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Unidad de Competencia
El presente documento describe las bases del desarrollo de la Olimpiada "La ciencia, la historia y modelos matemáticos
y físicos con calculadoras gráficas" octubre 2014, patrocinadores Universidad de Santiago y Casio Académico Chile.
Se describen 4 requisitos para la realización de la Etapa 1 llamada "de selección interna". El término de esta actividad
permitirá al colegio competir con similares experiencias de otros colegios inscritos. El jurado calificará entre los colegios
inscritos, el impacto a la comunidad escolar, la calidad educativa del ingenio de los estudiantes al abordar los temas
científico-matemáticos, la inspiración de cortos de obras teatrales y el uso de tecnología como los emuladores de fx9860GII
en la actividad.
1.Contexto cultural
Infórmese y utilícese el siguiente contexto cultural.
Título: Kepler místico...
Mysterium Cosmographicum
Johannes Kepler
Todos los jóvenes creen que van a cambiar el mundo. El astrónomo alemán Johannes Kepler (15711630) no fue ninguna excepción.
Puede parecer un poco sorprendente que Kepler, que tanto hizo por la ciencia astronómica en su
madurez, en su juventud se dedicara a los desvaríos místicos y filosóficos, por ese entonces más o menos
de moda gracias a hombres como Giordano Bruno. A los 26 años publicó su obra de juventud, el
"Mysterium Cosmographicum", que es en realidad más especulación mística que verdadera ciencia.
Concretamente, se basó nada menos que en las tesis de ¡Pitágoras!, para sacar adelante sus
"investigaciones". Preguntándose por el número de los planetas, le pareció una bonita coincidencia que
hubieran sólo seis (Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, puesto que los siguientes no se
conocían), y que hubiera sólo cinco cuerpos sólidos perfectos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el
dodecaedro y el icosaedro, y Euclides había probado que no existían más). Así es que dijo simplemente
que en cada separación había una esfera cristalina que tenía la forma de un cuerpo sólido perfecto, esto
encantó a muchos clérigos de la época.
Unidad de competencia, Olimpiada Usach-Casio académico Chile 2014
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El libro Mysterium Cosmographicum explica la teoría cosmológica de
Kepler, basado en el sistema copérnico, en el cual los cinco poliedros
pitagóricos regulares dictan la estructura del universo y reflejan el plan de Dios
por medio de la geometría. De acuerdo a la narración de Kepler en este libro, el
conocimiento de la relación entre la distancia de los planetas fue descubierto
accidentalmente mientras él demostraba el cálculo de la razón entre un círculo
y otro círculo que es creado rotando un círculo inscrito. Fue así que él notó que
había descubierto que esta era la misma relación entre las órbitas de Saturno y
Júpiter. Él escribió, “Por un mero accidente, casualmente me acerqué más al
estado actual del asunto. Pensé que fue por intervención divina que había
obtenido fortuitamente lo que nunca pude obtener por medio de cualquier
esfuerzo.” Pero después de completar cálculos adicionales, comprendió que no
podía utilizar polígonos de dos dimensiones para representar a todos los
planetas, pero que en vez él tenía que usar los cinco sólidos platónicos.
Si Kepler hubiera quedado en ese punto anterior, de seguro no sería considerado un gran científico, sino
un charlatán. Afortunadamente, después fue contratado como matemático ayudante de Tycho Brahe, lo que
le permitió acceder a sus observaciones. Concretamente, descubrió que (lo que después se llamó la
Primera Ley de Kepler) los planetas se mueven no en círculos, la "forma perfecta" según los filósofos, sino
en elipses con el Sol en uno de sus focos. Contradiciéndose su modelo universal con esta observación,
optó valientemente por los hechos y dejó arrumbada a un lado la Filosofía. Gracias a este paso, emergió el
Kepler matemático en forma, que por suerte para él y para la posteridad, acabó por arrumbar al Kepler
místico en su mundo de ensueños y quimeras.
