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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha
escrito el Universo”.
Galileo Galilei
MATEMATICAS
GRADO SEXTO
2012
PGF03-R03
INTRODUCCION
El estudio de las matemáticas, potencia nuestra habilidad para el análisis lógico-deductivo, el
cual nos dará herramientas no solo para abordar, las otras ramas de las matemáticas, que
sistemáticamente encontraremos a lo largo de nuestra trasegar académico, sino para la
resolución de todo tipo de situaciones que encontremos en nuestra vida “real”. Sí, aunque
parezca difícil de creer las matemáticas favorecen nuestra capacidad de observación,
nuestra atención, y por ende nuestra capacidad para encontrar soluciones.
En medio del proceso de enseñanza-aprendizaje, como valores agregados, iremos
adquiriendo disciplina y aumentaremos la tolerancia, pues encontraremos cómo nuestros
compañeros proponen formas diferentes de solución, a las propuestas por nosotros mismos,
las cuales iremos aceptando y respetando.
Bienvenidos a este interesante recorrido por las matemáticas. Esperamos disfruten de ellas
y que el aprenderlas les sea divertido y edificante.
Cordialmente,
COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
Contenido
UNIDAD I LOS SISTEMAS DE NUMERACION Y LOS NÚMEROS ENTEROS .................... 5
LA NUMERACIONES ESCRITA MAS DIFUNDIDA .............................................................. 6
EL SISTEMA DE NUMERACION BINARIO ........................................................................ 12
NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................ 18
Representación de los números enteros ......................................................................... 18
Plano cartesiano y Recta numérica: ................................................................................ 19
Valor absoluto de un número entero................................................................................ 19
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ................................................................... 21
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS ...................................................................................... 21
PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS: REGLA DE LOS SIGNOS .......... 21
POTENCIACION Y RADICACION DE ENTEROS .............................................................. 30
PROPIEDADES DE LOS RADICALES ............................................................................... 35
UNIDAD II FRACCIONES..................................................................................................... 39
TIPOS DE FRACCIONES ............................................................................................... 40
OPERACIONES CON FRACCIONES. ............................................................................ 40
LOS NUMEROS DECIMALES ............................................................................................ 46
LECTURA Y ESCRITURA DE NUMEROS DECIMALES ................................................ 47
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES............................................................. 48
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES ................................................................................... 48
RESTA DE NÚMEROS DECIMALES ................................................................................. 50
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD................................... 51
MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES....................................................... 53
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS ............ 54
DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL ........................................... 55
DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL ........................................... 56
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES ..................................................................... 58
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS ATENDIENDO A SU PARTE DECIMAL. ........... 63
CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES A FRACCIONARIOS............................... 65
UNIDAD III .............................................................................................................................. 71
RAZONES Y PROPORCIONES ............................................................................................. 71
RAZON................................................................................................................................ 73
PROPORCION .................................................................................................................... 73
SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES .................................................... 74
CÁLCULO DE UN ELEMENTO DE LA PROPORCIÓN: ..................................................... 82
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES..................................................... 88
GRAFICOS DE MAGNITUDES DIRECTAS ................................................................... 90
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES..................................................... 93
APLICACIONES DE LA REGLA DE TRES SIMPLE A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
............................................................................................................................................ 95
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REGLA DE TRES COMPUESTA ........................................................................................ 99
OTRA APLICACIÓN: Repartos proporcionales ................................................................ 103
UNIDAD IV INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS ........................................... 107
Formas de definir un conjunto. .......................................................................................... 109
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO ........................................................................... 110
CLASIFICACIÓN BÁSICA DE TEORÍA DE CONJUNTOS ............................................... 112
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ............................................................................... 112
IGUALDAD DE CONJUNTOS ........................................................................................... 113
OPERACIONES CON CONJUNTOS. ............................................................................... 115
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. ............................................................................ 115
UNION:.............................................................................................................................. 116
INTERSECCION: .............................................................................................................. 116
DIFERENCIA: ................................................................................................................... 117
DIFERENCIA SIMETRICA: ............................................................................................... 118
USO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER ................................................................ 121
WEBGRAFIA ........................................................................................................................ 130
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
UNIDAD I
LOS SISTEMAS DE NUMERACION
Y LOS NUMEROS ENTEROS.
PROPOSITO
Desarrollar en los estudiantes la habilidad para la transposición de conceptos, usando en
este caso los sistemas de numeración binario y decimal.
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PGF03-R03
LA NUMERACIONES ESCRITA MAS DIFUNDIDA
ENUNCIACION
Para ningún lector de este módulo, constituye un gran esfuerzo escribir cualquier número
entero; por ejemplo, dentro de los límites de un millón. Para la escritura de los números,
empleamos los diez conocidos signos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, llamados; cifras. Ahora nadie
duda que, con la ayuda de estos diez signos (cifras) podemos escribir un número, ya sea
muy grande o muy pequeño, entero o fraccionario.
Los números del uno al nueve, los escribimos con la ayuda de sólo una de las nueve
primeras cifras. Para la escritura de los números del diez al noventa y nueve, necesitamos ya
de dos cifras, una de las cuales puede ser también el cero, y así sucesivamente.
Como base de la numeración tomamos el número "diez", por lo que nuestro sistema de
numeración se llama decimal.
Es decir, que diez unidades simples (unidades de primer orden) forman una decena (una
unidad de segundo orden), diez decenas forman una centena (una unidad de tercer orden),
diez centenas forman un millar (una unidad de cuarto orden) y, en general, cada diez
unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
En muchos pueblos los sistemas de numeración eran decimales. Eso está relacionado
con el hecho de que tengamos diez dedos en nuestras manos.
En la escritura de los números, en el primer lugar de la derecha escribimos la cifra
correspondiente a las unidades; en segundo lugar, la cifra de las decenas; luego la de las
centenas, después la de los millares, etc. Así, por ejemplo, la escritura de 2746 denota que el
número se compone de 2 millares, 7 centenas, 4 decenas y 6 unidades.
Si un número carece de unidades de determinado orden, en el lugar correspondiente
escribimos un cero. Así, el número que tiene tres millares y cinco unidades, se escribe. 3005.
En él no existen decenas ni centenas, es decir, las unidades de segundo y tercer orden; por
tal razón, en los lugares segundo y tercero de la derecha escribimos ceros.
¿Qué particularidad notable podemos encontrar en el sistema de numeración que siempre
hemos usado?
En el caso, por ejemplo, del número 14742, usamos dos veces la cifra 4: en el segundo y en
el cuarto lugar de la derecha, es decir que la misma cifra representa a la vez 4 decenas y 4
millares, esto da lugar a una definición sencilla, una cifra tiene asociados dos valores: uno
pocisional (lugar en el cual se encuentra: unidades, decenas, ……) y uno absoluto (el
valor de la cifra).
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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En consecuencia, resulta que una misma cifra puede denotar tanto cantidades de unidades,
como cantidades de decenas, de centenas, de millares, etc. en función de la posición que
ocupe la cifra en la escritura del número. De aquí precisamente que nuestro sistema de
numeración se llame posicional.
MODELACION
Volvamos al número 2746, del cual hemos hablado antes. En él, la primera cifra de la
derecha (la cifra 6) representa 6 unidades, la segunda cifra de la derecha (4) representa 4
decenas, es decir, el número
la tercera cifra de la derecha (7) representa 7 centenas, o sea, el número
y finalmente, la cuarta cifra (2) representa 2 millares, es decir, el número
El mencionado número puede ser escrito, pues, así:
Esta forma de escritura usada, descomponiendo el número, se denomina PRINCIPIO
FUNDAMENTAL DE LA NUMERACION (También lo puedes encontrar como PRINCIPIO
POSICIONAL DE LA ESCRITURA DE LOS NÚMEROS).
Pensemos un poco en lo siguiente: ¿ Por qué se efectúan tan rápida y fácilmente con los
números las cuatro operaciones aritméticas: adición, substracción, multiplicación y división?:
Estas ventajas nos son ofrecidas, lógicamente, por el citado principio posicional de la
escritura de los números.
En efecto, al hacer una operación aritmética cualquiera con números, trabajamos con las
decenas, centenas, millares, etc., como si fueran unidades, y sólo al obtener el resultado final
tenemos en cuenta su orden.
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Así, para la escritura de los números, empleamos el sistema decimal posicional de
numeración. El famoso físico y matemático francés Laplace (siglos XVIII-XIX), escribió
acerca del sistema: "La idea de representar todos los números con diez signos, asignándoles
además de un valor por su forma otro por su posición, es tan sencilla, que en virtud de esta
sencillez resulta difícil imaginarse en qué medida es admirable esta idea''.
Ahora casi toda la humanidad utiliza este sencillo sistema de numeración, cuyo principio de
construcción y trazo de cifras aparecen con idénticas propiedades pana tolo mundo.
¿Cómo surgió este extraordinario sistema de numeración decimal posicional?
No obstante su sencillez, los hombres necesitaron varios miles de años para llegar a él. No
será una exageración si decimos que todos los pueblos del mundo tomaron parte en la
creación de dicho sistema.
Inicialmente el sistema decimal posicional de numeración apareció en la India, y ya a
mediados del siglo VIII, se usaba ahí ampliamente. Por esa misma época, también surge en
China y otros países del Oriente. Los europeos adoptaron este sistema hindú de numeración
en el siglo XIII, debido a la influencia árabe. De aquí surgió, precisamente, la denominación,
históricamente incorrecta, de "numeración arábiga".
¿Qué sistemas de numeración estaban en uso, antes del surgimiento del decimal posicional?
El enorme interés de esta pregunta, hace necesario un análisis detallado de ella, lo que nos
proporcionará la posibilidad de valorar mejor la, ventajas de nuestro sistema de numeración.
Texto tomado de la adaptación hecha por Patricio Barros y Antonio Bravo del libro
“Aritmética Recreativa” autor: Yakov Perelman.
Numeración Antigua Egipcia
Una de las más antiguas numeraciones es la egipcia. Data aproximadamente de hace 7000
años, es decir, de más de 3000 años antes de nuestra era.
En la numeración egipcia existían signos especiales (jeroglíficos) para los números: uno,
diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un millón. Estos signos están representados en la siguiente
figura.
Para representar, por ejemplo, el número entero 23 1415
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Numeración Antigua Rusa
Conforme al principio de la numeración egipcia antigua, se construyeron sistemas de
numeración en algunos pueblos más, tales como el de la antigua Grecia por ejemplo.
diez rublos se denota por el signo
un rublo
diez kopeks
un kopek
un cuarto
(
O
x
|
-
Por ejemplo, veintiocho rublos, cincuenta y siete kopeks y tres cuartos:
((OOOOOOOOxxxxx|||||||--Numeración Romana
De todas las numeraciones antiguas, la romana es, posiblemente la única que se ha
conservado hasta hoy, y que es empleada con frecuencia.
CONSULTA:
¿Para que se usan hoy en día los números romanos?
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Por ejemplo, el número 283 lo podemos escribir, en signos romanos así:
CCLXXXIII
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Como análisis de los conceptos presentados en la Enunciación, responderemos las
siguientes preguntas:
1. Qué entiendes por principio posicional de la escritura de los números.
2. Describe el “Principio Fundamental de la Numeración”.
3. Usa el Principio Fundamental de la numeración, para representar las siguientes
cantidades.
a) 567
b) 6.839
En forma individual, aplicaremos los conceptos socializados para responder:
1. Para los números representados en el punto 3 de la simulación, indique el valor
absoluto y el valor posicional.
2. Si tuvieras que inventar un sistema de numeración, qué símbolos usarías, haz una
descripción de tu propio sistema de numeración.
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Las siguientes preguntas, serán desarrolladas en forma extraclase:
1. Usa el Principio Fundamental de la Numeración (para la escritura de los números),
para representar las siguientes cantidades:
a) 1.251
b) 34.721
c) 3.894
d) 789.453
2. Indica los valores absoluto y posicional de cada cifra, en los siguientes números:
a) 432
b) 7.650
c) 8.888
3. Concluye, ¿Qué es un sistema de numeración?.
Entre los diferentes sistemas de numeración que existen encontramos el binario, este
sistema es de gran importancia en la informática.
