Download Reglas de las potencias

Las matemáticas son una de las materias fundamentales en cualquier sistema educativo por sus innumerables
aplicaciones prácticas y por que, en su conjunto, estimulan la inteligencia, desarrollan la capacidad de análisis de
problemas e introducen conceptos e ideas fundamentales en otros campos de la ciencia.
1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
En este tema vamos a empezar conociendo los números y las reglas que permiten utilizar los números porque esto
nos va a permitir manejarlos con agilidad y soltura. Ellos son los principales protagonistas de nuestro curso. Son
nuestras herramientas de trabajo.
Empezaremos clasificándolos porque no todos los números se comportan igual ni tienen las mismas características.
Debe quedar bien claro que esta clasificación no es producto del aburrimiento de una serie de señores (los
matemáticos) sino que obedece a la necesidad de ir resolviendo una serie de problemas reales que fueron
surgiendo a lo largo de la historia. Los vamos a ir presentando según fueron apareciendo históricamente:

LOS NÚMEROS NATURALES (también llamados números de contar) --- 
  1,2,3,4,5,6,...
Surgen por la necesidad del hombre de contar, de distinguir entre un objeto, dos objetos, tres... Algunas teorías
indican que el origen puede estar en la necesidad de ordenar un conjunto de cosas, por ejemplo, ante ciertas
representaciones teatrales de tipo religioso, indicar quien debe salir a escena en primer lugar, quien en segundo,
etc.
Fijaos como no hemos incluido el 0. Históricamente el 0 apareció bastantes siglos más tarde que el resto de los
números, en la creación de nuestro moderno sistema de numeración.

LOS NÚMEROS RACIONALES (las fracciones) --- Q
n

Q   / n  Z , m    0
m

Surgen ante la necesidad de hacer repartos o de dividir un todo en partes. Según el diccionario de la Lengua
Española, una fracción es la división1 de una cosa en partes. El número de partes en que dividimos esa cosa es lo
que llamaremos el denominador. El número de esas partes iguales contenidas en la fracción es el numerador.
n
m
numerador
denominador
Si en la fracción el numerador es mayor que el denominador, el número es mayor que la unidad.
Si en la fracción el numerador es menor que el denominador, el número es menor que la unidad.
Todo número racional se puede escribir en forma decimal periódica. Y todo número decimal periódico se puede
escribir en forma de fracción.
Dividir: Partir, separar en partes. Averiguar cuántas veces una cantidad, que se llama divisor, está contenida en
otra, que se llama dividendo
1

LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los pitagóricos intentaron averiguar lo que mide la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad y se encontraron con
un número que tenía infinitas cifras decimales no periódicas, algo que para ellos se escapaba a la razón.
Teorema de Pitágoras: h 1 1 ; h  1  1  2
2
2
2
2
2
h2  2  h  2
1 cm.
1 cm.
Los números que vienen dados por una expresión decimal NO periódica, se llaman números irracionales. Los
números irracionales, por tanto, no pueden escribirse en forma de fracción.
Algunos ejemplos de números irracionales importantes porque los vamos a utilizar continuamente a lo largo del
curso, y que deberías conocer son los siguientes:
2  1'41
3  1'73

   3'141592 es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
 e  2'71828 es, posiblemente, el número más importante en matemáticas superiores. Aparece mucho en

procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva y en la fórmula de la catenaria (es la curva que
describe una cadena, o cualquier hilo flexible, que pende de sus extremos).

LOS NÚMEROS ENTEROS ---

Z  ...,2,1,0,1,2,...
El conjunto formado por todos estos conjuntos de números, es el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES,

R
Q
Números
Irracionales
Z
N

LOS NÚMEROS COMPLEJOS --- C (dedicaremos un tema del curso sólo para estudiar estos números).
Surgen cuando al intentar resolver determinadas ecuaciones, nos encontramos con raíces cuadradas de
números negativos.
1  i