Kepler es recordado ante todo por su fenomenal descubrimiento de las llamadas Tres Leyes de Kepler,
que rigen el movimiento de los planetas. En ese tiempo (1619) eran un avance monumental, si bien cuando
a finales del mismo siglo (en 1682) Isaac Newton publicó sus trabajos sobre la gravedad, se comprobó que
las leyes keplerianas eran casi corolario de las newtonianas. De todos modos, Kepler las dedujo a punta de
matemáticas, sin el cálculo infinitesimal que tanto ayudó a Newton, y sin siquiera tener el concepto de
"gravedad", y manejar uno muy laxo de "fuerza".
Leyes de Kepler
Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales,
las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del
Sol.
Publicó en 1619 en "Harmonices mundi" (Sobre la armonía del mundo), como una más de las armonías
de la naturaleza, cuyo secreto creyó haber conseguido desvelar merced a una peculiar síntesis entre la
astronomía, la música y la geometría.
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el
movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad
se enuncian como sigue:

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas.
El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.
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
Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está
más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el
afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su
distancia al centro del Sol.

Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente
proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.
Donde, T es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), L la distancia
media del planeta con el Sol y K la constante de proporcionalidad.
Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia
gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.
Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler
Antes de que se redactaran las leyes de Kepler hubo otros científicos como Cópernico, Ptolomeo y
Tycho Brahe cuyas principales contribuciones al avance de la ciencia estuvieron en haber conseguido
medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas. Kepler, que fue discípulo de
Tycho Brahe, aprovechó todas estas mediciones para poder formular su tercera ley.
Kepler permitió descubrir el movimiento de los planetas. Utilizó grandes conocimientos matemáticos
para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y
con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo (donde el sol está en el centro y es la tierra
quién jira alrededor del sol). Comenzó trabajando al modo tradicional, planteando trayectorias excéntricas y
movimientos en epiciclos, pero encontró que esos datos los situaban fuera del esquema que había
establecido Copérnico, lo que le llevó a pensar que no describían una órbita circular. Ensayó otras formas
para las órbitas y encontró que los planetas describían órbitas elípticas que tenían al Sol en uno de sus
focos. Analizando los datos de Brahe, Kepler descubrió también que la velocidad de los planetas no es
constante, sino que el radio vector que los une con el Sol describe áreas iguales en tiempos iguales. En
consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando
se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el
movimiento planetario.
Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas
elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. (a y b con semejantes a la elipse)

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el
vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes
conclusiones:
Las órbitas son planas y estables.
Se recorren siempre en el mismo sentido.
La fuerza que mueve los planetas es central.
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
Tercera Ley de Kepler: se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de
revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante. Esto es:
El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación
universal.
La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es:
La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:
Al reemplazar la velocidad v por
(el tiempo de una órbita completa) obtenemos
Donde, T es el periodo orbital, r el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G una
constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la
interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.
2. Desempeño para competencia intelectual
Descripción:
1. Los cursos que compiten en la etapa 1 de la Olimpiada eligen un tema de Contexto Cultural propuesto en las bases o uno
propio extraído de Internet del nivel de complejidad similar descrito en las bases.
2. Se sortean los cursos contrincantes que se darán a lugar en la competencia interna.
3. Elegido el día se preparan los cursos en una sala que les permita exponer a la audiencia (profesores y apoderados).
4. Los estudiantes en representación de un curso, proponen dos preguntas al curso contrincante, relacionado con tema
elegido del Contexto Cultural correspondiente al curso contrincante.
5. Cada grupo curso expositor prepara las respuestas de solo una, por cada par, de preguntas por curso contrincante. (Si
son pocos los cursos participantes se sugiere ampliar el número de preguntas). El curso contrincante lee la pregunta
elegida, luego el curso expositor expone su respuesta en tres acciones: la elaboración de un ejemplo con datos cercanos a
una realidad conforme a la pregunta; una respuesta con emulador de calculadora o software de internet; y la exhibición
de un videos que dinamiza la respuesta.
