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CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
Matemáticas
Material de apoyo para el docente
UNIDAD 3
Preparado por: Héctor Muñoz
Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES
al
senci
Matemáticas
Unidad 3
Unidad 3
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES
1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD
Múltiplos de un número. Divisores y números primos. Descomposición en factores primos.
2. DURACIÓN APROXIMADA
4 semanas.
3. CONTENIDOS
Múltiplos de un número natural
Divisores y números primos
4. APRENDIZAJES ESPERADOS
4.1 Múltiplos de un número natural
Esta Unidad está centrada en algunas propiedades de
los números naturales relacionadas con las operaciones de
multiplicación y división.
Se inicia la Unidad introduciendo la noción de múltiplo
de un número natural (primer aprendizaje esperado).
Los múltiplos de algunos números naturales tienen
propiedades especiales. El segundo aprendizaje esperado se
relaciona con los casos más relevantes, destacando los múltiplos
de 1, de 2, de 5, de 10, de 9 y de potencias de 10.
En la recta numérica, los múltiplos de un número se
encuentran a espacios regulares. A esta propiedad de los
múltiplos de un número se refiere el tercer aprendizaje
esperado.
Finalmente se presentan formas de descomponer
multiplicativamente un número (cuarto aprendizaje esperado),
lo que establecerá un vínculo con el contenido que sigue.
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APRENDIZAJES ESPERADOS
Múltiplos de un número natural
· Identifican múltiplos de un
número natural.
· Identifican regularidades en
múltiplos de 2, de 5, de 10 y otros
casos similares.
· Caracterizan la ubicación de los
múltiplos de un número en la recta
numérica.
· Establecen descomposiciones
multiplicativas para un número
natural.
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4.2 Divisores y números primos
La noción de divisibilidad se introduce sobre la base de
algunos casos simples, apoyándose en lo visto en el contenido
anterior. A partir de las características que tienen todos los
múltiplos de 2, de 5, de 10 y de potencias de 10, podemos
establecer reglas que permiten identificar aquellos números que
son divisibles por 2, por 5, etc. (primer aprendizaje esperado).
Las nociones de divisibilidad y las descomposiciones
multiplicativas vistas en el contenido anterior permiten establecer
procedimientos para encontrar los divisores de un número dado
(segundo aprendizaje esperado).
Se espera asimismo que los estudiantes puedan ver con
claridad las relaciones entre los conceptos de divisor y de múltiplo
(tercer aprendizaje esperado).
Esto lleva a introducir la idea de número primo y a
identificar números primos en ámbitos numéricos acotados (cuarto
aprendizaje esperado).
APRENDIZAJES ESPERADOS
Divisores y números primos
· Identifican números naturales que
son divisibles por 2, por 5, por 10 y
por alguna potencia de 10.
· Encuentran los divisores de un
número dado.
· Reconocen la relación entre los
conceptos de “divisor” y de
“múltiplo”.
· Caracterizan los números primos e
identifican los números primos
menores de 100.
· Descomponen un número dado en
sus factores primos.
Entre las diferentes descomposiciones multiplicativas de
un número se enfatiza la descomposición en factores primos
(quinto aprendizaje esperado).
5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS
5.1 Múltiplos
El concepto de múltiplo es relativamente sencillo: decimos que un número natural m es múltiplo
del número natural a si existe un número natural p tal que m = a · p. En otras palabras, m es múltiplo
de a si m es igual al producto de a por algún número natural.
También podemos decir que m es múltiplo de a si m es divisible por a, es decir, m es múltiplo de
a si la división m : a es una división con resto 0.
De acuerdo con esto, es fácil encontrar múltiplos de un número natural cualquiera. Basta multiplicarlo
por 1, por 2, por 3, o por cualquier número natural.
De la definición se desprende que cualquier número natural es múltiplo de 1 y que el único múltiplo
de 0 es el propio 0. Así, también, podemos ver que, con excepción del 0, todo número natural tiene una
cantidad infinita de múltiplos.
En la recta numérica los múltiplos de un número están espaciados regularmente. Así, los múltiplos
de 7 son 7, 14, 21, 28, etc. La distancia entre múltiplos consecutivos es igual a 7.
El concepto de múltiplo puede generalizarse a los números enteros, incluyendo los enteros
negativos. En tal caso, diremos que un número entero m es múltiplo del número entero a si existe un
número entero p tal que m = a · p. Sin embargo, los números enteros se estudian recién en 7º año, de
modo que en 5º año solo trabajamos con la definición restringida, es decir, limitada a los números
naturales.
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5.2 Descomposición aditiva y descomposición multiplicativa
El estudiante está familiarizado con diversas formas de descomponer un número natural en una
suma de números naturales. En varias ocasiones hemos utilizado este tipo de descomposición para resaltar
la estructura del sistema de numeración y para destacar el valor de posición de cada digito en un número
de más de una cifra.
Ahora, se llama la atención al hecho que un número no solo se puede descomponer en una suma
(por ejemplo, 8 = 2 + 6) sino también se puede descomponer en un producto (por ejemplo, 8 = 2 · 4).