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EL SISTEMA DE NUMERACION BINARIO
ENUNCIACIÓN:
El sistema de numeración binario ( o de base 2), recibe su nombre por el uso de solo dos
símbolos; el cero y el uno: 0 y 1. Igual que el Sistema Decimal, el sistema binario es también
posicional.
Para indicar el sistema en el cual está escrito un número, se le coloca un subíndice en la
última cifra.
Por ejemplo:
110112
es un número de la base dos (Sistema Binario)
3578
es un número de la base ocho (Sistema Octal)
A7B16 es un número de la base 16 (Sistema hexadecimal)
Conversión de un número de la base dos a la base diez:
Para realizar la conversión de binario a decimal, tendremos en cuenta el Principio
Fundamental de la Numeración, descrito con anterioridad.
El Principio (o Teorema) Fundamental de la numeración dice:
“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de
numeración, viene dado por la fórmula:
... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”
donde X es el dígito y B la base.
Veamos un ejemplo:
MODELACION:
Ejemplo 1.
Supongamos que tenemos el número 1101012 (RECUERDEN QUE EL SUBINDICE INDICA
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN EN QUE ESTÁ EL NÚMERO, para nuestro ejemplo, la
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cantidad esta expresada en base 2, dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos
0 y 1.
¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?
Observa con atención:
Describamos el proceso aplicado
 Sobre cada cada cifra, del número binario (porque está en la base dos), se escribió un
número desde el cero hasta el cinco, empezando de derecha a izquierda, esta valor es la
posición de la cifra.
 Se escribió cada cifra, multiplicada por la base (2), y esta base a su vez, elevada a la
posición que ocupa.
 Se realiza una suma de las cifras multiplicadas por la base y elevadas a la posición.
 Se obtiene el resultado de la suma, siendo este el valor en el sistema decimal.
El teorema aplicado a la inversa, es decir por medio de divisiones sucesivas entre el número
dos (base dos), nos sirve para obtener el valor binario de un número en el sistema decimal,
como veremos más adelante.
Observa otros ejemplos:
Ejemplo 2.
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PGF03-R03
Ejemplo 3.
1. Comprueba que el número binario 1010010 corresponde en decimal al 82.
2. Convierte al sistema decimal, los siguientes número binarios:
a) 111111012
b) 1010101112
1. Realice la conversión del sistema binario al sistema decimal:
a)
b)
c)
d)
1010011112
111100012
100011112
1010101012
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Conversión de un número de la base 10 a la base 2:
ENUNCIACION:
Para realizar la conversión de un número de base decimal a binario, se usa el proceso
inverso, es decir, la división:
Se toma el número decimal entero, y comienza a ser dividido por dos y repetir el proceso
con sus cocientes hasta que el cociente tome el valor 1. La unión de todos residuos escritos
en orden inverso encabezados por el último cociente, nos dará el valor expresado en binario.
MODELACION:
Ejemplo:
Convertir el número 174 a binario
1
7
4
0
2
8
7
1
2
4
3
1
2
2
1
1
2
1
0
0
2
5
2
1
2
2
0
1
17410 = 101011102
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1. Realicemos las siguientes conversiones de números del sistema de numeración
decimal al binario:
a)
b)
c)
d)
e)
89
145
217
33
82
1. Realice la conversión del sistema binario al sistema decimal:
a)
b)
c)
d)
1010011112
111100012
100011112
1010101012
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PGF03-R03
2. Transforma los siguientes números de base 10 en binario y encuéntralos en la sopa
de números:
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
NÚMEROS ENTEROS
ENUNCIACION
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por
los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e
incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N
Z.
El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya
que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras
decimales.
Representación de los números enteros
El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores
discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que
entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.
En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que
m (n
m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números
enteros es un conjunto ordenado.
Representación gráfica del conjunto Z.
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PGF03-R03
Plano cartesiano y Recta numérica:
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una de ella es horizontal y otra
vertical donde son cortadas por un punto. La recta horizontal es conocida como eje de las
abscisas o de las (x), y la verticales conocida como eje de las ordenadas o de las (y); el
punto donde se cortan recibe el nombre de origen. Que es el que divide el plano en cuatro
cuadrantes.
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las
rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares
o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas
Valor absoluto de un número entero.
Observa la recta numérica:
Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números
están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama
valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:
|+3|
= | -3 | = 3
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se
indica poniendo el número entero entre barras. El valor absoluto está estrechamente
relacionado con las nociones de magnitud y distancia
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
1. Localiza los siguientes números en la recta numérica y halla su distancia al cero (0):
a. –6
b. 7
c.-3
d.0
e.9
f. –8
g.-4
h.3
i.-10
j.5
2. Halla el valor absoluto de los siguientes números:
a.
-15
b.
19
c.
0
d.
-28
e.
36
f.
-276
g.
-33
h.
49
3. Completa la siguiente tabla:
Número
Valor relativo
Valor absoluto
-5
3
-8
-4
9
8
-7
13
-5
5
Compara el valor
absoluto con el
valor relativo
5 > -5
4. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes desigualdades:
a.
3
>
-2
b.
-4
<
9
c. -4
>
6
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son
positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del
número se entiende que es +.
(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se pone el signo del
sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor
absoluto).
(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)
(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)
(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)
PRODUCTO Y COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS:
REGLA DE LOS SIGNOS
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la
regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando
paréntesis.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03




(+8) . (+3) = + 24
(-3) . (-2) = + 6
(+4) . ( -1) = - 4
(-2) . (+4) = - 8
Para dividir se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una
división es exacta cuando el resto es 0.








(-15) : (-15) = +1
8 : 4 = +2
- 4 : (-2) = +2
10 : 2 = +5
10 : (-2) = - 5
(-8) : 4 = - 2
24 : (-4) = - 6
-6:3=-2
La siguiente Actividad presenta una serie de Preguntas De Selección Múltiple Con Única
Respuesta Tipo I. Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro
probabilidades entre las cuales debes escoger la que consideres correcta:
1. El valor absoluto de un número entero negativo es:
A. Negativo
C. No se puede determinar
2. Si el
x
B. Positivo
D. Cero
= 5, el valor de x es:
A. +5
B. –5
C. +5, -5
D. 0
3. El orden de mayor a menor de los números enteros –18, -2, +2, -17, es:
A. –2 > +2 > -18 > -17
C. +2 > -2 > -18 > -17
B. –2 > -18 > -17 > +2
D. +2 > -2 > -17 > -18
4. Si la temperatura en una ciudad es 5 bajo cero, ¿qué debe suceder para que para que
quede en 2 sobre cero?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
A. Aumentar 3
C. Aumentar 7
B. Bajar 3
D. Bajar 7
5. Analiza las siguientes transacciones en el banco:
Consigna
Retira
Consigna
Retira
$30.000
$18.000
$120.000
$85.000
Si tenía $27.000, ¿cuánto dinero le queda luego de efectuar las transacciones?
A. $74.000
B. $70.000
C. $127.00
D. $20.000
6. Al subir una montaña, la temperatura baja 5 C cada 1.000m. En la base de la montaña la
temperatura es 20 C. La montaña tiene una altura aproximada de 8.000m desde la base
hasta la cima. ¿Cuál será la temperatura en la cima?
A. –20 C
B. 20 C
C. –40 C
D. 40 C
Las preguntas 7 y 8 se responden según la siguiente información.
Un auto recorre 40 metros a la derecha y retrocede 30 metros; luego recorre adelante 20
metros y retrocede 35 metros.
7. Al expresar como un número entero cada uno de los desplazamientos que realizó el auto
se tiene:
A. +40, +30, -20, -35
C. +40, +30, +20, -35.
B. –40, -30, -20, +35
D.+40,-30,+20,-35
8. El resultado de los desplazamientos que realizó el auto es:
A. 3 metros a la izquierda de donde empezó
B. 3 metros a la derecha de donde empezó
C. 5 metros a la izquierda de donde empezó
D. 5 metros a la derecha de donde empezó.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
9. SITUACIÓN: Una ardilla tiene su madriguera en un árbol y realiza los siguientes
desplazamientos: baja 2 metros, sube 5 metros, baja 4 metros, nuevamente baja 3 metros y
por último sube 4 metros.
PROBLEMA: Para determinar el sitio del árbol en que se encuentra la ardilla al finalizar el
recorrido, se debe:
A.
B.
C.
D.
Hallar el número total de metros que subió y bajó la ardilla.
Hacer un gráfico de los desplazamientos que hizo la ardilla.
Restarle a los metros que subió los metros que ésta bajó.
Saber la altura del árbol y la altura de la madriguera.
A continuación realizaremos Actividades relacionadas con las operaciones básicas con
números enteros: suma, resta, multiplicación y división.
1. Observa con atención los signos de agrupación y resuelve cada una de las siguientes
sumas:
a. (-7) +4 + (-2) + (+13) +15 =
b. (1+0 ) + 6 + (-2) =
c. (-5 ) + (-2) + (-1) +0 =
2. Encuentra el término que falta en las siguientes sustracciones:
a.
b.
- 8 = -3
d.
g.
-6=4
- 6 =12
c.
7-
=-3
-8 -
e. 11 -
=7
f.
h. 9 -
=11
j.
=3
- 6= -2
-7=4
3. Resuelve las siguientes operaciones:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
24
PGF03-R03
a. 10 + (-24) =
b. –35 + 40=
c. 48 - (-50) =
d. –70 - (+100) =
e. –35 - (+35) =
f. –5 + (-16) =
g. –7 + (+5) - (-9) + (-5) + (-7) - (-6) + (+10) =
h. 150 + (-100) + (+300) - (-200) + (-500) =
i. –10 + (+6) + (-12) - (+15) + (-9) +(+13) =
j. (24 –32 –83) – (-15 –77 –89) + ( 20 +8 –15) =
k. (-37 –4) - (13 +87 +15) + (20 –46) =
4. Qué signo tiene el producto de:
a. Cinco enteros positivos.
b. Tres enteros negativos.
c. Ocho enteros negativos.
d. Un par de enteros negativos.
e. Un número impar de enteros negativos
5. Completas las siguientes tablas:
6.
x
-5
-1
2
-6
-3
4
-7
9
-8
6
7. Determina el resultado de los productos indicados:
a. - - - (-3) (5)
b. - - (-5) (-4) (7)
c. - - (3) (-5) (-4)
.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
25
PGF03-R03
1. Resuelve de adentro hacia afuera
a. 12 - 2+ (-3-4) – (-2+4) +4=
c. 384 e. -
(-5) –7 - (-384) =
5 + 2 – (7-9) +8 -3
+12 =
b. 6 + 3 – (5+4) + 6 + 5=
d. 78 – (-78) +78 - (-78) – (-78)
=
f. –4 –12- (-13 –20 +8) –4 =
2. Halla el resultado en cada caso:
a. -4+7 . (-2) =
b. 8 + (-5) . -1 + 9 =
c. -3 – (-8) . (-10) =
d. -1 + 11
. (-5) =
MATEMATICAS - Matemáticas 6
26
PGF03-R03
3. Halla el cociente en los siguientes ejercicios:
12
(-2) =
( -18 )
24
-25
3=
(-4) =
(-5) =
7
(-7) =
-36
(-12) =
21
(-3) =
-414
63
(-9) =
49
(-7) =
-72
9=
-500
100 =
(-23) =
Resuelve los siguientes problemas
1. Al enchufar un refrigerador, la temperatura desciende 2 C cada 6 minutos.
Si se enchufa a las 10 de la mañana y la temperatura ambiental es 16 C.
a. ¿A qué hora alcanza –24 C?
b. ¿A qué temperatura se encontrará el refrigerador después de tenerlo
enchufado 1 hora?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
27
PGF03-R03
2. Un elevador subió 6 pisos, bajó 12 más, subió 8, bajó otros 4 y se detuvo en el
piso 43. ¿De qué piso partió?