6. El jurado, compuesto por profesores, califica las respuestas de todos los participantes y exhibe la puntuación total
terminada la exposición.
7. Terminado el evento, con aplausos se da a conocer el curso ganador de la competencia intelectual.
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RUBRICA DEL JURADO, COMPETENCIA INTELECTUAL
La presente corresponde a los juicios y criterios de puntuación del jurado docente del colegio.
Sobre conductas observables.
10
20
30
40
puntos
puntos puntos puntos
1. Elige responder un grupo de preguntas que se
relacionan entre si y simplifica sus explicaciones.
2. Utiliza adecuadamente los recursos de
proyección para responder (data show).
3. Se preocupa adecuadamente de utilizar el
modelo matemático requerido para dar a
conocer las condiciones iniciales del problema.
4. Utiliza software de Internet o emulador de
calculadora para expresar el caso particular de
cada problema.
5. Utiliza cortos de video o esquemas gráficos
adecuados que aclaran la situación planteada y
su respuesta.
6. Responde todas las preguntas que se plantea
como objetivo, las que fueron seleccionadas
para su exposición y superan el mínimo
establecido.
EJEMPLO DE COMO TRATAR LAS RESPUESTAS DEL ALUMNO
Referente para la elaboración de preguntas y respuestas:
http://www.guiasdeapoyo.net/guias/terc_fis_e/leyes%20de%20Kepler.%20Aplicaciones..pdf
Ejemplo pregunta y respuesta 1
Problema (a causa de la segunda ley de Kepler):
Ejemplo con números cercanos a la realidad,
extraídos de Internet:
Responda con los siguientes datos
Ms= 120 kg
ra = 20 mil km
rp = 18 mil km
vp= 13 mil km/h
Sol:
va 
18
 13 
20
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Exposición por recursos animados de Internet
Solución y explicación con tecnología (software
educativo o emulador de calculadora )
Dirección Web1:
Planetas rotando al rededor del sol (video dinámico):
https://www.youtube.com/watch?v=15Qwi9_VqlU
Conservación de áreas al rotar.
Video que expresa conocimiento del tema:
https: https://www.youtube.com/watch?v=zoed_x422qA
Ejemplo, en coordenadas polares: r 
3
2  cos
3. Desempeño para competencia Cortos de Obras Teatrales
Descripción:
1. Los cursos que compiten en la etapa 1 de la Olimpiada eligen un tema de Contexto Cultural propuesto en las bases o uno
propio extraído de Internet del nivel de complejidad similar descrito en las bases.
2. Se sortean los cursos contrincantes que se darán a lugar en la competencia interna.
3. Elegido el día se preparan los cursos en una sala que les permita desarrollar los Cortos de Obras Teatrales, dirigido a
estudiantes, profesores y apoderados. Los cortos de obras teatrales pueden intercalarse en la competencia intelectual,
coordinando los temas elegidos por los cursos en competencia.
4. Cada grupo curso prepara el tema elegido, a lo menos, con el siguiente formato:
 Preparación de un diálogo que permite tratar una idea o concepto del tema histórico u obra del personaje
científico-matemático, con un total de 10 minutos. El exceso del tiempo es penalizado.

Dentro del tiempo se debe cumplir a lo menos dos etapas: Monólogo que resume la situación de contexto (1
minuto), el resto del tiempo es la actuación. La actuación puede ser realizada con vestimenta preparada con
material reciclado, un número máximo de 3 a 4 actores, escenografía reducida a accesorios. El acto termina con
una frase eufórica del personaje o un hecho inspirador del avance tecnológico y científico.
5. El jurado, compuesto por profesores y público, califica por votación al término del acto, se exhibe la puntuación total
terminada todas las obras teatrales.
