis de ] ser Hausdorff no fuese esencial, deberíamos tener E cerrado en \ ya que 0 ß 1 À \ ] son continuas y como se vió E es abierto, pero esto es una contradicciónpo pues d no puede tener subconjuntos propios que sean abiertos y cerrados a la vez ya que d es conexo . 12. Primera parte:La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ goza de las siguientes propiedades: "Ñ ø œ ø, #Ñ W § Wß $Ñ W œ Wß %Ñ W ∪ X œ W ∪ X SOLUCIÓN. ")Þ Sea \ un espacio topológico entonces \ es un abierto de la topología, C\ su complemento es un cerrado de la topología, así, ø œ C\ es cerrado. Sabemos que si J § \ es cerrado entonces J œ J y recíprocamente, por lo tanto como ø § \ y ø es cerrado entonces ø œ ø. #)Þ Sea B − W § \ , como \ es abierto, existe Y B vecindad de B tal que Y B § \ y B − Y B ; como B − W se sigue que B − Y B ß y, W ∩ Y B Á øß por lo tanto B − W , o sea W § W . $)Þ Sabemos que W es el menor cerrado que contiene a W por lo tanto W es cerrado, además W § \ por lo tanto por un resultado básico ¿cuál? se sigue que W œ WÞ %)ÞSea B − W ∪ X entonces existe Z vecindad de B en \ tal que B − Z y Z ∩ W ∪ X Á ø, ahora Z ∩ W ∪ X œ Z ∩ W ∪ Z ∩ X Á ø, esto impica que B − Z y, Z ∩ W Á ø , ” , Z ∩ X Á øß o sea B − Z • Z ∩ W Á ø ” B − Z • Z ∩ X Á ø de donde B − W ” B − X Í B − W ∪ XÞ Recíprocamente que B − W ∪ X Í B − W ” B − X entonces para toda Z" vecindad de B y Z# vecindad de B en \ , se tiene que B − Z" • Z " ∩ W Á ø ” B − Z # • Z # ∩ X Á ø . Esto es equivalente a B − Z œ Z" ∩ Z# • Z ∩ W Á ø ” Z ∩ X Á ø Darío Sánchez H. 63 TOPOLOGIA GENERAL o sea que B−Z • Z ∩W ∪ Z ∩X Á ø ÍB−Z •Z ∩ W ∪X Á ø Luego B − W ∪ X . De donde se concluye que W ∪ X œ W ∪ X Þ Segunda parte: Estas propiedades implican sin retomar la defición que si W § X entonces W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto, supongamos definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las siguientes cuatro propiedades de la primera parte. Defina un subconjunto E § \ como si \ E œ \ E. Muéstrese que se obtiene así una topología en \ , relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto W coincide con el subconjunto W dado inicialmente. SOLUCIÓN. 3). Como W § X entonces W ∪ X œ X por lo tanto W ∪ X œ X pero W ∪ X œ W ∪ X entonces W ∪ X œ X ß luego W § W ∪ X œ X . 33). Ú ÚW ∩ X § W W ∩X §W • ÊÛ Ê W ∩ X ∩ W ∩ X § W ∩ X , o sea que W ∩ X § W ∩ X . Û W ∩X §X Å Ü 3 ÜW ∩ X § X 333)Þ Sea : À P \ P \ . Sea 7 œ eE § \à : \ E œ : CE œ CEf, 7 W È W es una topología en \ , en efecto, + Como : ø œ Cø œ \ œ \ œ \ø œ Cø • ø § \ entonces ø − 7 . : \ œ C\ œ ø œ ø œ C\ Ê \ − 7 . Å " , Sea ÖE3 ×3−M una familia de elementos de ∪ E3 § \ 3−M Luego :Š\ ∪ E3 ‹ œ C ∪ E3 œ ∩ 3−M 3−M :Š\ ∪ E3 ‹ § 3−M 3−M 7 o sea E3 § \ ß a3 − M ; por lo tanto C E3 § C E3 œ CE3 ß a3 − M E3 ‹ ∩ CE3 œ CŠ3 ∪ −M 3−M M Recíprocamente por la condición # tenemos que CŠ ∪ E3 ‹ œ \ ∪ E3 § \ ∪ E3 œ :Š\ de M MM tenemos que :Š\ 3−M 3−M E3 ‹ ∪ E3 ‹ œ CŠ3 ∪ −M 3−M 3−M - Sean E" ß E# ß á ß E8 , 8 elementos en a3 œ "ß #ß á ß 8 entonces :Œ\ ∩ E3 8 3œ" Luego œ CŒ 8 ∩ • MM ∪ E3 − 7 3−M 7 , entonces 8 ∩ E3 − 7 3œ" ya que E3 § \ , E3 § \ y 3œ" 8 ∪ E3 ‹ 3−M ∩ E3 3œ" œ 8 ∪ CE3 3œ" œ Å % CE3 œ CŒ ∩ E3 ∪ CE3 œÅ 3 ∪ 3œ" œ" 3œ" 8 8 E3 − 7 8 . Darío Sánchez H. 64 TOPOLOGIA GENERAL : Œ\ 8 ∩ E3 3œ" œ CŒ 8 ∩ E3 3œ" Ê 8 ∩ E3 − 7 . 3œ" Por lo tanto 7 es una topología sobre \Þ . Para todo E § \ , : E es cerrado en \ , porque C: E es abierto ya que :Ò\ C: E Ó œ C C : E œ : E œ ˆE‰ œ E œ: E Å $ Como E § : E entonces E § : E , por ser : E cerrado contenido en E (E es intersección de todos los cerrados que contienen a E). Siempre E es cerrado, en consecuencia CE es abierto en \ß entonces por la definición de 7 entonces :ÒCˆCˆE‰‰Ó œ CCE œ E entonces :ˆE‰ œ EÞ Como E § E Ê : E § :ˆE‰ œ Eß entonces : E § E. Por lo tanto tenemos que : E œ E. 13. Sea 0 À \ ] una aplicación continua de \ sobre ] . Con el objeto de que 0 sea cerrado es necesario y suficiente que para cada C − ] y todo Y en \ con 0 " C § Y , existe un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y . SOLUCIÓN. Ê Ñ Supóngase 0 cerrado y sea C − ] cualquiera para todo abierto Y de \ con 0 " C § Y tenemos que C\ Y es cerrado en \ , de donde 0 C\ Y es cerrado en ] ß y , C  0 C\ Y , entonces C] 0 C\ Y es abierto en ] . Por lo tanto tomando Z œ C] 0 C\ Y ß C − Z y además ‡ 0 Z œ 0 C ] 0 C\ Y œ C\ 0 0 C\ Y § C\ C\ Y œ Y " " C\ Y § 0 0 C\ Y Ê C\ 0 0 C\ Y § C\ C\ Y Luego para todo C − ] , y todo Y − 7\ con 0 " C § Y , basta tomar Z œ C ] 0 C\ Y . É ) Recíprocamente, sea J cerrado en \ de donde 0 J § ] , queremos probar que 0 J es cerrado, vemos por consiguiente que C] 0 J es abierto. Sea C − C] 0 J § ] entonces 0 " C § 0 " C] 0 J œ C\ 0 " 0 J " Como 0 " 0 J ¨ C\ J es abierto así J entonces 0 C § C\ J como J es cerrado " por la condición (de la hipótesis) existe Z tal que C − Z y 0 Z § C\ J o sea que 0 " Z ∩ J œ øÞ Se afirma que Z ∩ 0 J œ ø, porque si Z ∩ 0 J Á ø entonces b- − Z ∩ 0 J Í - − Z ß • ß - − 0 J o sea que bB − J tal que - œ 0 B − Z • B − J entonces bB − J tal que B − 0 " Z • B − J o sea que 0 " Z ∩ J Á ø, lo cualpo es contradictorio así Z ∩ 0 J œ ø, en total se tiene C −Z •Z § C] 0 J así que C] 0 J es abierto. Luego 0 es cerrado. ÐVer otra demostración por un método diferente en el problema 87) " ‡ " " Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 65 14. Sea 0 À \ ] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada punto C − ] , es un subconjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 0 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2, entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es un subconjunto abierto de ^ . Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicacción continua µ 1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ 1 œ 1. Concluya que si ^ es conexo y \ de Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto D! − ^ß coinciden en todos los puntos de ^Þ 0 " C ß aC − ] , es un subconjunto discreto de \ . Como C − ] y 0 SOLUCIÓN. + es un homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 0 lY À Y 0 Y es un homeomorfismo, y C − 0 Y . Ahora 0 " C ∩ Y œ ÖB× porque si existiera otro B" Á B tal que B" − 0 " C ∩ Y entonces B" − Y • B" − 0 " C Ê B" − Y • 0 B" œ C por otra parte B − Y ∩ 0 " C Ê B − Y • 0 B œ C o sea B" ß B − Y ß B Á B" • 0 B" œ 0 B œ C entonces 0 no es un homeomorfismo de 0 lY À Y 0 Y , lo cual po es contradictorio. Por lo tanto 0 " C es un subespacio discreto de \Þ , Dadas 1ß 2 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es abierto en ^ . Sea : − ÖD − ^à 1 D œ 2 D × œ ^" , se debe hallar un abierto Z de ^ tal que : − Z § ^" Þ Con tal fin, se aplica a :ß 0 ‰ 1 para obtener 0 1 : − ] ß como 0 es un homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 1 : − Y y 0 lY À Y 0 Y es un homeomorfismo. Como 2 : œ 1 : ya que : − ^" , así que 2 " Y ∩ 1" Y Á ø • : − 2 " Y ∩ 1" Y Como 2ß 1 son aplicaciones continuas y Y abierto en \ entonces 2 " Y ß 1" Y son abiertos en ^ (se supone que \ß ] ß ^ son espacios topológicos) por lo cual "2 " Y ∩ 1" Y es abierto en ^ ". Veamos finalmente que 2 " Y ∩ 1" Y § ^" , en efecto sea D − 2 " Y ∩ 1" Y ß entonces 2 D − Y • 1 D − Y ß ahora 0 2 D −0 Y •0 1 D −0 Y y 0 ‰2 œ0 ‰1 así que 0 2 D œ 0 1 D y como 0 es un homeomorfismo se tiene que 2 D œ 1 D Ê D − ^" Basta por lo tanto tomar Z œ 2 " Y ∩ 1" Y Þ 2. - Si 1ß 2 À ^ ] son levantamientos tales que 1 D! œ 2 D! entonces 1 œ Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 66 Sea ^" œ ÖDÎ2 D œ 1 D ×, ^# œ ÖDÎ2 D Á 1 D ×. Se tiene: ") Þ ^" Á ø puesß D! − ^" Þ µ #)Þ ^" es abierto, ya que, ^" œ ÖDÎ 0 ‰ µ 1 D œ Š0 ‰ 2 ‹ D × µ Sea : − ^" Í 0 µ 1 : œ 0 Š 2 : ‹, como 0 es un homeomorfismo local existe Y abierto en \ tal que µ 1 : − Y y 0l À Y 0 Y es un homeomorfismo, tomando como en , se obtiene que Y µ " Z œ2 Y ∩µ 1 " Y µ " :−2 Y ∩µ 1 " Y § ^" $)Þ Sea ^# œ ÖD − ^Î1 D Á 2 D ×, ^# es abierto µ Sea D − ^# Í 1 D Á 2 D de donde se tiene que 0 µ 1 D Á 0 Š 2 D ‹, como \ es µ un espacio de Hausdorff existen [" ® µ 1 D y [2 ® 2 D tales que [" ∩ [# œ ø. Ahora como 0 es un homeomorfismo local se sigue que 0 l[" À [" 0 [" • 0 l[# À [# 0 [# son homeomorfismo por lo tanto 0 [" ∩ 0 [# œ ø y µ 0 µ 1 D œ 1 D − 0 [" • 0 Š 2 D ‹ œ 2 D − 0 [ # tomando Z œ 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# se tiene: 3) Z es abierto, ya que 1ß 2 son continuas, 0 [" ß 0 [# son abiertos en ] y la intersección de dos abiertos en ^ es abierto. 33) Como 1 D − 0 [" • 2 D œ 0 [# se sigue que D − 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# œ Z 333) Z § ^# en efecto; sea : − Z œ 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# , entonces : − 1" 0 [" • : − 2 " 0 [# Í 1 : − 0 [" • 2 : − 0 [# como 0 [" ∩ 0 [# œ ø entonces 1 : Á 2 : Í : − ^# . %)Þ ^ œ ^" ∪ ^# , ^" Á øß ^" ß ^# son abiertos disyuntos. Como ^ es conexo se sigue 2. que ^# œ ø. Por lo tanto ^ œ ÖDÎ1 D œ 2 D × o sea 1 œ 15.Para que \ sea un espacio de Hausdorff, es necesario y suficiente que la diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎB œ C× sea un subconjunto cerrado de \ ‚ \ . Otra condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las vecindades cerradas de B. Darío Sánchez H. 67 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. + Ê Ñ \ es espacio de Hausdorff entonces aB − \ , aC − ] con B Á C existen Z − µ B , b[ − µ C tales que Z ∩ [ œ ø Ê Z ‚ [ œ ø de donde Z ‚[ ∩?œø porque si Z ‚ [ ∩ ? Á ø, existe Bß C − Z ‚ [ • Bß C − ? entonces B − Z , C − [ • Bß C − ? Ê B − Z • B œ C − [ Ê B − Z ∩ [ lo cual po es contradictorio ya que Z ∩ [ œ ø. Como Z ‚ [ es una vecindad de Bß C en \ ‚ \ y Z ‚ [ § C?, entonces C? es abierto por lo tanto ? es cerrado en \ ‚ \ . É Ñ Supongamos que ? es cerrado, sean Bß C − \ tales que B Á C así que Bß C  ? ‰ entonces Bß C − C? œ Cs? entonces existe un abierto Q tal que Bß C − Q § C?, Q puede ser elegido como un abierto elemental o sea bZ − µ B ß b[ − µ C tales que Q œ Z ‚ [ así ZB ‚ [C § C? Í Z ‚ [ ∩ ? œ ø entonces Z ∩ [ œ ø, así, bZ − µ B • b[ − µ C tal que Z ∩ [ œ ø de donde \ es un espacio de Hausdorff. , Supóngase \ espacio de Hausdorff, Bß C − \ tales que B Á C por consiguiente existen Z ® B abierto y [ ® C abierto tales que ZB ∩ [C œ øß entonces ZB § C[C como ZB es el menor cerrado que contiene a ZB se sigue que ZB § ZB § C[C entonces C  ZB ß aC Á Bß así C  ∩ ZB ß B Á C Ê ∩ ZB œ ÖB× B − ZB porque si ∩ B−Z entonces B−Z ZB œ ÖB,B" × y B Á B" Ê bZB ß bZB" ÎZB ∩ ZB" œ ø ZB § ZB § CZB" Ê bZB ÎB"  ZB • B" − ∩ B − ZB ZB esto po es contradictorio. É Ñ Recíprocamente sea B Á C en \ entonces existe ZB vecindad tal que C  ∩ ZB ß o sea cŠC − ∩ ZB ‹ Í cˆaZB ß C − ZB ‰ Í bZB tal que C  ZB B−Z entonces, B−Z bZB tal que C − CZB . Como CZB es abierto entonces b[C abierto tal que C − [ § CZB Þ Así. bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C § ZB ∩ CZB œ ø, o sea bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C œ ø. De donde \ es un espacio de Hausdorff. Darío Sánchez H. 16.Sea Q TOPOLOGIA GENERAL 68 8 el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8 columnas. Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio euclidiano d 8 . Por medio de esa correspondencia, vuelva a Q 8 un espacio métrico. Las aplicaciones ./> À Q 8 d ,y, 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 , definidas por ./> \ œ determinante de la matriz \ y 7 \ † ] œ \ † ] œ producto matricial de \ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " ß es continua. El conjunto b 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa es igual a la transpuesta) es acotada en Q 8 . El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es ! es abierto y cerrado en K 8 Þ ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ? SOLUCIÓN. + Construcción de la correspondencia biunívoca. Q 8 es espacio métrico. Sea Ô +"" + "# á +"8 × Ö +#" +## á +#8 Ù Ö Ù +34 œ E œ Ö +$" +$# á +$8 Ù Ö Ù ã ã ä ã Õ +8" +8# á +88 Ø # Se define # 0 ÀQ 8 d8 E È Ð"<+ columna de Eß #.+ columna de Eß á ß 8é=37+ columna de EÑ œ œ +"" ß +#" ß á ß +8" ß +"# ß +## ß á ß +8# ß á ß +"8 ß +#8 ß á ß +88 Es claro que 0 esta bien definida, ya que si +34 œ ,34 Í +34 œ ,34 para todo 3 œ "ß #ß á ß 8 y todo 4 œ "ß #ß á ß 8 luego 0 +34 œ 0 ,34 Þ 0 es inyectiva, pues si +34 Á ,34 entonces para algún 3ß 4ß +34 Á ,34 entonces 0 +34 tiene la 8ß 4 " ésima coordenada diferente de la 8ß 4 " ésima coordenada de 0 ,34 de donde +34 Á ,34 Ê 0 +34 Á 0 ,34 . 8# 0 es sobre, pues para todo T − d , existe una matriz E, 8 ‚ 8 con las siguientes características: + "/<+ columna de E es formada por las coordenadas " p 8-ésima de T ß + #.+ columna de E es formada por las coordenadas, 8 " p #8-ésima de T ã ã ã ã ã + é=37+ 8 columna de E es formada por las coordenadas, 8 8 " p 8# -ésimas de T . Entonces 0 E œ T Þ # Así 0 es una correspondencia biunívoca entre Q 8 y d 8 . Dados E œ +34 y F œ ,34 en Q 8 tomemos . w Eß F œ . 0 E ß 0 F œ . +"" ß á ß +34 ß á ß +88 œ maxÖl+34 ,34 là 3 "ß 4 Ÿ 8× # donde . es una de las métricas del espacio euclidiano d 8 Þ Como 0 es biunívoca y # d 8 es un espacio métrico con . , entonces . w es una métrica en Q 8 llamada Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 69 métrica inducida por la aplicación 0 luego Q 8 ß . w es un espacio métrico. Notemos que 0 es una isometría por lo tanto 0 es un homeomorfismo. , Las aplicaciones ./> À Q 8 d y 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 definidas por ./> \ œ determinante de la matriz \ , 7 \ß ] œ \ † ] œ producto matricial , son continuas ./> À Q 8 d \ œ B34 È ./>\ Sabemos que ./>\ œ " 3" â38 "Ÿ35 Ÿ8 B"3" † B#3# † â † B838 ß y siß 6 Á 5 Ê 36 Á 35 Como el producto y la suma en d son funciones continuas se sigue que determinante es una función continua. 7ÀQ 8 ‚Q 8 Q 8 dada por 7 \ß ] œ \ † ] . Q 8 es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales de dimensión 8# y el producto es bilineal en Q pues 7 -E .Fß G œ -E .F † G œ - E † G . F † G œ œ -7 Eß G .7 FÞG con -, . − d 7 Eß -F .G œ E † -F E † .G œ - E † F . E † G œ -7 Eß F . Eß G siendo 7 bilineal por lo tanto es continua. - El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 que poseen inversa, es abierta en Q 8 . Sea E − Q 8 ß E es inversible Í ./>E Á !, así ./> À Q 8 d es una aplicación continua y ./>" d Ö!× œ K 8 . Siendo d Ö!× abierto en d y K 8 la imagen recíproca de un abierto en d por la continuidad de la función ./> se sigue que K 8 es un abierto en Q 8 . . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " es continua. Sabemos que < \ œ \ " œ Š " 34 ./> \34 ./> \ ‹ > donde \34 es la matriz obtenida de \ excluyendo la 3-ésima fila y la 4-ésima columna. Sean >ÀK 8 K 8 , T- À K 8 K 8 ß -−d \ È \> \ È -\ La aplicación > que lleva \ en su transpuesta es continua (más abajo en / se puede apreciar mejor este hecho) T- la aplicación que lleva \ en la multiplicación por un escalar -\ es continua, pues es una homotecia. Sea \34 ‡ la matriz cofactor 34 de \ , tenemos la siguiente descomposición 8# @/-/= èëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëê K 8 K 8" ‚K 8" ‚â ‚K 8" ‚â‚K 8" \ È \"" ß \#" ß á ß \34 ß á ß \88 p ./>ß ./>ß á ß ./>ß á ß ./> œ ./> # d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8 ./>\"" ß ./>\#" ß á ./>\34 ß á ß ./>\88 p =31ß =31ß á ß =31ß á ß =31 œ =31 # d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8 Darío Sánchez H. ˆ " "" ./>\"" ß " #" ./>\#" ß á ß " 0 " K 8 ˆ " 34 ./>\34 ‰ " " T ./>\ œ T- ß - œ ./>\ > K 8 K 8 " ˆ ./>\ ‡ 70 TOPOLOGIA GENERAL " \34 − K 8 " Entonces 34 ./>\34 ‰È Š " a3ß a4Þ ./>\34 ‹ ./>\ 34 < œ>‰T " ./>\ 34 ./>\34 ß á ß " 88 ./>\88 ‰ > p p ‰ ./> ‰ 0 " ‰ =31 ‰= < es por tanto continua, ya que es una composición de aplicaciones continuas. / El conjunto b 8 de matrices ortogonales es acotado y cerrado en Q 8 . Sea R − b 8 entonces R † R > œ M , o sea Ô 8"" á 834 á 8"8 × 8 á 83" á 88" × ä ã ä ã Ù Ô "" Ö ã 8 Ö Ù Ö 8"# á 83# á 88# Ù 834 † 834 Ö 83" á 834 á 838 Ù † Ö Ùœ ã ä ã ä ã Ö Ù 4œ" ã ä ã ä ã Õ 8"8 á 838 á 888 Ø Õ 88" á 884 á 888 Ø Ô" Öã Ö œ Ö! Ö ã Õ! entonces á ä á ä á ! ã " ã ! á ä á ä á !× ãÙ Ù !Ù Ù ã "Ø 8 8 8#34 # 834 œ! œ "ß 3 œ "ß #ß á ß 8 • 4œ" 4œ" 3Á4 de donde se recibe: l834 l Ÿ "ß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8 Entonces si Q œ 734 ß R œ 834 son matrices de b 8 se debe tener l734 l Ÿ " y l834 l Ÿ " para 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8 de donde se tiene que . w Q ß R œ supÖl734 834 lß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8× Ÿ #Þ Como Q y R son elementos arbitrarios de b 8 se sigue que b 8 es acotado. Observemos ahora que la aplicación Q 8 > R 8 R È R> Darío Sánchez H. 71 TOPOLOGIA GENERAL es continua; ya que, dado % !ß existe $ œ % ! tal que para todo Q − Q 8 con . w Q ß R $ Ê . w Q > ß R > %, pues lQ l œ lQ > lß aQ − Q 8 Þ Sea ahora 7 Q 8 X Q 8 ‚Q 8 Q 8 > ˆ ‰ È Rß R R È R † R> Sea M la matriz identidad. Como X œ 3.ß > y 3.ß > son funciones continuas se sigue que X es continua. ÖM× es un conjunto cerrado en Q 8 ß ahora 7 ‰ X " ÖM× œ b 8 Þ Siendo 7 y X funciones continuas se sigue que 7 ‰ X es continua, luego b 8 es cerrado ya que es la imagen recíproca de un cerrado por una aplicación continua. 0 El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es ! es abierto y cerrado en K 8 Þ E − K 8 Í ./> E ! Sea ./> À K 8 d Ö!× œ ∞ß ! ∪ !ß ∞ una función continua, pues es la restricción de ./> À Q 8 d a K 8 § Q 8 y esta aplicación es continua. Ahora ./>" !ß ∞ œ K 8 y siendo !ß ∞ un subconjunto abierto y cerrado de d Ö!×ß y la aplicación ./> continuaß entonces se sigue que K 8 es un subconjunto abierto y cerrado de K 8 . 1 ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ? No, pues ./> À Q 8 d es continua y K 8 œ ./>" !ß ∞ , como !ß ∞ es abierto en d y K 8 es la imagen inversa por una aplicación continua de un abierto de d , se sigue que K 8 es un abierto de Q 8 . K 8 Á ø pues M − K 8 . Q 8 K 8 Á ø ya que K 8 § Q 8 y K 8 ∩ K 8 œ øÞ Si K 8 fuera cerrado en Q 8 tendríamos en Q 8 un subconjunto abierto y cerrado diferente del vacío esto implicaría que Q 8 no es conexo, esto es absurdo # ya que Q 8 es homeomorfo a d 8 que es conexo por tanto Q 8 es conexo. Recuérdese que en la parte + se mostró que la correspondencia biunívoca 0 es una isometría ya que . w Eß F œ . 0 E ß 0 F por lo tanto 0 es un homeomorfismo. 17.Para todo subconjunto no vacío W de un espacio métrico Q y todo + − Q entonces . +ß W œ . ˆ+ß W ‰. . +ß W œ ! œ . ˆ+ß W ‰ se tendría trivialmente la SOLUCIÓN. Si + − W § W entonces igualdad. Si +  W , sabemos de la propiedad triangular de la métrica . que . +ß C Ÿ . +ß B . Bß C ß por lo tanto aB − Wß aC − W Darío Sánchez H. 72 TOPOLOGIA GENERAL inf . +ß C Ÿ . +ß B inf . Bß C ß aB − W C−W C−W o sea que . +ß W Ÿ . +ß B . Bß W ß aB − W pero si aB − W entonces . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto . +ß W Ÿ . +ÞB ß aB − W de donde . +ß W Ÿ . ˆ+ß W ‰ " Recíprocamente, de la propiedad triangular de . se recibe; . +ß C Ÿ . +ß B . Bß C ß aB − Wß aC − W entonces inf . +ß C Ÿ . +ß B inf . Bß C C−W C−W aB − W como B − W § W Ê . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto . ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß B ß de donde aB − W . ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß W # Luego de " y # se tiene la igualdad . +ß W œ . ˆ+ß W ‰. 18.Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si \ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Si K § \ ‚ \ es un conjunto cerrado, todo punto en \ÎI es cerrado pero no se puede garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea, Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de Hausdorff. SOLUCIÓN. + Si \ÎI es cerrado, entonces K es un conjunto cerrado de \ ‚ \ . Sea : À \ \ÎI la aplicación canónica. Sea < œ :ß : À \ ‚ \ \ÎI ‚ \ÎI y ? § \ÎI ‚ \ /I la diagonal, entonces se tiene que K œ <" ? , en efecto <" ? œ Ö Bß C − \ ‚ \Î : B ß : C − ?× œ Ö Bß C − \ ‚ \Î: B œ : C × œ Darío Sánchez H. 73 TOPOLOGIA GENERAL • • œ š Bß C − \ ‚ \Î ÒBÓ œ ÒCÓ › œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× œ KÞ Como : es continua por consiguiente < œ :ß : es continua y <" ? es cerrado ya que ? es cerrado puesto que \ÎI es un espacio de Hausdorff. Luego el gráfico de I es un conjunto cerrado. , Si K § \ ‚ \ es cerrado entonces todo punto de \ÎI es cerrado, pues • − \ÎI ß por lo tanto :" ÒBÓ • œ :" : B œ =+> B . Como K es cerrado entonces ÒBÓ • es cerrado =+> B es cerrado. Como :" es continua se sigue que ÒBÓ - Que el punto de \ÎI es cerrado, no garantiza que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún que \ lo sea. Basta tomar un espacio topológico de Hausdorff \ no regular tal que si +  J es un punto de \ß entonces toda vecindad de + encuentra a toda vecindad de J Þ Sea I la relación de equivalencia definida, identificando entre sí, todos los puntos de J Þ El gráfico de la relación es dada por K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎB œ C× ∪ J ‚ J Como J es cerrado y J ‚ J =J ‚ J , entonces J ‚ J es cerrado, así K es cerrado. • Como J y • B con B  J no se pueden separar, se sigue que \ÎI no es un espacio de Hausdorff. . Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es Hausdorff. Como I es una relación abierta la aplicación 0 À \ÎI ‚ \ÎI \‚\ Î I‚I es un homeomorfismo, ya que la relación I ‚ I es definida como en el álgebra 0 • B œ0 • C ß 0 es continua y abierta, basta considerar la descomposición canónica y aplicar este resultado: "Sean \ß ] dos espacios topológicos, 0 À \ ] una aplicación continua, V la relación de equivalencia 0 B œ 0 C en \ß : 2 3 \ \ÎV 0 \ ] la descomposición canónica de 0 . Las tres propiedades siguientes son equivalentes: 3) 0 es un aplicación abierta. 33) Las tres aplicaciones :ß 2ß 3 son abiertas. 333) La relación de equivalencia V es abierta, 2 es un homeomorfismo y 0 \ es una parte abierta de ] Þ" Ahora ?\‚\œ µ \‚\ œ Ö : B ß : C Î: B œ : C × § I I I‚I \‚\ I‚I Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× y tomemos su saturado E œ =+> K œ <" < K Þ Afirmación ". ? œ < E œ < =+>K En efecto, < =+>K œ < <" < K como < es sobreyectiva entonces < =+>K œ < K œ Ö : B ß : C Î Bß C − K× œ Ö : B ß : C ÎBIC× œ Ö : B ß : C Î: B œ : C × œ ? #Þ Como I es abierta y E saturado entonces < E œ < E . En efecto, como E es saturado implica que < E sea cerrado en \ÎI como E § E ˆ ‰ ˆ ‰ entonces < E § < E por lo tanto < E § < E pero < es continua entonces <ˆE‰ § < E . Luego < E œ < E . En total se tiene Darío Sánchez H. 74 TOPOLOGIA GENERAL ? œ < =+>K œ < =+>K œ < K Luego ? es cerrado y \ ÎI es un espacio de Hausdorff. 19. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada una descomposición R œ R" ∪ â ∪ R: donde R" ß á ß R: son infinitos disyuntos, si las subsucesiones convergen todas para el mismo límite + − Q entonces ÖB8 ×−R converge para +. ¿Es este resultado aún verdadero, en el caso de una descomposición infinita R œ R" ∪ â ∪ R: ∪ â?. SOLUCIÓN. + Sabemos que ÖB8 ×−R3 Ä + con R œ R" ∪ â ∪ R 3 ∪ â ∪ R: esto significa que: existe 3 Š Dado %3 ! ‹Š R 3 Îa8 − R! ß . B8 ß + %3 ‹ ÖB8 ×8−R" ß ÖB8 ×8−R# ß á ß ÖB8 ×8−R : ! Tomando 8! œ maxÖR!" ß R!# ß á ß R!: × tenemos que Œ H+.9 /B3=>/ ‚a8 8! ß . B8 ß + % Œ % œ %" œ â œ % 3 8! œ maxÖR!" ß á ß R!: × Por lo tanto ÖB8 ×8−R converge para + − Q Þ , No es verdadero el resultado, ya que tomando : œ Ö"ß :ß :# ß á ß :8 ß á × con : número primo, " œ : ß a:Þ Obtenemos œ " ∪ # ∪ $ ∪ & ∪ â es una descomposición infinta de en subconjuntos disyuntos infinitos. Tomando la siguiente sucesión ÖB8 ×8− œ œ 8: " 8 si 8 − " si 8 − : Tenemos que ÖB8 ×8− : œ Ö 8: ×8−: œ Ö :" ß :: ß ::# ß á × œ Ö:ß "ß :"# ß :"$ ß á × Por lo tanto ÖB8 ×8−: Ä ! y se tiene que todas las sucesiones ÖB8 ×8− " ß ÖB8 ×8−# ß ÖB8 ×8−$ ß á son todas convergentes para el mismo + œ !. Pero ÖB8 ×8− tiene la sucesión Ö"ß #ß $ß &ß (ß ""ß "$ß á × que no es convergente (es divergente más aún) para !, por lo tanto ÖB8 ×8− no es convergente. 20.Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada cualquier aplicación biunívoca : À la sucesión C8 œ B: 8 también converge en Q y se tiene lim C8 œ lim B8 . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de que : sea 8Ä∞ 8Ä∞ biunívoca? SOLUCIÓN. + Sea " œ : œ Ö: 8 Î8 − × § , así ÖC8 ×8− œ ÖB: 8 ×8− œ ÖB8 ×8−" Darío Sánchez H. 75 TOPOLOGIA GENERAL o sea que ÖB8 ×8− " œ ÖC8 ×8− es una subsucesión de ÖB8 ×8− . Como ÖB8 ×8− converge para + œ lim B8 . Sabemos que toda subsucesión de una sucesión 8Ä∞ convergente, es covergente y tiene el mismo límite de la sucesión considerada, se sigue que toda subsucesión de ÖB8 ×8−R converge para + por lo tanto ÖB: 8 ×8−R converge para +, o sea se tiene que lim C8 œ lim B8 Þ. 8Ä∞ 8Ä∞ , Ejemplo: Sea Ö:" ß :# ß :$ ß á × œ Ö#ß $ß &ß (ß á × una enumeración en orden creciente de los números primos, y tomemos: R" œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" R # œ $ R " œ : # R " ã R5 œ : 5 5 ∪ R5 . 3œ" Tenemos entonces que œ ∞ ∪ R5 y que los R3 son infinitos y disyuntos. BÀ d definida por Š B5 œ!ß si 5ÂÖ: "ß: #ßá× ‹. " # 5 8 È B 8 œ B8 Entonces ÖB8 ×8−R3 converge para !, aR3 , pues cada R3 sólo tiene un número primo :3 Þ Pero ÖB8 ×8− no converge para ! pues existen números primos arbitrariamente grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad. - Consideremos el siguiente ejemplo: Sea ÖC8 ×8− œ ÖB:" ß B:# ß á ß B:8 ß á × donde :À C8 œ B: B œ B8: por lo tanto por el ejercicio en cuestión la parte + 8È 8 : ÖC8 ×8− es convergente y su límite lim C8 œ lim B8 o sea que lim B:8 œ lim B8 .