Conviene hacer un breve paralelo entre estas dos formas de descomposición.
5.3 Las reglas de divisibilidad
Por diversas razones en el último tiempo ha disminuido fuertemente la importancia de dominar
procedimientos de cálculo. Esto ha traído como consecuencia que varios temas específicos, que hace
algunas décadas eran considerados importantes porque facilitaban los cálculos, hoy día hayan perdido
buena parte de su relevancia.
Entre los temas que ya no son tan importantes se encuentran las reglas de divisibilidad y los
conceptos de mínimo común múltiplo y de máximo común divisor.
En tal sentido las reglas de divisibilidad debieran presentarse principalmente como interesantes
propiedades de algunos números naturales, limitándonos solo a casos simples y sobre la base de la
observación de regularidades en el conjunto de los múltiplos de algún número.
Así, si observamos que todos los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, podemos deducir de allí la
respectiva regla de divisibilidad. Algo similar podemos hacer con los múltiplos de 2, de 10 y de potencias
de 10.
De igual forma, en rangos acotados es posible observar regularidades en otros conjuntos de
múltiplos. Por ejemplo, los múltiplos de 11 hasta 11 · 9 son números de 2 cifras con dígitos repetidos.
Y los dígitos de los múltiplos de 9 hasta 9 · 10 suman 9.
Presentar estas regularidades no como hechos que deben ser aprendidos sino como propiedades
curiosas que se descubren, contribuye al desarrollo de una actitud favorable hacia las matemáticas y a
desarrollar el interés por su estudio.
5.4 Múltiplos y divisores
De las definiciones de múltiplo y divisor se desprende que entre ambos conceptos existe una
estrecha relación: si m es múltiplo de d, entonces d es un divisor de m.
Asimismo, si conocemos el producto de dos números naturales cualesquiera, por ejemplo, si
sabemos que a · b = c, entonces podemos afirmar que c es múltiplo tanto de a como de b, y que tanto
a como b son divisores de c.
Es conveniente mostrar este tipo de relaciones a los estudiantes, trabajando primero con datos
concretos y buscando luego una generalización.
Como se dijo más arriba, no tiene mucho sentido insistir demasiado en la búsqueda de múltiplos
comunes o de divisores comunes, excepto como ejercitación para consolidar los conceptos de múltiplo
o de divisor.
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5.5 Los números primos
Los números primos han atraído la atención de los matemáticos desde hace 2.300 años y tal vez
bastante más. Se definen como aquellos números naturales que solo son divisibles por sí mismo y
por 1. Por convención, se considera que el 1 no es número primo, de modo que el menor de los números
primos y el único número primo par es el 2. Información bastante completa acerca de los números primos
y acerca de su historia se puede encontrar por ejemplo en la página de Wikipedia dedicada al tema
(es.wikipedia.org/wiki/Número_primo).
La principal propiedad de los números primos tiene que ver con la descomposición multiplicativa
de los números compuestos (es decir, de los números que no son primos). Se puede demostrar que todo
número compuesto se puede descomponer en el producto de factores primos, y que para cada número
hay una única descomposición de este tipo (si no se consideran eventuales cambios de orden en los
factores).
Esta propiedad ha sido considerada como el teorema fundamental de la aritmética y muestra que
los números primos son los ladrillos básicos de los que se forman de todos los números naturales.
Ya Euclides había demostrado hacia el año 300 a. de C. que existe un número infinito de números
primos. Durante siglos, muchos matemáticos dedicaron gran parte de su tiempo a encontrar números
primos cada vez más grandes. Hoy esta búsqueda se hace computacionalmente y sobre la base del trabajo
colectivo de miles de aficionados a lo largo del mundo. El mayor número primo conocido hasta marzo de
2009 era el número 243112609 – 1. Este número tiene nada menos que 12.978.189 cifras.
En Internet existen tablas de números primos que pueden ser utilizadas por los estudiantes para
encontrar algunas de sus propiedades.
6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA
GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL)
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
En este guía se introduce el concepto de múltiplo de un número y se proponen algunas actividades
que permiten fortalecer su comprensión. Entre estas actividades se buscan regularidades en la ubicación
de los múltiplos de un número en la recta numérica y en tablas en que los números están ordenados en
filas de 10 en 10, y se destacan algunas características de los múltiplos de 10 y de potencias de 10, de
2, de 5, de 11 y de 9. Finalmente, se introduce y ejercita la descomposición multiplicativa.
GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL)
DIVISORES DE UN NÚMERO
En este guía se introduce el concepto de divisor de un número y se proponen algunas actividades
que permiten fortalecer su comprensión. Se subraya asimismo la relación que existe entre este concepto
y el concepto de múltiplo.
GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL)
NÚMEROS PRIMOS
En este guía se introduce el concepto de número primo y se proponen actividades que ponen de
relieve algunas de sus propiedades. No se pretende aquí que el estudiante memorice estas propiedades
sino que ponga en juego formas de razonamiento matemático que puedan contribuir a darle una visión
más cercana del quehacer matemático.
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