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Definiciones
I
En matemáticas, un lema es una proposición demostrada o a
demostrar, utilizada para establecer un teorema menor o es una
premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general. El
término proviene del griego ληµµα que significa cualquier cosa que
es recibida, tal como un regalo, una dádiva o un soborno.
I
En matemáticas una afirmación debe ser interesante o importante
dentro de la comunidad matemática para ser considerada un
teorema. Resultado matemático importante que requiere una
demostración lógica.
I
Un corolario (del latı́n corollarium) es un término que se utiliza en
matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o
de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo
adicional en su demostración. En pocas palabras, es una
consecuencia tan evidente que no necesita demostración o que
requiere un esfuerzo mı́nimo mediante el uso de un teorema.
Lema 1 (Versión general)
v ∈ Gen{v1 , . . . , vn } ↔ Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Suficiencia
Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces cada uno de los vectores
v,v1 ,. . . ,vn son elementos de Gen{v1 , . . . , vn }, por lo tanto
Gen{v, v1 , . . . , vn } ⊆ Gen{v1 , . . . , vn }
Como es claro que
Gen{v1 , . . . , vn } ⊆ Gen{v, v1 , . . . , vn }
se tiene la igualdad entre ambos espacios generados.
Lema 1 (Versión general)
v ∈ Gen{v1 , . . . , vn } ↔ Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Necesidad
Si A = Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn } = B, entonces todo
vector de A, lo es de B. En particular, v es un vector de A. Y por
tanto, v es un elemento de B.
Lema 2
Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Demostración
Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces v es una combinación lineal de
{v1 , . . . , vn }. Entonces, en J hay un vector (v) que es
combinación lineal de los otros ({v1 , . . . , vn }). Se concluye que J
es linealmente dependiente.
Lema 3
Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente
independiente, entonces:
a ninguno de los vectores vi es el vector cero, y
b cualquier subconjunto de J es también linealmente
independiente.
Demostración
A Si algún vi es el vector cero, J serı́a linealmente
dependiente. Imposible.
B Si algún subconjunto J 0 de J es linealmente dependiente,
habrı́a un vector de J 0 que serı́a combinación lineal de los
otros vectores en J 0 ; como son vectores de J , estamos en
la situación de que un vector de J que serı́a combinación
lineal de otros vectores en J . Por tanto, J serı́a linealmente
dependiente. Imposible.
Lema 4
Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente
dependiente y v1 6= 0, entonces existe un vector vio que
es combinación lineal de los vectores anteriores
v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Demostración Si el conjunto J es linealmente dependiente,
existen constantes c1 ,. . . ,cn no todas cero tales que
c1 · v1 + c2 · v2 + · · · + cn · vn = 0
escogemos el coeficiente cio 6= 0 con el mayor ı́ndice posible. Esto
significarı́a que los coeficientes siguientes (en caso de que i < n)
son cero: cio +1 = cio +2 = · · · = cn = 0. Si io = 1 la relación queda
c1 · v1 = 0 y por tanto v1 = 0, lo cual no es posible. Ası́ la relación
anterior se convierte en
c1 · v1 + c2 · v2 + · · · + cio · vio = 0
de donde
vio =
−c1
−cio −1
· v1 + · · · +
· vio −1
cio
cio
Lema 5
Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente
independiente y v ∈
/ Gen (J ), entonces J ∪ {v} es
linealmente independiente.
Demostración Si A = J ∪ {v} es linealmente dependiente y
como v1 6= 0, habrı́a en
A = {v1 , v2 , . . . , vn , v}
un vector que es combinación lineal de los anteriores.
I
Si algún vi es combinación lineal de los anteriores,
concluirı́amos que J es linealmente dependiente. Imposible.
I
Si v es combinación lineal de los anteriores, entonces
v ∈ Gen (J ). Imposible.
Por tanto, A no puede ser linealmente dependiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces existe un vector vio que es combinación lineal de los
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), entonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Teorema del Intercambio
Suponga {x1 , . . . , xn } es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y {y1 , . . . , ym } conjunto
generador de V . Entonces
n≤m
Es decir, en un espacio lineal dado:
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces exis-
el número de elementos que tiene un
te un vector vio que es combinación lineal de los
conjunto linealmente independiente
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
cualquiera nunca excede al número
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
de elementos que tiene un conjunto
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), en-
generador cualquiera.
tonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Definamos
A1 = {x1 , y1 , . . . , ym }
Ası́
I genera a V (x1 ∈ V ),
I es linealmente dependiente,
I su primer elemento x1 6= 0
por tanto, hay un vector yi1 que es
combinación de los anteriores, asumamos que es ym . Por tanto,
B1 = {x1 , y1 , . . . , ym−1 }
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces existe un vector vio que es combinación lineal de los
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), en-
genera a V .
tonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Definamos
A2 = {x2 , x1 , y1 , . . . , ym−1 }
Ası́
I genera a V (x2 ∈ V ),
I es linealmente dependiente,
I su primer elemento x2 6= 0
por tanto, hay un vector yi2 que es
combinación de los anteriores, asumamos que es ym−1 . Observe que
no puede ser x1 combinación lineal
de x2 . Por tanto,
B2 = {x2 , x1 , y1 , . . . , ym−2 }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces existe un vector vio que es combinación lineal de los
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), en-
genera a V .
tonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Definamos
A3 = {x3 , x2 , x1 , y1 , . . . , ym−2 }
Ası́
I genera a V (x3 ∈ V ),
I es linealmente dependiente,
I su primer elemento x3 6= 0
por tanto, hay un vector yi3 que es
combinación de los anteriores, asumamos que es ym−2 . Observe que
x1 no puede ser combinación lineal
de x3 y de x2 y que tampoco x2 puede ser combinación lineal de x3 . Por
tanto,
B3 = {x3 , x2 , x1 , y1 , . . . , ym−3 }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces existe un vector vio que es combinación lineal de los
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), en-
genera a V .
tonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Lema 3: Si el conjunto J = {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente, entonces:
a
ninguno de los vectores vi es el vector
cero, y
b
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente dependiente y v1 6= 0, entonces exisContinuamos hasta concluir con x’s
o y’s, ¿cómo puede acabar?
A
Todos los xi entraron al
conjunto generador Bn : por
tanto, n ≤ m. Perfecto; lo
que se querı́a probar.
te un vector vio que es combinación lineal de los
vectores anteriores v1 , . . . , vio −1 . (Ası́ io > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente y v ∈
/ Gen (J ), entonces J ∪ {v} es linealmente independiente.
Continuamos hasta concluir con x’s o y’s,
¿cómo puede acabar?
B
Quedó un xk , sin entrar a un
conjunto generador porque se
agotaron antes los yj . En este caso,
en el paso anterior el conjunto
Bk−1 = {xk−1 , xk−2 , . . . , x2 , x1 }
genera a V y por tanto
xk ∈ Gen {xk−1 , xk−2 , . . . , x2 , x1 }
Por tanto,
Lema 1: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces
Gen{v, v1 , . . . , vn } = Gen{v1 , . . . , vn }
Lema 2: Si v ∈ Gen{v1 , . . . , vn }, entonces es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v1 , . . . , vn }
Lema 3:
Si
el
conjunto
J = {v1 , . . . , vn } es linealmente
independiente, entonces:
{xk , xk−1 , xk−2 , . . . , x2 , x1 }
a
ninguno de los vectores vi es el
vector cero, y
es linealmente dependiente. Esto es
imposible. Por tanto, esta alternativa
no puede acurrir.
b
cualquier subconjunto de J es
también linealmente
independiente.
Definición
Un conjunto B = {x1 , . . . , xn } se dice Base para el espacio
lineal V , si genera a V y además es linealmente independiente.
Corolario (Al teorema del intercambio)
Sean
B1 = {x1 , . . . , xn }
y
B2 = {y1 , . . . , ym }
dos bases para un mismo espacio lineal V . Entonces
n=m
Es decir, dos bases para un mismo espacio lineal tienen la misma
cardinalidad. Ello permite definir la dimensión para un espacio lineal
como el número de elementos de una base cualquiera:
dim(V ) = Dim(V ) = #(Base cualquiera para V )
Clave
La teorı́a de la dimensión pasa por el teorema del intercambio que
compara la cardinalidad de conjuntos linealmente independientes
contra la cardinalidad conjuntos generadores. Prácticamente todo
resultado por allı́: Por ejemplo, para demostrar que:
Si W es un espacio generado contenido en el espacio de
vectores V , entonces dim(W ) ≤ dim(V ).
Procederemos ası́:
Si n = dim(W ) entonces, W tiene una base B1 con n vectores. Si
m = dim(V ) entonces, V tiene una base B2 con m vectores.
Como B1 y B2 son conjuntos de vectores de V (pues W ⊆ V ) y
como B1 es un conjunto linealmente independiente y B2 es un
conjunto generador de V , el teorema del intercambio asegura que
dim(W ) = #(B1 ) ≤ #(B2 ) = dim(V )
Si V es un espacio con dimensión n entonces:
I
Si I es linealmente independiente, entonces #(I ) ≤ n.
I
Si #(A ) > n, entonces A es linealmente dependiente.
I
Si G es un conjunto generador para V , entonces n ≤ #(G ).
I
Si #(B) < n, entonces B es puede generar a V .
Para realizar las demostraciones tome B una base para V con n
elementos. Para las dos primeras, use que B es un conjunto
generador. Para las dos restantes, use que B es linealmente
independiente.