Þ Tomamos ahora 5œ" B œ"ß si 5−Ö: ß: ßá× 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 21.Sea d el conjunto de los números reales y el conjunto de los números racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales es cerrado en µ à d pero las sucesiones convergentes de números racionales no forman un conjunto cerrado de µ à . En cualquier espacio métrico Q , sin embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite es continua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes como subespacio de µ R à Q ]. SOLUCIÓN. + Sean \ œ µ à d œ Ö0 À dÎ0 es acotada× y X œ Ö0 − µ à d Î0 es convergente× X es cerrado: Con tal propósito veamos que \ X es abierto, sea : − \ X Í : œ ÖB8 ×8− es una sucesión divergente lo cual es equivalente a decir que existe % !, tal que para todo 8! − existe 8" 8! de manera que . B8! ß B8" %Þ Sea F ˆ:ß $% ‰ una bola centrada en : y radio $% mostremos que F ˆ:ß $% ‰ § \ X , en efecto, sea : − F ˆ:ß $% ‰ Í ; œ ÖC8 ×8− y . :ß ; œ . ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− $% o sea que Darío Sánchez H. 76 TOPOLOGIA GENERAL sup . B8 ß C8 $% Í . B8 ß C8 $% ß a8 − 8− Por otro lado tenemos % Ÿ . B8! ß B8" Ÿ . B8! ß C8! . C8! ß C8" . C8" ß B8" Ÿ $% . C8! ß C8" o sea, se tiene que %‰ ˆ IB3=>/ ‰ T +<+ >9.9 ˆ %! Š 8! − ‹ b8" 8! tal que . C8! ß C8" $ % $ entonces ÖC8 ×8− es divergente, por lo tanto ; œ ÖC8 ×8− − \ X ß • ß \ X es abierto. Luego X es cerrado. , Basta que el conjunto de las sucesiones divergentes no sea abierto, para que el conjunto de las sucesiones convergentes no sea cerrado. Tomemos el siguiente ejemplo : /B3=>/ " % ˆ H+.9 ‰ : %! Š ; Ÿ % el mayor número racional menor o igual a %‹Š 8! − Î 8! #; # ‹ Tomando Ú B" œ Ý Ý Ý Ý Ý B# œ : #; : #; : #; Ú C" œ Ý Ý Ý C# œ œÛ ã Ý Ý Ý Ü C8 œ " #8! # $8! ÖB8 ×8− œ Û B$ œ ß yß ÖC8 ×8− Ý Ý Ý ã Ý Ý : Ü B8 œ #; " 8 8" 88! Entonces dado % ! tenemos que ÖC8 ×8− − F ÖB8 ×8− à % : #; : #; " #8! : #; 8" 88! pues . ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− œ supÖlC8 B8 là 8 − × Ÿ % : y ÖC8 ×8− es convergente, pero ÖB8 ×8− no es convergente pues para ! $ #; ßy para todo 8! − , existe 8" − tal que . B8! ß B8" $ , luego el conjunto de las sucesiones de números racionales no forman un conjunto cerrado de µ à . - Sea E œ ÖÖ3B8 ×8− à 3B8 − y 3B8 Ä 3B − Q ×. Sea 0 À E Q vemos que 0 es Ö3B8 ×8−È 3B continua en el punto Ö3B8 ×8− , esto es dado % !, existe $ ! tal que . Ö4B8 ×8− à Ö3B8 ×8− $ Ê . 3B ß 4B % Sabemos que M• . Ö4B8 ×ß Ö3B8 × œ supÖ. 4B8 ß 3B8 à 8 − × MM• Ö3B8 ×8− Ä 3B Í dado % !ß existe 8" − tal que a8 8" Ê . 3B8 ß 3B ‰ /B3=>/ ‚a8 8# Ê . 4B8 ß 4B $% ‹ MMM• Ö4B7 × Ä 4B Í ˆ .+.9 %! Š 8 #− Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × tenemos que a8 8! . 3B ß 4B Ÿ . 3B ß 3B8 . 3B8 ß 4B8 . 4B8 ß 4B Ÿ $% . 3B8 ß 4B8 Tomando $ œ $% tenemos cuando . Ö3B8 ×8− ß Ö4B8 ×8− $ Ê . 3B ß 4B $, a8 % $ % $ Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 77 por lo tanto . 3B ß 4B Ÿ $% $% /% œ %Þ Luego 0 es continua en cada Ö3B8 ×8− − E Ê 0 es continua en EÞ 22.Sean, \ un espacio topológico, R un espacio métrico y E § \ un subconjunto tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R es convergente uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0 uniformemente en \. SOLUCIÓN. Sabemos por hipótesis los siguientes hechos: ". Dado % !, b$" !Î. Bß B! $" Ê . 08 B ß 08 B! Ÿ $% ß a8 #. Dado % !, b$# !Î. Bß B! $# Ê . 0 B ß 0 B! $% $. Dado % !, b8! !Îa8 8! Ê . 08 B ß 0 B $% , aB − E. Ahora tomando, para % ! dado, $ œ minÖ$" ß $# × existe 8! ! tal que . Bß B! $ ß a8 8! ß aB − E . 08 B ß 0 B Ÿ . 08 B ß 08 + . 08 + ß 0 + . 0 + ß 0 B Ÿ $% $% $% œ % Luego 08 Ä 0 uniformemente en \Þ 23.Un subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d si y sólo si ! es punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d , existe un número real + ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular, los subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß + !. Concluir que si ) es un número irracional, los números de la forma 7 )8ß 7ß 8 − ™ constituyen un subconjunto denso de d. + K es un subgrupo aditivo denso de d Í ! es punto de SOLUCIÓN. acumulación de K. Ê ) K œ d o sea aB − K, se tiene B − a Z § F B ß Z ∩ K Á ø. en particular para B œ ! tenemos que a Z − F ! ß Z ∩ K Á ø. Veamos que a Z − F ! ß b B − Z ∩ K tal que B Á !Þ Supongamos que no es verdad o sea que existe 8 − tal que ˆ 8" ß 8" ‰ ∩ K œ Ö!× o sea que existe 8 − tal que ˆ 8" ß 8" ‰ ∩ K Ö!× œ ø. Como K Ö!× œ K ∩ CÖ!× œ K ∩ Ò ∞ß ! ∪ !ß ∞ Ó se tiene que b 8 − tal que ˆ 8" ß 8" ‰ ∩ Ò ∞ß ! ∪ !ß ∞ Ó ∩ K œ ø Í b 8 − tal que ÖÒˆ 8" ß 8" ‰ ∩ ∞ß ! Ó ∪ Òˆ 8" ß 8" ‰ ∩ !ß ∞ Ó× ∩ K œ ø Í b 8 − tal que Öˆ 8" ß !‰ ∪ ˆ!ß 8" ‰× ∩ K œ ø Í b 8 − tal que Òˆ 8" ß !‰ ∩ KÓ ∪ Òˆ!ß 8" ‰ ∩ KÓ œ ø. Lo cual es equivalente a afirmar que b 8 − tal que ˆ 8" ß !‰ ∩ K œ ø ß • ß ˆ!ß 8" ‰ ∩ K œ ø entonces ˆ 8" ß !‰ œ ˆ 8" ß !‰ ∩ K § ˆ 8" ß !‰ ∩ K œ ø œ ø ya que E ∩ F § E ∩ F cuando E es abierto. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 78 Análogamente ˆ!ß 8" ‰ œ ˆ!ß 8" ‰ ∩ K § ˆ!ß "8 ‰ ∩ K œ ø œ ø lo cual es po contradictorio con el hecho de ser 8 − Þ Luego bB − K ∩ Z con B Á ! o sea ! es un punto de acumulación de K. É ) Sabemos que K § dß veamos que d § K, entonces sea + − d cualquiera Z + vecindad de + es de la forma Z + œ Z ! +, donde Z ! es una vecindad de cero. De la hipótesis se tiene que cualquiera que sea Z ! vecindad de cero b B − Z ! ∩ K con B Á !Þ Como K es un subgrupo de d , Z + ∩ K œ Z ! + ∩ K y b B Á + tal que B − Z + ∩ K ya que si Z + ∩ K œ Ö+× Ê Z ! ∩ K œ Ö!× entonces ! no sería punto de acumulación de KÞ Por lo tanto a Z −F + ß Z + ∩K Á øÊ+ −K , Si K œ Ö!× entonces K œ !™ Sea K Á Ö!× entonces b B Á ! tal que B − K. La relación K œ K Ð7 − K Í 7 œ 1ß 1 − K Ê 7 œ 1 • 1 − K entonces 7 − KÞ Si 1 −K Ê 1 −K entonces 7 œ 1•1 − K Ê 1 − KÑ muestra que L œ ÖB − KÎB !× Á ø; si , − L entonces Ò!ß ,Ó ∩ K es un subconjunto discreto finito ya que K es denso por lo tanto existe + œ infÞÖB − L tal que B − Ò!ß ,Ó×. Ahora + Á !ß pues si + œ ! entonces por definición de inf para todo % !, ˆ% œ 8" ‰, existe C − L tal que ! C ! % entonces ! es punto de acumulación de K entonces K es un subgrupo aditivo denso contra la hipótesis. También + − L ya que si +  L , para todo 8 − existe C8 − L tal que + C8 8" + entonces + es punto de acumulación de L § K en esta forma + es punto de acumulación de K y por la definición de las vecindades de + se sigue que ! es punto de acumulación de K lo cual implica que una vez más K es denso lo cual es po contradictorio. Luego + − L . Para todo B − K tomando 7 œ ÒÒ B+ ÓÓ (parte entera de B+ Ñ se tiene que B 7+ − K ya que + − L § Kß K es un subgrupo aditivo y B − K por lo tanto B 7+ − K. Como sabemos de la definición de parte entera: B B B " ÒÒ ÓÓ Ÿ + + + se sigue que ÒÒ B+ ÓÓ œ 7 Ÿ B+ o sea que ! Ÿ B 7+, también se tiene que B+ " 7 o sea B +7 +ß por lo tanto se tiene ! Ÿ B 7+ +à de la construcción de + se sigue que B 7+ œ ! Í B œ 7+ esto prueba que K œ +™. - Si K es un subgrupo aditivo de d entonces: K œ Ö!×, o, K es denso ,o, K no es denso. Si K es cerrado K œ K . Si K œ Ö!× entonces K es cerrado ya que d es un grupo topológico de Hausdorff. Si K es denso entonces K œ K œ d en ese caso K es todo el grupo. Si K no es denso se sigue de la parte , que existe + ! tal que K œ ™+ y como d es un grupo topológico la translación a derecha $+ À d d es B È B+ un homeomorfismo. Darío Sánchez H. 79 TOPOLOGIA GENERAL Como Cd ™ œ ∪ 8−™ 8ß 8 " es reunión de abiertos entonces ™ es cerrado por lo tanto $+ ™ œ ™+ es cerrado. . Sea K œ Ö7 )à 7ß 8 − ™×ß como 7 8) 7" 8" ) œ 7 7" 8 8" ) se sigue que K es un subgrupo aditivo de d. Afirmación: K es denso en d . En efecto, si suponemos que K no es denso, se sigue de la parte , que existe + ! tal que K œ ™+. Como ) œ ! ") se sigue que ) − K por lo tanto existe 8! − ™ 8! Á ! tal que ) œ 8! + * Ahora " ) œ 7 8) con 7 œ 8 œ " entonces " ) − K œ ™+ por lo tanto existe 5 − ™ tal que " ) œ 5+, de * tenemos que " ) œ 85! ) o sea 8! œ 5 8! ) o sea " ! que ") œ 58 8! − , como ) − d entonces ) − d , esto nos lleva a una po contradicción. Luego K tiene que ser denso en d. 24. Sea b 8 el conjunto de las matrices ortogonales de dimensión 8 ‚ 8, # b 8 § d8 b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ "× b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ "× Mostrar que b 8 es conexo por caminos. SOLUCIÓN. Sea E − b 8 entonces existe T − b 8 ! á ! ! Ô" á ! ã ä ã ã Öã ä ã Ö! á " ! á ! ! Ö Ö! á ! " á ! ! Ö Öã ä ã ã ä ã ã Ö Ö! á ! ! á " ! N œÖ Ö -9= α =/8 α" Ö! á ! " ! á ! Ö ” =/8 α -9= α • " " Ö Ö ã ä ã ã Öã ä ã Ö ! á ! ! Õ! á ! Como œ N" Š N # Š â Š N 5 Ú ” Ý ÝM ß M ß ” N3 œ Û Ý Ý ” -9= α Ü =/8 α donde =/8 α con α − d -9= α • " tal que E œ T N T " donde á ! × ä ã Ù Ù á ! Ù Ù á ! Ù Ù ä ã Ù Ù á ! Ù Ù Ù á ! Ù Ù Ù ä ã Ù Ù -9=α5 =/8α5 á ” =/8α5 -9=α5 • Ø Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL " ! -9=1 =/81 œ” ” ! • " =/81 -9=1 • Definimos : À Ò!ß "Ó b # =/8>α > È -9=>α ” =/8>α -9=>α • 80 La aplicación : así definida tiene las siguientes propiedades "Þ : es continua. #Þ : ! œ M# -9= α =/8 α $Þ : " œ ” =/8 α -9= α • Generalizando esta aplicación tenemos 0 À Ò!ß "Ó b 8 > È0 > œ N > donde N > œ N" > Š N # > Š â Š N 8 > y Ú ” Ý ÝM ß M ß ” N3 > œ Û -9= >α =/8 >α Ý Ý” con α − d Ü =/8 >α -9= >α • Tenemos claramente que 0 ! œ M8 0 " œN 0 es continua. Sea ahora 1 À Ò!ß "Ó b 8 > È T 0 > T " tenemos 3) 1 es continua 33) 1 ! œ T MT " œ M 333) 1 " œ T N T " œ T T " ET T " œ E Luego 1 es un camino entre Mß E. Esto nos permite definir un camino en dos elementos arbitrarios Eß F − b 8 Þ Sean T − b 8 ß U − b 8 tales que E œ T N T " y F œ UN" U" donde, como arriba N œ N " Š N # Š â Š N 5 ß N" œ N"" Š N"# Š â Š N"5 así que los N 3 y N"3 son de la forma " dada al inicio del problema. Definimos 0 À Ò!ß "Ó b 8 , y, 1 À Ò!ß "Ó b 8 > È0 > œ N > > È 1 > œ N" " > Teniéndose 8 " " œN" ß • ß Š 11 !" œN Š 00 !" œM œN ‹ œN" ! œM8 ‹ Tómese ahora L À Ò!ß "Ó > b 8 ÈL > œ 1 #> ß si ! Ÿ > Ÿ "# 0 #> " ß si #" Ÿ > Ÿ " L tiene las siguientes propiedades Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 81 "Þ L ! œ 1 ! œ N" #Þ L ˆ "# ‰ œ 1ˆ# "# ‰ œ 1 " œ N" ! œ M8 œ 0 ˆ# "# "‰ œ 0 " " œ 0 ! œ M8 $Þ L " œ 0 # † " " œ 0 " œ N %Þ L resulta continua. Tenemos ahora, como se hizo arriba : À Ò!ß "Ó b 8 UL > U" ß ! Ÿ > Ÿ "# > È : > œ T L > T " ß "# Ÿ > Ÿ " tenemos entonces 3) : es continua por construcción 33) : ! œ UL ! U" œ U1 ! U" œ UN" U" œ U U" FU U" œ F 333) : " œ T L " T " œ T 0 " T " œ T N T " œ T T " ET T " œ E Así se ha construido un camino de E hacia F por lo tanto b 8 es conexa por caminos. 25. Sea Q un espacio métrico. En el espacio µ R à Q de las sucesiones acotadas en Q el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es cerrado. Se sigue que si Q es completo, el conjunto de las sucesiones convergentes es cerrado en µ R à Q . Si I es un espacio normado el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es un subespacio vectorial de µ R à I . SOLUCIÓN. + S Á ø pues la sucesión constante es de Cauchy. S es cerrado si para toda Ö4 B8 ×8− − S Ä Ö! B8 ×8− Ê Ö! B8 ×8− − S Ö" B" ß " B# ß á ß " B8 ß á ×ß Ö# B" ß # B# ß á ß # B8 ß á ×ß á ß Ö4 B" ß 4 B# ß á ß 4 B8 ß á ×ß á Ä Ö!B"ß !B#ß á × 4 uniformemente implica que B" Ä ! B" ß 4 B# Ä ! B# ß á ß 4 B8 Ä ! B8 ß á ß entonces Ö! B8 ×8− es una sucesión de Cauchyß así si dado % !, existe 8! tal que a8ß 7 8! ß . ! B7 ß ! B8 %. Pero 4 B8 Ä ! B8 Í dado % !ß b8" >; a4 8" ß . 4 B8 ß ! B8 $% 4 B7 Ä ! B7 Í dado % !ß b8# >; a4 8# ß . 4 B7 ß ! B7 $% También Ö4 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy esto es, dado % !ß b8$ >; a7ß 8 8$ ß . 4 B7 ß 4 B8 $% Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# ß 8$ × tenemos que a7ß 8 8! ß . ! B7 ß ! B8 Ÿ . ! B7 ß 4 B7 . 4 B7 ß 4 B8 . 4 B8 ß ! B8 $% $% $% œ % entonces Ö! B8 ×8− − SÞ Esto muestra que S es cerrado en µ R à Q . Sea S" œ ÖÖB8 ×8− à ÖB8 ×8− es convergente×, así si ÖB8 ×8− es convergente entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, así que S" § S. Como Q es completo en µ R à Q entonces S" œ S y como S es cerrado en µ R à Q el cual también es completo, entonces S" es cerrado en µ R à Q Þ , Si Q es un espacio vectorial normado, el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es un subespacio vectorial de µ R à Q , en efecto S § µ R à Q Darío Sánchez H. 82 TOPOLOGIA GENERAL " 8 7 # ‰ /B3=>/8 ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− − S Í ˆ .+.9 %! Š 8" ß8# Î a8ß78# ß. C8 ßC7 % ‹ a8ß78 ß. B ßB % # 3Þ ÖB8 C8 ×8− es una sucesión de Cauchy, puesto que IB3=>/ ˆ H+.9 ‰ %! Š 8! œmaxÞÖ8" ß8# × Îa7ß 8>8! ß . B7 C7 ß B8 C8 Ÿ . B7 ß B8 . C7 ß C8 %‹ 33Þ Ö-B8 ×8− es una sucesión de Cauchy para todo escalar ˆ H+.9 ‰ IB3=>/ %! Š 8! ! Îa7ß 8 !ß . -B8 ß -B7 œ l-l. B8 ß B7 l-l%‹Þ 26.Sea ∞ 8œ" +8 una serie convergente de números reales positivos. Dada una sucesión ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q si . B8 ß B8" Ÿ +8 para todo 8 − , entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy. SOLUCIÓN. 8 Sea W8 œ realesß ya que +3 como ÖW8 ×8− es una sucesión convergente de números 3œ" ∞ +8 8œ" es una serie convergente se sigue que ÖW8 ×8− es una sucesión de Cauchy o sea, dado % !, existe 8! ! tal que a7ß 8 8! ß lW8 W7 l <% ðóñóò || 7 l 7 +85 l œ 5œ! +85 % 5œ" Así tenemos que dado % !ß b8! ! tal que si 7ß 8 8! suponiendo además que si 7 8 se tiene . B8 ß B7 Ÿ . B8 ß B8" . B8" ß B8# â . B7" ß B7 Ÿ 7 Ÿ +8 +8" â +7" Ÿ +85 %. 5œ! entonces la sucesión ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy. 27.Introducir en el espacio d 8 una métrica acotada, completa induciendo en cada bola de radio " la métrica usual. d SOLUCIÓN. Sea . w À d 8 ‚ d 8 ÈinfÞÖ"ß . Bß C × Bß C d 8 ß . w es completo: Dado que si ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy; B8 − d 8 , tenemos que ˆ H+.9 ‰ /B3=>/ %! Š 8! Îa7ß 8 8! ß . B8 ß B7 %‹ Sea % " tómese 3. À d 8 ß . d 8 ß . w , ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß . B È B entonces ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , ya que 3. es uniformemente continua por ser una contracción débil À . w 3. B ß 3. C œ . w Bß C œ infÞÖ"ß . Bß C × . Bß C , por lo tanto ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w . Recíprocamente si ÖB 8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , esto es, ˆ H+.9 ‰ /B3=>/ %! Š 8! Îa7ß 8 8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 × %‹ Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 83 Sea % " entonces existe 8! tal que a7,8 8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 × % " entonces . B8 ß B7 infÞÖ"ß . B8 ß B7 × % ", entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . por lo tanto d 8 ß . w es completo. 28. Probar las siguientes afirmaciones: + 0 < W œ \ Ê W es denso en \ , Wß X densos en \ Ê W ∪ X es denso en \ pero no implica que W ∩ X sea denso en \Þ - W denso en \ , X denso en ] Ê W ‚ X denso en \ ‚ ] . W denso en \ , E abierto en \ Ê W ∩ E denso en E / W denso en \ß W § X § \ Ê W denso en X y X denso en \ ‰ 0 Si W o W o 0 < W es denso en \ entonces W es denso en \ 1 W denso en \ , W conexo Ê \ es conexo 2 Sea \ un espacio I" . Un subconjunto W § \ es denso en \ si y sólo si todo B − \ es límite de una sucesión de puntos de WÞ 3 \ ÖB× es denso en \ Í B no es aislado en \ . 4 En el espacio \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde ^ es un conjunto no enumerable, bien ordenado con primer elemento. El subespacio \ ÖH× es denso en \ pero H no es límite de una sucesión de puntos de \ ÖH×Þ 5 El conjunto de los números racionales de la forma #78 ß 7ß 8 − ™ números diádicos es denso en la recta. SOLUCIÓN. + W œ W ∪ 0 < W œ W ∪ \ œ \ Ê W es denso en \ . , W ∪ X œ W ∪ X œ \ ∪ \ œ \ Ê W ∪ X es denso en \Þ W ∩ X § W ∩ X œ \ ∩ \ œ \ß pero en general W ∩ X § \ . Como en el siguiente Á Wœ denso en d ejemplo: Š X œd denso en d ‹ • ß W ∩ X œ øß no es denso en d . . W ‚X œW ‚X œ\‚] "Þ W ∩ E ¨ W ∩ E œ \ ∩ E œ E Å E abierto #Þ W ∩ E § W ∩ E œ \ ∩ E œ E $Þ E es abierto en \ Ê E ∩ W es abierto en W . E ∩ W es denso en E Í a ZE ß abierto en Eß ZE ∩ W ∩ E Á ø. Ahora ZE œ Z\ ∩ E donde Z\ es un abierto en \ , como E es abierto en \ se sigue que ZE es abierto en \ Ê ZE ∩ W Á ø ˆW œ \ ‰ así ZE § E Ê ZE ∩ E œ ZE . Luego ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W Á ø. / W § X § \ Ê W § X § \ Ê \ § X § \ , entonces X œ \ y X es denso en \Þ X Å Wœ\ W œ W ∩ X œ \ ∩ X œ X Ê W es denso en X Þ Darío Sánchez H. 84 TOPOLOGIA GENERAL 0 Si W es denso, entonces W œ W œ \ Ê W es denso en \ . ‰ ‰ ‰ Si W es denso entonces W § W § \ , entonces W § W § \ Ê \ § W § \ , entonces Å ‰ W œ\ W œ \ y W es denso en \Þ Si 0 < W œ \ , por lo tanto, 0 < W § W Ê 0 < W § W œ Wß pero 0 < W œ \ entonces \§W Ê W œ \ y W es denso. œ W§\ÊW§\ 1 Si E es un abierto en \ entonces como W œ \ ß E ∩ W Á ø. Supongamos que \ no es conexo, esto significa que existen abiertos Eß F no vacíos en \ tales que E ∪ F œ \ • E ∩ F œ ø. w Sean E œ E ∩ W Á øß F w œ F ∩ W Á ø abiertos no vacíos de W como Ew ∩ F w œ E ∩ W ∩ F ∩ W œ E ∩ F ∩ W œ ø ∩ W œ ø y Ew ∪ F w œ E ∩ W ∪ F ∩ W œ E ∪ F ∩ W œ \ ∩ W œ W se sigue que W no es conexo pí (absurdo). 2 Para cada B − \ß existe µ B un sistema fundamental de vecindades enumerables asociado a B tal que a [ vecindad de B existe Z § µ B tal que B − Z § [Þ É Ñ B œ lim B8 ß para toda vecindad Z ® B en \ existe 8! tal que a8 8! ß B8 − Z ß 8Ä∞ como B8 − Z ß a8 Ê Z ∩ W Á ø, así W es denso en \Þ Ê Ñ Para todo B − \ œ W y para todo Y vecindad de B, existe Z8 ∩ W − µ B tal que B − Z8 ∩ W § Y ∩ W donde Z" ¨ Z# ¨ Z$ ¨ â ¨ Z8 ¨ â y Z3 ∩ W Á ø Tomando B" − Z" ∩ Wß B# − Z# ∩ Wß á ß B8 − Z8 ∩ Wß á , obtenemos una sucesión de puntos B8 en W tal que lim B8 œ B ya que B − Z8 ß a8. 3 Ê Ñ Si B es aislado existe Z una vecindad de B en \ tal que Z ∩ \ ÖB× œ ø en esta forma \ ÖB× no sería denso ya que para toda Y vecindad de B, Y ∩ \ ÖB× Á ø pí, obteniendo una contradicción É ) B no es aislado en \ entonces para toda vecindad de Bß Z ∩ \ ÖB× Á ø implica que à a Z vecindad de B en \ , Z ∩ \ ÖB× Á ø esto implica que \ ÖB× es denso en \Þ 4 Sea ^ un conjunto no enumerable, bien ordenado, dotado de último elemento y sea \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde H es el menor elemento de ^ tal que el conjunto \ no es enumerable. Se considera en \ la topología del orden, por consiguiente H no es punto aislado en \ y para todo subconjunto enumerable I § \ , existe E abierto en \ con H − E y E ∩ I œ ø concluyéndose que \ es un espacio de Hausdorff no métrizable. Si aceptamos esto, en el espacio anterior, el subespacio \ ÖH× es denso en \ pero H no es límite de una sucesión de puntos de \ ÖH×. Entonces por la parte 3 anterior \ ÖH× es denso en \ pues H no es punto aislado. H no es límite de una sucesión de puntos de \ ÖH×, pues para toda ÖB8 ×8− (enumerable) existe E abierto en \ , con H − E y E ∩ ÖB8 ×8− œ ø esto muestra que H no puede ser límite de ninguna sucesión. Darío Sánchez H. 85 TOPOLOGIA GENERAL 5 Sea H œ Ö #78 Î8ß 7 − ™× vamos a mostrar que H œ dÞ Mostremos que si B−dÊB−H Primero si α, " − d y α " entonces existe #78 tal que α #78 " . En efecto como " α ! se recibe que por la propiedad arquimediana existe #8 tal que #8 " α "ß 3/ß b#8 tal que " α #"8 . Consideremos X œ Ö5 − à 5 #8 α×. X es no vacío evidentemente porque no es acotado superiormente. Entonces sea 7 œ min. X ß 7 existe por el principio de buena ordenación, así que 7 " Ÿ #8 α de donde tenemos que 7 7"" " œ 7" entonces #78 " Þ #8 œ #8 #8 #8 α " α œ " , Por elección de 7 tenemos que 7 7 αÊα 8 " " 8 # # Ahora mostremos que \ § H donde \ œ d, si existe B! − d tal que B!  H Í bZ − µ B! ÎZ ∩ H œ ø Ê b$ ! tal que Z − µ B! Í b$ !Î B! $ ß B! $ § Z B! $ ß B! $ ∩ H œ ø tomando B! $ œ αß B! $ œ " ß α " p o contradictorio con " . ya que tendríamos α #78 $ " y 7 no sería minÞ X . Luego d œ H. 29.En el espacio de Hilbert L de las sucesiones de cuadrado sumable, consideremos la bola unitaria H œ ÖB − LÎlBl "×Þ La aplicación 0 À H H, definida por 0 B œ 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ" lBl# ß B" ß B# ß á ‰ es continua y no posee puntos fijos. Concluir la existencia de una retracción < À H Wß donde W œ ÖB − LÎlBl œ "×Þ H SOLUCIÓN. 0 À H B È 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ" lBl# ß B" ß B# ß á ‰ 0 es continua: # # ‰ /B3=>/ Sea ÖB8 ×8− Ä B − H Í ˆ .+.9 %! Š 8! ! Îa8 8! ß lB8 Bl % ‹ ‰ /B3=>/ Ahora ˆ .+.9 %! Š 8! ‹; a8 8! ß tenemos l0 B8 0 B l# œ ¾ŒÉ" lBl# ß B" ß B# ß á ˆÈ" llB8 ll# ß B"8 ß B#8 ß á ‰¾ # œ ¾ ŒÈ" llBll# É" lB8 l# ß B" B"8 ß B# B#8 ß á ¾ œ # # ŒÉ" lBl É" lB8 l # # lB B8 l Ÿ % ŒÉ" lBl# É" lB8 l# # # # Ÿ %# " 0 no tiene punto fijo: Supongamos que existiera un punto fijo para 0 , entonces en ese caso se tendría 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ" |lBl|# ß B" ß B# ß á ‰ œ B" ß B# ß B$ ß á de donde se tiene que B" œ É" lBl# ß B" œ B# œ B$ œ B% œ â œ B8 œ â en esta forma B#" œ " lBl# • B œ B" ß B# ß B$ ß á − L , en particular si B" œ ! entonces " œ ! po obteniéndose una contradicción. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL Si B" Á ! Ê lBl# œ B#3 no es convergente por tanto B  Lpo lo cual también es 3œ" B3 œB" a3 contradictorio 30.Sea ∞ 86 W denso en el espacio topológico \ y ] un espacio de Hausdorff. Una aplicación 0 À W ] , posee a lo máximo una extensión continua 0 À \ ] Þ La hipótesis sobre ] ¿es indispensable?. SOLUCIÓN. Si 0 posee una tal extensión, es única ya que si existen dos 0 " ß 0 # entonces E œ ÖB − \Î0 " B œ 0 # B × es un conjunto cerrado por ser ] de Hausdorff ahora W § E y W § E Ê \ œ E ,y, 0 " œ 0 # . Si es indispensable la hipótesis sobre ] como se ve en el ejemplo siguiente: Sea ] œ Ö+ß ,× ß 7] œ Ö] ß øß Ö+××. ] no es Hausdorff pues , Á + y todo abierto conteniendo , contiene también a +. Sea W œ !ß " ß \ œ Ò!ß "Ñß 0 À W ] 0 es >È+ continua, pues Ö+× es abierto en ] y 0 " Ö+× œ !ß " en abierto en W . Existen dos extensiones continuas distintas: 0 À\ ] y 1À\ ] 1 ! œ+ 0 ! œ, 31. Sea L el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable ∞ L œ ÖÖB8 ×8− à B8# ∞×Þ 8œ" B8 × § L es un subespacio + El conjunto L! œ ÖÖB8 ×8− à ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !Þá × œ vectorial. , /3 œ Ö!ß á ß " ß !ß á × forman una base de L! . Å 3 - L! es denso en L . Toda aplicación lineal continua 0 À L Iß I espacio vectorial normado completo (Espacio de Banach) se extiende de un modo único a una aplicación lineal continua 0 À L I. SOLUCIÓN. + En efecto B8 ß C8 − L! Ê B8 œ ÖB" ß á ß B8 ß !ß !á ×, C7 œ ÖC" ß á ß C7 ß !ß á × Si 7 8ß B8 C7 œ ÖB" C" ß á ß B7 C7 ß B7" ß á B8 ß !ß á × tiene apenas un número finito de coordenadas diferentes de cero y por lo tanto está en el espacio L! . - B8 œ Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á × tiene solamente 8 coordenadas diferentes de cero entonces - B8 − L! . Así L! es un subespacio vectorial de LÞ p , En efecto -" /" -# /# â -8 /8 â œ ! p Í Ö-" ß -# ß -$ ß á ß -8 ß á × œ ! Í -" œ -# œ -$ œ â œ -8 œ â œ !. por lo tanto los /3 son linealmente independientes. Ahora sea B8 − L! entonces B8 œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !ß á × œ œ ÖB" ß !ß !ß á ß !ß á × Ö!ß B# ß !ß á ß !á × â Ö!ß á ß B8 ß !ß á × œ Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 87 œ B" /" B# /# â B8 /8 â Ê Los /3 generan a L! Þ ∞ - Sea B − L Ê lBl# œ B#3 ∞, esto esß dado % !, existe 8! ! tal que 3œ" a8 8! ß 88! B#8 %# Þ aB − Lß B œ ÖB" ß B# ß á ×ß dado % !, existe B − L! tal que . Bß B %Þ Basta tomar B œ ÖB" ß B# ß á ß B8! ß !ß á × − L y se tiene Í ∞ ∞ Í 8! . Bß B œ lB Bl œ Í B3 B3 # B#3 œ Ë B3# % ll 38! 3œ8! " Ì3œ" ! de donde los B3 son las coordenadas de B. . Como L! es denso en L y I es un espacio métrico completo el problema se reduce a mostrar que 0 À L! I es uniformemente continua, pero esto es claro ya que si X À E F es un operador lineal las siguientes afirmaciones son equivalentes +) X es acotada Í , ) X es uniformemente continua Í - ) X es continua en algún punto de E. 32. Con las notaciones del ejercicio anterior la función 0 À L! d definida por 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ B" #B# $B$ â 8B8 es lineal discontinua. SOLUCIÓN. 3) Supongamos 7 8 entonces 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × ÖC" ß C# ß á ß C7 ß !ß á × œ œ 0 ÖB" C" ß B# C# ß á ß B7 C7 ß B7" ß á ß B8ß !ß á × œ œ B" C" # B# C# â 7 B7 C7 7 " B7" â 8B8 œ œ B" #B# â 7B7 â 8B8 C" #C# â 7C7 œ œ 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × 0 ÖC" ß C# ß á ß C7ß !ß á × Þ Ahora 0 -ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ 0 Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á × œ -B" # -B# â 8 -B8 œ - B" #B# â 8B8 œ - 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × Þ Luego 0 es una aplicación lineal. 33) Tomemos B" œ "ß !ß !ß á ß B# œ ˆ!ß "# ß !ß á ‰ß á ß B3 œ ˆ!ß á ß "3 ß !ß á ‰, entonces B8 Ä ! cuando 8 Ä ∞, ahora lim 0 B8 œ lim " Á 0 ! œ ! 8Ä∞ 8Ä∞ Luego 0 es discontinua en ! por lo tanto es discontinua. 33. Para cada 8 − construya una función continua :8 À d d tal que :8 > œ " " para algún punto > − d y :8 > œ ! excepto si 8" Ÿ > Ÿ 8" . Defina 0 À Ò!ß "Ó L poniendo 0 > œ :" > ß :# > ß á . Muestre que 0 es discontinua en el punto ! no obstante cada una de sus coordenadas sea continua. SOLUCIÓN. Tomemos la función 0 >8 œ :" >8 ß :# >8 ß á ß :8" >8 ß "ß :8" >8 ß á Darío Sánchez H. 88 TOPOLOGIA GENERAL o sea 0 >" œ "ß :# > ß á ß :8 >" ß á 0 ># œ :" ># ß "ß á ß :8 ># ß á 0 >8 œ :" >8 ß á ß "ß :8" >8 ß á tenemos :3 > Ä ! cuando > Ä !. Ahora 0 > œ :" > ,:# > ß á ß :8 > ß á Ú " Ý ! , > Â Ò 8" ß 8" Ó Ý Ý µ µ µ " #8" :8 > œ Û ˆ 8" ß !‰> ˆ" > ‰Š #8 8" ß "‹, ! Ÿ > Ÿ " Ý Ý µ µ Ý Š #8" ß "‹µ > ˆ" > ‰ˆ 8" ß !‰ , ! Ÿ > Ÿ " Ü #8 8" 0 ! œ :" ! ß :# ! ß á ß :8 ! ß á œ !ß !ß á Sea >8 Ä ! una sucesión de puntos tendientes a !Þ Como Por lo tanto l0 >8 l œ É :" >8 # â " :8" >8 # donde â >Ä " Ä! 8 lim0 >8 œ " Á 0 ! œ ! >Ä! Luego 0 no es continua y las :3 > son continuas. 34. Sean Q ß R espacios métricos y 0 À Q R una dilatación, esto es, existe una constante 5 " tal que . 0 B ß 0 C 5. Bß C para cualesquier Bß C − Q . Si 0 es continua y Q completo, entonces 0 es una aplicación cerrada. SOLUCIÓN. 