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GUIC3M059M311-A17V1
propiedades de los números
complejos
MATEMÁTICA - programa 3º medio
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a
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l
so os
Re mer
nú
n
se
los
s
ro
yo
sa
e
úm
N
en
ni
Mi
¿Qué aprenderemos hoy?
ConteNIDOS
-
-
-
Números imaginarios.
Propiedades de los números complejos.
Representaciones de un número complejo.
Conoceremos dos nuevos conjuntos numéricos que
son útiles para resolver problemas que no tienen
solución en los reales: los números imaginarios y los
complejos. Representaremos estos números en el
plano y trabajaremos con algunas de sus propiedades.
Finalmente, aplicaremos estos conceptos a la resolución
de ejercicios tipo PSU.
sección 1: ¿Qué son los números
imaginarios?
Hasta ahora hemos analizado distintos conjuntos numéricos y las operaciones que pueden
realizarse en ellos. En la clase 3 estudiamos las raíces y sus propiedades. Con relación a estos
n
conocimientos, respondan las siguientes preguntas sobre la expresión �a .
1
2
¿Qué valores puede tomar n?
guia de ejercitación
2
Si n es un número par positivo, ¿qué valores puede tomar a?
3
Si n es un número impar mayor que 1, ¿qué valores puede tomar a?
4
¿Qué ocurre en el caso de que n sea un número par positivo y a sea número real negativo?
5
¿Cuál es la solución de la ecuación x2 + 1 = 0?
3
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Según las respuestas de las preguntas 4 y 5 habrán visto que dentro del conjunto de los números reales
hay soluciones de ecuaciones y valores de expresiones que no tienen representación en ellos. Es por
este motivo que en la historia de la matemática se hizo necesario un nuevo conjunto numérico: los
números imaginarios.
IMPORTANTE
Se define i = �– 1 como la unidad imaginaria
Gracias a este conjunto numérico es posible dar solución a ecuaciones como x2 + 1 = 0.
A continuación se presentan distintos números, de los cuales debes encerrar en un círculo aquellos
que correspondan a números imaginarios. Luego, exprésalos en términos de i.
3
�2 3
�– 1 �– 25 ( � )( � )
3
10
3
– –8
�– 27 4
– 625
( )
5
–�– 7
�– 9
La unidad imaginaria también puede ser potenciada. Junto a su profesor, encuentren el resultado de
las siguientes potencias de i.
i 1 = �– 1 i 2 = �– 1 •
6
i6=
�– 1 =
i7=
i 3 =
i8=
i 4 =
i9=
i 5 =
i 10 =
¿Qué se evidencia en los resultados de las potencias obtenidas de i?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
4
guia de ejercitación
7
¿Existirá algún patrón para encontrar el resultado de cualquier potencia de i?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
8
¿Cuál es el valor de i21? ¿Y el de i54?
IMPORTANTE
Para determinar el valor de una potencia de i, se debe descomponer de manera
tal que el exponente quede de la forma (4n + k), donde n es un entero positivo y k
pertenece al conjunto {0, 1, 2, 3}. Luego,
1, si k = 0
i 4n + k
i, si k = 1
– 1, si k = 2
– i ,si k = 3
5
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 2: ¿qué son los números
complejos?
¿Qué son los números complejos? Es la unión entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números
imaginarios.
IMPORTANTE
Todo número complejo puede ser representado de la forma z = a + bi, donde a y
b son números reales e i es la unidad imaginaria. Cabe destacar que:
- si a ≠ 0 y b = 0, entonces z = a es un número real puro.
- si a = 0 y b ≠ 0, entonces z = bi es un número imaginario puro.
Un número complejo puede representarse como un vector en el plano complejo, donde el eje X pasa a ser el de los
números reales y el eje Y pasa a ser el de los números imaginarios.
En el plano complejo adjunto, la medida del lado de cada cuadrado es igual a la unidad. Con ayuda de su profesor,
ubiquen en la figura los siguientes números complejos.
z 1 = 3 – 4i
z 2 = 3 + 4iz 3 = – 3 + 4iz 4 = – 5 + 3iz 5 = 1 – 4i
Im
Re
6
guia de ejercitación
IMPORTANTE
Algunas formas en las que un número complejo puede ser representado son:
- Binómica: a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
- Par ordenado: (a, b), con a la parte real y b la parte imaginaria.
- Gráficamente, en forma de un vector.
e Síntesis
d
Estrategia
Im
Re
Si graficas las potencias de i en el plano complejo, ¿qué es posible
concluir?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
7
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 3: Propiedades de los
números complejos
Los números complejos, por contener a los números reales, tienen inverso aditivo e inverso
multiplicativo; por tratarse de raíces, tienen un conjugado; y por tratarse como vectores, es
posible determinar su módulo. En esta oportunidad, determinaremos el opuesto (es decir, el
inverso aditivo), el conjugado y el módulo de un número complejo.