3. Un submarino desciende 894 metros respecto a un punto A de la playa y luego
asciende 337 metros. Encuentra la distancia del submarino respecto al punto
inicial.
4. Un corredor de la bolsa de valores perdió en la mañana $875.000, pero en la
tarde ganó lo suficiente para recuperar la pérdida y aumentar su capital en
$1.400.000. ¿Cuánto ganó en la tarde?
5. Eratóstenes fue el primero en medir la longitud de la circunferencia de la
Tierra. Nació en el año 275 a. de C. y murió en el año 194 a. de C. ¿Cuántos años
vivió?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
28
PGF03-R03
6. En 1856 se encontraron en Alemania restos humanos fósiles. Se trataba de un
miembro de un grupo conocido como Neandertal, que vivió desde hace unos
30000 años. ¿Cuánto tiempo duró este grupo humano?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
29
PGF03-R03
POTENCIACION Y RADICACION DE ENTEROS
ENUNCIACION:
Las potencias y los radicales, son operaciones inversas.
MODELACION
Cuadro Resumen de las Propiedades:
Propiedad
Ejemplo
a0 = 1 ( si a ≠ 0)
50 = 1
90 = 1
100000 = 1
a1 = a
51 = 5
91 = 9
100001 = 10000
an · am = a n+m
63 · 62 = 63+2 = 65 = 7776
an : am = a n-m
63 : 62 = 63-2 = 61 = 6
an · bn = (a * b) n
22 · 32 = (2 · 3) 2 = 36
an / bn = (a / b)
42 / 22 = (4 / 2) 2 = 4
n
a-n = 1/an = (1/a)n
2-3 = 1/23 = (1/2)3
(a / b) n = ( b / a ) -n
(2 / 3) 5 = ( 3 / 2 ) -5
[(an )]m = an·m
[(23 )]5 = 23·5= 215
MATEMATICAS - Matemáticas 6
30
PGF03-R03
1. Escribe cada potencia como un producto de factores iguales.
a) 55__________________
b) 23 ________________
c) 84__________________
d) -48 ________________
e) 367_________________
f) -1002_______________
g) -35_________________
h) m3________________
i) -136_________________
j) 157_________________
k) 48__________________
1) (a + b)2_____________
2. Encuentra el valor de cada potencia.
a) (-2)6_________________
b) 133__________________
c) (-6)5_________________
d) 54 __________________
e) 122__________________
f) 104__________________
g) 302__________________
h) 153 _________________
MATEMATICAS - Matemáticas 6
31
PGF03-R03
1.Escribe en términos de potencia y resuelve:
( -4 ) ( -4 ) (-4 ) (-4 ) =
(6)(6) (6)=
(5)(5)(5)=
( -3 ) ( -3 ) ( -5 ) ( -5 ) =
2.Halla la potencia:
( -2 )4 =
( -2 )7 =
64 =
( -8 )2 =
35 =
( -3 )3 =
( -9 )4 =
( -4 )3 =
3. Completa los espacios en blanco para hacer verdaderas las siguientes igualdades:
3
= 27
( -9 )
3
= -729
2
= 16
4
= -8
= 256
= 64
MATEMATICAS - Matemáticas 6
32
PGF03-R03
4. Completa la siguiente tabla:
Exponente
Base
3
4
5
-3
-4
1.Completa:
Multiplicación
Potenciació
n
Potencia
Base
Exponente
5 . 5. 5. 5
(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)
-32
( -3 )4
(-8) (-8) (-8) (-8)
( -1 )6
(-10) (-10) (-10) (-10) (-10)
( -7 )3
9.9.9
3.3.3
44
MATEMATICAS - Matemáticas 6
33
PGF03-R03
2. Transforma cada potencia para que el exponente quede positivo y luego calcula su valor.
a) 2-3
_______________
________________
b) 3-2
_______________
________________
c) 5-2
_______________
________________
d) 2-5
_______________
________________
e) 10-1
_______________
________________
f) 4-1
_______________
________________
g) 1-4
_______________
________________
3. Calcula el valor de cada potencia y luego multiplícalas para obtener el valor de cada
expresión.
a) 24 · 2-3 __________________________
b) 3-3 · 31 ________________________
c) 53 · 5-2 __________________________
d) 73 · 7-3 ______________________
e) 2-4 · 23 __________________________
f) 33 · 3-1_____________________
g) 5-3 · 52 __________________________
4. Completa con los números que faltan para que la igualdad sea verdadera.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
34
PGF03-R03
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
ENUNCIACION:
Propiedad
Que dice
Ejemplo
El denominador en un exponente
racional es la raíz y el numerador
es el exponente de la base. Da lo
mismo hallar la potencia y luego
la raíz que hallar la raíz y luego la
potencia.
La raíz de un producto es el
producto de las raíces.
La raíz de un cociente es el
cociente de las raíces.
Para resolver la primera pregunta, necesitaras realizar una consulta, relacionada con el signo
asociado al resultado del cálculo de una raíz, por lo tanto este primer punto será valorado
como una actividad extraclase.
1.Escribe el signo ó signos, cuando exista la raíz:
5
4125
4
64
3
1400
8
1
4
1296
324
2. Halla la raíz cuando sea posible:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
35
PGF03-R03
4
3
3
16
27
4
81
10.000
5
144
32
3. Expresa cada radicando en forma de potencia, resuelve:
3
11
25
5
10.000
64
3
27
1
4
4
81
81
7
823543
3
27
Aplica las propiedades de las raíces y potencias para reducir las expresiones, no estimes:
1)
3· 5
2) 2a a m · 3b a1
5)
4 1
·
3
2
6) 2
ax
ax 3
·
3
2
m
3)
a · 5b
7) 3 a 3 x 1 · 2 a1 3 x
4)
5
8)
7
3·5
27
2a 7 m
·
m
2a
MATEMATICAS - Matemáticas 6
36
PGF03-R03
Expresa las siguientes potencias en forma de raíz y calcula la raíz (si se puede)
Escribe las raíces en forma de potencias:
1) 169
2)
3
8
4)
5
323
5)
2x 4
8)
n
bx 1
9)
4
1
81
10)
7)
7
7
4
m
ax
2
MATEMATICAS - Matemáticas 6
37
PGF03-R03
5. El área de un cuadrado es igual a 2025m2. ¿Cuál es la longitud del lado del
cuadrado?
6. Un cubo tiene un volumen iguala 117649 cm3. ¿Cuál es la longitud de su
arista?
Escribe el signo ó signos, cuando exista la raíz:
5
4125
3
1400
4
1296
MATEMATICAS - Matemáticas 6
38
PGF03-R03
UNIDAD II
FRACCIONES
PROPOSITO
Realizar operatoria con diferentes números: fraccionarios, decimales
y racionales; aplicando procesos matemáticos correctos.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
39
PGF03-R03
FRACCIONES
ENUNCIACION.
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la
siguiente forma:
b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.
TIPOS DE FRACCIONES
Fracciones propias
Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.
Fracciones impropias
Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
OPERACIONES CON FRACCIONES.
MODELACION:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
40
PGF03-R03
MATEMATICAS - Matemáticas 6
41
PGF03-R03
En la división
MATEMATICAS - Matemáticas 6
42
PGF03-R03
Desarrolla las siguientes operaciones
a)
e)
i)
9
7
2
3
8
=
5
3
6
12
33
(
)
15
6
b)
5
3
j)
12
5
26
=
10
c)
15
4
f)
38 27
x
17 4
g)
45
4
x(
)
6
10
2 3
5
x .
5 8 16
5
2
9
4
34
4
1
=
4
d)
2
9
5
216
h)
13
25
25
13
51
12
2
5
Soluciona las siguientes situaciones:
Si el total de clases de matemáticas
en un año es de 150 horas y un
estudiante asiste a las dos terceras
partes, a cuántas clases asistió y a
cuántas falló?
Si los tres décimos de una herencia
de $68.000.000 se regalan a una
iglesia, qué cantidad de dinero
recibe ?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
43
PGF03-R03
Si en un colegio de 1.500 estudiantes, los dos tercios utilizan el
bus, cuántos estudiantes utilizan el bus del colegio y cuántos
estudiantes no?
Si aun debo las tres cuartas partes de una deuda de $1.200.000,
cuál es mi situación financiera?
Si los dos tercios de los 660 estudiantes de un colegio viajan en
bus, cuántos estudiantes viajan en bus y cuántos no?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
44
PGF03-R03
JUGUEMOS CON LOS NÚMEROS:
En el siguiente matemátigrama escribe los resultados de las operaciones indicadas en las
columnas horizontal y vertical. Resuelva la actividad aquí mismo.
1
2
3
7
9
12
17
4
5
6
8
10
13
11
14
18
15
16
19
20
21
VERTICALES
HORIZONTALES
2
1. (5x10 ) + (3x10) + 6
4. 229,3 + 486,7
7. 63719 - 28546
9. 2,41 + 3,56 + 2,03
10. 400 + 30 + 9
12. 48 x 9
14. 111 x 0
15. (3x102) + (4x10) + 9
17. 47 x 56
19. 3627 + 5962
20. 20 x 20
21. 38 + 67 + 147
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
1.
12.
13.
15.
16.
18.
19.
2,35 + 2,65
3 x 11
921 - 267
(7x102) + (7x10) + 9
62,05 - 49,050
(4x12) - (6x7)
122 - 14
(8x103) + (3x102) + (6x10)
3569 + 3916
8 x 53
23 x 5 x 2
5322 - 4970
4 x 248
1,5 + 0,25 + 0,125 + 0,125
10000 - 9991
MATEMATICAS - Matemáticas 6
45
PGF03-R03
LOS NUMEROS DECIMALES
ENUNCIACION-MODELACION.
El sistema decimal es la división de unidades contables con base en los múltiplos del número
diez. Bajo el esquema mencionado, las fracciones de este sistema son el resultado de la
división de los números no enteros entre el número base (diez)o múltiplos del mismo. Los
números decimales son pues aquellas fracciones divisibles entre diez, con la característica
de ser infinita.
Los números decimales, entonces, pueden ser expresados como fracciones con
denominador 10 (diez)o sus múltiplos. Tenemos así que:
25 = 25/100
245362 = 245362/1000000
El conjunto de los decimales, está incluido en el de los racionales, Q.
La pregunta natural es entonces: ¿cómo saber si un número racional es decimal?
La regla es la siguiente:
Un racional es decimal si y sólo si el denominador de su fracción irreductible es de la
forma 2n·5p ( n y p enteros).
Ejemplos
1/2, 1/4, 1/5, 1/8 y 1/10 son decimales, pero no 1/3, 1/6, 1/7 ni 1/9.
La noción de número decimal no es muy relevante en matemáticas, porque es relativa a la
manera de escribir los números - aquí la base diez - y no es relativa a los números mismos.
Haber escogido la base diez es una decisión arbitraria de la humanidad (debido seguramente
a la cantidad de dedos de ambas manos), carente de significado matemático.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
46
PGF03-R03
SIMULACION
Que opinión te merece el párrafo final de la enunciación anterior? Por qué?
LECTURA Y ESCRITURA DE NUMEROS DECIMALES
En los números decimales tenemos:
Parte decimal
23,4
Parte entera
La forma de escritura de este tipo de números, se visualiza fácilmente en el siguiente cuadro:
MODELACION:
Aplicación a las Ciencias:
Algunos récords de mamíferos.
El mamífero más alto es la jirafa, que mide 5,9 m.
La serpiente más larga y más pesada es la anaconda, que alcanza 10,26 m de
longitud.
El mamífero más pequeño es el murciélago nariz de cerdo, que pesa sólo 1,59 g y
tiene el tamaño de un abejorro.
(Ejercicio tomado de Aritmética y Geometría Santillana Grado 6.)