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES:
SUMA DE NÚMEROS
MULTIPLICACIÓN ó
PRODUCTO DE NÚMEROS
a  (b  c)  (a  b)  c
a·(b·c)  (a·b)·c
2  3  3  2  (3  3)  (2  3)  3  8
2·4·x  2·(4·x)  (2·4)·x  8·x  8 x
a b  b a
a·b  b·c
8 x  x 8
4·2  2·4
El elemento neutro para la suma de
número reales es el 0
El elemento neutro para la multiplicación
de números reales es el 1
a0  a
1·a  a
8  80 ; x  x  0
8  1·8 ; x  1·x
El elemento simétrico para la suma es el
OPUESTO. El opuesto de un número “a”
es ( - a )
El elemento simétrico para la
multiplicación es el INVERSO.
1
El inverso de un número a es
a
PROPIEDADES
ASOCIATIVA
CONMUTATIVA
EXISTENCIA DE
ELEMENTO NEUTRO
EXISTENCIA DE
ELEMENTO
SIMÉTRICO
a  (a)  0
1
a·  1
a
8  (8)  0
8·18  1 ; x·1x  1
Es una propiedad conjunta para las operaciones de suma y multiplicación de números
reales.
Permite transformar una multiplicación en una suma de números reales
a·(b  c)  a·b  a·c
PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA
Buscamos factores
(números que multiplican)
que se repiten en cada
sumando
Ej:
8·(x  1)  8 x  8
Si leemos la propiedad de derecha a izquierda, podremos transformar una multiplicación en
una suma de números reales. Es lo que conocemos como:
SACAR FACTOR COMÚN
a·b  a·c  a·(b  c)
Ej:
6 x  12 x 2  2·3·x·1  2·2·3·x·x  2·3·x·(1  2·x)  6 x·(1  2 x)
Es importante destacar como la propiedad distributiva es una propiedad que te permite convertir una multiplicación
en suma y al sacar factor común, lo que hacemos es convertir una suma de términos en una multiplicación.
1.2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Y DE LOS RADICALES.
a m  a·a·a·...·a
EXPONENTE
BASE
“m” veces
1
9
1
 a n
n
a
 312  32
2 x 3  2·x 3  2·x13 
x2  x 3
1
x  5  115  51x
2
3
n
a a
m
m
2
x3
n
x
Reglas de las potencias
x 2 ·x 6  x 26  x 8
2 x1  2 x ·21  2·2 x
distinto exponente
misma base
a m  a n  a mn
am
 a m : a n  a mn
n
a
a 
m n
x2
x3
 x 23  x 1  1x
3 x2  332  39
x
x 
2 3
a
mn
 x 2·3  x 6
   e 
e 2 x  e 2·x  e x
Mismo exponente
Distinta base
a n  b n  a  b 
an  a 
 
bn  b 
x
n
2
2 x
8 2 ·2 2  8·2   16 2  256
2
n
9 x 2  9 2 ·x 2  81x 2
182
92
 189   2 2  4
2
 2x 3  2x
3
3

x3
8

RADICALES: Vamos a intentar responder a la siguiente pregunta: ¿Conoces algún número que multiplicado
por sí mismo dé 4?
Seguramente la respuesta que se te ocurre es... 2. Y tienes razón, 2·2  4
Pero es también casi seguro que no has tenido en cuenta que hay otras posibles soluciones: (-2) también es una
respuesta correcta a la pregunta que te he formulado: (2)·(2)  4
¿Conoces algún número que multiplicado por sí mismo dé 2? En este caso encontrar la respuesta te costará más
trabajo.
La pregunta que te acabo de formular equivale a resolver la siguiente ecuación: x  2 ; que tiene dos soluciones
2
y, por tanto, hay dos respuestas correctas para la pregunta:
2 y ( 2 )
¿Conoces algún número que multiplicado por sí mismo tres veces, dé 2? Equivale a resolver la ecuación x  2 .
3
Hay sólo una solución,
En general:
resultado “a”.
n
x  3 2 que es el único número que elevado al cubo da 2:
 2  2
3
3
a es un número (que llamaremos b ) que multiplicado consigo mismo “n” veces, nos da como
n
a  b  bn  a
Índice de la raíz
Mismo índice
OPERACIONES CON RADICALES
n
n
am  a
m
n
a n b  n ab
n
a
n
b
 a
n
m n
m
n
a
b
 n am
a  m n a
1.3. LOGARITMO DE UN NÚMERO.
Entre las tablillas que datan de la época mesopotámica2, se encuentran algunas tablas que contienen las potencias
sucesivas de un número dado, análogas a nuestras modernas tablas de logaritmos o, para hablar con más
propiedad, de antilogaritmos.
El problema planteado en un cierto texto acerca de a qué potencia debe elevarse un cierto número para obtener
otro dado es equivalente a la pregunta moderna de cuál es el logaritmo de un número.
El valle de Mesopotamia era la región situada entre los ríos Tigris y Eúfrates, sobre el año 1000 a.C., y al igual que
en Egipto, había alcanzado ya por esa época un alto nivel de civilización
2
Siglos más tarde, John Napier (Neperus en latín) que no era un matemático profesional, sino un rico hacendado
escocés que se dedicaba a administrar sus extensas propiedades y aprovechaba su tiempo libre para escribir sobre
temas variados (no sólo matemáticos). y que sólo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática,
principalmente relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría, debió reflexionar sobre las potencias de un
número dado, que había visto en publicaciones clásicas como en “El Arenario” de Arquímedes. En este libro,
Arquímedes intenta calcular el número de granos de arena necesarios para “llenar” el universo.
En tales sucesiones era evidente que una sucesión de potencias enteras de base entera, como por ejemplo el 2, no
resultaba útil para el cálculo debido a los “grandes huecos” entre los términos sucesivos:
21  2 ; 2 2  4 ;
23  8 ; 2 4  16 ; 2 5  32 ; 2 6  64 ; 2 7  128 ; 28  256 ; ...
Para conseguir que los términos de una progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número
dado estén muy próximas unos de otros es necesario tomar este número muy próximo a 1. Napier decidió tomar 1
- 10
7
= 0’9999999 como número dado. Entonces los términos de la progresión están muy próximos, demasiado de
hecho. Para conseguir un cierto equilibrio y evitar el uso de decimales, multiplicó todas las potencias por 10
1 