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Descripción
Escena
Kepler diseña su sistema planetario con una figura en el orden de afuera hacia adentro: cubo, tetraedro, dodecaedro,
icosaedro, octaedro. La figura de la derecha muestra la órbita de la tierra (dodecaedro), para luego observar
inconsistencia de la órbita de mercurio (el cual astronómicamente tiene una órbita claramente elíptica y oscilante
entorno al sol.
Figura con los tres últimos planetas del sistema solar
El desarrollo de la obra puede rescatar la situación conflictiva que sufre Kepler al renunciar de sus principios teológicos
con los nuevos descubrimientos que él mismo considera de gran importancia para la humanidad.
Utilice la siguiente argumentación de la historia:
"No será hasta 1602, a la muerte de Tycho, cuando Kepler consige el acceso a todos los datos recopilados por Tycho,
mucho más precisos que los manejados por Copérnico. A la vista de los datos, especialmente los relativos al movimiento
retrógrado de Marte se dio cuenta de que el movimiento de los planetas no podía ser explicado por su modelo de
poliedros perfectos y armonía de esferas. Kepler, hombre profundamente religioso, incapaz de aceptar que Dios no
hubiera dispuesto que los planetas describieran figuras geométricas simples, se dedicó con tesón ilimitado a probar con
toda suerte de combinaciones de círculos. Cuando se convenció de la imposibilidad de lograrlo con círculos, usó óvalos. Al
fracasar también con ellos, «sólo me quedó una carreta de estiércol» y empleó elipses. Con ellas desentrañó sus famosas
tres leyes (publicadas en 1609 en su obra Astronomia Nova) que describen el movimiento de los planetas. Leyes que
asombraron al mundo, le revelaron como el mejor astrónomo de su época, aunque él no dejó de vivir como un cierto
fracaso de su primigenia intuición de simplicidad (¿por qué elipses, habiendo círculos?). Sin embargo, tres siglos después,
su intuición se vio confirmada cuando Einstein mostró en su Teoría de la Relatividad general que en la geometría
tetradimensional del espacio-tiempo los cuerpos celestes siguen líneas rectas. Y es que aún había una figura más simple
que el círculo: la recta."
RUBRICA DEL JURADO, COMPETENCIA "CORTO OBRA TEATRAL"
La presente corresponde a los juicios y criterios de puntuación del jurado docente del colegio.
Sobre conductas observables.
10
20
30
40
puntos
puntos puntos puntos
1. El equipo de actores cumple con la entrega oportuna de
un guión básico.
2. El desarrollo de la obra cumple con el formato
establecido: monólogo inicial y desarrollo dentro del
tiempo.
3. El número de integrantes es adecuado según el tema
elegido.
4. El grupo utiliza una escenografía mínima, vestimenta
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adecuada, diálogo acorde y elementos tangibles
suficientes para comunicar la esencia del tema.
5. El desenlace es creativo, interesante y cautiva a la
audiencia.
4. Reporte de desempeños etapa 1.
Tanto la competencia intelectual como los cortos de obras teatrales, son fotografiados o filmados con celulares o
dispositivos digitales. Se procede al diseño de una Power Point de Office, describiendo en no más de 15 diapositivas del
evento realizado en el colegio de etapa1. Se penaliza el exceso de diapositivas.
La estructura de dicho documento es simple:
 Una portada del colegio y con pequeñas fotos de los participantes agrupados.
 Introducción, resumen de la competencia intelectual y de obras teatrales, cursos y profesores involucrados.
 Desarrollo. Etapas y logros de las mejores situaciones. Se pueden adjuntar cortos videos que detallan situaciones
especiales (no más de tres).
 Conclusiones. Descripción de los ganadores y los motivos que permitió su éxito.
Este documento se envía al jurado de la Olimpiada, el cual calificará el impacto a la comunidad escolar, la calidad educativa
del ingenio de los estudiantes al abordar los temas científico-matemáticos, la inspiración de cortos de obras teatrales y el
uso de tecnología como los emuladores de fx9860GII en la actividad.
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