Al escribir en forma de fracción decimal cada una de las medidas decimales tendremos:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
47
PGF03-R03
5,9 =59/10
10,26 =1.026/100
1,59 =159/100
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir
las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el
resultado la coma bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
SIMULACION – MODELACION
1. Colocar en cada casilla del cuadro el resultado de la operación que se indica:
a=
d=
g=
b=
c=
e=
f=
h=
i=
MATEMATICAS - Matemáticas 6
48
PGF03-R03
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
0,52+0,57
1-0,12
1,5-0,47
0,31+0,63
0,35+0,65
2,5-1,44
1,75-0,78
6,1+4,98
2-1,09
(Ejercicio tomado de Aritmética y Geometría Santillana Grado 6.)
2. Realizar las siguientes sumas:
3. Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones que indica la figura.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
49
PGF03-R03
RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas.
Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con
ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y
se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
SIMULACION - MODELACION
1. Calcula las siguientes restas de números decimales.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
50
PGF03-R03
2. Observa el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA
UNIDAD
SEGUIDA DE CEROS
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se
desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
51
PGF03-R03
SIMULACION – MODELACION
1.
2.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
52
PGF03-R03
3.
MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen
números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras
decimales tengan entre los dos factores.
SIMULACION – MODELACION
1.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
53
PGF03-R03
2.
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD
SEGUIDA DE CEROS
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ...
se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.
SIMULACION – MODELACION
1.
2.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
54
PGF03-R03
DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL
Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si
fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera
cifra decimal.
SIMULACION – MODELACION
1.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
55
PGF03-R03
2.
DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL
Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del
divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales
tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
56
PGF03-R03
SIMULACION - MODELACION
1.
2.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
57
PGF03-R03
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza
la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga
el divisor; si es necesario, se añaden ceros.
SIMULACION – MODELACION
1.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
58
PGF03-R03
2.
EJERCITACION
PROBLEMAS CON NUMEROS DECIMALES.
1. Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido
el trigo a 22,35 ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula:
a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada.
b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido
por la venta de la cebada.
2. Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro coche B
consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula:
a) La gasolina que consume cada coche en un kilómetro.
b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540
kilómetros, si el litro de gasolina cuesta 98 ptas.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
59
PGF03-R03
3. Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula:
a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno.
b) Los litros de aceite que contiene un bidón que pesa 23 kg.
4. En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de
salto de longitud y salto de altura. Éstos son los tres grupos clasificados.
Calcula.
a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud.
b)La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura.
5. En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunas monedas extranjeras
con la peseta. Calcula:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
60
PGF03-R03
6.Un camión transporta 3 bloques de mármol de 1,3 toneladas cada uno y 2 vigas de
hierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula:
a) El total de toneladas que transporta el camión.
b) El total de kilos que transporta el camión, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos.
7. La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:
a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en
metros de un trayecto B que mide 180 yardas.
b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en
yardas de un trayecto D que mide 45,7 metros.
c) La diferencia en milímetros que hay entre un metro y una yarda.
8. En el siguiente cuadro aparece el número de calorías que tiene aproximadamente
1 gramo de algunos alimentos.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
61
PGF03-R03
Calcula.
a) El número de calorías que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana
de 175 gramos y un filete de 150 gramos.
b) El número de calorías que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de
180 gramos y 250 gramos de espárragos.
c) El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 calorías, de un filete que tiene
525 calorías y de una barra de pan que tiene 1.402,5 calorías.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
62
PGF03-R03
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS ATENDIENDO A SU
PARTE DECIMAL.
1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9
2. Números decimales exactos:
Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33 5,6789
3. Números decimales periódicos:
Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que
se repiten se les llama periodo, como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un
arco sobre las cifras que forma el periodo, ésto indica que hay infinitas cifras que se repiten
según el periodo fijado.
Los números periódicos se subdividen a su vez en:
a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo
b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo
4. Números decimales no periódicos:
Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una pauta, es el caso de números como
MATEMATICAS - Matemáticas 6
63
PGF03-R03
EJERCITACION
1. Completa el siguiente cuadro, escribiendo X, según la expresión decimal sea finita,
periódica pura, periódica mixta.
4
20
2
3
3
50
1
2
7
10
4
11
15
13
19
14
23
16
Decimal
Finito
Decimal
Periódico
Puro
Decimal
Periódico
Mixto
Decimal
no
periódico
(I)
2. Indica cuáles de las siguientes expresiones representan un número racional (Q) o un
número irracional (II):
a. 9,171717...
b. 0,17171717....
c. 1,4242....
d. 1,8976489764...
MATEMATICAS - Matemáticas 6
64
PGF03-R03
CONVERSION DE NUMEROS DECIMALES A
FRACCIONARIOS.
Un n úm e ro d e cima l e xa ct o o pe rió d ico p u ed e e xp re sa rse e n f o rma d e
f ra cción , llam ad a fra c c i ón ge ne ra triz , d e la s f o rm a s qu e ind ica mo s:
Pasar de decimal exacto a fracción
S i la f ra cció n e s de c i ma l ex a c ta , la f ra cció n t ie ne co mo nume ra dor e l
núm e r o da do s i n l a c oma , y por de nomi na dor, l a uni da d s e gui da de
ta ntos c e r os c omo c i fra s de c i ma l es te nga .
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
S i la f ra cció n es pe ri ódi c a pura , la f ra cción ge n e ra t riz t ie n e co mo
num e r a dor el núme ro da do s i n la c oma , me nos l a pa rte e ntera , y por
de nom i na dor un núme ro forma do por ta ntos nue ve s c omo c i fra s ti ene el
pe r í odo.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
S i la f ra cció n es pe ri ódi c a mi x ta , la f ra cción g e n e ra t riz t ie n e co mo
num e r a dor e l núme ro da do s i n la c oma , me nos l a pa rte e nte ra s e gui da
de l a s c i fra s de ci ma l es no pe ri ódi c a s, y por de no mi na dor, un num e ro
for m a do por ta ntos nue ve s c omo c i fra s te nga e l pe rí odo, se gui dos de
ta ntos c e r os c omo c i fra s te nga la pa rte de ci ma l no pe ri ódi c a.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
65
PGF03-R03
MODELACION – EJERCITACION
3. Escribe como fracción los siguientes decimales finitos:
a. 3,25 =
b. 4,18 =
c. 5,3 =
d. 6,37 =
MATEMATICAS - Matemáticas 6
66
PGF03-R03
e. 3,458
f. 16,45 =
g. 33,33
h. 0,1 =
1. Escribe como racional los siguientes decimales periódicos puros:
a. 5, 23
b. 6, 472
MATEMATICAS - Matemáticas 6
67
PGF03-R03
c. 8, 599
5. Escribe como racional los siguientes decimales periódicos mixtos:
a. 6,34
b. 86,077
c. 1,1215
DEMOSTRACION
Los números decimales
Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad, utilizamos las décimas, centésimas,
milésimas… ¿Qué tal se te dan los números decimales? Compruébalo con este test.
Pregunta: ( 1 )
Escribe con cifras siete unidades, cinco décimas:
70’5.
7’05.
7’5.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
68
PGF03-R03
Pregunta: ( 2 )
Calcula: 3185’39 • 0’001:
318’539.
31’8539.
3’1853.
Pregunta: ( 3 )
Calcula: 25’3 • 0’17
0’51.
4’301.
43’01.
Pregunta: ( 4 )
Calcula: 45’21 + 132’367
187’088.
166’432.
177’577.
Pregunta: ( 5 )
Redondea este número a las centésimas: 38’541
38’55.
38’54.
38’50.
Pregunta: ( 6 )
Para expresar una fracción como número decimal, se divide el numerador entre el
denominador.
Verdadero.
Falso.
Pregunta: ( 7 )
¿Qué
tipo
de
número
decimal
8’5 número decimal exacto.
8’5 número decimal periódico puro.
8’5 número decimal periódico mixto.
es
el
Pregunta: ( 8 )
Hay
dos
tipos
de
números
decimales
Periódico exacto y periódico no exacto.
Periódico puro y periódico mixto.
Periódico puro y periódico no puro.
resultado
de
periódicos,
dividir
51:6?
¿cuáles
son?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
69
PGF03-R03
Pregunta: ( 9 )
Ordena de mayor a menor: 8’5; 8’67; 8’07; 8’45:
8’07>8’45>8’5>8’67.
8’5>8’67>8’45>8’07.
8’67>8’5>8’45>8’07.
Pregunta: ( 10 )
Calcula: 2015 : 0’62
32’5.
3250.
325.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
70
PGF03-R03
UNIDAD III
RAZONES Y PROPORCIONES
PROPOSITO
Realizar diferentes operaciones con proporciones, a partir de la definición de la propiedad
fundamental y resolver problemas de aplicación.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
71
PGF03-R03
RAZONES Y PROPORCIONES
ENUNCIACION.
Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas,
ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si
no se comparan con otros o con otras cantidades En la siguiente presentación usted podrá
apreciar lo que son las Razones y Proporciones, aparte de ejercicios de explicación y
aplicación.
Anécdota
La leyenda del Ajedrez
Una antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado
cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el
inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió:
"Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos
por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla
64". El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ...
+ 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la
Tierra entera 65 veces. Pulula por los círculos matemáticos un sorprendente final de la
historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático
del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera: "Alteza, puesto
que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraída con Sessa, igual os daría deberle
aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad S = 1 + 2 + 4
+ 8 +... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a
sumar son pares, lo cual nos permite escribir S = 1 + 2 Ã- (1 + 2 + 4 + 8 +...), o lo que es lo
mismo, S = 1 + 2 Ã- S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer
grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podrás decir a Sessa que no solamente
puede considerarse pagado con creces, ya que haber aumentado enormemente tu
recompensa, sino que actualmente se adeuda un grano de trigo."
RAZONES Y PROPORCIONES.
A continuación veremos algunos conceptos básicos sobre cada uno de estos temas:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
72
PGF03-R03
RAZON
Es la comparación entre dos cantidades.
ENUNCIACION - MODELACION.
48 es a 4 veces 12
Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b.
Donde:
a : Antecedente
b: Consecuente
PROPORCION
Es la igualdad de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor
a: es primer termino
b: segundo termino
c: Tercer termino
d: cuarto termino
NOTA:
En toda progresión aritmética se cumple que:
Suma de Extremos = Suma de Medios
a/b=c/d
En donde:
a y d: términos extremos
b y c: términos medios
MATEMATICAS - Matemáticas 6
73
PGF03-R03
MODELACION.
Ejemplo:
Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son: 21Ltrs, 7Ltrs, 15Ltrs, 9Ltrs las cuales se
comparan mediante la división del siguiente modo :
21Ltrs / 7Ltrs = 3
15Ltrs / 5ltrs = 3
Entonces: 21Ltrs / 7Ltrs = 15Ltrs / 5Ltrs
Interpretación: La capacidad de 21 Ltrs es a la capacidad de 7 Ltrs como ta de 15L es a la de
5L.
SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES
a1 / b1 = a2 / b2 = a3 / b3 =…………….=a n / b n = k
Donde:
K es constante de proporcionalidad
Ejemplo:
30 / 5 = 24 / 4 =72 / 12 = 42 / 7 = 6
En toda serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de
los consecuentes es equivalente a una cualquiera de las razones de la serie:
Simbólicamente,
Si
entonces
MATEMATICAS - Matemáticas 6
74
PGF03-R03
MODELACION:
entonces
Razones y proporciones aplicados en la interpretación de los negocios
EL PROPOSITO ES:
Interpretación y generalización de modelos matemáticos en las diferentes situaciones de la
vida cotidiana, particularmente las relacionadas con la administración de negocios en las
cuales se utilicen las razones y las proporciones.
El estudiante deberá desarrollar de manera conceptual y grafica y el razonamiento en el
momento de resolver problemas de aplicación de las razones y proporciones.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
75
PGF03-R03
PROPORCIONES
Ejemplo 1
Una inversión de S/. 5500 produce una utilidad de S/. 385 al año, otra inversión produjo una
utilidad de S/. 560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de
la segunda inversión?
