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Electrónica Básica
Álgebra de Boole
Electrónica Digital
José Ramón Sendra Sendra
Dpto. de Ingeniería Electrónica y Automática
ULPGC
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ÁLGEBRA DE BOOLE
a
c
b
Circuito de conmutación, p.e.,
sistema de control industrial, sistema
telefónico, ordenador, etc.
Pueden ser muy complicados
El Álgebra de Boole sirve
para solucionar este tipo
de problemas
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Consta de los siguientes elementos:
Variables: X, Y, Z, A, B, ...
Valores
0 → 0 Voltios → no hay corriente → falso
1 → 5 Voltios → hay corriente → verdadero
0
Alta Impedancia
Operaciones: · (AND), + (OR)
Las operaciones · y + cumplen una serie de postulados
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Postulados del Álgebra de Boole:
P1 :
ìa + b = b + a
conmutativa í
îa ⋅ b = b ⋅ a
P2 :
ì0 + a = a
elementos neutros í
î1⋅ a = a
P3 :
ìa ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
distributiva í
îa + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c)
P4 :
ìa + a = 1
complementación í
îa ⋅ a = 0
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Tabla Resumen:
Boole
Conjunto
+
∪
Conmutación
a
paralelo
b
·
∩
0
∅
1
a
Universo
Lo contrario de a
serie
a
b
siempre abierto
siempre cerrado
a
a
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Teoremas del Álgebra de Boole:
T1 :
T2:
ì+ ↔ ⋅
dualidad í
î0 ↔ 1
ìa + a = a
idempotencia í
îa ⋅ a = a
T3:
ìa + a ⋅ b = a
absorción í
îa ⋅ (a + b) = a
T4:
ìa + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
asociativa í
îa ⋅ b ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Teoremas del Álgebra de Boole:
T5:
T6:
doble negación{a = a
ìa + 1 = 1
í
îa ⋅ 0 = 0
T7:
Morgan{ f (a, b, c,...n) = f (a, b, c,...n)
T8 :
Shannon{ f (a, b, c,...n,+,•) = f (a, b, c,...n,•,+)
T9:
ì f (a, b, c,...n) = [a ⋅ f (1, b, c,...n)] + [a ⋅ f (0, b, c,...n)]
Expansióní
î f (a, b, c,...n) = [a + f (0, b, c,...n)]⋅ [a + f (1, b, c,...n)]
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Función Booleana:
F(A,B,C,...) → el valor lógico de F depende de A,B,C,...
Una función booleana o función lógica es una variable binaria cuyo valor
es igual al de la expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las
variables binarias por medio de los operadores lógicos básicos (·, + y
negación).
Ej:
F = ABC + AB + ABC + BC
F=1 cuando A=B=C=1 o A=1 y B=0 o A=0 y B=C=1 o B=1 y C=0
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Definiciones:
Una función está completamente especificada cuando para cada una de
las posibles combinaciones de las variables de entrada le corresponde un
valor único y definido de la función.
Una función está incompleta cuando para una o más combinaciones de
entrada se le puede asignar a la función el valor 0 o 1 indistintamente.
Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma
en el que aparecen todas las variables (o sus complementos) de esa
función:
•Términos productos
•Términos suma
→ productos canónicos o MINITÉRMINOS
→ sumas canónicas o MAXITÉRMINOS
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Cuando una función está expresada como suma de productos canónicos
(SDP) o como producto de sumas canónicas (PDS) se dice que está en
forma canónica.
Dos funciones booleanas se dice que son equivalentes (F1 = F2) si y sólo
si describen la misma función de conmutación
La tabla de verdad de una función lógica es una forma de representación
de la misma en la que se indica el valor 0 o 1 que toma la función para
cada una de las combinaciones de valores de las variables de dicha
función.
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Funciones Lógicas Básicas:
Función AND
F=X·Y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
X
0
1
X
1
0
Función OR
F=X+Y
Función NOT
F=X
X
X
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Funciones Lógicas Básicas:
Función NAND
F=X·Y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
1
1
1
0
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
1
0
0
0
Función NOR
F=X+Y
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Otras Funciones Importantes:
Función XOR (OR EXCLUSIVA)
F = X ⊕ Y = X Y + X Y = ( X + Y )( X + Y )
Propiedad
F = X ⊕Y = X ⊕Y = X ⊕Y = X ⊕Y
Para n variables:
F=1 si un nº impar de variables está a 1
F=0 si un nº par de variables está a 1
X
Y
Z
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Otras Funciones Importantes:
Función XNOR
F = X ⊕ Y = X Y + XY
Propiedad
F = X ⊕Y = X ⊕Y = X ⊕Y
Para n variables:
F=0 si un nº impar de variables está a 1
F=1 si un nº par de variables está a 1
X
Y
Z
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
1
0
0
1
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Conjuntos completos para la realización de funciones
•AND y NOT
•OR y NOT
•NAND
•NOR
Es decir cualquier función lógica se puede hacer con uno de estos conjuntos
Nivel de un circuito
Número de puertas lógicas que atraviesa la información desde la entrada a la
salida del circuito en el caso peor → interesa que sea lo más pequeño
posible ya que cada puerta introduce un retardo
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Representación de variables lógicas
lógica positiva
1 → tensiones positivas
0 → tensiones negativas
Ej: TTL
1 → 5V
0 → 0V
lógica negativa
1 → tensiones negativas
0 → tensiones positivas
Ej: RS232
1 → entre -10V y -15V
0 → entre 10V y 15V
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Salida triestado o salida en alta impedancia o salida en colector abierto
La salida tiene un transistor en colector abierto de forma que cuando tiene que salir
un 0 lógico tenemos 0V pero cuando tiene que salir un 1 lógico el transistor se pone
en OFF y lo que tenemos es una alta impedancia
Salida
Para que haya 5V a la salida cuando tiene que salir un 1 lógico hacemos lo
siguiente:
+Vcc
Salida
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ÁLGEBRA DE BOOLE
Simplificación de funciones lógicas
Hay dos métodos:
•Tablas de Karnaugh → hasta 5 variables ✔
•Método de Quine - Mc Cluskey → por ordenador (más vbles)