3) 0 es inyectiva: 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ ! así 5. Bß C œ ! Í B œ C 33) Sea J un cerrado en Q Ê 0 J es cerrado. Sea ÖB8 ×8− § 0 J una sucesión convergente, entonces ella es de Cauchy o sea dado % !ß existe 8! !, tal que 7ß 8 8! ß . B8 ß B7 %, ahora Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy en R ya que para el % dado existe 8! tal que % . B8 ß B7 œ . 0 0 " B8 ß 0 0 " B7 5. 0 " B8 ß 0 " B7 Luego dado %w œ 5% ß existe 8! tal que 7ß 8 8! . 0 " B8 ß 0 " B7 5% œ %w Como Ö0 " B8 ×8− es una sucesión de Cauchy y J es cerrado en Q que es completo entonces J es completo por lo tanto Ö0 " B8 ×8− Ä + − J Þ Como 0 es continua Ö0 0 " B8 × Ä 0 + por lo tanto 0 J es cerrado. 35. Sea H8 œ ÖB − dà lBl Ÿ "× y W 8" œ ÖB − dà lBl œ "×Þ Las siguientes afirmaciones son equivalentes: + Toda aplicación continua 0 À H8 H8 posee un punto fijo. , No existe una retracción <à H8 W 8" . SOLUCIÓN. + Ê , Procedemos por contradición, supongamos que existe una retracción < À H8 W 8" entonces tomemos 0 À H8 H8 como la compuesta de < y la función antípoda E ß o sea H8 < W 8" E H8 tomando 0 œ E ‰ < que es continua tenemos Darío Sánchez H. 89 TOPOLOGIA GENERAL si B − H8 Ê < B − W 8" , y, E ‰ < B œ < B , si B − W 8" Ê 0 B œ E < B œ E B œ B. Å <lW 8" œ 3. Por lo tanto 0 B no tiene punto fijo po lo cual es contradictorio. , Ê + Supongamos que 0 À H8 H8 es continua con 0 B Á B para todo B − H8 ß y se define < À H8 W 8" tomando < B œ 0 B † B ∩ W 8" entonces <lW 8" œ 3.W 8" y como cualquier variación de B implica una variación a 0 B se sigue que < B así definida es continua por lo tanto < es una retracción de H8 en W 8" po lo cual es contradictorio. 36. Un espacio métrico Q es completo Í para toda inmersión isométrica 0 À Q R ß 0 Q es cerrado en R . SOLUCIÓN. Ê Ñ Supongamos que Q es completo entonces toda sucesión de Cauchy ÖB8 ×8− converge para un B − Q Þ Si 0 es una isometría . 0 B ß 0 C œ . Bß C entonces 0 es uniformemente continua por lo tanto Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy en R y 0 B8 Ä 0 B − 0 Q ß luego 0 Q es completo en cualquier espacio métrico por lo tanto es cerrado en R Þ Una segunda prueba: ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en 0 Q ß como 0 es una inmersión isométrica, 0 es uno a uno por lo tanto Ö0 " B8 ×8− es una sucesión en Q , como se hizo en el ejercicio 34. Ö0 " B8 ×8− es una sucesión de Cauchy, en efecto ‰ /B3=>/ 3) ÖB8 ×8− es de Cauchy esto es ˆ .+.9 %! Š 8! ! Îa7ß 8 8! Ê . B8 ß B7 %‹ 33) Ahora % . B8 ß B7 œ . 0 B8 ß 0 B7 ß 7ß 8 8! Luego Ö0 " B8 ×8− Ä B − Q ß como 0 es continua se concluye que ÖB8 ×8− œ Ö0 0 " B8 ×8− Ä 0 B − 0 Q , luego 0 Q es cerrado. É ) Sea ÖB8 ×8− una sucesión de Cauchy en Q entonces Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy en 0 Q esto es existe C − 0 Q tal que lim 0 B8 œ C. Siendo 0 8Ä∞ una inmersión isométrica, ella es biunívoca C − 0 Q ; luego existe B! − Q tal que 0 B! œ CÞ Luego 0 B8 Ä 0 B esto es, dado % ! ß existe 8! tal que Þ á á % ß entonces B8 Ä B y Q es completo. á á à . BB ß B % a8 8! ß . 0 B8 ß 0 B ll 37. No existe una función real 0 À Ò!ß "Ó d cuyos puntos de continuidad sean precisamente los números racionales del intervalo Ò!ß "ÓÞ SOLUCIÓN. Se sabe que el conjunto de los puntos de continuidad de una función real 0 À \ d es un conjunto K$ Ðes decir, una intersección enumerable de conjuntos abiertos). Si 0 À Ò!ß "Ó d es continua solamente en ∩ Ò!ß "Ó, entonces Darío Sánchez H. 90 TOPOLOGIA GENERAL ∩ Ò!ß "Ó será un conjunto K$ , lo cual no es verdad. Veamos que ∩ Ò!ß "Ó no es de tipo K$ en Ò!ß "Ó. Sabemos que Ò!ß "Ó es un espacio métrico completo. Sea E8 una familia de abiertos tales que ∩ E8 œ Ò!ß "Ó ∩ entonces para todo 8 − ß E8 es denso en Ò!ß "Ó (ya que ∩ Ò!ß "Ó es denso en Ò!ß "ÓÑ entonces ∩ E8 es un espacio de Baire, entonces Ò!ß "Ó ∩ es un espacio de Baire. Como Ò!ß "Ó ∩ es enumerable y magro en si mismo, entonces debe tener puntos aislados, lo cual sabemos es imposible po. Luego Ò!ß "Ó ∩ no es K$ Þ 38.Dados + ,, ¿existe alguna función continua 0 À Ò+ß ,Ó d que tome valores racionales en todo B − Ò+ß ,Ó irracional y para todo B − Ò+ß ,Ó racional, 0 B es irracional? SOLUCIÓN. Sea 0 À Ò+ß ,Ó d . 0 B − d si B es racional, 0 B − si B es irracional y por lo tanto Ö0 B à B es irracional× es enumerable. Si B es racional y siendo enumerable entonces Ö0 B à B es racional× es enumerable. Así Ò+ß ,Ó no es enumerable y 0 Ò+ß ,Ó es enumerable. Si 0 es continua, 0 Ò+ß ,Ó debería ser conexo ya que Ò+ß ,Ó es conexo; pero 0 Ò+ß ,Ó no es conexo. Luego 0 no es continua. Supongamos la existencia de esta función continua 0 À Ò!ß "Ó d satisfaciendo las condiciones del enunciado en Ò!ß "Ó que es conexo, entonces E œ 0 Ò!ß "Ó es conexo. Existen B − Ò!ß "Ó ∩ , y, C − Ò!ß "Ó ∩ d en estas condiciones b0 B − d y b0 C − entonces E ∩ Á ø y E ∩ d Á ø se sigue que E no es unitario entonces E es conexo y por lo tanto E es un intervalo. 0 À Ò!ß "Ó E es sobreyectivaß aC − Eß bB − Ò!ß "Ó tales que 0 B œ C y sea V œ E ∩ d Þ B − 0 " V Ê B − Ò!ß "Ó ∩ ß V no es enumerable entonces Ò!ß "Ó ∩ no es enumerable po lo cual es absurdo pues es enumerable. 39. Dados cualesquiera dos puntos Bß C en el conjunto de Cantor O , existe un homeomorfismo 2 À O O tal que 2 B œ C. SOLUCIÓN. Sean J" œ Ò!ß "$ Ó ∪ Ò #$ ß "Óß J# œ Ò!ß "* Ó ∪ Ò #* ß $* Ó ∪ Ò '* ß (* Ó ∪ Ò )* ß "Óß á ß O œ ∞ ∩ J8 8œ" ya que para todo B − Ò!ß "Ó, B puede ser expresado por una expansión ternaria, ∞ Bœ 3œ" B3 $3 , donde B3 œ !ß "ß # . Si B − O Ê B3 œ !ß "ß #. A cada B − O , B œ !ß B" B# B$ á . Podemos asociar con una sucesión ÖB8 ×8− œ B" ß B# ß B$ ß á . Sean B œ ÖB8 ×8− ß C œ ÖC8 ×8− dos puntos cualesquiera de O y E œ Ö8 − à B8 œ C8 ×ß F œ Ö8 − à B8 Á C8 ×. w 8 si 8−E Sea 2 À O O donde Š DD8w œD ÁD8 si 8−F ‹, 2 es biunívoca y sobre. Mostremos que 8 D8 È ÖD8 ×8− ella es continua esto es dado % !, existe $ tal que si . ÖD8 ×8− ß ÖA8 ×8− $ Ê . ÖD8w ×8− ß ÖAw8 ×8− %. Dado % !, b8 − tal que #% $"8 %. Tomando $ œ $% , veamos que Darío Sánchez H. 91 TOPOLOGIA GENERAL Î Ñ . ÖD8 ×8− ß ÖA8 ×8− $% $"8 Ê D œ ÖD8 ×8− y A œ ÖA8 ×8− § J8‡ ll ll Ï Ò D A donde J8‡ es uno de los intervalos cerrados de la reunión J œ ∪ J8‡ ß $ J8‡ œ $"8 . Entonces los 8 primeros términos de ÖD8 ×8− y ÖA8 ×8− coinciden Ê los 8 primeros términos de ÖD8w ×8− y ÖAw8 ×8− también coinciden. Entonces D w œ ÖD8w ×8− y Aw œ ÖAw8 ×8− − J8‡ Ê . ÖD8w ×8− ß ÖAw8 ×8− $"8 % Ê 2 es continua. De modo análogo se demuestra que 2 " es continua, entonces 2 es un homeomorfismo y es fácil ver que 2 B œ C; ya que 2 B8 œ 2 Bw8 entonces Bw8 œ B8 si 8 − E y B8 œ C8 Ê ÖC8 ×8− œ O œ Bw Á B si 8 − F y Bw œ C 8 8 8 8 40.Sea Y § d 8 un conjunto abierto y 0 À Y d 8 una aplicación de la forma donde X À d 8 d 8 es una aplicación lineal invertible y : À Y l: B : C l Ÿ 5lB Cl donde 5 œ lX"" l . Entonces, 0 es 0 B œX †B: B d8 es un tal que homeomorfismo de Y sobre un abierto de d 8 Þ X " ‰ 0 Y SOLUCIÓN. Sea 1 œ X " ‰ 0 À Y " B ÈX 0 Y œ X " X † B : B œ B X " ‰ : B . Haciendo < B œ X " ‰ : B tenemos l< B < C l œ lX " : B X " : C l Ÿ lX " ll: B : C l Ÿ lX " l5lB Cl œ lX " l lX"" l lB Cl œ lB Cl entonces < œ X " ‰ : es una contracción, luego por un resultado básico ¿cuál? 1 œ X " ‰ 0 es un homeomorfismo de Y sobre el subconjunto abierto 0 Y œX 1 Y pues siendo X un isomorfismo de d 8 sobre d 8 el cual lleva al abierto 1 Y en el abierto X 1 Y œ 0 Y de d 8 . 41. Sea Q un espacio métrico completo y 0 À Q Q una aplicación tal que 0 : œ 0 ‰ 0 ‰ â ‰ 0 : veces es una contracción. Entonces, 0 tiene un punto fijo. SOLUCIÓN. Por un resultado básico ¿cuál? la contracción 0 : tiene un punto fijo. Sea +! el punto fijo esto es 0 : +! œ +! Þ Sea 8 œ :5 6 con ! Ÿ 6 :Þ Dado B − Q ß 0 6 B − Q Þ Como +! es punto fijo de 0: tenemos ˆya que Ö0 6 B ×, ! Ÿ 6 :, es finito‰ 0 : 5 ˆ0 6 B ‰ Ä +! cuando 5 Ä ∞. Entonces +! es un contractor de 0 : ß ie, aB − Q , 0 : 5 B Ä +! cuando 5 Ä ∞, así 0 :56 B Ä +! Ê 0 8 B Ä +! cuando 8 Ä ∞, esto es +! es un contractor de 0 . Probemos que 0 +! œ +! , en efecto, +! œ lim 0 8 0 +! œ lim 0 8" +! œ lim 0 0 8 +! œ 0 Š lim 0 8 +! ‹ œ 0 +! . 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞ Darío Sánchez H. 42.Sean 92 TOPOLOGIA GENERAL Q un espacio métrico, X un espacio topológico y Ö0> ×>−X una familia de aplicaciones 0> À Q Q , suponiendo que cada 0> depende continuamente del parámetro > en el sentido débil siguiente: para cada B − Q la aplicación > È 0> B de X en Q es continua. Supongamos aún que cada 0> es una contracción con . 0> B ß 0> C Ÿ 5. Bß C donde ! 5 "ß 5 independiente de >. En estas condiciones, cada 0> posee un único punto fijo +> . La aplicación : À X Q definida por : > œ +> es continua. Q es continua para cada B − Q . SOLUCIÓN. Por la hipótesis 0> À Q Q ß 1 À X > È 0> B a> 0> es una contracción Í . 0> B ß 0> C Ÿ 5. Bß C ß ! 5 " aBß C − Q ß a> − X Por un resultado básico ¿cuál? 0> À Q Q siendo una contracción y Q un espacio métrico completo, posee un único punto fijo, esto es b+> − Q tal que 0> +> œ +> Þ :ÀX Q , : es continua en > − X si dado % !, existe $ ! tal que > È +> . >ß > $ Ê . : > ß : > % . : > ß : > œ . +> ß +> œ . 0> + > ß 0 > + > Ÿ . 0> +> ß 0 > + > . 0> + > ß 0 > + > donde " Æ 5. +> ß +> % "-5 Å # " 0> es continua y por lo tanto . 0> +> ß 0> +> Ÿ 5. +> ß +> # :ÀX Q es continua, esto es dado % !ß existe $" ! tal que si > È +> . >ß > $" Ê . 0> +> ß 0> +> Ÿ % " 5 Entonces tomando $ œ $" ß tenemos . >ß > $ Ê . : > ß : > 5. ˆ+> ß +> ‰ % "-5 Í . : > ß : > 5. +> ß +> % " 5 pero +> œ : > por lo tanto . : > ß : > 5. : > ß : > œ " 5 . : > ß : > " 5 % como ! 5 " Ê " 5 ! por lo tanto . : > ß : > %. Luego : es continua en >Þ Como eso vale para todo > − X Ê : es continua. 43.Con el fin de que un espacio métrico Q sea completo, es necesario y suficiente que toda sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de subconjuntos cerrados no vacíos de Q , tales que $ J8 Ä !ß tenga intersección ∞ ∩ J8 8œ" igual a un punto de Q . En la recta la sucesión de conjuntos cerrados J8 œ Ò8ß ∞Ñ es decreciente pero ∞ ∩ J8 œ ø 8œ" por que no se tiene $ J8 Ä !. SOLUCIÓN. Ê ) Cuando $ J8 Ä ! entonces J œ no puede contener más de un punto , entonces es suficiente mostrar que J no es vacío. Sea B8 − J8 ; como $ J8 Ä ! entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, puesto que Q es completo, ÖB8 ×8− converge para algún B − Q . Mostremos que B − ∩ J8 y para esto es suficiente mostrar que B − J8! . ∩ J8 Darío Sánchez H. 93 TOPOLOGIA GENERAL Como J3 no es vacío tomemos +3 en J3 y formemos la sucesión Ö+8 ×8− Þ La sucesión así formada es una sucesión de Cauchy, en efecto como $ J8 Ä !, dado % ! existe 8! tal que $ J8! %Þ Como J" ¨ J# ¨ â para 7ß 8 8! tenemos que J7 ß J8 § J8! Ê +7 ß +8 − J8! por lo tanto . +7 ß +8 % Ê Ö+8 ×8− es una sucesión de Cauchy. Como Q es un espacio métrico completo Ö+8 ×8− posee un límite +8 Ä + con + − Q , se afirma entonces que + − ∩ J8 . Supongamos que +  ∩ J8 esto es b5 − tal que +  J5 . Puesto que J5 es cerrado . +ß J5 !. Sea . +ß J5 œ $ ! entonces F ˆ+ß $# ‰ ∩ J œ ø. De aquí se tiene que para 8 5 Ê +8 − J5 y +8  F ˆ+ß $# ‰ po esto es absurdo ya que +8 Ä +. É ) Sea Ö+" ß +# ß á × una sucesión de Cauchy en Q se quiere mostrar que Ö+8 ×8− converge en Q . Sea entonces E" œ Ö+" ß +# ß á ×ß E# œ Ö+# ß +$ ß á ×ß á ß E3 œ Ö+3 ß +3" ß á × aquí tenemos que E" ¨ E# ¨ â ¨ E3 ¨ â como Ö+8 ×8− es una sucesión de Cauchy Ê $ E8 Ä ! . Además $ E3 œ $ ˆE3 ‰ podemos tomar E" ¨ E# ¨ â ¨ E8 ¨ â y $ ˆE3 ‰ Ä ! aplicando la hipótesis tenemos que ∩ E8 Á ø Ê b+ − ∩ E8 afirmamos 8 que +8 Ä +ß en efecto, dado % !ß b8! tal que $ ˆE8! ‰ % para 8 8! , +8 ß + − E8! entonces . +8 ß + % Ê +8 Ä +Þ 44.Sea L el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. La aplicación lineal X À L L con X B" ß B# ß á ß B8 ß á œ ˆB" ß B## ß B$$ ß á ‰es continua y biunívoca, pero no es sobre LÞ SOLUCIÓN. Como X es lineal basta mostrar que lX B l Ÿ 5 lBl donde 5 es una constante, en efecto, lX B l œ ¼ˆB" ß B## ß B$$ ß á ß B88 ß á ‰¼ œ Ë ∞ 3œ" " 3# B3# 3# Ÿ Å Ÿ " a3 − Ë ∞ 3œ" Luego X es continua. X es inyectiva, pues X B œ X C Í ˆB" ß B## ß á ‰ œ ˆC" ß C## ß á ‰ Í luego B œ C. X no es sobre, pues ˆ"ß "# ß "$ ß á ß 18 ß á ‰ − L pero Ö"ß "ß "ß á × Â LÞ 45. Sea pues ∞ 8œ" " 8# B#3 œ " † lBl. B3 3 œ ∞ C3 3 ß a3 Í B3 œ C3 ß a3 es convergente \ un espacio topológico, Q un espacio métrico completo, E un subconjunto de \ , 0 À E Q una aplicación y + − E. Para que exista el límite lim 0 B Í para cada % !ß existe una vecindad Z de + tal que Bß C − Z implica que BÄ+ . 0 B ß0 C SOLUCIÓN. % Criterio de Cauchy . % ‰ /B3=>/ + Ê Ñ Sea lim 0 B œ - Í ˆ .+.9 %! Š +−Z+ ÎB − Z+ Ê . 0 B ß - # ‹Þ BÄ+ Sean Bß C − Z+ Ê . 0 B ß 0 C Ÿ . 0 B ß - . -ß 0 C #% #% œ %. , É Ñ Dado % œ " entonces existe Z" ® + Î B" ß C" − Z" Ê . 0 B" ß 0 B" " Darío Sánchez H. 94 TOPOLOGIA GENERAL dado %= "# entonces existe Z# ® + Î B# ß C# − Z# Ê . 0 B# ß 0 C# "# en general, dado %= 8" entonces existe Z8 ® + Î B8 ß C8 − Z8 Ê . 0 B8 ß 0 C8 8" Tomando así la sucesión B" − Z" ß B# − Z# ß á ß B8 − Z8 ß á . Se sigue que para 3ß 4 8 Ê B3 ß B4 − Z8 por lo tanto . 0 B3 ß 0 B4 83 de donde Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy, ahora como Q es completo Ö0 B8 ×8− Ä - − Q , se tiene que lim 0 B œ - , en efecto, dado % !ß existe 8" #% • Z8 tal que BÄ+ B − Z8 • B8 − Z8 Ê . 0 B ß 0 B8 Å ‰ˆb8! Î8 8! Ê . 0 B8 ß - #% ‰ Ö0 B8 × Ä - Í ˆ .+.9 %! 46.Sean . 0 B8 ß - Ÿ " 8 % # % # % # œ% espacios vectoriales normados y ¿ Iß J el conjunto de las aplicaciones lineales continuas de I en J . ¿ Iß J es un espacio vectorial en el cual consideramos la norma dada por l0 l œ sup l0 B l œ infÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I×. Iß J lBl œ " B−I Una sucesión de aplicaciones continuas 08 À I J converge para 0 − ¿ Iß J según esta norma si y sólo si 08 Ä 0 uniformemente en cada parte acotada de IÞ Si J es completo entonces ¿ Iß J es completo. C 3Ñ l0 l œ ! Ê l0 B l œ !ß alBl œ " Í l0 ŠC † lCl lCl ‹ œ lCll0 Š lCl ‹ œ ! !. para todo C − I Ê 0 œ Î ! Ê l0 l l0 B l !ß alBl œ " Si 0œ 33Ñ l-0 l œ supÖl -0 B là lBl œ "× œ supÖl-ll0 B là lBl œ "× œ l-lsupÖl0 B là lBl œ "× œ l-ll0 l 333Ñ l0 1l œ supÖl0 B 1 B là lBl œ "× Ÿ supÖl0 B l l1 B là lBl œ "× Ÿ sup l0 B l sup l1 B l œ l0 l l1l lBl œ " lBl œ " Parte , Sea l0 l œ sup l0 B lß P œ infÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I× tenemos que SOLUCIÓN. Parte + |0 C l Ÿ l0 llCl C l0 l l0 Š lCl ‹l œ pues l0 l l0 B l ß alBl œ ". lBl œ " B−I " lCl l0 C l Ê l0 C l l0 l † lCl Tomemos C œ B lBl con B Á ! tenemos tomando además 5 œ l0 l l0 l P œ infÞÖ5 !à l0 B l Ÿ 5lBl×Þ Supongamos ahora l0 l PÞ De la definición de inf se recibe que se tiene /B3=>/ ‰ ˆ .+.9 ‰ˆ /B3=>/ ‚ %! 5! • B! −I "Ñ P%5 #Ñl0 B! lŸ5lB! l de donde tenemos que l0 B! l Ÿ 5lB! l P % lB! l o sea que ¹0 Œ B! ¹P% lB! l De otra parte se tiene que (por la definición de sup) " Darío Sánchez H. o sea que 95 TOPOLOGIA GENERAL ˆ .+.9 ‰ˆa B − I con lBl œ "ß l0 B l % P‰ %! ˆ .+.9 ‰ˆa B − I con lBl œ "ß l0 B l P %‰ %! En particular para B œ lBB!! l se tiene que ¹0 Œ B! ¹ P% lB! l De " y # obtenemos po una contradicción. Parte - É Ñ Claro ya que si 08 Ä 0 uniformemente en toda parte acotada de I , tomando H œ ÖB − I À lBl œ "× se tiene que ˆ .+.9 ‰ˆb 8! Îl08 B 0 B l %ß si 8 8! y a B − H‰ Ê l08 0 l %ß 8 8! %! Se sigue que 08 Ä 0 − ¿ Iß J en el sentido de la norma definida en la parte + Ê Ñ Sea Q una parte acotada de I o sea que $ Q œ +. Sea C − Q entonces dado C C % %w œ +" ß existe 8! tal que para 8 8! ß lCll08 Š lCl ‹ 0 Š lCl ‹l Ÿ lCl +% + +% œ % ya que l08 0 l %. Parte . J completo Ê ¿ Iß J es completo. Sea Ö08 ×8− − ¿ Iß J una sucesión de Cauchy, entonces esto significa que Ö08 B ×8− es una sucesión de J , por lo tanto converge para 0 B ß solo resta probar que la convergencia es uniforme en ese caso tendríamos que ¿ Iß J es completo. 47.Dado un recubrimiento Æ del intervalo Ò+ß ,Ó, es posible obtener números >3 con + œ >! >" â >8 œ , tales que los intervalos Ò>3 ß >3" Óß 3 œ !ß "ß #ß á ß 8 " tiene todos la misma longitud y cada uno de ellos está contenido en algún conjunto Y del recubrimiento Æ. SOLUCIÓN. Como Æ es un recubrimiento de Ò+ß ,Ó y Ò+ß ,Ó es un conjunto compacto de d el cual es espacio métrico entonces Æ posee un número de Lebesgue % !. También tenemos que , + ! por la propiedad Arquimediana es posible hallar 8 tal que 8% , +Þ Así dividiendo el intervalo Ò+ß ,Ó en 8 partes iguales obtenemos una partición + œ >! >" â >8" >8 œ ! tal que >8" >8 œ Ò>8 ß >8" Ó § Y . 48.Sea \ ,+ 8 ß así $ Ò+ß ,Ó œ ,+ 8 %ß entonces existe Y − Æ tal que un conjunto bien ordenado no enumerable, poseyendo último elemento H, tal que para cada + − \ ÖH× el conjunto ÖB − \à B Ÿ +× es enumerable. Consideremos en \ la topología del orden en la cual una base de abiertos está formada por los intervalos abiertos +ß , œ ÖB − \à + B ,×. Si se sabe que en un # Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 96 conjunto bien ordenado, toda sucesión decreciente B" B# â B8 â toma apenas un número finito de valores, muestre que \ es compacto. SOLUCIÓN. Sea \ œ ∪ Y- , se construye ^ œ ÖB − Òαß HÓà Òαß BÓ § Y-" ∪ â ∪ Y-8 ×. -−P Sea " œ sup^Þ ") " − ^ ; en efecto ^ œ Òαß " Ñß oß ^ œ Òαß " Ó. Se presentan dos posibilidades: 3) " tiene antecesor inmediato " w " w − ^ß Òαß " w Ó § Y-" ∪ â ∪ Y-8 , " − Y-! en este caso Òαß " Ó œ Òαß " w Ó ∪ Ö" × § Y-" ∪ Y-# â ∪ Y-8 ∪ Y-! entonces se tiene " − ^ 33) " no tiene antecesor inmediato. Existe Y-! tal que " − Y-! por definición de abierto existe un intervalo conteniendo un " w " . Así no se puede tener que ^ œ Òαß " Ñ quedando por lo tanto la posibilidad de ser ^ œ Òαß " Ó. #Þ " − H ya que si " H entonces inmediatamente existe " sucesor inmediato de " , teniéndose que Ò αß " Ó § Y - " ∪ â ∪ Y - 8 Òαß " Ó § Y-" ∪ âY-8 ∪ Y-! eso es po contradictorio ya que " " y " − ^ß " no sería el sup de ^Þ 49.En un espacio topológico I" las siguientes condiciones son equivalentes: + Todo subespacio infinito tiene un punto de acumulación , Toda sucesión posee una subsucesión convergente. En particular todo espacio compacto I" es secuencialmente compacto. El espacio ] œ \ÖH× es I" y secuencialmente compacto pero no es compacto. + Ê , Sea \ un espacio I" . Dada una secuencia ÖB8 ×8− en \ , dos SOLUCIÓN. cosas pueden ocurrir o el conjunto de los valores B8 es finito o es infinito. En el primer caso algún valor + œ B8" œ B8# œ â œ B85 =â debe repetirse infinitas veces y por lo tanto la sucesión ÖB85 ×5− converge para el punto + − \ ; en el segundo caso el conjunto ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × por hipótesis posee un punto de acumulación B − \ . Toda vecindad de B contendría términos B8 con índice arbitrariamente grande y por lo tanto será límite de una subsucesión de ÖB8 ×8− recuerde un resultado básico ¿cuál? , Ê + Demostremos ahora que todo subconjunto infinito W de \ tiene un punto de acumulación. \ es un espacio I" por lo tanto W también lo es. Podemos Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 97 extraer una sucesión ÖB8 ×8− formada por puntos de W . Como ÖB8 ×8− es una sucesión en \ entonces posee una subsucesión convergente así existe ÖB85 ×5− tal que lim B85 œ B, evidentemente B es el punto de acumulación de Wß en efecto 5Ä∞ lim B85 œ B Í a Z − µ B , existe 8!5 − tal que 85 8!5 implica que B85 − Z entonces 5Ä∞ para todo Z − µB, Z ∩ W Á ø; si a partir de un 8!5 , B − W entonces Z" ¨ Z# ¨ â ¨ Z7 la sucesión sería finita entonces B − W . En particular si \ es compacto por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto infinito posee un punto de acumulación y siendo \ un espacio I" todas las sucesiones en \ poseen una subsucesión convergente y por lo tanto \ es secuencialmente compacto. El espacio ] œ \ ÖH× no es compacto pero todo subconjunto infinito de ] posee un punto de acumulación y por lo tanto toda sucesión en ] posee una subsucesión convergente, esto es ] es secuencialmente compacto. 50.Si toda función real continua 0 À \ d es acotada entonces toda función real continua en \ toma sus valores extremos. SOLUCIÓN. Supongamos que existe 0 À \ d continua, acotada tal que + œ sup 0 B B−\ (+ existe pues 0 B es acotada) y +  0 \ , entonces tenemos que la función 1À\ d es una función continua pues para todo B − \ , 0 B + Á !Þ B È 1 B œ 0 B" + Mostremos ahora que 1 no es acotada. Como + œ supÞÖ0 B × œ supÞÖ0 B ÎB − \×ß 0 \ es acotado en la recta, entonces 0 \ posee una subsucesión convergente a +ß esto es existe C" ß C# ß á ß C8 ß á con C3 − 0 \ y C8 Ä +. Si 8 tiende a ∞ entonces existe ÖB8 ×8− § \ tal que lim 0 B8 œ + entonces 1 B8 Ä ∞ o a 8Ä∞ ∞ cuando 8 Ä ∞ así 1 no es acotada po 51.En un espacio secuencialmente compacto, toda función real continua es acotada. SOLUCIÓN. Afirmación: Si \ es secuencialmente compacto y 0 À \ d continua entonces 0 \ es secuencialmente compacto. En efecto, sea Ö0 B8 ×8− una sucesión de 0 \ entonces ÖB8 ×8− es sucesión de \ esto implica que existe ÖB85 ×5− tal que B85 Ä B − \ entonces como 0 es continua 0 B85 Ä 0 B − 0 \ entonces Ö0 B8 ×8− admite una subsucesión convergente en 0 \ . Entonces por un resultado básico ¿cuál?, 0 \ es compacto (ya que d es un espacio métrico) entonces 0 \ es acotado. 52.En un espacio topológico cualquiera \ , el subconjunto W formado por los puntos B8 de una sucesión convergente y además el punto límite + de esa sucesión, es un espacio compacto. Darío Sánchez H. 98 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. Sea W œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × ∪ Ö+× donde + œ lim B8 . Sea Š 8Ä∞ ∪ E- ‹ ∪ E un -−P recubrimiento de W donde los E- son abiertos conteniendo a B- y E abierto conteniendo a +. Existe un 8! tal que 8 8! ß B8 − E. Luego E" ∪ E# ∪ â ∪ E8! ∪ E es un subrecubrimiento finito de W entonces W es compacto. 53.Toda aplicación abierta (es necesario que sea continua) de un espacio compacto \ en un espacio de Hausdorff ] conexo, es sobre. Concluir que 0 À d W " ß 0 > œ /#1> ß es sobre W " . SOLUCIÓN. + Como 0 es continua, y \ es compacto, entonces 0 \ es compacto, además ] es un espacio de Hausdorff entonces 0 \ es cerrado en ] . \ es abierto en \ y 0 abierta entonces 0 \ es abierto en ] entonces 0 \ es abierto y cerrado, 0 \ Á ø entonces 0 \ œ ] ya que ] es conexo por consiguiente 0 es sobre. , Se concluye que 0 À d W " , definida por 0 > œ /#1> es sobre, puesto que del diagrama adjunto tenemos que d /™ es compacto por que es homeomorfo a un : 0 d dΙ W " intervalo por ejemplo a Ò!ß "ÓÞ 0 es abierta porque si E § dΙ es 0 abierto E œ : E" donde E" es abierto en d y 0 E œ 0: E" œ 0 E" que es abierto. Así 0 es sobreyectiva. Como 0 ‰ : œ 0 entonces 0 es sobre. 54.Sea ¶ " œ ¶ " Ò+ß ,Óà d el conjunto de las funciones 0 À Ò+ß ,Ó d la cual posee derivada continua en todos los puntos de Ò+ß ,Ó. ¶ " es un espacio vectorial, en el cual consideramos la norma l0 l‡ œ sup Öl0 > l l0 w > l×Þ Una función 2 − ¶ " se le denomina un difeomorfismo ˆde clase ¶ " ‰ cuando 2 posee un inverso 2 " À 2 Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó el cual también tiene derivada continua en todos los puntos. Para que 2 − ¶ " sea un difeomorfismo, es necesario y suficiente que 2 w B Á ! para todo B − Ò+ß ,Ó. El conjunto de los difeomorfismos es abierto en el espacio ¶ " . SOLUCIÓN. + ¶ " œ ¶ " Ò+ß ,Óà d es un espacio vectorial. Basta mostrar que ¶ " es un subespacio vectorial del espacio ¹ Ò+ß ,Óà d de las funciones a valor real. 0 ß 1 − ¶ " entonces 0 w ß 1w son continuas entonces 0 1 w œ 0 w 1w y siendo suma de dos funciones continuas es también continua, luego 0 1 − ¶ " . 0 − ¶ " y - − d entonces -0 w œ -0 w continua entonces -0 − ¶ " Þ , 2 − ¶ " es un difeomorfismo si y sólo si 2 w B Á ! para todo B − Ò+ß ,Ó Ê Ñ 2 − ¶ " entonces 2 w es continua. 2 es un difeomorfismo entonces existe 2 " y w existe 2 " y tambien es continua. w 2 " ‰ 2 B œ M B œ B entonces 2 " 2 B 2 w B œ " en esta forma " " w " w 2 2 B œ 2w B y como 2 es continua para todo C − 2 Ò+ß ,Ó entonces 2w "B es continua para todo B − Ò+Þ,Ó entonces 2 w B Á ! para todo B − Ò+ß ,Ó. +Ÿ>Ÿ, Darío Sánchez H. 99 TOPOLOGIA GENERAL É ) Para todo B − Ò+ß ,Óß 2 w B Á ! entonces 2 es estrictamente monótona ya sea creciente o decreciente en Ò+ß ,Ó, por un resultado básico ¿cúal? 2 À Ò+ß ,Ó d es un homeomorfismo de Ò+ß ,Ó sobre 2 Ò+ß ,Ó . Entonces 2 " existe y es continua. Sea 2 " œ 1, Si existe 1w C con C œ 2 B deberá ser igual a [2 w B ]" y por lo tanto escribimos 1 C 5 œ 1 C Ò2 w B Ó" = 5 y tenemos que mostrar que lim =l5l5 œ !. 5Ä! Sea 2 B 6 œ C 5 entonces 5 œ 2 B 6 C œ 2 B 6 2 B y 5 Ä ! si y sólo si 6 Ä ! ya que 2 es un homeomorfismo. Entonces 6 œ 1 C 5 1 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 B 6 2 B Ó = 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 w B 6 < 6 Ó = 5 l6l [2w B ]" < 6 entonces = 5 œ Ò2 w B Ó" < 6 en esta forma =l5l5 œ l5l Š ‹ cuando 5 Ä !, l6l entonces l6l l5l permanece acotado y <6 l6l Ä ! cuando 6 Ä !. Luego lim = 5 5Ä! l5l w œ !Þ Esto muestra que 1 œ 2 " es diferenciable para cada C − 2 Ò+ß ,Ó con 1 C œ Ò2 w B Ó" y como 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó y es continua para todo C − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − ¶ " Þ 55.Sea \ un espacio compacto y Q un espacio métrico. El conjunto de las aplicaciones continuas de \ sobre Q es cerrado en ¶ \à Q . SOLUCIÓN. Sea ¶ \à Q œ Öaplicaciones continuas de \ en Q × œ Æ. Sea J œ Ö0 − ¶ \à Q Î0 es sobre×, veamos que CJ œ Æ J es abierto, sea 0 − CJ Í b 7! − Q tal que 7!  0 \ (esto es para todo B − \ , 0 B Á 7! ) entonces 0 \ es cerrado (pues 0 \ es compacto), así 7! − C0 \ y C0 \ es abierto, entonces existe µ% 7! œ Ö7 − Q Î. 7! ß 7 %× y µ% 7! § C0 \ . Consideremos ahora µ #% 0 œ Ö1 − ¶ \à Q Î. 0 ß 1 #% ×, 0 − CJ . Sea 1 − µ #% 0 , veamos que 1 − CJ o sea veamos que 1 no es sobre. Como 1 − ¶ \à Q entonces 1 \ es compacto por lo tanto 1 \ es cerrado y se tiene . 