Resolución:
Ejemplo 2
Si quinientos alumnos de la especialidad de negocios internacionales y administración
realizan un examen de ingreso del curso de matemática de los cuales la relación de los que
aprobaron y las que no aprobaron es de 7 es a 3 ¿Cuántos alumnos aprobaron .
Resolución:
Aprobaron 7k = 7(50) = 350 alumnos aprobaron
MATEMATICAS - Matemáticas 6
76
PGF03-R03
Ejemplo 3
El dinero de Juan es el dinero de Pedro como 7 es a 3 .si Juan gasta S/.200 le queda S/150
¿Cuánto de dinero tiene Pedro? .Halla el total de Juan y Pedro.
Resolución:
Ejemplo 4
La edad de un padre es a la edad de su hijo como 7 a 2, además entre las edades sumas 72
¿qué edad tiene el hijo hace 2 años?
Resolución:
P = 7k
H = 2k
Ejemplo 5
En una bodega la razón de varones que toman cerveza o una gaseosa es 6/8. si en la
bodega hay 60 clientes varones ¿cuántos de ellos toman una cerveza ? . Si la cerveza
cuesta S/.6 ¿cuántos fueron los ingresos del día por la venta de cerveza a los varones?
Resolución:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
77
PGF03-R03
C = 5k
Remplazando = 5k
G = 7k = 5(5) = 25 toman varones
Valor de cerveza = S/.6
C + G = 60
5k+ 7k= 60 remplazando 25 x 6 = S/.150 por día
12k = 60
k = 60/12
k=5
EJERCITACION
1. Determinar cual es el antecedente y el consecuente de las siguientes razones:
a)
4
5
b)
3
2
c)
15
12
d)
20
4
e)
100
20
2. Expresa cada una de las siguientes magnitudes en forma de razón.
a. 3 y 6
e. 3 y 9
I. 6 es a 0,5
b. 2 y 8
f. 5 y 2
j. –8 es a 3
c. 6 y 3
g. 7 y 5
k. 100 es 28
d.8 y 2
h. 3 es a 8
l. 3/5 es a -5
3. Expresa como razón las siguientes expresiones e identifica en cada una de ellas el
término antecedente y consecuente.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3 personas de cada 20 leen el periódico
12 personas de cada 25 ven un noticiero de televisión
30 vacas de 100 están vacunadas contra aftosa
Un auto recorre 120 kilómetros con 4 galones de gasolina.
Con 6 naranjas se hacen 3 vasos de jugo
1cm representa en un mapa una distancia de 50 km
se requiere 2 cucharadas de fresco para cada vaso de agua
2 cajas contiene 60 huevos
MATEMATICAS - Matemáticas 6
78
PGF03-R03
4. Utilizando la propiedad fundamental de una proporción, verifica cuál de las
siguientes pares de razones forman una proporción.
8 12
y
10 15
11
2
y
22
4
2 6
y
5 16
2
2 5
y
5 2
8 16
3
6
y
4
8
1 4
y
3 6
5. Soluciona los siguientes problemas:
a. Un auto recorre 160 Km por cada 5 galones de
gasolina. ¿Cuál es el rendimiento del carro por
galón de gasolina?
b. Un carro recorrió 500 Km en 5 horas y
consumió 20 galones de gasolina. ¿Cuál es su
velocidad? ¿Cuál es su rendimiento?
Llamamos
rendimiento a
los kilómetros
recorridos por
galón
de
gasolina
Llamamos
velocidad a los
kilómetros
recorridos
en
determinado
tiempo.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
79
PGF03-R03
6.
Usando la propiedad de una serie de razones equivalentes, hallar los valores
desconocidos en cada una de las siguientes proporciones:
a.
, si a+b = 8
b.
, si a+b = 4
c.
, si a-b = 15
d.
, si a-b = 2
e.
, si a-b = 8
f.
, si a+b = 20
g.
, si a+b = 30
h.
, si a-b = 24
Para resolver el punto 6. Será muy útil, revisar los siguientes criterios:
OTRAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
En toda proporción se cumplen las siguientes propiedades.
 La suma o la resta de los antecedentes es a la suma o resta de los consecuentes
como cada antecedente es a su consecuente.
En general, si
entonces
Modelación:
entonces
MATEMATICAS - Matemáticas 6
80
PGF03-R03
 Se pueden intercambiar loa medios o los extremos y el resultado sigue siendo una
proporción.
En general, si
entonces
y
Modelación:
Si
entonces
 La suma o resta de los términos de la primera razón es al primer antecedente como la
suma o resta de los términos de la segunda razón es al segundo antecedente.
En general, si
entonces
Modelación:
y
 La suma o resta de los términos de la primera razón es al primer consecuente como la
suma o resta de los términos de la segunda razón es al segundo consecuente.
En general, si
entonces
Modelación:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
81
PGF03-R03
y
 La suma de los términos de la primera razón es a la diferencia de los términos de la
primera razón como la suma de los términos de la segunda razón es a la diferencia de
los términos de la segunda razón.
En general, si
entonces
Modelación:
y
CÁLCULO DE UN ELEMENTO DE LA PROPORCIÓN:
Para calcular un elemento de una proporción es suficiente despejarlo.
Cálculo de un Extremo
a
c
b
x
a.x
b.c
Resolviendo la ecuación para x, se tiene: x
Ejemplo:
3
5
12
x
( 3).x
5.12 y x
5.12
20
3
Cálculo de un medio de una proporción
a
x
Resolviendo la ecuación para x, se tiene: x
Ejemplo:
8
x
9
18
9. x
8.18
y
x
b.c
a
8.18
9
b
c
b.x
a.c
a.c
b
16
MATEMATICAS - Matemáticas 6
82
PGF03-R03
Cálculo de un medio de una proporción
3
x
x
48
x2
3.48
1
Ejemplo: 4
x
x
25
x2
1
.25
4
Ejemplo:
y
y
x
x
a
x
x
b
x.x
a.b
x2
a.b
144
12
25
4
5
2
x
a.b
MATEMATICAS - Matemáticas 6
83
PGF03-R03
EJERCITACION
1. Calcula el valor del término desconocido en las siguientes proporciones:
3
a.
5
x
10
d.
0,32
a
g.
9
4
j.
2
4
b.
a
0,5
36
x
16
x
0,03
b
e.
2,6
2
h
9,6
2,4
k.
5
7
b
12
1
c. 3
4
3
x
5
f.
x
3,1
i.
x
21
l)
x
7
18
x
2
4
2
3
4
x
12
y
y
3
2. En un grupo 2 de cada 5 son mujeres. si el grupo es de 30 personas.
¿Cuántas mujeres hay?
3. Un auto con velocidad constante, tarda 5 minutos en recorrer 8 km.
¿Cuánto tarda en recorrer 104 km?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
84
PGF03-R03
4. 7 chocolatinas cuestan $ 4550. ¿Cuántas chocolatinas puede comprar con
$5850?
5. 15 niñas elaboran 75 chocolatinas. ¿Cuántas chocolatinas elaboran 45
niñas?
6.
Observa la tabla de medidas comunes en las recetas de cocina.
MEDIDAS COMUNES

1 pizca =

3 cucharaditas = 1 cucharada

2 cucharadas = 30 gramos = 1 onza

4 cucharadas =

8 cucharadas =
de cucharadita
de taza
MATEMATICAS - Matemáticas 6
85
PGF03-R03
6.
Determina cuáles razones forman una proporción escribiendo entre ellas = o
según corresponda.
a.
3
3
_____
5
5
d.
18
9
_____
14
7
g.
15
30
_____
24
32
b.
1
2
_____
2
3
e.
21
9
_____
6
7
h.
7
28
_____
28
32
c.
15
6
_____
10
4
f.
104
60
_____
15
28
i.
21
7
_____
6
2
5. Completa la siguiente tabla:
Proporción Medios Extremos Antecedentes Consecuentes
18
15
9
7,5
14
28
4
8
5
17
10
34
1
5
3,2
16
10
50
4
20
8. Dada la proporción
6
5
12
10
MATEMATICAS - Matemáticas 6
86
PGF03-R03
a. Forma la razón
Sumadeante cedentes
:
Sumadecon secuentes
b. Forma la razón
Sumademedi os
:
Sumadeextr emos
c. Forma la razón
Diferenciasdeanteced entes
:
Diferenciadecon secuentes
MATEMATICAS - Matemáticas 6
87
PGF03-R03
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
1. Al aumentar una de ellas también aumenta la otra; o al disminuir una la otra también.
2. El cociente entre las dos magnitudes es siempre el mismo.
Ejemplo
En un día las raíces de un árbol grande pueden tomar del suelo alrededor de 200 litros de
agua.
Con la anterior afirmación podemos deducir:
1º día
2º día
3º día
.
.
.
.
.
.
200 litros
400 litros
600 litros
.
.
.
Podemos concluir que la cantidad de litros es directamente proporcional a los días ya que al
aumentar los días aumenta la cantidad de litros.
Con base a lo anterior responde:
a) Encuentra el cociente entre la cantidad de litros y los días (hasta el día 5)
b) Como son estos cocientes?
c) Estas magnitudes son directamente proporcionales?
TABLA DE VARIACION
La tabla de variación muestra la relación que hay entre dos magnitudes.
Ejemplo:
Un automóvil recorre 60 km por cada hora. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 horas?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
88
PGF03-R03
Con base a lo anterior nuestra tabla de variación es de la forma:
Horas
1
2
3
4
5
Kilómetros
60
120
180
240
300
EJERCITACION
1. Realiza la tabla de variación para las magnitudes dadas:
 El precio de un cuaderno es de $ 550. ¿Cuánto valen 5 cuadernos?
 Un automóvil viaja a 75 km por hora. ¿Cuántos km recorre en 6 horas?
 El perímetro de un cuadrado es 4 veces la medida de un lado. ¿Cuál es el perímetro de
los cuadrados si la mediada de los lados son 1,2, 3, 4 y 5?
 para hacer 2 vasos de malteada se necesitan 4 cucharadas de leche en polvo. ¿cuántas
cucharas se necesitan para 8 vasos?
2. Completa las siguientes tablas de variación
a)
Minutos
1
2
3
Kilómetros
4
5
4,5
7,5
b)
Decímetros
Centímetros
1
2
20
Esferos
Costo
1
2
1730,7
3
4
40
5
3
4
5
6922,8
c)
MATEMATICAS - Matemáticas 6
89
PGF03-R03
d)
Cuadernos
Costo
1
2
3
2800
4
5
7000
GRAFICOS DE MAGNITUDES DIRECTAS
Los datos obtenidos en la tabla de variación los podemos representar en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Horas
1
2
3
4
Kilómetros
60
120
180
240
Representado en el plano cartesiano queda de la siguiente forma:
Y
240
(4,240)
180
(3,180)
120
(2,120)
60
(1,60)
1
2
3
4
5
X
Las magnitudes referentes a las horas se representan en el eje horizontal que lo vamos a
llamar X. Las magnitudes referentes a los valores de kilómetros los representamos en el eje
vertical que el cual lo llamaremos Y. El punto (1,60) que en la grafica es le primera
coordenada, se denomina una pareja ordenada.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
90
PGF03-R03
EJERCITACION
De acuerdo con el enunciado, realiza la tabla de variación y represéntala gráficamente
a) Un auto recorre 120 Km. en 2 horas
Tiempo
1
2
3
4
5
Distancia
b) una persona recorre 12 Km. en 3 horas
Tiempo
1
2
3
4
5
6
Distancia
c) El pingüino no puede volar pero recorre
160 Km. en 5 horas
Tiempo
1
2
3
4
5
6
Distancia
MATEMATICAS - Matemáticas 6
91
PGF03-R03
DEMOSTRACION
1. ¿Cuánto cuestan 8 kilos de manzanas si 11 kilos cuestan 14.350 pesos?
