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Semana 44
Función exponencial (parte 1)
Semana
Función exponencial (parte 1)
¡Empecemos!
Apreciado participante, en este
semestre analizarás las funciones
exponenciales, las cuales aparecen en algunos modelos sociales,
económicos y físicos. Por ejemplo,
puedes explicar fenómenos como
el crecimiento de la población
(tanto de personas, animales y
bacterias), el crecimiento económico, la desintegración radioactiva (crecimiento negativo…) y además con ellas puedes hacer estimaciones o
proyecciones en el tiempo para dicho fenómeno.
Durante la lectura del material interpretarás las situaciones y/o fenómenos
del contexto que se le asocian, así como identificarás las características y propiedades de las funciones exponenciales a través de su expresión simbólica.
¿Qué sabes de...?
Para avanzar satisfactoriamente en este concepto matemático necesitas
tener nociones básicas de porcentaje y propiedades de la potencia. Prueba
resolviendo los siguientes ejercicios:
a) 53=
b) 2-3 =
c) 2-5 · 28 =
d) Halla el 25% de 5000.
e) Halla el 4% de 560.
f ) ¿Cuánto es el 15% de 100?, ¿por qué?
El reto es...
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Juana tiene unos ahorros en el banco, que invertirá en un negocio de impresiones y recarga de cartuchos. Ella tenía un monto de 10000 Bs y recibía un
36% anual; si su dinero tiene un tiempo de 6 meses, determina cuánto invertirá al final de ese período si los intereses se acumulan mensualmente.
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Función exponencial (parte 1)
Tómate tu tiempo para darle respuesta, realízalo valiéndote de tus conocimientos en porcentaje; puedes hacer una tabla con dos columnas: una donde
coloques el mes y en la otra el capital más intereses generados para ese mes.
El 36% es el interés anual, al dividirlo entre 12 da el interés recibido por mes,
3% mensual. Luego trata de encontrar un patrón (fórmula) que te permita
hallar el interés para cualquier tiempo. No avances con la lectura del material
hasta que hayas intentado solucionar este reto.
Vamos al grano
Una función exponencial es una
función de la forma f (x)= ax donde a
representa un número real positivo y
a = 1.
Se excluye el valor de la base a=1
puesto que en este caso se trata de
una función constante f(x)= 1x=1¿Por
qué también se excluyen los valores
negativos de la base?
Veamos a través del siguiente ejemplo cómo establecer la expresión
simbólica de la función exponencial.
0 min 1min 2 min
Crecimiento de bacterias
0
1
2
Las bacterias de un recipiente de 4 li- 2 = 1 2 = 2 2 = 4
tros se duplican cada minuto. Después
Figura 7
de 60 minutos el recipiente está lleno.
¿Cuántas bacterias hay en los 2 litros del recipiente?
3 min
23 = 8
Vamos a calcular el número de bacterias a los 60 minutos, en ese instante el
recipiente de 4 litros está lleno. Dividiendo entre dos esa cantidad, nos dará
exactamente el número de bacterias que ocuparán la mitad del recipiente.
La figura 7 nos muestra esquemáticamente el crecimiento de las bacterias a
medida que transcurre el tiempo. ¡Haz uso de tus conocimientos de potencia!
Observa que al siguiente minuto cada una de estas se duplican nuevamente.
No tenemos que hacer todos los cálculos para saber la cantidad de bacterias
en el minuto 60, pues la lista sería larga: a través de una fórmula podemos
simplificarlos. Fíjate que la base (2) aparece como constante y el exponente
varía (el tiempo); en resumidas cuentas, tenemos:
f(t) = 2t
Número de bacterias Tiempo
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Se dice que una cantidad aumenta (o disminuye) exponencialmente cuando aumenta (o disminuye) en un factor fijo por unidad de tiempo. Si ese factor fijo es a (en el caso anterior 2), esta definición se traduce en la función
exponencial.
Usamos la calculadora científica para evaluar 260
x
Teclear: 2
Exhibición: 60
2
=
60
1,1529215... x1018
El esquema de arriba es válido para hallar cualquier potencia. Práctica con
otros valores.
La función es creciente a medida que aumenta (o disminuyen) los valores del
tiempo; el número de bacterias también aumenta (o disminuye).
Para saber más…
La dirección web http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?Tema
Clave=1066 hace referencia a una presentación interactiva de las funciones exponenciales para que profundices más en esta temática.
Aplica tus saberes
Retomemos el problema inicial. En la tabla 3 aparecen algunos cálculos,
compáralos con los que acabas de realizar.
Tabla 3. Capital e intereses acumulados
Meses
190
Capital + Intereses
0
10000 Capital
1
10000+10000.3%=10000+10000.3/100=1000+300=10300
2
10300+10300.3%=10300+10300. 3/100=10300+309=10609
Observa que en el 2do mes se halla el 3% del monto anterior y no de la cantidad inicial. Imagina que tengas que hallar los resultados de 18 meses. Puedes
culminar la tabla 3, pero, mediante la función exponencial del interés compuesto de un determinado capital en cualquier tiempo, C= C0.(1+r)n, donde C es ca-
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pital; Co es capital inicial; r es el interés en porcentaje y n el número de meses. En
el CCA comparte la solución obtenida por medio de esta expresión.
Resuelve…
¿Cuáles de las siguientes expresiones no definen una función exponencial?
x
c) y = ( 2 )
1
3x
Halla la función exponencial que mejor describa los siguientes fenómenos:
a) y = 3x b) y = x
2
d) y = xx
e) y = (2,5)x
f) y =
1. Supongamos ahora, que una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias completas. Si se empieza con una
colonia de 50 bacterias, expresa a través de una función exponencial
cuántas bacterias habrá después de t horas. Una sugerencia: utiliza la tabla 4 para obtener algunos valores y partir de allí para hallar la fórmula.
Tabla 4.
Relación tiempo y cantidad de bacterias
Tiempo (t)
Número de
bacterias
f(t) o y
Tiempo (t)
t=0
t=60min o 1h
t=30min o ½ h
t=90min o 1,5h
Número de
bacterias
f(t) o y
Recuerda que las funciones exponenciales tienen una base fija y un exponente
variable.
2. Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 1m. Cada vez que
rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son necesarios para que esté a 20 cm del suelo? Generaliza los resultados a
través de una función exponencial.
3. Si inviertes Bs.12000 al 42% anual con intereses acumulativos, calcula el
capital que tendrás transcurridos: a) un mes b) 4 meses y c) generaliza
los resultados.
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4. Presenta en el CCA un breve escrito sobre la presentación interactiva
sugerida en la sección “Para saber más”, donde resaltes las características
de las funciones exponenciales creciente y decreciente.
Comprobemos y demostremos que…
1. Socializa los resultados de los ejercicios anteriores con tus compañeros
del CCA y facilitador.
2. ¿Qué lograste? ¡Autoevalúate!
Indicadores
Si
Realicé las consultas sugeridas
en la sección “Para saber más”.
Leí el material impreso previo al
encuentro en el CCA.
Dedico tiempo suficiente para
hacer las actividades.
Comparto dudas y aciertos con
los compañeros del CCA y mi
facilitador.
Cuando pierdas, no te fijes en lo que has perdido,
sino en lo que te queda por ganar.
Anónimo
192
A veces
No