1
En los números reales, ¿cómo se determina el opuesto de un número?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
2
¿Cómo se aplica lo anterior en los números complejos?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
3
Sea z = a + bi un número complejo, con a y b números reales positivos. Se define el conjugado de z como el
número simétrico a z, respecto al eje real en el plano complejo. Entonces, el conjugado de z es
4
¿Qué se puede concluir al graficar en el plano un número complejo y su opuesto?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
8
guia de ejercitación
5
¿Cómo se puede determinar el módulo de un vector de la forma (x, y)?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
6
¿Cómo se aplica lo anterior en los números complejos?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
7
Según el plano complejo que completaron en la sección 2, se tiene que z2 es el _____________________________
de z1; por otra parte, z3 es el _____________________________ de z1.
IMPORTANTE
Sea z un número complejo, entonces la simbología:
– para el módulo de z es |z|.
– para el inverso aditivo u opuesto de z es – z.
– para el conjugado de z es z.
ntesis
de Sí
Estrategia
En los números complejos NO se puede establecer una relación de orden. ¿Esta afirmación es verdadera?
Justifiquen su respuesta.
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_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
9
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Tiempo estimado
sección 4: preguntas
de modelamiento
15 minutos
a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas
conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos
contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!
1
La expresión compleja (i 532 – i 325) es equivalente a
A)
1 – i
B)
0
C)
– 2i
D)
1+i
E)
–1+i
2
¿En cuál de los siguientes planos está representado el número complejo 3 + 5i?
A)
Im
B)
3
Im
5
Re
5
3
Im
C)
D)
Im
Re
–5
Im
E)
–5
Re
–3
10
5
3
Re
–3
Re
guia de ejercitación
3
Dado el número complejo z = a + bi, es FALSO afirmar que
A)si a es igual a cero y b es un número real distinto de cero, entonces z es un número imaginario puro.
B)
si a es un número real distinto de cero y b es igual a cero, entonces z es un número real.
C)
si a y b son números reales distintos de cero, entonces z nunca se ubicará sobre los ejes coordenados en el
plano complejo.
D)
si a y b son números reales iguales y distintos de cero, entonces z nunca se ubicará en el segundo ni en el
cuarto cuadrante del plano complejo.
E)
si a y b son números reales distintos de cero y de distinto signo entre sí, entonces z nunca se ubicará ni
el segundo ni el en el cuarto cuadrante del plano complejo.
4
Respecto a los números complejos z 1, z 2 y z 3, respresentados en el plano complejo de la figura adjunta, es correcto
afirmar que
Im
I)z 1 y z 2 son inversos aditivos entre sí.
II)
z 1 y z 3 son conjugados entre sí.
III)
z 2 y z 3 tienen el mismo módulo.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
5
solo I.
solo II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
4
z1
–4
z2
z3
6
Re
–4
–6
Sea z un número complejo tal que |z| = �13 . Se puede conocer el valor de z, si:
(1)
(2)
La parte real de z es 2.
En el plano complejo, z se encuentra en el cuarto cuadrante.
A)
(1) por sí sola.
B)
(2) por sí sola.
C)
Ambas juntas, (1) y (2).
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
11
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Tiempo estimado
sección 5: preguntas
elementales
6
7
Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos
contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los
que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.
3
–�– 125 – �– 16 =
A)
B)
C)
– 5 + 4i
5 – 4i
– 5 – 4i
10 minutos
D)
5 + 4i
E)9
Si el inverso aditivo del conjugado del número complejo z es (– 3 + 7i), entonces z es igual a
A)
– 3 + 7iD)
3 + 7i
B)
3 – 7iE)
otro valor.
C)
– 3 – 7i
8
El módulo del número complejo representado en el plano de la figura adjunta es
Im
A) 13
B) �119
C)
12
D)
�60
E)
ninguno de los valores anteriores.
9
12
z
–5
Sea i la unidad imaginaria. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)i1.003 = – i
II)
El conjugado de (3 + 4i) es (3 – 4i).
III)
El módulo de (5 – 12i) es 13.
A)
B)
C)
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
10
D)
E)
Solo II y III
I, II y III
Se puede determinar el número complejo z, si se conoce:
(1)
–z
z
(2)
12
A)
B)
C)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
D)
E)
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Re
guia de ejercitación
Tiempo estimado
sección 6: preguntas
intermedias
10 minutos
Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están
presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!
11
Si i es la unidad imaginaria, ¿cuál de los siguientes números complejos tiene el mayor módulo?