2. Se han pagado 25.500 pesos por la compra de 3 calculadoras. ¿Cuánto valen 7
calculadoras? ¿Y 30? ¿Y 23?
3. Un automóvil consume 56 litros de gasolina al recorrer 800 kilómetros, ¿cuántos litros de
gasolina consumirá en un viaje de 500 kilómetros?
4. Una tubería tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. ¿En
cuánto tiempo se perderán 2300 litros?
5. Se dispone de 420 litros de agua almacenados en 7 depósitos iguales. ¿Cuántos litros de
agua contendrán 13 depósitos iguales a los anteriores?
6. Una máquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. ¿Cuántas latas
de refresco envasará en un día que trabaje 5 horas?
7. A cierta hora del día un palo de 1,5 m. de largo proyecta una sombra de 60 cm. ¿Cuánto
mide un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 2,40 m.?
8. Completar la tabla sabiendo que las dos magnitudes son directamente proporcionales:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
92
PGF03-R03
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
 Al aumentar una de ellas la otra disminuye, o, al disminuir una de ellas la otra aumenta.
 El producto de los valores de las dos magnitudes siempre es el mismo.
Ejemplo1: Se distribuye 36 bultos de café entre 1, 2, 4, 6, 9, 18 y 36 tiendas, para cada caso.
¿Cuántos bultos de café se dejan en cada tienda?
La tabla correspondiente a la cantidad de bultos que se entregaran de acuerdo con la
cantidad de tiendas es la siguiente. Completa la tabla y contesta:
Si aumenta la cantidad de tiendas, ¿Qué sucede
con la cantidad de bultos dejados en cada tienda,
aumenta o disminuye?
____________________________________________
________________________________
encuentra en producto cantidad de tiendas por
cantidades de bultos. ¿Cómo son estas
cantidades?, de acuerdo con las definiciones de
magnitudes, ¿estas magnitudes son inversa o
directamente proporcionales?
_____________________________________
_____________________________________
Numero de
tiendas
Cantidad de
bultos
1
36
2
18
4
9
6
6
9
?
18
?
36
?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
93
PGF03-R03
MODELACION
Ejemplo 1.
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para
realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son
inversamente proporcionales.
Formamos la tabla:
Hombres
Días
3
24
6
12
9
8
...
...
18
?
Ejemplo 2
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días
tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?


Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de
horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días
de trabajo son inversamente proporcionales.
Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad
de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de
días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de
trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS QUE
15 obreros
REDUCCIÓN A LA 1 obrero
UNIDAD
1 obrero
BÚSQUEDA
RESULTADO
DEL 10 obreros
trabajando
trabajando
trabajando
trabajando
6 horas diarias
6 horas diarias
1 hora diaria
1 hora diaria
tardan
tarda
30 días
30.15
450 días
tarda
450.6 2700 días
tardan 2700
270 días
10
MATEMATICAS - Matemáticas 6
94
PGF03-R03
10 obreros
trabajando
8 horas diarias
tardan
270
8
33.75 días
Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días.
SIMULACION
1. Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero
si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de
120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.
Calcula la velocidad a la cuál va el vehículo si tarda, respectivamente 9 y 4 horas.
APLICACIONES DE LA REGLA DE TRES SIMPLE A LA
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Identificar cuáles de los siguientes problemas se pueden resolver utilizando regla de
tres simple directa y cuáles se resuelven utilizando la regla de tres simple inversa.
a) Si con $130.000 se pueden comprar 40 metros de tela, ¿cuántos metros de tela se
pueden comparar con $600.000?
b) Una empresa de transporte cobró $240.000 por transportar 680 Kg, ¿Cuánto cobra
por transportar 5.460 kg a la misma ciudad?
c) Un grupo de 15 personas tiene alimentos para 24 días. So se quiere que el
alimento dure 6 días más, ¿cuántas personas tendrán que ser retiradas del grupo?
d) Si 25 telares tejen una cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas invertirán 42
telares en tejer la misma cantidad de tela?
e) 20 docenas de naranjas valen $48.000, ¿cuánto valen 100 naranjas?
2. Los estudiantes de un colegio investigaron la relación entre las vitaminas y los
alimentos, ellos hicieron un trabajo sobre la vitamina C y elaboraron la siguiente tabla:
Alimento
Jugo de Naranja
Papa al horno o hervida
Banano
Manzana
Porción normal (en gramos Miligramos de vitamina C
o mililitros)
por porción
125
61
100
22
100
10
100
7
MATEMATICAS - Matemáticas 6
95
PGF03-R03
Tomate
100
23
Completar la siguiente tabla y calcular la cantidad de vitamina C que consume una persona
en un día.
Alimento
Papas hervidas
Tomates
Manzana
Jugo de Naranja
Porción
350 g
250 g
100 g
300 ml
Total
Miligramos de vitamina C
Tomado de Aritmética y Geometría II, Editorial Santillana.
EJERCITACION
1 – Consultar la grafica de las magnitudes inversamente proporcionales
2 – El área del rectángulo es 12 cm2. Si el ancho del rectángulo es 4cm, ¿Cuál es largo?,
¿realizar la tabla de variación para las medidas de ancho 1, 2, 3, 4 y 6?
3 – Para un campamento de los alumnos de grado sexto se llevan víveres para doce días,
tomado como base que cada niño que cada niño recibirá como 5 raciones diarias, si un niño
recibe 4 raciones diarias, ¿paran cuantos días alcanzan los víveres?, ¿con 3 raciones
diarias?, ¿con 2? y ¿con una ración diaria?
4 – Para llenar un tanque, 4 llaves emplean 30 minutos, ¿en cuántos minutos llenan el
tanque 2, 3, 4, 6 y 10 llaves?, realiza la tabla de variación.
5 – si 5 hombres tiene comida para 6 días, ¿para cuantos alcanzara la comida si se quiere
que dure 2 días?, ¿3 días?, ¿5 días?, ¿10 días?, ¿15 y 30 días?
6 – Para ir a la ciudad perdida un auto gasta 6 horas a una velocidad de 60 kilómetros por
hora. ¿Cuánto gastara en hacer el mismo recorrido, un auto que va a una velocidad de 90
kilómetros por hora?
7 – Para multicopiar un material didáctico se utilizaron tres fotocopiadoras, de la misma
capacidad, que tardaron media hora en hacer el trabajo.
a) ¿Cuánto tiempo habría gastado 1 fotocopiadora?
b) ¿5 fotocopiadoras?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
96
PGF03-R03
c) ¿6 fotocopiadoras?
8 – Graficar las situaciones de los puntos (1 - 7)
APLICACIONES.
REGLA DE TRES.
Regla de tres simple directa e inversa.
Regla de tres simple directa.
Modelación:
Un a u t om ó vil re c o rre 2 4 0 km en 3 h o ra s.
¿Cu á n t os kiló m e t ro s h ab rá
re co rrid o e n 2 h o ra s?
S o n m a gn it u de s di re c ta me nte proporc i ona l es , ya qu e a me nos ho ra s
re co rre rá me nos kiló m e t ro s.
2 40 km
x
km
3 h
2 h
Simulación:
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan $5.800, ¿cuánto pagará Ana?. Son magnitudes
directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
97
PGF03-R03
EJERCITACION.
Regla de Tres simple inversa.
Modelación.
Un a lla ve su m in istra a gu a a 18 l it ro s p o r m inu t o y t a rda 1 4 h o ra s en lle na r
u n de p ó sito . ¿Cuán t o ta rd a ría si su ca u da l f u e ra de 7 l itro s p o r m in u to ?
S o n m a gn it ud e s in ve rs a me nte proporc i ona l es , ya qu e a me nos lit ro s p o r
m in u to ta rd a rá más e n lle n a r e l d ep ósit o .
1 8 l/ m in
14 h
7 l/ m in
x h
Simulación
3 o b re ro s con st ru ye n u n m u ro e n 12 h o ra s, ¿cuá n to t a rd a rá n en con st ru irlo
6 o b re ro s? S o n ma gn it u d e s i nve rs a me nte proporc i ona l e s , ya qu e a m ás
o b re ro s ta rd a rán me nos ho ra s .
MATEMATICAS - Matemáticas 6
98
PGF03-R03
E J E RCI T ACI Ó N
REGLA DE TRES COMPUESTA
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA.
ENUNCIACION-MODELACION
Nueve llaves abiertas durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de
agua por valor de $60.000.
Averiguar el precio del vertido de 15 llaves abiertas
12 horas durante los mismos días.
A más grifos, más euros
Directa.
A más horas, más euros
Directa.
9 Llaves
10 horas
15 Llaves
12 horas
$ 60.000
x $
x
X = $120.000
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA.
ENUNCIACION-MODELACION
MATEMATICAS - Matemáticas 6
99
PGF03-R03
5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto
tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
A menos obreros, más días
Inversa.
A más horas, menos días
Inversa.
5 obreros
2 días
4 obreros
6 horas
7 horas
x días
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA.
ENUNCIACION-MODELACION
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de
30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para
realizar los 50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días
A más horas, menos días
Inversa.
Inversa.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
100
PGF03-R03
A más metros, más días
8 obreros
10 obreros
9 días
x días
Directa.
6 horas
8 horas
30 m
50 m
SIMULACION
a ) I d en t if ica r la re lació n e n t re la s magn it u d e s (d ire ct a, in ve rsa ,
m ixt a ) .
b ) Re so lve r ca d a p rob le ma .
P RO B L E MA 1 .
P a ra ca len t a r 2 lit ro s d e a gua d e sd e 0 º C a 2 0º Cse ha n n e ce sita do
1 0 00 ca lo ría s. S i qu e re m o s ca le n ta r 3 lit ro s d e a gu a d e 1 0º C a
6 0 º C ¿Cuá n ta s ca lo ría s so n ne ce sa ria s? T en en cue n t a qu e en
e st e p ro b lem a in te rvie n e n 3 ma gn it u d e s, la ca n t id a d d e a gu a , e l
sa lt o té rm ico y la ca n t ida d de ca lo ría s.
¿Cu á l e s la re la ción e nt re la s m a gn itu d e s?
S i se qu ie re ca len t a r m á s ca n t ida d d e a gu a ha b rá qu e u sa r má s
ca lo ría s (re la ció n d ire ct a )
MATEMATICAS - Matemáticas 6
101
PGF03-R03
S i se qu ie re d a r u n m a yo r sa lt o t é rm ico ha b rá que u sa r m á s
ca lo ría s (re la ció n d ire ct a ).
P RO B L E MA 2 .
E n un a m in a , u na cu a d rilla d e 4 min e ro s a b re n un tú n e l de 50
m e t ro s d e lo n git ud e n 1 7 d ía s. S i ot ra cu ad rilla t ie n e 1 7 m in e ro s.
¿Cu á n t o s me t ro s de t ún e l ab rirá n en 3 2 d ía s?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
102
PGF03-R03
OTRA APLICACIÓN: Repartos proporcionales
Mu ch a s sit u a cione s d e la vid a co t id ia n a re qu ie re n re p a rt ir u n a
su m a
t ot a l
en
va ria s
p re via m e n te a co rda d o s.
p a rte s
qu e
so n
p ro p o rcion ale s
a
núm e ro s
Po r e je mp lo , la ga n a n cia de u n a so cied ad e s
p ro p o rcio na l a l cap it a l ap o rt ad o p o r ca d a u no de lo s so cio s , o, com o lo
ilu st ra e l sigu ie n t e e je mp lo :
MO DE L ACI O N
Se necesita repartir 810 gallinas en tres corrales; el primero
tiene 8 m 2 , el segundo tiene 10 m 2 y el tercero 12 m 2 . ¿cuántas
gallinas ocupan cada corral?
Solución:
Las gallinas deben repartirse proporcionalmente al tamaño de
cada corral.
