Download representaciones gráficas de funciones trigonométricas

Matemáticas 1º BCT
REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Características de las funciones
1. Observa las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente y responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Para qué valores está definida cada función?
b) ¿Cuál es la amplitud de las funciones seno y coseno?
c) ¿Son periódicas? En caso afirmativo, determina su período.
d) Estudia su crecimiento y decrecimiento. Determina los puntos máximos y mínimos.
Amplitud (diferencia entre los valores máximos y mínimos de la función)
2. Dibuja las funciones siguientes:
1
sen x
i(x) = – sen x
2
1
j(x) = cos x
k(x) = 2cos x
l(x) = cos x
m(x) = – cos x
4
¿Qué cambios encuentras entre la función seno y las que se obtienen multiplicándolas por distintos
números ¿Cambia la amplitud? ¿Cambia el período?
f(x) = sen x
g(x) = 3sen x
h(x) =
Desfase
3. Representa las siguientes funciones:
f(x) = sen ( x + π )
π

g(x) = sen  x + 
2

π

h(x) = sen  x + 
4

i(x) = cos ( x + π )
π

j(x) = cos  x + 
2

π

k(x) = cos  x + 
4

¿Qué efecto se produce sobre la función seno o coseno cuando sumamos un ángulo a la variable
independiente? ¿Cambia la amplitud? ¿Cambia el período?
4. Representa las siguientes funciones:
f(x) = sen ( x − π )
π

g(x) = sen  x − 
2

π

h(x) = sen  x − 
4

i(x) = cos ( x − π )
π

j(x) = cos  x − 
2

π

k(x) = cos  x − 
4

¿Qué efecto se produce sobre la función seno o coseno cuando restamos un ángulo a la variable
independiente? ¿Cambia la amplitud? ¿Cambia el período?
Traslaciones verticales
5. Representa las siguientes funciones:
f(x) = 1+ sen x
g(x) = sen x – 3
h(x) = 2 – sen x
i(x) = 2+ cos x
j(x) = cos x – 1
k(x) = 1 – cos x
Analiza la transformación que se produce en la función seno y coseno.
Período
6. Representa las siguientes funciones:
f(x) = sen
g(x) = sen 4x
j(x) = cos 3x
k(x) = cos 4x
1
x
2
1
l(x) = cos x
2
h(x) = sen
1
x
4
1
m(x) = cos x
4
i(x) = sen
¿Qué efecto se produce sobre la función seno o coseno cuando multiplicamos por un número la variable
independiente? ¿Cambia la amplitud? ¿Cambia el período?
Matemáticas 1º BCT
EJEMPLO 1:


π
2
Gráfica de la función y = 2 sen  2x −  + 3
⇒ Amplitud: 2
La gráfica varía entre -2 y 2 , la distancia entre el valor máximo y mínimo es 4 ya que se duplica.
⇒ Período: El periodo de la función sen x es 2π → el periodo de la función y = sen 2x es
2π
= π = 180º
2
Se ha producido una contracción horizontal, de gorma que en el intervalo [0, 2π], tenemos dos veces el
“patrón” de gráfica.
⇒ Desfase: La gráfica se desplaza horizontalmente:
2x −
π
π
π

= 2  x −  → se desplaza
unidades hacia la derecha
4
2
4

Matemáticas 1º BCT
⇒ Desplazamiento vertical: La gráfica se traslada verticalmente hacia arriba 3 unidades.
Matemáticas 1º BCT
EJEMPLO 2: Identificar la función f(x):
La clave es buscar el patrón de la función seno o coseno:
La función representada es de la forma f(x) = a sen (bx + c) + d
Comparando las dos funciones, vemos que los valores máximos se han desplazado 1 unidad hacia abajo,
esto significa que el parámetro d = -1.
En la función patrón y = sen x, entre el valor máximo y el valor mínimo hay una distancia de π unidades.
En la gráfica de f(x), la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo es
π
, por tanto, esto nos indica
4
que el patrón se ha contraído 4 veces, por tanto, b = 4.
La amplitud de la función es 1, la variación entre el valor máximo y el valor mínimo es 2.
Con lo cual, a = 1
Por ahora, sabemos que f(x) = sen (4x + c) – 1.
Hay que averiguar el desface de la función, es decir, ¿cuánto se ha desplazado el patrón horizontalmente?
Veámoslo:
x=−
Tenemos un desface de
Por tanto, c =
π
8
2π
π
π
π
π

unidades hacia la izquierda: 4  x +  = 4x +
8
8
2

π
2
También se puede averiguar el parámetro c de otra forma:
Para x = 0 , la función vale 0, es decir, f(0) = 0
Como f(x) = sen (4x + c) – 1 → f(0) = sen (c) – 1 = 0 → sen c = 1 → c =
Luego, nuestra función es
π

f(x) = sen  4x +  − 1
2

π
2