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Trigonometría plana
Tema 2: TRIGONOMETRÍA PLANA.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.1
Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros
dos ángulos dados.
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.
Teoremas del coseno y de los senos.
Resolución de triángulos oblicuángulos.
Razones trigonométricas del ángulo suma y del ángulo diferencia de otros
dos ángulos dados.
Hemos calculado el ángulo de 120º a partir de 60º, pero que ocurriría si
quisiéramos calcular las razones trigonométricas de 75º. Por ejemplo: cos75º,
sería un error pensar que sen75º = sen30º + sen45º.
En clase demostramos que:
cos(+) = cos. cos - sen. sen
Para el coseno de una diferencia tenemos la siguiente fórmula:
cos(-) = cos. cos + sen. sen
Su demostración es casi trivial, tan sólo debemos tener en cuenta las
propiedades de los ángulos opuestos.
cos(-) = cos(+(-)) = cos. cos(-) - sen. sen(-) = cos. cos + sen. sen
Estas fórmulas corresponden a los cosenos del ángulo suma y del ángulo
diferencia. Si deseamos conocer los senos de ambos ángulos, debemos utilizar las
propiedades de los ángulos complementarios, obteniendo:
sen(+) = sen. cos + cos. sen
sen(-) = sen. cos - cos. sen
Calculemos las tangentes para ello utilicemos su definición: tag(+) =
sen(   )
, aplicando las fórmulas que ya conocemos y dividiendo por coscos
cos(   )
obtenemos :
tg  tg 
tag(+) =
1 tg tg 
tg  tg 
tag(-) =
1 tg tg 
1
Trigonometría plana
Ejercicio 1. Demuestra que sen(+) = -sen.
Ejercicio 2. Calcula el seno, coseno y tangente de 75º.
Ejercicio 3. Calcula el seno, coseno y tangente de 15º.
Ejercicio 4. Sabiendo que sen12º = 0´2 y sen37º = 0´6. Calcula sen49º, cos49º.
Ejercicio 5.
a) Si cos78º = 0´2 y sen 37º = 0´6. Calcula el se41º, cos41º.
b) Se conoce sen = 0´6 y cos = 0´5, ambos agudos. Halla las razones
trigonométricas del ángulo -.
Ejercicio 6: Resuelve las siguientes ecuaciones.
f) cos2x = senx
g) cos2x + senx = 1
h) cos2x + cosx = 0
i) 2cos2x + cos2xcosx = 0
j) tg2x = cotgx
k) 4cos2x + 3cosx=1
l) sen2x =
1
cosx
2
m) cos2x = 1 + 2senx
2.2
Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.
Razones trigonométricas del ángulo doble: Si en las razones
trigonométricas del ángulo suma consideramos = obtendríamos las razones
trigonométricas del ángulo doble:
sen 2 = 2 sen cos
cos 2 = cos2  - sen2 
2 tg
tg 2 =
1 tg2 
Razones trigonométricas del ángulo mitad:

1  cos 
cos  
,
2
2
sen
tg

2

1  cos 
 
2
2

1 cos 
1 cos 
2
Trigonometría plana
Ejercicio 6. Calcular las razones trigonométricas del ángulo 90º a partir de 45º.
Ejercicio 7. Calcula las razones trigonométricas de 15º, a partir de 30º.
Ejercicio 8. Si sen = - 12/13 y  está en el tercer cuadrante, calcular las
razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.
2.3
Teoremas del coseno y del seno.
El teorema del coseno afirma que en un triángulo ABC se verifica:
C
b
a=c-b
A
c
B
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA.
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB.
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC.
que
Teorema de los senos.
C
b
C
a
h
b
a
h
A
c
(acutángulo)
B
A
(obtusángulo)
c
B
El teorema de los senos afirma que se verifica la siguiente igualdad:
a
b
c


sen A senB sen C
Es decir, que las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos, a mayor ángulo mayor lado. La constante de
proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
3
Trigonometría plana
2.5
Resolución de Triángulos Oblicuángulos.
Resolver un triángulo es conocer todos sus lados y ángulos a partir de los
datos que nos proporcionen sobre él. Para ello debemos aplicar todos los
conocimientos que tenemos de la trigonometría según los datos que nos ofrezcan.
En la resolución de triángulos no rectángulos se nos pueden presentar
cuatro casos, demos indicaciones generales para la resolución de cada uno de
esos casos:

1er caso: Conocemos dos ángulos y un lado. Resolveremos
mediante el teorema del seno.
Supongamos que A = 45º, B = 60º y c = 5cm. Resolver el triángulo ABC es
calcular los lados a y b y el ángulo C.
El ángulo C es trivial ya que los tres ángulos de un triángulo suman 180º, es
decir, C = 75º.
a
b
c


Aplicando el teorema de los senos:
, obtenemos que
sen A senB sen C
a
b
5
a
5
b
5




, es decir,
y
. despejando
0,92
0,92
sen 45º sen 60º sen 75º
2
3
2
tendremos el valor de a y b. a  3,66 cm
2
b  4,48 cm.

2º Caso: Conocemos los tres lados. Resolveremos utilizando el
teorema del coseno, no utilizar el del seno ya que la interpretación de la
solución es más compleja.
Supongamos que a = 4 cm, b = 5 cm y c = 2 cm. Resuelve el triángulo.
Utilizaremos el teorema de los cosenos a2 = b2 + c2 - 2bc cosA, despejando
de dicha igualdad el coseno de A obtendremos:
cosA =
b2  c2  a 2 4  25  16 13


(con la calculadora, A  49,46º)
2bc
2.2.5
20
cosB =
a 2  c2  b2 16  4  25  5


, B  108,21º
2ac
2.4.2
16
puesto que la suma de los tres ángulos es 180º tendremos que C  22´33º.
4
Trigonometría plana

3er Caso: Conocemos dos lados y el ángulo que forman. En este
tercer caso será necesario aplicar ambos teoremas, aplicando en primer lugar
el teorema del coseno, la fórmula en la cual aparezca el ángulo que conocemos y
posteriormente el del seno. Debemos prestar especial atención a los resultados.
Supongamos que b = 10cm, c = 8cm y el ángulo que forman A = 45º. Resolver
dicho triángulo:
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ; a2 = 100 + 64 - 160 cos45º= 164 - 80 2  50,86cm;
es decir, a  7,13 cm.
Mediante el teorema de los senos obtendremos:
a
b
c
7,13
10



;
; despejando obtendremos que
sen A senB sen C sen 45º senB
senB = 0,99 , es decir, B  82,62º o bien 82º37´. Tan sólo nos falta calcular
el ángulo C = 180º - A - B  52º23´.
¡ Atención ¿podría ser B 180-82,62? ! No ya que entonces A+B sería mayor
de 180º.

4º Caso: Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Este problema puede tener una (cuando senB  1), dos (senB < 1) o ninguna
solución (senB > 1), por ello haremos 3 ejemplos del caso 4, uno con una
solución, otro con dos y otro sin ninguna solución. Resolveremos con el
teorema de los senos. Debemos prestar especial atención al resultado.
4.1. Sabiendo que A = 30º, a = 3cm y b= 6cm, resolver dicho triángulo:
a
b
c
3
6
c




;
;
sen A senB sen C sen 30º senB sen C
despejando obtendremos que senB = 1; es decir, B = 90º. (Se trata de un
triángulo rectángulo) y por tanto C = 180º - 90º - 30º = 60º.
5
Trigonometría plana
Para obtener el valor de c volveremos a utilizar el teorema de los senos:
a
6
c
; despejando obtendremos el valor de c = 3 3 cm.


sen A sen 90º sen 60º
Este problema tiene solución única. Veamos otros ejemplos del 4º caso:
4.2. Supongamos que A = 60º, a = 8cm y b = 4cm. Resolver dicho triángulo:
a
b
c


;
sen A senB sen C
senB = 1/2.sen60º = 3 /4  0,43 , utilizando la calculadora obtendremos que B 
25º40´ o 154º20´ (el suplementario?)
Procedemos de forma análoga al ejercicio anterior,
¿Son las dos soluciones válidas? La única solución posible es B  25º40´.ya
que si B = 154º entonces A+B sería mayor que 180º.
Ya es trivial obtener que C  94º20´ y que c  9,21cm.
4.3. Sabiendo que a= 45cm, b= 60cm y A = 80º. Resolver dicho triángulo.
a
b
c
45
60
c
60 sen 80º




;
; senB =
;
sen A senB sen C sen 80º senB sen C
45
senB =
4
sen80º > 1 . No tiene solución.
3
6