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4º ESO - AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
1. Un ciclista tiene que subir una cuesta que tiene una inclinación de 12º. ¿Qué
altura habrá subido cuando haya recorrido 200m?
2. Si α es un ángulo agudo y cosα = 0,6 calcula el resto de razones trigonométricas
3. Si α es un ángulo agudo y senα = 0,2 calcula el resto de razones trigonométricas
4. Si α es un ángulo agudo y tg α = 0,4 calcula el resto de razones trigonométricas
5. En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tgB = 1,2 y b = 3 cm,
¿cuánto mide c?
6. En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a=8 m y
b=6m. ¿Cuánto mide c? Calcula las razones de los ángulos B y C.
7. Beatriz sujeta una cometa con una cuerda de 42 m. ¿A qué altura se encuentra
ésta en el momento en que el cable tenso forma un ángulo de 52º 17' con el
suelo?
8. Calcula el seno, coseno y tangente del ángulo A en el siguiente dibujo:
9. Si α es un ángulo obtuso y tg α =2, calcula el resto de razones trigonométricas
10. Si α es un ángulo del segundo cuadrante y cotg α = - 4, ¿cuánto valen las otras
razones trigonométricas?
2
y que α está en el primer cuadrante, calcula las
3
siguientes razones trigonométricas sabiendo que α está expresados en grados:
b) tg(90 + α)
c) cos (90 - α)
a) sen α
11. Si sabemos que cos=
3
4
, que cos= y que α está en el primer cuadrante,
5
5
calcula las siguientes razones trigonométricas sabiendo que α está expresados
en grados:
a) tg(90 -α)
b) sen (90 - α)
c) cos (180 + α)
12. Si sabemos que sen =
13. Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de otra
equivalente de un ángulo del primer cuadrante:
a) sen(-90º)
c) sen 720º
e) sen 540º
b) cos 850º
d) cos(-300º)
f) cos 3240º
14. Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 0 y 2π
radianes se verifica que:
c) tgα = -1 .
1
1
a) sen =
b) cos=
2
2
15. Sin utilizar la calculadora, halla el seno, coseno y tangente del ángulo α sabiendo:
3
a) sen = y α pertenece al segundo cuadrante.
4
b) tgα = 4 y α está en el tercer cuadrante.
−1
c) cos=
y α pertenece al segundo cuadrante.
4
16. Si cos=
 2 y 270º < α < 360º, calcula el seno y la tangente.
3
17. Calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos agudos del triángulo rectángulo
siguiente:
18. Sin utilizar la calculadora calcula el seno, el coseno y la tangente de los ángulos
a) 150º
b) 225º.
19. Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm
y 10 cm es rectángulo. Calcula el seno, el coseno y la tangente de sus dos ángulos
agudos.
NO MIRES LAS SOLUCIONES SI NO HAS INTENTADO LOS
EJERCICIOS. SI TIENES DUDAS O NO COINCIDEN LOS
RESULTADOS PREGÚNTAME.
Solución 1:
La hipotenusa del triángulo es 200 m y la altura es el cateto opuesto a los 12º, por lo que
sen 12º =
h
⇒ h = 200 sen 12º = 200·0,2079 = 41,58 m .
200
Solución 2:
Como el ángulo es agudo está en el primer cuadrante y todas las razones trigonométricas son
positivas, por lo que directamente tomamos todos los signos positivos de las raíces. Todos los
valores están aproximados a las centésimas.
cos=0,6

sec =
1
1
=
=1,7
cos 0,6
sen 2 cos2 =1
sen 2 =1−cos2 
sen =  1−cos2 = 1−0,36= 0,64=0,8
1
1
sen =0,8  cosec =
=
=1,25
sen 
0,8
sen  0,8
1
1
tg =
=
=1,3  cotg =
=
=0,8
cos 0,6
tg  1,3
Solución 3:
Como el ángulo es agudo está en el primer cuadrante y todas las razones trigonométricas son
positivas, por lo que directamente tomamos todos los signos positivos de las raíces. Todos los
valores están aproximados a las centésimas.
sen =0,2  cosec =
1
1
=
=5
sen  0,2
sen 2 cos2 =1
cos2 =1−sen 2 

cos= 1−sen 2 = 1−0,04=  0,96=0,98
1
1
cos=0,98  sec =
=
=1,02
cos 0,98
sen  0,2
1
1
tg =
=
=0,20  cotg =
=
=5
cos 0,98
tg  0,20
Solución 4:
Como el ángulo es agudo está en el primer cuadrante y todas las razones trigonométricas son
positivas, por lo que directamente tomamos todos los signos positivos de las raíces. Todos los
valores están aproximados a las centésimas.
sen 2 cos2 =1
 tg 2 1=
cos2 =
¿ cos=