7! ß 1 B . 0 B ß 1 B . 7! ß 0 B para todo B − \ o equivalentemente . 7! ß 0 B Ÿ . 7! ß 1 B . 0 B ß 1 B para todo B − \ pero para todo B − \ , . 0 B ß 1 B Ÿ sup Ö. 0 B ß 1 B × œ . 0 ß 1 #% B−\ se sigue que para todo B − \ß . 7! ß 0 B ‡ % Æ # . 7! ß 1 B % # entonces . 7! ß 1 B . 7! ß 0 B % #% œ #% ‡ dado que µ% 7! § C0 \ entonces . 7! ß 0 B %Þ a De donde tenemos que . 7! ß 1 B #% ß B−\ Hemos mostrado que 1 À \ Q es tal que 1 − ¶ \à Q y existe 7! − Q tal que . 7! ß 1 B #% ß aB − Q para algún % !, por ser 1 continua de \ en Q entonces 7! Á 1 B para todo B − \ de donde 1 no es sobre, por lo tanto µ #% 0 § CJ , se sigue que CJ es abierto, de donde se obtiene que J es cerrado. Darío Sánchez H. 56.Sea 100 TOPOLOGIA GENERAL Q un espacio métrico compacto. Toda aplicación 0 À Q Q tal que œ . Bß C para cualesquier Bß C − Q , es sobre. SOLUCIÓN. 0 es biunívoca ya que 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ . Bß C œ ! entonces B œ CÞ Supóngase que 0 no es sobreyectiva entonces existen B − Q 0 Q y % ! tales que . Bß 0 C % ß aC − Q en particular para C œ B tenemos . Bß 0 B %, ahora . 0 B ß 0 # B œ . Bß 0 B % , y cuando C œ 0 B tenemos . Bß 0 0 B œ . Bß 0 # B % por analogía . 0 B ß 0 $ B œ . Bß 0 # B % . 0 # B ß 0 $ B œ . 0 B ß 0 # B œ . Bß 0 B % # $ Así Bß 0 B ß 0 B ß 0 B ß á es una sucesión tal que . 0 7 B ß 0 8 B %, esto es contradictorio po ya que se ha obtenido en Q una sucesión que no admite una subsucesión convergente, así Q como espacio métrico que es, no sería compacto. Luego 0 es sobre. . 0 B ß0 C 57.Sea Q un espacio métrico compacto. Si una aplicación 0 À Q Q es tal que . Bß C para cualesquier Bß C − Q ß entonces 0 es una isometría de Q Þ SOLUCIÓN. Bß C − Q entonces . Bß C Ÿ 0 0 B ß 0 C Ÿ . 0 # B ß 0 # C Ÿ â Ÿ . 0 8 B ß 0 8 C para todo 8 − . Construyamos las subsucesiones Ö0 85 B ×5− ß Ö0 85 C ×5− tales que lim 0 85 B œ B • lim 0 85 C œ C . 0 B ß0 C 5Ä∞ 5Ä∞ La sucesión Ö0 8 B ×8− § Q que es secuencialmente compacto, por lo tanto existe Ö0 85 C ×5− subsucesión convergente por lo tanto es una sucesión de Cauchy esto es; w 85 ˆ .+.9 ‰ /B3=>/ C ß 0 85 w C % ‹ %! Š 5 ! Îa5ß 5 5! ß . 0 ! Analógamente como Ö0 B ×8− § Q se tiene para 8 7 y de la hipótesis . 0 8 C ß 0 7 B . 0 8" B ß 0 7" B â . 0 87 B ß B por lo tanto % . 0 85 C ß 0 85w C . 0 85 85w C ß C para 5 grande 85 85 w 85 85w % . 0 B ß0 B . 0 B ßB Luego como % es arbitrario se sigue que lim 0 84 B œ B • lim 0 84 C œ C 8 Por lo tanto de donde Luego 4Ä∞ 4Ä∞ 0 84 B ß 0 8 4 C Ä Bß C . Bß C Ÿ . 0 8 B ß .0 8 C . 0 B ß0 C Ÿ â Ÿ . Bß C œ . Bß C Þ 58.Pruébese que: + No todo espacio compacto es metrizable Darío Sánchez H. 101 TOPOLOGIA GENERAL , Un espacio localmente compacto I" de Hausdorff puede ser secuencialmente compacto sin ser compacto. - Todo espacio cociente de un espacio compacto es compacto. . Si todo subespacio de un espacio de Hausdorff es compacto entonces el espacio en cuestión es finito. / Si una topología compacta es más fina que una topología de Hausdorff, entonces las dos coinciden. 0 Las componentes conexas de un espacio compacto son compactas 1 Un espacio localmente compacto de Hausdorff puede ser normal. 2 Un espacio localmente conexo posee apenas un número finito de componentes conexas. SOLUCIÓN. + Tómese el siguiente ejemplo, sea I œ Ö"ß #ß $× y 7 œ ÖIß øß Ö"×× es compacto, pero no es metrizable pues I no es Hausdorff. , El espacio ] œ \ ÖH× parece satisfacer las condiciones (falta mostrar que es localmente compacto). Sea H − \ , + − \ ÖH× entonces ÖB − \ÎB Ÿ +× es enumerable. Como la topología del orden \ siempre es Hausdorff entonces \ ÖH× es Hausdorff. \ ÖH× es I" À Como dado B − \ ÖH× entonces ÖB − \ÎB Ÿ +× es enumerable, por lo tanto podemos obtener también ,ß Bß + − \ ÖH× donde , Ÿ B Ÿ +ß +ß , § \ ÖH× y es enumerable por lo tanto tiene un sistema fundamental de vecindades enumerable. Así \ ÖH× es infinito y contiene un subconjunto enumerable, pero todo subconjunto de \ ÖH× es acotado pues serán todos los del tipo +ß , que es enumerable. - Sea \ un espacio topológico, I una relación de equivalencia sobre \ ß : À \ \ÎI la aplicación cociente, entonces por la definición de topología cociente como : es sobre, continua y : \ œ \ÎI . Luego si \ es compacto entonces : \ es compacto por lo tanto \ÎI es compacto. . Sea \ un espacio de Hausdorff en el cual todo subconjunto es compacto. Supongamos que \ es un conjunto infinito, entonces para todo B − \ß \ ÖB× es un subconjunto compacto y por ser Hausdorf es cerrado, entonces ÖB× es abierto en \ por ser su complemento cerrado en \ . \ œ ∪ ÖB× es un recubrimiento B−\ abierto de \ por ser \ compacto existe un subrecubrimiento finito tal que 8 \ œ ∪ ÖB3 × que cubre a \ y esto es imposible cuando \ sea infinito po 8œ" B3−\ / 3) Toda aplicación continua 0 À O ] de un espacio topológico compacto O sobre un espacio de Hausdorff ] es una aplicación cerrada. 33) Toda aplicación 0 À O ] continua y biunívoca de un espacio compacto sobre un espacio de Hausdorff ] es un homeomorfismo. Sea + À \ß 7\ß 7L continua y biunívoca donde Darío Sánchez H. 102 TOPOLOGIA GENERAL 7- œ topología sobre \ tal que \ es compacto 7L œ topología sobre \ tal que \ es Hausdorff + la aplicación idéntica, es continua ya que 7L £ 7- (la topología Hausdorff es menos fina que la topología compacta) Entonces: 33) muestra que 7L œ 70 Evidente del hecho de que todo B − \ , GB la componente conexa de B es un conjunto cerrado de \ entonces por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto cerrado J de un espacio compacto \ , es compacto entonces GB es compacto. 1 Una condición suficiente para que un espacio de Hausdorff sea normal es que sea compacto. Sea \ œ Ö Bß C − d # ÎC !× § d # ß siendo d los números reales. Como base para los abiertos en un punto C !, escogemos los interiores de círculos alrededor del punto y radio menor o igual a un medio de la distancia del punto al eje BÞ Para puntos Bß ! sobre el eje B escogemos como abiertos básicos los conjuntos de la forma Ö Bß ! × ∪ interior de un círculo tangente al eje B en el punto C que este contenido en \ . \ no es normal pues los conjuntos J" œ Ö Bß ! ÎB − ×ß J# œ Ö Bß ! ÎB − d × son cerrados disyuntos pero no poseen abiertos disyuntos que los contengan. Evidentemente \ es Hausdorff y localmente compacto. 2 Sea ÖE3 ×3−M la familia de componentes conexas de \ entonces ÖE3 ×3−M es un recubrimiento por abiertos de \ ya que cada componente conexa de \ es un espacio locamente conexo es un conjunto abierto y cerrado entonces existe un número finito, digamos E3" ß E3# ß á ß E38 que son un subrecubrimiento finito de \Þ Pero si 3 Á 4 sabemos que E3 ∩ E4 œ ø entonces ningún E4 puede ser omitido del conjunto ÖE3 ×3−M tal que las componentes restantes cubran aún a \ , esto implica que E3" ß E3# ß á ß E38 deben ser las componentes de \Þ 59. Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un espacio métrico Q sea compacto: + Todo recubrimiento abierto numerable posee un subrecubrimiento finito. , Toda sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de subconjuntos cerrados no vacíos tiene una intersección ∩ J8 no vacía. - Todo subconjunto cerrado y discreto es finito. SOLUCIÓN. + Por definición. , Ê Ñ Q espacio métrico compacto, entonces toda familia ÖJ3 ×3−M de subconjuntos cerrados de \ satisfacen la propiedad de la intersección finita, tiene intersección no vacía. Ahora toda sucesión decreciente de cerrados J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â no vacíos satisface la propiedad de la intersección finita ya que Luego ∩ J8 Á ø. É ÑSupongamos que de no, sería compacto . Q no es compacto 8 ∩ J3 œ J 8 Á ø Þ 3œ" entonces Q es infinto Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 103 Como Q es infinito entonces existe un subconjunto enumerable en Q , Z œ Ö+" ß +# ß á ß +8ß á × que no posee una subsucesión convergente ni tiene punto de acumulación. Construyamos la siguiente sucesión decreciente J" œ Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á ×ß J# œ Ö+# ß +$ ß á ß +8 ß á ×ß á ß J8 œ Ö+8ß +8"ß á × claramente J8 ∩ J7 Á ø , a8 Á 7. Además los J8 son cerrados pues Q J8 no tienen puntos de acumulación en Z o sea aB − Q J8 existe F Bß % tal que F Bß % ∩ J8 œ ø, entonces F Bß % § Q J8 . Además ∩ J 8 œ ø por que si ∩ J 8 œ , entonces Ö+" ß +# ß á × tendría un punto de acumulación po lo cual es contradictorio. Luego Q debe ser compacto. - Ê ) Sea W § Q cerrado discreto entonces W es finito. Si W es infinito entonces existe un subconjunto de W enumerable Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × § Wß +3 Á +4 , 3 Á 4 . Como todo subconjunto infinito de un espacio métrico compacto posee un punto de acumulación en Q sea + − Q punto de acumulación de Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × entonces toda vecindad Z+ en Q contiene un número infinito de elementos de Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á ×. Como W es cerrado, entonces + − W . Luego + no es punto aislado de W entonces W no es discreto esto es po contradictorio. É ) Hipótesis: Q espacio métrico tal que todo W § Q cerrado discreto entonces W es finito, Tesis: entonces Q es compacto. Si Q no es compacto entonces Q es infinito. Basta exhibir un conjunto cerrado discreto infinito. Como Q es infinito entonces existe un subconjunto enumerable en Q , Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × œ Z que no posee una subsucesión convergente, el conjunto de valores de Ö+8 ×8− es infinito en caso contrario Ö+8 ×8− posee una subsucesión convergente. Ningún punto +3 − Z es punto de acumulación de Z entonces a+3 − Z , +3 es punto aislado Ê Z es discreto. En Q Z también no existen puntos de acumulación de Z o sea a B − Q Z ß b F Bß % %! bola abierta, tal que F Bß % ∩ Z œ ø entonces F Bß % § Q Z entonces Q Z es abierto en Q , entonces Z es cerrado en Q Þ Luego Z § Q es cerrado, discreto e infinito po contrario a la hipótesis. 60.Un conjunto infinito \ , provisto de la topología cuyos abiertos son complementarios de las partes finitas de \ß es compacto, todos sus puntos cerrados y todos los subconjuntos (cerrados o no) son compactos. Obtener sucesión decreciente de subconjuntos cerrados J" ¨ J # ¨ â ¨ J 8 ¨ â ∩ J8 œ ø, cada uno de los J8 siendo infinito. SOLUCIÓN. 3) \ es compacto. Sea ∪ G- œ \ -−P los son una con un recubrimiento de \ . Considérese algún G! de ese recubrimiento, G! abierto en \ , entonces \ G! es una parte finita de \ así \G! œ Ö+" ß +# ß á ß +8 × para cada +5 − \ G! ß " Ÿ 5 Ÿ 8 existe un G-5 − ÖG- × tal que +5 − G-5 entonces \ G! § G-" ∪ G-# ∪ â ∪ G-8 , por lo tanto se tiene que \ œ G! ∪ \ G! œ G-! ∪ G-" ∪ â ∪ G-8 , luego \ es compacto. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 104 33) Todo punto es cerrado. ÖB× es una parte finita de \ entonces \ÖB× es abierto en \ entonces ÖB× es cerrado. 333) Todos los subconjuntos de \ (cerrados o no ) son compactos W § \ Í \ W es abierto en \ Í C \ W œ W es finito, así W es compacto. 3@) Ejemplo: \ es infinito enumerable con la topología de los complementos de las partes finitas, entonces existe un B" − \ tal que J" œ \ ÖB" × es infinito, cerrado no vacío. Existe B# − J" tal que B" Á B# y se tiene J# œ \ÖB" ß B# Ó es infinito, cerrado no vacío. Continuando este proceso, obtenemos recursivamente que J8 œ \ÖB" ß B# ß á ß B8 ×, B3 Á B4 3 Á 4 ß J8 cerrado, infinito, no vacío y J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â además ∩ J8 œ ø. 61.Si 0 ÀQ d es una función continua no acotada en el espacio métrico Q œ Q ß . , la métrica ." Bß C œ . Bß C l0 B 0 C l es no acotada y equivalente a . . Concluir que un espacio métrico es compacto si y sólo si es acotado en relación a cualquier métrica compatible con su topología. SOLUCIÓN. Sabemos por un resultado básico ¿cuál? que dice: Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación continua, la métrica definida en Q por 3 Bß C œ . Bß C ." 0 B ß 0 C es equivalente a . . En particular si 0 À Q d es una función real continua, la métrica 3 Bß C œ . Bß C l0 B 0 C l es equivalente a la métrica original de Q Þ É Ñ Supongamos que Q es acotado en relación a cualquier métrica compatible con su topología. En particular Q es acotado, aB,C − Q Ê 0 À Q d es una aplicación real continua, como se sabe vale el recíproco del teorema de Weierstrass entonces Q es compacto. Ê ) Q es compacto sea . w una métrica cualquiera compatible con la topología de Q , . w À Q ‚ Q d es continua (ya que Q ‚ Q es compacto) Ê . w Q ‚ Q es compacto en d entonces . w Q ‚ Q es acotado de donde se sigue que . w es una métrica acotada. Nota: . w µ . Ê + À Q ß . w Q Þ. es continua. Como Q es compacto entonces + es uniformemente continua entonces . w es uniformemente equivalente a .Þ 62. Para que una sucesión ÖB8 ×8− en un espacio métrico compacto Q , sea convergente es necesario y suficiente que ella posea exactamente un valor de adherancia. SOLUCIÓN. Ê ) Como ÖB8 ×8− es una sucesión en un espacio métrico compacto Q entonces el espacio es secuencialmente compacto por lo tanto existe una subsucesión ÖB85 ×5− convergente a algún B, por lo tanto B es un valor de adherencia de la sucesión ÖB8 ×8− y exactamente único debido a que el límite es único. Darío Sánchez H. 105 TOPOLOGIA GENERAL É ) Supongamos que ÖB8 ×8− posee exactamente un valor de adherencia B − Q Þ Supongamos que ÖB8 ×8− no converge entonces existe % ! tal que en µ Bß % existe infinitos valores de B8 que no pertenecen a µ Bß % Þ Q µ Bß % es cerrado en Q entonces Q µ Bß % es compacto. Por hipótesis existe Ö885 ×5− una sucesión (la cual también es subsucesión de ÖB8 ×8− ) en Q µ Bß % Ê como Q µ Bß % es un espacio métrico compacto admite una subsucesión convergenteß supongamos que B853 Ä +. Como Q µ Bß % es compacto en Q que es métrico por lo tanto Q es un espacio de Hausdorff de donde + − Q µ Bß % entonces + Á B así ÖB8 ×8− posee más de un valor de adherenciapo. Luego ÖB8 ×8− es convergente. 63. + Muestre que cada subconjunto cerrado en un espacio métrico puede ser obtenido como una intersección decreciente enumerable de abiertos. , Muestre que esto no es verdad para cualquier espacio topológico. SOLUCIÓN. + F" B ¨ F " B ¨ â ¨ F " B ¨ âß B − J § Qß . ß J œ J Þ # 8 Sea E" œ ∪ F" B−J B ß E# œ 3) a8 "ß J § E8 así 33) Sea B − ∞ ∩ E8 8œ" F ∪ F B ß á ß E8 œ B ∪ B−J −J ∞ J § ∩ E8 8œ" " # " 8 B . Mostremos que J œ ∞ ∩ E8 8œ" entonces mostremos que . Bß J œ !ß así B − J . Es suficiente mostrar que a % ! existe C − J tal que . Bß C % se escoge 8 tal que " " " 8 %Þ Puesto que B − E8 , existe C − J tal que B − F C Ê . Bß C 8 %. 8 Sea E8 œ ÖC − Q à . Bß C 8" × Ê E8 es abierto y J § E8 . Además C − ∞ ∩ E8 8œ" Ê . Cß J œ ! Þ Si J es cerrado, C − J Ê ∞ ∩ E8 œ J . 8œ" , Sea \ œ Ö+ß ,× C 7 œ Öøß \ß Ö+×× Ê Ö,× es cerrado y no se cumple + . 64. Sea O" ¨ O# ¨ â ¨ O8 ¨ â una sucesión decreciente de subespacios compactos de un espacio métrico Q . Dado cualquier abierto Y en Q , contenido en la intersección O œ ∩ O8 , existe 8! tal que O8 § Y para todo 8 8! . Concluir que la intersección de una sucesión decreciente de subconjuntos compactos conexos de un espacio métrico, es un conjunto compacto y conexo. Dé un ejemplo de una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados conexos del plano cuya intersección es disconexa. Î Y entonces SOLUCIÓN. + Supongamos que a8! − ß existe 8" 8! tal que O8" § O8" ∩ Q Y Á ø. Tenemos Y abierto entonces Q Y es cerrado O8" sea compacto en un espacio métrico Q por tanto Hausdorff . Análogamente existe 8# 8" tal que O8# § Î Y y por lo tanto O8# ∩ Q Y Á ø y cerrado en Q y O8# § O8" entonces O8# ∩ Q Y § O8" ∩ Q Y . Prosiguiendo con ese raciocinio, tenemos Darío Sánchez H. 106 TOPOLOGIA GENERAL una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de Q con la propiedad de la intersección finita y por lo tanto øÁ ∞ ∩ O8 5œ" 5 ∩ Q Y œŠ ∩ O8 ‹ ∩ 8œ" ∞ 5 Q Y œO ∩ Q Y pero esto po es absurdo pues por hipótesis O § Y y por lo tanto O ∩ Q Y œ ø. , O" ¨ O# ¨ â ¨ O8 ¨ â donde cada O8 es compacto y conexo contenidos en un espacio métrico por lo tanto espacio de Hausdorff entonces O es cerrado. Entonces ∞ O œ ∩ O8 es cerrado en Q y por lo tanto cerrado en O" y siendo O" compacto se nœ" sigue que O es compacto. Supongamos que O no es conexo, ie, existen Eß F cerrados de O no vacíos tales que O œ E ∪ F y E ∩ F œ ø entonces existe Ew , F w abiertos de Q tales que Ew ¨ Eß F w ¨ F , como Eß F son compactos entonces Ew ∩ F w œ ø y se tiene O œ E ∪ F œ Ew ∩ O ∪ F w ∩ O œ Ew ∪ F w ∩ O § Ew ∪ F w y Ew ∪ F w abierto en Q Þ Entonces por la parte + existe 8! tal que para todo 8 8! O8 § Ew ∪ F w , esto es O8 está contenido en una reunión de dos abiertos disyuntos entonces a8 8! , O8 es disconexo po lo cual es absurdo. - Consideremos en d # la siguiente sucesión O8 decreciente de subconjuntos cerrados conexos. O8 œ d # P8 donde P8 œ rombo abierto sin frontera de vértices "ß ! ß !ß 8 ß "ß ! ß !ß 8 ß a8 − . Entonces O œ ∞ ∩ J8 œ d # J ß 8œ" donde J es la franja de centro en el origen y radio " paralela al eje C, Luego O es disconexo. 65. En un espacio localmente compacto, cuales de las siguientes afirmaciones de abajo son verdaderas. + La reunión de dos conjuntos localmente compactos es localmente compacto. , La intersección de dos conjuntos localmente compactos es localmente compacto. - El complemento de un conjunto localmente compacto es localmente compacto. SOLUCIÓN. + Es falso. Tomemos para mostrarlo el siguiente conjunto: En d # consideremos dos conjuntos E y Fà E cerrado y F abierto y E ∩ F Á ø. d # es localmente compacto, E y F también son localmente compactos. Sea : − 0 < E ∩ 0 < F , entonces cualquier bola con centro en : contiene una sucesión Ö+8 ×8− , +8 − E tal que +8 Ä :w y :w  E ∪ F, esto es, cualquier vecindad de : contiene sucesiones que convergen para puntos que están fuera de E ∪ F y por lo tanto, E ∪ F no es localmente compacto , Es falso. Tómese \ espacio que no sea localmente compacto y +ß ,  \ y ] œ \ ∪ Ö+ß ,×. Definimos 7] œ Ö] ß \ ∪ Ö+×, \ ∪ Ö,×ß ø× ∪ 7\ ß E œ \ ∪ Ö+×ß F œ \ ∪ Ö,× son compactos y localmente compactos pero \ œ E ∪ F que por construcción no es localmente compacto. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 107 - Es falso. Consideremos en d # , que es localmente compacto, un conjunto E œ ÖB − d # à lBl Ÿ "× Ö:× donde : − 0 < H , siendo H el disco unitario. E es localmente compacto pues aB − E, b% !; :  F Bß % Afirmación: E ∩ F Bß % es compacto y por consiguiente es una vecindad compacta de BÞ Sea C un punto de acumulación de E ∩ F Bß % entonces C es punto de acumulación de E y de F Bß % y por ser F Bß % cerrado, C − F Bß % . Supongamos que : no sea punto de acumulación de E y de F Bß % entonces : no es punto de acumulación de E ∩ F Bß % , : Á C entonces C − E Ê C − E ∩ F Bß % . Esto muestra que E ∩ F Bß % contiene todos sus puntos de acumulación y por lo tanto es cerrado y acotado en d # luego localmente compacto. Por otro lado d # E no es localmente compacto pues cualquier vecindad de : contiene una sucesión ÖB8 ×8− , B8 − d # Eß B8 Ä B! y B! − 0 < H , por consiguiente B!  d # E esto es cualquier vecindad de : posee una sucesión sin subsucesiones convergentes por lo tanto no existe una vecindad compacta de : en d # E. 66. La imagen de un espacio localmente compacto por una aplicación continua abierta es un espacio localmente compacto. Dé un ejemplo de una aplicación continua 0 À d d # tal que 0 d no sea localmente compacto. SOLUCIÓN. + Sea 0 À \ ] una aplicación continua abierta, \ localmente compacto esto es, para todo B − \ existe ZB vecindad compacta de B. Mostremos que 0 \ es localmente compacto, esto es para todo C − 0 \ existe una vecindad compacta de C. C − 0 \ entonces existe B − \ tal que C œ 0 B . Sea ZB vecindad compacta de B la cual existe por hipótesis, siendo 0 continua 0 ZB es compacto que contiene a C, 0 ZB es así una vecindad de C pues por ser ZB vecindad de B existe E abierto en \ tal que B − E § ZB además 0 E § 0 ZB y como 0 es una aplicación abierta 0 E es abierto y se tiene C œ 0 B − 0 E § 0 ZB • 0 ZB es compacto, entonces 0 \ es localmente compacto. , Ejemplo: Sea la aplicación 0 À d d # continua. Fijemos D − W " , si α − d se define :À™ W" 8 È /#13α8 D Sea : 8 œ T8 ß : 8 " œ T8" , sea T8 T8" œ segmento T8 T8" 0 À d d # será Þ T8 T8" en el disco H !ß " œ Ö Bß C − d # ÎB# C # Ÿ "× 0 entonces tal que 0 lÒ8ß8"Ó Þ œ es continua. d es localmente compacto pero todo punto de 0 d digamos T8 œ /#138α D existe una vecindad de T 8 (densa) donde toda sucesión de puntos no admite subsucesión convergente. 67.En un espacio topológico con base enumerable, toda base tiene una sub-base enumerable. Darío Sánchez H. 108 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. Sea F œ ÖF8×8− una base enumerable de \ . Sea cada 8 − , F8 − F Ê F8 es abierto en \ entonces F8 œ 7 una base de \ . Para ∪ Gα Ê G −7 α Å ÞÞ \ /= P38./690 F8 œ ∞ ∪ 3œ" G 83 . G83 − 7 Así dado cualquier E abierto en \ Ê E œ F" ∪ F# ∪ â ∪ F8 ∪ â de donde se recibe; Eœ ∪ G8" ∪ â ∪ G87 ∪ â ß reunión numerable de los G83 . Luego 77 œ Ö G87 × es 8 una base enumerable de \ donde G83 − 7 . 68.Sea W un subconjunto denso de un espacio topológico \ y µ una colección de abiertos de \ tal que µW œ ÖF ∩ Wà F − µ× es una base de W . ¿Es µ necesariamente una base de \ ? SOLUCIÓN. La respuesta es no, pues si E es abierto en \ y B − E entonces existe F ∩ W − µW tal que B − F ∩ WÞ Sea \ œ Ò!ß "Óß W œ !ß " ß sea µ base de abiertos para W . µ œ ÖF ˆBß 8" ‰×ß µW es base de W . Tenemos W œ \Þ Ò!ß #" Ñ abierto en µ y no existe F8 tal que Ò!ß "# Ñ œ ∪ F8 de donde µ no es base de \Þ 69.Sea \ un espacio tal que es Hausdorff, separable, I" entonces #\ Ÿ C cardinal del continuo SOLUCIÓN. Sea I œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × un subconjunto denso en \ . Si B − \ entonces B es un punto de acumulación de I ß oß B − I Þ Si B − I consideramos las aplicaciones \ c I Þ Si B  I entonces B − I w œ CI y BÈ B como \ es I" y de Hausdorff entonces B œ lim B84 ß B84 Á B83 en ese caso 4Ä∞ B  I È ÖB8" ß B8# ß á ß B83 ß á × Þ Definiéndose así una función inyectiva de \ Como # c I œ ##I œ C se sigue que # \ Ÿ # c I œ C . . 70.Sea c I . Q un espacio métrico con base enumerable y ¹ una colección de subconjuntos cerrados de Q con la siguiente propiedad: La intersección de toda sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de conjuntos J8 − ¹, aún pertenece a ¹. Entonces existe un conjunto J − ¹ tal que ningún subconjunto propio de J pertenezca a ¹. (conocido como el "teorema de reducción" de Brouwer). abierto para cada J − ¹. ´ œ ÖQ J ×J −¹ si SOLUCIÓN. Sea E œ Q J E" § E# § â § E8 § â entonces mostremos que ∪ E8 − ´. Se debe probar que existe E − ´ tal que E es máximo en ´. Aplicando el lema de Zorn. Basta probar que ´ es un conjunto inductivo superiormente, esto es, si ÖE- ×-−P es una familia linealmente ordenada de elementos de ´ entonces ∪ E- − ´. Por el teorema de ∞ .. Lindelof existe E-" ,E-# ,á ,E-8 ,á tal que ∪ E-8 œ ∪ E- . Tomando 8œ" -−P E"w œ E-" ß E#w œ E-" ∪ E-# ß á ß E8w œ E-" ∪ E-# ∪ â ∪ E-8 Darío Sánchez H. se tiene 109 TOPOLOGIA GENERAL E"w § E#w § â § E8w § â. Ahora E8w − ´ y ∞ ∪ E8œ" 8 œ ∪ E- − ´. Por el lema de Zorn existe E − ´ tal que E es máximo. Tómese J œ Q E. 71.En un espacio métrico Q ß las siguientes condiciones son equivalentes: + Q tiene base enumerable. , Todo conjunto no enumerable tiene un punto de acumulación. - Toda colección de abiertos disyuntos es enumerable. SOLUCIÓN. Tomemos una proposición auxiliar: = Q es separable + Ê = Q espacio métrico con base numerable entonces por un resultado básico ¿cuál? tenemos que Q es separable. = Ê - Si Q es separable, esto significa que \ posee un subconjunto denso enumerable H œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á ×. Sea ÖE8 ×8− una colección de abiertos disyuntos (dos a dos): Como todo abierto en \ contiene por lo menos un punto en H, entonces para cada E8 existe por lo menos un punto B8 − E8 y B8 − HÞ Construyamos la siguiente aplicación : À ÖE8 ×8− H tenemos: E8 Á E7 E8 È B8 Ê E8 ∩ E7 œ ø entonces B8 Á B7 por lo tanto : es biunívoca. Como H es enumerable infinito entonces ÖE8 ×8− es enumerable. Corolario. + Ê - . Pues + Ê = • = Ê - Ê , Supongamos que toda colección de abiertos disyuntos, es enumerable. Sea \ conjunto no enumerable. Admitamos que \ no tiene punto de acumulación entonces "todo subconjunto de \ es cerrado". En esta forma aB − \ , ÖB× es abierto, B Á C,ÖB× ∩ ÖC× œ ø y así los conjuntos ÖB×ß B − \ , forman una colección de abiertos disyuntos entonces ÖB× B−\ es enumerable por lo tanto \ es enumerable, lo cual es contradictorio po con la elección de \ . Luego \ contiene un punto de acumulación. , Ê = Si Q no es separable entonces todos los subconjuntos enumerables no son densos, entonces existe un subconjunto no enumerable sin puntos de acumulación, pues si todo subconjunto no enumerable tiene puntos de acumulación entonces podríamos extraer subconjuntos enumerables teniendo punto de acumulación entonces así obtenemos subconjuntos enumerables densos. = Ê + Esto es un consecuencia del siguiente resultado básico: Las siguientes afirmaciones son equivalentes en espacios métricos: .. + Q tiene base enumerable , Q es un espacio de Lindelof - Q es separable. El anterior resultado se encuentra en cualquier libro de Topología general, por ejemplo en el de José M. Muñoz, edición del 2003, publicación de la Academia Colombia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales. 72.Dar un ejemplo de un espacio de Hausdorff sin base enumerable en el cual todo subconjunto posee un punto de acumulación. SOLUCIÓN. Sea ^ un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo último elemento. Indicaremos con H el menor elemento de ^ tal que el conjunto Darío Sánchez H. 110 TOPOLOGIA GENERAL \ œ ÖB − ^à B Ÿ H× es no enumerable. Considere en \ la topología del orden. \ es un espacio de Hausdorff, existe E abierto en \ conteniendo a H y todo I conjunto enumerable, tenemos E ∩ I œ ø, entonces \ no posee base enumerable y \ no es separable, así todo subconjunto infinito de \ tiene punto de acumulación, esto según un resultado básico ¿cuál?. 73.Un "punto de condensación" de un conjunto W en un espacio topológico \ es un punto B − \ tal que para toda vecindad Z de Bß Z ∩ W tiene el mismo número cardenal que W . En un espacio con base enumerable, todo conjunto no enumerable contiene un punto de condensación. Sustituyendo "contiene" por "posee" en este enunciado, basta suponer que el espacio es de Lindelöf. SOLUCIÓN. El espacio tiene base enumerable entonces por ser el espacio de Lindelöf todo recubrimiento de \ admite un subrecubrimiento enumerable. Sea W un subconjunto no enumerable sin punto de acumulación esto significa que aB − W ,bZB tal que ZB ∩ W es enumerable, como todo subconjunto de \ también tiene base enumerable se sigue que ∞ W§ ZB ∩ W Ê W § ∪ Z 8 ∩ W . B∪ 8œ" −W Así W esta contenido en un conjunto enumerable esto implica que W es enumerable lo cual está contra la hipótesis dada para Wpo obteniéndose una contradicción. Así W contiene un punto de acumulación. Análogamente se procede en el caso de ser \ un espacio de Lindelöf pues en realidad este ha sido el argumento usado en la prueba antes descrita. Caso general: Por contradicción supongamos que ningún B − W es punto de acumulación de \ Ê aB − W , bZB tal que # Z ∩ W # W W § ∪ ZB ∩ W Ê W § Z" ∩ W ∪ Z # ∩ W ∪ â B−W Å W es Lindelöf Así W es una reunión enumerable de conjuntos que tienen cardenal menor o igual al cardenal de W , en otras palabras W esta contenido en un conjunto cuyo cardinal es menor que el cardinal de W . \ entonces no posee base enumerable, se sabe por un resultado básico ¿cuál? que \ es localmente compacto entonces todo conjunto infinito posee punto de acumulación po. 74.Un conjunto abierto y una imagen continua de un espacio separable es separable. El producto de dos espacios separables es separable. Un subconjunto cerrado de un espacio separable puede no ser separable (ver ejercicio 81 , más adelante) SOLUCIÓN. 