Download Parcial No1 - Pontificia Universidad Javeriana

Prof. Carlos Iván Páez Rueda, M.Sc.
2012-1
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Parcial No.1 - Transmisión Electromagnética
Un ejemplo del electromagnetismo aplicado a la ingeniería electrónica y de telecomunicaciones, es el diseño
de filtros de cavidad resonante. Este tipo de filtros son de tipo espaciales y son muy importantes ya que
logran un altísimo factor de calidad a frecuencias de microondas. Éste se construye usualmente encerrando
un dieléctrico por medio de conductores ideales de diferentes secciones transversales. Un ejemplo es un
resonador de sección transversal circular, cuya altura es h y cuyo radio es a. Considere que dicho filtro forma
un cilindro que se despliega en el sentido z, con una circulo inferior centrado en el punto (0, 0, 0) y con un
circulo superior centrado en el punto (0, 0, h), del sistema coordenado de referencia. Si este resonador se llena
de un dieléctrico de Polietileno (Polyethylene) cuya permitividad relativa es 2,26 y permeabilidad relativa es
1, no tiene fuentes impresas en el interior y se garantiza por diseño que a < h < 10a, es posible generar el
z
mecanismo de propagación T M011
cuya intensidad del campo magnético dentro del resonador está dado por
(1) y cuya frecuencia angular de resonancia del filtro está dada por (2). Para este problema de ingeniería
aplicada responda:
π π A
z · sin wr t −
,0
H = 0, H0 · g (ρ) · cos
h
4
m
1
wr = √
µ0 µr ε0 εr
g(ρ) ≈ −
r
2
(β01 ) +
π 2
h
1
1
1
5
3
(β01 · ρ) +
(β01 · ρ) − (β01 · ρ)
384
16
2
2. 391 646 690 9
β01 =
a
(1)
(2)
(3)
(4)
1. Preguntas básicas de la ingeniería del problema (1.5 / 5.0):
1.1. Determine los valores de a y h en el resonador, para que éste opere a una frecuencia de resonancia
de 1 GHz con dimensiones razonables de construcción en unidades de centímetros.
1.2. Dibuje el resonador donde se detalle las dimensiones escogidas y la localización en el sistema
coordenado.
1.3. Determine el fasor de la intensidad del campo magnético dentro del resonador (∀ρ, φ, z ∈ Resonador).
1.4. Determine el fasor de la intensidad del campo eléctrico dentro del resonador (∀ρ, φ, z ∈ Resonador).
1.5. Dibuje las líneas de flujo del fasor de la intensidad del campo eléctrica y magnética dentro del
resonador (∀ρ, φ, z ∈ Resonador).
1.6. Determine el fasor de la diferencia de potencial (Integral del línea apropiada) que existe entre el
centro del resonador (0, 0, h/2) y el punto (a, 0, h/2). Realice el mismo cálculo entre el centro del
resonador y el punto (0, 0, h). ¿Qué concepto circuital para este componente puede confirmar o
rechazar a partir del cálculo realizado?.
2. Preguntas de flujo aplicadas al problema de ingeniería (1.0 / 5.0):
2.1. Determine el fasor de la corriente eléctrica (Flujo de J̃) en la superficie z = h/2, ∀ρ, φ ∈ Resonador,
el fasor de la corriente eléctrica en la superficie ρ = a/2, ∀φ, z ∈ Resonador y el fasor de la corriente
eléctrica en la superficie φ = π/4, ∀ρ, z ∈ Resonador.
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2.2. Determine el fasor de la corriente magnética (Flujo de M̃) en la superficie z = h/2, ∀ρ, φ ∈
Resonador, el fasor de la corriente magnética en la superficie ρ = a/2, ∀φ, z ∈ Resonador y el
fasor de la corriente magnética en la superficie φ = π/4, ∀ρ, z ∈ Resonador.
2.3. Determine el fasor de la corriente eléctrica neta saliente (Flujo neto saliente de J̃) de un cilindro
localizado en el centroide del resonador, cuyo radio es a/2 y cuya altura es h/2.
2.4. Determine el fasor de la corriente magnética neta saliente (Flujo neto saliente de M̃) de un cilindro
localizado en el centroide del resonador, cuyo radio es a/2 y cuya altura es h/2.
2.5. Determine el fasor de la carga almacenada en un cilindro localizado en el centroide del resonador,
cuyo radio es a/2 y cuya altura es h/2.
2.6. Dibuje conceptualmente dichos fasores en el resonador.
3. Preguntas de condiciones de frontera aplicadas al problema de ingeniería ( 1.0 / 5.0 ):
3.1. Compruebe que en todas las interfaces en donde se encuentra el conductor ideal, el fasor de la
intensidad del campo eléctrico es normal y el fasor de la intensidad del campo magnético es
tangencial. Dibuje dichos campos en el resonador.
3.2. Determine y dibuje el fasor de la densidad de corriente eléctrica superficial (J̃s ) en todas las paredes
conductoras internas del resonador.
3.3. Determine y dibuje el fasor de la densidad de carga eléctrica superficial (ρ̃s ) en todas las paredes
conductoras internas del resonador.
3.4. Compare la distribución de carga superficial en este resonador, con la distribución de carga en las
caras de un condensador tradicional.
4. Preguntas de energía y potencia aplicadas al problema de ingeniería ( 1.0 / 5.0 ):
4.1. Determine la cantidad de energía eléctrica (We ) almacenada por este resonador.
4.2. Determine la cantidad de energía magnética (Wm ) almacenada por este resonador.
4.3. Determine la cantidad de potencia disipada por el conductor (Pc ) que recubre el dieléctrico, si este
se construye por medio de cobre (σ = 5,96 × 107 Ω−1 /m). En este caso el modelo no se ve afectado
debido a la conductividad tan alta y es posible estimar la potencia de conducción por medio de
2
Pc = 21 Rs Sf J̃s dS, siendo Rs la resistencia de superficie y Sf la superficie conductora donde
existe la densidad de corriente superficial.
4.4. Determine el factor de calidad de este resonador. El factor de calidad de cualquier componente
electrónico se puede calcular por medio de wr (We + Wm )/Pc .
4.5. Determine el ancho de banda del resonador. Este valor se puede obtener ya que el factor de calidad
se puede interpretar como el cociente entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda del
componente.
5. Preguntas de la propagación de la onda electromagnética aplicadas al problema de ingeniería ( 0.5 /
5.0 )
5.1. Determine la densidad de potencia compleja dentro de la cavidad.
5.2. Determine el vector de Poynting dentro de la cavidad.
5.3. Dibuje como se mueve la onda electromagnética dentro de la cavidad.
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