N = 10 ·1  7 
 10 
L
7
Logaritmo de Napier del número N
7
Napier construyó laboriosamente su sistema con un objetivo concreto: la simplificación de los cálculos.
La palabra logaritmo la inventó él. Al principio los llamó números artificiales, pero más tarde se decidió por la palabra
compuesta de las palabras griegas, logos (razón) y arithmos (número).
Vamos entonces a plantear el problema que da lugar a la aparición de los logaritmos. Se trata de resolver una
ecuación parecida a ésta: 2  8
x
Tenemos que encontrar un número "x" que haga que 2 “elevado” a ese número dé como resultado 8. Es decir,
queremos saber, cuantas veces hay que multiplicar 2 consigo mismo para que me dé como resultado 8. Es
evidente que ese número que buscamos es el 3.
La solución de nuestro problema,
x  3 , porque 2 3  8
x  3 , el exponente de esa potencia, ese es el logaritmo.
Veamos otro ejemplo: Queremos resolver la ecuación 3  27 , es decir, queremos saber cuantas veces
tenemos que multiplicar 3 consigo mismo para que me dé 27. Evidentemente x tiene que ser 3 también, porque
x
27  33 . Entonces, x  3 , el exponente de nuestra ecuación, es el logaritmo.
Ahora el problema es utilizar una forma adecuada de “escribir” lo que es un logaritmo, es decir, encontrar una
notación para representar esta situación.
5 x  125 ; 5 x  125  53  x  3 es el logaritmo en base 5 (porque la base de la potencia que tenemos
es 5) de 125 (porque 125 es el resultado de la potencia)
He Descompuesto 125 en factores primos
Escribiremos que
En general,
3  log 5 (125)
log a b  x  a x  b
LOGARITMO EN BASE a
(a>0 y distinto de 1)
log a b  x  a x  b
El logaritmo en base a (a>0 ; a  1 ) de un número “b” es el exponente al que hay que elevar la base “a” para
obtener “b”, es decir, cuántas veces se tiene que multiplicar “a” consigo mismo para que dé “b”
log a ( A  B)  log a A  log a B
A
log a ( )  log a A  log a B
B
log a A n  n  log a A
CAMBIO DE
BASE
log a B 
log B
log a
ó
log a B 
Log B es el logaritmo en base 10 del número B
ln (B) = L(B) es el logaritmo neperiano (la base del logaritmo es el número
ln( B)
ln( a)
e  2'71828... ) del número B
1.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
Las expresiones algebraicas surgen al traducir a lenguaje matemático situaciones en las que aparecen datos
desconocidos o indeterminados que se representan por letras.
Las operaciones, al incluir valores que no se conocen, quedan necesariamente indicadas. Por ejemplo, son
expresiones algebraicas:
x 2 1
;
b·h
2
;
x 1 
2x 1
;
3
t  12
3
Las expresiones algebraicas más simples, formadas por productos de letras y números, se llaman MONOMIOS.
Un monomio consiste en el producto de un número conocido (coeficiente) por una o varias letras (parte literal).
1
·x·y
3
 8·x 2
coeficiente
Parte literal
coeficiente
Parte literal
Un POLINOMIO3 es la suma de dos o más monomios.
El valor numérico de un polinomio para
a:
3
x  a , es el número que se obtiene al sustituir en el polinomio la x por la
Monomio y polinomio vienen del griego: “mono” significa “uno”; “poli” significa “muchos” y “nomos” significa “partes”
P( x)  x 2  2 x  1 para x  1 es 2 porque si sustituimos en el
2
polinomio la x por el 1, obtenemos P(1)  1  2·(1)  1  1  2  1  2
Por ejemplo, el valor numérico del polinomio
En particular, se llama RAIZ o CERO de un polinomio a un número “ a ” que al sustituirlo en el polinomio en lugar
de la x , hace que el valor del polinomio sea 0 .
A veces, para simplificar expresiones o para resolver ecuaciones, puede que nos interese escribir un polinomio, que
te recuerdo que es una suma, como multiplicación. Es lo que se llama FACTORIZAR el polinomio; escribirlo como
producto de factores.
1.5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES.
Una ECUACIÓN es una igualdad entre letras y números relacionados por las operaciones aritméticas.
Las letras representan cantidades desconocidas cuyo valor queremos conocer y se llaman INCÓGNITAS.
MÉTODO DE GAUSS para la resolución de sistemas de ecuaciones:
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede utilizar una variante del método de
reducción, llamado MÉTODO DE GAUSS que consiste en transformar el sistema original en otro equivalente más
sencillo de resolver (triangular).
Dos sistemas se dicen que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Un sistema se dice que es triangular (se llama así por su disposición) cuando cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior.
* x  * y  *z  * * x  * y  *z  *


* x  * y  *z  *  * y  *z  *
* x  * y  *z  * * z  *