Si llamamos a,b, y c a las cantidad de gallinas en cada corral,
asociadas respectivamente al área de cada corral, establecemos
las siguientes proporciones:
Corral 1:
E st e re su lta d o no s in d ica qu e en e l co rra l d e 8 m 2 ,
p o nd re mo s 21 6 gallin a s.
Co rra l 2 :
MATEMATICAS - Matemáticas 6
103
PGF03-R03
E st e re su lt ad o n os in d ica qu e en e l co rra l de 1 0 m 2 ,
p o nd re mo s 27 0 gallin a s.
Co rra l 3 :
L u e go , e n e l co rra l d e 1 2 m 2 , p o nd rem o s 3 2 4 ga llin a s.
S I MUL ACI Ó N.
1 . Un p ad re qu ie re re p a rt ir 50 . 00 0 e sta m p illa s d e co le cció n en t re su s
3 h ijo s e n p a rt e s p ro p o rcio na le s a su s e da de s, qu e son 1 2, 16 y 2 2
a ñ o s. ¿Cu án t a s le co rre sp o nd en a ca d a u n o?
2 . Do s
h e rm an o s
de
8
y
11
años
re p a rt en
95
b ille t e s
p ro p o rcio na lme n te a su s e d a de s. ¿Cu á n to s b ille t e s le co rre sp o n de n
a ca da un o ?
3 . P a ra lo s 1 6 p ue sto s d e l co n ce jo mu n icip a l se de p o sit a ro n 8 00 . 0 00
vo t o s.
P o r la list a A h ub o 15 0 .0 0 0 vo t o s, p o r la list a B , 2 00 . 000
vo t o s y p o r la lista C, e l re st o. ¿Cu á n to s co n ce ja le s h a b rá d e cad a
list a ?
E J E RCI T ACI Ó N.
1 . E l jef e d e u n a em p re sa d e cid e rep a rt ir 5 . 00 0 ca m isa s e n t re 4 d e
su s e mp le a do s po rp o rcio n lam en t e a la a n t igü e da d en la e m p re sa
qu e e s d e 1 a ñ o, 3 a ñ o s, 4 añ o s y 8 a ñ o s.
¿Cuá n ta s cam isa s le
co rre sp o nd e n a cad a un o ?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
104
PGF03-R03
2 . T re s f am ilia s p lane a n re a liza r u n a sa lid a de ca mp o .
E l co st o t ot a l
d e la sa lida e s d e $ 4 50 . 00 0 . S i la s f a m ilia s e st án conf o rma da s p o r
5 , 3 y 1 0 pe rso nas re sp e ct iva m en t e, ¿Cu á n to d ine ro le co rre sp on d e
a p o rt a r a cad a f amilia p a ra cub rir lo s ga st o s?
3 . S e d e se a re p a rt ir cie rt a ca n t ida d d e b o la s d e crist a l e nt re t re s n iñ o s
d e 3, 5 y 6 a ño s.
S i a l m a yo r le corre sp o n de n 1 8 b o la s, ¿Cu án t as
d e be n re cib ir lo s o t ro s n iñ o s si e l re p a rt o e s p ro po rcio n a l a sus
e d ad e s?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
105
PGF03-R03
DEMOSTRACION
De b e s t en e r en cu e n ta e l co n ce pt o d e p o rce nt a je p a ra ca lcu la r los
sigu ie n t e s p rob lema s:
1 . E l p re n sa d o de 1.5 0 0 kg d e a ce itu na p rod u jo e l 3 6 %de su p e so e n
a ce it e . Ca lcu la la ca n t ida d de a ce it e o b te n id a.
2 . Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos/as, ¿cuántos
alumnos han asistido? ¿Cuántos alumnos/as han faltado?
3 . Los
embalses
tienen
de
una
encuentran
agua
capacidad
al
27
%
que
total
de
abastecen
de
su
a
una
km3,
400
capacidad.
ciudad
y
se
¿Cuántos
km3
contienen?
4 . En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el
número de personas mayores de esa edad.
5 . De
500
les
gusta
mujeres
el
fútbol.
encuestadas,
Expresa
370
esta
afirman
cantidad
que
mediante
un porcentaje.
6 . María recibe el 12% del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá que
vender para ganar 4.800 €?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
106
PGF03-R03
UNIDAD IV
INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS
PROPOSITO
Usar los Diagramas de Venn-Euler para la solución de problemas con conjuntos e identificar
a partir de los mismos operaciones realizadas con colecciones de elementos.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
107
PGF03-R03
NTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El
primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor,
Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por
Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así,
se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de
objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si
se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos
azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El
conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no
siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa
persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se
definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida
por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de
nuestra intuición o nuestra mente.
Georg Cantor
Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras,
plantas, personas, mastodontes,..., prácticamente cualquier cosa.
Julius Wilhelm Richard Dedekind
Otras formas de caracterizar un conjunto son las siguientes:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
108
PGF03-R03
- Es una colección bien definida de objetos o cosas, donde, bien definida significa distinguir
con claridad los elementos que forman parte del conjunto.
- Son colecciones, agrupaciones o reuniones de elementos a los cuales identificamos por
tener propiedades en común.
- Es una colección de objetos; en los que a cada uno de los objetos que componen un
conjunto se le denomina elemento de un conjunto.
Para representar que un elemento “a” pertenece al conjunto “A” se aplica el símbolo de
pertenencia . Se utiliza a
A, que se lee: “a” pertenece a “A”. y se conoce como relación
de pertenencia, señala la relación entre elementos y conjuntos exclusivamente.
Si un elemento no pertenece a un conjunto se denota por ∉, por ejemplo si b no pertenece a
A se expresara como b ∉ A, que se lee: b no pertenece a A.
Algunos ejemplos de pertenencia son:
Conjuntos
Elementos
Pertenencia
D = Un día de la semana
m = mayo
l D
M = Un mes del año
l = lunes
m
M
Z = Un número entero
n=2
n
Z
Formas de definir un conjunto.
1).- Enumerando todos los elementos del conjunto (solo se puede hacer si el conjunto es
finito)
2).- Por medio de una propiedad característica de los elementos que forman a ese conjunto,
esta propiedad puede expresarse de forma ordinaria o utilizando alguna simbología lógica.
3).- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas latinas, los elementos se colocan entre
llaves, por ejemplo:
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
MATEMATICAS - Matemáticas 6
109
PGF03-R03
B = {a,v,e,s}
C = { Las soluciones de la ecuación }
N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}
L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Para determinar la forma de describir cómo han de agruparse los conjuntos comúnmente se
utilizan dos formas: la forma tabular y la forma constructiva
Forma Tabular o extensiva (Por extensión)
Es cuando el conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista
que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a esos elementos.
Ejemplos:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o ,n , j, u, t, s }
D = {A, B, E, C, D, R, I, O}
Forma Constructiva o por compresión
Es cuando un conjunto es determinado por comprensión, o sea cuando se da una propiedad
que la cumpla para todos los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A = { x l x es número entero}
MATEMATICAS - Matemáticas 6
110
PGF03-R03
B = { x I x es un número par menor que 10}
C = { x I x es una letra de la palabra conjuntos}
D = {x I x es una mujer de nacionalidad mexicana }
E = {x I x es color básico}
A continuación mostramos un cuadro comparativo de cómo describir dos conjuntos mediante
la forma tabular o extensión y la forma constructiva o por compresión.
POR EXTENSIÓN
POR COMPRENSIÓN
A = { a, e, i, o, u }
A = { x / x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B = { x / x es un número par menor que 10 }
C = {1, 3, 5, 7, 9 }
C = { x / x es un número impar menor que 10 }
D = { c, o, n, j, u, t, s }
D = { x / x es una letra de la palabra conjuntos }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }
E = { x / x es una consonante }
F = { Laura, Javier }
F=x
G = {mercurio}
G=x
MATEMATICAS - Matemáticas 6
111
PGF03-R03
CLASIFICACIÓN BÁSICA DE TEORÍA DE CONJUNTOS
 Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienen los mismos elementos.
 Existe un conjunto sin elementos llamado vacío.
 Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.
 La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.
 Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.
 El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de
elección).
 Ningún conjunto es elemento de sí mismo.
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Un conjunto se dice finito si sus elementos se pueden listar, completamente. En caso
contrario se dice que el conjunto es infinito.
Ejemplos:
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }
Conjunto infinito
C = { x / x es un número par}
Conjunto infinito
W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
Conjunto finito
MATEMATICAS - Matemáticas 6
112
PGF03-R03
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es
decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece
también a A. La igualdad se denota A = B.
Ejemplos:
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = {a,v,e,s}
C = { Las soluciones de la ecuación }
N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}
L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}
SIMULACION
1 - Con la explicación de tu docente, define que son conjunto disyuntos e intersecantes y,
cuando dos conjuntos son iguales. Da 5 ejemplos de cada uno.
2 – Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son por extensión y comprensión.
a)
b)
c)
d)
e)
A = {niñas porristas de cuarto grado}
B = {a, e, i, o, u}
C = {cuadrado, circulo, rectángulo, triangulo, rombo, …}
D = {Los números pares entre 10 y 40}
E = {los números primos naturales menores que 20}
3 – De los ejercicios anteriores pasa los de extensión a compresión y los de comprensión a
extensión.
4 – Clasifica los siguientes conjuntos (unitario, vació, finito, infinito):
a) Z = {letras de la palabra caridad}
b) X = {números primos menores que 100}
MATEMATICAS - Matemáticas 6
113
PGF03-R03
c) H = {múltiplos de 4}
d) I = {Números primos múltiplos de 5}
e) J = {Números divisibles por dos terminados en 5}
f) S = {números pares}
5 – Determina cuales de los siguientes conjuntos son disyuntos e intersecantes.
a) A = {Números pares menores que 20}
b) B = {números pares entre 10 y 20}
c) C = {múltiplos de 3 menores que 20}
d) D = {Números dígitos}
EJERCITACION
P
A
6
5
4
3
2
7
0
8
De acuerdo con el diagrama anterior marcar con una X la respuesta correcta:
1 - Los conjuntos P y A son
a) Disyuntos
b) iguales
c) finitos
d) intersecantes
2 – Si tenemos el conjunto S = {3, 7, 5} podemos decir que:
a) S es igual a P
c) P es subconjunto de S
b) S pertenece a P
d) S es subconjunto de P
3 – El conjunto P por extensión es:
a ) {Los dígitos del numero 357}
c) {los números primos menores que 10}
b) {2, 3, 5, 7}
d) {los números primos que no son pares}
MATEMATICAS - Matemáticas 6
114
PGF03-R03
4 – El conjunto A por comprensión es:
a ) {0, 2, 4, 6, 8}
c) {los dígitos del numero 40628}
b) {Los números pares menores que 10}
d) {4, 6, 8, 0}
5 – De acuerdo al diagrama de ven podemos decir que. Coloca F si es falso o V si es
verdadero.
a. 3
P
b. 4
A
c. P
A
d. A
P
e. A P
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.
El conjunto complemento de A es el conjunto los elementos x, que cumplen que, x
pertenece a U, y que, x no pertenece a A.
Lo anterior se lee, el complemento de A ( ),es el conjunto de los x tales que x pertenecen
al conjunto Universal y no pertenecen al conjunto A. En otras palabras, es lo que le hace
falta al conjunto A, para ser igual al Universal.
Por ejemplo, si tenemos que:
entonces:
=
MATEMATICAS - Matemáticas 6
115
PGF03-R03
UNION:
A U B = {x/x A ó B} que se lee, A unión B es el conjunto de los x tales que x pertenecen al
conjunto A o al conjunto B.
Ejemplo:
Sea Los conjuntos
S = {a, e, i, o, u}
T = {a, b, c, d, e, }
A B = {a, b, c, d e, i, o, u}
Viendo graficado en el diagrama de Ven-Euler toma la siguiente forma:
La parte sombreada muestra la unión entre los dos conjuntos.
INTERSECCION:
A∩B={x/x
A y B}, lo cual leemos así: A intersección B es igual a los x tales que x (es decir
los elementos) que pertenecen al conjunto A y al conjunto B (están simultáneamente en los
dos conjuntos).
