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4. - Mecánica celeste
http://space.jpl.nasa.gov/
6 de marzo de 2009
1. - Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.
1.a - Movimiento de los planetas interiores
Elongaciones  pequeñas
18-28º Mercurio
45-48º Venus
Ángulos de fase entre 0º (conjunción inferior)
y 180º (conjunción superior)

Planetas que siempre siguen o preceden al Sol
Ambos planetas presentan fases y tránsitos

Próximo tránsito de Venus: 06-06-2012
Siguiente tránsito de Venus 11-12-2117
1
1. – Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.
1.a – Movimiento de los planetas interiores
Movimiento directo
t1
t2
t2
t1
t3

t3
Movimiento
retrógrado
t3
t4
t4
t4

t1
t2
2
1. – Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.
1.b – Movimiento de los planetas exteriores
Movimiento directo
t1
t2
t4
t4
t3

t3
Movimiento
retrógrado
o directo?

t1
t2
t3
t4
t3
t4
t4
Movimiento retrógrado
t3
3
1.c. Movimiento retrógrado
Sistema Ptolemaico:
Movimiento epicíclico
4
1.d. Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico
5
1.e. Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico
6
1.e. Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico
7
2. – Gravitación
El movimiento de los cuerpos celestes está gobernado “únicamente” por la fuerza de gravedad

GMm 
F  2 r
r
Para dos cuerpos de masas M >> m

r2


v2
Fuerza central

r1


v1
 Conservación del momento angular
  


L  r  p  mrvsen  k  L0 k
Fuerza conservativa  Conservación de la energía
E
1
GMm
mv 2 
 E0
2
r
Solución: Movimiento a lo largo de secciones cónicas caracterizadas por el valor de la excentricidad e
2E  L 
e( L, E )  e 2  1 


m  GMm 
2
8
2. – Gravitación: Elementos orbitales *
E<0
0<e<1
a = semieje mayor
e = excentricidad
i = inclinación
 = longitud del nodo ascendente
 = argumento del perihelio (P) o perigeo
t0 = tiempo del paso por el perigeo
Tamaño de la órbita
Forma de la órbita
Energía y momento
angular
Orientación orbital
Posición del planeta en todo instante de tiempo
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2.a – Gravitación: Tipos de órbitas
(Para dos cuerpos de masas M >> m )
Leyes de Kepler
e < 1 (objetos ligados)
1 – Las órbitas son trayectorias elípticas con el Sol
en uno de los focos.
Objetos “libres”
E=0
E>0
ea
F1
Planetas,
satélites
2b
e
a 2  b2
a
2a
Objetos “ligados”
E< 0
Cometas
de corto periodo
F2
afelio
perihelio
Sistema solar
2 – El radio vector que une el
planeta y el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales
algunos asteroides
KBO
dA
L

 cte
dt
2m
2 – El cuadrado del periodo orbital de un
planeta es proporcional al cubo del semieje
mayor
Cometas de
largo periodo
i.e. el cometa Lulin
 2  a3
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2.b – Gravitación: Movimiento de N cuerpos
N = 2  Solución analítica exacta
N = 3  Solución analítica exacta en términos de series convergentes lentamente
N > 3 No existe solución analítica
Mvto. alrededor del CM conservando E y L
N = 2  Solución analítica exacta
Problema equivalente:
Sean m1 ~ m2 (del mismo orden)
ii) Órbitas elípticas
i) Órbita Circular
m1 =2.5 m2
m1 =m2
Un cuerpo de masa reducida 
orbitando un cuerpo de masa M
fijo situado en el CM y con una
órbita de semieje mayor a
CM
a1
a = a1 + a2
a2
m1m 2

m1  m 2
M  m1  m 2
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2.c – Gravitación: Movimiento de 3 cuerpos
Caso restringido, m<< M1, M2
El sistema rota alrededor del CM con velocidad angular 
Ejemplos prácticos:
• Sistemas binarios estelares
• Sistema Tierra-Luna
• Sistema Sol-Tierra
Líneas  Lineas de potencial cte en el sistema de referencia co-rotante
m
m  1
V ( r1 , r2 , z )  G  1  2   z 2  2
r2  2
 r1


F   V
z = distancia al eje de rotación del sistema en el CM
Lóbulo de Roche y puntos de Lagrange
L1
L2
L3
L4
L5
L1,L2,y L3  Máximos de Ep
Puntos estables pero
inestables frente a
perturbaciones
L4 y L5
 Mínimos de Ep
Puntos estables
absolutamente
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2.c – Gravitación: Movimiento de 3 cuerpos (caso particular)
Caso restringido, m<< M1, M2
Sistema Tierra-Sol y Tierra-Sol-Luna
L1: SOHO
L2: WMAP y otros
observatorios espaciales
L3: Muy inestable por
la interacción periódica
con otros planetas
Sistema Júpiter-Sol y asteroides troyanos
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2.d – Gravitación: Movimiento de N cuerpos
Isaac Newton al respecto del problema de 3 cuerpos
Lagrange, Euler, Leverrier
Problema analítico con soluciones
perturbativas aproximadas
A partir de Poincaré
(comienzos S. XX)
Caos determinista
A partir de los años 40
Soluciones numéricas en base a técnicas
perturbativas
Desde los años 90: Entre los problemas favoritos
en códigos numéricos en paralelo
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3. – Campo gravitatorio de una masa continua
M    ( r ,  ,  ) dV
Vg ( r, ,  )
V
dV