3) \ separable Ê b I subconjunto enumerable denso en \Þ Sea F abierto en \ entonces F ∩ I Á ø además F ∩ I es denso en F ya que ZF ∩ I œ F ∩ Z\ ∩ I Á ø para todo abierto ZF en F por lo tanto F ∩ I œ F por otra Darío Sánchez H. 111 TOPOLOGIA GENERAL parte # F ∩ I Ÿ # I . Luego F ∩ I es enumerable, ya que I lo es y F es separable. 33) Sea 0 À \ ] una aplicación continua y \ separable. Sea I un subconjunto denso en \ , Como 0 es continua se tiene que 0 \ œ 0 ˆI ‰ § 0 I . Luego 0 I œ 0 \ ß ahora # 0 I Ÿ # I por lo tanto 0 I es un subcojunto enumerable denso en 0 \ . Luego 0 \ es separable. 333) Sean \ß ] separables así existen I" y I# enumerables tales que I " œ \ y I # œ ] ahora I" ‚ I# es enumerable, ya que el producto cartesiano de un número finito de conjuntos enumerables es enumerable y se tiene I" ‚ I# œ I " ‚ I # œ \ ‚ ] , esto es \ ‚ ] es separable. 3@) Si J es un conjunto cerrado y \ es separable entonces existe I enumerable tal que I œ \ . Ahora J ∩ I es enumerable, J ∩ I § J pero en general J § / I ∩J . Luego J puede no ser separable. 75.Un subconjunto cerrado y una imagen continua de un espacio de Lindelöf son espacios de Lindelöf. El producto de espacios de Lindelöf puede no ser de Lindelöf (ver ejercicio 81 , , más adelante) SOLUCIÓN. 3) Sea Æ œ ÖJ-E ×-−P un recubrimiento abierto de un subconjunto cerrado E de \ , esto es ∪ J-E ¨ Eß entonces Æ œ ÖJ-\ ∩ E×-−P donde ÖJ-\ ×-−P es una familia de abiertos en \ . Sea Ƈ œ šˆJ-\ ‰-−P à \ E› esta es una familia de -−P Š abiertos en \ tales que ∪ \ J -−P - ‹∪ \E ¨ Å E∪ \E œ\ J-\ ¨ J-E œ J-\ ∩ E Luego Ƈ es un recubrimiento abierto de \ por hipótesis \ es un espacio de Lindelöf por lo tanto existe un subrecubrimiento enumerable Ƈ! œ šˆJ-\8 ‰8− ß \ E›. Ahora tenemos ˆJ-\ ‰ ∪ \ E ‹ ∩ E œ ∪ ŠJ-\ ∩ E‹ ∪ Š 8∪ − 8− ðóóóóóóóñóóóóóóóò 8 8 ∪ E œ\∩E Por lo tanto E § J-E8 8∪ −E \E ∩E œ ∪ E J 8 − -8 por lo tanto E es un espacio de Lindelöf. J-8 − Æ 33) Sea 0 À \ ] una aplicación continua y \ un espacio de Lindelöf. Sea Æ œ ÖR- ×-−P un recubrimiento abierto de 0 \ o sea ∪ R- ¨ 0 \ . Entonces R- − Æ Æ‡ œ Ö0 " R- ×-−P es una colección de abiertos en \ ya que 0 es continua, por otra parte ∪ 0 " R- œ 0 " Œ R- − Æ ∪ R- R- − Æ " ¨ 0 0 \ ¨ \ Luego Ƈ es un recubrimiento abierto de \ . Por hipótesis \ es un espacio de Lindelöf entonces existe un subrecubrimiento numerable Ƈ! de Ƈ tal que Darío Sánchez H. y Ƈ! œ Ö0 " R-8 ×8− Ahora 112 TOPOLOGIA GENERAL 0 \ œ0 Š ∪ 0 " R-8 ‹ œ 8− ∪ ∪ 0 " R-8 œ \ . 8− 0 0 " R- 8 8− R-8 − Æ § ∪− 8 R -8 R-8 − Æ Luego ÖR-8 ×8− es un subrecubrimiento enumerable de Æ por tanto 0 \ es un espacio de Lindelöf. 76. Supongamos que \ es un espacio de Hausdorff, O § \ß O compacto y : − CO . Entonces existen abiertos Y y [ tales que : − Y , O § [ y Y ∩ [ œ ø. SOLUCIÓN. Si ; − O , el axioma de separación de Hausdorff implica la existencia de abiertos disyuntos Y; y Z; tales que : − Y; y ; − Z; . Puesto que O es compacto, existen puntos ;" ß ;# ß á ß ;8 − O tales que O § Z ;" ∪ â ∪ Z ;8 . Nuestros requerimientos son satisfechos por los conjuntos Y § Y ;" ∩ â ∩ Y ;8 y [ œ Z ;" ∪ â ∪ Z ;8 77.Si ÖOα × es una colección de subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff y si ∩ Oα œ ø, entonces alguna subcolección de ÖOα × que también tiene α intersección vacía. SOLUCIÓN. Tomando Zα œ COα . Fíjese un miembro O" de ÖOα ×. Puesto que ningún punto de O" pertenece a cada Oα , ÖZα × es un recubrimiento abierto de O" Þ Por lo tanto O" § Zα" ∪ â ∪ Zα8 para alguna colección finita ÖZα3 ×3− . Esto implica que O" ∩ Oα" ∩ â ∩ Oα8 œ ø . 78.Todo espacio normal de Hausdorff es un espacio regular. Todo espacio regular de Hausdorff con la propiedad de Lindelöf es normal. Existen espacios de Hausdorff regulares (aún localmente compactos) que no son normales. El espacio \ œ Ö!ß "×ß con la topología 7 œ Öøß Ö"×ß \× es normal pero no es regular. SOLUCIÓN. 3) \ es normal de Hausdorff entonces \ es regular, en efecto B − \ tal que B  J y J cerrado, entonces ÖB× es cerrado como \ es normal existe Z ® B y Y ¨ J abiertos tales que Z ∩ Y œ ø. Luego \ es regular. 33) Sean J y K subconjuntos de \ , cerrados y disyuntos. Para cada B − J se tiene que B  K, luego existe un abierto YB con B − YB y Y B ∩ K œ ø pues \ es regular. Como \ es de Lindelöf, J es un espacio de Lindelöf por ser J cerrado (ver problema 75) por lo tanto todo recubrimiento J § ∪ YB admite un subrecubrimiento enumerable J § ∪ Y8 . 8− B−\ De la misma manera existe un subrecubrimiento abierto enumerable K § ∪ Z8 8− tal que Z 8 ∩ J œ ø para todo 8. Consideremos ahora para cada 8 − los subconjuntos abiertos E8 œ Y8 ˆZ " ∪ Z # ∪ â ∪ Z 8 ‰ y Darío Sánchez H. 113 TOPOLOGIA GENERAL F8 œ Z8 ˆY " ∪ Y # ∪ â ∪ Y 8 ‰. Formemos los conjuntos E œ ∪ E8 y F œ 8− ∪ F8 , así 8− los conjuntos Eß F son abiertos pues cada uno de los E8 y F8 son abiertos Se tiene: + J § E y K § F . En efecto si B − J entonces B − Y8 para algún 8 − . Como Z " ß Z # ß á ß Z 8 no contienen puntos de J debe ser B − E8 de donde B − E. La inclusión K § F es análoga. , Finalmente afirmamos que E ∩ F œ ø. Para eso se debe mostrar que E7 ∩ F8 œ ø siendo 7ß 8 − arbitrarios. Por consiguiente, basta que E7 ∩ F7: œ ø. Ahora si B − E7 entonces B − Y7 . Por otro lado si B − F7: entonces B  Y " ß á ß Y 7: y en particular B  Y7 . Luego E7 ∩ F7: œ ø; esto concluye la demostración. 79.Sean J y K subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de Hausdorff localmente compacto \ . Existe una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que 0 J œ !ß 0 K œ "Þ SOLUCIÓN. Lema: Sea Y un abierto en un espacio localmente compacto de Hausdoff \ß J § Y y O compacto. Entonces existe un abierto Z cuya adherencia es compacta tal que O § Z § Z § Y . Puesto que cada punto de O tiene una vecindad compacta cerrada, y puesto que O es recubierto por una reunión finita de vecindades, O está colocado dentro de un conjunto K cuya cerradura es compacta. Si Y œ \ , tómese Z œ K. En caso contrario sea G el complemento de Y mostremos que para cada : − G existe un abierto [: tal que O § [ : y :  [ : como se hizo en el problema 76 . Puesto que ÖK ∩ G ∩ [ : × cuando : recorre G es una colección cuya intersección es vacía. Entonces existen puntos :" ß : # ß á ß :8 − G tal que G ∩ K ∩ [ :" ∩ â ∩ [ :8 œ ø (ver el problema 77). El conjunto Z œ K ∩ [:" ∩ â ∩ [:8 tiene la propiedad requerida, puesto que Z § K ∩ [ :" ∩ â ∩ [ :8 § Y . En cuanto al problema 79 tenemos Z compacto como \ es un espacio de Hausdorff entonces Z es un espacio normal, por lo tanto tomando Y œ \K entonces J § Y , por el lema, existe un abierto Z cuya adherencia es compacta y tal que O § Z § Z § Y . Como dijimos Z es normal, por el lema de Urysohn existe 0 À Z Ò!ß "Ó continua tal que 0 J œ ! y 0 ˆZ Z ‰ œ ". Extendemos esta función 0 a \ en la siguiente forma: 1 B œ" ß si B−\Z 1 À \ Ò!ß "Ó tal que Š 1 B œ0 B ß si B−Z ‹. Así 1 J œ 0 J œ !ß • ß 1 K œ " pues K § \ Z dado que Z § Y pero Y œ \ K Ê \ Z ¨ CCK œ K. 80.Para que un subconjunto cerrado J de un espacio normal \ sea un K$ (intersección enumerable de abiertos) es necesario y suficiente que exista una función continua 0 À \ Ò!Þ"Ó tal que J œ 0 " ! . Dar un ejemplo de un punto en un espacio de Hausdorff compacto que no sea un K$Þ Darío Sánchez H. 114 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. Ê Ñ Sea J un conjunto K$ entonces J œ ∞ ∩ E8 ß para cada 8ß :8 À \ 8œ" Ò!ß "Ó continua tal que :8 J œ !ß :8 \ E8 œ ", :8 siempre existe pues \ es normal y se aplica para cada 8 el lema de Urysohn sea 0 B œ el criterio de Weierstrass se tiene ¹ Ahora sea B−J " " B−0 ! ÊJ §0 ! . :8 B ¹Ÿ #8 8œ" ∞ ∞ 8œ" l :8 B l #8 8œ" entonces Recíprocamente sea B − 0 " ! Ê 0 B œ ∞ :8 B #8 , 0 es continua pues por ∞ " ∞Þ #8 8œ" :8 B œ !ß a8 Ê 0 B œ !, ∞ 8œ" :8" ! :8 B #8 entonces œ !, esto implica que :8 B œ !ß a8 Ê B − ß a8 " entonces B − J de donde J œ 0 ! Þ É ) Supongamos que existe 0 À \ Ò!ß "Ó tal que J œ 0 " ! . Tómese E8 œ ÖB − \Î0 B 8" × el cual es un conjunto abierto para todo 8, ahora ∞ ∩ E8 œ ÖB − \Î0 8œ" B œ !× œ 0 " ! œ J y J es un conjunto K$ . 81.Consideremos las siguientes propiedades relativas a un espacio topológico \: FI \ tiene base enumerable. W P \ es separable \ es un espacio de Lindelöf G Toda colección de abiertos disyuntos en \ es enumerable. Valen entonces las implicaciones indicadas en el diagrama FI Ä W œ ÖF8 ×8− , L œ ÖB" ß B# ß á ×ß B8 − F8 . Sea E abierto B − E, entonces F8 − tal que B − F8 § E Ê B8 − E de esta manera L es denso ya que L ∩ E Á ø. FI Ä G Sea ÖE8 ×8− una colección de abiertos disyuntos dos a dos E œ ∪ E8 SOLUCIÓN. b 8− es abierto en \ entonces E tiene base enumerable (esto por un resultado básico ¿cuál?) cuyos abiertos son sus propios elementos, luego E es enumerable. FI Ä P Sea œ ÖF8 ×8− , ÖG- ×-−P un recubrimiento abierto de \ . Darío Sánchez H. Sea T œ Ö: − Ê B − F : § G -: . 115 TOPOLOGIA GENERAL tal Se que F: § G- × y B − \ entonces b - − PÎB − G- abierto sigue entonces que \ § ∪ G-: § \ Ê \ œ ∪ G-: es :− :− enumerable. W Ä G Si W es separable entonces W posee un subconjunto enumerable denso H œ ÖB" ß B# ß á ×. Sea ÖE8 ×8− una colección de subconjuntos abiertos dos a dos disyuntos. Como todo abierto en \ , contiene por lo menos un punto de H entonces para cada E8 existe por lo menos un B8 − E8 B8 − H . Construyamos la siguiente aplicación : À ÖE8 ×8− H . E8 È B8 Tenemos E8 Á E7 Ê E8 ∩ E7 œ ø. Luego B8 Á B7 , en esta forma : es biunívoca. Como H es enumerable infinito entonces ÖE8 ×8− es enumerable. Î G Contra-ejemplo; considérese la compactificación de un espacio P Ä s es compacto Ê Q s es de Lindelöf. Pero sus puntos discreto Q no enumerable Q forman una familia de abiertos disyuntos que no es enumerable. Î W Sea ^ un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo último P Ä elemento. Indicaremos con H el menor elemento de ^ tal que el conjunto \ œ ÖB − ^à B Ÿ H× es no enumerable, \ es compacto entonces todo recubrimiento admita un subrecubrimiento finito por tanto \ es un espacio de Lindelöf. Ya fue visto en otro problema ¿cuál? que \ no es separable. 82. + Sea \ un conjunto no enumerable con la topología cuyos abiertos son el vacío y los complementarios de las partes enumerables de \ . Entonces \ es de Lindelöf pero \ no es separable. , Sea \ una recta, provista de la topología cuya base es formada por los intervalos semi-abiertos a derecha tal como Ò+ß ,ÑÞ Los abiertos básicos son también cerrados en \ . Entonces \ es un espacio de Lindelöf, Hausdorff, I" ß separable y normal. SOLUCIÓN. + Sea ∪ G- un recubrimiento abierto de \ . Sea B" − \ entonces B" -−P pertenece a algún G" abierto entonces el complementario de G" es enumerable, sea ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × entonces existe G# ® B# ß á ß existe G8 ® B8 ß á entonces G" ∪ G# ∪ â ∪ G8 ∪ â es un recubrimiento enumerable de \ entonces \ es Lindelöf. Sea H œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × conjunto enumerable en \ entonces E œ \ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × es abierto en \ , entonces existe un abierto E en \ tal que E ∩ H œ ø Ê H no es denso, H no es denso entonces \ no es separable pues cualquiera que sea el conjunto H enumerable en \ , no es denso en \Þ , El complementario de Ò+ß ,Ñ es Ò,ß ∞Ñ ∪ ∞ß + abierto en \ . Luego \ es regular pues los abiertos básicos serán cerrados en \ . \ es Hausdorff: Para todo Bß C − \ , B Á C, B − ÒBß CÑ y C − ÒCß ∞Ñ son abiertos disyuntos. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 116 \ es I" À Para cada B − \ß ZB =ÖÒBß B 8" Ñà 8 − × es un sistema fundamental de vecindades enumerables para Bß pues para todo abierto Ò+ß ,Ñ conteniendo a B existe % ! tal que ÒBß B %Ñ § Ò+ß ,Ñ, entonces existe 8 − tal que 8" % , B − ÒBß B 8" Ñ § Ò+ß ,Ñ y Z" ¨ Z# ¨ â ¨ Z8 ¨ â Z8 œ ÒBß B 8" Ñ. \ es separable: Como \ es I" entonces cada punto posee un sistema fundamental de vecindades enumerables, de donde \ es un espacio topológico con base enumerable, entonces por un resultado básico ¿cuál? \ es separable. \ es Lindelöf: Sea ÖG- ×-−P un recubrimiento abierto de \Þ Se define c œ supÖB − Ò+ß ,Ó § \à Ò+ß BÓ § G-" ∪ â ∪ G-8 ∪ â× œ supE Esto es : conteniendo una reunión enumerable de elementos del recubrimiento. E Á ø pues + − EÞ Supongamos que c ,, como los abiertos son definidos a derecha, tenemos que existe G-8 conteniendo c tal que la derecha de c es aún cubierta por G-8 ß existiría otro Bß c B , lo cual implicaría que c no es el sup Ê c œ ,. Entonces Ò+ß ,Ó es cubierto por una cantidad enumerable de abiertos ÖG- ×-−P Þ La recta \ œ ∪ Ò8ß 8 "Ó. Luego ella es toda cubierta por una reunión enumerable de 8− abiertos G- entonces \ es un espacio de Lindelöf. \ es normal: En efecto \ es de Hausdorff, regular y de Lindelöf luego según el problema 78, \ es normal. 83. El plano \ ‚ \ en el cual las vecindades de un punto +ß , son los cuadrados semi-abiertos Ò+ß + %Ñ ‚ Ò,ß , %Ñ. Entonces \ ‚ \ hereda las propiedades del problema anterior parte , , esto es I" ß separable, de Hausdorff y regular (ya que sus abiertos básicos son cerrados) pero, \ ‚ \ no es un espacio de Lindelöf. SOLUCIÓN. En efecto en la recta C œ B ¿es un conjunto cerrado?. Si pues su complemento es abierto, pues para cada punto B en \ ‚ \ C ˆ B l ‰ es abierto contenido en él. ¿Es un conjunto discreto? Si, pues todos sus puntos son abiertos (la intersección de abiertos de \ ‚ \ con la recta es un punto abierto ) ¿Es un conjunto no enumerable de \ ‚ \ ? Si, siendo cada punto un abierto entonces el conjunto formado por todos sus puntos es un recubrimiento abierto para \ , C œ B es homeomorfo a \ (por una rotación) entonces C œ Þ B es no enumerable. Entonces no se puede extraer un subrecubrimiento finito. 84. Un espacio métrico tiene base enumerable si y sólo si es homeomorfo a un subconjunto de un espacio métrico compacto. Darío Sánchez H. 117 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. Ê ) Si Q es un espacio métrico con base enumerable, entonces Q es un espacio métrico normal, de Hausdorff I" entonces por el teorema de metrización de Urysohn Q es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert GÞ Se sabe que G es compacto por ser homeomorfo a # Ò!ß "3 Ó y es métrico por ser un subconjunto ∞ 3œ" cerrado del espacio de Hilbert LÞ É ) Supongamos ahora que Q es homeomorfo a un subconjunto de un espacio métrico compacto entonces Q es un espacio de Lindelöf entonces por un resultado básico ¿cuál? tiene base enumerable. 85.El producto cartesiano \ ‚ \ de ejercicio 83 no es un espacio normal. SOLUCIÓN. Sean J œ Ö <ß < − \ ‚ \à < − × es cerrado en \ ‚ \ K œ Ö )ß ) à ) − d × es cerrado en \ ‚ \ y J ∩ K œ ø Lema: Sea ] un espacio de Baire piense en K , Sea 0 À ] d una función cualquiera Entonces existe un 8 − y un abierto Y § ] tal que ÖC − Y à 0 C 8" × es denso en Y . Según el lema se tiene que K § E abierto en \ ‚ \ donde E œ C\‚\ J Þ Sea C œ )ß ) − K 0 ÀK d CÈ 0 B œ lado de un cuadrado contenido en E por el lema existe M œ intervalo en la recta y un 8 − tal que ÖC − Mà 0 C 8" × es denso en M , B œ <ß < § M ß B œ lim C3 ß 0 C 8" Prueba del lema: ] œ ∞ ∪ C3 −K W 8 entonces alguno de los W8 es tal que 38>W 8 Á ø 8œ" Ê W8 œ ÖC − ] à 0 B 8" × ß entonces b Y § 38>W8. Luego ÖC − Y à 0 C 8" × es denso en YÞ 86.Sea K un grupo topológico conexo. Si una vecindad del elemento neutro de K posee base enumerable, entonces K tiene base enumerable. SOLUCIÓN. Sea Z 8 œ ÖB" † B# † B$ † â † B8 ÎB3 − Z ×, y 0 À K ‚ K K una función continua abierta 0 E ‚ F œ ∪ B † F . Ahora la operación -B À K K es continua y B−E C È -B C œ B † C tiene un inverso -B " œ -B" también continua por lo tanto es un homeomorfismo así 0 E ‚ F es abierto por ser reunión de abiertos. Por lo tanto Z 8 es abierto para cada 8 − . Sea K un grupo topológico conexo y Z una vecindad del elemento neutro de KÞ Entonces Z genera a K. Lo cual es un "corolario del siguiente hecho": Un subgrupo L § K o tiene interior vacío o es abierto de donde cerrado , en efecto 2 − 38>L así 2−[ §L tomando " 2 2 5 œ 5ß $2" 5 À K homeomorfo K , $2" 5 L œ L , $2" 5 B œ B2 " 5 , 2 È 5 $2" 5 [ œ [ î 2 " 5 abierto Vecindad de h §L Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL Todo subgrupo abierto es cerrado K •L œ ∪ BÂL 118 BL es abierto. Sea L œ subgrupo generado por Z vecindad del neutro / − Z § L Ê / es un punto interior de Lß entonces L es abierto y cerrado Ê L œ KÞ ∪ Z 8 œ el conjunto de los elementos del grupo que se pueden obtener como un 8− producto de elementos de Z . Ahora Z " œ ÖB" à B − Z × es una vecindad del elemento neutro. Sea [ œ Z ∩ Z " es una vecindad de / y [ œ [ " se puede admitir que Z es simétrica o sea Z œ Z " . En ese caso K œ ∪ Z 8 . Cada Z 8 tiene base enumerable. Luego K tiene base enumerable, por ser la aplicación Z 8 œ ðóóóóóóóñóóóóóóóò Z ‚Z ‚â‚Z 8− continua, abierta y sobre. 87.Sea 0 À \ n-veces Z , ] una aplicación continua de \ en ] . Con el fin de que 0 sea cerrada es necesario y suficiente que, para todo punto C − ] y todo abierto Y en \ con 0 " C § Y , exista un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y Þ SOLUCIÓN. Ê )Supongamos que 0 sea cerrada y sean C − ] y Y abierto en \ tal que 0 " C § Y Þ Como Y es abierto entonces \ Y es cerrado de donde 0 \ Y es cerrado en ] esto implica que ] 0 \ Y es abierto en ] y C − ] 0 \ Y œ Z . Probemos que 0 " Z § Y Þ B − 0 " Z Ê 0 B − Z por lo tanto 0 B  0 \ Y Ê B  \ Y por lo tanto B − Y . É ) Supongamos ahora que la propiedad de arriba es válida, sea E cerrado en \ y mostremos que 0 E es cerrado en ] , esto es, ] 0 E es abierto. Si C − ] 0 E , entonces 0 " C § \ Eß pues si B − 0 " C ß entonces 0 B œ C − ] 0 E Ê 0 B  0 E de donde B  E Ê B − \ E. Como \E es abierto, por la hipótesis existe un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § \ E entonces C − Z § ] 0 E (pues si , − Z ∩ 0 E , tenemos que , − Z 0 + y , œ Š +−E ‹ y entonces 0 " , ∩ E contiene a + − E y por lo tanto 0 " , ∩ E Á ø Ê 0 " Z ∩ E Á ø po lo cual es contradictorio). Luego, para todo punto C de ] 0 E , existe un abierto Z tal que C − Z § ] 0 E de donde se sigue que ] 0 E es abierto. (Ver otra demostración de este resultado usando otro método en el problema 13). 88. + Sea 0 À \ ] una aplicación cerrada de \ sobre ] . Dado C − ] y un abierto F en \ , con 0 " C § Fß 0 F es una vecindad de C. , Si Q es un espacio métrico compacto y 0 À Q ] es una aplicación continua sobre un espacio de Hausdorff, entonces ] es metrizable. SOLUCIÓN. + Por el problema 87 anterior, tenemos que si 0 À \ ] es cerrado Í aC − ] y aY abierto en \ con 0 " C § Y entonces existe un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y . Así C − ] y F es un abierto en \ con 0 " C § F por lo Darío Sánchez H. 119 TOPOLOGIA GENERAL tanto existe un abierto Z en ] tal que C − Z § 0 F en esta forma 0 F es una vecindad de C. , Como Q es un compacto y 0 continua entonces 0 Q œ ] es compacto y por la hipótesis ] es Hausdorff de aquí tenemos que ] es un espacio normal así para que ] sea metrizable sólo debemos ver que ] tiene base enumerable. Como Q es un espacio métrico compacto entonces Q es separable, esto significa que podemos considerar en Q una base enumerable ÖF8 ×8− . Dados C − ] y un abierto Z de ] tenemos que 0 " Z § Q Ê 0 " Z œ ∪ F8 por otro lado 0 " C es imagen 8− la recíproca de un cerrado por una aplicación continua entonces 0 " C es compacto por lo tanto existe una reunión finita F œ F8" ∪ F8# ∪ â ∪ F85 tal que 0 " C § F § 0 " Z Þ se sigue de la parte + que 0 F es una vecindad de C, contenida en Z . Los interiores de los conjuntos 0 F , donde F es del tipo F8" ∪ â ∪ F85 forman una base enumerable de ] . En otras palabras si el espacio cociente Q ÎI de un espacio métrico compacto Q es de Hausdorff, entonces Q ÎI es metrizable. 89.Sea \ un espacio de Lindelöf, O Lindelöf. un compacto entonces \ ‚ O es un espacio de SOLUCIÓN. Sea K œ ÖK- ×-−P una familia de cerrados del espacio \ ‚ O teniendo la propiedad de la intersección enumerable, esto es si ÖK-3 ×3− § K Ê K-" ∩ K-# ∩ â ∩ K-8 ∩ â Á ø añadiéndole a K todas las subfamilias de cerrados de K que tengan la propiedad de la intersección finita. Por la proyección uno, los subconjuntos :"< ÖK- ×-−P constituyen una familia de cerrados en \ , que tiene la propiedad de intersección enumerable, porque :"< K-" ∩ :"< K-# ∩ â ∩ :"< K-8 ∩ â ¨ :"< K-" ∩ â ∩ K-8 ∩ â Á ø. Como \ es de Lindelöf entonces existe B − ∩ :"< K- . Ahora B ‚ O es compacto. -−P Esto significa que a- − P, K- ∩ B ‚ O Á ø. Los subconjuntos K- ∩ B ‚ O , - − P constituyen una familia de cerrados en B ‚ O con la propiedad de la intersección enumerable, pues ÒK-" ∩ B ‚ O Ó ∩ ÒK-# ∩ B ‚ O Ó ∩ â ∩ ÒK-8 ∩ B ‚ O Ó ∩ â œ Š ∩ K- ‹ ∩ 3œ" ∞ 3 B‚O Á ø Ahora B ‚ O es homeomorfo a ] y por lo tanto es compacto. Luego existe un punto en B ‚ O un punto Bß C − ∩ K- ∩ B ‚ O . En particular Bß C pertenece a todos los K- como queríamos probar, así \ ‚ O es Lindelöf. 90.El producto de espacios regulares es regular, y recíprocamente si el producto de dos espacios es regularß se sigue que cada uno de los factores es regular. SOLUCIÓN. "Þ Supongamos que \ ß ] son regulares. Sea E un abierto de \ ‚ ] , y, b §\ aberto, B−Y Bß C − E entonces Š b ZY §] abierto, C−Z ‚ Bß C − Y ‚ Z § E‹ Darío Sánchez H. entonces 120 TOPOLOGIA GENERAL Š] \ es regular existe Y" abierto en \ß B−Y" tal que Y " §Y es regular existe Z" abierto en Y, C−Z" tal que Z " §Z ‹ Y " ‚ Z " œ Y" ‚ Z" § Y ‚ Z § E y Bß C − Y" ‚ Z" . Luego \ ‚ ] es regular. #Þ Supongamos ahora que \ ‚ ] es regular. Consideremos :"< À \ ‚ ] \ , Bß C − Eß E abierto en \ ‚ ] por la definición de topología producto Bß C − Y ‚ Z § E por hipótesis existe Y" ‚ Z" § E y Y" ‚ Z" § Y ‚ Z . Ahora B−:< Y" ‚Z" §:"< ˆY" ‚Z " ‰§ :"< Y" ‚Z" §Y <ˆ ‰ < # Y" ‚Z" §:# Y" ‚Z" §:# Y" ‚Z" §Z Š C−:"< Luego \ß ] son regulares. 91.Sea ‹. E un subconjunto de un espacio topológico \ . Indíquese con \ÎE el conjunto cociente de \ por la relación de equivalencia BIE C Í B œ C ” Bß C − E. Si \ es un espacio de Hausdorff, normal y E es cerrado en \ , entonces \ÎE œ ÖÖB − \à B − \ E×ß E× es regular y espacio de Hausdorff. Bß • C − \ÎE tal que • B Á• C . Puede suceder que SOLUCIÓN. • Bß C − E ” B,C − \ E ” B − E, C − \ E Si B,C − \ E como E es cerrado entonces \ E es abierto en \ además \ E es Hausdorff por lo tanto existen [ ß Z abiertos tales que B − Z § \ E, C − [ § \ E y Z ∩ [ œ ø. Ahora : À \ \ÎE es una aplicación abierta, por lo tanto se tiene : Z ∩ : [ œ Z ∩ [ œ øß pues R §\E Ê: R œR , R − 7\ Ê œ • R §EÊ: E œE así : Z œ Z • : [ œ [ en cuyo caso : Z ∩ : [ œ ø, siguiéndose que \ÎE es normal de Hausdorff. Si B − Eß C − \ E, entonces B Á C, como \ es normal bZ ® C y b[ ¨ E tal que Z ∩[ œ ø Los otros casos se siguen del hecho de que " " • R§ : : R œ : E 92. "ÞSea E § #\- abierto y para cada - − P sea E- œ :-< E se tiene E- œ \excepto para un número finito de valores de -. Existe un abierto elemental Y y Y œ Y- " ‚ Y- # ‚ â ‚ Y-8 ‚ # \- . Ahora :-< Y § :-< E Ê Y- § E- por lo tanto - Á- 3 como Y- œ \- salvo para un número finito de valores de -, se sigue que E- œ \excepto para un número finito de valores de -. #Þ Para cada - − P, sea W- œ \- . La topología inducida en #W- por la aplicación de inclusión + À #W- #\- es la topología producto de los espacios W- Þ La clausura de Darío Sánchez H. #W- en #\- es igual a #W - . es denso es \- Þ + +:#W- œ W SOLUCIÓN. 