1
2
tg =
sen 
cos

sen =0,37

2
cos 
1
2
tg 1

1
= 0,86=0,93
0,161
1
1
sec =
=
=1,08
cos 0,93
tg 1
cos =0,93
1
=
sen =tg  · cos =0,4 · 0,93=0,37
 cosec =
1
=
1
=2,70
sen  0,37
1
1
tg =0,4  cotg =
=
=2,5
tg  0,4
Solución 5:
tgB =
b
3
3
⇒ 1,2 = ⇒ c =
= 2,5 cm
c
c
1,2
Solución 6:
Por el teorema de Pitágoras: 82 = 62 + c 2 ⇒ c =
28 = 2 7 m . Por tanto:
senB =
6 3
2 7
7
6
3 7
7 3 7
4
4 7
4
= , cosB =
=
, tgB =
=
, cotgB =
=
, secB =
=
, cosecB = .
8 4
8
4
7
3
7
7
3
2 7
7
senC =
6
3 7
4
4
4 7
2 7
7
6 3
2 7
7
.
=
, secC = , cosecC =
=
=
, cosC =
= , tgC =
=
, cotgC =
7
3
7
8
4
8 4
6
3
2 7
7
Solución 7:
sen 52º17' =
h
⇒ h = 42 sen 52º17' = 42·0,7910 = 33,22 m
42
Solución 8:
Como A = 90º - B, tenemos que:
senA = cosB =
16 4
12 3
16 4
= , cosA = senB =
= , tgA = cotgB =
=
.
20 5
20 5
12 3
Solución 9:
Como tg α es positivo y α es obtuso, α debe estar en el tercer cuadrante. Por tanto el seno
y el coseno son negativos:
sen 2 cos 2 =1  tg 2 1=
cos2 =
1
2
cos 
1
tg 2 1

1

1
=− 5=−0,4472
41
tg 1
sen 
tg =
 sen =tg  · cos =−0,4472 · 2=−0,8944
cos
1
1
sen =−0,8944  cosec =
=
=−1,1180
sen  −0,8944
1
1
cos=−0,4472  sec =
=
=−2,2361
cos −0,4472
1
1
tg =2  cotg =
= =0,5
tg  2
¿ cos=−
=−
2
Solución 10:
Como el ángulo está en el segundo cuadrante, el coseno es positivo y el seno y la tangente son
negativas.
1
1
=
=−0,25
cotg  −4
1
sen 2 cos2 =1  tg 2 1=
cos2 
1
cos2 = 2
tg 1
cotg =−4
¿ cos =−
tg =
sen 
cos


 tg =
1
2
tg 1
=−

1
=−0,9701
0,06251
sen =tg  · cos =−0,9701 · −0,25=0,2425
sen =0,2425
 cosec =
1
=
1
=4,1237
sen  0,2425
1
1
cos =−0,9701  sec =
=
=−1,0308
cos  −0,9701
Solución 11:
 2
 3
2
a) senA = 1 −   = 1 −
b) tg(90 + A) =
4
=
9
5
5
=
9
3
sen(90 + A)
cosA
2
2 5
=
= −
= −
cos(90 + A) − senA
5
5
c) cos(90 − A) = senA =
5
3
Solución 12:
sen(90 − A) cosA 4
=
=
cos(90 − A) senA 3
a) tg(90 − A) =
b) sen(90 − A) = cosA =
4
5
c) cos(180 + A) = − cosA = −
4
5
Solución 13:
a) sen(-90º) = -sen 90º
b) cos 850º = sen 130º = sen(180º-50º)=sen 50º
c) sen 720º = sen 0º
d) cos(-300º) = cos 60º
e) sen 540º = sen 180º = sen 0º
f) cos 3240º = cos 0º
Solución 14:
{
= 30º360k
150º360k
a)
}
b)
{
= 60º360k
330º360k
}
c)
{
= 135º360k
315º360k
}
Solución 15:
a)
3
3 7
9
9
7
= −
+ cos2 A = 1 ⇒ cosA = − 1 −
= −
, tgA = −
.
7
16
16
4
7
b) 1 + 16 =
c)
1
2
cos A
1
17
4 17
= −
, senA = −
.
17
17
17
⇒ cosA = −
1
+ sen2 A = 1 ⇒ senA =
16
1−
1
=
16
15
, tgA = − 15 .
4
Solución 16:
En el cuarto cuadrante, sen a < 0 y tg a < 0.
2
sen α + cos α = 1 →
2
tg α =
2
 2
2

 + sen α = 1 →
3


sen α 
7
2
= −
= −
 :

cos α  3  3
7
2
= −
14
2
→
sen 2 α = 1 −
tg α = −
2
9
→
sen α = −
7
3
14
2
Solución 17:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:
x2 + 1,22 = 1,32 → x2 + 1,44 = 1,69
→ x2 = 0,25 → x = 0,5 m
Calculamos las razones trigonométricas de a y b:
sen α =
0,5
≈ 0,38
1,3
sen β =
1,2
≈ 0,92
1,3
1,2
≈ 0,92
1,3
cos α =
cos β =
0,5
≈ 0,38
1,3
tg α =
tg β =
0,5
≈ 0,42
1,2
1,2
≈ 2,4
0,5
Solución 18:
a)
b)
En la circunferencia goniométrica observamos:
sen 150° = sen 30°
→
cos 150° = − cos 30° →
tg 150° = − tg 30°
→
sen 150° =
1
2
Observamos que:
sen 225° = − sen 45° →
3
2
3
tg 150° = −
3
cos 150° = −
cos 225° = − cos 45° →
tg 225° = tg 45°
→
2
2
2
cos 225° = −
2
tg 225° = 1
sen 225° = −
Solución 19:
a) 102 = 62 + 82 → 100 = 36 + 64 → 100 = 100 . Se cumple el teorema Pitágoras. Por
tanto, es rectángulo.
b) Calculamos las razones trigonométricas de a y b:
sen α =
6
= 0,6
10
cos α =
8
= 0,8
10
tg α =
6
= 0,75
8
sen β =
8
= 0,8
10
cos β =
6
= 0,6
10
tg β =
)
8
= 1,3
6