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Deber 3
Álgebra Lineal
Prof. Dr. Joseph Páez Chávez
II Término 2009–2010
Problema 1. Sea V = M2×2 . Sean H =
a11
a11 + a12
: aij ∈
.
a11 − a12
a22
a11
a11 − a12
a11 + a12
a22
R
: aij ∈
, W =
R
(i) Encuentre H ∩ W .
(ii) Encuentre H + W .
Problema 2. Sea V = P3 .
(i) Encuentre explı́citamente H = gen(x3 , x3 − x2 , x + 1, 2) y W = gen(x3 , x2 + x).
(ii) Encuentre H + W .
(iii) Encuentre H ∩ W .
1 −1
0
0
,
0 1
−1 0
Problema 3. Sea V = M2×2 . Determine si el conjunto C =
,
0
0
1
1
,
genera V . Si C no genera V , reemplace uno de los vectores de
1 −1
−1 −1
C para que genere V .
Problema 4. Sea V =
R4 .
Construya un sistema
 ecuaciones

 lineales homogéneo cuyo
 de
−1
1
 1   0 

 
conjunto solución sea generado por los vectores 
 0  ,  1 .
1
1
Problema 5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1
(i) Sean W1 , W2 subconjuntos no vacı́os de un espacio vectorial V . Si W1 ∪W2 es subespacio
de V , entonces W1 ⊂ W2 o W2 ⊂ W1 .
(ii) Sean W1 , W2 subespacios de un espacio vectorial V , tal que W1 * W2 . Si W1 ∪ W2 es
subespacio de V , entonces W1 ∩ W2 = W2 .
(iii) Sea V un espacio vectorial. Dos vectores v1 , v2 son linealmente dependientes, si y sólo
si uno es múltiplo escalar del otro.
(iv) Sean v1 , v2 , v3 vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V . Entonces,
v1 + 2v2 , v2 − v3 , 5v3 son linealmente independientes.
(v) Sean v1 , v2 , . . . , vn vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces, el conjunto
{v1 , v2 , . . . , vn , 0V } es siempre linealmente dependiente.
(vi) Tres vectores en
R2 son siempre linealmente dependientes.
(vii) Sean v1 , v2 , v3 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1 , v2 , v3 generan V ,
entonces vi 6= 0V , i = 1, 2, 3.
(viii) Sean v1 , v2 , v3 , v4 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1 , v2 , v3 , v4 son
linealmente independientes, entonces v1 , v2 , v3 no generan V .
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