121 TOPOLOGIA GENERAL #W- es denso en #\- si y solamente si cada W- #\- œ \ . F es abierto en W Í bE abierto en \ tal que F œ E ∩ W . Por la definición de la topología producto en \ , E puede ser considerado como un abierto denso esto es como un abierto elemental así E œ :-< " Y-" ∩ â ∩ :-< 5 Y-5 œ Y-" ‚ â ‚ Y-5 ‚ # \- Á- 3 donde Y-3 § \-3 es abierto , así E ∩ W œ Y -" ∩ W -" ‚ â ‚ Y - 5 ∩ W - 5 ‚ # W - Á- 5 donde Y-3 ∩ W-3 es abierto en W-3 . También :-< À \ \- es continua por lo tanto :-< W œ :-< lW À W \- es continua por tanto #W- tiene la topología producto. , #W- œ #W- #W- œ # W- ∪ W-w œ #W- ∩ #W-w Veamos por tanto que #W-w œ Œ#WSea B − #W-w Ê B œ B- -−P w donde B- − W-w ß a- − P Ê aZ- ® B- , Z- ∩ W- Á ø, a- Sea V vecindad de B Ê existe E abierto en \ , E § Z , B − E entonces se tiene que E œ #E- donde E- œ \- SPUNFI- y aún E- ∩ W- Á ø a- − P, entonces se tiene #E- ∩ #W- Á ø Ê B − Œ#W- B − Œ #W - w w de donde se recibe #W-w § Œ#W- w Ê cualquier que sea Z vecindad de B, Z ∩ W Á ø así para cualquier abierto E en Z con B − E se tiene E ∩ W Á ø. Para todo -, E- abierto en \- , B- − E- ß E- ∩ W- Á ø Ê B- − W-w ß a- entonces B − #W-w se concluye entonces que Œ#W- w § #W-w W- denso a- Í #W- es denso. Í W - œ \- a- Í #W- œ #W - œ #\-. W- denso 93.Sea Pœ ∪ Pα , los Pα siendo dos a dos disyuntos. Entonces # \- es homeomorfo a # ]α donde ]α œ # \α para α − E. En otras palabras, vale la α−E -−P α−E asociatividad -−Pα Darío Sánchez H. 122 TOPOLOGIA GENERAL # Œ # \- α−E -−Pα SOLUCIÓN. œ # \- . B − # Œ # \-−P α−E Í B œ Bα α−E • Bα œ Bα αÁ" Æ - -−Pα pero Pα ∩ P" œ ø Í B œ BSea ahora 0 À # \-−P B œ B- -−∪ YPα Í B œ B- α−E # ]α Í B œ Bα -−Pα -−P α−E • Bα − # \ α -−Pα Í B − # \- Þ -−P , ]α œ # \ -−Pα α−E È0 B œ Cα α−E Cαœ Cα- -−P • Cα- œB- -−P \ 0 ] :<α ]α 1- # ]α # \ll α−E ll \- -−Pα proyección de \ en el factor \- 0 ‰ :α< ‰ 1- œ :-< Ê 0 ‰ :α< ‰ 1- es continua, entonces 0 ‰ :α< es continua aα − E de donde se recibe que 0 es continua. Sea 1 À ] \ , está bien definida pues dado - − P, bx α − E tal que - − Pα así C È1 C œB B- œ Cα- , a- − P. La continuidad se sigue de la conmutatividad del siguiente diagrama 1 # #]α \< © -−P ::α< \1]α œ # \-−Pα :- ‰ 1 es continua por lo tanto 1 es continua. < 94.Una aplicación biunívoca :: P P de P sobre si misma, induce un # \- donde :‡ B- œ ˆB: - ‰ o sea :‡ B œ B ‰ :Þ homeomorfismo :‡ À # \-−P -−: P SOLUCIÓN. En efecto tómese en el ejercicio 93 anterior E œ Öα œ : 3 à 3 − P× como Pα ∩ P" œ Ö: 3 × ∩ Ö: 4 × œ ø cuando α Á " , pues : es biunívoca entonces : ‡ À # \-−P # α−E # \- -−Pα es un homeomorfismo. 95.Sean Q ß R espacios métricos y : À Q R uniformemente continua. Dada una colección Æ de partes de un conjunto \ , la aplicación :‡ À ¹Æ \ß Q definida por :‡ 0 œ : ‰ 0 es continua. ¹Æ \ß R Darío Sánchez H. 123 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. Mostremos que para todo 0 y para todo E abierto es ¹Æ \ß R , tal que : ‰ 0 − E existe F abierto en ¹Æ \ß Q tal que a1 − Fß :‡ 1 œ : ‰ 1 − E. Sea Z un vecindad de 0 en ¹Æ \ß R tenemos E œ Z : ‰ 0 à Wß % œ Ö1à \ R à . 1lW ß : ‰ 0 lW %× œ Ö1 À \ R à . 1 B ß 1 0 B %ß aB − W× : es uniformemente continua, esto es, dado % !ß b $ ! tal que . Bß C $ Ê . : B ß : C %ß aBß aC − Q " Para este $ se construye F œ [ Ð0 ß Wß $ Ñ œ Ö1 À \ Q à .Ð1 B ß 0 B Ñ $ , aB − W× Así para 1 − F Ê .Ð1 B ß 0 B Ñ $ entonces por " tenemos .Ð: 1 B ß : 0 B Ñ %, aB − W Ê : ‰ 1 − E. 96.Sea Q un espacio métrico completo. Si una sucesión de puntos B8 − Q es tal que . B8 ß B8" " 8# , a8 − , probar que ÖB8 ×8− es convergente. SOLUCIÓN. Sabemos que la serie Sea W8 œ " " ## " $# â " 8# . ∞ 8œ" " 8# es una serie uniformemente convergente. Como lim W8 œ ∞ " 8# , entonces ÖW8 ×8− es una sucesión ‰ /B3=>/ de Cauchy por lo tanto ˆ H+.9 %! Š 8! Î7ß 8 8! Ê lW8 W7 l %‹. En particular como 8Ä∞ 8œ" Q es un espacio completo solo debemos ver que, como . B8 ß B8" 8"# ß a8 − , entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, en ese caso ÖB8 ×8− es convergente, en efecto ˆ .+.9 ‰ IB3=>/ %! Š 8! ! ‹ tal que 7ß 8 8! Ê (suponiendo 7 8) . B8 ß B7 Ÿ . B8 ß B8" . B8" ß B8# â . B7 " ß B7 " " 8"# 8" Ÿ lW8 W7 l % # â 7" # Luego ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy. 97.Sean Q un espacio métrico completo V Q el conjunto de las contracciones 0 À Q Q . Pruebe que la aplicación : À V Q Q , la cual asocia a cada contracción su único punto fijo, es continua. (Considere en V Q la topología de la convergencia uniforme). una familia de aplicaciones SOLUCIÓN. Sea X un espacio topológico y Ö0> ×>−X 0> À Q Q Þ Supongamos que 0> depende continuamente del parámetro > en el sentido de que la aplicación < À X V Q es continua y tenemos > È 0> /=3=>/ w ˆ .+.9 ‰ˆ Î. >ß > $ Ê . 0 > ß 0 >w " 5 % ‰ ‡ %! $ ! o sea que . 0> B ß 0>w B " 5 % aB − Q donde 5 es la constante de contracción de 0> o sea 5 es tal que ! 5 " y . 0> B ß 0> C 5. Bß C aBß C − Q # Darío Sánchez H. 124 TOPOLOGIA GENERAL Según al enunciado sea : es continua: En efecto ˆ .+.9 ‰ %! Š . : 0> ß : 0 > w :ÀV Q 0> /B3=>/ "5 %œ$ ! ./ ‡ Q È +> ‹/ . 0> ß 0>w $ entonces œ . + > ß + >w œ . 0 > + > ß 0 > w + > w Ÿ . 0 > + > ß 0 > + >w ‡ Æ Ÿ 5. +> ß +>w " 5 % œ 5. : 0> ß : 0>w Å # o sea que . : 0> ß : 0 > w 5. : 0> ß : 0>w se tiene que . 0 > + >w ß 0 >w + >w "5 % Ÿ "5 % Í " ƒ 5 . : 0 > ß : 0 >w Ÿ " ƒ5 % . : 0> ß : 0 > w Ÿ % o sea : es continua en 0>w ß luego es continua. 98.Sean O y P subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de Hausdorff \ . Probar que existen en \ abiertos disyuntos Y ß Z tales que O § Y y P § Z . SOLUCIÓN. Sea B! − O fijo, C − P cualquiera, como P ∩ O œ ø entonces B! Á C. Como \ es un espacio de Hausdorff existen ZB! y [C tales que ZB! ∩ [C œ ø. Así la familia Ö[ C×C−P constituyen un recubrimiento de P, como P es compacto se puede 8 obtener un número finito [C" ß [C# ß á ß [C8 tales que P § ∪ [C3 y correspondientes 3œ" 8 8 ZB!" ß ZB!# ß á ß ZB!8 tales que ZB!3 ∩ [C3 œ ø. Tomando Z œ ∩ Z!3 y [ œ ∪ [C3 vemos 3œ" 3œ" que Z ∩ [ œ ø Þ Ahora como O es compacto puedo repetir este proceso para un 8 número finito de B3! de manera a obtener una vecindad Y œ ∪ Z B3! y tal que Z ∩ Y œ ø con O § Y y P § [ . 99.Sean \ un espacio topológico y 0 À \ 3œ" d 8 una aplicación cuyo gráfico es compacto. Probar que 0 es continua. SOLUCIÓN. Supongamos adicionalmente que \ es Hausdorff así tenemos ". Sea : À K 0 d 8 , : œ :"< lK 0 , es la restricción de la proyección :"< al gráfico K 0 . #. Como : Bß 0 B œ B, se ve que : es una aplicación continua y biunívoca de K 0 sobre \ . $Þ Siendo K 0 compacto y \ ‚ d 8 de Hausdorff, K 0 es cerrado así : es una aplicación cerrada. %Þ Por consiguiente : es un homeomorfismo de 1 0 sobre \ . &Þ Su inversa, B È Bß 0 B es pues una aplicación continua. 'Þ Se sigue de &Þ que B È 0 B es continua como compuesta de aplicaciones continuas, como queríamos demostrar. Darío Sánchez H. 100.Sean TOPOLOGIA GENERAL 125 Q ß R espacios métricos y 0 À Q R una aplicación continua. Probar que las siguientes afirmaciones sobre 0 son equivalentes: + Si una sucesión de puntos B8 − Q no posee subsucesión convergente entonces Ö0 B8 ×8− en R también tiene la misma propiedad. , Para todo subconjunto compacto O § R ß 0 " O es compacto. SOLUCIÓN. + Ê , Supongamos que 0 " O no es compacto entonces existe una sucesión ÖB8 ×8− § 0 " O que no posee subsucesiones convergentes, por la continuidad de 0 se tiene que Ö0 B8 ×8− § Oß y por la hipótesisß esta sucesión no tiene subsucesiones convergentes entonces O no es compacto. Hemos así probado la implicación por contrarecíproca. , Ê + Por contradicción. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en Q tal que no posee subsucesiones convergentes y sin embargo la sucesión Ö0 B8 ×8− es tal que toda subsucesión es convergente, construyamos un conjunto. O œ Ö0 B8 ×8− ∪ Ötodos los límites posibles de las subsucesiones de Ö0 B8 ×8− ×Þ De la construcción de O se sigue que O es secuencialmente compacto como R es un espacio métrico se sigue que O es compacto. Ahora 0 " O œ ÖÖB8 ×8− × el cual no es secuencialmente compacto por lo tanto 0 " O § Q no es compacto esto es una po contradicción de la parte , . 101.Sea ¶ " œ ¶ Ò+ß ,Óß d el conjunto de las funciones 0 À Ò+ß ,Ó d que poseen derivada continua en todos los puntos de Ò+ß ,ÓÞ Sea H el conjunto de las 2 − ¶ " las cuales tienen inversa 2" À 2 Ò+ß ,Ó d con derivada continua en todos los puntos y ! para todo B − Ò+ß ,Ó; considere en ¶ " la de su dominio. Probar que 2 − H Í 2 w œ métrica . 0 ß 1 œ sup Öl0 B 1 B l l0 w B 1w B l×. Pruebe que H es abierto en ¶ " . B − Ò+ß ,Ó SOLUCIÓN. Ê ) Sea 2 − H entonces existe 2 " tal que 2 " ‰ 2 œ 3. y 2 " es derivable y continua. Aplicando la regla de la cadena obtenemos w w 2 " ‰ 2 B œ 2 " 2 B •2 w B œ " por lo tanto 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó. É ) Para todo B − Ò+ß ,Ó, 2 w B Á ! Ê 2 es monótona estrictamente ya sea creciente o decreciente en Ò+ß ,Ó por un resultado básico ¿cuál? 2 À Ò+ß ,Ó d es un homeomorfismo de Ò+ß ,Ó sobre 2 Ò+ß ,Ó entonces 2 " existe y es continua. Sea 2 " œ 1 si existe 1w C , con C œ 2 B , y deberá ser igual a Ò2 w B Ó" y por lo tanto escribimos 1 C 5 œ 1 C Ò2 w B Ó" † 5 = 5 y tenemos que mostrar que =5 lim l5l œ !, 5Ä! sea 2 B 6 œ C 5 Ê 5 œ 2 B 6 C œ 2 B 6 2 B y 5 Ä ! Í 6 Ä ! ya que 2 es un homeomorfismo. Entonces 6 œ 1 C 5 1 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 B 6 2 B Ó = 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 w B 6 < 6 Ó = 5 l6l Ò2w B Ó" < 6 Í = 5 œ Ò2 w B Ó" † < 6 Ê =l5l5 œ l5l Š ‹ l6l Darío Sánchez H. cuando 5 Ä ! Ê TOPOLOGIA GENERAL l6l l5l permanece acotado y <6 l6l 126 Ä ! cuando 6 Ä !Þ Luego lim =l5l5 œ !. 5Ä! Esto muestra que 1 œ 2 " es diferenciable para cada C − 2 Ò+ß ,Ó con 1w C œ Ò2 w B Ó" y como 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó y es continua aC − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − ¶ " ß esto esß 2 − H. , H es abierto en ¶ " : De lo anterior 2 − H Í 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,ÓÞ Sea E œ Ö2 À Ò+ß ,Ó d continuas y 2 B !ß aB − Ò+ß ,Ó× es abierto de ¶ Ò+ß ,Óà d , en efecto 2 w − E entonces 2 es continua en Ò+ß ,Ó que es compacto de d y por tanto es acotada y alcanza sus extremos es decir, existe B! ß B" − Ò+ß ,Ó tal que 2 B! œ infÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× y 2 B" œ supÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× es claro que 2 B! ! ß 2 B" ! y 2 B! Ÿ 2 B" Þ La bola abierta F 2ß % de centro 2 y radio %= 2 #B! tomemos 1 − F y mostremos que 1 − EÞ Sea 1 − ,Ð2ß %Ñ entonces l2 1l 2 #B! por lo tanto aB − Ò+ß ,Ó |2 B 1 B l 2 #B! de donde recibimos que 2 B 1 B 2 #B! Ê 2 B 2 #B! 1 B , para todo B − Ò+ß ,Ó. Como 2 B! 2 B ß aB − Ò+ß ,Ó Ê 2 #B! 2 B y por lo tanto 2 B 2 #B! !. Luego 1 B ! aB − Ò+ß ,Ó Ê 1 − E, entonces E es abierto en ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑÞ Análogamente se muestra que U œ Ö2 À Ò+ß ,Ó dà 2 es continua y 2 B !ß aB − Ò+ß ,Ó× es abierto en ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑ. Finalmente la aplicación H À ¶ " ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑ definida por H 0 œ 0 es continua con la norma l0 l‡ œ Öl0 B l l0 w B lß B − Ò+ß ,Ó×. Sea T œ Ö2 − ¶ " à 2 w ÐBÑ !ß aB − Ò+ß ,Ó×. Como 2 − ¶ " entonces 2 es continua en Ò+ß ,Ó ß es acotada y E œ Ö1 − ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B !ß aB − Ò+ß ,Ó×. Entonces la aplicación H À ¶ " ¶ ÐÒ+ß ,Óß dÑ es continua y E es abierto en ¶ Ò+ß ,Óà dÑ y T œ H " E ß w 2È 2 entonces T es abierto en ¶ " . Análogamente sea U œ Ö2 − ¶ " à 2 B !ß aB − Ò+ß ,Ó× y F œ Ö1 − ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B !ß aB − Ò+ß ,Ó×ß entonces U œ H " F Ê U es abierto en ¶ " y H œ T ∪ U es abierto en ¶ " . 102. Pruebe que si todo subespacio de un espacio de Hausdorff \ es compacto entonces \ es finito. Dé un ejemplo mostrando que esto sería falso si el espacio no es de Hausdorff. SOLUCIÓN. + 3) ÖB× es una parte finita entonces \ ÖB× es una parte de \ por lo tanto es un compacto y como \ es Hausdorff entonces \ ÖB× es cerrado. 33) ÖB× es abierto por ser complemento de un cerrado. 333) \ œ ∪ ÖB× es un recubrimiento abierto de \ . Entonces como \ es compacto B−\ existe un subrecubrimiento finito de \ lo cual no es posible de obtener cuando \ es infinito. Luego \ tiene que ser finito. , Sea \ un espacio infinito con la topología de complementos finitos. \ es compacto: Pues si Ö Y- ×-−P es un recubrimiento abierto de \ , sea Y-! uno de esos abiertos entonces \ Y-! œ Ö+" ß +# ß á ß +8 × tiene un número finito de elementos. Sea Y-" ß Y-# ß á ß Y-8 elementos de la colección Ö Y- ×-−P tales que + " − Y -" ß + # − Y -# ß á ß + 8 − Y - 8 Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 127 obtenemos así que \ œ Y -" ∪ Y -# ∪ â ∪ Y - 8 ∪ Y - ! y \ es compacto. Todo subconjunto W § \ de \ es compacto ya que si W es finito entonces es compacto y si W es infinito entonces se toma un recubrimiento por abiertos de W y en la misma forma que se hizo para \ , se obtiene un subrecubrimiento finito cubriendo a \ y por lo tanto a W siguiéndose que W es compacto. Note que el espacio no es Hausdorff, pues dos colas siempre se encuentran y \ es infinito. 103.Pruebe que un espacio métrico Q es totalmente acotado si y solamente si toda sucesión en Q posee subsucesiones de Cauchy. SOLUCIÓN. É ) Sea ÖB8 ×8− una sucesión en Q que posee una subsucesión de Cauchy esto es bÖB85 ×5− tal que ˆa % !‰ˆ b 5! ‰Îa5ß 5 w 5! ß . ˆB85 ß B85w ‰ %. Si para este %, existe B" − Q tal que Q § FÐB" ß #% Ñ acaba el problema, de nó, existe B# − Q tal que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ teniéndose el problema, de nó, existe B$ − Q tal que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ si esto se cumple, el problema termina, de lo contrario, existiría un B% − Q y así sucesivamente; se tiene en general entonces que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ ∪ â ∪ FÐB8 ß #% Ñ y Q estaría acotado, de lo contrario, existiría un B8" − Q Þ Se ha obtenido así una sucesión ÖB8 ×8− la cual tiene una subsucesión convergente, por lo tanto, existe un número finito de bolas cuyos diámetros no exceden a #% y tales que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ ∪ â ∪ FÐB7 ß #% Ñ de donde tenemos entonces que Q es totalmente acotado. Ê ) Si Q es totalmente acotado esto significa que para todo % !, existen W" ß W# ß á ß W8 tales que $ W3 % y Q § W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 . Tomando ÖB8 ×8− una secuencia de Q obtenemos que en alguno de los W3 , B8 tiene una infinidad de términos de ÖB8 ×8− o sea que ÖB8 ×8− tiene una subsucesión ÖB83 ×3− y B83 − W3ß a3, así . B83 ß B73 $ W3 % para 73 ß 83 83! de donde ÖB83 ×3− es de Cauchy Como esto se puede hacer para todo % !, entonces la sucesión ÖB83 ×3− es de Cauchy. 104.Sean \ß ] espacios compactos de Hausdorff. Se existen puntos B! − \ y C! − ] tales que \ ÖB! × y ] ÖC! × son homeomorfos, pruebe que \ y ] son homeomorfos. Dé un contra-ejemplo con \ compacto de Hausdorff y ] localmente compacto de Hausdorff. SOLUCIÓN. Como \ß ] son compactos y de Hausdorff entonces se puede concluir que \ß ] son compactificaciones de Alexandroff de \ ÖB! × y de ] ÖC! × por lo tanto se puede considerar el siguiente diagrama Darío Sánchez H. \ ÖB! × : © J \ TOPOLOGIA GENERAL 0 ] ÖC! × < 128 donde :, < son los compactificados de Alexandorff. ] Como :, < son homeomorfismos de \ ÖB! × sobre : \ ÖB! × y de ] ÖC! × sobre < ] ÖC× se puede definir J À \ ] de la siguiente manera J B œ <0 :" B para B − : \ ÖB! × ß J B! œ C! en esta forma obtenemos un homeomorfismo de \ sobre ] , donde 0 es el homeomorfismo dado en la hipótesis. Ejemplo. Tomemos como \ œ Ð!ß 1Ó ∪ Ð!ß #1Ñ localmente compacto, ] œ W " ∪ W " compacto B! œ 1 y C! œ !ß ! en ese caso 0 es un homeomorfismo de \ Ö1× sobre ] Ö !ß ! × pero \ µ Î ]. 105. Sea J un subconjunto cerrado y O un compacto del espacio euclidiano d 8 . Pruebe que existen B! − J y C! − O tales que lB! C! l Ÿ lB Cl para cualquier B − J y C − O. d como . es continua y O es compacto entonces SOLUCIÓN. Sea . À O ‚ J Bß C È . Bß C existe B! − O tal que . B! ß J œ . Oß J ß o lo que es lo mismo tal que . B! ß C Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J . Tomando ahora una bola F B! ß < con radio < tal que < . B! ß J entonces obtenemos que F B! ß < ∩ J Á ø y F B! ß < ∩ J es cerrado y acotado, en el espacio euclidiano d 8 por lo tanto F B! ß < ∩ J es compacto, de donde, existe C! − J tal que . Oß C! œ . Oß J o lo que es lo mismo . Bß C! Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J , por lo tanto hemos hallado B! − Oß C! − J tales que . B! ß C! Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J 106.Sea W un subconjunto localmente compacto de un espacio de Hausdorff \ . Pruebe que si W es denso en \ , entonces W en abierto en \Þ SOLUCIÓN. Como W es un subconjunto localmente compacto de un espacio de Hausdorff \ se sigue que W es localmente cerrado, así existe un abierto E de \ tal que W § EÞ Como W es denso en \ entonces W es denso en E por lo tanto W es denso en un abierto de \ , lo cual se quería mostrar. Para ver que W es denso en E sea ZE un abierto en E, entonces VE œ Z\ ∩ Eß como W es denso en \ entonces W ∩ Y Á ø, aY abierto en \ por lo tanto ZE ∩ W œ Z \ ∩ E ∩ W œ Y ∩W Á ø Å 107. Y œ Z\ ∩ E abierto en X Sean O § Y § d 8 donde O es compacto y Y es abierto. Probar que existe % ! tal que Bß C − Oß lB Cl % Ê ÒBß CÓ § Y (donde ÒBß CÓ es el segmento de recta cerrada que une a B con C). Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 129 SOLUCIÓN. Como d 8 es localmente compacto podemos tomar un recubrimiento ÖY- ×-−P de O tal que Y- § Y sea abierto conexo. Sea % ! el número de Lebesgue de este recubrimiento el cual existe pues O es compacto. Extraemos un número finito de elementos de la colección ÖY- ×-−P tal que O § Y-" ∪ Y-# ∪ â ∪ Y-8 lo cual también es posible por la compacidad de O con Bß C − O tales que Bß C − Y-3 para algún " Ÿ 3 Ÿ 8 entonces tenemos que lB Cl $ ÐY-3 Ñ % y se tiene que ÒBß CÓ § Y-3 como O § Y-" ∪ Y-# ∪ â ∪ Y-8 § Y se sigue que ÒBß CÓ § Y lo cual queríamos mostrar. 108.Sea \ un espacio topológico con base enumerable. Probar que todo recubrimiento abierto \ œ ∪ -−P E- posee un subrecubrimiento enumerable. SOLUCIÓN. Sea µ œ ÖF8 ×8− una base enumerable del espacio. Como cada E- es abierto entonces E- § ∪ F8 en una reunión de elemento de la base µ. Sea 8− T œ Ö: − ÎF: § E- × para cada - − P. Si : − T entonces denotemos por E-: a uno de los E- para el cual F: § E-: . Sea B − \ estonces B − E- para algún - − P entonces existe : − T tal que B − F: § E- esto es B − F: § E- œ E-: para algún : − T por definición de reunión tendremos que B − ∪ E-: o sea que \ § ∪ E-: . :−T :−T § 109.Sea W un conjunto de números reales bien ordenado, relativamente al orden usual de la recta. Probar que W es enumerable. SOLUCIÓN. Sabemos que W es bien ordenadoß esto es ‰ ˆ +Ÿ- ‰ "Þˆ +−W ,−W Ê existe - − W / ,Ÿ#Þ Todo subconjunto W" Á ø de W tiene un primer elemento. Supongamos que W no es enumerable entonces como d tiene una base enumerable entonces W tiene un punto de acumulación H así W œ Òαß HÑ, donde α es el primer elemento de WÞ En este conjunto se distinguen dos partes, como sabemos, la parte numerable y la parte no enumerable así ÐBß HÑ es un subconjunto de W que no es enumerable y donde cada punto es un punto aislado, así W no tiene base enumerable po esto es contradictorio ya que por un resultado básico ¿cuál? se sabe que si un espacio topológico tiene base enumerable, entonces, todo subconjunto de él tiene base enumerable. 110.Indique cuales de las afirmaciones de abajo son verdadera y presente contraejemplos para las falsas. + Todo espacio de Hausdorff compacto tiene base enumerable. , Todo espacio métrico conexo tiene base enumerable. - El espacio de Hilbert L tiene base enumerable. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 130 . Si en un espacio métrico Q , todo subconjunto acotado y cerrado es compacto entonces Q tiene base enumerable SOLUCIÓN. + Falsa, se sabe que el espacio Òαß HÓ es un espacio de Hausdorff compacto, pero \ œ Òαß HÓ no puede tener base enumerable. , Verdadera. Puesto que en un espacio métrico todo punto admite un sistema fundametal de vecindades enumerable. - Verdadera, el espacio de Hilbert tiene base numerable . Verdadera, puesto que si es compacto, entonces localmente compacto y se sigue que el espacio tiene base enumerable. 111. + Todo subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es normal. , Todo espacio métrico es homeomorfo a un subconjunto del espacio de Hilbert. - Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable si y sólo si tiene base enumerable. . Si un espacio topológico \ es separable entonces todo subconjunto cerrado de \ es separable. SOLUCIÓN. + Falsa, tómese \ œ Òαß HÓ el cual sabemos es compacto de Hausdorff. Considérese \ ‚ \ œ Òαß HÓ ‚ Òαß HÓ es un espacio compacto de Hausdorff y el subespacio \ ‚ \ ÖÐHß HÑ× no es normal, pues los cerrado J œ \ ‚ ÖH× y K œ ÖH× ‚ \ no se pueden separar. , Falsa, tómese un conjunto no enumerable con la métrica discreta. - Verdadera . Falsa, Al tratar de hacer la demostración se encuentra con la siguiente dificultad: Sea I un conjunto enumerable denso de \ , claramente si J es cerrado entonces J ∩ I es un subconjunto enumerable y I ∩ J § I ∩ J œ J , pero en general J § Î I ∩ J , por ejemplo tomando \ como la recta con la topología cuya base es µ œ ÖÒ+ß ,Ñ×. Se considera \ ‚ \ y se toma K œ Ö )ß ) Î) − d × este es un subconjunto cerrado en \ ‚ \ . Además \ ‚ \ es separable, pero K no es separable. 112. Sean \ß ] espacios topológicos. Pruebe que una aplicación 0 À \ ] es continua si y sólo si para cada subconjunto W § \ , se tiene 0 ˆW ‰ § 0 W . SOLUCIÓN. Ê ) W § \ entonces 0 W § ] se sabe que 0 W § 0 ÐWÑ de donde se tiene W § 0 " Š0 W ‹ por la hipótesis 0 es continua y 0 W es cerrado por lo tanto 0 " Š0 W ‹ es cerrado, ahora W es el menor cerrado que contiene a W (por la definición) por lo tanto W § W § 0 " Ð0 ÐWÑÑ de aquí se tiene inmediatamente que 0 ˆW ‰ § 0 W Darío Sánchez H. 131 TOPOLOGIA GENERAL É Ñ Sea J un subconjunto cerrado de ] para que 0 sea continua debemos probar que 0 " J es cerrado o sea, tomando E œ 0 " J , vemos que E œ E. Sabemos de la definición que E § E siempre, luego probemos simplemente que E § E. E œ 0 " J , ahora 0 ˆE‰ œ 0 Š0 " J ‹ § 0 0 " J § J œJ Å 0 ˆF ‰ § 0 F o sea Å 0 0 " J § J 0 ˆE‰ § J Ê E § 0 " ÐJ Ñ œ E. 113.Defina espacio regular, espacio normal y pruebe que si todo punto de un espacio normal \ es cerrado, entonces \ es un espacio de Hausdorff regular. SOLUCIÓN. Un espacio \ se dice regular cuando, dados una parte cerrada J de \ y un punto B  J existen, una vecindad y un abierto que contiene al cerrado, sin punto en común, /3ß b ZB ® B ß yß b Y ¨ J Î ZB ∩ Y œ ø. Un espacio \ se dice normal cuando dados dos partes cerradas sin punto en común es posible encontrar abiertos disyuntos que contengan a cada una de las partes cerradasß /3ß b Z ¨ J ,y, b [ ¨ KÎJ ∩ K œ ø ÐJ y K J ∩ K œ ø cerrados Z y [ abiertos ) Si todo punto de un espacio normal es cerrado entonces claramente existen vecindades que separan a los dos cerrados C − ÖC× § Z , • , B − ÖB× § [ , • , [ ∩ Z œ ø por lo tanto el espacio es Hausdorff. Por otra parte todo punto y una parte cerrada se pueden separar, por tanto el espacio es regular y tenemos que en esas condiciones el espacio es de Hausdorff regular. 114.Defina espacio de Hausdorff. Pruebe que todo punto en un espacio de Hausdorff es un subconjunto cerrado. Dé ejemplo de un espacio que no es de Hausdorff en el cual toda parte es un subconjunto cerrado. SOLUCIÓN. + Un espacio topológico \ se dice de Hausdorff cuando dados dos puntos cualesquiera B Á C distintos es posible hallar abiertos Z ß [ tales que B − Z ßC − [ß • ßZ ∩ [ œ ø , Sea \ un espacio de Hausdorff, B − \ entonces denotemos por µ B œ ÖZ − 7\ ÎB − ´ § Z ß ´ − 7\ × œ Öconjunto de las vecindades de B× Afirmación: ∩ Z œ ÖB× entonces ÖB× es un subconjunto cerrado de \Þ Z − µÐBÑ Veamos la afirmación; si C− ∩ ∩ Z − µÐBÑ Z œ ÖB, C× con B Á C entonces Z Í C − Z ß aZ − µÐBÑ Í a[ − µÐCÑß [ ∩ Z Á øß aZ − µÐBÑ Z − µÐBÑ Por lo tanto obviamente \ no sería de Hausdorff po contra lo supuesto. - Ejemplo: Sea \ un espacio topológico y I una relación de equivalencia no necesariamente abierta tal que K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× sea cerrado, entonces Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 132 todo punto de \ÎI es cerrado ya que: ÒBÓ − \ÎI Í :" : B œ sat B . Como K es cerrado sat B es cerrado, se sigue entonces que ÒBÓ es cerrado (por la definición de topología cociente) pero \ÎI no es de Hausdorff en general. Tomemos por ejemplo \ un espacio de Hausdorff no regular J una parte cerrada de \ +  J tal que toda vecindad de + encuentre a toda vecindad de J entonces si I es la relación de equivalencia obtenida identificando los puntos de J entonces K es cerrado y \ÎI no es Hausdorff. K œ ? ∪ J ‚ J ß J es cerrado Ê J ‚ J œ J ‚ J œ J ‚ J es cerrado, \ÎI no es • Hausdorff pues • B  J tenemos que B• y J no se pueden separar. 116. Pruebe que un espacio topológico \ es de Hausdorf si y sólo si la diagonal ? § \ ‚ \ es un conjunto cerrado. SOLUCIÓN. Ê ) Sabemos que si 0 À \ ] es una aplicación continua y ] un espacio de Hausdorff entonces su gráfico K 0 œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] × es cerrado. Consideremos + À \ \ la aplicación idéntica que a B È +ÐBÑ œ B, consideremos su gráfica K + œ Ö Bß +ÐBÑ − \ ‚ \× œ ÖÐBß BÑ − \ ‚ \× œ ? Como + es continua y \ es Hausdorff se sigue que K + œ ? es cerrado. É ) Sea ? cerrado , B Á C entonces ÐBß CÑ Â ?, entonces Bß C − C? como ? es cerrado C? es abierto entonces existe un abierto elemental Z œ Z" ‚ Z# tal que Z" ® Bß Z# ® C tal que Z § C? Í Z ∩ ? œ ø Í Z" ‚ Z# ∩ ? œ ø entonces Z" ∩ Z# Á ø no se puede tener ya que si B − Z" ∩ Z# Ê B − Z" • B − Z# Í ÐBß BÑ − Z" ‚ Z# o sea que Z" ‚ Z# ∩ ? Á ø por lo tanto B − Z" ß C − Z# , y, Z" ∩ Z# œ ø recibiéndose que \ es un espacio de Hausdorff. 