A)
6 + 12i
B)
5 – 13i
C)
– 7 + 11i
D)
– 14 – 4i
E)
– 10 + 8i
12
Sea i la unidad imaginaria. La expresión
(
)
i 215 • i 112
es igual a
i 324
A)0
B)
– 1
C)
i
D)– i
E)
indeterminable con los datos dados.
13
Dado el número complejo z = a + bi, con a y b en los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
siempre verdadera?
A)
Si a > 0, entonces z no puede ubicarse ni en el tercer ni en el cuarto cuadrante del plano complejo.
B)
Si b < 0, entonces z no puede ubicarse ni en el segundo ni en el cuarto cuadrante del plano complejo.
C)
Si a y b tienen distinto signo, entonces z no puede ubicarse ni en el primer ni en el tercer cuadrante del plano
complejo.
D)
Si a y b tienen el mismo signo, entonces z no puede ubicarse ni en el primer ni en el tercer cuadrante del
plano complejo.
E)
Si b = 0, entonces z no puede ubicarse ni en el tercer ni en el cuarto cuadrante del plano complejo, pero sí
en el primero y en el segundo.
13
MATEMÁTICA - programa 3º medio
14
I)
c • |w| = |c • w|
II)
c • (– w) = – c • w
III)
c•w = c• w
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
15
14
Sea w = a + bi un número complejo, con a y b números reales distintos de cero. Si c es un número real positivo,
entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Se puede determinar el número complejo z, si se sabe que:
(1)
(2)
|z| = 10
La parte real y la parte imaginaria de z son números enteros positivos.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
guia de ejercitación
Tiempo estimado
sección 7:
preguntas avanzadas
10 minutos
Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que
requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas
ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son
claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!
16
Para que la igualdad i k + 1 = – 1 sea verdadera, con i la unidad imaginaria, un valor posible de k es
A)50
B)63
C)108
D)
45
E)
22
17
La expresión i k, con k un número entero positivo e i la unidad imaginaria, se eleva al cuadrado, luego el resultado
anterior se eleva al cuadrado, y así sucesivamente. Luego de repetir este procedimiento 1.000 veces, el resultado
es
A)
–i
B)
i
C)
–1
D)
1
E)
un valor que no es constante.
18
En el plano complejo de la figura adjunta se encuentran representados los números complejos z1 y z2. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)El ángulo que se forma entre z1 y z2 es de 90º.
II)
Los módulos de z1 y z2 tienen distinto valor.
III)
El inverso aditivo de z1 es igual al conjugado de z2.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas.
Im
a
z2
b
z1
a
Re
–b
15
MATEMÁTICA - programa 3º medio
19
Respecto al plano complejo de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?
Im
A)
– z1 = – 7 + 3i
B)z2 = – 7 + 3i
C)
|z3| = 18
D)
z1 = – z2
E)z3 = – 3 + 3i
7
z1
–7
z2
20
–3
Sea i la unidad imaginaria y b un número real. Se puede determinar el valor numérico de bin, si:
(1)
(2)
n = 4k + 2, con k un número entero positivo.
El conjugado de bi es 3i.
A)
(1) por sí sola.
B)
(2) por sí sola.
C)
Ambas juntas, (1) y (2).
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
16
z3 3
Re
guia de ejercitación
Compruebo lo aprendido
A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido en la
ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos
aspectos en los que que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar.
Comprendo el significado de la unidad imaginaria y la regularidad de sus potencias (preguntas 1,
6, 12, 16 y 17).
Reconozco los números complejos y las distintas formas en que se representan (preguntas 2, 3 y
13).
Comprendo y determino el módulo de un número complejo (preguntas 5, 8, 9, 11 y 15).
Comprendo y determino el inverso aditivo de un número complejo (preguntas 7, 10, 14 y 19).
Comprendo y determino el conjugado de un número complejo (preguntas 4, 18 y 20).
17
MATEMÁTICA - programa 3º medio
tabla de corrección
Ítem
18
Alternativa
Habilidad
Dificultad estimada
1
Comprensión
Media
2
Comprensión
Fácil
3
ASE
Fácil
4
Comprensión
Media
5
ASE
Difícil
6
Comprensión
Fácil
7
Comprensión
Fácil
8
Aplicación
Fácil
9
Comprensión
Fácil
10
ASE
Fácil
11
Aplicación
Media
12
Aplicación
Media
13
ASE
Media
14
Comprensión
Media
15
ASE
Media
16
ASE
Difícil
17
ASE
Difícil
18
Comprensión
Difícil
19
Comprensión
Difícil
20
ASE
Difícil
guia de ejercitación
Mis apuntes
19
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora Académica
Paulina Núñez Lagos
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Vania Muñoz Díaz
Tania Muñoz Romero
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones
a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.