Rotación  Simetría 
 ( r, )

 r ,  dr


Vg r '  G   
V
r  r'
Ecuación de Poisson:
V g r ,    
 2V g r ,    4 G  r ,  

g   V g
GM
1  V1 r ,    ...   1  2 r 2 cos 2 
2
r
Se pueden medir
por sondas
planetarias
Rotación planetaria.
Este término incluye la
fuerza centrípeta sobre
la superficie planetaria
Se puede medir la estructura de
densidad de planetas y otros
cuerpos del Sistema solar.
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4. – Mareas (I)
Efecto producido por la “gravedad” diferencial experimentada en cuerpos extensos.
Ejemplo práctico:
d TL = 384000 km
R T = 6400 km
G = 6.673x10
11
- 1m3kg
s
2
M Luna = 7.35x1022 kg =0.012 MTierra
gL2
gL1
GM L
 3 .44 x 10  5 ms - 2
2
( d TL  RT )
GM L

 3 .22 x 10  5 ms - 2
2
( d TL  RT )
g L1 
gL2
Descripción
matemática:
g  0.22x 105 ms-2
Aplicado sobre toda la superficie terrestre
Resultado sobre una superficie
deformable como el Océano
M Luna mTierra
RTierra
r3
M
~ 2 G Luna
RTierra
r3
Fmarea ~ 2 G
Aceleración diferencial
producida por la Luna
Ciclos temporales:
1


1
T

1
L

1
1

24 hr 27 .32 dias
g marea
Mareas vivas y mareas
muertas:
 tipos de mareas  14 .7 dias
 ciclo de mareas  24 h 50 min 30 s
 
 12 h 25 min
 mareas
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4. – Mareas (II)
Fricción y mareas (L=cte, E perdida en forma de disipación térmica)
Mareas en océanos y Tierra
30 cm en Tierra, 1 m en el océano
Recesión lunar:
La Luna se aleja 3.8 cm al año de la Tierra por efecto de la marea
Frenado de mareas:
La Tierra tiene días más largos  0.0023 s por siglo
Sincronización orbital:
La Luna tarda en dar una vuelta sobre sí misma el mismo tiempo que en dar
una vuelta alrededor de la Luna.
Múltiples fenómenos de marea en el Sistema Solar (Ío, Europa, Ganímedes en resonancia 1 : 2 : 4)
Mundos de volcanes
y océanos
subsuperficiales
calentados por la
marea joviana
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5. – Movimiento aparente y fases lunares
Movimiento muy complejo: los nodos de la Luna, no están fijos, sino que dan una vuelta en 18,6 años,
el eje de la elipse lunar no está fijo y el apogeo y perigeo dan una vuelta completa en 8,85 años.
La inclinación de la órbita varía entre 5º y 5º 18’.
Libración lunar:
La Luna nos muestra siempre su misma cara!
El periodo de rotación lunar es igual a su
periodo orbital alrededor de la Tierra.
Sin embargo debido a la excentricidad de la
órbita y al eje de inclinación de la Luna nos
muestra un 60% de su superficie.
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6. – Eclipses y ocultaciones
Fenómenos de sombras producidos por la posición relativa entre diferentes cuerpos del
Sistema Solar y en otros sistemas planetarios y estrellas.
a) Ocultaciones
Cuerpos con órbitas exteriores a la
terrestre.
Otros ejemplos típicos:
- Estrella ocultada por la Luna
- Planeta por asteroide
22 mayo 2007
b) Tránsitos
Cuerpo en una órbita interior pasando por el disco solar (Mercurio y
Venus).
Venus tiene atmósfera!
Mikhail Lomonosov (1761).
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6. – Eclipses y ocultaciones
Fenómenos de sombras producidos por la posición relativa entre diferentes cuerpos del
Sistema Solar y en otros sistemas planetarios y estrellas.
c) Eclipses Solares
Tamaño aparente angular Sol 31’ ~ Luna 33’’
Tamaño de la umbra sobre la Tierra ~200 km recorriendo una
franja de varios miles de km
Eclipses total (Luna cerca de la Tierra), anular (Luna más lejana)
Se producen durante el novilunio (Luna nueva)
cuando la Luna está en los nodos y la línea de nodos se alinea con el Sol
i lunar = 5.1º

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6. – Eclipses y ocultaciones
Fenómenos de sombras producidos por la posición relativa entre diferentes cuerpos del
Sistema Solar y en otros sistemas planetarios y estrellas.
d) Eclipses Lunares
Eclipses totales o parciales
Se producen durante las fases de Luna llena
cuando la Luna está en los nodos y la línea de nodos se alinea con el Sol
Repetición del ciclo de eclipses cada 18 años 11.3 días
 Ciclo Saros (“repetición”)
Cada SarosSe producen 70 eclipses  41 de Sol (pocos eclipses totales y solo en áreas pequeñas)
29 de Luna (visibles uno de cada dos en cada región geográfica)
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Próximos eclipses solares
Elipses lunares del 2009
9 febrero 2009
7 Julio 2009
6 Agosto 2009
31 Diciembre 2009
14:37
9:38
0:39
19:21
UT
UT
UT (penumbral)
UT
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