117.Dé tres definiciones equivalentes de espacio conexo (no es necesario probar las equivalencias). Dé ejemplo de un espacio conexo y de un espacio no discreto en el cual los únicos subconjuntos conexos son los puntos. SOLUCIÓN. + \ es un espacio conexo si no se pueden hallar dos abiertos y cerrados no vacíos, diyuntos tales que \ sea la reunión de ellos. , \ es un espacio conexo si dados E y F subconjuntos abiertos y cerrados tales que \ œ E ∪ Fß E ∩ F Á ø ,y, E Á ø, entonces F œ ø. - \ es un espacio conexo si dada 0 À \ ] una aplicación continua en un espacio discreto ] entonces 0 es constante. . Ejemplo: \ œ d es un espacio conexo \ œ M œ +ß , un intervalo de la recta entonces M conexo. § d es un conjunto disconexo y los únicos conexos son los puntos. Darío Sánchez H. 133 TOPOLOGIA GENERAL 118. Pruebe que todo subconjunto abierto conexo E § d8 es conexo por caminos. SOLUCIÓN. Sea E un conjunto abierto conexo entonces para cada B − E existe una vecindad Z de B que es conexa y como E § d 8 entonces E es conexo y localmente conexo por caminos, entonces por un resultado básico ¿cuál? E es conexo por caminos. 119.Defina frontera de un subconjunto W de un espacio topológico \ . Dé ejempos de + un subconjunto W Á \ , W Á ø , con 0 < W œ ø, , un subconjunto W § \ con 0 < W œ \Þ SOLUCIÓN. 0 < W œ ÖB − \ÎB  38> W , y, B  38> \ W × œ W ∩ CW o sea B − 0 <ÐWÑ si para todo abierto Z que contiene a Bß Z contiene puntos de W y Z contiene puntos de \ W o sea Z ∩ 38>W Á ø y Z ∩ 38> \ E Á øÞ + W Á \, WÁø con 0 < W œ ø \ œ Ö+ß ,Þ-× 7\ œ Ö Ö+×ß Ö,ß -×ß \ß ø×ß W œ Ö,ß -×ß CW œ Ö+× entonces W œ Wß 0 < W œ W ∩ CW œ Ö,ß -× ∩ Ö+× œ øÞ , W œ , \ œ d Ê 0 < œ \Þ 120. Probar que si W § \ es abierto entonces 0 < W tiene interior vacío. Examineß si vale lo mismo, cuando W es cerrado. SOLUCIÓN. 0 < W œ ÖB − \à B  38>W • B  38>Ð\ WÑ× œ W ∩ CW ‰ + W œ W œ 38>W ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ ‰ èéê ‰ å èéê å å å 38> 0 <W œ 0 <W œ W ∩ CW œ W ∩ CW § W ∩ CW § W ∩ CW œ W ∩ CW œ ø Å Å ‰ E §E CW œ W Luego 0 <W œ ø , W œ W tenemos ‰ ‰ èéê ‰ 38> 0 <W œ W ∩ CW œ W ∩ CW § Luego 0 <W œ øÞ Å E∩F § E∩F Å ‰ FœF ‰ ‰ èéê ‰ ‰ W ∩ CW œ W ∩ CW œ W ∩ CW œ ø œ øÞ Å ‰ E § Eß aE 121.En una familia Ö\- ×-−P de espacios topológicos, sea W- § \- para cada - − P. #W- en #\- es el producto #W - de las Pruebe que la adherencia de adherencias W - Þ SOLUCIÓN. Veamos que #W- œ #W - Darío Sánchez H. 134 TOPOLOGIA GENERAL ". #W- œ Œ#W- ∪ Œ#W- w #. #W - œ # W- ∪ W-w œ Œ#W- ∪ Œ#W-w El problema se reduce a probar que Œ#W$. B − Œ#W- w œ #W-w ß veámoslo w Ê aE abierto conteniendo B œ B- -−P ß E ∩ Œ#W- Á øÞ Tomando proyección se sigue que :-< E ∩ W- Á ø, a- − P < como :- es una aplicación abierta se sigue que :-< E es abierto y B- − :-< E por tanto B- − W-w a- − P . w # Luego B œ B- § W- , así Œ #W - w § #W-w . %Þ Recíprocamente, sea B − #W-w Í B œ BAsí B œ B- -−P 122.Sean w • B- − W-w , a-ß entonces • ß E- ∩ W- Á øß B- − E- y E- es abierto en W- . B œ B- por lo tanto B − Œ#W- -−P -−P − :-< " E- ∩ #W- Á ø de donde #W-w § Œ#W- w \ un espacio topológico y Q un espacio métrico completo. Si I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es un conjunto equicontinuo de aplicaciones 08 À \ Q y Ö08 B ×8− converge en Q ß para todo B perteneciente a un subconjunto denso H § \ß entonces pruebe que Ö08 ×8− converge uniformemente en cada parte compacta \ y 0 œ lim 08 es una aplicación continua. 8Ä∞ SOLUCIÓN. Por hipótesis I es equicontinuo, entonces I = œ I - por tanto 08 Ä 0 en I= y 0 − I = ‡ . Luego 08 Ä 0 en I - por tanto 08 Ä 0 en las partes compactas de \ß como 0 − I - y I es equicontinuo entonces I - es equicontinuo por lo tanto 0 es una función continua así 0 œ lim08 . Resta mostrar que 08 Ä 0 es I= ‡ Ö08 B ×8− converge simplemente en Q . Como H es compacto mostremos que Ö08 B ×8− es una sucesión de Cauchy, para B! − H tenemos que ‰ˆ /B3=>/ "Þ ˆ H+.9 $% ‰ %! R ! Îa8ß 7 R Ê . 08 B! ß 07 B! #Þ I es un conjunto equicontinuo, esto es /B3=>/ ˆ H+.9 ‰ $% ß a08 − I ‹ %! Š Z B! @/-38.+. ./ B! ÎaB − Z ÐB! Ñß . 08 B ß 08 B! $Þ Por tanto tenemos Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 135 ˆ H+.9 ‰ˆ /B3=>/ ‰ %! R ! Îa8ß 7 R y tomando B! − H ∩ Z ÐBÑ se tiene . 08 B ß 07 B Ÿ . 08 B ß 08 B! . 08 B! ß 07 B! . 07 B! ß 07 B Ÿ $% $% $% œ % %Þ Así Ö08 B ×8− es una sucesión de Cauchy de Q , como Q es un espacio métrico completo entonces existe 0 À \ Q tal que 08 B Ä 0 B , por lo tanto 08 Ä 0 en I= Þ 123.Sea ¶ es espacio de las funciones reales continuas en el intervalo Ò+ß ,Ó con la métrica de la convergencia uniforme. Se define una función X À ¶ ¶ mediante B X † 0 B œ '+ 0 > .>. Pruebe que Ö08 ×8− es una sucesión acotada en ¶ entonces ÖX † 08 ×8− posee una subsucesión uniformemente convergente. SOLUCIÓN. Mostremos que el conjunto ÖX † 08 × es equicontinuo o mejor que es relativamente compacto "Þ Por hipótesis existe Q ! tal que l08 l Q , a08 B B B + B #Þl X † 08 B X † 08 B! l œ l'+ 08 > .> '+ ! 08 > .>l œ l'+ 08 > .> 'B! 08 > .>l œ l'B! 08 > .>l B Ÿ 'B! l08 > l.> Ÿ Q lB B! l ß a08 $Þ Esto muestra que la sucesión I œ ÖX † 08 × cumple con la condición de Lipschitz por tanto es un conjunto equicontinuo. %Þ I B œ Ö X † 08 B ÎB − Ò+ß ,Óß l08 ÐBÑl Ÿ Q × es relativamente compacto pues B B l X † 0 8 B l œ l'+ 08 > .>l Ÿ '+ l08 > l.> Ÿ Q B + Ÿ Q , + así I B es un conjunto acotado y I B es acotado y cerrado en un espacio euclidiano, se sigue que I B es compacto por lo tanto I B es relativamente compacto. &Þ Por el teorema de Ascoli I es relativamente compacto en ¹? Ò+ß ,Óß d œ ¹- Ò+ß ,Óß d por ser Ò+ß ,Ó compacto. 'ÞSe concluye que Ö X † 08 × es secuencialmente compacto por lo tanto posee una subsucesión convergente. Apéndice Los problemas que siguen ya estan demostrados, pero ahora se usa otro modelo de demostración que nos brinda puntos de vista diferentes y permite una fijación sobre los resultados por ellos propuestos. Cualquier comentario por favor hacerlo a www.danojuanos@hotmail.com 124.Sea Q un espacio métrico. Indiquemos con ¹ Q partes \ § Q que gozan de la siguiente propiedad: 3Ñ \ es acotado el conjunto de todas las Darío Sánchez H. 136 TOPOLOGIA GENERAL 33Ñ Si . Bß \ œ !, entonces B − \ . Para \ß ] − ¹ Q ß sea 3Ð\ß ] Ñ el mayor de los dos números siguientes: supÞÖ. Bß ] à B − \× ” supÞÖ. Cß \ à C − ] ×. Entonces 3 es una métrica en ¹ Q , llamada una "métrica de Hausdorff". Para \ § Q cualquiera y < !ß sea Y Ð\à <Ñ œ ∪ FÐBß <Ñ œ reunión de todas las bolas B−\ abiertas de radio < y centro en un punto de \ . Entonces, si \ß ] − ¹ÐQ Ñß muestre que 3 \ß ] < implica que \ § Y Ð] à <Ñ, y, ] § Y Ð\à <Ñ. Por otro lado estas dos inclusiones implican que 3Ð\ß ] Ñ Ÿ <. SOLUCIÓN. 3 \ß ] œ maxÖ supÞÖ. Bß ] à B − \×ß supÞÖ. Cß \ à C − ] ×× + 3 es una métrica en ¹ÐQ Ñ: 1. 3 \ß \ œ ! es evidente 2. 3 \ß ] œ 3 ] ß \ es obvio 3. Si 3 \ß ] !, entonces sea supÞÖ. Bß ] à B − \× !. Por la definición de sup, existe B! − \ tal que . B! ß ] ! y por la propiedad 33Ñ de ¹ Q , tenemos B!  ] ß o sea \ Á ] . Por otro lado, si \ Á ] , sea por ejemplo B! − \ß B!  ] . Entonces por 33Ñß tenemos . B! ß ] !, luego supÞÖ. Bß ] à B − \× . B! ß ] ! de donde 3Ð\ß ] Ñ !. 4. \ß ] ,^ − ¹ÐQ Ñ Ê 3Ð\ß ^Ñ Ÿ 3Ð\ß ] Ñ 3Ð] ß ^Ñ Sea H \ß ^ œ Ö. Bß ^ à B − \× Afirmación: supH \ß ^ Ÿ supH \ß ] supH ] ß ^ Sea = − HÐ\ß ^Ñ y % ! arbitrario. Entonces existe B! − \ tal que = œ . B! ß ^ Þ Como . B! ß ] œ 380 Ö. B! ß C à C − ] × y % !, entonces existe C! − ] tal que . B! ß C! . B! ß ] %, o sea . B! ß C! . B! ß ] %. Por un resultado básico ¿cuál?, se sigue que l. B! ß D . C! ß D l Ÿ . B! ß C! y entonces . B! ß D Ÿ . B! ß C! . C! ß D . D! ß ] . C! ß ^ %. Denotando . B! ß ] . C! ß ^ œ > y notando que > − HÐ\ß ] Ñ HÐ] ß ^Ñ, tenemos que : a= − HÐ\ß ^Ñß y, a% !, es posible encontrar > − HÐ\ß ] Ñ HÐ] ß ^Ñ tal que = > %. Se sigue entonces la afirmación. Finalmente, 3Ð\ß ] Ñ 3Ð] ß ^Ñ œ maxÖsupHÐ\ß ] Ñß supHÐ] ß ^Ñ× maxÖsupH ] ß ^ ß supH ^ß ] × œ maxÖsupH \ß ] supH ] ß ^ ß supH ] ß ^ supH ] ß \ ß supH \ß ] supH ^ß ] ß sup H ] ß \ supH ^ß ] × maxÖsupH \ß ] supH ] ß ^ ß supH ] ß \ supH ^ß ] × œ maxÖsup H \ß ] H ] ß ^ ß sup H ] ß \ H ^ß ] × maxÖsupH \ß ^ ß supH ^ß ] Å Afirmación × œ 3 \ß ] . , Supóngase 3 \ß ] <Þ Sea B! − \ , como 3 \ß ] <, entonces supÖ. Bß ] à B − \× < y supÖ. Cß \ à C − ] × <Þ Luego . B! ß ] <. Por la definición de supß tenemos que existe C! − ] tal que . B! ß ] Ÿ . B ! ß C ! < , por lo tanto B! − FÐC! à <Ñ § ∪ FÐCà <Ñ œ Y Ð] à VÑ, luego \ § Y Ð] à <ÑÞ Análogamente ] § Y Ð\à <ÑÞ C−] Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 137 - Por otro lado , si \ § Y Ð] à <Ñ y ] § Y Ð\à <Ñ, entonces aB − \ß C − ] , tenemos . Bß ] < y . Cß \ <. Luego supÖ. Bß ] à B − \× Ÿ < supÖ. Cß \ à C − ] × y entonces 3 \ß ] Ÿ <Þ 125.Sea s. la aplicación que asocia a cada parte \ § Q de un espacio métrico Q la función real .\ À Q d , definida por .\ D œ . Dß \ ß D − Q , (O sea, .\ es una función distancia de un punto variable de Q al conjunto fijo \Ñ Si nos restringimos a considerar .\ apenas para los \ − ¹ÐQ Ñ (ver ejercicio anterior) obtenemos una aplicación s . À ¹ÐQ Ñ ¹ÐQ à dÑ, de ¹ÐQ Ñ en el conjunto ¹ÐQ à dÑ de las funciones reales en el espacio métrico Q Þ Tenemos entonces; + Para cualesquier \ß ] − ¹ÐQ Ñ, las funciones .\ y .] están a una distancia finita en ¹ÐQ à dÑ , La aplicación s . À \ .\ es una inmersión isométrica de ¹ÐQ Ñ en el espacio de funciones ¹ÐQ à dÑ. SOLUCIÓN. + Sean \ß ] − ¹ÐQ Ñ. Tenemos entonces que . Šs . \ ßs . ] ‹ œ . .\ ß .] œ supÖl. Dß \ . Dß ] là D − Q × Ÿ α \ß ] ∞ß siendo αÐ\ß ] Ñ œ supÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] ×. , 3) Tenemos que \§ Q Æ supÞÖl. Dß \ . Bß ] là D − Q × supÞÖl. Bß \ . Bß ] là B − \× œ supÖ. Bß ] à B − \×. y también, supÞÖl. Dß \ . Dß ] là D − Q × supÞÖ. Cß B ß B − \× Entonces . Šs . \ ßs . ] ‹ œ supÞÖl. Dß \ . Dß Q là D − Q × 3Ð\ß ] ÑÞ 33) Sean % !, y, D − Q . Por la definición de infÞ, existen B − \ , y, C − ] tales que Ÿ. BßD . Dß\ % . De l. Cß \ . Dß \ l Ÿ . Cß D se ve que Š .. Dß\ Dß] Ÿ. CßD . Dß] % ‹ . Dß \ Ÿ . Cß D . Cß \ Ÿ . Cß D supÞH ] ß \ Ÿ . Cß D 3Ð\ß ] Ñ . Dß ] % 3Ð\ß ] Ñ y entonces . Dß \ . Dß ] 3Ð\ß ] Ñ % M De l. Bß ] . Dß ] l Ÿ . Bß D , se ve que . Dß ] Ÿ . Bß ] . Bß D Ÿ . Bß D supÞH \ß ] Ÿ . Bß D 3Ð\ß ] Ñ . Bß D % 3Ð\ ß ] Ñ, luego . Dß ] . Dß \ 3Ð\ß ] Ñ %, o sea que, . Dß \ . Dß ] 3Ð\ß ] Ñ % De M y MM , tenemos que l. Dß \ . Dß ] l 3Ð\ß ] Ñ %ß a% !ß aD − Q Luego MM Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 138 . Šs . \ ßs . ] ‹ œ supÞÖl. Dß \ . Dß ] là D − Q × Ÿ 3Ð\ß ] Ñ %ß a% ! y por lo tanto . Šs . \ ßs . ] ‹ Ÿ 3Ð\ß ] Ñ Finalmente de 3) y 33) tenemos lo deseado. 126. Sea W 8 œ ÖB − d8" à lBl œ "× la "esfera unitaria" 8 dimensional, con la métrica lB Clß inducida de d 8" . Para cada B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8 ß se tiene también B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8 . Sea T 8 el conjunto cociente de W 8 por la relación de equivalencia que identifica B con Bà los elementos de T 8 son los pares no ordenados : œ ÖBß B×ß B − W 8 . Indiquemos con 1:W 8 T 8 a la aplicación cociente: 1 B œ ÖBß B× œ 1 B . En T 8 ß tomemos . :ß ; œ minÞÖlB Clà lB Cl×ß si : œ ÖBß B× y ; œ ÖCß C×. Esto hace que T 8 sea un espacio métrico, llamado el "el espacio proyectivo real 8-dimensional". Se tiene . 1 B ß 1 C Ÿ lB ClÞ Sea \ § W 8 un subconjunto tal que $ \ Ÿ È#ß esto es, si Bß C − \ lB Cl Ÿ È# Þ Entonces 1|\ es una inmersión isométrica de \ en T 8 Þ + . :ß ; œ minÞÖlB Clà lB Cl× es una métrica en donde SOLUCIÓN. : œ 1 B œ ÖBß B× y ; œ 1 C œ ÖCß C× 3) . :ß : œ !ß se tiene trivialmente 33) . :ß ; œ . ;ß : , evidentemente 333) Si : Á ; , entonces B Á „ C y entonces . :ß ; !. Si . :ß ; ! entonces lB Clß lB Cl ! y entonces B Á „ C, o sea : Á ; . 3@) Si ÖDß D× œ 1 D œ <ß tenemos . :ß ; . ;ß < œ minÞÖlB Clß lB Cl× minÞÖlC Dlà lC Dl× œ minÞÖlB Cl lC Dlß lB Cl lC Dlß lB Cl lC Dlß lB Cl lC Dl× minÞÖlB Dlß lB Dlß lB Dlß lB Dl× œ . :ß < . , . 1 B ß 1 C œ minÞÖlB Clà lB Cl× Ÿ lB Cl. - Si aBß C − \ , tenemos lB Cl Ÿ È#, entonces # lB Cl lB Cl# œ B Cß B C B Cß B C œ % siempre y cuando lBl œ lCl œ ". Luego lB Cl# % lB Cl# % # œ # Ê lB Cl È# lB Cl de donde . 1 B ß 1 C œ minß ÖlB Clß lB Cl× œ lB Cl y 1|\ es un inmersión isométrica. 127.Sean Q ß R espacios métricos. Una "oscilación" de 0 À Q R en el punto + − Q es el número A 0 à + œ infÞ de los diámetros de los conjuntos 0 ÒF +à < Óß imágenes por 0 de las bolas abiertas de centro en +. Probar + 0 es continua en el punto + si y sólo si A 0 à + œ ! Darío Sánchez H. 139 TOPOLOGIA GENERAL d en el punto !, donde 0 B œ œ =/8 B" ß si B Á ! !ß si B œ ! SOLUCIÓN. + Supóngase que A 0 à + œ ! y sea % !. Entonces por la definición de infÞß tenemos que b< ! tal que $ Ð0 ÒFÐ+à <ÑÓÑ %, o sea b< ! tal que . 0 B ß 0 C %ß aBß C − F+à <Ñ. En particular aB − FÐ+à <Ñ, tenemos . 0 + à 0 B %, o sea 0 es continua en +Þ Supóngase ahora que 0 es continua en +Þ 3 Es claro que ! Ÿ $ Ð0 ÒFÐ+à <ÑÓÑß a< ! 33 Si % !, por ser 0 continua en +, b<! ! tal que, B − FÐ+à <! Ñ implica que 0 ÐBÑ − FÐ0 Ð+Ñà $% Ñ o sea, aBß C − FÐ+à <! Ñ, se tiene . 0 B ß 0 C #$% . Entonces $ ÐÒFÐ+à <!ÑÓÑß Ÿ #$% %Þ Por 3 ß 33 , se tiene que A 0 à + œ !ß esto según la definición de infÞ =/8 B" ß si B Á ! , Sea 0 À d d dada por 0 B œ œ !ß si B œ ! Calculemos A 0 à ! . Supóngase < ! un número dado. Entonces existe 8 − tal # # " que 8" <. Si tomamos B! œ %8" 1 y C! œ %8$ 1 , se tiene que ! B! #81 < y que , Calcúle la oscilación de 0 À d ! C! " #8" 1 <, y por lo tanto B! ß C! − FÐ!à <Ñ y también 0 B! œ " y 0 C! œ "Þ Conclusión: a< !ß bB! ß C! − FÐ!à <Ñ tal que . 0 B! ß 0 C! œ #. Luego $ Ð0 ÒFÐ!à <ÑÓÑ #ß a< !. Pero l0 B l Ÿ " de donde $ ÐÒFÐ!à <ÑÓÑ Ÿ #ß a< !. Recibiéndose que A 0 À ! œ #. 128.Establecer los siguientes homeomorfismos + Entre d 8" Ö+× y W 8 ‚ d , donde, + − d 8" , Entre el semiespacio superior abierto L œ ÖB − d 8 à B8 !× y el espacio total d 8 à entre L œ ÖB − d 8 à B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ. - Entre T œ ÖB − d 8 à B" !ß á ß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞ÑÞ SOLUCIÓN. + 1 À d 8" Ö+× W 8 ‚ d . Consideremos los siguientes homeomorfismos y sus respectivos inversos: "Ñ d 8" Ö!× g d 8" Ö+× È B+ B " d 8" Ö+× g d 8" Ö!× È B B+ : #Ñ W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ d 8" Ö!× È >B Bß > " : d 8" Ö!× W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ È Š B ß lBl‹ B lBl < $Ñ W8 ‚ d W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ Bß /> Bß > È Darío Sánchez H. 140 TOPOLOGIA GENERAL <" W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ W8 ‚ d Bß lg> È Bß > Tenemos entonces que 2 À W 8 ‚ d d 8" Ö+× dada por 2 Bß > œ g ‰ : ‰ < Bß > œ g ‰ : Bß /> œ g /> B œ /> B + es un homeomorfismo cuyo inverso es 2 " À d 8" Ö+× W 8 ‚ d es dado por B+ B+ 2 " B œ <" ‰ :" ‰ g " B œ <" ‰ :" B + œ <" Š lB+l ß lB +l‹ œ Š lB+l ß lglB +l‹ , 3Ñ 2 À L d definida por 2 B" ß á ß B8" ß B8 œ B" ß á ß B8" ß lgB8 cuyo inverso es 2 " À d 8 L es dada por 2 " B" ß á ß B8 œ B" ß á B8" ß /B8 33Ñ En forma análoga 2 À L d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ es trivalmente un homeomorfismo. - T œ ÖB − d 8 à B" !ß âß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ Sea ‘ œ Ò!ß ∞Ñ y usando notación evidente, probemos inicialmente que d # µ d ‚ ‘. # Para eso escribimos ‘ en coordenas polares 3ß ) , donde ! Ÿ 3 ∞ y ! Ÿ ) Ÿ 1# à igualmente, escribimos d ‚ ‘ en coordenadas 3" ß )" ß donde ! Ÿ 3" ∞ y ! Ÿ )" Ÿ 1 . # La aplicación 0 À ‘ d ‚ ‘ dada por 0 3ß ) œ 3ß #) es continua biunívoca y # sobre, cuya inversa 0 " À d ‚ ‘ ‘ es dada por 0 " 3" ß )" œ ˆ3" ß )#" ‰ es continua y # entonces 0 es un homeomorfismo y por consiguiente ‘ µ d ‚ ‘. 5 Suponga ahora que ya tenemos demostrado que ‘ µ d 5" ‚ ‘ y probemos que 5" ‘ µ d 5 ‚ ‘. En efecto, tenemos 5" 5 ˆd 5" ‚ ‘‰ ‚ ‘ µ d 5" ‚ Б ‚ ‘Ñ µ d 5-" ‚ Ðd ‚ ‘Ñ µ d 5 ‚ ‘ . ‘ œ‘ ‚‘µ Å Å inducción 8 Luego T œ ‘ µ d 129.En 8" ‚‘œd 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ. + parte " cada uno de los casos de abajo, determine si E es o no un subconjunto abierto del espacio métrico Q : + Q œ conjunto de los números reales ; E œ Önúmeros racionales×Þ , Q œ µÐ\à dÑà E+ œ Öfunciones acotadas 0 À \ d tales que 0 + ! para + − Q fijo×Þ - Q œ Önúmeros reales×ß 0 − ¹Ðdà dÑ y E4 œ ÖB − dà 0 ÐBÑ !×Þ . Q œ d 8 ; E œ ÖB − d 8 à B" entero !×Þ / Q œ d#; E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B# C# œ " ni en el eje B× 0 Q œ Önúmeros enteros×à E œ ÖB − Q à lB #l œ $×Þ 1 Q œ dà E œ ÖB − Q à B $×Þ 2 Q œ µÐdà dÑà E œ Ö0 − Q Î0 es discontinua en todos los puntos de la recta×Þ , 3 Q œ ¶! ÐÒ+Þ,Óà dÑà E œ Ö 0 − Q à '+ 0 B .B !×Þ 4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente 3 coordenadas !×. SOLUCIÓN. + Q œ d à E œ Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 141 E no es abierto pues a< − ß a% !, la bola F <à % œ < %ß < % contiene irracionales. , Q œ µÐ\à dÑà E+ œ Öfunciones acotadas 0 À \ d tales que 0 + ! para + − Q fijo × Dado 0 − E+ , tomemos 1 − Q tal que 1 − FÐ0 à 0 Ð+ÑÑ œ Ö2 − Q à . 0 à 2 0 + !×Þ Entonces . 0 B ß 1 B 0 + ß aB − \ , y por lo tanto 0 + 0 B 1 B 0 + ß aB − \ ß o sea, 0 B 0 + 1 B 0 B 0 + ß aB − \ . En particular, ! œ 0 + 0 + 1 + #0 + Ê 1 + !, y entonces 1 − E+ Ê FÐ0 à 0 Ð+ÑÑ § E+ Ê E+ es abierto. - Si 0 À d d es continua, entonces E0 es realmente abierto, pues E0 œ 0 " !ß ∞ . 0 no es continua: Esto no es posible, pues si tomamos Ú ! , si ∞ B ! 0 B œ Û ! , si " B ∞ Ü " , si ! Ÿ B Ÿ " entonces E0 œ 0 " !ß ∞ œ Ò!ß "Ó no es abierto en d . . Se define la función 1" À d 8 d, por 1" B" ß B# ß á ß B8 œ B" y se nota que 1" es continua y que E œ 1" , donde es cerrado en d . luego E es cerrado en d 8 y como E Á d 8 ß se sigue que E no es abierto. / Sea 0 À d # d la función dada por 0 Bß C œ =# C# la cual es continua y entonces 0 " Ö"× œ W " œ Ö Bß C ÎB# C# œ "× es cerrado en d # . Sea 1 À d d dada por 1 B œ ! ; 1 es continua y entonces K 1 œ gráfica de 1 œ eje de las B es cerrado en d ‚ d . Luego J œ W " ∪ K 1 es cerrado en d # y entonces E œ d # J es abierto. 0 O sea E œ Ö "ß &×; es abierto en ™ pues ™ es un conjunto discreto. 1 E no es abierto en Q pues a% !, la bola abierta $ %ß $ % œ F $à % no está contenida en E. Ú B Ý Ý / , si B es racional Ÿ ! " , si B es racional ! 2 Sea 0 À d d dada por 0 B œ Û B Ý Ý / , si B es irracional ! Ü " , si B es irracional ! Tenemos que 0 − FÐdà dÑ pues l0 B l Ÿ "ß aB y 0 es discontinua en todo punto de d . Dado % !ß sea FÐ0 à %Ñ en Q y tomemos >! − d tal que />! #% Šes posible pues /B Ä ! ‹. BÄ ∞ 0 B ß si B B! 1 B œœ . ! ß si B B! Tenemos entonces que 1 − FÐ0 à %Ñ, pero 1 es continua en todo punto B B! ß esto es 1  EÞ Como % ! es arbitrario, concluimos que E no es abierto. B 3 La aplicación : À Q d dada por : 0 œ '+ 0 B .B es continua Ðver resultados básicos en análisis en d 8 Ñ y entonces E œ :" !ß ∞ es abierto en Q pues !ß ∞ es abierto en d . Sea 1 À d d dada por Darío Sánchez H. 142 TOPOLOGIA GENERAL 4 Sea C œ "ß "ß "ß !ß ! − E. Para cualquier % !, tenemos B œ ˆ"ß "ß "ß #% ß !‰  E y sin embargo . Bß C œ #% . Luego B − FÐCà %Ñ. Concluimos que E no es abierto en Q Þ 130. Sea E œ Ö Bß C − d # à B Á C ” C œ !×. La intersección de E con cualquier recta horizontal o vertical es abierto en esa recta, pero E no es un subconjunto abierto del plano. + Sea W la recta C œ - constante, o sea, W œ Ö Bß - − d # à B − d×; SOLUCIÓN. entonces W ∩ E œ Ö Bß - − d # à B -× ∪ Ö Bß - − d # à B -× Se define 1 À W d por 1ÐBß -Ñ œ B. Es claro que 1 es continua y entonces 1" ∞ß - ß 1" -ß ∞ son abiertos en W . Pero 1" ∞ß - œ Ö Bß - − d # à B -× y 1" -ß ∞ œ Ö Bß - − d # à B -×. Luego W ∩ E œ 1" ∞ß - ∪ 1" -ß ∞ es abierto en W . , E no es abierto en d # pues a% !, la bola abierta FÐÐ!ß !Ñà %Ñ contiene puntos de la forma ˆ 8" ß 8" ‰ß 8" %ß que no estan en EÞ 131.Todo abierto no vacío E § d8 contiene por lo menos un punto B œ B" ß B# ß á ß B8 cuyas coordenadas B" ß B# ß á ß B8 son racionales. Concluír que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos en d 8 ß entonces ¶ es enumerable. Como consecuencia, mostrar que si M § d es un intervalo y 0 À M d es una función monótona, entonces el conjunto de los B − M en los cuales 0 es discontinua es enumerable. + Sea E § d 8 abierto no vacío y sea + œ +" ß +# ß á ß +8 − EÞ Entonces SOLUCIÓN. b% ! tal que FÐ+à %Ñ § E. Pero dado +3 − d y % !, existen siempre <3 − tales que <3 − Ð+3 8% ß +3 8% Ñß a3 œ "ß á ß 8Þ Tomando < œ <" ß á Þß <8 − 8 ß tenemos que . +à < œ Ë 8 + 3 <3 # 3œ" 8 Ÿ l+3 <3 l % 3œ" y entonces < − FÐ+à %Ñ § EÞ 8 , Sea ¶ œ ÖE- ×-−P tal que E- § d es abierto y E- ∩ E. œ ø, si . Á -. Para este ejercicio podemos suponer los E- Á ø, pues si algún E- œ ø y lo restante es enumerable, entonces el total continuará enumerable. Para cada - − P, fijamos por elección <- − E- ß <- − 8 dado por la parte + Þ Tomemos una aplicación 0 À P 8 dada por 0Ð-Ñ œ <- y obtenemos que 0 es biunívoca pues si - Á ., esto es, si E- ∩ E. œ ø , tenemos que 0Ð-Ñ œ <- Á <. œ 0Ð.Ñ. Luego P es enumerable y por lo tanto ¶ también. - Sea M § d un intervalo y 0 À M d monótana. Podemos sin perder generalidad suponer que M es abierto. Sean 0 B œ lim 0 > y 0 B œ lim 0 > y suponga para >ÄB >B fijar las ideas que 0 es monótonamente creciente en MÞ >ÄB >B Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 143 Entonces 0 B Ÿ 0 B Ÿ 0 B ß aB − Mß y si + B C entonces 0 B Ÿ 0 C . Además, 0 es continua en B Í 0 B œ 0 B œ 0 B (Para estas propiedades ver Walter Rudin, Principles of Mathematical Analisis- pg. 82/83). Sean Bα B" puntos de discontinuidad de 0 à entonces ‰ ˆ 0 Bα 0 Bα Ÿ 0 B3 0 B" y entonces la colección ¶ œ Ö 0 B ß 0 B à B es punto de discontinuidad de 0 × es una colección de intervalos abiertos dos a dos disyuntos en d y por la parte , , ¶ es enumerable. Luego también lo son los puntos de discontinuidad de 0 . 132.Sea M œ Ò+ß ,Ó e indiquemos con ¶ " ÐMÑ el espacio vectorial de las funciones continuas acotadas 0 À M d el cual posee derivadas continuas en todos los punto B − M . Muestre que l0 l‡ œ supÞÖl0 B l l0 w B là B − M× es una norma en ¶ " ÐMÑ y que la aplicación lineal H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐÒ+ß ,Óà dÑß definida por H 0 œ 0 w œ derivada de 0 ß es continua. Dado B! − M , el conjunto E œ Ö0 − ¶ " ÐMÑ À 0 w ÐB! Ñ !× es abiertoÞ ¿Es , continua la función : À ¶ " ÐMÑ d , definida por : 0 œ '+ 0 w B .B? . ¿Serían H continua y E abierto aún si tomásemos en ¶ " ÐMÑ la norma l0 l œ supÞÖl0 B là B − M×? 0 w À M d es SOLUCIÓN. Sea M œ Ò+ß ,Ó § d y ¶ " ÐMÑ œ Ö0 À M dà 0 es continua y ‡ w continua× + |0 l œ supÞÖl0 > l l0 > là > − M× es norma, Î !ß son obvias. 3) l!l‡ œ ! y l0 l‡ ! Í 0 œ 33) Si - − d , entonces |-0 l‡ œ l-ll0 l‡ , es fácil 333) l0 1l‡ Ÿ l0 l‡ l1l‡ Sean 0 ß 1 − ¶ " ÐMÑ. Sabemos que 0 1 w > œ 0 w > 1w > y entonces a> − M , tenemos l0 l‡ l1l‡ l0 > l l0 w > l l1 > l l1 w > l l0 > 1 > l l0 w > 1 w > l œ œl 0 1 > ll 0 1 w > l Luego l0 l‡ l1l‡ supÞÖl 0 1 > l l 0 1 w > là > − M× œ l0 1l‡ , H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐÒ+ß ,Óà dÑß H 0 œ 0 w Þ lH 0 H 1 l œ l0 w 1w l œ supÞÖl 0 1 w > là > − M× Ÿ supÞÖl 0 1 > l l 0 1 w > lß > − M× œ l0 1l‡ . Luego H es una contracción débil y por lo tanto continua. - B! − Mß E œ Ö0 − ¶ " ÐMÑà 0 w B! !×. Sea F œ Ö1 − ¶! ÐMÑà 1 B! !× y sea 0 − Fà entonces 0 B! ! y tomemos ! % 0 B! en la bola F 0 à % . Si 2 − ¶! ÐMÑ y si 2 − FÐ0 à %Ñ, tenemos que . 0 à 2 %; en particular, . 0 B! ß 2 B! %ß o sea , l2 B! 0 B! l % y entonces 2 B! 0 B! % ß o sea, 2 − F y F es abierto en ¶! ÐMÑÞ Ahoraß H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐMÑ es continua y E œ H" F ß por lo tanto E es abierto en ¶ " ÐMÑÞ , , . : À ¶ " ÐMÑ dß : 0 œ '+ 0 w > .>. Sea α À ¶! ÐMÑ d definida por α 1 œ '+ 1 > .> y tomemos la compuesta α ‰ H À ¶ " M dà así , w w α ‰ H > œ α 0 œ '+ 0 > .> œ : > . Luego : œ α ‰ H y como H es continua, basta mostrar que α lo es. Darío Sánchez H. 144 TOPOLOGIA GENERAL Sean 1ß 2 − ¶! ÐMÑ tenemos , , , lα 1 α 2 l œ ¹'+ 1 > .> '+ 2 > .>¹ œ ¹'+ 1 > 2 > .>¹ Ÿ , + † supÞl1 > 2 > l œ , + . 1ß 2 Þ y por consiguiente α es Lipschitziana, luego es continua. " / Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ y sea $ !. 0 − ¶ ÐMÑ " B8 Entonces existe 8 − R tal que 8 $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que . 08 ß 0 œ 8" $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es continua en 0 œ !Þ Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea % !. Entonces existe 8 − " tal que y sea B! œ 1 − M . Tómese ahora la función #8" % " " 08 B œ B #8" =/8 #8 " B ; 08 − ¶ ÐMÑ y " . 08 ß 0 œ supÞ¹ #8" =/8 #8 " B ¹ œ " #8" % y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ. Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ " ! mientras que 08w B! œ 08w 1 œ " " œ !Þ Por consiguiente 08  E y E no es abierto. 133.Sean \ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos de \ que forman un grupo con relación a la composición (esto es, si 1ß 2 − K entonces 1 ‰ 2 − K y si 1 − K entonces 1" − KÑ. La "órbita" de un punto B − \ relativamente al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \Þ Defina en \ una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son las orbitas de los puntos de \ según K. Indiquemos con \ÎK el espacio cociente. Muestre que la aplicación cociente : À \ \ÎK es abierta. Supónga que K es un grupo "propiamente discontinuo", esto es, para todo punto B − \ existe un abierto Y conteniendo a B, con Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. Esto implica que 1 Y y 2 Y son disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − K. En estas condiciones la aplicación cociente : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Los toros X 8 ß el espacio proyectivo T 8 y el cilindro W " ‚ d son casos particulares de esta situación. BIC Í b1ß 2 − K tales que SOLUCIÓN. + Es claro que la relación 1 B œ2 B ÍK B œK C , es una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ . Sea \ÎK el conjunto cociente y sea : À \ \ÎK la aplicación cociente. , : es abierta: Sea E un abierto en \ ; basta probar que el saturado :" : E es abierto. En efecto, B − :" :ÐEÑ Í : B − : E Í : B œ : + ß + − E Í B œ 1 + ß 1 − K Í B − 1ÐEÑ Í B − ∪ 1ÐEÑ Luego :" : E œ ∪ 1−K 1−K 1ÐEÑ que es abierto por ser reunión de abiertos. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 145 - Suponga K propiamente discontinuo y sea B − \ y Y abierto tal que Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø a1 − K, 1 Á 3. . Supóngase 1ß 2 − K, con 1 Á 2 1" Á 2 " . Tenemos entonces que 2 " 2 Y ∩ 1 Y œ Y ∩ 2 " ‰ 1 Y œ øß pues 2 " ‰ 1 Á 3.Þ " Como 2 es un homeomorfismo, tenemos que 2 Y ∩ 1 Y œ øÞ . : À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Sea B − \ y sea Y de manera que Y B es el abierto tal que B − Y y Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø, a1 − K , 1 Á 3. Como : es una aplicación abierta, tenemos que : Y œ Z es abierto y cualquiera que sea E § Y abierto , tenemos que E es abierto en \ y por consiguiente : E es abierto y entonces :|Y À Y : Y œ Z es una aplicación abierta. Es claro que :|Y es sobre; basta apenas mostrar que :|Y es uno a uno: Sean B" ß B# − Y , B" Á B# y supóngase que :ÐB" Ñ œ :ÐB# Ñ. Entonces b1 − Kß 1 Á 3. tal que 1 B" œ B# , B# − Y y B# œ 1 B" − 1ÐY Ñ Ê Y ∩ 1ÐY Ñ Á ø po contradicción. / 3) Sea K œ Ö15 À d 8 d 8 ß 15 B œ B 5 donde 5 − ™8 × verifiquemos que K es un grupo propiamente discontinuo. Nótese que la relación de equivalencia determinada por K coincide con algo que ya conocemosß esto esß BKC Í B C − ™8 Þ Luego tenemos que d 8 ÎK œ d 8 Ι8 lo cual es homeomorfo al toro X 8 , el cual es un resultado básico ¿cuál? 33) Sea K œ ÖMß E×, donde M y E son la identidad y la aplicación antípoda restringidas a W 8 . Se verifica que K es un grupo propiamente discontinuo y note que la relación de equivalencia determinada por K en W 8 coincide con la dada en el ejercicio 126, esto es BKC Í B œ „ CÞ Luego W 8 ÎK œ T 8 Þ 333) Sea K œ Ö15 À d # d # ß 15 Bß C œ B 5ß C ß donde 5 − ™× se verifica que K es un grupo propiamente discontinuo y que Bß C K Bw ß Cw Í C œ Cw • B Bw − ™ . Luego la relación de equivalencia determinada por K en d # es la misma dada por un ejercicio que ya hicimos ¿cuál?. Luego d # ÎK œ d # Ι µ W " ‚ d . 134.Sean 0 ß 1 À \ ] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado en \ . ¿Es esencial que ] sea de Hausdorff? + Sea J œ ÖB − \ à 0 B œ 1 C × y Ew œ \ J Þ Si + − Ew , entonces SOLUCIÓN. 0 + Á 1 + en ] de Hausdorff . Luego existen abiertos Y y Z en ] tales que 0 + − Y , 1 + − Z y Y ∩ Z œ ø. Por ser 0 y 1 continuas existen abiertos Eß F en \ , tales que 0 E § Y y 1 F § Z . Sea [ œ E ∩ F abierto en \ ; tenemos que + − [ y aA − [ , se sigue que 0 A −0 Ð[ ѧ0 ÐEѧY Š 1ÐAÑ−1Ð[ ѧ1ÐFѧZ ‹, luego 0 A Á 1ÐAÑ y entonces + − [ § Ew y por consiguiente Ew es abierto y J es cerrado. , Es esencial que ] sea espacio de Hausdorff, pues Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 146 "‰ ejemplo: Sea \ œ Ö+ß ,× y 7 œ Öøß \× la topología grosera en \ , luego \ß 7 no es Hausdorff. Sean 0 À \ \ , 1 À \ \ nótese que 0 ß 1 son continuas y que +È + +È+ ,È+ ,È , J œ ÖB − Eà 0 B œ 1 B × œ Ö+× no es cerrado en \ . ‰ ejemplo: Sea W œ E ∩ F ∩ G donde E œ Ö Bß ! à B Ÿ "×ß F œ Ö Bß ! à B "× # G œ Ö !ß C à C !×, sea 0 À W d dada por " B para Bß ! − E 0 Bß ! œ œ y 0 !ß C œ C para !ß C − GÞ " B para Bß ! − F Sean 7" y 7# las topologías inducidas en E ∪ G y F ∪ G por las restricciones 0 l E∪G y 0 l F∪G . Sea 7 la topología sobre W generada por 7" y 7# , se muestra que esta topología no es Hausdorff. Definamos ahora 0 ß 1 À d W dadas por " Bß ! ß B Ÿ ! B "ß ! ß B Ÿ ! 0 B œœ , 1 B œœ ß !ß B ß B! !ß B ß B ! Se verifica que 0 y 1 son continuas y que J œ ÖB − dà 0 B œ 1 B × œ !ß ∞ no es cerrado en d . 135.La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ tiene las siguientes propiedades: " ø œ ø; # W § W; $ % W œ W; W ∪X œW ∪X . Estas propiedades implican sin retornar a la definición que si W § X entonces W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto. Supongamos definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las cuatro propiedades de arriba. Defina un subconjunto E § \ como abierto si \ E œ \EÞ Muestre que si obtiene así una topología en \ ; relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto Wß W coincide con el subconjunto W dado inicialmenteÞ SOLUCIÓN. + Demostremos % À B − W ∪ X Í B es punto adherente de W ∪ X Í B es punto adherente de W o de X Í B − W ” B − X Í B − W ∪ X . Luego W ∪ X œ W ∪ X , Sin retornar a la definición % 3 Si W § X , entonces W ∪ X œ X , luego X œ W ∪ X Ê W § X 33 3 W∩X §WÊW∩X §W W∩X §X ÊW∩X §X 3 ÊW ∩X § W ∩X . - Sea \ un conjunto y : À P \ P \ tal que : goza de las cuatro propiedades " Î % y por consiguiente de 3 y 33 también. Defínase E abierto Í : \E œ \ E Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 147 " MÑ : \ \ œ :ÐøÑ œ ø œ \ \ß luego \ es abierto MMÑ :Ð\ øÑ œ :Ð\Ñ − PÐ\Ñ por consiguiente :Ð\Ñ § \ . Pero por # , \ § :Ð\Ñ. Luego \ œ :Ð\Ñ y entonces ø es abierto MMMÑ Sea ÖE-×-−P una familia de abiertos, esto es, :Ð\ E- Ñ œ \ E- , a-. tenemos 3 que :Ð\ ∪ E- Ñ œ :Ò ∩ Ð\ E- ÑÓ § :Ð\ E- Ñß a- , entonces - - ∪ E- Ñ § ∩ Ð\ E- Ñ œ ∩ \ E- œ \ ∪ Ey también \ ∪ E- § :Ð\ ∪ E- Ñ, por # . Luego :Ð\ ∪ E- Ñ œ \ ∪ Epor consiguiente ∪ E- es abierto. :Ð\ y MZ Ñ Sean E" ß E# abiertos en \ ; tenemos que % :Ð\ E" ∩ E# Ñ œ :ÐÐ\ E" Ñ ∪ Ð\ E# ÑÑ œ :Ð\ E" Ñ ∪ :Ð\ E# Ñ œ \ E" ∪ \ E# œ \E" ∩ E# por consiguiente E" ∩ E# es abierto. Por MÑß MMÑ, MMMÑß MZ Ñß tenemos una topología en \ .Þ . Denotemos por W la adherencia de un conjunto W , en el sentido usual, y mostremos que : W œ W , : \ \: W œ: : W $ œ: W œ\ \: W ß # luego \ : W es abierto y por lo tanto : W es cerrado y como : W ¨ W , tenemos que W § : W ˆpor la definición de W ‰. Pero W es cerrado, de donde \ W es abierto y entonces :ˆW ‰ œ : \ \ W œ \ˆ\ W ‰ œ WÞ Por # , tenemos W § W Ê : W § :ˆW ‰ œ Wß con lo cual termina la demostración. 136. Sea 0 À \ ] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada punto C − ] , es un conjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 2 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 , entonces ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× es un subconjunto abierto de ^Þ Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicación continua µ 1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ 1 œ 1 . Concluya que si ^ es conexo, y \ de Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto D! − ^ coinciden en todos los puntos de ^Þ SOLUCIÓN. + Sea B − 0 " ÐCÑ. Entonces existe un abierto Y ® B tal que 0 Y œ Z es abierto en ] y 0 lY À Y Z es un homeomorfismo. Entonces aB" Á B − Y , tenemos 0 B" Á 0 ÐBÑ œ C así que B" − / 0 " ÐCÑ. Luego 0 " ÐCÑ ∩ Y œ ÖB× y por consiguiente 0 " ÐCÑ es discreto. , Sean 1ß 2 À ^ \ continuas; sea E œ ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× y tomemos D − E. Tenemos que 1 D œ 2 D œ B − \ . Como 0 es un homeomorfismo local , existe un abierto Y ® B tal que 0 lY À Y Z œ 0 Y es un homeomorfismo. Sean 1" Y œ [" y 2 " Y œ [# abiertos en ^ y sea [ œ [" ∩ [# à [ es abierto en ^ y si A − [ , tenemos que 1 A , 2 A − Y y por hipótesis, 0 ‰ 1ÐAÑ œ 0 ‰ 2ÐAÑ. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 148 Pero 0 lY es un homeomorfismo. De donde se concluye que 1 A œ 2 A , o sea, que D − [ § E y por consiguiente E es abierto. - Sean ^ conexo, \ de Hausdorff y 1µ" ß 1µ# dos levantamientos de 1. Sea E œ ÖD − ^ൠ1 " D œµ 1 # D ×. Por ser levantamientos de 1ß tenemos que µ µ 0 ‰ 1" œ 1 œ 0 ‰ 1 # y entonces, por la parte , , tenemos que E es abierto en ^ . Por ser \ de Hausdorff y por un ejercicio que ya esta hecho ¿cuál?, tenemos que E es cerrado en ^ y como 1µ" D! œ 1µ# D! , tenemos que E Á ø. Finalmente por ser ^ conexo, tenemos que E œ ^ . 137.Para que \ sea un espacio de Hausdorff es necesario y suficiente que la diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \à B œ C× sea un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Otra condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las vecindades cerradas de BÞ SOLUCIÓN. + Si \ es Hausdorff, basta notar que ? es el gráfico de la aplicación continua + À \ \ , + B œ B ; luego ? es cerrado en \ ‚ \ . Supóngase ahora que ? es cerrado y sean Bß C − \ , B Á C. Entonces Bß C  ? y como \? es abierto, existe un abierto E ® Bß C tal que E ∩ ? œ øÞ Por definición de abierto de la topología producto, para el punto Bß C − E, existen abiertos Y ® B en \ y Z ® C tales que Bß C − Y ‚ Z § E § \ ?Þ Como Y ‚ Z § \ ?, tenemos que a ?ß @ − Y ‚ Z Ê ? Á @Þ En otras palabras , Y ∩ Z œ ø. Luego \ es Hausdorff. , Supónga inicialmente que \ es de Hausdorff. Si B − \ , entonces B − ∩ JB , donde JB es una vecindad cerrada de B, tomemos C Á B y por ser \ de Hausdorff, existen abiertos Eß F en \ tales que B − Eß C − F y E ∩ F œ ø. Luego B − \ F œ J ß el cual es una vecindad cerrada de B pues J ¨ E ® B . Además C  J , o sea, C  ∩ JB ; luego ÖB× œ ∩ JB . Supóngase ahora que aB − \ , tenemos que ÖB× œ ∩ JB , entonces dados C Á B en \ tenemos que C  ∩ JB , luego existe una vecindad cerrada JB de B tal que C  JB , o sea C pertenece al abierto E œ \ JB Þ Además, por ser JB una vecindad de B, tenemos que existe un C−Eœ\J abierto F tal que B − F § JB . Entonces Š B−F§J B ‹, luego E ∩ F œ ø y \ es B de Hausdorff. 138.Sea el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8 columnas. Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio # euclidiano d 8 . Por medio de esa correspondencia, transforme a Q 8 en espacio métrico. Las aplicaciones ./> À Q 8 d y 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 , definidas por ./>Þ \ œ determinante de la matriz \ y 7 \ß ] œ \ † ] œ producto matricial de \ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " , es continua. Q 8 Darío Sánchez H. 149 TOPOLOGIA GENERAL El conjunto S 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa en igual a la transpuesta) es acotado y cerrado en Q 8 . El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es ! es abierto y cerrado en K 8 . ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ?. Ô +"" á +38 × ã ä ã basta hacer 0 E œ +"" ß á ß +8" ß á ß +"8 ß á ß +88 SOLUCIÓN. + Si E œ Õ +8" á +88 Ø # para obtener una correspondencia uno a uno, 0 À Q 8 d 8 . # , Sea ." À d 8 d la métrica definida por ." Bß C œ supÞÖlB3 C3 l; 3 œ "ß á ß 8# ×, donde # B œ B" ß á ß B8# ß C œ C" ß á ß C8# − d 8 . # Entonces, si E œ +34 ß F œ ,34 − Q Ð8Ñ, definimos . À Q 8 d 8 por . Eß F œ ." 0 E ß 0 F œ max l+34 ,34 l " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 - Sea ./> À Q 8 d dada por ./> E œ 5 %Ð5Ñ+"5 " â+85 8 , donde E œ +34 − Q Ð8Ñ, 5 es una permutación de 8 elementos y %Ð5Ñ es el signo de la permutación. Luego ./> es una función continua pues se expresa como suma y producto de funciones continuas. Sea 7 À Q Ð8Ñ ‚ Q Ð8Ñ Q Ð8Ñ dada por 7 Eß F œ E † F . Tenemos que 7 es bilineal y Q 8 es un espacio vectorial de dimensión finita. En la parte de análisis en d 8 se mostró que 7 es continua. . Note que \ − Q Ð8Ñ posee inversa si y sólo si ./> \ Á !; luego K 8 œ ./>" d Ö!× , luego K 8 es abierto en Q 8 pues ./> es continua y d Ö!× es abierto de d . / < À K 8 K 8 , dada por < \ œ \ " œ ./>"\ † +.4 \ y +.4 \ œ ˆ +.4\ 34 ‰ß donde +.4\ 34 œ " 34 † ./> \ 4l3 y donde \ 4l3 es la matriz que se obtiene de \ , eliminándose la fila 4 y la columna 3Þ Notemos que 134 À Q 8 Q 8 " dada por 134 \ œ \ 4l3 es continua pues es una contracción débil; . 134 \ ß 134 ] œ . \ 4l3 ß ] 4l3 Ÿ . \ß ] . También es continua la aplicación ./> À Q 8 " dÞ Luego +.4 34 À Q 8 d dada por +.4 34 \ œ +.4\ 34 œ ./> \ 4l3 œ ./> ‰ 134 \ es continua, pues es compuesta de funciones continuas. Entonces la aplicación +.4 À Q 8 Q 8 dada por Ô +.4\ ã +.4 \ œ Õ +.4\ es continua, pues todas sus coordenadas "" 8" â ä â +.4\ +.4\ ã +.4\ 34 38 88 × Ø lo son. Darío Sánchez H. 150 TOPOLOGIA GENERAL La función K 8 : d Ö!× dada por : \ œ " ./> \ es continua pues es la compuesta de la función ./> con la función d Ö!× d que son ambas continuas. B È B" Luego la función < À K 8 K 8 es continua por ser compuesta de las funciones \ È \ " continuas: K 8 d Ö!× ‚ KÐ8Ñ " \È ß +.4\ Œ ./>\ È KÐ8Ñ " † +.4\ ./> \ 0 Consideremos la composición Q 8 - Q 8 ‚Q 8 \È ˆ\ß \ > ‰ 7 Q 8 ./> d > È \ † \ >È ./>ˆ\\ ‰ ./> ‰ 7 ‰ - À Q 8 d es continua pues cada uno de los factores es continua. Como \ − S 8 Í ./>\ œ „ ", tenemos que S 8 œ ./> " Ö "ß "× que es cerrado en Q 8 pues Ö "ß "× es cerrado en d . (o aún, \ − S 8 Í \ † \ > œ Mß luego S 8 œ ./> ‰ 7 ‰ - " Ö"× Þ Por otra parte, tenemos E œ +34 − S 8 Ê EE> œ "ß entonces a3 œ "ß á ß 8ß entonces l+34 l Ÿ "ß a3ß 4 œ "ß á ß 8 Ê lEl œ . Eß ! œ supÞ 8 # +34 œ "ß 4œ" Öl+34 l× Ÿ ". " Ÿ 34 Ÿ 8 Luego S 8 − HÐ!à "Ñ œ bola cerrada de centro en la matriz nula y radio ", entonces S 8 es acotado. 1 K œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./>\ !× es abierto en Q 8 pues K 8 œ ./> " !ß ∞ y ./> À Q 8 d es una función continua. De manera análoga, tenemos que K 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \ !× es abierto en Q 8 . Luego K Ð 8 Ñ y K Ð 8 Ñ son abiertos en KÐ8Ñ y K 8 œ K 8 ∪ K 8 , .3=C?8>+ luego K 8 y K 8 son también cerrados en K 8 Þ 2 K 8 no es cerrado en Q 8 . Como Q 8 œ K 8 ∪ K! 8 ∪ K 8 , unión disyunta donde K! 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \ œ !×, basta mostrar que K! 8 ∪ K 8 œ Q 8 K 8 no es abierto. " Ô8 á !× " Dado % !, tome 8 − tal que 8 % y entonces E8 œ Ö ã ä ã Ù − K Ð8Ñ y sin Õ ! á 8" Ø embargo lE8 l œ 8" %, luego E8 − F !à % Þ Luego la matriz ! no pertenece al interior de K! 8 ∪ K 8 , luego este conjunto no es abierto. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 151 139.Para todo subconjunto no vacío W en un espacio métrico Q y todo punto + − Q , se tiene que . +ß W œ . ˆ+ß W ‰. Sea E œ Ö. +ß B à B − W× y F œ Ö. +ß C à C − W×, entonces . +ß W œ infÞEß SOLUCIÓN. ˆ ‰ . +ß W œ infÞFÞ Sea 7 œ . ˆ+ß W ‰ œ infÞF y probemos que 7 œ infÞE: 3) Como E § F , entonces infÞF Ÿ infÞE, o sea a= − E, tenemos 7 Ÿ =. 33) Sea dado % !. Como 7 œ infÞFß entonces existe > œ . +ß C − F ÐC − WÑ tal que 7 Ÿ > 7 #% Þ Como C − W , entonces existe B − W tal que . Bß C #% . Luego para = œ . +ß B − Eß tenemos 7 Ÿ = œ . +ß B Ÿ . +ß C . Cß B 7 #% #% œ 7 %, o sea existe = − E tal que 7 Ÿ = 7 %Þ 3 y 33 implican que 7 œ infÞE. 140. Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si \ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un subconjunto cerrado de \ ‚ \ . Si K § \ ‚ \ es cerrado entonces todo punto en \ÎI es cerrado pero no se puede garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea. Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de Hausdorff. ! Á C! y como \ÎI es SOLUCIÓN. + Sea B! ß C! − \ ‚ \ KÞ Esto significa que B de Hausdorff, tenemos que existen abiertos Y ß Z en \ÎI tales que B! − Y ß C! − Z y Y ∩ Z œ ø. Como : À \ \ÎI es continua , tenemos que :" Y y :" Z son abiertos en \ , con B! − :" ÐY Ñ y C! − :" ÐZ Ñ. Tomemos el abierto E œ :" ÐY Ñ ‚ :" ÐZ Ñ en \ ‚ \ . Si Bß C − Eß tenemos B œ :ÐBÑ − :Ð:" ÐY ÑÑ œ Y y C œ :ÐCÑ − :Ð:" ÐZ ÑÑ œ Z y por consiguiente B Á C ; luego Bß C  K y entonces E § \ ‚ \ K y \ ‚ \ K es abierto. , En lo que sigue identificaremos cada punto B − \ÎI con su clase de equivalencia B œ ÖD − \à DIB× § \ y mostrar que ÖB × es cerrado en \ÎI , esto es Î , o sea, equivalente a mostrar que B es cerrado en \Þ Sea C  B ; luego CIB Bß C − \ ‚ \ K , que es abierto. Entonces existen abiertos Y ß Z § \ tales que Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \ K . En otras palabras, a? − Y ß a@ − Z , tenemos ?ß @  K , Î . En particular, a@ − Z tenemos que @IBß Î o sea, @  esto es, ?I@ B . Luego Z ∩ B œø ß yß C − Z . Luego \ B es abierto en \ y por consiguiente B es cerrado. Si K es cerrado y \ es de Hausdorff, no implica que \ÎI sea Hausdorff: Sea \ un espacio de Hausdorff no normal; entonces existen en \ dos cerrados disyuntos J y K tales que no existen abiertos disyuntos Y y Z con J § Y y K § Z . Tome una relación de equivalencia la cual identifique los puntos de J , a los puntos de K, y a los demás puntos con ellos mismos. Entonces las clases de equivalencia son J , K y B œ ÖB× tal que B  J y B  K. Muestre que el gráfico de esta relación es cerrado, que los puntos son cerrados, pero que \ÎI no es Hausdorff. Darío Sánchez H. 152 TOPOLOGIA GENERAL - Si K § \ ‚ \ es cerrado y : À \ \ÎI es abierta, entonces \ÎI es de Hausdorff. Î y por ser K cerrado, tenemos que existen Sean B Á C en \ÎI ; entonces BIC abiertos Y ß Z § \ tales que Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \ K, o sea a? − Y , y, a@ − Z , se Î tiene ?I@Þ Como : es abierta, tenemos que B − :ÐY Ñ es abierto y C − :ÐZ Ñ abierto y si existe donde Aœ? ß ?−Y A − :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ, entonces Š ‹, o sea, existe ? − Y ß existe @ − Z tal Aœ@ , donde @−Z que ? œ @ , esto es, ?I@ß po contradicción. Luego :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ œ ø Hausdorff. y \ÎI es de 141. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada una descomposición R œ R" ∪ â ∪ R: donde R" ß á ß R: son infinitos y disyuntos, si las subsucesiones ÖB8 ×8−R" ß ÖB8 ×8−R# ß á ß ÖB8 ×8−R : convergen todas para el mismo límite + − Q entonces ÖB8 ×8− converge para +. ¿Es éste resultado aún verdadero en el caso de una descomposición "infinita" R œ R" ∪ â ∪ R: ∪ â?. SOLUCIÓN. + Dado % !, para cada 3 œ "ß á ß :ß b83 − R3 tal que Š 88 3 ‹ß entonces 3 . B8 ß + %. Tomemos 8! œ maxÞÖ8" ß á ß 8: ×. . B8 ß + %à luego limB8 œ +Þ Entonces !‰ ˆ a88 8− ß 8−R tenemos que 8− , Ejemplo: Sea Ö:" ß :# ß :$ ß á × œ Ö#ß $ß &ß (ß á × una enumeración en orden creciente de los números primos y tomemos R" œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" R # œ $ R " œ : # R " ã ã R5 œ : 5 5 ∪ R5 . 3œ" Tenemos entonces que œ Tomamos ahora ∞ ∪ R5 y que los R3 son infinitos y disyuntos. BÀ d definida por Š B5 œ!ß si 5ÂÖ: "ß: #ßá× ‹. " # 5 8 È B 8 œ B8 converge para !, aR3 , pues cada R3 sólo tiene un número primo 5œ" B œ"ß si 5−Ö: ß: ßá× Entonces ÖB8 ×8−R3 :3 Þ Pero ÖB8 ×8− no converge para ! pues existen números primos arbitrariamente grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad. 142.Sea ÖB8 ×8− una sucesión convergente en un espacio métrico Q . Dada cualquier aplicación biunívoca : À la sucesión C8 œ B: 8 también converge en Q y se tiene lim C8 œ lim B8 . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de 8Ä∞ que : sea biunívoca? 8Ä∞ Darío Sánchez H. 153 TOPOLOGIA GENERAL SOLUCIÓN. + Supóngase B8 Ä + y : À biunívoca. Dado % !, b8! − − tal que 8 8! implica que . B8 ß + %. Como : À es biunívoca, tenemos que :" Ö"ß á ß 8! × es finito y entonces b R − tal que :" Ö"ß á ß 8! × § Ö"ß #ß á ß R × ˆ y por lo tanto, a8 R , tenemos que : 8 8! y entonces . B: 8 ß +‰ %Þ Luego lim B: 8 œ +Þ 8Ä∞ , Bastaría que para cada conjunto finito Ö"ß #ß á ß 8! × § ß tuviésemos que " : Ö"ß á ß 8! × § posea un conjunto finito. - Basta definir para un determinado : − , la aplicación biunívoca : À y 8È 8 : entonces B8 Ä +, tenemos que ÖB: 8 œ B8: × Ä +Þ 143.Sea d el conjunto de los números reales y el conjunto de los números racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales es cerrado en µ à d pero las sucesiones convergentes de números racionales no forman un subconjunto cerrado de µ à . En cualquier espacio métrico Q , sin embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite, es continua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes en Q como subespacio de µ R à Q ]. SOLUCIÓN. + Sea ¶ ; d el conjunto de las sucesiones convergentes de números reales el cual está contenido en µÐ; dÑ . Sea Ö08 ×8− una sucesión en ¶ ; d tal que existe lim 08 œ 0 − µÐß dÑ y probemos que 0 − ¶ ; d . Sea entonces % ! 8Ä∞ dado arbitrariamente y como 08 Ä 0 tenemos que b8! − tal que . 08 ß 0 $% ß a8 8! . Fijamos 8" − ß 8" 8! y entonces . 08 ß 0 $% " Como 08 − ¶ Ðà dÑ para todo 8, tenemos en particular que Ö08" 5 ×5− es convergente, luego es una sucesión de Cauchy. Entonces b5! − tal que 5" ß 5# 5! implica que l08" 5 " 08" 5# l $% . # Tomando entonces 5" ß 5# 5! , tenemos que " Æ l0 5" 0 5# l Ÿ l0 5" 08" 5" l l08" 5" 08" 5# l l08" 5# 0 5# l $% $% $% œ % Å # Luego Ö0 5 ×5− es una sucesión de Cauchy en d y entonces es convergente, esto es, lim 0 5 œ 0 − ¶ Ðà dÑ. 5Ä∞ , Sea ¶ Ðà dÑ § µÐà dÑ y probemos que ¶ no es cerrado en µ. Para esto, tomemos α − d y como es denso en d , existe una sucesión Ö0 8 ×8− tal que 0 8 Ä α y 0 8 − ß a8 − . Tomemos ahora una sucesión Ö07 ×7− , donde cada 07 − ¶ Ðà Ñ esta definida por: Ö0" 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 " ß á ß 0 " ß á × Ö0# 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 # ß á × Darío Sánchez H. 154 TOPOLOGIA GENERAL ã ã ã ã ã Ö07 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 7 " ß 0 7 ß á × ã Es claro que 07 − ¶ Ðà Ñ pues 07 8 Ä 0 8 y también 07 Ä 0  ¶ Ðà Ñ pues 0 8 Ä y α  . Luego ¶ Ðà Ñ no es cerrado. 8 α - Sea ¶ Ðà Q Ñ § µÐà Q Ñ y definamos : À ¶ Ðà Q Ñ Q por : ÖB8 ×8− œ Bß donde B œ lim B8 ; es claro que : esta bien definida pues aÖB8 ×8− − ¶ tiene uno y sólo un límite. Sea dado . ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− %! % $ . y Como ÖB8 ×8− − ¶ y tomemos ÖC8 ×8− − ¶ B8 ÄBßb8" −Î88" Ê. B8 ßB % Œ C8 ÄCßb8# −Î88# Ê. C8 ßC %$ $ tal que . Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × y fijando R − , R 8! tenemos que . Bß C Ÿ . BR ß B . BR ß CR . CR ß C $% $% $% œ %. Luego, dado % !, tome $ œ $% para ver que : es continua. 144.Sean \ un espacio topológico R un espacio métrico y E § \ un subconjunto tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R convergente uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0 uniformemente en \. SOLUCIÓN. Dado % !, b8! − tal que 8 8! implica que . 08 B ß 0 B $% , aB − E " Tomamos 8" − fijo, 8" 8! . Sea B! − \ y probemos que . 08" B! ß 0 B! %Þ Como 08" À \ es continua, bY ® B! abierto tal que B − Y Ê . 08" B ß 08" B! $% # Como 0 À \ es continua, b un abierto Z ® B! tal que B − Z Ê . 0 B ß 0 B! $% $ Tomando el abierto [ œ Y ∩ Z ® B! . Entonces aB − [ , se cumplen simultáneamente # y $ . Pero E œ \ , entonces E ∩ [ Á ø; tenemos entonces + − E ∩ [ y para tal + valen " ß # y $ , por lo tanto . 08" B! ß B! Ÿ . 08" B! ß 08" + . 08" + ß 0 + . 0 + ß 0 B! $% $% $% œ %. 145.Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico \ es "denso" en \ cuando W œ \Þ Un subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d , si y sólo si ! es punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d , existe un número real + ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular, los subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß + !. Concluir que si ) es un número irracional, los números de la forma 7 )8ß 7ß 8 − ™ constituyen un subconjunto denso de d . SOLUCIÓN. + Suponga que K œ d y sea % ! dado. Existe entonces 1 − K tal que 1 − Ð!ß %Ñ. Luego ! es punto de acumulación de K. Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 155 Sean ahora B ! en d y % ! dados. Como ! es punto de acumulación de K, tenemos que existe 1 − K tal que 1 − Ð %ß %Ñ Ö!× y podemos suponer que 1 ! (si 1 !ß 1 ! y 1 − K, pues K es un grupo). Tómese 8 − tal que 8 " 1 Ÿ B Ÿ 8 " 1 пexiste tal 8?). Entonces tenemos que 81 1 Ÿ B Ÿ 81 1 y como 1 %, de la última desigualdad se ve que 81 % B 81 % y entonces % B 81 %. Luego lB 81l % y entonces 81 − B %ß B % y 81 − K Ðpues 8 − , 1 − K y K es grupoÑ. Luego B %ß B % ∩ K Á ø. Como ! % es cualquiera, tenemos que B − K . Si B − dß B !, se resuelve de manera análoga. Luego, aB − d , tenemos B − K y entonces K œ d . , Si K œ Ö!×, entonces K œ ™ † !. Suponga K Á Ö!× y K no denso en d ; por la parte + ß ! no es punto de acumulación de Kß esto es, b% !, tal que Ð %ß %Ñ Ö!× ∩ K œ ø. Sea E œ Ö1 − Kà 1 !×. Entonces E Á ø pues K Á Ö!× y como E es acotado inferiormente por % !, tenemos que Œb+ − d y + œ infÞE. +! " +−KÀ Pues en caso contrario, por la definición de ínfimo, existiría 1 − K tal que + 1 + % y aún por la definición de ínfimo, existiría 2 − K de manera que + 2 1 + %. Tenemos entonces que ! 1 2 % y 1 2 − K pues 1ß 2 − K . Luego b1 2 − Ð!ß %Ñ ∩ Kß po contradictorio. # aB − Kß B !, tenemos B œ 8+: Supóngase que B − K y B Á 7+, a7 − . Entonces existe 8 − tal que 8+ B 8 " +. Luego 8+ B 8+ + lo que implica que ! B 8+ + y como Bß + − K, tenemos que B 8+ − E y ! B 8+ infÞE,po contradicción. - Si K § d es un subgrupo aditivo cerrado en d y si K Á d , tenemos que K œ K Á d , luego, por la parte , ß K œ ™ † +. . Si ) − d , es fácil ver que el conjunto K œ Ö7 8)à 7ß 8 − ™× es un subgrupo aditivo de d. Si K no es denso en d, entonces por la parte , , tenemos que existe 7 8) œ + − K tal que K œ ™ † +Þ Pero ) œ ! " † ) − K, luego existe D − ™ de manera 8D que ) œ D † +, o sea, ) œ DÐ7 8)Ñ Ê ) D7) œ 8D . Luego ) œ ! o )= "D7 − . En cualquiera de los casos, tenemos po contradicción, pues ) − d . Luego K es denso en dÞ D‘’LLƒ Darío Sánchez H. 156 TOPOLOGIA GENERAL BIBLIOGRAFIA - Bourbaki, N., Théorie des Ensembles, Fascicule de Résultats, Hermann, París, 1958. - Bourbaki, N., Topologie Générale, Hermann, 1961, Hocking, J.G., & Young, G.S., - Chinn, W.G. & Steenrod, N.E., First Concepts of Topology, Random House, Inc., N.Y., 1966. - Halmos, P.R., Teoría Intuitiva de Conjuntos, Cecsa, México D.F., 1965. - Hall, D.W. & Spencer II, G. 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Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a: danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com Copyright© Darío Sánchez Hernández de este trabajo en el Darío Sánchez H. TOPOLOGIA GENERAL 157