Ejemplo:
Sean los conjuntos
MATEMATICAS - Matemáticas 6
116
PGF03-R03
M = {los números primos del 1 al 5}
N = {números pares menores que 5}
M
M = {1, 2, 3, 5}
N = {2, 4}
N = {2}
En el diagrama de Venn-Euler podemos visualizarlo de la siguiente forma:
El elemento 2 es común entre los dos conjuntos, la parte sombreada muestra la intersección
de M y N.
DIFERENCIA:
Son los elementos que solo pertenecen al primer conjunto.
Así, A – B = {x/x A y a B}, podemos leerlo como: A diferencia de B son los x tales que x
pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.
Ejemplo7:
Sean los conjuntos
M = {los números primos del 1 al 5}
N = {números pares menores que 5}
M – N = {1, 3, 5}
M = {1, 2, 3, 5}
N = {2, 4}
Viendo gráficamente en el diagrama de Venn tenemos:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
117
PGF03-R03
Donde la parte sombreada muestra la diferencia entre el conjunto M con N (M – N)
DIFERENCIA SIMETRICA:
Como su nombre lo indica, la diferencia simétrica se refiere a los elementos que se
encuentran solo en A y los elementos que solo se encuentran en B.
A B= {x/x
A – B y B - A}, observemos que puede definirse formalmente como los x
tales que x pertenecen a la diferencia entre el conjunto A y el conjunto B y, la diferencia entre
el conjunto B y el conjunto A.
A
B
EJERCITACION
1 - Realiza 3 ejemplos, de complemeto.
2 – Ubica en el diagrama de Venn los elementos correspondientes a cada conjunto y ten en
cuenta las intersecciones
a. A = {múltiplos de 4 menores que 36}
b. B = {Divisores de 36}
c. C = {números naturales menores que 10}
3 – con el ejercicio anterior encuentra los siguientes resultados
a. A
B
e. A – c
i. B’
b. A
f. (A
j. C’
B
B)
C
c. A
g. (B
k. (A
C
C)
C)’
A
d. B – C
h. A’
m. (A B)’
MATEMATICAS - Matemáticas 6
118
PGF03-R03
4 – Teniendo en cuenta los resultados del punto 3 grafica en el diagrama de Venn los
resultado y colorear las respuesta.
5 – Si mi conjunto universal son los estudiantes de primaria del colegio, cual seria el
complemento de grado cuarto.
6 – 100 estudiantes asisten a una escuela de natación, donde ofrecen los siguientes cursos:
sincronizado, pecho, mariposa u otro.
De acuerdo con el diagrama anterior responder:
a. Cuantos estudiantes asisten a los cursos estilo mariposa y de pecho, pero no a nado
sincronizado.
b. Cuantos estudiantes asisten a otro curso distinto a nado sincronizado, estilo mariposa o de
pecho.
c. Cuantos estudiantes asisten a estilo de pecho y nado sincronizado, pero no a estilo
mariposa.
d. Cuantos estudiantes solo toman estilo de pecho.
7 – Marcela colecciona estampillas de temas deportivos y de personas, tiene 60 estampillas
de personajes, 70 de temas deportivos. Si la cuenta toda tiene 105. ¿Es posible esto?,
Justifica tu respuesta.
8 – En un colegio los estudiantes de grado sexto hacen deporte diariamente; algunos de ellos
practican más de un deporte. Para formar los equipos para practicar en el ínter - colegiados
se inscribieron así:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
119
PGF03-R03
Baloncesto
Atletismo
Ana Pérez
Jerónimo Cruz
Alejandro Rizo
Juana Díaz
Pedro Olaya
Omar Restrepo
Meliza Pinto
Camilo Duque
Andrea Ortiz
Alex Serria
Ismael Osorio
Carlos Velásquez
Voleibol
Ana Pérez
Jaime Forero
Alex Serria
Sara Moreno
Laura Cruz
Juliana Serrano
Realiza el diagrama de Venn con los nombres de los estudiantes (no hay necesidad de poner
apellido).
9 - Con el diagrama del punto 8 responder (coloca una X en la respuesta correcta):
1. El conjunto V – A es:
a. el conjunto de los niños que juegan voleibol que no participan en atletismo
b. El conjunto de los niños que juegan voleibol y participan en atletismo.
c. El conjunto de los niños que no juegan voleibol y participan en atletismo.
d. El conjunto de los niños que no participan en atletismo y juegan voleibol.
2. El conjunto (A
B) – V corresponde a:
a. Los niños que juegan baloncesto o practican atletismo, pero no juegan voleibol.
b. Los niños que juegan baloncesto y practican atletismo, pero juegan voleibol.
c. {Jerónimo, Alejandro, Juana, Pedro, Omar, Carlos, Melisa, Claudia, Andrea, Ismael}
d. Los niños que practican cualquiera de los deportes.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
120
PGF03-R03
USO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN-EULER
La interpretación de las operaciones con conjuntos se hace más sencilla, a través de su
representación mediante diagramas de Venn-Euler
ENUNCIACION – MODELACION
A continuación encontrarás ejemplos resueltos de operaciones con conjuntos. El propósito
de esta actividad, es que reconozcas cómo se realiza la interpretación de información
relacionada con conjuntos, a través de su representación mediante Diagramas de VennEuler.
1) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una
encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números
que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las
diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas.
¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.
¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona.
¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas.
¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.
¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11
personas.
7. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas.
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
121
PGF03-R03
9. ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.
2) Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del
tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo
que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, a) ¿cuántos días del mes ha
fabricado ambos productos? b) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo
A? c) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?
El dato de los 4 domingos puede volcarse directamente en el diagrama. Obviamente
existieron días en que se fabricaron ambos productos, pues de lo contrario abril tendría 39
días. Luego, dado que abril sólo tiene 30 días debieron haber 9 días en que se fabricaron
ambos productos. Por diferencia de este número con 15 y con 20 se obtuvieron 6 y 11
respectivamente. Rtas. a) 9 días; b) 6 días; c) 11 días.
3) En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una
encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té, café o chocolate. Los
números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la
pregunta en las diversas formas posibles: las tres bebidas, sólo té, té y chocolate pero no
café, etc.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
122
PGF03-R03
En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? Rta. 30 personas.
2. ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas tres bebidas? Rta. 28
personas.
3. ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 13 personas.
4. ¿Cuántas personas tomaban sólo dos de esas tres bebidas bebidas? Rta. 9 personas.
5. ¿Cuántas personas tomaban exactamente dos de esas tres bebidas? Rta. 9 personas.
6. ¿Cuántas personas tomaban menos de dos de esas tres bebidas? Rta. 20 personas.
7. ¿Cuántas personas tomaban exactamente una de esas dos bebidas? Rta. 18
personas.
8. ¿Cuántas personas tomaban sólo chocolate? Rta. 7 personas.
9. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 12 personas.
10. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 17 personas.
11. ¿Cuántas personas tomaban las tres bebidas? Rta. 1 persona.
12. ¿Cuántas personas no tomaban las tres bebidas? Rta. 29 personas.
13. ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de esas tres bebidas? Rta. 2 personas.
14. ¿Cuántas personas no tomaban ni té ni café? Rta. 9 personas.
15. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 18 personas.
16. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. ¿Cuántas personas tomaban
té y café pero no chocolate? Rta. 3 personas.
17. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café? Rta. 3 personas.
18. ¿Cuántas personas tomaban chocolate y café pero no té? Rta. 2 personas.
4) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de
transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:
I) Motocicleta solamente: 5
II) Motocicleta: 38
III) No gustan del automóvil: 9
IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3
V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20
VI) No gustan de la bicicleta: 72
VII) Ninguna de las tres cosas: 1
VIII)No gustan de la motocicleta: 61
1.
2.
3.
4.
5.
¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
123
PGF03-R03
Tratemos de volcar los datos en un diagrama de Venn para tres conjuntos.
Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos (los números I), IV), V) y VII) se pueden
volcar directamente:
Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO,
haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:
Luego utilizaremos el dato VI), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro
correspondientes al conjunto BICI, deberán sumar 72, luego 72 - (20+5+1) = 46:
Después de ello, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto
las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:
MATEMATICAS - Matemáticas 6
124
PGF03-R03
Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro
correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:
Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas:
a.
b.
c.
d.
e.
A 99 personas.
A ninguna.
A 46 personas.
A 10 personas.
a 14 personas.
EJERCITACION
Aplicando lo aprendido a través de los ejemplos anteriores, realiza los siguientes ejercicios.
Representa la información dada, mediante la elaboración de el correspondiente Diagrama de
Venn- Euler.
1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos
productos A y B :
MATEMATICAS - Matemáticas 6
125
PGF03-R03
138 personas consumían A pero no B.
206 personas consumían A y B.
44 personas no consumían ni A ni B.
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas personas consumían A?
¿Cuántas personas consumían B?
¿Cuántas personas consumían B pero no A?
¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?
2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos
productos A y B :
410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.
294 personas consumían A.
78 personas consumían A pero no B.
a.
b.
c.
d.
¿Qué porcentaje de personas consumía B?
¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B?
c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos?
d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos?
3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos
productos A y B :
310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.
270 personas consumían A.
205 personas consumían B pero no A.
Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles.
4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres
productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A
25 personas consumían sólo B.
10 personas consumían sólo C
15 personas consumían A y B, pero no C.
80 personas consumían B y C, pero no A.
8 personas consumían C y A, pero no B.
17 personas no consumían ninguno de los tres productos.
a. ¿Cuántas personas consumían A?
b. ¿Cuántas personas consumían B?
c. ¿Cuántas personas consumían C?
MATEMATICAS - Matemáticas 6
126
PGF03-R03
d.
e.
f.
g.
h.
¿Cuántas personas consumían A, B y C?
¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?
¿Cuántas personas consumían A o B?
¿Cuántas personas no consumían C ?
¿Cuántas personas no consumían ni C ni A?
5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres
productos A , B y C : 30 personas consumían A.
85 personas consumían B.
103 personas consumían C.
10 personas consumían A y C, pero no B.
13 personas consumían A y C.
18 personas consumían B y C.
5 personas consumían A y B, pero no C
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos?
¿Cuántas personas consumían los tres productos?
¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C?
¿Cuántas personas no consumían A?
¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?
6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:
16 alumnos leen novelas.
18 alumnos leen ciencia ficción.
17 alumnos leen cuentos.
3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.
1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción.
8 alumnos leen sólo cuentos.
4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.
¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción?
¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción?
7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos:
308 eran menores de diez años.
5 eran huérfanos de padre y madre.
22 eran huérfanos de padre
174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre.
3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre.
9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
127
PGF03-R03
13 eran huérfanos sólo de madre.
a. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre?
b. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre?
8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló
los siguientes datos:
126 personas consumían C.
124 personas no consumían A.
36 personas no consumían ni A ni B.
170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos.
60 personas consumían A y C.
40 personas consumían los tres productos.
56 personas no consumían B.
a. ¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas
b. ¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas.
c. ¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona.
9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay:
1.880 varones.
1.600 personas casadas.
380 técnicos (varones o mujeres)
150 técnicos casados
120 técnicos varones casados.
1.260 varones casados.
260 técnicos varones.
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica?
¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica?
¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica?
¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica?
9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C
reveló los siguientes datos:
59% usan A.
73% usan B.
85% usan C.
MATEMATICAS - Matemáticas 6
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PGF03-R03
41% usan A y B.
33% usan A y C.
47% usan B y C.
15% usan los tres productos.
¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué?
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PGF03-R03
WEBGRAFIA
http://www.ematematicas.net/decimales.php
http://www.monografias.com/trabajos70/razones-proporciones/razones-proporciones2.shtml
http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna2.htm
http://www.thatquiz.org/es/previewtest?W/L/H/V/98501288609906
MATEMATICAS - Matemáticas 6
130